หลักการนับ

บทท ี ่ 1 หล ั กการน ั บเบ ื ้ องต ้ น (Elementary Counting Techniques) 1.1 กฎเกณฑ ์ การนับเบองต ื ้ น ้ หลกการบวกั ถ้าการทํางานหนึ่งมีวิธีการทํา k วิธีคือ วิธีที่ 1 ถึงวิธีที่ k โดยที่ การทํางานวิธีที่ 1 มีวิธีทํา 1 n วิธี การทํางานวิธีที่ 2 มีวิธีทํา 2 n วิธี การทํางานวิธีที่ k มีวิธีทํา k n วิธี และวิธีการทํางานแต่ละวิธีไม่เกิดขึ้นพร้อมกันแล้ว จํานวนวิธีทํางานนี้เท่ากับ 1 2 ... k nn n + ++ วิธี ตัวอยาง่ 1.1.1 หนังสือกองหนึ่งมีหนังสือคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน 5 เล่ม หนังสือเคมีที่แตกต่างกัน 4 เล่ม และหนังสือภาษาไทยที่แตกตางก่ ัน 3 เล่ม จงหาจํานวนวิธีที่จะหยิบหนังสือ 1 เล่ม จากหนังสือกองนี้ วิธทีํา หลกการคัณู ถ้าการทํางานอย่างหนึ่งประกอบด้วยการทํางาน k ขั้นตอน คือ ขั้นตอนที่ 1 ถึงขั้นตอนที่ k ตามลําดับ โดยที่ การทํางานขั้นตอนที่ 1 มีวิธีทํา 1 n วิธี การทํางานขั้นตอนที่ 2 มีวิธีทํา 2 n วิธี การทํางานขั้นตอนที่ 3 มีวิธีทํา 3 n วิธี การทํางานขั้นตอนที่ k มีวิธีทํา k n วิธี และวิธีการทํางานแต่ละวิธีแตกต่างกัน แล้ว จํานวนวิธีทํางานนี้เท่ากับ n1 n2 nk วิธี ตัวอยาง่ 1.1.2 บริษัทผลิตเสื้อผ้าสําเร็จรูปแห่งหนึ่งผลิตเสื้อ 6 แบบ กางเกง 5 แบบ และเนคไท 4 แบบ ถ้า จะจัดแต่งตัวให้กับหุ่นเพื่อนําไปโชว์หน้าร้าน จะสามารถแต่งเป็นชุดต่าง ๆ กัน ได้กี่ชุด วิธทีํา

ตัวอยาง่ 1.1.3 มีถนน 3 สาย จากบ้านของนายเฮง ไปยังวงเวียนแห่งหนึ่ง และจากวงเวียนนี้จะมีถนน 4 สายที่จะไปมหาวิทยาลัย ถ้านายเฮงต้องการออกเดินทางจากบ้านของตัวเองไปยังมหาวิทยาลัย โดยให้ ผ่านวงเวียนด้วย จะเลือกเส้นทางได้ทั้งหมดกี่วิธี วิธทีํา ตัวอยาง่ 1.1.4 ถ้าต้องการสร้างคําที่ประกอบด้วยตัวอักษร 4 ตัว ซึ่งไมซ่้ํากัน และเลือกตัวอักษรมาจากคําว่า RATCHANIKORN จะสร้างได้ทั้งหมดกี่คํา เมื่อคําที่สร้างไม่จําเป็นต้องมีความหมาย และ 1) ตัวอักษรในคํานั้นมีพยัญชนะอย่างน้อย 1 ตัว 2) ตัวอักษรในคํานั้นมีสระอย่างน้อย 1 ตัว 3) คําทสรี่้างขนตึ้้องขึ้นต้นด้วยสระ แต่ลงทายด้ ้วยพยัญชนะ วิธทีํา ตัวอยาง่ 1.1.5 ต้องการสร้างจํานวนที่มีสามหลักจากเลขโดด 2, 3, 5, 6, 7 และ 9 จะสร้างได้ทั้งหมดกี่ จํานวน โดยที่ 1) ไมม่ ีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2) เลขแตละหล่ ักไม่ซ้ํากัน 3) จํานวนทสรี่างม้ ีค่าน้อยกว่า 500 4) เป็นจํานวนคู่ 5) เป็นจํานวนคี่และเลขแต่ละหลักไม่ซ้ํากัน 6) มีค่ามากกว่า 500 และหารด้วย 5 ลงตัว วิธทีํา

ตัวอยาง่ 1.1.6 มีจดหมายที่แตกต่างกัน 4 ฉบับ ต้องการใส่จดหมายทั้งหมดลงในตู้ไปรษณีย์ซึ่งมทีั้งหมด 6 ตู้จะมีจํานวนวิธีใส่จดหมายทั้งหมดกี่วิธีเมื่อ 1) ไมม่ ีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2) จดหมายแตละฉบ่ ับต้องไม่ใส่ซ้ําตู้กัน 3) มีจดหมายอย่างน้อย 2 ฉบบัที่ใสในต ู่้ใบเดียวกัน 4) อาจจะมีการใส่ตู้ซ้ํากัน แตจะใส ่ ่ตู้เดียวกันทั้ง 4 ฉบับไมได่ ้ วิธทีํา แบบฝกห ึ ดั ๑.๑ 1. ชายคนหนึ่งยืนอยู่ที่จุด 0 บนเส้นจํานวนในแนวนอน ถ้าความยาวของแต่ละก้าวของชายผู้นี้เท่ากับ 1 หน่วย ให้ชายผู้นี้ก้าวไปทางขวามือหรือซ้ายมือ เขาจะหยุดก้าว เมื่อเขาก้าวไปเป็นจํานวน 5 ก้าว หรือเขา อยู่ที่ตําแหน่ง 3 หรือ -2 เท่านั้น เขาจะมีวิธีก้าวได้ทั้งหมดกี่วิธี 2. จากแผนภาพที่กําหนดให้ต่อไปนี้กําหนดให้A, B, C, D, E, F เป็นเกาะ และเส้นตรงทลากเชี่ื่อมเกาะ เหล่านี้คือสะพาน ลุงโอ๊ตต้องการออกเดินทางจากเกาะ A ไปยังเกาะต่างๆ โดยมีกติกาว่า ลุงโอ๊ตจะหยุด พักรับประทานอาหาร ก็ต่อเมื่อ เขาไม่สามารถเดินต่อไปได้อีกแล้วนอกเสียจากว่าจะต้องเดินซ้ําสะพานอีก ครั้ง จงหาจํานวนวิธีการเดินของลุงโอ๊ต ก่อนที่เขาจะหยุดรับประทานอาหาร 3. เด็กนักเรียนคนหนึ่งต้องการเลือกเรียนภาษาต่างประเทศ 1 ภาษา จาก 5 ภาษา และต้องการเลือกเรียน วิทยาศาสตร์ 1 สาขา จาก 4 สาขา เด็กคนนี้จะมีวิธีการเลือกเรียนทั้งหมดกี่แบบ 4. ถ้าต้องการใส่จดหมาย 5 ฉบบั ลงในตู้ไปรษณีย์ 3 ตู้จะมีวธิีการใส่จดหมายทั้งหมดกี่วิธี 5. ในการเลือกประธานนักเรียน รองประธานนักเรียน และเหรัญญิก ตําแหน่งละ 1 คน ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีผู้สมครทั ั้งหมด 10 คน โดยที่แต่ละคนจะทําหน้าที่ตําแหน่งใดก็ได้อยากทราบว่าจะมีวิธีการเลือกคน 3 คน เข้าทํางานในหน้าที่ดังกลาวได ่ ้กี่วิธี 6. ห้องเรียนห้องหนึ่งมีประตู 4 ประตูนายไพโรจน์และนายสรายุทธ ต้องการเดินเข้าและออกจากห้องนี้ อยากทราบว่าจะมีวิธีการเดินเข้าและออกของทั้ง 2 คนกี่วธิีเมื่อ A B C D E F

6.1) ทั้ง 2 คน จะเข้าและออกประตูใดก็ได้ 6.2) แต่ละคนเมื่อเข้าประตูใด แล้วออกประตูนั้นไม่ได้ 6.3) ทั้ง 2 คน จะใช้วิธีการเข้าและออกเหมือนกันไม่ได้ 7. มีลูกบอลทแตกตี่่างกัน 4 ลูก ต้องการนําลูกบอลเหล่านี้ไปใส่กล่อง 5 กลองท่ ี่แตกต่างกัน อยากทราบว่าจะ มีวิธีการใส่ของลูกบอลทั้ง 4 ลูกกี่วิธีเมื่อ 7.1) ลูกบอลแตละลู่กจะใส่กล่องใดก็ได้ 7.2) กล่องแต่ละใบจะรับลูกบอลได้ไม่เกิน 1 ลูก 7.3) ลูกบอลแตละลู่กอาจจะอยู่ในกล่องเดียวกันได้แต่จะอยู่ในกล่องเดียวกันทั้ง 4 ลูกไม่ได้ 7.4) กล่องใบแรกเท่านั้นที่สามารถรับลูกบอลได้ไม่เกิน 1 ลูก 8. กล่องใบหนึ่งมีตัวเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 หมายเลขละ 2 ตัว และมีตัวเลข 6, 7 และ 8 หมายเลขละตวั น้องเฮงหยิบตัวเลขออกมา 2 ตัว โดยหยิบทีละตัว นําตัวเลขตัวแรกวางในตําแหน่งหลักหน่วย และตัวเลข ตัวที่สองวางในตําแหน่งหลักสบิอยากทราบว่าน้องเฮงจะได้จํานวนที่มี 2 หลักดังกล่าวทั้งหมดกี่จํานวน 1.2 วธิี เรยงส ี ับเปลยน ี่ (Permutation) 1.2.1 แฟกทอเรยลี บทนยามิถ้า n เป็นจํานวนเต็มบวก แฟกทอเรยลี n หมายถึง ผลคณของจูํานวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์n! จากนิยามจะได้ว่า n! 1 2 3 n 2 n 1 n หรือ n! n n 1 n 2 3 21 หมายเหต 1. ุสญลั ักษณ์n! อ่านว่า “แฟกทอเรียลเอ็น” หรือ “เอ็นแฟกทอเรียล” ก็ได้ 2. บทนิยามของ n! กล่าวถึงเฉพาะ n ที่เป็นจํานวนเต็มบวก แต่บางครั้งเราจําเป็นต้องใช้ 0! จึงต้องกําหนดค่าไว้ด้วย โดยที่ 0! = 1 3. ในบางครั้ง การเขียน n! ในรูปของผลคณของจูํานวนเต็มบวก อาจจะไม่จําเป็นต้องเขียน จนถึง 1 แต่ถ้าเราต้องการเขียนและหยุดกอนท่ ี่จะถึง 2 เราจะต้องเขียนเครื่องหมาย ! กํากับไว้หลังตัวเลขตัวสุดท้าย เพื่อแสดงว่ายังสามารถเขียนเป็นผลคูณตอไปได ่ ้อีกถ้า ต้องการ เช่น 8! = 8 7 6 5! ××× 7! = 7 6 5 4 3! ×××× 6! = 6 5 4! × × ตัวอยาง่ 1.2.1 จงหาค่าของ 4!8! 6 ! วิธทีํา

ตัวอยาง่ 1.2.2 จงหาค่าของ n จากสมการ ! 380 ( 2) ! n n = - วิธทีํา ตัวอยาง่ 1.2.3 จงเขียนผลคูณต่อไปนี้ในรูปแฟกทอเรียล 1) nn n n ( 1)( 2)( 3) --- 2) 22 2 nn n n ( 1)( 4)( 9) -- - วิธทีํา ตัวอยาง่ 1.2.4 จงเขียนจํานวนในข้อต่อไปนี้ในรูปซึ่งไม่มแฟกทอเร ี ียล 1) ! ( 4) ! n n - 2) ( 2) ! ( 1) ! n n + - 3) ( 1) !( 2) ! !( 2) ! n n n n - + - วิธทีํา

ตัวอยาง่ 1.2.5 จงหาค่า n จากสมการในข้อต่อไปนี้ 1) ! ! ( 10) ! 10 ! ( 8) ! 8 ! n n n n = - - 2) ! 2 ! 2 1 ! 1 ! n n n n วิธทีํา ๑.๒.๒ วธิเรียงสี บเปล ั ี่ยนเชงเสิ ้น วิธีเรยงสี บเปล ัยนเชี่งเสินของส้ ิ่งของทแตกตี่างก่ ันทงหมดั้ ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด นํามาจัดเรียงสับเปลี่ยนครั้งละ n สิ่ง ได้ดังนี้ ตําแหน่งที่ 1 มีวิธีเลือกสิ่งของได้ n วิธี ตําแหน่งที่ 2 มีวิธีเลือกสิ่งของได้ n – 1 วิธี ตําแหน่งที่ 3 มีวิธีเลือกสิ่งของได้ n – 2 วิธี ตําแหน่งที่n – 1 มีวิธีเลือกสิ่งของได้ 2 วิธี ตําแหน่งที่n มีวิธีเลือกสิ่งของได้ 1 วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สงทิ่ี่แตกต่างกันทั้งหมดครั้งละ n สิ่ง เท่ากับ n n 1 n 2 3 21วิธีหรือ n! วิธี ตัวอยาง่ 1.2.6 ถ้าต้องการเขียนจํานวนที่มี 5 หลักจากตัวเลขในเซต {2, 3, 5, 7, 9} จะเขยนได ี ้ทั้งหมดกี่ จํานวน โดยแต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ํากัน วิธทีํา

ตัวอยาง่ 1.2.7 สามีภรรยาคู่หนึ่ง พร้อมด้วยลูก 4 คน มายืนเรียงแถวยาวเพื่อถ่ายรูป จะมีวิธีจัดให้ยืนทงหมดั้ กี่วิธีเมื่อ 1) ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2) พ่อและแมย่ ืนติดกัน 3) พ่อและแมย่ ืนริมทั้งสองด้าน วิธทีํา ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด นํามาจัดเรียงสับเปลี่ยนครั้งละ r สิ่ง (1 r n ) ได้ดังนี้ ตําแหน่งที่ 1 มีวิธีเลือกสิ่งของได้ n วิธี ตําแหน่งที่ 2 มีวิธีเลือกสิ่งของได้ n – 1 วิธี ตําแหน่งที่ 3 มีวิธีเลือกสิ่งของได้ n – 2 วิธี ตําแหน่งที่ r มีวิธีเลือกสิ่งของได้ n – (r – 1) วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สงทิ่ี่แตกต่างกันทั้งหมดครั้งละ r สิ่ง (1 r n ) เท่ากับ n n 1 n 2 n r 1 วิธีหรือ ! ( )! n n r -วิธี จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบเชิงเส้นของสิ่งของ r สิ่ง จากสิ่งของที่แตกต่างกัน n เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ n r P หรอื n r P หรือ n r, P (ในทนี่ี้จะใช้สัญลักษณ์ n r, P ) นั่นคือ , ! ( )! n r n P n r = - ข้อสงเกตัถ้า n r = จะได้ว่า , ! ! ! ( )! 0! n n n n P n n n = == - ตัวอยาง่ 1.2.8 มีรูปภาพที่แตกต่างกัน 12 รูป ต้องการแขวนรูปภาพเหล่านี้เรียงเป็นแถวจํานวน 4 รูป จะมี วิธีเรียงสับเปลี่ยนของรูปภาพกี่วิธี วิธทีํา

ตัวอยาง่ 1.2.9 ถ้าต้องการสร้างคํา ซึ่งประกอบด้วยตัวอักษร 5 ตัว ไม่ซ้ํากนั โดยตัวอักษรเลือกมาจากคําว่า PERMUTATION จะสร้างได้ทั้งหมดกี่คํา โดยคําที่สร้างไม่จําเป็นต้องมีความหมาย และ 1) ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2) อักษรตัวแรกเป็นพยัญชนะ 3) อักษรตัวกลางเป็นสระ 4) มีสระอย่างน้อย 1 ตัว วิธทีํา ตัวอยาง่ 1.2.10 เรือลําหนึ่งต้องการสัญญาณกบเรั ืออีกลําหนึ่ง โดยการใช้ธงสัญญาณ ซึ่งมธงสี ีแตกต่างกัน จํานวน 5 ผืน ในการให้สญญาณแตั ่ละสัญญาณจะต้องใช้ธงอย่างน้อย 1 ผืน และธงจะถูกชักเรียงบน เชือกเส้นเดียวกัน จงหาว่าเรือลํานี้จะให้สญญาณได ั ้ทั้งหมดกี่สัญญาณ วิธทีํา ตัวอยาง่ 1.2.11 มีม้านั่งวางเรียงเป็นแถวยาวจํานวน 9 ตัว ต้องการให้นาย ก. นาย ข. นาย ค. และนาย ง. นั่ง บนม้านั่งเหล่านี้คนละตัว จะมีจํานวนวิธีการนั่งของทั้งสี่คนกี่วิธีเมื่อ 1) ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2) คนทั้งสี่คนนั่งติดกัน 3) ไม่มสองคนใดน ี ั่งติดกัน วิธทีํา

ตัวอยาง่ 1.2.12 สามีภรรยาคหนู่ ึ่งมีบุตรชาย 2 คน บุตรสาว 3 คน ถ้าใหคนท้ ั้งหมดมายืนเรียงแถวยาว จะมี วิธีการยืนทั้งหมดกี่วิธีเมื่อ ๑) บุตรชายยนตื ิดกัน แต่บุตรสาวยืนแยกกนหมดั ๒) บุตรสาวยืนติดกัน แต่บุตรชายยืนแยกกันหมด วิธทีํา วิธีเรยงสี บเปล ัยนเชี่งเสินของส้ ิ่งของทมี่บางสี ิ่งซาก้ํนั ถ้ามีสิ่งของอยู่n สิ่ง ในจํานวนนี้มี 1 n สิ่งที่เหมอนกื ันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี 2 n สิ่งทเหมี่ือนกันเป็นกลุ่มที่ สอง ... มี k n สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ k โดยที่ n1 n2 nk n จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มของ สิ่งของ n สิ่ง เท่ากับ ! ! ! ! n1 n2 nk n วิธี ตัวอยาง่ 1.2.13 จงหาจํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรจากคําว่า MATHEMATICS ที่แตกต่างกัน โดยไม่ คํานึงถึงความหมาย วิธทีํา ตัวอยาง่ 1.2.14 มีหนังสืออยู่ 10 เล่ม เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ที่เหมือนกนทัุกเล่มจํานวน 6 เล่ม และเป็น หนังสือภาษาอังกฤษที่เหมือนกันทุกเล่มจํานวน 4 เล่ม จงหาจํานวนวิธีจัดหนังสือทั้ง 10 เล่ม วางบน ชั้นหนังสือ โดยที่ 1) หนังสือเลมใดอย ู่่ที่ใดก็ได้ 2) หนังสือวิชาเดียวกันต้องอยู่ติดกัน 3) หนังสือที่อยู่หัวแถวและทายแถวเป ้ ็นหนังสือวิชาเดียวกัน วิธทีํา

ตัวอยาง่ 1.2.15 จากรูปที่กําหนดให้เป็นแผนผังของเมืองเมืองหนึ่ง ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมมมฉากุรอยเส้นใน แผนผังคือถนน ถ้านายเฮงต้องการขับรถออกจากจุด A เพื่อไปยังจุด B โดยมีเงื่อนไขว่า นายเฮงจะต้อง ขับรถไปทางทิศเหนือหรือทิศตะวันออกเท่านั้น อยากทราบว่านายเฮงจะมีวิธีเลือกเส้นทางได้ทั้งหมดกี่ วิธีเมื่อต้องการให้ 1) ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2) ต้องขับรถผ่านจุด C และ D ด้วย วิธทีํา ตัวอยาง่ 1.2.16 มีนักศึกษาจํานวน 10 คน ในจํานวนนี้มนายชี ้าง นายเต้และนายโอ รวมอยู่ด้วย ถ้าให้ นักศึกษาทั้งหมดขึ้นนั่งในรถยนต์ 3 คัน คันที่หนึ่งจํานวน 4 คน คันที่สองจํานวน 3 คน และคันที่สาม จํานวน 3 คน จงหาจํานวนวิธีการขึ้นนั่งของนักศึกษาทั้ง 10 คน เมื่อ 1) ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2) นายช้าง นายเต้และนายโอ แยกกันนั่งคนละคัน 3) นายช้าง นายเต้และนายโอ นั่งคันเดียวกัน วิธทีํา A B C D

แบบฝกห ึ ดั 1.2 ก 1. จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) 10 ! 2!8! 2) 11! 7!4! 3) 10 ! 4!5! 4) 11! 3!5! 2. จงเขียนผลคูณในข้อต่อไปนี้ในรูปของแฟกทอเรียล 1) 10 9 8 7 6 ×××× 2) 100 99 50 3) n n 1 n 2 n 10 4) 2 3 (9 9 2) nn n - + 3. จงเขียนจํานวนในข้อต่อไปนี้ในรูปซึ่งไม่มแฟกทอเร ี ียล 1) ! ( 5) ! n n - 2) ( 3) ! ( 1) ! n n + - 3) (2 ) ! (2 3) ! n n - 4) 2 ( 3) !( 1) ! ( !) n n n + + 5) ( 4) !( 3) ! ( 5) !( 2) ! n n n n + - - + 6) ! ( )! ! n n kk - 4. จงหาค่า n จากสมการในข้อต่อไปนี้ 1) ! ( 1) ! 7 6 ( 3) ! ( 2) ! n n n n + × =× - - 2) ! ( 1) ! 3 ( 4) ! ( 6) ! n n n n - × = - - 3) ! ( 1) ! 10 ( 2) ! ( 3) ! n n n n + × = - - 4) ,4 ,5 30 n n P P = ´ 5. มีอาจารย์ผู้ชาย 2 คน อาจารย์ผู้หญิง 2 คน นิสิตชาย 2 คน นิสิตหญิง 2 คนมายืนเรียงแถวยาว จะมี วิธีการยืนทั้งหมดกี่วิธีเมื่อ 1) อาจารย์ผู้ชายยืนติดกัน อาจารย์ผู้หญิงยืนติดกัน แต่อาจารย์ผู้ชายและอาจารย์ผู้หญิงยนไม ื ่ติดกัน 2) อาจารย์ผู้ชาย อาจารย์ผู้หญิง นิสิตชาย และนิสิตหญิง ยืนสลับกันทีละคน โดยที่ลําดับต้องเหมือน กับลําดับของชุดแรก 3) อาจารย์ผู้ชาย อาจารย์ผู้หญิง ยืนสลับกันทีละคน และนสิิตชาย นิสิตหญิง ยืนสลับกันทีละคน 6. มีหนังสือที่แตกต่างกัน 8 เลม่ ในจํานวนนี้เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ 3 เลม่ถ้าต้องการจัดหนังสือเป็นแถว ยาวแถวเดียว จะจัดได้กี่วิธีเมื่อ ๑) ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม ๒) หนังสือคณิตศาสตร์อยู่ติดกันทั้ง 3 เล่ม ๓) หนังสือคณิตศาสตร์อยู่แยกกันทุกเล่ม 7. มีสามีภรรยารวม 2 คู่ต้องการให้สามีภรรยาทั้ง 2 คู่นี้นงบนมั่้านั่งที่วางเรียงเป็นแถวยาว 8 ตัว อยาก ทราบว่าจะมีวิธีการนั่งที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธีเมื่อต้องการให้ ๑) คนทั้ง 4 คน จะนั่งตัวใดก็ได้ ๒) คนทั้ง 4 คน ตองน้ ั่งติดกัน ๓) คนทั้ง 4 คน ตองน้ ั่งติดกัน และสามีภรรยาแต่ละคู่ต้องนั่งติดกันด้วย

8. ถ้าต้องการสร้างเลข 6 หลัก โดยการนําตัวเลข 6 ตัว คือ 0, 1, 1, 2, 2, 2 มาจัดเรียง จะสร้างเลข 6 หลัก ดังกล่าวได้ทั้งหมดกี่จํานวน เมื่อต้องการให้ ๑) จํานวนที่สร้างมีค่าอยู่ระหว่าง 100,000 และ 200,000 ๒) จํานวนที่สร้างมีค่ามากกว่า 200,000 ๓) จํานวนที่สร้างมีค่ามากกว่า 100,000 และเป็นจํานวนคู่ 9. ชายคนหนึ่งมีธงสําหรับส่งสัญญาณ 7 ผืน เป็นธงสีแดง 2 ผนืสีขาว 2 ผืน และสีน้ําเงิน 3 ผืน ในการสง่ สัญญาณแต่ละสัญญาณจะต้องใช้ธงทั้ง 7 ผนื โดยแขวนในแนวดิ่ง และสญญาณขอความชั ่วยเหลือจะต้อง ใช้ธงสีน้ําเงินเป็นผืนที่อยู่บนสุด อยากทราบว่า ชายผู้นี้จะส่งสัญญาณได้กี่วิธีเมื่อ ๑) สัญญาณนั้นเป็นสัญญาณขอความช่วยเหลือ ๒) สัญญาณนั้นไมใช่ ่สัญญาณขอความช่วยเหลือ ๓) สัญญาณนั้นมธงสี ีน้ําเงินติดกันอย่างนอย้ 2 ผืน 10. จากรูป ถ้าต้องการลากเส้นจากจุด A ไปยังจุด C โดยจะต้องลากตามรอยเส้นในตารางในทิศเหนือ หรือทิศ ตะวันออกเท่านั้น อยากทราบว่าจะลากเส้นดังกล่าวได้ทั้งหมดกี่วิธีเมื่อต้องการให้ ๑) ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม ๒) ผ่านจุด H หรอื F อย่างน้อย 1 จุด ๓) ผ่านจุด G แต่ไม่ผ่านจุด E 11. เด็กคนหนึ่งมีลูกบอลจํานวน 10 ลูก ถ้าเขานําลูกบอลมาเรียงเป็นแถวยาวอย่างไม่มีเงื่อนไข พบว่ามีวิธีเรียง สับเปลี่ยนทั้งหมด 12,600 วิธีอยากทราบว่า เขาจะมีวิธีจัดเรียงลูกบอลกี่วิธีเมื่อ ๑) ให้ลูกบอลที่เหมือนกันอยู่ติดกัน ๒) ให้ลูกบอลเฉพาะที่เหมือนกันและมีจํานวนมากที่สุดอยู่ติดกัน ๓) ให้ลูกบอลเฉพาะที่เหมือนกันและมีจํานวนนอยท้ ี่สุดอยู่ติดกัน 12. นักท่องเที่ยวกลุ่มหนึ่งจํานวน 9 คน ในจํานวนนี้มีผู้ชาย 3 คน ถ้าให้นักทองเท่ ี่ยวกลุ่มนี้เข้าพักในบังกะโล หลังหนึ่ง ซึ่งมี 3 ห้องนอน นอนได้ห้องละ 3 คน จงหาจํานวนวิธีการแบ่งคนเข้าพักในห้องดังกล่าว เมื่อ ๑) ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม ๒) ผู้ชายได้พักห้องเดียวกันทั้งสามคน ๓) ทุกห้องต้องมีผู้หญิงอย่างน้อย 1 คน ๔) ทุกห้องต้องมีผู้ชายอย่างน้อย 1 คน D F C G E A H B