คำนำ หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ฟิสิกส์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 นี้คณะผู้จัดทำ จัดทำขึ้นตามกลุ่มสาระการเรียนรู้วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี เพื่อให้ผู้อ่านหรือนักเรียนได้ศึกษาหาความรู้ อย่างเข้าใจเพื่อเป็นประโยชน์กับการเรียนรู้ในรายวิชาเพิ่มเติมวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คณะผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่า หนังสือเรียนเล่มนี้จะเป็นประโยชน์กับผู้อ่านหรือนักเรียนต่อการ เรียนรู้ในรายวิชาเพิ่มเติมวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี และเป็นส่วนสำคัญในการพัฒนาคุณภาพและมาตรฐาน การศึกษา กลุ่มสาระการเรียนรู้วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี หากมีข้อเสนอแนะหรือมีข้อผิดพลาดประการใด ทางคณะผู้จัดทำขอน้อมรับไว้และขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย คณะผู้จัดทำ นายนนทพัทธ์ศรีสวัสดิ์ นายสรยุทธ วัชราสิน นายศุภกร จิระอานนท์ นายกฤติน เลิศภัทรกิตติกุล นายพฤฒิพงศ์ นาพรม
สารบัญ เรื่อง หน้า งานและพลังงาน 1 งาน กำลัง 1 พลังงาน 2 กฎการอนุรักษ์พลังงาน 3 โจทย์งานและพลังงาน 4 โมเมนตัมและการชน 5 การดลและแรงดล 5 กฎการอนุรักษ์โทเมนตัม 6 การระเบิดและการติดแยกตัว 6 โจทย์โมเมนตัมและการชน 7 การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 8 นิยามการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 8 สูตร 8 วิเคราะห์ 9 โจทย์การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 10 การเคลื่อนที่แบบวงกลม 11 วัตถุเคลื่อนที่บนพื้นที่โค้งในแนวดิ่ง 11 การเคลื่อนที่บนผนังด้านในทรงกระบอกแล้วไม่ตกลงมา 12 การเลี้ยวโค้ง 12 การโคจรของดวงดาว 12 โจทย์การเคลื่อนที่แบบวงกลม 13 การเคลื่อนที่แบบหมุน 14 5 สูตรสมการเชิงมุม 14 ความสัมพันธ์ของปริมาณเชิงเส้นกับเชิงมุม 15 ทอร์กและโมเมนต์ความเฉื่อย 15 พลังงานจลน์ของการหมุน 16 โมเมนตัมเชิงมุม 16 โจทย์การเคลื่อนที่แบบหมุน 17
งานและพลังงาน งาน (Work) คือ ปริมาณของพลังงานที่เป็นผลมาจากแรงซึ่งกระทำต่อวัตถุก่อนจึงทำให้วัตถุดังกล่าวเคลื่อนที่ไปตามแนวแรง ได้ในระยะทางหนึ่ง ซึ่งในระบบเอสไอ (SI) งานเป็นปริมาณสเกลาร์ (Scalar) เช่นเดียวกับพลังงาน มีหน่วยเป็น นิวตันเมตร (N•m) หรือ จูล (J) สามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์ ดังต่อไปนี้ W = F x s เมื่อ W = งานที่เกิดขึ้นจากแรงกระทำ F = แรงที่กระทำต่อวัตถุ มีหน่วยเป็นนิวตัน (N) s = ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปตามแนวแรง มีหน่วยเป็นเมตร (m) ในทางฟิสิกส์งานจะเกิดขึ้นได้ต่อเมื่อมีแรงมากระทำต่อวัตถุ แล้วทำให้วัตถุมีการกระจัดอยู่ในทิศทางหรือในแนวเดียวกันกับแรง จากนิยามดังกล่าว งานที่เกิดขึ้นจะมีค่าเป็นบวก (+)เมื่อแรงและการกระจัดเป็นไปในทิศทางเดียวกัน โดยงานที่ได้จะมีค่าเป็นลบ (−)ต่อเมื่อแรงและการกระจัดเป็นไปในทิศทางตรงกันข้าม ขณะที่งานจะมีค่าเป็นศูนย์(0)หากแรงและการกระจัดเกิดขึ้นในระนาบซึ่งตั้งฉากต่อกันและกัน เนื่องจากแรงที่กระทำไม่สามารถทำให้วัตถุเคลื่อนที่ไปจากตำแหน่งเดิมได้ กำลัง (Power) คือ อัตราของงานที่ทำได้ในหนึ่งหน่วยเวลา โดยกำลังเป็นตัวชี้วัดความสามารถในการทำงาน ของทั้งเครื่องยนต์ มนุษย์ สัตว์ หรือสิ่งมีชีวิตอื่น ๆ โดยสามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์ ดังต่อไปนี้ P = W/t เมื่อ P = กำลัง มีหน่วยเป็นวัตต์(W) W = งานที่ทำได้มีหน่วยเป็นนิวตันเมตร หรือ จูล (J) t = ระยะเวลาของการทำงาน มีหน่วยเป็นวินาที(s) 1
พลังงาน (Energy) คือ ความสามารถในการทำงานของสิ่งมีชีวิต วัตถุ หรือสสารต่าง ๆ เช่น การหายใจ การ เคลื่อนที่ หรือการเปลี่ยนแปลงสถานะของสสาร กระบวนการเหล่านี้สามารถดำเนินต่อไปได้เพราะพลังงานใน ธรรมชาติ พลังงานเป็นปริมาณพื้นฐานของระบบ ซึ่งไม่มีวันสูญสลาย แต่สามารถเปลี่ยนไปอยู่ในรูปแบบต่าง ๆ ของพลังงาน ตาม “กฎการอนุรักษ์พลังงาน” (Law of Conservation of Energy) โดยเราจะเรียนเรื่องของ พลังงานกล ประเภทของพลังงานกล (Mechanical Energy) พลังงานศักย์ (Potential Energy : Ep) คือ พลังงานที่สะสมอยู่ในวัตถุหรือสสารที่หยุดนิ่งอยู่กับที่ โดย พลังงานศักย์สามารถจำแนกออกเป็น 2 ประเภท ได้แก่ พลังงานศักย์โน้มถ่วง (Gravitational Potential Energy) คือ พลังงานที่สะสมอยู่ในวัตถุ เนื่องจากแรง โน้มถ่วงของโลก เช่น พลังงานของน้ำในเขื่อน หรือ ก้อนหินบนภูเขาสูง ซึ่งทำให้พลังงานศักย์โน้มถ่วงสามารถ คำนวณได้จากความสัมพันธ์ ดังนี้ Ep = mgh พลังงานศักย์โน้มถ่วง มีหน่วยเป็นนิวตันเมตร หรือจูล (J) g = ความเร่งจากแรงโน้มถ่วงโลก มีค่าราว 9.8 เมตรต่อวินาทีกำลังสอง ( m s 2 ) (ในระดับม.ปลายส่วนใหญ่ ให้แทนค่า=10ได้เลย) h = ระยะความสูงของวัตถุ มีหน่วยเป็นเมตร (m) พลังงานศักย์ยืดหยุ่น (Elastic Potential Energy) คือ พลังงานที่สะสมอยู่ในวัตถุที่มีความหยืดหยุ่น โดย พลังงานจะสะสมอยู่ในรูปของการหดตัว บิดเบี้ยว หรือโค้งงอ จากการได้รับแรงกระทำ ก่อนมีแรงดึงตัวกลับ เพื่อคืนสู่สภาพเดิม เช่น สปริง ขดลวด หรือนาฬิกาไขลาน Eps = 1 2 kx 2 โดยเราจะหาค่า k หรือ x จากกฎ ของฮุกได้ ว่า F = kx พลังงานจลน์ (Kinetic Energy : Ek) คือ พลังงานที่เกิดขึ้นในขณะที่วัตถุกำลังเคลื่อนที่ เช่น การไหลของ กระแสน้ำ การบินของนก และการเคลื่อนที่ของรถยนต์ ซึ่งพลังงานจลน์สามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์ ดังนี้ Ek = 1 2 mv 2 พลังงานจลน์ มีหน่วยเป็นนิวตันเมตร หรือ จูล (J) 2
กฎการอนุรักษ์พลังงาน เป็นกฎในทางฟิสิกส์ที่กล่าวว่า พลังงานโดยรวมในระบบแยกส่วน หรือ พลังงานจะถูกอนุรักษ์ตลอดช่วงเวลา พลังงานที่เข้าไปในระบบใดระบบหนึ่ง จะเท่ากับพลังงานที่ส่งออกมามันทำได้แต่เพียงเปลี่ยนรูปไปเป็นพลังงาน รูปแบบอื่น Ex. เมื่อวัตถุตกจากที่สูงลงสู่พื้นดิน วัตถุจะอยู่สูงจากพื้นดินน้อยลง จึงมีพลังงานศักย์ลดลง แต่ขณะที่วัตถุตกลง สู่พื้นโลก วัตถุมีความเร็วเพิ่มขึ้น วัตถุจึงมีพลังงานจลน์เพิ่มขึ้น พลังงานศักย์ที่ลดลงจะเท่ากับพลังงานจลน์ที่ เพิ่มขึ้น นั่นคือ พลังงานศักย์เปลี่ยนรูปไปเป็นพลังงานจลน์ Ex. เมื่อโยนวัตถุขึ้นไปในแนวดิ่ง วัตถุจะมีความเร็วลดลง พลังงานจลน์ของวัตถุจึงลดลง แต่วัตถุอยู่สูงจากพื้น โลกมากขึ้น วัตถุจะมีพลังงานศักย์มากขึ้น พลังงานจลน์ที่ลดลงจะเท่ากับพลังงานศักย์ที่เพิ่มขึ้น นั่นคือ พลังงาน จลน์เปลี่ยนรูปไปเป็นพลังงานศักย์ สรุปได้ว่า - พลังงานกลทั้งหมดของวัตถุหนึ่งจะมีค่าคงที่เสมอ - Ek + Ep= ค่าคงที่ หรือพลังงานทั้งหมดของวัตถุหนึ่งจะเท่าเดิมเสมอ - การเปลี่ยนแปลงของพลังงานกลของวัตถุหนึ่งทั้งหมดจะเป็นศูนย์เสมอ ตามสมการ ∆Ek+∆Ep=0 - สมการอนุรักษ์พลังงานในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอกมากระทำกับวัตถุตั้งสมการ ΣΕก่อน=ΣΕหลังได้เลย - ในกรณีมีแรงภายนอกมากระทำกับวัตถุเราสามารถตั้งสมการได้ว่า ΣΕก่อน-wแรงภายนอก=ΣΕหลัง 3
โจทย์เรื่องงานและพลังงาน 1. นักเรียนคนหนึ่งถือของมวล 10 กิโลกรัม นั่งอยู่บนรถตู้ซึ่งแล่นไปบนถนนราบได้ระยะทาง 50 เมตร เด็กคน นี้จะ ทำงานได้เท่าใด 2. วัวตัวหนึ่งออกแรง 124 นิวตัน ลากเลื่อนไปบนพื้นราบ โดยแนวแรงทำมุม 30 องศา กับพื้น จงหางาน เนื่องจากแรงนี้เมื่อเลื่อนเคลื่อนที่ไปตามพื้นราบเป็นระยะทาง 0.50 กิโลเมตร 3. ออกแรง 3 แรง กระทำกับวัตถุ ดังรูป ถ้า F1 = 20 N, F2 = 5 N และ F3 = 6 N ทำให้วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ ระยะทาง 5 m ในแนวระดับ จงหา ก. งานของแรง F1 , F2 และ F3 ข. งานรวมของแรงที่กระทำกับวัตถุ 4. กราฟระหว่างแรงกับการเคลื่อนที่ไปตามพื้นราบลื่นของวัตถุเป็น ดังรูป จงหางานที่กระทำโดยแรงที่ เคลื่อนที่ มวลไปตามทางเป็นระยะเท่ากับ 4.0 เมตร 5. ยิงลูกปืนมวล 10 กรัม เข้าไปในเนื้อไม้ด้วยอัตราเร็ว 300 เมตร/วินาที ลูกปืนหยุดนิ่งหลังจากที่เข้าไปในเนื้อ ไม้เป็นระยะ 5 เซนติเมตร จงหาแรงเฉลี่ยที่ลูกปืนกระทำต่อแท่งไม้ในหน่วยนิวตัน 6. รถทดลองมวล 0.5 กก. วิ่งเข้าชนสปริงด้วยอัตราเร็ว 2 เมตร/วินาที โดยสปริงมีค่านิจ 200 นิวตัน/เมตร และพื้นมีแรงเสียดทานกระทำต่อรถ 15 นิวตัน จงหาว่าสปริงจะหดเข้าไปกี่เซนติเมตร 4
โมเมนตัมและการชน ความหมายของโมเมนตัม คือ ปริมาณการเคลื่อนที่ของวัตถุ ซึ่งจะบ่งบอกถึงความพยายามที่จะเคลื่อนที่ไป ข้างหน้าของวัตถุ โดยปริมาณนี้จะขึ้นอยู่กับมวลและความเร็วของวัตถุในขณะนั้น ซึ่งเกิดจากการนำ มวล x ความเร็ว โมเมนตัมมีหน่วยคือ กิโลกรัมเมตร / วินาที หรือ นิวตัน x วินาทีซึ่งโมเมนตัมจะต่างจากพลังตรง ที่ว่าโมเมนตัมจะเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีทิศเดียวกับความเร็ว P = mv โดย P คือ ปริมาณโมเมนตัม m คือ มวลของวัตถุในขณะนั้น V คือ ความเร็วของวัตถุในขณะนั้น การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุ เราเรียกว่า การดล ซึ่งหาได้จาก มวล × การเปลี่ยนแปลงความเร็ว หรือ แรงที่กระทำต่อวัตถุ × เวลาที่แรงนั้นกระทำ การดลและแรงดล การดล หมายถึง ค่าของโมเมนตัมที่เปลี่ยนแปลงไป เนื่องจากวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงความเร็วและ โมเมนตัม และแรงที่ทำให้โมเมนตัมเปลี่ยนไป จะเรียกว่า แรงดล โดยสูตรหลักๆที่ใช้จะมีดังนี้ ∆p̅ = p̅2 − p̅1 ∆p̅ = mv̅ − mu̅ เมื่อ ∆p̅ คือการดล (กิโลกรัม x เมตร/วินาที) m คือ มวล (กิโลกรัม) v̅ คือ ความเร็วปลาย (เมตร/วินาที) u̅ คือ ความเร็วต้น (เมตร/วินาที) F̅ = ∆p̅ ∆t F̅ = mv̅−mu̅ ∆t 5
กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ในเรื่องพลังงานกล่าวไว้ว่า “ถ้าไม่มีแรงภายนอกมากระทำต่อระบบพลังงานอนุรักษ์” แต่สำหรับการชน อาจไม่ได้เป็นเช่นนั้น เพราะการชนพลังงานอาจจะไปอยู่ในรูปของ พลังงานเสียง พลังงานความร้อน และ พลังงานที่ทำให้รูปร่างของวัตุเปลี่ยนไป เรียกการชนที่หลังงานหายไปแบบนี้ว่า การชนแบบไม่ยืดหยุ่น แต่ถ้า การชนนั้นพลังงานไม่หายไปไหนเลย จะเรียกว่า การชนแบบยืดหยุ่น ดังนั้น กรณีที่เป็นการชนแบบยืดหยุ่น ให้ใช้ ∑ E ก่อน = ∑ E หลัง แต่กรณีที่เป็นการชนแบบไม่ยืดหยุ่น ให้ใช้ ∑ E ก่อน ≠ ∑ E หลัง แต่ทั้งนี้ การชนทั้งสองรูปแบบยังคงเป็นไปตามกฎอนุรักษณ์โมเมนตัม นั่นคือ ผลรวมโมเมนตัมก่อนชนจะมี ค่าเท่ากับผลรวมโมเมนตัมหลังชน โดยสูตรที่ใช้หลักๆที่ใช้จะมีดังนี้ ∑ p̅ ก่อน = ∑ p̅ หลัง ∑ mu̅ = ∑ mv̅ การชนกันแบบยืดหยุ่น ∑ Ekก่อนชน = ∑ Ekหลังชน การชนกันแบบไม่ยืดหยุ่น ∑ Ekก่อนชน ≠ ∑ Ekหลังชน ในกรณี ที่วัตถุสองก้อนเกิดการชนแบบยืดหยุ่น u̅̅1̅+v̅1 = u̅̅2̅+v̅̅2̅ u̅̅1̅ คือความเร็วก่อนชนของวัตถุก้อนแรก v̅1 คือความเร็วหลังชนของวัตถุก้อนแรก u̅̅2̅ คือความเร็วก่อนชนของวัตถุก้อนสอง v̅̅2̅ คือความเร็วหลังชนของวัตถุก้อน การระเบิดและการติดแยกตัว กรณีแรกโดยวัตถุเป็นชิ้นเดียวแล้วภายหลังแยกแตกเป็นหลายชิ้น หรือกรณีที่สองโดยวัตถุมีหลายชิ้นแล้ว ภายหลังติดอยู่รวมกัน ทั้งสองกรณีนี้จะไม่มีแรงภายนอกเข้ามากระทำเลย มีเพียงแค่แรงภายในเท่านั้น โม เมนตัมตอนแรกและตอนหลังจะมีค่าคงเดิมไม่เปลี่ยนแปลง ∑ p̅ ก่อน = ∑ p̅ หลัง ซึ่งเป็นการอนุรักษ์ โมเมนตัม 6
โจทย์โมเมนตัมและการชน 1. มวล 2m วิ่งด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที เช้าชนมวล 3m ซึ่งกำลังวิ่งด้วยความเร็ว 4 เมตร/วินาที ใน ทิศทางเดียวกัน ถ้าในการชนไม่มีการสูญเสียพลังงานจลน์ จงหาความเร็วของมวลทั้งสองหลังชนกัน ก. V1 = 2.8 , V2 = 8.8 (m/s) ข. V1 = 3.8 , V2 = 2.8 (m/s) ค. V1 = 3.8 , V2 = 8.8 (m/s) ง. V1 = 2.8 , V2 = 3.8 (m/s) 2. โมเมนตัมเป็นปริมาณชนิดใดและมีหน่ายเป็นอะไร ก. เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีหน่วยเป็น นิวตัน.เมตร/วินาที ข. เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีหน่วยเป็น กิโลกรัม.เมตร/วินาที ค. เป็นปริมาณสเกลาร์ มีหน่วยเป็น นิวตัน.เมตร/วินาที ง. เป็นปริมาณสเกลาร์ มีหน่วยเป็น กิโลกรัม.เมตร/วินาที 3. วัตถุมวล 20 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 72 กิโลเมตร/ชั่วโมง จะมีโมเมนตัมเท่าไร ก. 200 kg m/s ข. 250 kg m/s ค. 300 kg m/s ง. 400 kg m/s 4. รถเก๋งมวล 600กิโลกรัม กำลังวิ่งด้วยอัตราเร็ว 20 เมตรต่อวินาทีเข้าชนกับรถบรรทุกมวล 1400 กิโลกรัม ซึ่งจอดอยู่กับที่ปรากฏว่ารถทั้งสองคันเคลื่อนที่ไปด้วยกัน จงหา อัตราเร็วที่รถทั้งสองเคลื่อนที่หลังชน 5. ยิงปืนกล 60 นัดต่อนาที โดยลูกปืนมีมวล 3 กรัมและมีอัตราเร็วเท่ากับ 500 เมตรต่อ วินาทีจงหาแรงเฉลี่ย 6.ลูกบิลเลียด 2 ลูกวิ่งขาชนกันแบบยืดหยุ่น โดยลูกหนึ่ง m1 มีความเร็วต้นเท่ากับ 0.75 เมตรต่อวินาทีและอีก ลูกหนึ่ง m2 มีความเร็วเท่ากับ –0.43 เมตรต่อวินาทีจงหาความเร็วของลูก บิลเลียดทั้งสองหลังชน (m1=m2) 7
การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ หลายคนอาจจะคิดว่ามันยากเนื่องจากชื่อมันดูยากเวอร์ แต่เอาจริงแล้วมันง่ายกว่าที่คิดมากแถมเราเคย สัมผัสกันมาบ้างแล้วจากการเคลื่อนที่แนวตรงในบทที่1 แค่ในเรื่องนี้เราจะมาเรียนเกี่ยวกับเส้นโค้งกันบ้างแต่ ไม่ใช่วงกลมนะ เป็นการโค้งแบบพาราโบลา ที่นี้เราลองมาทำความรู้จักกับคำว่า“โพรเจกไทล์”กันก่อน คำว่าโพรเจกไทล์เกิดจากคำว่า“โพรเจก”ซึ่งแปลว่าภาพหรือเงาที่ตกบนฉากของวัตถุที่ขว้างหรือยิงออกไป คือ เวลาเราคำนวณเราไม่ต้องไปคิดที่เส้นทางจริง แต่เราคิดจากเงาของวัตถุที่วิ่งเป็นเส้นตรงเเทนจึงมาเป็นคำว่า “โพรเจกไทล์” เงื่อนไข อันที่จริงแล้วการเคลื่อนที่แบบโพรเจกโทล์ไม่ได้หมายความว่า วัตถุที่เคลื่อนที่แบบโค้งอย่างเดียว แต่เส้น โค้งต้องอยู่ในเงื่อนไขที่ว่า มีแรงคงที่ทั้งขนาดและทิศทางกระทำกับวัตถุตลอดเวลา ซึ่งทำให้วัตถุมีคยามเร่ง คงที่ด้วยนั้นเอง(เพราะงี้ภาพการเคลื่อนที่จึงเป็นรูปพาราโบลา) สูตร (มันเหมือน 5 สูตรการเคลื่อนที่แนวตรงเลย) แกน x : เนื่องจากเงาเป็นเส้นตรงกับพื้นระดับความเร่งคงที่(a=0,v คงที่) นั้นการคำนวณแกน x ก็มีเเค่ Vx = Sx t สมการเดียวหล่อๆเลย แกน y : เนื่องจากเป็นแกน y การที่จะให้เงาในแนวนี้มันวิ่งเป็นเส้นตรงด้วย v≠0,a คงที่ ถ้าเป็นวัตถุ ภายใต้แรงโน้มถ่วงมันก็คือแนวเส้นตรงที่ตั้งฉากกับพื้นโลกเหมือนดิ่งเสรี(free fall) ที่นี้ในการคำนวณเราจะใช้ 5สูตรของความเร่งคงที่ (ความเร็วไม่คงที่ได้แต่ความเร่งต้องคงที่ถึงจะใช้ได้) ในเมื่อเรารู้แล้วว่า ถ้าคำนวณได้ ก็ต้องแยกคิดเป็นสองแกนที่ไม่เกี่ยวกัน แต่! !!!! โจทย์มักจะถามความเร็ว ของวัตถุจริงๆ เราก็ต้องรู้ว่าความเร็วนี้เงาในแกนxเป็นเท่าไหร่ และแกน y เท่าไหร่ หรือถ้าเรารู้ความเร็วของ เงาในแกน x,y แล้ว และอยากรู้ความเร็วของวัตถุจริงๆ เราก็หาได้จากปีทาโกรัสธรรมดา V = √Vx 2 + Vy 2 8
วิเคราะห์ ถ้าเราลองวิเคราะห์จากสูตรหรือนิยามที่ผ่านมาเราจะเห็นตัวแปร ตัวแปรหนึ่งที่ไม่ขึ้นตรงกับแกนไหนเลย นั้นก็คือตัวแปร t (เวลา) เพราะที่เวลาคือตัวเชื่อมระหว่างแกน x และ y ข้อสังเกตโพรเจกไทล์เต็มรูป (มีทั้งขาขึ้นและขาลง) ข้อแรก รูปโพรโจกไทล์ทั้งขาขึ้นและขาลงมันจะสมมาตรกันแปลง่ายๆว่า มุม,ระนะทาง,เวลา,ความเร็ว มัน เท่ากัน เพราะฉะนั้นเราจะประหยัดเวลาทำได้เยอะมากถ้ารู้trick ข้อนี้ ข้อสอง ความเร็วต้นและทิศทางของความเร็วต้น จะเป็นตัวกำหนดรูปร่างเส้นทางการเคลื่อนที่ ว่าสงแค่ ไหน กว้างแค่ไหน ข้อสาม ถ้าอยากให้เคลื่อนที่ไปได้ไกลมากที่สุด จะขึ้นอยู่กับปัจจัยเรื่องของมุมและเวลาที่สิ้นสุด(ถ้าอยาก ให้ไกลสุด ต้องใช้มุม 45° ก็พอ) ข้อสี่ มาจากตรีโกณมิติ(จะได้เรียนตอนม.5) พบว่ามุมที่โคกัน จะไกลเท่ากัน**อาจจะงงกันหน่อย แต่จำ ได้จะประหยัดเวลาทำข้อสอบมากๆ) เกร็ดความรู้ กาลิเลโอ เป็นคนแรกที่อธิบายการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ได้อย่างละเอียด เขาได้อธิบายว่าถ้าจะศึกษา การเคลื่อนที่ของวัตถุแบบโปรเจกไทด์ได้อย่างละเอียด ต่อมา Niccolo Tartaglia พบว่าอันที่จริงแล้วการ เคลื่อนที่ แบบโปรเจกไทล์นั้น แนวการเคลื่อนที่เป็นรูปโค้ง ในขณะนั้นไม่มีใครสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเพราะ อะไร ต่อมากาลิเลโอ ได้อธิบายว่า การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ เป็นการเคลื่อนที่ ที่ประกอบด้วยการเคลื่อนที่ ในสองแนวไม่ใช่แนวเดียว โดยในแนวดิ่งจะมีแรงเนื่องจากแรงดึงดูดของโลกกระทำต่อวัตถุให้เคลื่อนที่ลง ด้วย ความเร่ง และในเวลาเดียวกับที่วัตถุถูกดึงลง โปรเจกไทล์ก็ยังคงเคลื่อนที่ตรงในแนวราบด้วยเขาแสดงให้เห็นว่า โปรเจกไทล์นั้นได้ จะประกอบด้วยการเคลื่อนที่ 2 แนว พร้อม ๆกัน โดยในแต่ละแนวนั้นจะเคลื่อนที่อย่าง อิสระไม่เกี่ยวข้องกัน และยังพบว่าเส้นทางการเคลื่อนที่ของโปรเจกไทล์จะเป็นรูปเรขาคณิต ที่เรียกว่า “พาราโบลา” 9
โจทย์การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 1. ก้อนหินถูกขว้างออกจากหน้าผาในแนวระดับ ด้วยความเร็วต้น 10 เมตร/วินาที ก้อนหินจะตกถึงพื้น ใน เวลา 8 วินาที ก้อนหินจะตกห่างจากจุดขว้างในแนวระดับ เป็นระยะเท่าใด 2. ลูกบอลลูกหนึ่ง กลิ้งตกลงมาจากโต๊ะพื้นราบ ซึ่งสูง 5 เมตร ถ้าลูกบอลกระทบพื้นตรงจุดที่ห่างจากขอบโต๊ะ ตามแนวระดับ 4 เมตร จงหาความเร็วของลูกบอลขณะหลุดจากขอบโต๊ะ มีค่าเท่าไร 3. นักรักบี้คนหนึ่ง เตะลูกรักบี้ขึ้นด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที ทำมุม 60 องศา กับแนวระดับ เขาจะต้องวิ่ง ด้วยความเร็วอย่างน้อยที่สุดเท่าไร จึงจะไปรับลูกรักบี้ที่เขาเตะออกไปเอง ได้พอดี ก่อนตกถึงพื้นดิน 4. ถ้าต้องการขว้างลูกบอลลูกหนึ่งจากพื้นราบให้ได้ระยะทางตามแนวราบเป็นสองเท่าของระยะสูงสุดตามใน แนวดิ่ง จะต้องขว้างลูกบอลทำมุมเท่าใดกับพื้นราบ 5. ลักษณะที่สำคัญของการเคลื่อนที่ในแนวโค้งแบบโพรเจกไทล์คืออะไร 6. นักขี่จักรยานยนต์ผาดโผน ต้องการจะขี่ข้ามคลองซึ่ง กว้าง 5 m ไปยังฝั่งตรงกันข้าม ถ้าเขาขับรถด้วย อัตราเร็ว 10 m/s ก่อนพ้นฝั่งแรก เขาจะข้ามได้โดย ไม่ชนฝั่งตรงข้าม h จะมีค่าได้มากที่สุดกี่เมตร 7. ชายคนหนึ่งยืนอยู่บนพื้นสนามราบ เขาขว้างลูกบอลไปในอากาศ ลูกบอลลอยอยู่ในอากาศ นาน 4 วินาที โดยไม่คิดแรงต้านของอากาศ ถ้าลูกบอลไปได้ไกลในแนวระดับ 60 เมตร ถามว่าความเร็วที่ใช้ขว้างลูกบอลมีค่า เท่าไร 10
การเคลื่อนที่แบบวงกลม ความเร็วเปลี่ยนทิศทางตลอดเวลา v ไม่คงตัวแต่อัตราเร็วอาจคงตัวหรือไม่ก็ได้ 1. แนว c (center) ในแนว c แรงลัพธ์ มีทิศทางเข้าสู่จุดศูนย์กลาง ทำให้เกิดความเร่งตั้งฉากกับความเร็วส่งผล ให้ ความเร็วเปลี่ยนทิศทาง สามารถหาขนาดความเร่งสู่ศูนย์กลางได้จาก ac = v 2 r สูตร แนว c คือ ∑F⃗ c = ma⃗ c , ∑Fc = mv 2 R = mω2R โดย v คือ ขนาดของความเร็วหรืออัตราเร็ว r คือ รัศมีของรูปวงกลมหรือเส้นโค้งส่วนหนึ่งของวงกลม 2. แนว t โดย หากแรงลัพธ์ในแนว t มีทิศเดียวกับความเร็ว อัตราเร็วเพิ่ม หากแรงลัพธ์ในแนว t มีทิศสวนทางกับความเร็ว อัตราเร็วลด หากแรงลัพธ์ในแนว t เป็นศูนย์ อัตราเร็วคงตัว ไม่เร็วขึ้นและไม่ช้าลง สูตร แนว t คือ ∑Ft ⃗⃗ = ma⃗ t แนวตั้งฉากระนาบ : ∑F⃗ = 0 3. อัตราเร็วเชิงมุม (ω) คือ มุมที่กวาดในเวลา 1 วินาที มีหน่วยเรเดียนต่อวินาที (rad/s) สูตรอัตราเร็วเชิงมุมคือ ω = θ t และ ω = v R ω = 2π T และ ω = 2πf 4. คาบ (T) คือ ช่วงเวลาในการเคลื่อนที่ 1 รอบ มีหน่วยวินาที (s) ถ้าเคลื่อนที่หลายรอบสามารถหาคาบโดย T = t จำนวนรอบ 5. ความถี่ (f) คือ จำนวนรอบในเวลา 1 วินาที มีหน่วยเฮิรตซ์ (Hz) ถ้าใช้เวลาหลายวินาทีสามารถหาความถี่โดย f = จำนวนรอบ t วัตถุเคลื่อนที่บนพื้นที่โค้งในแนวดิ่ง 1. เมื่อช้ากว่า (v น้อยสุด) จะร่วง 2. เมื่อเร็วกว่า (v มากสุด) จะหลุดจากโค้ง 3. ทำให้เคลื่อนที่ขึ้นบนโค้งได้ แรงที่ดันพื้น (N) ต้องมากกว่า น้ำหนัก (mg) N − mg = mv 2 R 4. ทำให้เคลื่อนที่ลงมาได้ น้ำหนัก (mg) ต้องมากกว่า N mg − N = mv 2 R V มากที่สุด ที่ยังไม่หลุดโค้งเกิดเมื่อ N=0 สูตร vมากที่สุด = √9R ถ้าเร็วกว่า v มากที่สุด จะหลุดจากโค้ง 5. N + mg = mv 2 R v น้อยที่สุด ที่ยังไม่ร่วง เกิดเมื่อ N=0 สูตร vน้อยที่สุด = √gR ถ้าช้ากว่า v น้อยที่สุด จะร่วงไม่สามารถเคลื่อนที่เป็นวงกลมครบรอบได้ 11
การเคลื่อนที่บนผนังด้านในทรงกระบอกแล้วไม่ตกลงมา 1. แรงสู่ศูนย์กลาง คือ N = mv 2 r 2. แนวตั้งฉาก คือ fs = mg ขณะที่ ωน้อยสุด แต่วัตถุยังไม่ตก 3. จากผนัง คือ fs = fs,max = µsN สูตร ωน้อยสุด = √ g µsR การเลี้ยวโค้ง 1. ขณะเลี้ยวโค้งมีแรงเสียดทานสถิตเป็นแรงเข้าสู่ศูนย์กลาง : fs = mv2 R 2. ขณะเลี้ยวโค้งเกือบไถล : fs = fs,max → μsmg = mvmax 2 R สูตร vmax = √μsRg 3. ขณะเลี้ยวโค้งต้องมีการเอียงตัวทำมุม θ กับแนวดิ่ง หรือเอียงระนาบของโค้งทำมุม θ กับแนวราบ สูตร tan θ = v 2 Rg การโคจรของดวงดาว 1. การโคจรเป็นวงกลมรอบดวงดาว โดยปกติมวลก้อนเล็กจะวนรอบมวลก้อนใหญ่ ใช้แรงโน้มถ่วงเป็นแรงเข้าสู่ ศูนย์กลางเป็น GMm R2 = mv2 R สูตร v = √ GM R 2. ดาวเทียมที่วงโคจรต่างๆ มีอัตราเร็วและคาบการโคจร (T) ต่างกันขึ้นอยู่กับรัศมีวงโคจร (R) สูตร ( T1 T2 ) 2 = ( R1 R2 ) 3 12
โจทย์การเคลื่อนที่แบบวงกลม 1. กล่องพลาสติกมวล 0.3 กิโลกรัม หมุนเป็นวงกลมสม่ำเสมอ บนพื้นผิวระดับลื่น กล่องผูกติดกับเชือกยาว 0.14 เมตร ซึ่งปลายข้างหนึ่งยึดไว้กับเข็มซึ่งปักไว้ที่ผิว ถ้ากล่องครบสองรอบต่อวินาที จงหาแรงที่เชือกกระทำ ต่อกล่อง 2. รถไต่ถังเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วสม่ำเสมอแบะวิ่งครบรอบได้ 5 รอบในเวลา 2 วินาที หากคิดในแง่ความถี่ของ การเคลื่อนที่ ความถี่จะเป็นเท่าใด 3. ดาวเทียมดวงหนึ่ง เคลื่อนที่รอบโลกด้วยวิถีเป็นวงกลมรัศมี r ถ้า R เป็นรัศมีของโลกและ g เป็นความเร่ง เนื่องจากแรงโน้มถ่วงที่ผิวโลก M เป็นมวลของโลก และ G เป็นค่านิจโน้มถ่วงสากลอัตราเร็วเชิงมุมของ ดาวเทียมคือเท่าไร 4. วัตถุมวล m ผูกด้วยด้ายที่มีมวลน้อยมากแล้วแกว่งให้วัตถุมวล m เคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวระดับ เส้นด้ายทำมุม θ กับแนวดิ่งความตึงเส้นด้ายมีค่าเท่าไร 5. ขณะที่รถเลี้ยวโค้งบนถนนราบด้วยรัศมีความโค้ง 245 m ลูกตุ้มซึ่งแขวนในรถเอียงทำมุม 45 องศากับ แนวดิ่ง ขณะนั้นรถวิ่งด้วยอัตราเร็วกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง 6. ถ้าลงโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์เป็นวงกลมและรัศมีของวงโคจรเพิ่มเป็น 2 เท่า อยากทราบว่าคาบของ การโคจรจะเพิ่มขึ้นกี่เท่า 7. รถกำลังเลี้ยวโค้งบนทางราบที่ไม่ได้ยกเอียงโดยที่โค้งมีรัศมี 20 เมตร ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่าง ล้อและถนนมีค่าเท่ากับ 0.2 และค่าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจล 0.16 อัตราเร็วสูงสุดที่คนขับเลี้ยวได้โดยที่ รถไม่ไถลออกนอกโค้งมีค่าเท่าไร 13
การเคลื่อนที่แบบหมุน การเคลื่อนที่แบบหมุนจะคล้ายกับการเคลื่อนที่แบบวงกลม แต่จะแตกต่างกันที่ลักษณะการเคลื่อนที่ ในการ เคลื่อนที่แบบวงกลมจะเป็นการที่มีวัตถุก้อนหนึ่งเคลื่อนที่แบบวงกลมรอบนอกหรือภายในวัตถุอีกก้อนหนึ่ง แต่ แบบหมุนนั้นจะเป็นการเคลื่อนที่รอบจุดศูนย์กลางของตัวเอง ที่นี้ที่ผ่านๆมาการเคลื่อนที่แบบต่างๆไม่ว่าจะเป็น เส้นตรง โปรเจ็กไทล์หรือแบบวงกลมเราไม่ได้พิจารณารูปร่างของตัววัตถุ แต่ในแบบหมุนนี้เราจะต้องพิจารณา รวมด้วย โดยของแข็งที่มีรูปร่าง,รูปทรงจะเรียกว่า ”วัตถุเกร็ง”และวัตถุที่เล็กมากๆ(ไม่สนรูปร่าง)เราจะเรียกว่าอนุภาค จะมองง่ายๆว่าวัตถุเกร็งเกิดจากอนุภาค รวมตัวกันมากๆ การที่วัตถุเกร็งหมุนรอบตัวเองก็หมายความว่าอนุภาคทั้งหมดก็จะหมุนไปพร้อมๆกันตามแกนหมุน ดังรูป ตัวแปร พอเรารู้ความหมายคร่าวๆแล้วก็ถึงเวลาเข้าสู่ตัวแปรที่บ่งบอกข้อมูล การกระจัดเชิงมุม (θ) เป็นปริมาณเวกเตอร์ที่บ่งบอกว่า หมุนไปมุมเท่าไร หมุนไปทางไหน มีหน่วยเป็นเรเดียน(rad) ถ้าเปรียบเทียบเป็นเชิงเส้นก็เหมือน การกระจัดsนั่นเอง (เราสามารถใช้”กฎมือขวา”ในการดูทิศของθได้ โดยงอสี่นิ้วตามการหมุนแล้วสังเกตนิ้วโป้ง) ความเร็วเชิงมุม (ω) เป็นปริมาณเวกเตอร์ที่บ่งบอกว่า วัตถุหมุนเร็วเท่าไหร่และหมุนไปทางไหน นิยามคือ การกระจัดเชิงมุมต่อหนึ่งหน่วยเวลา ω = s t (เหมือนv = s t ) ω มีค่ามากก็หมุนเร็ว,มีค่าเป็น 0 ก็ไม่หมุน, ติดลบก็หมุนกลับหลัง มีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาที(rad/s) ความเร่งเชิงมุม (α) เป็นปริมาณเวกเตอร์ที่บ่งบอกว่า วัตถุทันหมุนเร็วขึ้น,ช้าลง นิยามคือ ความเร็วเชิงมุมที่ เปลี่ยนไปต่อหนึ่งหน่วยเวลา α = ω t (เหมือน a = v t ) ถ้าหมุนเร็วขึ้นจะมีทิศเดียวกับω,ถ้าหมุนช้าลงจะมี ทิศตรงกันข้ามกับω,ถ้าหมุนเร็วเท่าเดิมหรือคงที่หมายความว่า α=0 มีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาที²(rad/s²) 5 สูตรสมการเชิงมุม เราทราบความหมาย ทราบตัวแปรแล้วต่อไปก็เป็นสูตร (เหมือนที่เคยเรียนมาทุกอย่างแต่เปลี่ยนจากเชิงเส้นเป็นเชิงมุม เพราะฉะนั้นสูตรมันจะเยอะหน่อยแต่ก็จะ คล้ายๆเดิม) 14
ตอนเรียนการเคลื่อนที่แบบ เส้นตรงเราก็มี5 สูตรการ เคลื่อนที่เมื่อความเร่งคงที่ ใน การเคลื่อนที่เชิงมุมก็มีเหมือนกัน โดยจะลอกมาจาก5สูตรการ เคลื่อนที่เลย (ใช้ได้เมื่อความเร็วเชิงมุมไม่คงที่(ω) แต่ความเร่งเชิงมุมคงที่(α)) **จะมีอีกสูตรหนึ่งของเชิงเส้นแต่ไม่เคยนิยมเขียนนักคือ s = vt − 1 2 at 2 → θ = ωt − 1 2 αt 2 ** ถ้าเราจำเชิงเส้นได้เราก็สามารถเขียนเชิงมุมโดยที่ไม่ต้องจำเลยก็ยังได้ ที่นี้เรามาดูความสัมพันธ์ของเชินเส้นกับ เชิงมุมกัน ความสัมพันธ์ของปริมาณเชิงเส้นกับเชิงมุม ปริมาณเชิงเส้นกับเชิงมุมเราสามารถแปลงไปมาได้ หากเรารู้ระยะจากจุดหมุนจนถึงจุดสนใจ(r)เป็นตัวเชื่อม มีสูตรดังนี้ s = θr , v = ωr , a = αr (จะจำว่า สำหรับ s , v , a เชิงเส้น = เชิงมุม × r) ก็ได้ ทอร์กและโมเมนต์ความเฉื่อย เเรงเชิงมุม นิยมเรียกว่า “ทอร์ก (τ) หรือ โมเมนต์(Μ)” เป็นปริมาณเวกเตอร์ที่ทำให้วัตถุเปลี่ยนสภาพการ หมุน(ทำให้เร็วขึ้น,ช้าลง)ถ้ามีทอร์กก็ต้องมีความเร่งเชิงมุม เหมือนของเชิงเส้นเลย โดยมีสูตร τ = r × F หรือหาจากสมดุลการหมุน พูดถึงแรงเชิงมุมแล้วจะไม่มีมวลเชิงมุมได้ยังไง มวลเชิงมุมจะหมายถึงปริมาณที่ต้านทานการหมุน นิยมเรียกว่า”โมเมนต์ความเฉื่อย (Ι)”โดยตั้งสมการได้เป็น Στ = Ια (มาจาก ΣF = ma) เป็นปริมาณ เวกเตอร์ที่บ่งบอกว่ามันหมุนง่าย,หมุนยาก สิ่งขึ้นอยู่กับว่าแกนหมุนอยู่ตรงไหนและมีปัจจัยเรื่องรูปทรงของวัตถุ มาเกี่ยวของด้วย มวล(m)ก็มีผลต่อค่า I ด้วยเช่นกัน ถึงแม้ว่าวัตถุทั้งสองรูปทรงเดียวกันและจุดหมุนเดียวกัน แต่ถ้ามวลไม่ เท่ากันค่า I ก็ไม่เท่ากันอยู่ดี วัตถุมีมวลมากก็หมุนยากแต่ถ้ามวลน้อยก็จะหมุนง่าย สูตรการหาความเฉื่อย Ι = สำหรับวัตถุที่ไม่สนใจรูปทรงหรือวัตถุที่ขนาดเล็กเคลื่อนที่รอบจุดหมุน หาจากการ(integrate)ซึ่ง จะเรียนระดับที่สูงขึ้น ดังนั้นจึงมีสูตรสำเร็จมาให้ซึ่งต้องจำ 15
พลังงานจลน์ของการหมุน เรื่องงานที่ได้เรียนไป วัตถุเคลื่อนที่หรือเลื่อนตำแหน่งเฉยๆซึ่งไม่ได้หมุน แต่ในเรื่องนี้พลังงานจลน์ปกติจะ เปลี่ยน เป็นพลังจลน์เนื่องจากการหมุนและสมการจะเปลี่ยนไปเป็นแบบนี้Ek= 1 2 mv² → Eω= 1 2 Ιω² เพราะฉะนั้นในเรื่องนี้เวลาจะพิจารณาพลังงานทั้งหมดหรือการอนุรักษ์พลังงานจะต้องพิจารณาทั้ง 5 พลังงาน ΣΕ = mgh + 1 2 kx 2 + 1 2 mv 2 + 1 2 Ιω2 + Fs โมเมนตัมเชิงมุม นิยามของโมเมนตัมเชิงมุม L=Iω (มาจาก P=mv) มีหน่วย kg.m²/s และมีทิศเดียวกับω ในเชิงเส้นอนุรักษ์โมเมนตัม ΣΡก่อน=ΣΡหลัง ในเชิงมุมก็เหมือนกัน Lก่อน=Lหลัง เรื่องอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม คคงจะไม่ได้อยู่ในรูปการชนหรือการระเบิดแต่จะเป็นในรูปแบบของโมเมนต์ ความเฉื่อยเปลี่ยนแล้วอัตราเร็วเชิงมุมเปลี่ยนตาม เกร็ดความรู้ การหมุนของโลก ก็เป็นการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบแกนของโลกซึ่งกินเวลาประมาณหนึ่งวันหรือ 23 ชั่วโมง 56 นาทีและ 3,5 วินาที และในหนึ่งปีไม่ได้มี365 วันแบบแป๊ะๆ แต่จะมีเกินมาหน่อยประมาณ 365.24,365.25 วันต่อปีเพราะเหตุนี้ทุกๆ 4 ปีจึงมีการทดวันที่ 28 กุมภาพันธ์ขึ้นมา 16
โจทย์การเคลื่อนที่แบบหมุน 1. ทรงกลม A และ B วางอยู่บนระนาบระดับ เมื่อเริ่มต้นเคลื่อนที่พร้อมกันทรงกลม A เคลื่อนที่เป็นแนว วงกลมบนระนาบด้วยอัตราเร็วคงที่ส่วนทรงกลม B ถูกโยนขึ้นในแนวดิ่งด้วยอัตราเร็วเริ่มต้น 25 เมตร/วินาที ถ้าทรงกลม B ตกถึงพื้นระนาบ เมื่อทรงกลม A เคลื่อนที่ครบ1รอบพอดี ทรงกลม A เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว เชิงมุมกี่เรเดียนต่อวินาที 1. 2 5 π 2. 3 5 π 3. 4 5 π 4. π 2. ทรงกระบอกเส้นผ่านศูนย์กลาง 0.12 เมตร เมื่อดึงเชือกที่พันรอบทรงกระบอกด้วยแรง 9 นิวตัน พบว่า เชือกมีความเร่ง 0.36 เมตร /วินาที² จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอก 3. วงแหวนมวล 4 kg เส้นผ่านศูนย์กลาง 1 m กลิ้งขึ้นพื้นเอียงโดยไม่ไถล จุดศูนย์กลางมวลมี ความเร็วต้น 10 m/s จะขึ้นไปได้สูงสุดในแนวดิ่งเป็นระยะทางกี่เมตร (Ιวงแหวน = mr²) 4. วัตถุ 1 kg และ 4 kg ติดอยู่กับปลายทั้งสองของโลหะ เบา ยาว 1 เมตร เมื่ออกแรงตั้งฉากในแนวระดับ 37 N ผลักคานที่จุด C ดังรูป จะทำให้คานโลหะหมุนรอบ แกน AB ด้วยความเร่งเชิงมุมกี่ เรเดียน/วินาที² 5. วัตถุมวล 50 g ผูกติดกับปลายเชือกซึ่งลอดผ่านรูหลอดเล็กๆ ปลายเชือกข้างหนึ่งดึงยึดไว้ด้วยแรง ค่าหนึ่ง แล้วเหวี่ยงให้เป็นวงกลมรัศมี 1 m ถ้าดึงเชือกให้รัศมีวงกลมเป็น 50 cmทันที วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว เชิงมุมเท่าไรในหน่วย rad/s ถ้าเดิมมีอัตราเร็วเชิงมุม 3 rad/s 6. ถ้าดาวเทียมมวล m โคจรรอบโลกมวล M เป็นวงกลม โดยมีรัศมีวงโคจรเท่ากับ R ขนาดของโมเมนตัม เชิงมุมของดาวเทียมรอบจุดศูนย์กลางโลกเป็นเท่าไร เมื่อ G เป็นค่าคงตัวความโน้มถ่วง 1. m√GMR 2. M√GmR 3. m √GMm √R 4. √GMmR 17
บรรณานุกรม - ชวลิต เลาหอุดมพันธ์. 2562. ฟิสิกส์ขนมหวานเล่ม 1. พิมพ์ครั้งที่ 17. กรงุเทพฯ:โรงพิมพ์จุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลัย - ณัฐพล แซ่โง้ว. 2565. สมุดโน้ตฟิสิกส์ม.4. พิมพ์ครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ:โรงพิมพ์บริษัท ซี พริ้นท์ จำกัด