เอกสารการสอน-เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3

โรงเรียนวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวทิ ยาลัย ชลบรุ ี

คณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน 6

อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ

ครูผ้สู อน

ครเู ทพมงคล ตามา ครูอญั ชลี ป๊กุ คาม
ครูวฒั นะ เจริญนาน

h=150

30
X

ช่ือ/สกุล.................................................................ช้นั ....................เลขที่...............

คณิตศาสตร์พื้นฐาน 6 ค23102 1
ภาคเรียนที่ 2 ปกี ารศกึ ษา 2564

อัตราสว่ นตรีโกณมิติ

ทบทวนความรู้ก่อนเรียน

* ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส
สำหรบั รูปสำมเหลยี่ มมมุ ฉำกใดๆ กำลงั สองของควำมยำวของด้ำนตรงขำ้ มมุมฉำก เท่ำกบั ผลบวกของกำลัง

สองของควำมยำวของดำ้ นประกอบมุมฉำก

B

ca

A bC

เมอื่ a และ b แทนควำมยำวของดำ้ นประกอบมมุ ฉำกแต่ละด้ำน

c แทนควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก

จะได้ c2  a 2  b2

* จานวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนจริงทีไ่ ม่สำมำรถเขยี นในรูปของ a โดยที่ a, b เปน็ จำนวนเต็ม และ b0
b

เชน่ 2, 3, 

*รปู สามเหลย่ี มทคี่ ล้ายกนั

- รปู สำมเหลี่ยมสองรูปคล้ำยกนั กต็ อ่ เมอ่ื รูปสำมเหลีย่ มสองรูปนน้ั มีขนำดของมมุ เทำ่ กนั เปน็ คู่ๆสำมคู่

- รปู สำมเหลย่ี มสองรูปคลำ้ ยกนั ก็ต่อเมือ่ อตั รำส่วนของควำมยำวของดำ้ นคทู่ ีส่ มนัยกันทกุ คู่ เป็นอัตรำสว่ น
ที่เทำ่ กนั

นักเรยี นสำมำรถทำแบบทำสอบควำมรพู้ ืน้ ฐำนก่อนเรียนได้ที่ http://ipst.me/10734

คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน 6 ค23102 2
ภาคเรียนที่ 2 ปกี ารศกึ ษา 2564

ความหมายของอตั ราส่วนตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (trigonometric ratio) หมำยถงึ อัตรำส่วนของควำมยำวของด้ำนของรูปสำมเหลี่ยมมุม
ฉำก ถ้ำให้  ABC เป็นรูปสำมเหล่ียมมุมฉำก ทม่ี ี Aˆ เปน็ มมุ แหลม และ Cˆ เปน็ มุมฉำก โดยมี a , b , c

เป็นควำมยำวของดำ้ นตรงขำ้ มมุม Aˆ Bˆ และ Cˆ ตำมลำดับBดงั นี้

ca

A bC

จำกรปู เรำจะเรยี กด้ำนต่ำง ๆ ของรปู สำมเหลย่ี มมุมฉำก ABC ได้ดังน้ี
AB เรียกวำ่ ด้านตรงขา้ มมุมฉาก (hypotenuse)
BC เรียกวำ่ ด้านตรงขา้ มมมุ A (the opposite side of angle A)
AC เรียกวำ่ ด้านประชิดมุม A (the adjacent side of angle A)

สาหรบั รปู สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ อัตราสว่ นตรีโกณมิตเิ ดยี วกันของมุมท่ีมขี นาดเท่ากนั จะมีคา่ เทา่ กัน

กาหนดให้ ABC และ XYZ เปน็ รูปสามเหลยี่ มมุ ฉากท่ีคลา้ ยกนั และมีความยาวของดา้ นตา่ งๆ ดังรปู

ต้องการพสิ จู น์วา่ a  x , c  z และ a  x
b y b y c z

พิสจู น์ เน่ืองจำก ABC ~ XYZ

จะได้ a  b (สมบตั ิของรปู สำมเหลี่ยมคล้ำย)
x y

ay  xb (กำรคณู ไขว)้

ay  bx (สมบัติกำรสลับทสี่ ำหรบั กำรคณู )

a  x (กำรคณู ไขว)้
b y

คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน 6 ค23102 3
ภาคเรียนท่ี 2 ปีการศกึ ษา 2564

โดยกำรพสิ ูจนท์ ำนองเดยี วกนั กับข้ำงตน้ สำมำรถแสดงไดว้ ำ่ c  z และ a  x
b y c z

จำกสมบัตขิ ำ้ งต้น สำมำรถกล่ำวไดว้ ำ่ อัตรำส่วนตรีโกณมิติเดียวกันของมุมมมุ หนึ่งเป็นคำ่ คงตัวคำ่

หนึ่ง และเพอื่ ควำมสะดวกจะเรียกอตั รำสว่ นตรีโกณมติ ทิ งั้ สำมของนั้นทก่ี ล่ำววำ่ ไซน์ (sine) โคไซน์ (cosine) และ

แทนเจนต์ (tangent) ตำมบทนิยำมตอ่ ไปนี้
จำกรูป สำมำรถหำอัตรำส่วนตรีโกณมติ ิ ซึ่งมี Aˆ เปน็ มมุ แหลม ไดด้ ังนี้
B

ca

A bC

บทนิยาม sin A = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A = ข้าม = a
ไซน์ (sine) ของมมุ A ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ฉาก c

โคไซน์ (cosine) ของมมุ A cos A = ความยาวของดา้ นประชิดมมุ A ชิด = b
ฉาก c
ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก =

แทนเจนต์ (tangent) ของมมุ A tan A = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A = ข้าม = a
ความยาวของดา้ นประชิดมมุ A ชิด b

นอกจำกอัตรำส่วนตรีโกณมติ ทิ ี่กล่ำวมำแลว้ ยงั มีอตั รำส่วนตรีโกณมติ ิอกี 3 อตั รำส่วนซึง่ เป็นสว่ นกลับของ
3 อตั รำส่วนแรก คอื

โคเซแคนนต์ (cosecant) ของมมุ A cosec A เท่ำกับ ส่วนกลับของ sin A
เซแคนนต์ (secant) ของมมุ A sec A เทำ่ กับ ส่วนกลับของ cos A

โคแทนเจนต์ (cotangent) ของมุม A cot A เทำ่ กบั ส่วนกลบั ของ tan A

ตัวอย่างท่ี 1 จำกรูปสำมเหลยี่ มมมุ ฉำก ABC ท่กี ำหนดให้ จงหำคำ่ ของ sinA, cosA, tanA, sinB, cosB และ tanB

B

6

AC

8

คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน 6 ค23102 4
ภาคเรยี นท่ี 2 ปีการศึกษา 2564

ตัวอย่างท่ี 2 จำกรูปสำมเหล่ยี มมมุ ฉำก XYZ ทก่ี ำหนดให้ จงหำคำ่ ของ sinX, cosX, tanX, sinZ, cosZ และ tanZ

ตวั อยา่ งที่ 3 กำนดให้ MAT เปน็ รูปสำมเหลยี่ มมุ ฉำกท่ีมมี มุ A เป็นมมุ ฉำก AT = 22 หนว่ ย และ cosT  11
61

จงหำควำมยำวของ TM และ sinT

ตวั อย่างท่ี 4 กำหนดให้ NAT เปน็ รปู สำมเหล่ียมทมี่ มี ุม A เป็นมุมฉำก มพี ้นื ท่ี 60 ตำรำงหน่วย และ NA ยำว
12 หนว่ ย ดังรูป จงหำคำ่ ของ tan Tและ tan N

คณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 6 ค23102 5
ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2564

แบบฝึกหดั ที่ 1

1. จงหำค่ำของ sinD, cosD, tanD

2. จงหำค่ำของ sinB, cosB, tanB

3. จำกรปู จงหำคำ่ ของ sinX, cosX, tanX, sinZ, cosZ และ tanZ
4. จำกรปู จงหำค่ำของ sinSPˆQ , cosSRˆ Q , tan SQˆ R , sin RPˆQ , cosPQˆ S และ tan PRˆ Q

คณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 6 ค23102 6
ภาคเรียนท่ี 2 ปีการศึกษา 2564

5. จำกรูปกำหนดให้ BC = 20 BD = 5 และ AD = 8 จงหำ sinC และ cos2 B

6. จงเขยี นอตั รำสว่ นตอ่ ไปน้ี
1. P r Q

qp sin P = ............ sin R = ............
R cos P = ............ cos R = ............
tan P = ............ tan R = ............

2. B sin A = ............ sin B = ............ cosec A = ............ cosec B = ............
5 3 cos A = ............ cos B = ............ sec A = ............ sec B = ............
cot A = ............ cot B = ............
A4 tan A = ............ tan B = ............
C

A

7. จงตอบคำถำมต่อไปน้ี sin X = ............ sin Z = ............
1. X cos X = ............ cos Z = ............
tan X = ............ tan Z = ............
6
sin D = ............ cosec E = ............
Y 8Z cos D = ............ sec E = ............
2. E tan D = ............ cot E = ............

17

D 8F

คณติ ศาสตร์พื้นฐาน 6 ค23102 7
ภาคเรยี นท่ี 2 ปีการศึกษา 2564

8. จำกรูป จงหำคำ่ ของ sinP  tan R

9. กำหนดให้ ABC เปน็ รปู สำมเหลีย่ มทม่ี ีมมุ B เป็นมมุ ฉำก BC=10 หน่วย และ tan A  2 จงหำคำ่ ของ sin A

10. กำหนดให้ PQR เป็นรปู สำมเหล่ยี มที่มีมุม Q เป็นมุมฉำก PQ=5 หน่วย และ cosP  2 จงหำคำ่ ของ
2

tan R

11. กำหนดใหส้ ำมเหล่ยี มหน้ำจ่วั JKL มี LJ = 16 หน่วย จงหำค่ำของ sin MKˆ L

คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 6 ค23102 8
ภาคเรียนท่ี 2 ปีการศึกษา 2564

12. กำหนดให้ ACD เปน็ รปู สำมเหล่ียมมุ ฉำก ท่ีมี CD ยำว 12 หนว่ ย และจดุ B เปน็ จุดก่งึ กลำงของ AC ดังรปู
ถำ้ ACD มีพ้นื ท่เี ท่ำกับ 60 ตำรำงหน่วย จงหำค่ำของ tan CDˆ A และ cosDBˆ C

13. กำหนดให้ sin A = 5 จงหำคำ่ cos A
13

14. กำหนดให้ 5sin B = 4 จงหำคำ่ tan B

15. กำหนดให้ 13cos A = 12 จงหำคำ่ 3sin A

16. กำหนดให้ cos A = 4 จงหำค่ำของ tan A – sin A
5

คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน 6 ค23102 9
ภาคเรียนท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2564

17. กำหนดให้ sin A = 0.6 จงหำค่ำ cos A และ tan A

18. ถำ้ cos A = 0.8 แลว้ sin A + tan A มคี ่ำเท่ำใด

19. กาหนดให้ sin A cosA  2 จงหาค่าของ sin AcosA2

20. ถำ้ tan A  3 จงหาค่าของ sinA  cosA cotA
4

21. ถ้ำ sec A  17 จงหาคา่ ของ
15

1. sin 2 A  cos2 A

2. 1 tan 2 A  sec2 A

3. 1 cot2 A  cosec2 A

คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน 6 ค23102 10
ภาคเรียนท่ี 2 ปกี ารศกึ ษา 2564

22. กาหนดให้ 5sin A  3 จงหาค่า
1. cosec2A

1 cot2 A

2. sin2 A

1 tan 2 A

3. cosAsecA  tan A cot A

4. sin2 A  cos2 A
sin A cosecAcosA secA

5. 5sin A  3cosA
sin A  2 cosA

คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน 6 ค23102 11
ภาคเรยี นท่ี 2 ปกี ารศกึ ษา 2564

23. ในรปู สามเหลย่ี ม ABC มี Bˆ  90o ให้ sin C  5 จงหา tan A  cot A
13 secA  cosecA

24. ในรปู สำมเหลยี่ มมุมฉำกซ่งึ มี C เป็นมมุ ฉำก ถ้ำ cosA  1 จงหา sin A  cosA
2 sin A  cosA

คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน 6 ค23102 12
ภาคเรยี นท่ี 2 ปีการศกึ ษา 2564

อตั ราสว่ นตรีโกณมิตขิ องมมุ แหลม

อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิของมุมท่ีมขี นาด 30o , 45o และ 60o
สำหรับหวั ขอ้ นีพ้ จิ ำรณำเฉพำะมมุ แหลมที่มขี นำด 30o , 45o และ 60o เทำ่ นัน้ ทง้ั นี้ เนื่องจำกรูป

สำมเหลี่ยมมมุ ฉำกทม่ี มุ ภำยในมีขนำด 30o , 45o และ 60o เปน็ รปู สำมเหล่ยี มมุมฉำกทไ่ี ด้จำกรูปสำมเหล่ยี มด้ำน
เท่ำ และรปู สำมเหล่ียมมมุ ฉำกทม่ี ุมภำยในมขี นำด 45o เปน็ รปู สำมเหลี่ยมมมุ ฉำกหน้ำจ่ัว

มมุ ท่มี ขี นาด 30o และ 60o

ใหน้ ักเรียนพจิ ำรณำรูปต่อไปน้ี แลว้ เตมิ คำตอบและเหตุผลลงในตำรำงใหส้ มบูรณ์ เพอื่ หำค่ำของ sin30o ,
cos30o , tan 30o , sin 60o , cos60o และ tan 60o

จำกรูป กำหนดให้ ABC เป็นรปู สำมเหล่ยี มดำ้ นเท่ำท่ีมี AB = 2 หน่วย และ D เปน็ จุดกง่ึ กลำงของ AC

ข้อท่ี ขอ้ ความ เหตุผล

1 AD = หนว่ ย

2 BD = หนว่ ย

3 ABˆ D = องศำ

4 sin30o =

5 cos30o =

6 tan 30o =

7 Aˆ = องศำ

8 sin 60o =

9 cos60o =

10 tan 60o =

คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน 6 ค23102 13
ภาคเรียนที่ 2 ปกี ารศกึ ษา 2564

มมุ ทมี่ ขี นาด 45o
ให้นกั เรียนพิจำรณำรูปต่อไปน้ี แลว้ เตมิ คำตอบและเหตุผลลงในตำรำงให้สมบูรณ์ เพ่อื หำคำ่ ของ sin 45o ,

cos45o และ tan 45o

จำกรูป กำหนดให้ ABC เปน็ รปู สำมเหล่ียมมุมฉำกหน้ำจัว่ ท่มี ี AB = 1 หน่วย

ข้อที่ ข้อความ เหตุผล

1 BC = หนว่ ย

2 AC = หนว่ ย

3 Aˆ = องศำ

4 sin 45o =

5 cos45o =

6 tan 45o =

จำกกำรคำนวณข้ำงตน้ สำมำรถสรุปคำ่ ของอตั รำส่วนตรีโกณมิตขิ องมุมที่มขี นำด 30, 45  และ 60 ดงั น้ี

อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ ขนาดของมมุ A

30o 45o 60o

sinA 1 1 2 3
2 2 2 2

cosA 3 1 2 1
2 2 2 2

tanA 1 3 1 3
3 3

ตัวอยา่ งที่ 1 จำกรูปสำมเหลยี่ มมมุ ฉำก ABC ทกี่ ำหนดให้ AB = 174 หนว่ ย และ Aˆ  30o จงหำ BC และ AC

คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน 6 ค23102 14
ภาคเรยี นท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2564

ตวั อยา่ งที่ 2 กำหนดให้ ABCD เปน็ รปู สี่เหลีย่ มจตั ุรัส ที่มเี ส้นทะแยงมมุ BD ยำว 537 หน่วย จงหำควำม
ยำวของเสน้ รอบรูปของรปู ส่เี หลี่ยมจตั รุ ัสนี้

ตัวอย่างที่ 3 จำกรูปสำมเหลย่ี มทก่ี ำหนดให้ จงหำค่ำของ x + 2y – z

ตวั อย่างที่ 4 จำกรูป กำหนดให้ AB  24 3 หน่วย จงหำ CD

ตวั อยา่ งที่ 5 กาหนดให้ ABC เปน็ รูปสำมเหลยี่ มด้ำนเท่ำ ท่มี ีจดุ D และ F เป็นจุดกึ่งกลำงของ AB และ
BC ตำมลำดบั CD และ AF ตัดกันทจ่ี ุด O ดงั รูป ถ้ำ CA = 6 หน่วย แล้ว AO ยำวเทำ่ ใด

คณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน 6 ค23102 15
ภาคเรยี นท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2564

แบบฝึกหดั ที่ 2

1. จงหำคำ่ ของอตั รำสว่ นตรโี กณมติ ิต่อไปน้ี
1) sin 60  cos30

2) cosec30  sec60

3) 3sin 30  5cos60

4) sin 45 cos45  sin30 cos60

5) tan 2 60  2 tan 2 45

6)    3 tan 30 2  sin 45 2

7) 3 cos30o  2 cos45o  2 sin 45o

 8) 2  cos60o sin 45o
tan 60o 
32

1
cos30o
   9) 2
 tan 30o
2

คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน 6 ค23102 16
ภาคเรียนที่ 2 ปกี ารศกึ ษา 2564

10) sin 45  tan 45
cos 45

11) cos30 sin 45 tan 60 cosec45
sec45 cot30

12) (tan 60 ) 2  (sin30o )2  1  3 cos30o
cos60o

13) 3 tan 2 30o  4 cos2 30o  1 sec2 45o  1 sin 2 60o
3 2 3

2. ถ้า cotA 1, cosB  3 และ sin C  1 ค่าของ Aˆ  Bˆ  Cˆ เท่ากบั กอี่ งศา
2
2

3. ให้ A  30o จงหาค่าของ 2sin A cosA A
1 cos2 A  sin2

คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน 6 ค23102 17
ภาคเรียนที่ 2 ปีการศกึ ษา 2564

4. จงตอบคำถำมตอ่ ไปน้ี
1) จงหำคำ่ x จำกสมกำร x sin30 cos60  4

2) จงหำค่ำ x จำกสมกำร x sin 60 cos30  3
4

3) จงหำค่ำ x จำกสมกำร 3x tan 30 cos30  sin2 60

4) จงหำคำ่ x จำกสมกำร tan 45  cos2 60  x  sin 45 cos45 tan 60

5) จงหาคา่ ของ x จาก 3 sin 2 60o 4  3x cot2 30o  tan 2 45o
 sec2 30o

คณติ ศาสตร์พื้นฐาน 6 ค23102 18
ภาคเรยี นที่ 2 ปีการศึกษา 2564

5. จงหาจานวนจรงิ a ทส่ี อดคล้องกับ tan 2 60o sin2 30o  tan 2 30o  cos2 30o  a sin2 45o  cos2 45o

6. จงหาค่า x จากสมการ tan 45o  cos2 60o  x sin 45o cos45o tan 60o

7. จงหาคา่ x จากสมการ x sin 30o cos2 45o  tan 2 60o tan 45o
sin 30o cos60o

8. จงหาคา่ x จากสมการ cosec2 30o  3x cot2 45o  2 sec2 60o

คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน 6 ค23102 19
ภาคเรียนท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2564

9. ถา้ x1, x2 เปน็ คาตอบสมการ x 2 tan 2 45o  x cot2 30o  sec2 60o  0 แลว้ x1, x2 มีค่าเทา่ กับเท่าใด

10. จงหาคา่ x จากสมการ x 2 sin2 45o cosec30o  5x tan 2 30o sec2 60o  1 มีคา่ เท่ากับเท่าใด

11. จงหาค่า x จากสมการ x sin 60o cos2 30o  cot2 tan 60o sin 30o มคี ่าเท่ากับเท่าใด
45o sec2 45o cosec60o

คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน 6 ค23102 20
ภาคเรยี นที่ 2 ปีการศกึ ษา 2564

12. จำกรุปสำมเหล่ียมมุมฉำกต่อไปนี้ จงหำค่ำ x และ y
1)

2)

3. จำกรปู จุด O เปน็ จดุ ศูนยก์ ลำงของวงกลมทีม่ ีรศั มียำว 2 หนว่ ย ถ้ำ DAˆ O  30o จงหำค่ำ CD
14. จำกรูปกำหนดให้ CBˆ D  30o , `และ BD = 24 หน่วย ถ้ำ ACD มพี ื้นท่ี 32 39 ตำรำงหนว่ ย

คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน 6 ค23102 21
ภาคเรยี นท่ี 2 ปีการศกึ ษา 2564

15. จำกรูป กำหนดให้ BEC เปน็ รปู สำมเหล่ยี มหน้ำจัว่ จงหำคำ่ DE

16. จำกรูป จุด O เปน็ จกุ ศนู ยก์ ลำงของวงกลมท่มี ีรศั มียำว 10 หน่วย จงหำพน้ื ที่ของรูปสำมเหลยี่ ม ABO

17. กำหนดรูป  ABC มีมมุ B เป็นมมุ ฉำก ถ้ำดำ้ น AC ยำว 10 ซม. และมมุ A มขี นำด 60o จงหำควำมยำวของ
ดำ้ น AB และ BC

C

10

A 60o B

18. จำกรูปกำหนดให้ ABC และ ABD เป็นรูปสำมเหลี่ยมมมุ ฉำกAB = 10 ซม.จงหำควำมยำวของ AD และ BC
D

30o
C

A 45o B

คณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 6 ค23102 22
ภาคเรยี นท่ี 2 ปีการศึกษา 2564

19. จำกรปู Bˆ กำงก่อี งศำ

A

12

B C

43

20. จำกรปู จงหำควำมยำว CD

A

150 60 30

B C D

21. จากรูป จงหาค่า x

คณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 6 ค23102 23
ภาคเรยี นที่ 2 ปีการศกึ ษา 2564

22. จากรูป จงหาคา่ m

23. ถ้า  tan 60o 2x6   cot30o 2x  13cosec30o แลว้ x 2  3 มีคา่ เทา่ ใด

24. กาหนดให้ T  3 tan 2 30o  4 cos2 0o  1 sec2 45o  1 sin 2 60o
3 2 3

A  cot2 270o  4 cos2 45o  3sec2 30o

N  cot2 30o  sin2 45o  sin2 180o  cos2 60o

จงเรยี งลาดบั ค่าทางตรีโกณมิติทก่ี าหนดให้ จากมากไปนอ้ ย

คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน 6 ค23102 24
ภาคเรียนที่ 2 ปกี ารศกึ ษา 2564

25. กาหนดให้ 2 tan x  3และ 4 sin x  cos x  a เมอ่ื a และ b เปน็ จานวนเต็มบวก จงหาคา่ a – b
5 sin x  2 cos x b

26. กาหนดให้ A  cot2 60o tan 45o sec60o และ B  tan 60o  tan 30o จงหา A + B
cosec2 45o cos ec30o 1 cot30o cot 60o

27. กาหนดให้ A  8(cos30o )2  3(tan 60o )2  4(sin 60o )2 และ

B 2 cos30o  sin 45o tan 45o  2 sin 60o tan 30o จงหา 2A – B
tan 60o cos 45o

คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน 6 ค23102 25
ภาคเรยี นที่ 2 ปีการศึกษา 2564

28. พรำวีต้องกำรขุดบ่อในสวนหลังบำ้ นเพือ่ เลยี้ งปลำทะเลหลำยสำยพันธ์ โดยบอ่ ปลำมีลักษณะเป็นรปู หกเหลี่ยม
มุมเท่ำนั่นคอื มมุ ภำยในแต่ละมุมมีขนำดเทำ่ กบั 120o และมีควำมยำวด้ำน ดังรูป ถำ้ พรำวีตอ้ งกำรใส่น้ำทะเลในบอ่
เลย้ี งปลำให้มคี วำมลกึ 1 เมตร พรำวีควรจะส่ังซอื้ น้ำทะเลมำประมำณก่ีลกู บำศกเ์ มตร(ตอบเป็นทศนยิ ม 2 ตำแหนง่ )

29. กาหนดให้ ACF เปน็ รปู สามเหล่ยี มท่ีมีมุม A เป็นมุมฉาก มี AF = 20 และ CAD เป็นรปู สามเหลยี่ มท่ีมีมมุ
C เป็นมมุ ฉาก มี CD = 50 หน่วย ดังรูป ถ้าให้ BE ต้ังฉากกับ AC และ AB = 20 หน่วย แลว้ จงหาพื้นทข่ี องรูป
สามเหล่ียม AEC

คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน 6 ค23102 26
ภาคเรยี นที่ 2 ปีการศกึ ษา 2564

30. ถา้ sin A  cosA  0 จงหาค่าของ 1 sin A เมื่อ 0  A  90o
1 cosA

31. กาหนดให้ sin x  3cosx
1. จงแสดงว่า 10cos2 x  1
2. จงหาจานวนจริง a ที่สอดคลอ้ งกับ sin2 x  cos2 x  a

32. จำกรปู กำหนดให้ ABˆ D  75o และ AC  3 3 หนว่ ย ถ้า 2Bˆ  Dˆ  BAˆ D จงหา BD

คณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน 6 ค23102 27
ภาคเรียนที่ 2 ปกี ารศกึ ษา 2564

อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิของมุมแหลมขนาดอ่ืนๆ
ตารางแสดงคา่ ของอัตราส่วนตรโี กณมิติของมุมท่มี ีขนาดเปน็ จานวนเต็ม (องศา) ระหว่าง 0o และ 90o

คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน 6 ค23102 28
ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2564

คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน 6 ค23102 29
ภาคเรียนที่ 2 ปกี ารศึกษา 2564

ตวั อย่างท่ี 6 จำกรูปจงหำ BC

ตัวอย่างที่ 7 จำกรปู จงหำพ้นื ทข่ี องรูปสำมเหลี่ยม ABC โดยประมำณ

ตัวอย่างท่ี 8 จำกรูป กำหนดให้ AC = 6 หนว่ ย จงหำ DE

คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน 6 ค23102 30
ภาคเรียนที่ 2 ปีการศกึ ษา 2564

แบบฝึกหดั ที่ 3
1. จำกรูปสำมเหลี่ยมมมุ ฉำกที่กำหนดให้จงหำควำมยำวของด้ำนทีเ่ หลือ

1)

2)

2. จงหำพืน้ ทโ่ี ดยประมำณของรูปส่ีเหล่ยี มขนมเปียกปนู PONG

3. กำหนดให้ ABCเปน็ รูปสำมเหลี่ยมท่ีมมี ุม C เป็นมุมฉำก และมุม A มีขนำด 27o ด้ำน BC ยำว 10 หน่วย จง

หำควำมยำวรอบรูปของรสู ำมเหลย่ี มนี้

คณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 6 ค23102 31
ภาคเรียนที่ 2 ปีการศกึ ษา 2564

4. จำกรูป ถ้ำ PR = 30 หน่วย จงหำพนื้ ที่ของรูปสี่เหลี่ยมคำงหมู PRST

คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน 6 ค23102 32
ภาคเรยี นที่ 2 ปกี ารศกึ ษา 2564

เอกลกั ษณ์ของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิใบความรู้ท่ี

1. sincosec  1 2. cossec 1

3. tan cot  1 4. sin2   cos2   1

5. sec2   tan 2   1 6. cosec2  cot2   1

7. tan   sin  เม่ือ cos  0 8. cot  cos เมื่อ sin  0
cos sin 

1. จงแสดงว่า
1) costan   sin

2) cotsec  cosec

3) (1 sin2 )sec2   1

4) (1  cot2 )sin2   1
5) coseccos  cot

คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน 6 ค23102 33
ภาคเรียนท่ี 2 ปีการศึกษา 2564

2. จงหำค่ำของ 1  sin 2  1  cos2 
cos2  sin2 

3. จงหำคำ่ ของ sec2   1  cosec2  1
tan  cot2 
2

4. ถ้ำ  1 A  1  1  1   r จงหาค่าของ 1 r  r 2  r3  r 4
 cos cot A  cosA cot A 

5. ถ้ำ A เป็นมุมแหลม และ tan A  1 จงหาค่าของ
cosA
1  5 sin A
cosA
tan A 

คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 6 ค23102 34
ภาคเรียนท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2564

การนาอตั ราส่วนตรีโกณมิติไปใช้ในการแก้ปัญหา

อัตรำส่วนตรโี กณมิตมิ ีประโยชน์มำกในกำรหำควำมยำว ควำมสงู และระยะทำงของ ส่งิ ตำ่ ง ๆ โดยทรำบคำ่
มุมใดมมุ หน่งึ และควำมยำวของอีกด้ำนใดด้ำนหนง่ึ ของรูปสำมเหล่ียมมุมฉำก ก็สำมำรถหำด้ำนที่เหลือได้ ซ่งึ กำรนำ

ควำมรู้เรอ่ื งตรีโกณมติ ไิ ปประยุกต์ใช้ในชวี ติ ประจำวนั ควรร้เู รอ่ื งตอ่ ไปน้ี

เส้นระดับ คือ เส้นตรงที่ขนำนกับผิวนำ้ ทะเล หรือขนำนกบั พืน้ รำบ
มมุ เงยทแ่ี นวสายตา คือ มุมทเ่ี บนจำกเสน้ ระดับไปยงั วัตถุทสี่ ังเกตหรือมองอย่เู หนือเสน้ ระดับ
มุมก้มทแ่ี นวสายตา คือ มมุ ทีเ่ บนจำกเส้นระดบั ไปยงั วตั ถุที่สงั เกตหรือมองอยู่ตำ่ กว่ำเส้นระดบั

ตัวอย่างท่ี 1 วิษณุต้องกำรปนี ขน้ึ ไปบนกำแพงเพอื่ ดวู ำ่ ดำ้ นหลังของกำแพงมีสิง่ ที่น่ำสนใจอะไรบำ้ ง วษิ ณุควรใช้
บันไดที่มีควำมยำวอยำ่ งน้อยที่สดุ ก่เี มตร เขำจงึ สำมำรถปีนขน้ึ ไปถงึ ด้ำนบนสุดของกำแพงนไี้ ด้ เมื่อ
เชงิ บนั ไดห่ำงจำกกำแพง 5 เมตร และบนั ไดทำมุมกับพ้ืนดนิ 60 องศำ ดงั รปู

B

60o C
A5

คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน 6 ค23102 35
ภาคเรียนที่ 2 ปกี ารศึกษา 2564

ตวั อย่างท่ี 2 เด็กคนหนึง่ มองบอลลนู ที่อย่สู ูงจำกพนื้ 20 เมตร ดว้ ยมุมเงย 60 องศำ ต่อมำบอลลูนลอยออกห่ำง
จำกตัวเด็กโดยยงั คงระดับควำมสงู จำกพื้นเทำ่ เดิม จนกระท่ังมมุ เงยทเ่ี ด็กมองบอลลูนลดลงเหลือ 30 องศำ จงหำว่ำ
บอลลนู อยู่ห่ำงจำกเดิมเป็นระยะทำงเทำ่ ไร

ตัวอยา่ งที่ 3 เสำไฟฟำ้ สองตน้ สูงเทำ่ กนั อยู่ห่ำงกัน 100 ฟุต มำนพยืนอยู่ ณ จุดหน่ึงระหวำ่ งเสำไฟฟ้ำสองตน้ นี้
บนแนวเดยี วกันกบั โคนเสำไฟฟ้ำทง้ั สองต้น เขำมองดยู อดเสำเปน็ มุมเงย 30 องศำ และ 60 องศำตำมลำดับ จงหำวำ่

เขำยนื อยหู่ ำ่ งจำกเสำไฟตน้ แรกก่ีฟตุ

คณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน 6 ค23102 36
ภาคเรียนที่ 2 ปีการศกึ ษา 2564

แบบฝึกหัดที่ 4
1. ข้าวปน้ั มองเหน็ ต้นตาลต้นหน่ึง เขาต้องการประมาณความสงู ของตน้ ตน้ ตาลต้นนี้ จงึ เดินออกห่างจากโคนต้นตาล
มาประมาณ 7 เมตร และมองผา่ นกลอ้ งส่องทางไกลไปที่ยอดต้นตาล ซึ่งแนวสายตาท่ีขา้ วป้ันมองเห็นยอดตน้ ตาลทา
มุมขนาดประมาณ 75o กับแนวเสน้ ระดับสายตาพอดี ถา้ ระยะจากพน้ื ถงึ ตาขา้ วป้ันเท่ากับ 175 เซนตเิ มตร จงหาว่า
ตน้ ตาลสูงประมาณเทา่ ใด

2. ชายคนหน่งึ นงั่ อยบู่ นยอดตกึ ซง่ึ สุง 60 เมตร สงั เกตเห็นเด็กคนหนงึ่ กาลงั เดนิ ตรงเขา้ มาเป็นมมุ กม้ 30o ถ้าเด็กคนนี้
เดนิ ดว้ ยอัตราเรว็ สม่าเสมอ 0.5 เมตรตอ่ วินาที นานเท่าใดจึงจะเห็นเด็กคนนอี้ กี ครั้งหนงึ่ เป็นมุมก้ม 60o โดยไม่คิด

ความสงู ของเดก็ และชายคนนี้

3. อาคาร ก และอาคาร ข อยูห่ า่ งกนั 5 เมตร ดงั รปู เม่ือมองจากจดุ A ของอาคาร ข มายงั ยอดตึกของอาคาร ก ที่
จดุ C พบว่ามุมก้มจะมีขนาด 47o แตถ่ า้ มองจากจุด B ของอาคาร ข ไปยงั ยอดตึกของอาคาร ก ที่จุดเดียวกัน พบว่า
มุมเงยมีขนาด 55o จงหาความสงู ของอาคาร ข

คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน 6 ค23102 37
ภาคเรียนท่ี 2 ปกี ารศกึ ษา 2564

4. ตน้ ไม้ต้นหนึง่ ทอดเงายาว 40 เมตร แนวของเส้นตรงท่ีลากผา่ นจุดปลายของเงาตน้ ไม้และยอดต้นไมท้ ามมุ 20o
กบั เงาของต้นไม้ จงหาความสูงของตน้ ไม้น้ี

5. แมนเมอื งพาดบันไดไวก้ ับกาแพงโดยใหป้ ลายบันไดตอนบนจดขอบกาแพงพอดี ถ้าบันไดยาย 6.5 เมตร และบนั ได
น้ที ามุมกบั พืน้ ดินประมาณ 52o กาแพงนส้ี ูงประมาณเท่าใด

6. เดน่ จันทรย์ นื อยู่ห่างจากเสาไฟฟา้ 75 เมตร มองเหน็ ยอดเสาไฟฟ้าเปน็ มมุ เงย 30o ถา้ เขาเดนิ เขา้ หาเสาไฟฟา้ เป็น
เวลา 2 นาที จะเห็นยอดเสาไฟฟ้าเปน็ มมุ เงย 60o อยากทราบว่าเด่นจนั ทรเ์ ดนิ ได้นาทีละกี่เมตร

คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน 6 ค23102 38
ภาคเรยี นที่ 2 ปกี ารศกึ ษา 2564

7. แพราวาและปลายหมอกยนื ห่างจากผนังในหอศลิ ปแ์ หง่ หนงึ่ เปน็ ระยะ 2 และ 8 เมตร ตามลาดับ ถา้ แพราวามอง
ภาพมะนาวผลหนง่ึ บนผนังเป็นมุมเงย x องศา ในขณะทป่ี ลายหมอกมองภาพมะนาวผิลเดยี วกันเปน็ มมุ เงย 90 – x
องศา ถ้าไมค่ ิดความสูงของแพรวา และปลายหมอก จงหาว่าภาพมะนาวผลน้ีอยู่สูงจากพืน้ ก่ีเมตร

8. เครื่องบนิ บนิ ออกจากสนามบินเพื่อช่วยเหลอื ผู้ประสบอทุ กภัย ด้วยอัตราเร็ว 360 กโิ ลเมตรต่อชั่วโมงในทิศทาง
ทามุมเงย 45 องศากับพ้ืนราบ หลังจากเวลาผา่ นไป 2 นาที จงึ หยอ่ นถงุ ยงั ชพี ลง ณ จุดนดั หมายที่ 1 และ
หลังจากหย่อนถุงยังชีพแล้ว จึงบินต่อไปดว้ ยอัตราเรว็ 480 กโิ ลเมตรต่อชวั่ โมง โดยลดมุมเงยลง 15 องศาเปน็ เชน่ นี้
ไปอกี 2 นาที จงึ หย่อนถุงยงั ชพี ลงอีกครง้ั ณ จุดนดั หมายที่ 2 จงหาว่าจุดนดั หมายทง้ั สองจุดห่างกันกกี่ ิโลเมตร

9. ชายคนหน่งึ อยู่ที่ระเบียงช้ันที่ 37 ของคอนโดมิเนยี มซ่ึงอย่บู นฝ่ังเหนอื ระดบั นา้ ทะเล 4.4 เมตร เขามองเห็นเรือ
สองลาจออยูใ่ นทะเลทามุมกม้ 30o และ 60o ตามลาดับ แตล่ ะชั้นของคอนโดมิเนยี มสูง 3 เมตร ถา้ ชายคนน้ีมคี วาม
สงู ถึงระดับสายตา เท่ากับ 1.6 เมตร จงหาว่าเรือทั้งสองลาอยหู่ า่ งกนั ประมาณเทา่ ใด

คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน 6 ค23102 39
ภาคเรียนท่ี 2 ปกี ารศกึ ษา 2564

10. รถยนต์คนั หนึง่ วิ่งขึน้ เนินเขาซ่งึ ทามุม 30o กบั พน้ื ราบ เมื่อว่งิ ไปได้ 2.4 กโิ ลเมตร ถนนชนั ขนึ้ อีก โดยทามมุ 45o
กบั พื้นราบ ถา้ ยังวงิ่ ไปตอ่ อีก 4 กโิ ลเมตร รถยนต์คันนี้อยู่สงู จากระดบั พน้ื ราบกเ่ี มตร และระยะทางทสี่ ั้นท่ีสุดจาก
จดุ เริ่มต้นถงึ จุดส้ินสุดเป็นเท่าใด

11. ตน้ กลา้ อยทู่ จี่ ุด E มองเหน็ หลังคาตึก ณ จุด B เป็นมมุ เงย 60o เดก็ ชายตน้ ข้าวอยทู่ จ่ี ุด D ของตึกใบไผจ่ ะเหน็
หลังคาตึกใบโพธ์ิ ณ จุด B เปน็ มมุ เงย 30o ถ้าตึกใบไผอ่ ยู่ห่างจากจดุ E 60 เมตร และตกึ ใบไผ่สงู 20 เมตร ตกึ ใบโพธ์ิ
สูงกเ่ี มตร

12. เสาอากาศวิทยุติดตงั้ อยบู่ นยอดตกึ มีชายคนหน่ึงสูง 150 เซนตเิ มตร ยนื หา่ งจากตกึ 40 เมตร เขามองเหน็ ยอด
เสาอากาศและยอดตกึ เปน็ มมุ เงย 60o และ 30o กบั ระดับสายตา ตามลาดบั จงหาว่าเสาอากาศสูงประมาณกเ่ี มตร

คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน 6 ค23102 40
ภาคเรียนท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2564

13. นายทาเคชิและนายรวิ ยนื อยู่หา่ งกัน 100cos30o เมตร นายทาเคชิมองเหน็ นายรวิ ปล่อยลูกโป่งลอยขึน้ ตรงใน
แนวดิ่งด้วยอัตราเรว็ สม่าเสมอ นายทาเคชเิ หน็ ลูกโป่งเป็นมุมเงย 30 องศา ตอ่ มาอกี 20 วนิ าที นายทาเคชมิ องเหน็
ลูกโป่งเป็นมมุ เงย 60 องศา จงหาวา่ ลูกโป่งลอยข้ึนไปในแนวดิง่ ด้วยอัตราเร็วกี่เมตรต่อวินาที (ทาเคชิและรวิ มสี ่วนสงู
เทา่ กัน)

14. สายชลยนื อยู่บนยอดตกึ สูง 150 เมตร มองเห็นรถสองคันจอดอยู่บนถนนในแนวเส้นตรงเดยี วกนั ทามุมก้ม 30o
และ 60o อยากทราบวา่ รถทง้ั สองคนั อยหู่ า่ งกันเทา่ ไร

คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน 6 ค23102 41
ภาคเรียนที่ 2 ปีการศกึ ษา 2564

เซกเตอร์ คอื สว่ นทปี่ ิดล้อมด้วยรศั มวี งกลมและส่วนโคง้ ของวงกลม

พ้ืนทข่ี องเซกเตอร์ เท่ำกับ r 2  no  เม่ือ n เป็นมุมของเซกเตอร์
360o

เซกเมนต์ คอื พ้นื ท่ีทถี่ ูกปิดล้อมด้วยคอร์ดกับสว่ นโคง้ ของวงกลม

ตวั อยา่ งที่ 1 วงกลม O มพี น้ื ท่ี 254 ตำรำงหน่วย มี OT และ OA เปน็ รัศมี มุม TOA กำง 135o จงหำพน้ื ทีแ่ รเงำ

(กำหนดคำ่   22 )
7

คณิตศาสตร์พื้นฐาน 6 ค23102 42
ภาคเรยี นที่ 2 ปีการศกึ ษา 2564

ตัวอยา่ งท่ี 2 จำกรปู กำหนดให้ AO = AD และ AOˆ D  45o จงหาพืน้ ทีท่ แี่ รเงา

ตัวอยา่ งท่ี 3 จำกรปู กำหนดให้ Oเปน็ จุดศูนย์ของวงกลม มรี ัศมียำว 8 หนว่ ย และ AOˆ B  60o จงหาพน้ื ท่ที แ่ี รเงา

(กำหนดค่ำ   22 )
7

คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน 6 ค23102 43
ภาคเรยี นที่ 2 ปีการศกึ ษา 2564

แบบฝกึ หดั ท่ี 5

1 วงกลมมีพื้นที่ 88 ตำรำงหน่วย มี AB และ AD เปน็ รศั มี มุม BAD กำง 120o จงหำพน้ื ทีแ่ รเงำ

(กำหนดค่ำ   22 )
7

2. จำกรปู จงหำพื้นที่แรเงำ

3. จำกรูปจงหำพืน้ ท่ีแรเงำ