Catatan Aljabar Linear

Balikan (Invers) Matriks [#4]

• Contoh: A   2  5
Carilah invers dari  
 1 3 

Penyelesaian:

A 1  2(3)  1 3 5 1 3 5 3 5
(5)(1) 1 2 1 1  
1 2
2

(Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???)

aa11 aa12   x1   bb1 
  x 

 21 22   2   2 

Aljabar Matriks dan Mencari Matriks Balikan

aa11 aa12   x1   bb1 
  x  

 21 22   2   2 

MATRIKS OPERASI MATRIKS

Dalam kuliah hari ini akan dipelajari pokok-pokok
bahasan lanjutan tentang matriks, yaitu:

 Matriks dan operasimatriks
 Aljabar matriks
 Matriks Elementer
 Cara mencari matriks balikan (Invers)

Matriks [#01]

Diberikan matriks-matriks seperti di bawah ini:

A  10 2 34; B  01 2 43; C  10 2 3 22; D  14 1 3 86
2 2 2 4 2 3
    

5 1 3 5 1 3 5 1 3 7 0 3 5 8

 Matriks A dan matriks B dikatakan sama (identik) karena
matriks- matriks tersebut mempunyai ordo yangsama dan setiap
elemen yang seletak sama.

 Karena ( A dan B) atau ( C dan D) adalah 2 buah matriks yang

mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B atau C + D

adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen-elemen ( A dan B ) atau
( C dan D ) yangseletak.
 Begitu pula dengan hasil selisihnya.
 Matriksyangmempunyaiordoberbedatidakdapatdijumlahkan
aatudikurangkan.

Matriks [#02]

 Untuk setiap A berlaku A + ( 

A ) = 0.

 Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang

berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k

kali elemen A yang seletak.

 Jika k sebarang skalar maka k A = A k adalah matriks

yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap

elemennya dengan k.

 Negatif dari A atau A adalah matriks yang diperoleh dari

A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan 1 .

Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan
matriks:

a.) A + B = B + A
b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

c.) k ( A + B ) = k A + k B = ( A + B ) k , k = skalar

Matriks

Sifat-sifat yang berlaku dalam operasi penjumlahan dan
pengurangan matriks:

(a) A + B = B + A (sifat KOMUTATIF)
(b) (A + B) + C = A + (B + C) (sifat ASOSIATIF)
(c) k (A + B) = k A + k B (perkalian dengan skalar)

(d) ( + ) A =  A +  A (perkalian dengan skalar)

(e) A – A = A + (–A) = (0) (sifat ASOSIATIF)
(f) A (B + C) = A B + A C (sifat DISTRIBUTIF)
(g) (A + B) C = A C + B C (sifat DISTRIBUTIF)

(h) (A B) C = A (B C) (sifat ASOSIATIF)

Pada umumnya:

 ABBA
 A B = 0; tidak berakibat A = 0 atau B = 0
 A B = A C; tidak berakibat B = C

Contoh Penjumlahan Matriks

A2x3  5 6 7 dan B2x3  6 7 4
8 3 4 1 9 2

maka

C2x3  A2x3  B2x3

C  5 6 7  6 7 4  11 13 11
2x3 8 3 4 1 9 2 9 12 6 

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks dengan Skalar:

Jika k sebarang skalar, maka k A = A k adalah matriks hasil dari A
yang setiap elemennya dikalikan dengan k .

Perkalian Matriks dengan Matriks:

Hasil kali matriks A yang ber-ordo (orde) m  p dengan matriks B

yang berordo p n dapat dituliskan sebagi matriks yang baru, sebut

C = cij  berordo m  n dimana

cij  ai1  b1j  ai 2  b2 j   aip  bpj

Syarat perkalian Matriks dengan Matriks:
Jika matriks Amn dan matriks B pq dikalikan, maka:

 Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya baris matriks B,

sehingga n  p

 Matriks hasil perkalian antara A dan B adalah matriks dengan ordo mq
 Perkalian dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali setiap elemen baris matriks

A dengan setiap elemen kolom matriks B yang sesuai.

Contoh Perkalian Matriks

Diberikan berbagai matriks seperti di bawah ini:

A  1 2 3; 1 3 1 2 3 D  12 0 15; 4 1 3 8
5 1 3 B  0 4; C  0 2 4; 3 2 3 E  1 2 3 6
3 3   8
5 5 1 2 4 7 0 3 5
2

Maka, di antara operasi-operasi perkalian matriks berikut ini:

 A × B dapat dilakukan, karena ordo matriks A adalah 2× 3 dan ordo matriks
B adalah 3×2 , kolom matriks A sama dengan baris matriks B .

 A ×C dapat dilakukan, karena ordo matriks A adalah 2× 3 dan ordo matriks
C adalah 3 ×3 , kolom matriks A sama dengan baris matriks C.

 B × C tidak dapat dilakukan, karena ordo matriks B adalah 3×2 dan ordo
matriks C adalah 3×3 , kolom matriks B tidak sama dengan barismatriks C.

 C × D tidak dapat dilakukan.

 C × E dapat dilakukan.

 D × E dapat dilakukan.

Ilustrasi Perkalian Matriks

A  1 2 3 1 3 1 2 3
5 1 3 B  0 4 C  0 2 4
3
5 5 1 3

Ordo 2× 3 Ordo 3 ×2 Ordo 3 ×3

Maka, ilustrasi perkalian matriks berikut ini:

 A ×B dapat dilakukan: 2x3 3x3
3x3
 B×C tidak dapat dilakukan: 3 x 2

Hasil Perkalian Matriks

Diberikan matriks: 1 2 3 B  01 34; C  10 2 43
A 1 ;    2 

5 3 5 3 5 1 3

Maka, hasil perkalian matriks-matriks terkait di atas adalah:

1 2 3 1 3 11  2 0  3 5 1 3  2 4  3 3
A × B=   4
 0   

5 1 3   51 1 0  3 5 5 3  1 4  3 3
5 3

 16 20
20 28

1 2 3 1 0  15 2  4 3 3  8  9 
1 2 3

A × C = 5 1 3  0 2 4  5  0 15 10  2  3 15  4 9
5 1 3

16 9 20
 20 15 28

Perkalian Matriks menggunakan MS-Excel

A  1 2 3 1 3 1 2 3
5 1 3 B  0 4 C  0 2 4

Ordo 2×3 5 3 5 1 3

Ordo 3×2 Ordo 3×3

Cobalah, perkalian matriks berikut ini:

Hasil Hasil ?

Matriks Bujur-Sangkar Istimewa

(a). Bila A dan B merupakan matriks-matriks bujur-sangkar sedemikian
sehingga AB = BA, maka A dan B disebut COMMUTE (merubah).

(b). Bila A dan B sedemikian sehingga AB = -BA, maka A dan B
disebut ANTI COMMUTE.

(c). Matriks M dimana Mk+1 = M untuk k bilangan bulat positif, disebut
matriks PERIODIK.

(d). Jika k bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga Mk+1 = M,
maka M disebut PERIODIK dengan PERIODE k.

(e). Jika k = 1 sehingga M2 = M, maka M disebut IDEMPOTEN.
(f). Matriks A dimana Ap = 0 untuk p bilangan bulat positif disebut

dengan matriks NILPOTEN.
(g). Jika p merupakan bilangan positif bulat terkecil sedemikian hingga

Ap = 0, maka A disebut NILPOTEN dari indeks p.

Diberikan berbagai matriks berikut ini:

A  1 2 3; 1 3 1 2 3 D  12 3 15; 4 1 3 8
5 4 3 B  2 4; C  1 2 4; 3 2 3 E  1 2 3 6
 9
5 3 5 1 3 2 4  1 3 5
2 7

Hitunglah:

 A×B

 A ×C

 B×C

 C×D

 C×E

 D×E

Aljabar Matriks Elementer

Definisi:

Matriks A berukuran m  n ialah suatu susunan atau himpunan
angka dalam persegi empat dengan ukuran m  n , sebagai berikut:

 a11 a12 aa1n 
a a
2n 
A   21 22 a atau  A  aij i1,2, ,m
 j1,2, ,n
a a mn 

 m1 m2

Untuk menyatakan elemen matriks A yang ke (i,j), yaitu aij,
digunakan notasi (A)ij . Ini berarti aij = (A)ij.
Bila m  n , maka matriks disebut sebagai matriks bujur sangkar

berukuran m atau n.

T a po e pada Matriks

Transpose matrik A dinotasikan AT atau A diperoleh dengan
cara menukar elemen baris ke i dari matrik A menjadi elemen
kolom ke i. Bila matrik A berukuran m  n maka A berukuran

m  n dan elemen A yang ke (i,j) adalah aji; dapat pula
dinyatakan ( A )ij = (A)ji . Berikut ini adalah contoh matrik A ,

1 2 3 4  1 11 5 4 
11 13 23 34 2 13 18 14
A 31 , A  3 23 28 25
 5 18 28 4 34 31 37

 4 14 25 37

 b11 b12 b1n  B  bb11 b21 bm1 
 b b  12 b b
B  b  ,  m2
 21 22  b1n 22
2n 
bm 2 b2n bmn 
 
bm1 bmn 

Operasi Trace pada Matriks Bujur-Sangkar

Trace didefinisikan hanya pada matriks bujur-sangkar. Bila
matriks A berukuran mxm maka trace A, dinotasikan tr(A), adalah
jumlah elemen diagonal matriks A,

m

tr(A) =  aii

i 1

Matriks A berukuran mxn dan B berukuran nxm, maka matriks AB
berukuran mxm. Berlaku:

trace (AB) = trace (BA)

Penjabaran: m m mn nm

tr  AB   ( AB)ii   (A) )i .   aijbji    bji aij
i 1 i 1 j1 j1 i 1
i1 (B).i

nn

 (B) j. ( A). j   (BA) jj  tr(BA)
j 1 j 1

Jadi : tr(AB) = tr(BA)

Aljabar Matriks Elementer

Matriks berukuran m 1 disebut vektor kolom dan berukuran 1n
disebut vektor baris.

Contoh:

 a  aˆ   a  , suatu vektor kolom
 1 
 
a
2


am 

 ai menybaˆtakanbko,mbpo, nen, a ke i. suatu vektor baris
b
,

b 1 2 n

bi menyatakan komponen b ke i.

 A menyatakan vektor baris ke i dalam matrik A .
 A menyatakan vektor kolom ke j dalam matrik A .

Berdasarkan matrik A seperti yang tercantum
pada definisi di atas, sebutkan posisi dari elemen-
elemen matriks berikut:

 (A)i.
 (A)1.
 (A)2
 (A)m.
 (A).j
 (A).1
 (A).2
 (A).n

Berbagai Jenis Matriks (#1)

1. Matrik Diagonal

Elemen diagonal dari matriks A (khusus untuk matriks

bujur sangkar) adalah: a11 , a22 ,…, amm .

Bedakanlah dengan vektor kolom aˆ yang memiliki m

komponen, yang dapat dituliskan sebagai berikut:

 a1
a2 
 


an 

Bila semua elemen selain a11 , a22,…, amm bernilai 0

(nol), maka A disebut matriks diagonal.

A = diag( a11 , a22 ,…, amm ) menyatakan matriks diagonal
dengan elemen diagonal a11, a22, ... , amm.

Berbagai Jenis Matriks (#1)

Contoh Matrik Diagonal:

3 0 0
0 0
1. A  0 2 1
0

5 0 0
0 0
2. B 0 0 0
0

3.  100 0 0 0 
C 1 0 0 
0 2 0
 

0 0 0 2

Berbagai Jenis Matriks (#2)

2. Matrik Identitas

Bila aii  1 , sedangkan lainnya bernilai 0 (nol) untuk

i  1, 2, , m , maka A disebut matriks identitas

berukuran m , dinotasikan: Im atau I .

Perhatikan juga penulisan elemen-elemen matriks
diagonal di bawah ini, bila dalam notasi matrisial ( DA )
ataupun dalam notasi vektorial ( Da ):

 DA  diag(a11 , a22 ,…, amm )

D  a011 0 00   1 0 0
A  a22  0 1 0
0
  0 
amm  0 1
 0

Berbagai Jenis Matriks (#3)

 Da diag(a1, a2 ,…, am )

a01 02 0   10 0 00
D  a 0   1 
1
 
 0 0 am  0 0

Bila
A  diag(a1 , a2 ,…, am ) dan

b adalah skalar,

maka

Ab  diag(ab , ab ,…, ab ) .

12 m

Berbagai Jenis Matriks (#4)

Bila A = Im , maka akan terdapat vektor-
vektor e1, e2 , , em , yang masing-masingnya
menyatakan suatu vektor dengan komponen
ke 1, 2, ... m bernilai 1, sedangkan
komponen yang lain bernilai 0, dinyatakan
sebagai berikut:

1 0 0

e1  0 , e2  1 , , em  0

  

0 0 1

Berbagai Jenis Matriks (#5)

3. Matriks Segitiga

Matriks segitiga ialah matriks dengan elemen di atas
atau di bawah diagonal bernilai 0. Matriks segitiga terdiri
dari dua macam, segitiga atas dan segitiga bawah.

Disebut segitiga atas bila yang bernilai 0 adalah semua
elemen di bawah diagonal, dan segitiga bawah bila
semua yang bernilai 0 di atas diagonal.

Contoh matrik segitiga atas (disebut: P ) dan segitiga
bawah (disebut: Q ) adalah sebagaiberikut:

a011 a12 aa1m   a11 0 0 
P a  a a 0

 22 2m  dan Q   21 22 
 0  
0 amm  am1 am 2 amm 

Berbagai Jenis Matriks (#6)

3. Matriks dan Notasi Lain
 0 menyatakan skalar bernilai 0.

 0 0ˆ atau 0 menyatakan vektor dengan
atau
semua komponennya bernilai 0.

 menyatakan matriks dengan semua

0

elemennya bernilai 0.

 11ˆ atau 1 menyatakan vektor dengan
atau

semua komponennya bernilai 1.

 1m

menyatak an vektor berukuran m komponen
yang semuanya bernilai 1.



Definisi Matriks Balikan (Invers)

Definisi:

1. Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang

berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I ,

maka A disebut dapat dibalik dan B disebut balikan (invers) dari A.

2. Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.

Contoh:

B   3 5  adalah invers dari A   21 35
1 2
 

karena 2 1 0
 1 0 1
AB  35  3 5    I dan
1 2
    
1 0
BA   3 52 21 35  0 1  I
1

   

Sifat Balikan Matriks

Jika A dan B adalah matriks-matriks yang
dapat dibalik dan berukuran sama, maka
berlaku:

 AB dapat dibalik, maka

  B1  A1

A B 1

Matriks SINGULAR vs Non-SINGULAR

 Matriks SINGULAR adalah matriks yang

nilai DETERMINAN-nya NOL

 Matriks Non-SINGULAR adalah matriks yang nilai

DETERMINAN- nya tak

NOL

Contoh:
Buktikan bahwa matriks A   2 8  adalah SINGULAR!

 0,5 2

Penyelesaian:

Determinan matriks A adalah

A  22  0,58
 4  4

0

Cara Mencari Matriks Balikan (ordo 2 x 2)

Khusus Matriks ordo 2 x 2:

 Jika A  a b  , maka matriks A dapat dibalik jika
 c d 
dkietahui

A atau a d  b  c  0 , dimana inversnya dapat dicari

dengan rumus:

A1  a  d 1 c  dc b 
b a

 

 d  a d b b  c 
a d  bc 
 

  a  d c b c a  d a b c 

 

Matriks Balikan ordo (2 x 2) dalam notasi baku

Khusus Matriks ordo 2 x 2:a12  , maka matriks A dapat dibalik
Jika A   a11
diketahui
a a 
 21 22 

jika A atau a11 a22  a12 a21  0 , dimana inversnya dapat

dicari dengan rumus:

A1  a a 1 a  aa22 aa12 
a 11 

11 22 12 21 21

 a a a22 a  a12 a 
a a a a

  11 22 12 21 11 22 12 21

 a  a a21a  a a  a a11a  a 

 11 22 12 21 11 22 12 21

Contoh Mencari Matriks Balikan ordo (2 x 2)

 Carilah invers dari matriks 35

A   21


 Penyelesaian:

A1  2(3)  1   3 5
(5)(1)  1 2 

1 3 5
 1  1 2

  3 52 
1


Matriks Balikan ordo (3 x 3)

Untuk mendapatkan matriks matriks balikan ordo (3 x 3) kita perlu
memahami matriks-matriks berikut :

 Matriks Kofaktor
 Adjoin
 Nilai elemen
 rumus invers Matriks ordo 3 x 3

Pelajari juga dari situs-situs berikut:

 http://javaandro.blogspot.com/2014/05/cara-mencari-invers-matriks-

ordo-3x3.html

 http://soulmath4u.blogspot.com/2014/03/invers-matriks.html
 http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear

Matriks Balikan ordo lebih tinggi

Secara umum, digunakan:

A1  1  adj  A   1 adjA

detA A

Namun, untuk mendapatkan matriks balikan dengan ordo yang
lebih tinggi dari (3 x 3), akan lebih rumit lagi dan dapat
dipastikan tidak praktis dan memerlukan waktu lama !

Mencari Matriks Balikan “ordo TINGGI” Menggunakan OBE

Prinsip:

 Caranya hampir sama dengan

metode penyelesaian SPL menggunakan

metode EG atau EGJ  E E I

 Relasi A1  E  E 2 1n
Umum:

k k 1

dengan E adalah matriks dasar (matriks

elementer, yaitu matriks yang diperoleh dari

matriks I dengan melakukan sekali OBE)

Prosedur Mencari Matriks Balikan Menggunakan OBE

 Jika diketahui matriks A berukuran persegi, maka cara

mencari inversnya adalah: mereduksi matriks A menjadi

matriks identitas dengan OBE dan terapkan operasi ini pada

matriks I

agar supaya mendapatkan A1 .

 Untuk melakukannya, sandingkan matriks

identitas I ke sisi
kanan matriks A , sehingga menghasilkan matriks berbentuk
A I  .

 Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas

kiri terreduksi menjadi I . OBE

ini akan membalik ruas kanan dari I menjadi

A1 , sehingga matriks akhir berbentuk I A1 

Mencari Matriks Balikan “ordo TINGGI” Menggunakan OBE

Contoh:

1 2 3
 2 3
Carilah invers dari matrik A  5 8
 0
1

Penyelesaian:

 1 2 31 0 0  b  2b  1 2 3 1 0 0  b3 2b2
 2 5 30 1 0  21  0 1 3 2 1 0 
1 0 80 0 1 0 2 1 0 1
b b 5

  31  

 1 2 3 1 0 0  b3   1 2 31 0 001 b13b3
 0 1 3 2 1 0   0 1 3 2 1 b  3b
 0 0 1 5 2 1   0 0 2
15

   23

 1 2 0 14 6 3  b  2b  1 0 0 40 16 9 
 0 1 0 13 5 3 12 0 1 0 13 5 3
 0 0 1 5 2 1  5 2 1
 0 0 1

Mencari Matriks Balikan “ordo TINGGI” Menggunakan OBE

Penyelesaian:

Dari matriks imbuhan berikut:

 1 0 0 40 16 9 
 0 1 0 13 5 3
 0 0 1 5 2 1

Diperoleh:

 40 16 9 
A1   13 31
 25 
 5

Mencari Matriks Balikan “ordo TINGGI” Menggunakan MS-Excel

Menggunakan prosedur: minverse()

-40 16 -3
13 -5 -1

-2

PR – Individu (untuk Minggu Depan)

Carilah harga-harga operasi matriks balikan berikut, periksalah

ulang jawabnya menggunakan fungsi “minverse()” dari MS-Excel:

(a). A   1 0 1  ; B   4 0 2 
1 1 2 1 2 3
1 0 1 2 1 0

 

(b). C   2 2 1 4  D   2 1 1 71
2 3 2 7 5 1 6 58
 ; 
 1 1 3 6  5 0 6
2 2 3 7  3 0 4

 

(c).  AB1 dan CD1

(d). AB1BA

 (e). CD1 D1C