จำนวนเชิงซ้อน

คณิตศาสตร์
นส.ณฐั ชยา สทุ ธศิ ริ มิ งคล ม5/1 เลขท 23

จำนวนเชิงซ้อน

โลกของจำนวน

จำนวนเชงิ ซอ้ น

จำนวนจริง จำนวนจนิ ตภาพ

จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ

จำนวนเต็ม จำนวนตรรกะทไมใ่ ชจ่ ำนวนเต็ม

จำนวนลบ จำนวนเต็มศนู ย์ จำนวนบวก หรอื จำนวนนับ

จจปำนำสรนรนกัมะะวบวคกจนนำบาณวจรทจนัตินิทำไศนไตมถมาภว่มือสม่นาอี กตีคพยจำรำรจู่เ์ตเนงิรปพองิ ิดน็ยบใขารนอยน ะยชาบจู่ใมวี บานิตแกก้ / นิยามสว่ นจินตภาพ i ว่า i = -1
\ z = a + bi = ( a , b )

แทน z เป็นจำนวนเชงิ ซอ้ นใดๆ
แทน a เปน็ จำนวนจริง
แทน bi เป็นจำนวนจินตภาพ

จำนวนเชงิ ซ้อน

- a = Re(z) เป็นส่วนจรงิ ของ z และ b = Im(z) เปน็ ส่วนจนิ ตภาพของ z

- จนิ ตภาพแท้ ไมม่ ีส่วนจรงิ เลย เช่น z = 2i จนิ ตภาพไมแ่ ท้ มีส่วนจรงิ
เช่น z = 2+i Re(z) = 2 Im(z) = 1

ค่าของ i n (วน loop ทค วรร้)ู

iา า-
=

i l 11 )2 1)l=
=
า- า- -

P= I 2. i " )( iา= = -11 i 1 i= - = - -1
= 1
-

i4 i. i ' = 1- 1) ( - 1)
=

i5 i 4. i 1 = 1 า)( i ) = i
= = -1

i° i 4. i 2 = (1) ( - 1)
=

วน i , - 1 , - i , 1 ทกุ ๆ 4 ตวั

0 ตวั อย่าง 1098

243 = 243 25 = 25 I = 1098
4 4
i I
61 2742
40 = =
4 4
= 603 เศษ 1 = เศษ 2 = -1
i
4 า-
i
Iเศษ 3 = -

i. i "" i= - i. i 25 ""

= i. i =

i+ i2 + i 3 + +i "

= o

...

tlltt= t+ (A) +
) ttl+✗ + . + - 1)
..

= -1

> ทุก 4 ตวั บวกกนั ไดเ้ ท่ากบั 0

จำนวนเชงิ ซ้อน

1 การบวก ลบ และคูณกันของจำนวนเชิงซอ้ น

กำหนดให้ z 1 = 4 + 5i และ z 2 = -3 + 3i

- 2 า +22 = 14+5 I 1 + 1 3- + 3 I ) = 1+8 I
= 14+5 II - l -3 t 3 I ) = 7 + 2 i
Zz2- -

า

222- - = ( 4+5 i ) ( -3 +3 I ) = -12 - 3 i + 15 l - 1)

า

= -12 -3 I - 15

= -27 - 3 I

32222- - = 214 t 5 i ) - 31 - 3+3 i ) = 8 +10 i + 9- 9 I
= 1 7- I
า

e สังยคุ ของจำนวนเชงิ ซ้อน ( conjugate )

การกลับเครองหมายส่วนจนิ ตภาพ z = a + bi > z = a - bi

- 2t 3i I = 2- 3 I ฒื๋

- 1- 2 i I = 1+2 i 2=2 + i
I 12,11
3- I= 3

-2 i- Z= + 2i

Il 2 า - 1)

ผ๋ืสู้

จำนวนเชงิ ซอ้ น

1 สมบตั ขิ องสงั ยคุ ของจำนวนเชงิ ซ้อน
กำหนด z , z 1 , z 2 เป็นจำนวนเชงิ ซ้อนจะไดว้ ่า
1. z = z
2. z z = a + b2 2
- latbi ) ( a- bi )
3. z 1 + z 2 = z 1 + z 2
4. z z = z z'
12" 2

1

5. H = (E) เมอ z2 = o
6. ถา้ f(x) = 0 มี z 1 เป็นคำตอบสมการ จะไดว้ า่ z 1 เป็นคำตอบของสมการดว้ ย
โดยมีข้อแมว้ ่าสมั ประสทิ ธทุกตสั ของพหนุ ามต้องเปน็ จำนวนจรงิ
7. z + z = 2 Re(z) หรอื 2a latyi ) +1 a- bt ) = 2 a
8. z - z = 2 Im(z) หรือ 2bi
✗1 ¢ + bi 1- 1- bi ) = 2 bi

ตัวอยา่ ง จงหาตวั ประกอบของ P(x) = (x2+9)(x-1)

2 =0

× +q

2
✗ q=
-

X =± q-

=± 9 -1

= ± 3I

X= 1,3 i , -3 i

b* X = - ± b2- 4 ac

2a

b 2- 4 ac < 0 ใน นวน เ ง อน

จ้ซิชำ

จำนวนเชิงซ้อน

" คา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน ( เป็นขนาดทจะมคี ่ามากกวา่ เทา่ กับศนู ยเ์ สมอ )
โดย z = a2 + b2 ถ้า z =2 a 2 + b2

z = 3- 4 I n

121 = (3) 2 1- 4) 2 C 7 C ลา b)
+
1
= 9+16
1 21 1
= 25
1b
5=
>
a

สมบตั ิของค่าสมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน
1. z - z = |z| 2
2. |z| = |z้| = |-z| = z, z
3. 1 ย ง 2=1 + i
z 1 จง หา ,µ
12 l = 1 4 12
= = 2

121

4. 2 1 l ำ 1 เอ Zz =/ 0 12 1 12
= =
22 12 21 →
5. |z ' z | = |z | ' |z |
12 12 ( 2 { g 12

6. |z n | = |z| n = 26

7. |z + z2 | < |z1 | + |z2 | = 64mn
1
8. |z - z | > |z | - |z |
12 12

่ืมู่ย้ึห่ก

จำนวนเชงิ ซอ้ น

ตวั อยา่ ง จงหา |z| หากกำหนดให้ z เปน็ ดังต่อไปน

1. 2 + i → 121 = 22+12

= 5

2. 2- I → 121 = 24 2

= ( - 1)
= 4+1
5

2 II3. - → 121 = (E) 41 - # 2

= #¥

า=

=1

4. - 3- 4 I | 21→ = 22

= 1- 3) + 1- 4)

25

5=

5. 5- 12 I → 121 = 52+1 - ☒ 2

= 169

= 13

ข้

จำนวนเชงิ ซ้อน

- การหารกันของจำนวนเชงิ ซอ้ น
โดยหลักการ คอื คอนจเู กตให้สว่ นเป็นจำนวนจริง

21 Z2 า = 21 ' 5 2
= 2.

22 Zz Z 2 | 2 2 12

ตัวอยา่ ง จงหาคำตอบของ 1+2 i
2- 3 I

= 2+7 it Gi 2
4- 9 i

= -4 t 7 I
4+9

= -4 + 7 I

1 3 13

\ การหาอนิ เวอร์สการคณู
จำนวนทคูณแล้วกลบั ไปได้เอกลักษณ์ หรอื เลข 1

จาก " = 1 งน " = 1 = a- bi
2- 2
z

tkf = 1 2 a 2 + b2

b=
I. § 2 a- bi
a+
b2

ด้ันั

จำนวนเชงิ ซ้อน

- การเขียนจำนวนเชิงซอ้ นในรปู เชงิ ขว (Polar Form)
* มองจาก a + bi เป็น x + yi จะไดค้ ำตอบตามแตล่ ะแกน *

- เมอ กำหนด 0 เปน็ มมุ บวกทเลก็ ทสดุ ซง วดั ทวนเข็ม จากแกน x ทางบวกไปยงั
เวคเตอร์ oz และ r = |oz| คอื ระยะจากจุดกำเนดิ ไปยัง z จะได้ความสมั พนั ธ์วา่

x = rcos0 และ y = rsin0
และทำให้เราสามารถเขยี นจำนวนเชงิ ซอ้ น z ได้ในรปู แบบใหมเ่ ป็น

z = x + yi = r (cos0 + isin0) = rcis0
ซง r = |z| = x 2 + y2 และ tan0 = y เมอ x = 0 (ชว่ ยให้หามมุ ง่ายขน)

✗

โดยเราจะเรียน r วา่ โมดลู สั (modulus) ของ z และ 0 ว่า อาร์กวิ เมนต์ (argument)
ของ z ซง บางครงใช้สญั ลกั ษณ์ arg(z)

ตัวอย่าง จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนตอ่ ไปนใ นรปู เชงิ ขว

12 ji1. + +24→ 121 = I

1=

= 11 COS 60 + Isin 60 )

= 1 cis °

60

2. 1 + I → 121 = 12+ 12

= 2
=
21 า + า i |

จำนวนเชงิ ซ้อน

= 2 lcose + sin e)

= 2 CIS 45 °

3. 1- I → 121 = 2 2
า+
1- 1)

= 2

= 21 า -

( )2
= ° ISI n 315 °
=
c 05 3 15 +

2 CIS 315 °

4. -1 + I → 121 = ( - 1) 2+12

= 2

= 21 า -

( )2
= ° ISI ทาง 5 °

cos 135 +

= 2 CIS °

135

i5. - 1- → 121 = 22

( - 1) ( 1)+ -

= 2

= at า - H

( )2
= ° ISI n °

c 05 2 25 + 225

= 2 CIS 225 °

จำนวนเชงิ ซอ้ น

6. 1 t 3 i → 121 = 12 + 2

= (3)

1+3

4=

2=

= 21 ± + { i /

= 2 cis °

60

7. 2 I → 121 = 02 + 22

=4

2=

= 2 lcos ° + Isin 9 1

90

= 2 CIS 90 °

- การดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อนในรปู เชงิ ขว
ทฤษฎบี ทให้ z = r cos0 และ z = r cis0 โดยท z = 0
2

z1 z 2 = r1 r2 cis (01 +02 )
cis (0 - 0 )1
=ท

2 V2
12

z =า- 1 = cis1 (-0 )
2
22 52

z 1 = r1 cis (-01 )

อํ

จำนวนเชงิ ซ้อน

ตัวอย่าง ให้ z 1 = 4cis120° z 2 = 2cis60°

1. 2,22 = (4 CIS 120 ° ) 12 Cis ° 1

60

= (4) (2) CIS 112 +60° 1

= 8 CIS ° ' ทฤษฎีบทของเดอมวั ร์ (De Moivre’s
Theorem
180 ชว่ ยให้ยกกำลังง่ายขน
z = r n [cis(n0)]
21 ¥= CIS 1 ° -60 ° |
exi 24 = 24 cis 1 6 01 4) 1
2. 22 1 20

= 2 CIS °

60

= 16 CIS °

240

3. 2 I= cis C- 1°

60

4. I = 4 CISI -120° 1

า

= 4 CIS °

240

/ รากท n ของจำนวนเชิงซ้อน
ทฤษฎีบท ถ้า z = rcis0 แล้วรากท n ของ z มีทงหมด n รากทแ ตกตา่ งกัน คือ
z r= lcisl ำ + ำ< | เมอ k = 1 , 2 , 3 , … , (n - 1)

ตัวอยา่ ง 2 = 8 CIS ° หา 2

270

2 = 8 } lcisl " + ง k 1)

= 2 CIS l 90 +120K 1 K = 0 า 1,2

°

21 = 2 CIS 90,22 = 2 CIS ำ210 2g = 2 CIS 330

ืง๋ว๋วุท่ีท่ีท่ิวํอ

ตัวอยา่ งโจทย์จำนวนเชงิ ซ้อน

1. กำหนดให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนทส อดคลอ้ งกบั สมการ (1 + i)z + (3 - 1)z = 6 + 2i
เมอ i 2 = -1 และ z แทนสังยคุ (conjugate) ของ z คา่ ของ |(z - z)(z + z)l เท่ากบั เทา่ ใด

8 01 ( 1 + i ) ( a- bi ) tl 3- illatbi ) = 6+2 i

2+3a- bi + ai - bi a +3 bi ai- - bi 2 = 6+2 i

4 a + 2 bt 2 b I = 6+2 i

4 at 2 (1) = 6

2 bi = 2 i

b 1=

4 a +2 (1) = 6
a =1

→ 112 - E) 12 + Z 11 อ latbi ) +1 a- bi ) = 2ล | 14 abi 1

Catbi ) + l a- bi ) = 2 bi

14 abil = 14 i 1
= 10 + 4 Il

= 02 + 42

= 4*

คื