14

ความน่าจะเป็น

นาย ภูริภัทร์ เชยชม เลขที่14
ม.4/6

ความน่าจะเป็น
คือ…

การวัดหรือการประมาณความเป็นไป
ได้ว่า บางสิ่งบางอย่างจะเกิดขึ้นหรือ

ถ้อยแถลงหนึ่ง ๆ จะเป็นจริงมาก
เท่าใด ความน่าจะเป็นมีค่าตั้งแต่

0ไปจนถึง 100

หลักการบวก

1) การทำงานสองอย่างไม่พร้อมกัน โดยงานแรก
ทำได้ n1 วิธี ขณะที่งานที่สองทำได้ n2 วิธี ซึ่งจะมีวิธี

ที่จะเลือกทำงานได้ทั้งหมด n1 + n2 วิธี

2) การทำงาน k อย่าง ไม่พร้อมกัน โดยแต่ละ
งานทำได้ n1, n2, n3, …, nk วิธี ดังนั้น จำนวน
วิธีที่จะเลือกทำงานมีทั้งหมด n1 + n2 + n3 +

… + nk วิธี

Ex.

ตัวอย่างที่ 1จงหาจำนวนวิธีที่จะหยิบไพ่ 1 ใบ
ให้ได้แต้มคิงหรือแจ๊ค จากไพ่สำรับหนึ่งที่มี 52

ใบ
วิธีทำ เนื่องจากไพ่แต้มคิง หรือ แจ๊ค มีอย่างละ
4 ใบ การหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้แต้มคิงหรือแจ๊ค

แบ่งเป็น 2 กรณี คือ
1) การเลือกหยิบไพ่แต้มคิง 1 ใบ จากไพ่แต้ม

คิงทั้งหมด 4 ใบ ทำได้ 4 วิธี
2) การเลือกหยิบไพ่แต้มแจ๊ค 1 ใบ จากไพ่แต้ม

แจ๊คทั้งหมด 4 ใบ ทำได้ 4 วิธี
ดังนั้น การหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้แต้มคิงหรือแจ๊ค

ทำได้ 4 + 4 = 8 วิธี

หลักการคูณ

1) การทำงานสองอย่างไม่พร้อมกัน โดย
งานแรกทำได้ n1 วิธี ขณะที่งานแต่ละวิธีใน
การทำงานอย่างแรก จะมีวิธีทำงานที่สองได้
n2 วิธี ดังนั้นจะมีวิธีที่จะเลือกทำงานทั้งสอง

อย่าง n1n2 วิธี

2) การทำงาน k อย่าง ไม่พร้อมกัน โดยมีวิธีทำงานอย่าง
แรกได้ n1 วิธี ในแต่ละวิธีของงานแรก สามารถทำงานที่
สองได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกและ
อย่างที่สอง สามารถเลือกทำงานที่สามได้ n3 วิธี ฯลฯ

จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทำงาน k อย่าง เท่ากับ
n1.n2.n3. … .nk วิธี

Ex. ห้องประชุมแห่งหนึ่งมีประตูอยู่ 3 ประตู จงหาวิธีที่เดิน
เข้าและออกห้องประชุม ถ้ามีเงื่อนไข คือ
1. เดินเข้าและออกประตูใดก็ได้
2. ห้ามเดินเข้าและออกซ้ำประตูเดิม
วิธีทำ
1. เดินเข้าและออกประตูใดก็ได้

สามารถทำได้ ดังนี้ 1. เลือกเดินเข้า 1 ประตู จาก
ทั้งหมด 3 ประตู ทำได้ 3 วิธี

2. เลือกเดินออก 1 ประตู จากทั้งหมด 3 ประตู ทำได้ 3
วิธี

ดังนั้น วิธีที่เดินเข้าและเดินออกห้องประชุมประตูใดก้ได้
เท่ากับ 3×3 = 9 วิธี

2. ห้ามเดินเข้าและออกซ้ำประตูเดิม
สามารถทำได้ ดังนี้ 1. เลือกเดินเข้า 1 ประตู จาก

ทั้งหมด 3 ประตู ทำได้ 3 วิธี
2. เลือกเดินออก 1 ประตู จากทั้งหมด 2 ประตู ทำได้ 2

วิธี
ดังนั้น วิธีที่เดินเข้าและเดินออกห้องประชุมประตูใดก็ได้

เท่ากับ 3×2 = 6 วิธี

แ ฟ ก ท อ เ รี ย ล

แฟกทอเรียล

คือ…………

ในทางคณิตศาสตร์ แฟกทอเรียล
(factorial) ของจำนวนเต็มไม่เป็น

ลบ n คือผลคูณของจำนวนเต็ม
บวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n
เขียนแทนด้วย n! (อ่านว่า n แฟก

ทอเรียล)

Ex.

5!=5x4x3x2x1=120

แบบฝึกหัด

1) จงหาค่าของ 6!
2)จงหาค่าของ 3!+6!-0!

3)จงเขียน 12 x11 x10ให้อยู่ใน
รูปแฟคทอเรียล

4)จงเขียน 27 ให้อยู่ในรูป
แฟคทอเรียล

5)จงเขียน (2n+2)(2n+1)(2n) ให้
อยู่ในรูปแฟคทอเรียล

ก า ร ท ด ล อ ง สุ่ ม

การทดลองสุ่ม

คือ….

คือ การทดลองใดๆที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไป
ได้มากกว่าหนึ่งอย่าง

ทำให้ไม่สามารถบอกผลลัพธ์ที่แน่นอนได้
ล่วงหน้า แต่ทราบผลลัพธ์ที่เป็นไปได้
ทั้งหมด

ถ้าการทดลองใดๆมีผลลัพธ์เกิดขึ้นเพียง
อย่างเดียวเท่านั้น หรือ ไม่ทราบผลลัพธ์ที่

เกิดขึ้น
เรียกว่า การทดลองที่ไม่ใช่การทดลองสุ่ม




Ex.

จงพิจารณาว่าการทดลองต่อไปนี้เป็ นการทดลอง
สุ่มหรือไม่

1. การสุ่มหยิบไพ่หนึ่งใบจากไพ่
สำรับหนึ่ ง
2. การวิ่งแข่ง

เฉลย ทั้งสองการทดลองเป็นการทดลองสุ่ม
1. การหยิบไพ่หนึ่งใบจากไพ่สำรับหนึ่ง ถือว่า

เป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรายังไม่ทราบว่าจะได้
ไพ่ใด

2. การวิ่งแข่งขัน ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะ
แต่ละคนมีโอกาสชนะแต่เราไม่ทราบว่าเป็ นใคร

แ ซ ม เ ปิ ล ส เ ป ซ

แซมเปิลสเปซ

คือ…

เซตของผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นได้ทั้งหมด
จากการทดลองสุ่ม และเป็นสิ่งที่เราสนใจ เขียนแทน

ด้วยสัญลักษณ์ S
ซึ่งในการทดลองสุ่ม

เดียวกัน สามารถเขียนแซมเปิลสเปซได้มากกว่าหนึ่ง
แบบ

ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่เราสนใจ

Ex. ถ้าโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ 1 ครั้ง จงหาผลลัพธ์ที่
เป็ นไปได้ทั้งหมด

ตอบ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือ หัวหรือก้อย



Ex. การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จงหาแต้มที่เกิดขึ้น
ทั้งหมด

ตอบ แต้มที่เกิดขึ้นทั้งหมดคือ 1 , 2 , 3 , 4 , 5
และ 6

เ ห ตุ ก า ร ณ์

เหตุการณ์

คือ….

สับเซตของแซมเปิลสเปซ นิยมใช้
สัญลักษณ์ E แทนเหตุการณ์

จะได้ว่า S และ f ก็เป็น
เหตุการณ์ด้วย

Ex.ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจคือ แต้มที่ได้
จะได้ S = { 1,2,3,4,5,6 }

ถ้าให้ E1 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว
จะได้ E1 = { 3,6 }

E2 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มมากกว่า 2
จะได้ E2 = { 3,4,5,6 }

ในกรณีทั่วไปเราจะใช้สัญลักษณ์
n(S) แทนจำนวนสมาชิกในแซมเปิลสเปซ S

n(E) แทนจำนวนสมาชิกในเหตุการณ์ E
จากตัวอย่างที่ 6 จะได้ว่า n(S) = 6 , n(E1) = 2 และ n(E2) = 4

วิ ธี ก า ร เ รี ย ง สั บ
เ ป ลี่ ย น

วิธีการเรียงสับ
เปลี่ยน

คือ…

การเรียงสิ่งของโดยคำนึงถึงตำเเหน่งของ
สิ่งของเเต่ละสิ่งเป็นที่สำคัญที่สุด โดยจะใช้
บทนิยามที่ว่า "ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก
จะใช้เเฟกทอเรียล (factorial) n โดยเป็น
ผลคูณตั้งเเต่ 1 ถึง n เขียนเเทนด้วย n!"

Ex. ถ้าต้องการสลับคำว่า "ALIVE" จะสลับได้กี่วิธีหากให้
AL อยู่ติดกัน จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี

แบบฝึกหัด

1)จะสร้างเลข 2 หลัก จากตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5
ได้กี่จำนวน

2) เลือกนักเรียน 3 คน จากนักเรียน
ทั้งหมด 20 คน มาเป็นหัวหน้ าห้อง รอง
หัวหน้ าห้อง และเลขานุการ ได้ทั้งหมดกี่

วิธี



3) จัดเด็ก 1 คน หญิง 3 คน และ
ผู้ชาย 3 คน นั่งรอบโต๊ะกลม โดยที่
ผู้ชายไม่นั่งติดกับเด็ก จะจัดได้กี่วิธี

4)มีวิธีการจัดคน 9 คน ให้นั่งรับ
ประทานอาหารรอบโต๊ะกลม ซึ่งมี
ทั้งหมด 9 ที่นั่ง ได้ทั้งหมดกี่วิธี

5)ชาย 8 คน หญิง 8 คน ต้องการยืนล้อมเป็น
วงกลม จะจัดได้กี่วิธี ถ้า

(a) ชาย-หญิง สลับกันทีละ 2 คน
(b) ชาย-หญิง สลับกันทีละ 4 คน
(c) ชายติดกันหมดและหญิงติดกันหมด