E-MODUL TRIGONOMETRI MATEMATIKA SMA/MA X
IDENTITAS E-MODUL Kelas/Semester : X/ 1 (Satu) Topik : Trigonometri Alokasi Waktu : 14 JP Model Pembelajaran : Realistic Mathematis Education (RME) Mode Pembelajaran : Tatap Muka NAMA : 1. Nurul Aien 2. Nabillah Qatrun Nada 3. Elsa Yeslina Putri 4. Yepa Salmila INSTANSI : Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Kerinci JURUSAN : Tadris Matematika IDENTITAS PENULIS
Kata Pengantar Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT karena berkat Rahmat dan Karunia- Nya, akhirnya penulis dapat menyelesaikan bahan ajar E-Modul dengan pokok bahasan trigonometri untuk SMA/MA kelas X. E-Modul ini membahas materi trigonometri yang memuat konsep dan ukuran sudut, perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa, relasi sudut di berbagai kuadran serta identitas trigonometri. E-Modul ini disusun dengan harapan dapat memberikan penjelasan terkait pemahaman konsep materi trigonometri dan menunjang kreativitas dan inovasi dalam menyelesaikan permasalahan di dunia nyata. E-Modul ini diharapkan dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pembaca pada umumnya, penulis menyadari dalam penyusunan E-Modul ini juh dari kata sempurna maka dari itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun, yang dapat membuat E-Modul ini menjadi sempurna di masa yang akan datang. Sungai Penuh, 19 Mei 2023 Penulis
Daftar Isi KEGIATAN 3 KATA PENGANTAR KOMPETENSI INTI INDIKATOR PENCAPAIAN TUJUAN PEMBELAJARAN GLOSARIUM KEGIATAN 2 KEGIATAN 1 IDENTITAS MODUL COVER DAFTAR ISI KOMPETENSI DASAR dan SINTAK
Kompetensi Inti KI 1 : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang di anutnya KI 2 : Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, santun, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai) bertanggung jawab, responsif,dan proaktif melalui keteledanan, pemberian nasehat, penguatan, pembiasaan dan pengkondisian secara berkesinambungan serta menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri secara cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. KI 3 : Memahami, menerapkan, menganalisis dan mengavulasi tentang pengetahuan faktual, konseptual, prosedural dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni,budaya dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. KI 4 : Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
Kompetensi Dasar & Sintak Realistic Mathematics Education (RME) 3.7 Menjelaskan rasio trigonometri ( sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku. 4.7 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan rasio trigonometri pada segitiga siku-siku. 3.8 Menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudutsudut diberbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi. 4.8 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan rasio trigonometri sudut-sudut diberbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi. Sintak RME Memahami Masalah Kontekstual. Menjelaskan Masalah Kontekstual. Menyelesaiakan Masalah Kontekstual. Membandingkan dan Mendiskusikan Jawaban. Menyimpulkan. 1. 2. 3. 4. 5.
Indikator Pencapaian 3.7.1 Mengamati dan menjelaskan fakta pada radian dan derajat sebagai satuan pengukuran sudut serra hobengannya. 3.7.2 Menemukan konsep rasio trigonometri (sinus, ousines, tangen, cosecant, secan, cotangent) pada segitiga siku-siku. 4.7.1 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan ukuran sadust. 4.7.2 Menggunakan konsep sians, cosims, tangen, casecant, secan, dan cotangen dalam menyelesaikan masalah kontekstual. 3.8.1 Menghubungkan rasio trigonometri dengan sudut-sudut berelusă di berbagai kundran. 3.8.2 Menemukan konsep identitas trigonometri. 4.8.1 Menggunakan rasio trigonometr sadul berelni di berbagai kuadran dalam menyelesikan masalah. 4.8.2 Menggunakan identitas trigonometri untuk membuktikan identitas trigonometri lainnya
Tujuan Pembelajaran Memahami satuan ukuran sudut dalam radian dan derajat. Mengubah satuan ukuran sadut dari bentuk radian ke bentuk derajat dan sebaliknya. Menghitung perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku yang sudutnya tetap tetapi panjang sisinya berbeda. Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut pada segitiga siku-siku. Menerapkan perbandingan trigonometri dalam menyelesaikan masalah. Menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut - sudut yang berelasi di kuadran I. Menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut - sudut yang berelasi di kuadran II. Menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut - sudut yang berelasi di kuadran III. Menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut - sudut yang berelasi di kuadran IV. Menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut - sudut yang berelasi dengan sudut lebih besar dari 360 °. Menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut - sudut yang berelasi dengan sudut negatif . Setelah proses pembelajaran dilakukan, maka diharapkan peserta didik dapat: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Sudut bertanda "positif" jika arah putarannya berlawanan dengan arah pataran jarum jam. Sudut bertanda "negatif” jika arah putaranya searah dengan jarum jam. Sudut dibentuk oleh dua sinar dengan titik pangkal yang sama yang disebut titik mut (vertex). Sadut yang kecil disebut sudut inferior dan sadut refleksi sama dengan 360". Besaran sudut dapat dinyatakan dengan simbol a (alpha). β (betha), γ (gamma), dan θ (tetha), dan dapat dinyatakan juga dengan huruf kapital seperti A, B, C dst. Selain itu, arah pataran memiliki makan dalam sadut : 1. 2. Lebih jelasnya, mari cermati gambar berikut : Kegiatan 1 UKURAN SUDUT DAN KONSEP DASAR SUDUT KONSEP DASAR SUDUT " Ayo Memahami " Masalah 1.1
Di zaman modern ini, pasti hampir seluruh rumah memiliki jam dinding ataupun jam digital sesuai dengan perkembangan teknologi. Selain berfungsi sebagai penunjuk waktu, dengan mengamati jarum pada sebuah jam ternyata kita juga bisa belajar mengenai konsep sudut. UKURAN SUDUT DAN KONSEP DASAR SUDUT Kalian dapat melihat benda-benda disekitar kalian yang dapat membentuk sudut seperti kipas, jam, atap rumah dan lain sebagainya. Perhatikan jarum pada jam dinding ternyata dapat membentuk suatu sadut. Jika jam dinding menunjukkan pukul 14.35. berapa ukuran sudut derajat yang dibentuk dari pukul 14.35 tersebut?
UKURAN SUDUT DAN KONSEP DASAR SUDUT “Mari Selesaikan” Masalah 1.1 (4 x 30°) + ( x 30°) = 120° + 12, 5° = 132, 5° Hitung sudut yang dibentuk oleh jarum panjang jam yang menunjukkan dari angka ke angka 7 melewati 4 angka. 1 angka membentuk sudat 30°. Lalu kalikan 4 dengan 30° didapat 120°. Selanjutnya, hitung sudut yang dibentuk oleh jarum pendek menuju ke angka 3. Cara agar jarum pendek tepat diungka 3, jarum panjang harus berputar dari angka 7 ke angka 12 yaitu melewati 25 menit. Karena 1 jam 60 menit maka 25 menit dibagi 60 menit dan di kali 30° didapat 12,5°. Terakhir jumlahkan hasil dari sudut yang dibentuk oleh jurum panjang dan pendek. Hitunglah jarum jam yang telah kalian atur : 1. 2. 3. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut :
UKURAN SUDUT DAN KONSEP DASAR SUDUT 1.Besar sadut 1 putaran penuh = 360° 1 putaran penah = 12 angka Maka besar sudut antara angka-angka dalam jam = = 30° 2. 1 jam = 60 menit = 30° Maka setiap jarum panjang bergeser 1 menit: Jarum pendek akan bergeser = Jarum panjang akan bergeser = 6° 3. Jika jarum jam panjang dan jarum jam pendek pada 1 titik maka besar sudutnya 0° CATATAN Sudut standar (baku) terbentuk jika sisi awal satu gariS berimpit dengan sumbu x dan sisi terminalnya terletak pada salah satu kuadran pada koordinat kartsius. Pembatas kandran terbentuk sisi awal saatu garis yang berimpit dengan sumbu x dan jika sisi akhir berada pada salah satu sumbu pada koordinat tersebut yang bernilai 0° ,90° , 180° , 270° , dan 360°. Jika sudut yang dihasilkan sebesar α (sudut standar), maka sudut β disebut sebagai sudut koterminal, sehingga α + β = 360°. Pada Koordinat Kartesius :
Apapun yang dapat dikur pasti mempunyai satuan ukuran untuk mengukurnya. Begitu pula dengan sudut. Satuan sudut yang paling sering kita temui dan digunakan adalah derajat yang dilambangkan dengan “°”. Tetapi, ada satuan lain yang dapat digunakan untuk mengukur satuan sudut, yaitu satuan radian yang dilambangkan dengan "rad". Sehingga ada dua satuan yang digunakan untuk mengukur sudut, yaitu derajat dan radiun. UKURAN SUDUT DAN KONSEP DASAR SUDUT UKURAN SUDUT ( Derajat dan Radian) Sudut 1 putaran penuh adalah 360°. Hal ini berarti 1° = putaran penuh. Ukuran sudutyang lebih kecil dari derajat adalah menit (`) dan detik (``). Hubungan dari ukaran sudut tersebut adalah: 1 demiat = 60 menit atau 1° = 60' 1 menit = 60 detik atan 1` = 60`` UKURAN DERAJAT INGAT!!!
Satu radian atau 1 rad adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari lingkuran berjari-jari r dan membentuk busur sepanjang r juga atau besar sudut pusat dari suatu lingkaran yang panjang basur dihadapan sadut tersebut adalah sama dengan jari- jari lingkaran tersebut. Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung langsung dengan mengalikan besarnya audut dengan jari-jari lingkaran, apabila besarnya sudut telah dalam satuan radian. UKURAN SUDUT DAN KONSEP DASAR SUDUT Dari gambar disamping Besar sudut POQ = radian = radian = 1 radian Jika panjang busur PQ = s = = Luas juring POQ = s Karena s = θ, maka luas juring POQ = θ UKURAN RADIAN INGAT!!!
Satu putaran penuh = 360° = 2π radian putaran = . 360° = 180° atau . 2 π radian = π radian putaran = . 360° = 1° atau 2 π radian = radian Sehingga didapat 1 radd = . 1° =57,3° Coba kalian perhatikan hubungan secara aljabar antara derajat dengan radian berikut : putaran = . 360° = 90° ↔ 90° = 90 x rad = π rad putaran = . 360° = 120° ↔ 120° = 120 x rad = π rad putaran = . 360° = 180° ↔ 180° = 180 x rad = π rad putaran = . 360° = 240° ↔ 240° = 240 x rad = π rad putaran = . 360° = 270° ↔ 270° = 270 x rad = π rad Tentu kita akan dengan mudah dalam mengubah ukuran dari sudut lain pula. UKURAN SUDUT DAN KONSEP DASAR SUDUT Hubungan satuan derajat dengan satuan radian
sebuah pizza dipotong oleh ibu menjadi 4 bagian sama besar, berapa besar radian dari riap-tiap potongan pizza tersebut ? UKURAN SUDUT DAN KONSEP DASAR SUDUT CONTOH SOAL “Mari Selesaikan” “Ayo Diskusikan” Penyelesaian : Dikitahui : Pizza dipotong menjadi 4 Ditanya : besar radian dari tiap potongan ? Dijawab : Tiap potogan = = 90° Ubah 90° kedalam bentuk radian 90 x rad = rad “Mari Mengerjakan” Hari ini Sari akan mengikuti acam pentas seni tahunan. Acara tersebut dimulai pada pukul 19.30 malam. Berapakah sadut derajat dan radian yang terbentuk pada pulcal tersebut? Shelly sedang menaiki komedi potar di sebuah pasar malam, komedi patur tersebut berputar sebanyak 5 putaran. Tentukan derajat yang terbentuk dari putaran tersebut? 1. 2. SOAL
Kegiatan 2 PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU “Ayo Memahami” Masalah 2.1 Seorang ketua OSIS mengikuti sebuah lomba dengan menaksir tinggi tiang bendera menggunakan ranting bambu. Ranting bambu tersebut telah diukur sebelumnya dengan penggaris dan didapatkan hasil yaitu panjang bambu 1,6 m. Jadi seorang teman ditugaskan untuk menamati di puncak tiang bendera melalui bambu yang ditegakkan dengan jarak bambu ke matanya 3 m dan jarak bambu ke tiang bendera 12 m. Ketika diperhatikan ternyata daerah yang terbentuk antara pengamatan tiang bendera dengan ranting bambu adalah dua segitiga siku-siku yang sebangun. Berapakah hasil pengamatan tinggi tiang bendera tersebut? Gambar 2.1 Segitiga sebangun
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU “Mari Kita Selesaikan” Ilustrasi dari masalah 2.1 Gambar 2.2 Kesebangunan Berdasarkan gambar disamping, dengan menggunakan perbandingan dari dua segitiga yang sebangun tersebut diperoleh ketinggian dari tiang bendera. Karena segitiga ABC dan segitiga DEC sebangun maka diperoleh: Jadi, tinggi tiang bendera tersebut adalah 8 m Gunakan teorema phytagoras sehingga diperoleh :
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU Berdasarkan segitiga ABC dan segitiga DEC maka, diperoleh tabel perbandingan dibawah ini:
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU “Ayo Membaca” Gambar 2.3 Definisi Masalah 2.1 Pada gambar tersebut, diketahui Depan titik A = disebut sisi depan sudut . Depan titik B = disebut sisi samping sudut . Depan titik C = disebut sisi miring (hipotenusa). Dari ketiga sisi segitiga siku-siku ABC tersebut, dapat ditentukan perbandingan –perbandingan trigonometri sebagai berikut. Definisi 2.1
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU “Ayo Diskusikan” komplotan kelinci yang berada di lubang tanah tempat persembunyannya melihat seekor elang yang sedang terbang dengan . Jika elang dan kelinci berjarak 15 m. Tentukan berapa tinggi elang dari atas permukaan tanah! Penyelesaian: Diketahui : jarak elang dan kelinci 15 m Sudut 60 Ditanya : Tinggi elang dari permukaan tanah? Alternatif Jawaban: Sketsa gambar Misalkan tinggi tembok = x Jadi, tinggi elang dari permukaan tanah adalah 7,5 Contoh Soal :
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU “Ayo Mengerjakan” Sarah berdiri dengan jarak 80 m dari gedung. Jika jarak mata Sarah dengan tanah adalah 150 cm sedangkan tinggi gedung 81,5 m. Tentukan berapa besar sudut elevasi yang terbentuk dari pengamatan Sarah? Sebuah tongkat pramuka dengan panjang 12 m bersandar pada tembok ruangan OSIS di sekolah. Jika tongkat itu membentuk sudut 45° dengan lantai. Tentukan jarak ujung tongkat dengan tembok? Seorang anak bersama orang tuanya sedang bermain layang-layang di belakang halaman rumah. Panjang benang yang digunakan 15 m dan tinggi anak 150 cm. Jika antara benang dengan garis horizontal membentuk 30°. Tentukan ketinggian layang-layang tersebut dari permukaan tanah? 1. 2. 3. SOAL
Kegiatan 3 Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut-sudut Berelasi SUDUT-SUDUT BERELASI “Ayo Memahami” Masalah 3.1 Suatu ketika regu pramuka melakukan kegiatan pencarian jejak dengan bantuan kompas. Saat melakukan kegiatan pencarian jejak tersebut mereka berhenti di posko pemilihan jalur dan mendapatkan surat petunjuk untuk memilih jalur mana yang harus mereka lewati. Ternyata surat tersebut menyatakan jalur ke-2. Jika dilihat dari kompas keempat jalur tersebut berbelok berturut-turut 60° , 135° , 240° , 300° . Sebelum meninggalkan posko, regu pramuka tersebut diminta untuk mengubah semua sudut pada jalur tersebut kedalam sudut lancip. Sesuai dengan perkembangan teknologi. manusia mulai menciptakan alat sebagai penunjuk arah yang bisa digunakan meskipun cuaca sedang buruk. Alat itu bernama kompas. Kompas merupakan alat navigasi untuk menentukan arah berupa sebuah panah penunjuk magnetis yang bebas menyelaraskan dirinya dengan medan magnet bumi secara akurat.
Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut-sudut Berelasi “Mari Selesaikan” Masalah 3.1 Berdasarkan kompas yang kalian miliki. Kalian dapat melihat dan mengukur sudut yang dibentuk dari kompas tersebut . Setelah didapat sudut tersebut , hitunglah sudut lancip dari keempat jalur . Secara sistematis didapat : 60° = 60° 135° = 180°45° → 45° 240° = 270° 30° → 30° 300° = 270° 30° → 30° Nyatanya dalam menentukan sudut lancip tersebut , ada hubungannya dengan relasi sudut diberbagai kuadran . Pada kegiatan pembelajaran 2, kalian telah belajar mengenai nilai trigonometri sudut di kuadran pertama yaitu nilai trigonometri sudut yang besarnya antara 0° sampai 90° , sedangkan besar sudut dalam satu putaran adalah 360°. Perhatikan gambar berikut :
Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut-sudut Berelasi
“Ayo Diskusikan” Sarah dan doni menaiki sebuah wahana bianglala, mereka berdua memprediksi jarak permukaan tanah dengan pijakan kaki pada bianglala terendah adalah 1 m dan jarak tempat duduk dengan pusat bianglala adalah 10 m. satu kali permainan bianglala akan berputar berlawanan arah jarum jam sebesar 1.080 berapakah ketinggian sarah dan doni saat bianglala berhenti pada putaran 240 Contoh Soal : Penyelesaian : Diketahui : Jarak tanah dengan pijakan kaki bianglala = 1 m Jarak tempat duduk dengan pusat bianglala = 10 m Ditanya : Ketinggian pada putaran 240 ? Dijawab : -Putaran 240 Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut-sudut Berelasi
Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut-sudut Berelasi
“Ayo Mengerjakan” Suatu hari budi diajak oleh nenek ke bandara untuk pergi menjemput kakeknya. Budi melihat ada beberapa pesawat mulai terbang meninggalkan bandara. Ia mengamati pesawat tersebut yang terbang dengan ketinggian 80 km. sudut elevasi budi terhadap pesawat tersebut adalah sebesar. Tentukan jarak budi ke pesawat tersebut? Malam sabtu doni mengajak santi untuk pergi ke pasar malam. Santi menaiki wahana bianglala, dan doni mengira jarak pijakan kaki bianglala dan permukaan tanah terendahnya adalah 1 m dan jarak pusat bianglala dengan tempat duduk adalah 8 m. satu kali permainan bianglala akan diputar berlawanan dari arah jarum jam sebesar 1.080. berapa ketinggian santi saat bianglala berhenti pada putaran 210, 480. Tentukan nialai dari 1. 2. 3. SOAL Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut-sudut Berelasi
Glosarium Cosinus (Cos) : Perbandingan sisi segitiga yang terletak di samping sudut dengan sisi miring (dengan catatan segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya besarnya 90°. Koordinat Cartesius : Menentukan kedudukan titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (abses) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut. Kuadran : Seperempat lingkaran, yaitu setiap dari empat bagian suatu bidang datar yang terbagi oleh dua sumbu yang berpotongan tegak lurus. Perbandingan : Perluasan dari definisi dasar trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang hanya memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0°-90°) sudut berelasi : Perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan segitiga tersebut adalah segitiga siku- siku yang salah satu sudutnya besarnya 90°. Sinus (Sin) : Perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi samping sudut (dengan catatan segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya besarnya 90". Tangen (Tan/Tg) : Perbandingan sisi segitiga yang terletak di samping sudut dengan sisi miring (dengan catatan segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya besarnya 90°. Trigonometri : Fungsi yang menghubungkan besar perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku.