i BAHAN AJAR BERBASIS IT & AV/VR MAN 1 KOTAMOBAGU TEMA/MATERI TURUNAN FUNGSI ALJABAR KELAS XII SEMESTER GANJIL PROGRAM PENDIDIKAN PROFESI GURU DALAM JABATAN FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
ii LEMBAR PENGESAHAN Bidang Kajian : Penulisan Bahan Ajar Materi : Turunan Fungsi Aljabar Peruntukan : Peserta Didik Tingkat : Madrasah Aliyah Negeri Kelas : XII Semester : Ganjil Penulis : La Ode Sugianto, S.Pd Link : Penulisan Bahan ajar ini merupakan upaya membantu peserta didik dalam rangka menyediakan sumber belajar pada mata pelajaran Matematika di kelas XII MAN 1 Kotamobagu. Kegiatan penulis berlangsung pada bulan November 2023. Kotamobagu, November 2023 Kepala Perpustakaan Penulis MAN 1 Kotamobagu Eno Paputungan, S.Pd La Ode Sugianto, S.Pd NIP. 196709052001122001 NIP. 198511252009121 i
3 KATA PENGANTAR Turunan fungsi aljabar adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang memiliki aplikasi yang sangat luas dalam berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, ilmu komputer, dan banyak lainnya. Turunan membantu kita memahami bagaimana perubahan satu variabel akan memengaruhi perubahan variabel lainnya, sehingga memungkinkan kita untuk mengukur perubahan dengan presisi. Dalam materi ini, kita akan menjelaskan konsep dasar turunan dan cara menghitung turunan dari berbagai jenis fungsi aljabar. Kami akan memandu Anda melalui berbagai teknik turunan, seperti aturan rantai, turunan implisit, dan turunan fungsi logaritma. Kami juga akan menunjukkan bagaimana turunan dapat diterapkan dalam masalah nyata, seperti permasalahan optimasi dan pemodelan fenomena alam. Pemahaman yang kuat tentang turunan fungsi aljabar akan memungkinkan Anda untuk menghadapi berbagai tantangan matematika dan ilmiah dengan lebih percaya diri. Selain itu, turunan juga merupakan fondasi bagi konsep-konsep lanjutan dalam matematika, seperti integral, yang sangat penting dalam analisis dan kalkulus. Materi ini dirancang agar dapat diikuti oleh berbagai tingkatan kemampuan matematika, sehingga kami berharap semua orang dapat memperoleh manfaat dari pemahaman tentang turunan fungsi aljabar ini. Mari kita mulai perjalanan kita dalam memahami dunia turunan dan menggali lebih dalam konsep-konsep yang mendasarinya. Selamat belajar! (La Ode Sugianto) ii
4 DAFTAR ISI KOVER LEMBAR PENGESAHAN ......................................................................... i KATA PENGANTAR................................................................................. ii DAFTAR ISI ............................................................................................ iii PENDAHULUAN....................................................................................... 1 A. Deskripsi ........................................................................................ 1 B. Capaian Pembelajaran ..................................................................... 2 C. Tujuan Pembelajaran....................................................................... 2 D. Indikator Pencapaian Tujuan Pembelajaran .................................... 2 E. Relevansi ......................................................................................... 3 F. Petunjuk Belajar.............................................................................. 3 MATERI PEMBELAJARAN ..................................................................... 5 A. Ruang Lingkup Materi..................................................................... 5 B. Aplikasi Dalam Kehidupan .............................................................. 5 C. Integrasi Keislaman......................................................................... 6 D. Bahan bacaan ................................................................................. 7 PENUTUP ........................................................................................….. …. 16 Rangkuman........................................................................................... 16 Tes Formatif .......................................................................................... 17 Kunci Jawaban Tes Formatif ................................................................. 22 Glosarium ............................................................................................. 22 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 23 iii
5 A. Deskripsi Materi tentang turunan fungsi aljabar adalah bagian penting dari kalkulus, cabang matematika yang mempelajari perubahan dan perhitungan yang berkaitan dengan perubahan dalam konteks fungsi matematika. Turunan fungsi aljabar memungkinkan kita untuk memahami bagaimana nilai fungsi tersebut berubah sehubungan dengan perubahan nilai inputnya. Berikut adalah deskripsi lebih rinci tentang materi ini: 1. Konsep Dasar Turunan: Turunan fungsi aljabar melibatkan perhitungan laju pertumbuhan atau penurunan suatu fungsi dalam satu titik tertentu. Turunan ini umumnya disimbolkan dengan "f'(x)" atau "dy/dx", yang mengindikasikan perubahan fungsi terhadap perubahan nilai variabel independen (biasanya disimbolkan dengan "x"). 2. Notasi Turunan: Dalam materi ini, Anda akan mempelajari berbagai notasi turunan, seperti notasi Leibniz (dy/dx), notasi Newton (f'), dan notasi fungsional (Df(x)). Anda akan memahami bagaimana notasi ini digunakan untuk menghitung turunan dan menggambarkan perubahan dalam fungsi. 3. Aturan Dasar Turunan: Materi akan menjelaskan aturan-aturan dasar untuk menghitung turunan fungsi aljabar. Ini termasuk turunan dari konstanta, aturan pangkat, aturan penjumlahan, dan aturan perkalian. Aturan-aturan ini membantu Anda menghitung turunan dari berbagai jenis fungsi aljabar. 4. Turunan Fungsi Polinomial: Anda akan belajar bagaimana menghitung turunan dari fungsi polinomial dengan berbagai derajat. Turunan dari polinom adalah bagian penting dalam materi ini karena banyak fungsi aljabar dapat dinyatakan dalam bentuk polinomial. 5. Aturan Rantai: Konsep aturan rantai akan dijelaskan. Aturan ini digunakan untuk menghitung turunan fungsi yang merupakan komposisi dari beberapa fungsi. Ini adalah alat yang penting dalam kalkulus yang membantu Anda mengatasi fungsi yang lebih kompleks. 6. Turunan Fungsi Eksponensial dan Logaritma: Materi ini akan mencakup turunan dari fungsi eksponensial dan logaritma. Turunan dari eksponensial dan logaritma memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang ilmu. 7. Penggunaan Turunan dalam Aplikasi: Anda akan belajar bagaimana turunan digunakan dalam berbagai aplikasi dunia nyata, seperti dalam permasalahan optimasi, pemodelan fenomena fisika, dan ekonomi. 8. Turunan Parsial: Pengenalan singkat terhadap turunan parsial, yang merupakan konsep kalkulus yang digunakan dalam fungsi berdimensi lebih dari satu. Ini berguna dalam pemodelan ilmiah dan teknik untuk memahami perubahan dalam beberapa variabel. 9. Turunan Tak Tentu: Anda akan memahami konsep turunan tak tentu atau integral yang merupakan kebalikan dari turunan. Turunan tak tentu digunakan dalam menghitung luas di bawah kurva fungsi (integral) dan memiliki kaitan erat dengan turunan PENDAHULUAN 1
6 Pada materi ini akan menggunakan model pembelajaran berbasis masalah atau yang dikenal dengan nama Problem Based Learning ( PBL). Dalam pembelajara PBL, ada lima sintaks yang harus dilaksnakan yaitu • Sintaks 1. Orientasi siswa pada masalah: • Sintaks 2 .Mengorganisasi siswa untuk belajar • Sintaks 3.Membimbing penyelidikan individu maupun kelompok • Sintaks 4.Mengembangkan dan menyajikan hasil karya • Sintaks 5.Menganalisis dan mengevaluasi proses pemecahan masalah B.Capaian Pembelajaran Capaian Pembelajaran: Di akhir fase F, peserta didik dapat dapat menerapkan konsep dasar kalkulus, yaitu limit, turunan, dan integral dalam penyelesaian masalah. C.Tujuan Pembelajaran Setelah proses pembelajaran, peserta didik dapat: 1. Menemukan sifat-sifat turunan . 2. Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan sifat-sifat turunan. 3. Menggunakan konsep limit fungsi untuk menemukan turunan suatu fungsi. D.Indikator Pencapaian Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menemukan sifat-sifat turunan dengan benar. 2. Peserta didik dapat menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan sifat-sifat turunan dengan benar. 3. Peserta didik dapat menggunakan konsep limit fungsi untuk menemukan turunan suatu fungsi dengan benar. E. Relevansi 1. Fenomena Periodik: Fungsi trigonometri sangat relevan dalam memodelkan dan menganalisis fenomena periodik, seperti gelombang suara, gelombang elektromagnetik, dan osilasi mekanis. Contohnya, turunan dari fungsi sinus dan kosinus dapat digunakan untuk menghitung laju perubahan dalam gelombang suara, sehingga sangat penting dalam akustik. 2
7 2. Pemodelan Fisika: Dalam fisika, banyak fenomena dapat dimodelkan dengan fungsi trigonometri. Ketika kita menghitung turunan dari fungsifungsi ini, kita mendapatkan informasi penting tentang percepatan, kecepatan, dan perubahan lainnya dalam pergerakan benda fisik. Contohnya, dalam osilasi harmonis sederhana, turunan fungsi sinus dan kosinus menggambarkan percepatan dan kecepatan benda osilasi. 3. Rekayasa Sinyal: Dalam rekayasa sinyal, pemahaman turunan fungsi trigonometri adalah kunci untuk analisis sinyal. Ini digunakan dalam pengolahan sinyal, seperti pemfilteran, modulasi, dan demodulasi. Turunan fungsi trigonometri membantu mengukur perubahan cepat dalam sinyal waktu nyata. 4. Ilmu Komputer: Dalam grafika komputer dan pemrosesan gambar, turunan fungsi trigonometri berguna untuk analisis bentuk dan kontur gambar. Selain itu, dalam ilmu komputer, turunan trigonometri sering digunakan dalam pemodelan pergerakan objek dalam game dan simulasi. 5. Relevansi dalam Matematika Lanjutan: Turunan dari fungsi trigonometri juga penting dalam matematika lanjutan, seperti analisis kompleks. Mereka membantu dalam memahami sifat fungsi-fungsi kompleks dan berperan dalam teori residu, yang penting dalam perhitungan integral kompleks. 6. Kalkulus Diferensial: Materi turunan fungsi trigonometri adalah bagian penting dari kalkulus diferensial. Ini adalah fondasi bagi berbagai konsep kalkulus, termasuk integral dan persamaan diferensial. Pemahaman yang kuat tentang turunan fungsi trigonometri membantu memecahkan berbagai masalah matematika yang lebih kompleks. F. Petunjuk belajar 1. Pahami Tujuan Pembelajaran: Sebelum mulai membaca atau mempelajari materi, pahami tujuan pembelajaran. Apa yang ingin Anda capai setelah selesai belajar materi ini? Ini akan membantu Anda tetap fokus dan berorientasi pada hasil yang ingin dicapai. 2. Baca Materi Secara Bertahap: Bahan ajar biasanya terstruktur dalam beberapa bagian. Baca materi secara bertahap dari awal hingga akhir. Jangan terburu-buru. Pastikan Anda memahami setiap konsep sebelum melanjutkan ke konsep berikutnya. 3. Catat Konsep Penting: Selama membaca, buat catatan tentang konsepkonsep penting dan rumus-rumus yang diperlukan. Catatan ini akan menjadi referensi yang berguna saat Anda menghadapi latihan atau masalah yang memerlukan aplikasi konsep-konsep tersebut. 4. Kerjakan Latihan dan Contoh: Materi biasanya disertai dengan contohcontoh dan latihan-latihan. Kerjakan latihan-latihan tersebut secara aktif. Ini 3
8 akan membantu Anda memahami dan menginternalisasi konsep-konsep yang telah dipelajari. 5. Diskusikan dengan Teman atau Guru: Diskusikan materi dengan teman sekelas atau guru jika Anda mengalami kesulitan atau membutuhkan penjelasan tambahan. Diskusi bisa membantu Anda mendapatkan sudut pandang yang berbeda dan pemahaman yang lebih baik. 4
9 A. Ruang Lingkup Materi Ruang lingkup materi turunan fungsi di Madrasah Aliyah meliputi: 1. Pengertian turunan fungsi 2. Sifatturunan fungsi 3. Fungsi naik, fungsi turun dan titik kritis B. Aplikasi dalam Kehidupan Perubahan Suhu Sesuai dengan Hukum Newton, apabila benda pada suhu tertentu dipengaruhi oleh suhu ruangan maka suhu benda tersebut akan berubah dan perubahan suhu sesaat mengikuti rumus ~ − atau = ( − ) Gambar 2 Percobaan perubahan suhu telor dengan suhu saat , suhu sekitar dan konstanta proporsi. Sebagai contoh, sebutir telor dikeluarkan dari panci perebus tercatat bersuhu 1100. Kemudian telor tersebut diangkat dan didiamkan dalam ruangan terbuka bersuhu 200. Setelah 3 menit di ruang terbuka suhu telor turun menjadi 700 (terjadi perubahan suhu pada telor). Apabila telor boleh dimakan pada suhu 250maka waktu untuk menunggu dapat diketahui dengan penerapan konsep pada turunan. Penyelesaiannya sejatinya cukup sederhana namun menjadi relatif rumit bagi yang belum kenal persamaan diferensial. Karena penyelesaian persamaandiferensial bukan bagian dari topik unit ini, penulis mencoba hanya menyajikan solusi ringkas dan hasil akhir saja. Merujuk pada hukum Newton seperti tersebut sebelumnya maka diperoleh = ( − ) = ( − 20) −20 = … … . . () MATERI PEMBELAJARAN 5
10 Penyelesaian persamaan diferensial () dengan memasukkan kuantitas yang diketahui (syarat batas) menghasilkan = 20 + 90 −0,2 . Dengan demikian untuk = 25 didapatkan = 14,45 yang berarti telor boleh dimakan setelah dibiarkandi ruangan terbuka selama 14,45 menit. C. Integrasi Keislaman Dalam Al-Qur’an Surah Ar-Ruum ayat 30 Allah berfirman: Artinya: Maka hadapkanlah wajahmu dengan lurus kepada agama (Islam); (sesuai) fitrah Allah disebabkan Dia telah menciptakan manusia menurut (fitrah) itu. Tidak ada perubahan pada ciptaan Allah. (Itulah) agama yang lurus, tetapi kebanyakan manusia tidak mengetahui (QS: Ar-ruum:30) Dalam ayat tersebut jelas disebutkan “Tidak ada perubahan pada ciptaan Allah.(Itulah) agama yang lurus,”. Ada dua point yang tergambar dalam matematika melalui ayat ini, yaitu tidak ada perubahan dan lurus. Kaitannya dengan konsep pada turunan dapat diilustrasikan seperti mobil yang melewati jalan (kurva)berikut. 6
11 Tampak bahwa mobilsebelah kiri berjalan tanpa perubahan arah sehinggajalannya lurus. Tetapi mobil sebelah kanan tampak adanya perubahan arah sehingga jalannya tidak lurus. Apabila dikaitkan dengan konsep dalam turunan maka () = berarti tidak ada perubahan. () = yang berarti ada perubahan. Jelas sekali bahwa ketidakadaan perubahan pada turunan kedua dari () mengakibatkan mobil berjalan lurus, sementara adanya perubahan pada turunan kedua dari () mengakibatkan mobil berjalan tidak lurus. D. Bahan Bacaan Dalam bagian ini akan disajikan uraian materi berkaitan dengan pengertian turunan fungsi, strategi dalam menyelesaikan permasalahan terkait turunan fungsi dan kaitannya dengan konsep lain. 1. Pengertian Turunan Fungsi Turunan fungsi sebenarnya merupakan topik yang cukup menarik dalam matematika. Selain aplikasinya banyak dan beragam (salah satu contohnya perubahan suhu di atas), konsep turunan bersama dengan limit akanmenjembatani lahirnya Teorema Fundamental Kalkulus (TFK) dalam arti digunakan untuk membuktikan teorema tersebut. Sebagai pengungkit awal untuk memahami turunan fungsi, cermati grafik () dan garis pada posisi atau kondisi seperti di bawah ini. Garis melewati titik yang merupakan titik belok pada kurva (pembahasan titik belok ada di bagian berikutnya). Dari pengalaman penulis, masih ada pendapat berbeda mengenai gari . Ada yang mengatakan garis merupakan garis singgung kurva di titik , namun ada pula yang mengatakan bahwa bukan garis singgung kurva di titk dengan alasan garis tersebut memotong kurva di titik tidak lagi menyinggung kurva. Mana yang benar? 7
12 Pertanyaan ini akan terjawab pada bagian selanjutnya. Untuk memulai pembahasan, perhatikan garis yang memotong kurva = () (secant line) di dua titik yaitu titik (, ()) dan di titik ( + ∆, ( + ∆)) seperti gambar di bawah ini. Jelas bahwa gradien garis tersebut adalah = △ △ = (+ ∆)−() ∆ . Bagaimana untuk ∆ → 0? Perhatikan ilustrasi berikut. ∆ dengan sendirinya berakibat pada perubahan ∆. Tampak dalam ilustrasi bahwa untuk ∆ → 0 maka secan line akan berubah menjadi garissinggung. Penjelasan matematisnya adalah apabila ∆ → 0 akan mengakibatkan △ △ = (+ ∆)−() ∆ menuju nilai tertentu, atau dengan kata lain lim ∆→ (+ ∆)−() ∆ ada (ingat kembali modul limit fungsi) maka secan line akan berubah menjadi garis singgung. Misalkan hasil limit tersebut maka garis yang melalui titik (, ())dan mempunyai gradien tersebut dinamakan garis singgung kurva di titik(, ()). 8
13 ∆ ∆ ℎ = ℎ ℎ = 9
10 14
15 Contoh 3 11
16 12
17 13
18 Contoh Tentukan turunan pertama dari a) = 100 Jawab ′ = 0 b) = 19 − 5 Jawab ′ = 19 c) = 63 Jawab ′ = 6(3)3−1 = 182 d) () = 2 − 15 Jawab Fungsi tersebut adalah fungsi linear maka ′() = 2 e) () = 23 − 212 − 12 + 10 Jawab : ′() = 2(3)3−1 − 21(2)2−1 − 12(1)1−1 + 0 ′() = 62 − 42 − 12 f) () = (2 + 3)(3 − 22) Jawab: Perhatikan bahwa soal ini merupakan perkalian dua fungsi berbeda, yaitu fungsi 2 + 3 3 − 22. Untuk menjawab soal ini Ananda dapat mengalikan satu persatu tiap komponen fungsi terlebih dahulu, ini tidak sulitkarena masing-masing fungsi yang berada di dalam kurung berpangkat satu.Setelah dikalikan maka fungsi () menjadi: () = 24 − 43 + 33 − 62 () = 24 − 3 − 62 Setelah ini baru kita turunkan 14
19 ′() = 2(4)4−1 − 1(3)3−1 − 6(2)2−1 ′() = 83 − 32 − 12 CONTOH Tentukan turunan pertama dari () = (2 + 3) 3! Nahh cara menyelesaikan soal ini Ananda memisalkan,Misal: = 2 + 3 Maka ′ = = 2 notasi leibniz Fungsi di atas kita ganti dengan u sehingga: () = 3 ′() = 3 2 = 32 (2) = 62 = 6 (2 + 3)2 ATURAN RANTAI 15
xx Rangkuman Berdasarkan paparan di atas, berikut merupakan rumus-rumus umum turunan yang dapat Ananda ingat dan gunakan dalam menyelsaikan soal turunan. Misalkan f , u, v adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan di interval I dan a adalah bilangan real, maka: PENUTUP 16
xxi Tes Formatif 17
xxii18
xxiii19
xxiv20
xxv21
xxvi Kunci Jawaban Tes Formatif Glosarium 1. Fungsi Aljabar: Fungsi yang terdiri dari kombinasi polinomial dari variabel, seperti fungsi linear, kuadrat, kubik, dan sebagainya. 2. Turunan: Derivatif dari suatu fungsi aljabar, yang mengukur perubahan nilai fungsi terhadap perubahan variabel independen. Notasi umum untuk turunan adalah f'(x) atau df/dx. 3. Turunan Pertama: Turunan pertama suatu fungsi, mengukur tingkat perubahan fungsi terhadap variabel independen. 4. Turunan Kedua: Turunan kedua suatu fungsi, yang merupakan turunan dari turunan pertama. Ini mengukur tingkat perubahan turunan pertama atau akselerasi fungsi. 5. Turunan Parsial: Turunan fungsi aljabar terhadap satu variabel sementara yang lainnya dianggap tetap. Ini digunakan dalam kalkulus multivariabel. 6. Aturan Rantai: Aturan yang digunakan untuk menghitung turunan fungsi yang merupakan komposisi dari dua fungsi. 7. Turunan Implisit: Metode yang digunakan untuk menghitung turunan fungsi yang didefinisikan secara implisit dalam bentuk persamaan. 8. Ekstremum: Titik di mana turunan fungsi sama dengan nol, seperti maksimum lokal (puncak) dan minimum lokal (lembah). 9. Kebetulan Turunan: Situasi di mana turunan suatu fungsi menjadi nol di suatu titik, tetapi titik tersebut bukan ekstremum fungsi. 10. Turunan Parsial Orde Tinggi: Turunan yang diambil berulang kali terhadap variabel yang sama, seperti turunan kedua, ketiga, dan seterusnya. 11. Kurva Tangen: Garis yang menyentuh suatu kurva pada suatu titik dengan gradien yang sama dengan turunan fungsi di titik tersebut. 12. Titik Stasioner: Titik di mana turunan pertama fungsi sama dengan nol; ini dapat menjadi titik ekstremum atau titik kebetulan turunan. 22
xxvii DAFTAR PUSTAKA 23