1 BAHAN AJAR BERBASIS IT & AV/VR MAN 1 KOTAMOBAGU TEMA/MATERI MATRIKS KELAS XI SEMESTER GANJIL PROGRAM PENDIDIKAN PROFESI GURU DALAM JABATAN FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
2
3 LEMBAR PENGESAHAN Bidang Kajian : Penulisan Bahan Ajar Judul : Bahan Ajar Pelajaran Matematika “Matriks” Peruntukan : Peserta Didik / Siswa Tingkat : Madrasah Aliyah Negeri Kelas : XI Semester : Ganjil Penulis : La Ode Sugianto, S.Pd NIP : 198303082009122001 Penulisan Bahan ajar ini merupakan upaya membantu peserta didik dalam rangka menyediakan sumber belajar pada mata pelajaran Matematika di kelas XI MAN 1 Kotamobagu. Kegiatan penulis berlangsung pada bulan september 2023. Kotamobagu, September 2023 Kepala Perpustakaan Penulis MAN 1 Kotamobagu Eno Paputungan, S.Pd La Ode Sugianto, S.Pd NIP. 196709052001122001 NIP. 198511252009121011
4 KATA PENGANTAR Selamat datang dalam bahan ajar kami yang membahas tentang matriks. Materi ini merupakan bagian penting dalam dunia matematika dan memiliki peranan yang luas dalam berbagai ilmu dan industri. Dalam bahan ajar ini, kami akan mambantu anda memahami konsep dasar matriks, operasi-operasi matriks, dan bagaimana matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Mengapa belajar matriks itu penting? Matriks adalah alat yang kuat dalam pemodelan berbagai situasi nyata, seperti analisis data, perancangan sistem, grafik komputer, dan bahkan dalam bidang ilmu sosial. Pemahaman yang kuat tentang matrisk akan membuka pintu menuju pemecahan masalah yang lebih efisien dan inovasi yang lebih besar. Dalam setiap bab, kami memberikan contoh-contoh konkret dan latihanlatihan yang akan membantu anda menguasi konsep-konsep tersebut. Kmai juga akan menunjukkan bagaimana matriks digunakan dalam berbagai aplikasi dunia nyata. Kami sangan berharap bahwa bahan ajar ininakan memberikan manfaat yang besar bagi pembelajaran anda dan membantu anda meraih pemahaman yang mendalam tentang matriks. Kami ingin mengucapkan terimah kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam penyusunan bahan ajar ini. Semoga bahan ajar ini dapat membantu anda menjalani pembelajaran yang menyenangkan dan bermanfaat. Selamat belajar! Salam, ( La Ode Sugianto ) A. PENDAHULUAN
5 DAFTAR ISI Cover ......................................................................................................... 1 Lembar Pengesahan .................................................................................. 3 A. PENDAHULUAN ................................................................................... 4 Kata Pengantar..................................................................................... 4 Daftar isi .............................................................................................. 5 Deskripsi singkat ................................................................................. 6 Tujuan Pembelajaran ........................................................................... 6 Capaian Pembelajaran.......................................................................... 6 Capaian Tujuan Pembelajaran.............................................................. 6 Petunjuk penggunaan Bahan Ajar........................................................ 6 B. INTI ................................................................................................... 7 Rumusan Capaian Pembelajaran ....................................................... 7 Alur Tujuan Pembelajaran.................................................................. 7 Uraian Materi ..................................................................................... 7 C. PENUTUP ................................................................................ ….. 11 Rangkuman ....................................................................................... 11 Tes Formatif....................................................................................... 11 Kunci Jawaban Tes Formatif.............................................................. 13 Daftar Istilah...................................................................................... 16 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................... 18
6 a. Deskripsi singkat Materi Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang menuntut penyelesaiannya terkait dengan konsep dan aturan-aturan dalam matematika. Secara khusus banyak keterkaitan konsep dan prinsip-prinsip matriks dengan permasalahan masalah nyata yangmenyatu/bersumber dari fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep matriks dapat dibangun/ditemukan di dalam penyelesaian nya permasalahan yang kita hadapi. Untuk itu siswa diharapkan mampu menyelesaiakan permasalahan-permasalahan yang dihadapi dalam kehidupan sehari-hari yang diberikan. Permasalahanpermasalahan tersebut dibuat dalam bentuk matriks untuk dicari penyelesaiannya dengan menggunakan determinan dan Invers Matriks. b. Tujuan Pembelajaran Setelah proses pembelajaran, peserta didik dapat: 1. Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual; 2. Melakukan operasi pada matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian, serta transpos matriks; 3. Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3; 4. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks dan operasinya; 5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3 c. Capaian Pembelajaran Di akhir fase F+, peserta didik dapat melakukan operasi aljabar pada matriks. d. Capaian Tujuan Pembelajaran Peserta didik dapat menyelesaikan permaslahan nyata terkait matriks. e. Petunjuk Pengguanaan Bahan Ajar Selamat datang dalam bahan ajar materi matriks. Bahan ajar ini dirancang untuk membantu anda memahami konsep matriks dengan baik dan mengembangkan kemampuan operasi matematka yang diperlukan dalam berbagai konteks. Untuk memaksimalkan manfaat dari bahan ajar ini, okasi Waktu : 2 x 45 Menit ( 2 x Pertemuan)
7 a. Rumusan Capaian Pembelajaran Di akhir fase F+, peserta didik dapat melakukan operasi aljabar pada matriks. b. Alur Tujuan Pembelajaran Peserta didik dapat menyelesaikan permaslahan nyata terkait matriks. c. Uraian Materi Masalah 1 Seoramg pengusaha membuka dua buah toko, toko A dan toko B, Yang menjual dua jenis barang, yaitu pakain dan sepatu. Setiap bulan, toko A menjual 100 pakain dan 50 sepatu, sedangkan toko B menjual 75 pakaian dan 80 sepatu. Jika ingin mewakil penjualan bulanan kedua toko ini dengan sebuah matriks, bagaimana matriksnya? Jawaban Toko Pakaian Sepatu A 100 50 B 75 80 Matriks penjulan bulanan dapat dinyatakan sebagai matriks ber ordo 2 x 2 = [ 100 50 75 80] Masalah 2 Seorang fotografer memiliki dua kamera, yaitu kamera A dan Kamera B. Kamera A memiliki harga Rp.500 dan menghasilkan 8 foto dalam sehari, sedangkan kamera B memiliki harga Rp.700 dan menghasilkan 12 foto sehari. Jika seorang klien ingin memesan 100 foto, bagiamana fotografer ini dapat memilih kamera yang akan digunakan untuk menghasilkan foto dengan biaya yang paling rendah? Jawaban Untuk menentukan kamera mana yang akan digunakan dengan biaya paling rendah, kita dapat membuat matriks biaya per foto : = [500 700 ] Kemudian kita dapat menghitung biaya total untuk setiap kamera dengan mengalikan matriks biaya dengan jumlah foto yang diinginkan: B. INTI
8 [500 700 ] . [100] = [ 50.000 70.000] Jadi, menggunakan kamera A akan menghasilkan biaya yang paling rendah, yaitu Rp. 50.000 Masalah 3 Seorang perusahan memiliki dua pabrik, pabrik A dan pabrik B. Produksi harian pabrik A adalah 200 unit produk, sedangkan produksi harian pabrik B adalah 150 unit produk. Dalam satu minggu, berapa banyak produk yang diproduksi oleh kedua pabrik jika produksi berlangsung terus-menerus? Jawaban Untuk menentukan jumlah produk yang diproduksi oleh kedua pabrik dalam satu minggu, kita dapat menggunakan matriks produksi harian dan mengalikannya dengan jumlah hari dalam seminggu yaitu 7. [200 150] . [7] = [ 1.400 1.050] Jadi, dalam satu mingg, pabrik A akan menghasilkan 1400 unit produk, dan pabrik B akan menghasilkan 1050 unit produk. Masalah 4 Sebuah perusahaan menghasilkan tiga jenis barang: X, Y, Z. Setiap barang membutuhkan sejumlah bahan baku dalam proses produksi. Barang X memerlukan 2 unit bahan baku A, 1 unit bahan baku B, dan 3 unit bahan baku C. Barang Y memerlukan 1 unit bahan baku A, 2 unit bahan baku B, dan 2 unit bahan baku C. Sementara barang Z memerlukan 3 unit bahan baku A, 1 unit bahan baku B, dan 1 unit bahan baku C. Jika perusahan ini memiliki 100 unit bahan baku A, 80 unit bahan baku B, dan 120 unit bahan baku C, tentukan berapa banyak masing-masing barang yang dapat diproduksi dalam satu siklus produksi? Jawaban Mari kita misalkan x, y, z sebagai banyaknya barang X, Y, dan Z yang diproduksi dalam satu siklus produksi. Kita dapat menyusun sistem persamaan dari persediaan bahan baku A, B, dan C sebagai berikut : { 2 + + 3 = 100 + 2 + 2 = 80 3 + + = 120
9 Selanjutnya kita buat bentuk matriks menjadi [ 2 1 3 1 2 2 3 1 1 ].[ ] = [ 100 80 120 ] Dengan menggunakan rumus aturan charmer dengan bantuan aplikasi matriks Operations; = = | 100 1 3 80 2 2 120 1 1 | [ 2 1 3 1 2 2 3 1 1 ] = | 100 1 3 80 2 2 120 1 1 | 100 1 80 2 120 1 = {(100.2.1) + (1.2.120) + (3.80.1)} − {(3.2.120) + (100.2.1) + (1.80.1)} = {(200) + (240) + (240)} − {(720) + (200) + (80)} = {680} − {1000} = −320 = | 2 1 3 1 2 2 3 1 1 | 2 1 1 2 3 1 = {(2.2.1) + (1.2.3) + (3.1.1)} − {(3.2.3) + (2.2.1) + (1.1.1)} = {(4) + (6) + (3)} − {(18) + (4) + (1)} = {13} − {23} = −10 = = −320 −10 = 32 = = | 2 100 3 1 80 2 3 120 1 | [ 2 1 3 1 2 2 3 1 1 ] = | 2 100 3 1 80 2 3 120 1 | 2 100 1 80 3 120
10 = {(2.80.1) + (100.2.3) + (3.1.120)} − {(3.80.3) + (2.2.120) + (100.1.1) = {(160) + (600) + (360)} − {(720) + (480) + (100) = {1120} − {1300} = −180 = = −180 −10 = 18 = = | 2 1 100 1 2 80 3 1 120 | [ 2 1 3 1 2 2 3 1 1 ] = | 2 1 100 1 2 80 3 1 120 | 2 1 1 2 3 1 = {(2.2.120) + (1.80.3) + (100.1.1)} − {(100.2.3) + (2.80.1) + (1.1.120)} = {(480) + (240) + (100)} − {(600) + (160) + (120)} = {820} − {880} = −60 = = −60 −10 = 6 Jadi, Banyak barang X adalah 32 Banyak barang Y adalah 18 Banyak barang Z adalah 6
11 a. Rangkuman 1. Perkalian Skalar dengan Matriks.Jika A sebuah matriks dan k bilangan real maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masingmasing elemen matriks A dengan k. .[ ] = [ ] 2. Perkalian Dua Matriks. Matriks A dan B dapat dikalikan apabila banyak kolom dari matriks A sama dengan banyak baris dari matriks B. Rumus umum perkalian matriks adalah sebagai berikut: Jika A adalah matriks m x n dengan elemen-elemen dan B adalah matriks n x p dengan elemen-elemen , maka hasil perkalian matriks C adalah matriks m x p dengan elemen-elemen 3. Pada Masalah 4, harus memahami konsep persamaan linear dan matriks, serta rumus aturan charmer. Rumus aturan charmer sebagai berikut: = , = , = = | ℎ | ℎ = {(.. ) + (. . ) + (. . ℎ)} − {(.. ) + (. . ℎ) + (. . )} b. Tes Formatif 1. Di suatu kota terdapat dua toko meubel, toko meubel ‘Abadi’ dan toko meubel ‘Jaya’. Beberapa jenis mebel yang dijual di toko itu adalah rak piring, almari dan kasur. Berkut ini adalah persediaan meubel yang ada di kedua toko tersebut. Untuk menambah persediaan barang, kedua pedagang tersebut pada hari yang sama melakukan pembelian meubel-meubel baru yang jumlahnya disajikan pada tabel berikut: Rak Piring Lemari Kasur Toko ‘Abadi’ 11 7 8 Toko ‘Jaya’ 18 4 5 Rak Piring Lemari Kasur Toko ‘Abadi’ 4 5 4 Toko ‘Jaya’ 2 9 3 C. PENUTUP
12 Berapa banyakkah persediaan ketiga jenis meubel yang ada di masingmasing toko setelah dilakukan pembelian tersebut? 2. Suatu perusahaan yang bergerak pada bidang jasa akan membuka tiga cabang besar di pulau Sumatera, yaitu cabang 1 di kota Palembang, cabang 2 di kota Padang, dan cabang 3 di kota Pekanbaru. Untuk itu, diperlukan beberapa peralatan untuk membantu kelancaran usaha jasa tersebut, yaitu handphone, komputer, dan sepeda motor. Di sisi lain, pihak perusahaan mempertimbangkan harga per satuan peralatan tersebut. Lengkapnya, rincian data tersebut disajikan sebagai berikut. Tabel Barang Handphone (Unit) Komputer (Unit) Sepeda Motor (Unit) Cabang 1 7 8 3 Cabang 2 5 6 2 Cabang 3 4 5 2 Tabel Harga Barang Harga Handphone (Jutaan) 2 Harga Komputer (Jutaan) 5 Harga Sepeda Motor (Jutaan) 15 Berapa total biaya pengadaan peralatan tersebut di setiap cabang. 3. Sebuah perusahaan menghasilkan tiga jenis barang: X, Y, Z. Setiap barang membutuhkan sejumlah bahan baku dalam proses produksi. Barang X memerlukan 1 unit bahan baku A, 2 unit bahan baku B, dan 2 unit bahan baku C. Barang Y memerlukan 2 unit bahan baku A, 1 unit bahan baku B, dan 2 unit bahan baku C. Sementara barang Z memerlukan 2 unit bahan baku A, 2 unit bahan baku B, dan 3 unit bahan baku C. Jika perusahan ini memiliki 80 unit bahan baku A, 40 unit bahan baku B, dan 80 unit bahan baku C, tentukan berapa banyak masing-masing barang yang dapat diproduksi dalam satu siklus produksi? c. Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, langkah yang dilakukan adalah menjumlahkan banyaknya meubel pada persediaan awal dengan meubel yang dibeli sebagai penambahan persediaan. Tentu saja yang dijumlahkan harus sejenis dan pada toko yang sama, misalnya banyak rak piring yang ada di toko ‘Abadi’ dijumlahkan dengan banyak rak piring yang dibeli oleh toko ‘Abadi’ (yang dijumlahkan harus bersesuaian). Kedua tabel tersebut dapat disederhanakan dan diubah ke dalam bentuk matriks. Selanjutnya
13 melakukan penjumlahan matriks yaitu menjumlahkan elemen-elemen yang seletak. Berikut definisi dari penjumlahan matriks: Kedua tabel pada uraian tersebut jika diubah ke dalam bentuk matriks dan dijumlahkan adalah sebagai berikut = [ 4 5 4 2 9 3 ], = [ 11 7 8 18 4 5 ] Berdasarkan informasi dari penjumlahan matriks tersebut, diperoleh informasi persediaan meubel di kedua toko itu adalah seperti disajikan pada tabel berikut: Rak Piring Lemari Kasur Toko ‘Abadi’ 15 12 12 Toko ‘Jaya’ 20 13 8 2. Sekarang, kita akan menyelesaikan masalah tersebut dengan menggunakan konsep matriks. Misalkan matriks = [ 7 8 3 5 6 2 4 5 2 ] dengan ordo 3 × 3 yang menyatakan jumlah unit peralatan disetiap cabang, dan matriks = ⌈ 2 5 15 ⌉ dengan ordo 3 × 1 yang menyatakan harga perunit setiap peralatan. Untuk menentukan total biaya pengadaan peralatan tersebut disetiap cabang kita peroleh sebagai berikut: • Cabang 1 Total biaya = (7 unit handphone × 2 juta) + (8 unit komputer × 5 juta) + (3 unit sepeda motor × 15 juta) = Rp14.000.000,- + Rp40.000.000,- + Rp45.000.000,-
14 = Rp99.000.000,- • Cabang 2 Total biaya = (5 unit handphone × 2 juta) + (6 unit komputer × 5 juta) + (2 unit sepeda motor × 15 juta) = Rp10.000.000,- + Rp30.000.000,- + Rp30.000.000,- = Rp70.000.000,- • Cabang 3 Total biaya = (4 unit handphone × 2 juta) + (5 unit komputer × 5 juta) + (2 unit sepeda motor × 15 juta) = Rp8.000.000,- + Rp25.000.000,- + Rp30.000.000,- = Rp63.000.000,- Jadi total biaya pengadaang peralatan di setiap cabang dinyatakan dalam matriks R sebagai berikut: = [ 99.000.000 70.000.000 63.000.000 ] Jika kita menghitung dengan menggunakan perkalian matriks diperoleh: Catatan : Matriks A dan B dapat dikalikan apabila banyak kolom dari matriks A sama dengan banyak baris dari matriks B 3. Mari kita misalkan x, y, z sebagai banyaknya barang X, Y, dan Z yang diproduksi dalam satu siklus produksi. Kita dapat menyusun sistem persamaan dari persediaan bahan baku A, B, dan C sebagai berikut : { + 2 + 2 = 80 2 + + 2 = 40 2 + 2 + 3 = 80
15 Selanjutnya kita buat bentuk matriks menjadi [ 1 2 2 2 1 2 2 2 3 ].[ ] = [ 80 40 80 ] Dengan menggunakan rumus aturan charmer dengan bantuan aplikasi matriks Operations; = = | 80 2 2 40 1 2 80 2 3 | [ 1 2 2 2 1 2 2 2 3 ] = | 80 2 2 40 1 2 80 2 3 | 80 2 40 1 80 2 = {(80.1.3) + (2.2.80) + (2.40.2)} − {(2.1.80) + (80.2.2) + (2.40.3)} = {(240) + (320) + (160)} − {(160) + (320) + (240)} = {720} − {720} = 0 = | 1 2 2 2 1 2 2 2 3 | 1 2 2 1 2 2 = {(1.1.3) + (2.2.2) + (2.2.2)} − {(2.1.2) + (1.2.2) + (2.2.3)} = {(3) + (8) + (8)} − {(4) + (4) + (12)} = {19} − {20} = −1 = = 0 −1 = 0 = = | 1 80 2 2 40 2 2 80 3 | [ 1 2 2 2 1 2 2 2 3 ]
16 = | 1 80 2 2 40 2 2 80 3 | 1 80 2 40 2 80 = {(1.40.3) + (80.2.2) + (2.2.80)} − {(2.40.2) + (1.2.80) + (80.2.3) = {(120) + (320) + (320)} − {(160) + (160) + (480) = {760} − {800} = −40 = = −40 −1 = 40 = = | 1 2 80 2 1 40 2 2 80 | [ 1 2 2 2 1 2 2 2 3 ] = | 1 2 80 2 1 40 2 2 80 | 1 2 2 1 2 2 = {(1.1.80) + (2.40.2) + (80.2.2)} − {(80.1.2) + (1.40.2) + (2.2.80)} = {(80) + (160) + (320)} − {(160) + (80) + (320)} = {560} − {560} = 0 = = 0 −1 = 0 Jadi, Banyak barang X adalah 0 Banyak barang Y adalah 40 Banyak barang Z adalah 0 d. Daftar istilah 1. Matriks: Kumpulan angka yang disusun dalam baris dan kolom. Biasanya dilambangkan dengan huruf besar, seperti A atau B. 2. Elemen Matriks: Angka-angka yang terdapat dalam matriks. Mereka diberi label dengan menggunakan subskrip, seperti Aij, yang mengindikasikan elemen di baris ke-i dan kolom ke-j. 3. Baris Matriks: Kumpulan elemen-elemen matriks yang disusun dalam satu baris horizontal. 4. Kolom Matriks: Kumpulan elemen-elemen matriks yang disusun dalam satu kolom vertikal. 5. Ukuran Matriks: Jumlah baris dan kolom dalam matriks. Jika sebuah matriks memiliki m baris dan n kolom, maka ukurannya disebut m x n. 6. Matriks Baris: Matriks yang memiliki hanya satu baris. Juga dikenal sebagai vektor baris. 7. Matriks Kolom: Matriks yang memiliki hanya satu kolom. Juga dikenal sebagai vektor kolom.
17 8. Matriks Identitas: Matriks persegi dengan semua elemen di diagonal utama bernilai 1, dan elemen-elemen di luar diagonal utama bernilai 0. Biasanya dilambangkan dengan I. 9. Matriks Nol: Matriks yang semua elemennya bernilai 0. 10. Matriks Transpos: Matriks yang diperoleh dengan menukar baris dan kolom matriks asal. Matriks transpos dari matriks A dilambangkan dengan A^T. 11. Matriks Diagonal: Matriks persegi yang memiliki semua elemen di luar diagonal utama bernilai 0. 12. Determinan: Sebuah angka yang menggambarkan sifat-sifat matriks persegi. Dalam konteks matriks 2x2, determinan matriks A dilambangkan dengan det(A). 13. Matriks Invers: Matriks yang, ketika dikalikan dengan matriks asalnya, menghasilkan matriks identitas. Dalam konteks matriks persegi, matriks invers biasanya dilambangkan dengan A^(-1). 14. Matriks Singular: Matriks yang tidak memiliki matriks invers. 15. Matriks Skalar: Matriks yang seluruh elemennya adalah konstanta skalar yang sama. 16. Operasi Matriks: Berbagai operasi matematika yang dapat dilakukan pada matriks, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan lain sebagainya. 17. Matriks Augmentasi: Penggabungan dua matriks dengan cara menempelkan satu di sebelah kanan atau kiri matriks lainnya. 18. Matriks Kuadrat: Matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. 19. Matriks Simetri: Matriks kuadrat yang sama dengan matriks transposnya. 20. Matriks Hermitian: Matriks kompleks yang sama dengan konjugat transposnya. 21. Matriks Orthogonal: Matriks persegi yang matriks transposnya sama dengan inversnya. 22. Matriks Singularitas: Ketika determinan matriks sama dengan nol. 23. Matriks Diagonal Utama: Elemen-elemen dalam diagonal utama sebuah matriks persegi. 24. Matriks Blok: Matriks yang dibagi menjadi blok-blok kecil yang lebih kecil. 25. Metode Matriks: Metode matematika yang menggunakan matriks untuk memecahkan masalah, seperti eliminasi Gauss-Jordan, metode invers, dan lain-lain.
18 DAFTAR PUSTAKA BK Normandiri. 2021 .Buku Matematika untuk SMA/MA Kelas XI. Erlangga Sukino. 2015 . Buku Matematika jilid 3 Kelompok Peminatan Matematika dan ilmu Alam Untuk SMA/MA Kelas XII. Erlangga