ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น

นางสาว มนัสนันท์ ชลธารานที ม.4/6 เลขที่ 32

ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนที่แสดงให้ทราบว่า
เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง มีโอกาสเกิดขึ้นมากหรือน้ อยเพียงใด

เมื่อ P (E) คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E



n (E) คือ จำนวนผลที่จะเกิดขึ้นในเหตุการณ์ E



n ( S) คือ จำนวนผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้





จำนวนผลที่จะเกิดขึ้นในเหตุการณ์ E เรียกอีกอย่าง
หนึ่งว่า เหตุการณ์ที่สนใจ หรือสิ่งที่โจทย์กำหนดให้


จำนวนผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ S เรียกอีก
อย่างหนึ่งว่า แซมเปิลสเปซ หาได้จากการทดลองสุ่ม

แฟกทอเรียล

แฟกทอเรียลมักใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็ นและการเรียงสับเปลี่ยน
หรือลำดับเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ แฟกทอเรียลแสดงโดยหมายถึงการคูณ

จำนวนทั้งหมดที่เรียงจากจำนวนแฟกทอเรียลเข้าด้วยกัน

บทนิยาม สำหรับจำนวนเต็ม บวก n แฟกทอเรียล คือ ผลคูณของ
จำนวนเต็ม บวกตั้งแต่ 1 ถึง n เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ " n! "

ดังนั้น n! = n x (n – 1) x (n – 2) x … x 3 x 2 x 1
ตัวอย่าง 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
ตัวอย่าง 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

ข้อสังเกต : n! = n x (n – 1)!
เช่น 8! = 8 x 7!

5! = 5 x 4!

การเรียงสับเปลี่ยน

วิธีการเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) คือการเรียงสิ่งของโดยคำนึง
ถึงตำเเหน่งของสิ่งของเเต่ละสิ่งเป็นที่สำคัญที่สุด โดยจะใช้บทนิยาม

ที่ว่า "ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก จะใช้เเฟกทอเรียล (factorial) n
โดยเป็นผลคูณตั้งเเต่ 1 ถึง n เขียนเเทนด้วย n!"

สูตร Pn,r = n!
(n - r)!

ตัวอย่าง

วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด

≤ ≤กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหากจัดเรียงคราวละ r สิ่ง
(โดย 1 r n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้ Pn.r

สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ k โดยทีี่ 1+ 2+... = n1+n2+...nk=n
จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มของสิ่งของ n สิ่งที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมดเท่ากับ

! 1!× 2!×...× !

ตัวอย่างที่ 1

จงหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรจากคำว่า "MATHEMATICS" ที่แตกต่างกัน โดยที่ไม่คำนึงถึงความหมาย

วิธีทำ นับจำนวนตัวอักษรได้ทั้งหมด 11 ตัว นั่นคือ !=11!n!=11!

มีตัวอักษร M อยู่ 2 ตัว

มีตัวอักษร A อยู่ 2 ตัว

มีตัวอักษร T อยู่ 2 ตัว

และมีตัวอักษร H,E,I,C และ S อย่างละ 1 ตัว

จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรดังกล่าวเท่ากับ 11!2!2!2!1!1!1!1!1!=4989,60011!2!2!2!1!1!1!1!1! =4989,600 วิธี

ต่อไปที่สิ่งของมีอย่างละ 1 ตัวคือ 1! ไม่ต้องใส่ก็ได้ค่าเท่าเดิม




ตัวอย่างที่ 2

มีหนังสือคณิตศาสตร์ 3 เล่ม หนังสือภาษาอังกฤษ 2 เล่ม และหนังสือและหนังสือภาษาไทย 4 เล่ม ถ้าถือว่าหนังสือวิชา

เดียวกันไม่แตกต่างกันแล้วจะจัดเรียงหนังสือทั้งหมดบนชั้นวางหน้ังสือได้กี่วิธี

วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่าหนังสือไม่แตกต่างกันก็คือสิ่ิงของที่เรานำมาจัดเรียงไม่แตกต่างกันทั้งหมด หรือมีสิ่งของซ้ำกันนั่นเองใช้

สูตรข้างบนได้เลย

มีหนังสือรวมทั้งหมด 3+2+4=9 เล่ม

มีหน้ งสือคณิตศาสตร์ที่ไม่แตกต่างกัน 3 เล่ม

มีหนังสือภาษาอังกฤษที่ไม่แตกต่างกัน 2 เล่ม

มีหนังสือภาษาไทยที่ไม่แตกต่างกัน 4 เล่ม

ดังนั้นจะมีจำนวนวิธีจังเรียงหนังสือทั้งหมดบนชั้นวาง 9!3!2!4!=12609!3!2!4!=1260 วิธี

วิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่เเตกต่างกัน n สิ่งจะเท่ากับ
(n-1)!

ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
1. หากต้องการจัดนักเรียน 5 คนให้นั่งรอบโต๊ะกลม ซึ่งมีทั้งหมด 5 ที่นั่งนั้น
ได้ทั้งหมดกี่วิธี

คำตอบ
จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด 24 วิธี



2. กำหนดให้นักเรียน 6 คนนั้นนั่งโต๊ะกลมทั้งหมด 6 ที่นั่งโดยมีชาย 3 คน เเละ
หญิง 3 คน ถ้ากำหนดว่า ชายเเละหญิงต้องนั่งสลับกัน จะนั่งได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ

คำตอบ
จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด 12 วิธี

การจัดหมู่

วิธีจัดหมู่ (Combination) เป็นการเลือกสิ่งของออกมาเป็นหมู่หรือชุดโดยไม่คำนึงเเต่อย่างใดว่าจะได้สิ่งใด

≤ ≤ออกมาก่อนหรือหลังกำหนดให้จำนวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของที่เเตกต่างกัน n สิ่งนั้น โดยเลือกคราวละ r สิ่ง
(โดย 10 r n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้ Cn.r



สูตร Cn,r = n! หรือ
(n - r)!r!

ตัวอย่างของวิธีการจัดหมู่

1. จงหาว่าจำนวนวิธีเลือกนักเรียน 4 คนจากกลุ่มนักเรียน 12 คนนั้นมีทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ

คำตอบ
จำนวนที่เลือกนักเรียน 4 คนจาก 12 คนนั้นมีทั้งหมด 495 วิธี

2. ถ้าต้องการเลือกกรรมการนักเรียน 10 คน ซึ่งประกอบด้วยนักเรียนชาย 4 คน เเละ
นักเรียนหญิง 6 คน จากผู้สมัครนักเรียนชาย 10 คน เเละนักเรียนหญิง 8 คน จะเลือกได้กี่
วิธี

วิธีทำ

คำตอบ
จะเลือกได้ 5880 วิธี

แบบฝึกหัด

จงแก้โจทย์ปั ญหาต่อไปนี้
1. นําตัวอักษร REASONS มาสับเปลี่ยนใหม่ได้ทั้งหมดกี่วิธี
2. นำตัวอักษร WANNA ONE มาจัดเรียงเป็นคำต่างๆโดยไม่
สนใจความหมายได้ทั้งหมดกี่วิธีใช้ตัวอักษรทุกตัวในการเรียง
3. มีผู้สมัครเป็นกรรมการ 7 คนจะมีวิธีเลือกประธานรองประธาน
และเลขาได้ทั้งหมดวิธี
4. ถ้าต้องเลือกตัวอักษรคําว่า loser โดยขึ้นต้นด้วย l ลงท้ายด้วย
จะมีวิธีจัดทั้งหมดวิธี
5. ลูกเต๋าแต่ละลูกประกอบด้วย 6 หน้ าโดยมีแต้ม 12345 และ
ปรากฏอยู่แต่ละหน้ าถ้าทอยลูกเต๋าสูงหนึ่ง 2 ครั้ง

5.1 จำนวนวิธีที่แต้มที่ได้จาการทอดลูกเต๋าทั้ง 2 ครั้งเท่ากับ
5.2 จํานวนวิธีที่แต้มที่ได้จาการทอดลูกเต๋าทั้ง 2 ครั้งต่างกัน
5.3 จํานวนวิธีของผลรวมแต้มที่ได้จากการทอดลูกเต๋าทั้ง 2
น้ อยกว่า 10

6. ในกระเป๋ ามีหนังสืออังกฤษต่างกัน 2 เล่ม เกาหลีต่างกัน 3 เล่ม
ญี่ปุ่นต่างกัน 2 เล่มนําออกมาเรียงกันจะได้ทั้งหมดกี่วิธี

7.มีลูกอม 3 ชนิดอยู่ในโถใบหนึ่งลูกอมรสบ๊วย 5 ลูก ลูกอมรส
ช็อกโกแลต 8 ลูก ลูกอมรสมะนาว 7 ลูก สุ่มหยิบลูกอมจากโถใบนี้ 1
ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกอมรสบ๊วย

8.โรงงานแห่งหนึ่งผลิตหลอดไฟ 100 หลอดเมื่อนำมาทดสอบพบว่ามี
หลอดเสีย 5 หลอด ถ้าสุ่มหยิบหลอดไฟ 1 หลอดจากหลอดไฟที่ผลิต
ทั้งหมด
จงหาความน่าจะเป็ นที่หยิบได้หลอดไฟที่ไม่เสีย

9.กล่องใบหนึ่งมีสลาก 50 ใบ เขียนเลข 1 ถึง 50 สุ่มหยิบสลาก 1 ใบ
จากกล่องจงหาความน่าจะเป็นที่หยิบได้เลขที่หารด้วย 3 ลงตัว

10.โยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว

11.ในถุงมีธนบัตรใบละ 1,000 บาท 2 ใบ ธนบัตรใบละ 500 บาท 3 ใบ
ธนบัตรใบละ 100 บาท 8 ใบ ธนบัตรใบละ 50 บาท 10 ใบ ธนบัตร
ใบละ 20 บาท 15 ใบ ล้วงธนบัตร 1 ใบจากถุง จงหาความน่าจะเป็น
ที่ล้วงได้ธนบัตรที่มีมูลค่าสูงสุด

12.นักเรียนห้องหนึ่งประกอบด้วยนักเรียนชาย 20 คน นักเรียนหญิง
25 คน นักเรียนห้องนี้มีผู้ที่เป็นจิตอาสา 18 คน ซึ่งเป็นชาย 8 คนและ
เป็นหญิง 10 คน ในการแจกของขวัญวันเด็ก
นักเรียนหญิงได้รับโบว์ผูกผม นักเรียนชายได้รับหมวกแก็ป
นักเรียนที่เป็นจิตอาสาได้รับเสื้อยืด จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนห้อง
นี้ได้รับทั้งโบว์ผูกผมและเสื้อยืด

Thank you