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TEORIA 1 - Límites - Asíntotas -Continuidad

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Published by pedrotasaycocasas, 2020-08-28 04:09:46

TEORIA 1 - Límites - Asíntotas -Continuidad

TEORIA 1 - Límites - Asíntotas -Continuidad

Matemáticas II

Límites – Asíntotas - Continuidad



Límites

Observación: I Significa intervalo con extremos.
Ejemplos

• Si I = 3;+ , entonces, I = 3,+

• Si A= -;1  3;+ , entonces, A= -;1 3;+

• Si B = -,3  3,+ , entonces, B= -,33,+-

Idea de límite.

lim f(x)=lim x 2 -5x+6 =? f(x) 0,9 0,95 0,995 0,9 No
x →3 x-3 definido
x →x0
x →3 2,9 2,95 2,995 2,9 3

La tabulación y la gráfica muestra que

cuando x se acerca a 3 el valor de la

función f (x) se acerca a 1. Por lo

tanto lim x2 - 5x +6 =1, por más que
x-3
x →3

el valor de f (3) no está definido.

I. LÍMITE DE FUNCIONES:

Sea f : I → , x0 I y L  . Decimos que f
tiene límite cuando x tiende a x0 :

ε > 0,δ > 0,x  I,  x - x0 < δ → f(x) - L < ε

Denotamos entonces: lim f(x)=L
x → x0

II. ÁLGEBRA DE LÍMITES: 1. lim ( f ( x )  g( x )) = L  M
Sean f,g : I → , x0 I , tales que:
x →x0
lim f(x) = L  lim g(x) = M
x →x0 x →x0 2. lim ( f ( x )  g( x )) = L  M

(Es decir los límites existen) x →x0

3.   , lim (  × f(x)) =  × L
x →x0

4. g(x)  0, lim( f (x)) = L
x→x0 g(x) M

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III. TEOREMA DEL SÁNDWICH

••ff,(gx,)h:gI(x→)   x0  I
h(x)

• lim f(x) = lim h(x)

x →x0 x →x0

Entonces:

*  lim g(x)
x →x0

* lim f(x) = lim g(x) = lim h(x)
x →x0 x →x0 x →x0

* Corolario del teorema del sándwich:

lim f(x) = 0 •f,g,h : I →  x0  I
lim f(x) = 0 2. •g(x) es acotada  lim f(x) = 0
1. Si entonces x →x0
x →x0 x →x0

Entonces lim ( f(x)× g(x) )= 0
x →x0

IV. MÉTODO PARA RESOLVER LÍMITES

xCaso #1: Cuando tiende a un número xCaso #2: Cuando tiende al infinito.

lim x2 - x - 12 lim x2 - x - 12
x2 + x - 20 x2 + x - 20
x →4 x →+

Paso 1: Reemplazar Paso 1: Reemplazar

El resultado es El resultado es

Número real. Forma Indeterminada. Número real. Forma Indeterminada.

entonces entonces

Paso 2: Factorizar o racionalizar para Paso 2: Dividir a cada término por
simplificar tanto en el numerados como en
el denominador el factor Finalmente

Finalmente Paso 3: usar

Paso 3: Reemplazar

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Caso #3: Cuando al límite que queremos *Limites conocidos:
calcular le damos forma de un límite
conocido para poder realizar el cálculo del lim sent =1 lim 1- cost = 0
nuevo límite. t t
Esto requiere que el alumno realice un t →0 t →0
cambio de variable o racionalice incluso en
algunos casos. lim 1 = 0 lim sent = 0
t t
t →+ t →+

lim cost = 0 lim (1+ t )1 = e
t t →0 t
t →+

( )Ejemplo: de lim x 2 
Calcule el límite
x →1 1- x  .

lim 1+ t 1 = e
( )Solución. Sabemos que t , por lo tanto, haremos un cambio de variable.

t →0

Cambio de variable Reemplazamos en el limite

x =1+ t lim(x) 2  = lim(1+ t)  2  = lltíi→mmi0te(1con+octi)d1ot 2
1- x   t  
Dado que x →1 (x tiende a 1) x →1 t →0 

entonces reemplazamos x = 0,99 = (e )2

en el cambio de variable (x=1+t) ,

entonces se deduce que t = −0,01

Concluimos que:

x →1  t →0

Caso #4: Cuando usamos el teorema del sándwich para calcular el límite.

Ejemplo: Calcule el límite de lim x  sen 1  = 0
 x 
x →0

Solución. Sabemos que -1  sen  cualquier   1 .
 ángulo 
 

Por lo tanto -1  sen  1  1 multipliquemos por x entonces - x  x sen  1   x
 x   x 
f(x) h(x)

g(x)

Luego Por el teorema del sándwich

   lim x  sen 1 =0
lim - x  = 0  lim  x  = 0 x
x →0  f(x)  x →0
x →0  h(x) 
g(x)

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Límites laterales

I. LÍMITES LATERALES

La gráfica mostrada representa a una función f ,

que por fines didácticos la parte izquierda a x0

está de color rojo mientras el lado derecho a x0
está de color azul., además el objetivo de este tema
es estudiar que sucede con la función cuando x
tienda a x0 . A partir de este momento llamaremos
“empalme” al punto de encuentro de la gráfica roja
y azul.

• Limite lateral izquierdo • Limite lateral derecho

Sea x  ,a < x0 , f : a, x0  → y L  . Sea x  , b > x0 , f : x0 ,b → y M  .

Decimos que f tiene límite L cuando x tiende Decimos que f tiene límite L cuando

a x0 por la izquierda: x tiende a x0 por la derecha:

ε > 0,δ > 0 : x  a,x0  , ε > 0,δ > 0 : x  x0 ,b ,

x0 - δ < x < x0 → f(x) - L < ε  x0 < x < x0 + δ → f(x) - M < ε 

Denotamos: L = lim f(x) Denotamos: M = lim f(x)
x →x0− x →x0+

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Teorema: Gráficamente

Sea x0  a,b y A = a,b- x0, f : A → y

L  . Las siguientes proposiciones son
equivalentes:

➢ Existe el límite de f cuando x tiende a x0 y
L = lim f(x) .

x →x0

➢ Existen los limites por la izquierda y la

derecha de f cuando x tiende a x0 y

L = lim f(x) = lim f(x)
x →x0− x →x0+

II. LIMITES INFINITOS
• Límite + de una función

Sea A  un intervalo o unión de intervalos,

_

f : A → y x0  A . Decimos que f tiene

límite + cuando x tiende a x0 :

M > 0,δ > 0 : x  A, x - x0 < δ → f(x) > M 

lim f(x) = +

x →x0

• Límite − de una función

Sea A  un intervalo o unión de intervalos,

_

f : A → y x0  A . Decimos que f tiene límite
− cuando x tiende a x0 :

N < 0,δ > 0 : x  A, x - x0 < δ → f(x) < N 

lim f(x) = -

x →x0

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Límites infinitos asíntotas

I. LIMITES x → −

Sea f : −,b → y L  . Decimos que f tiene

límite L cuando x tiende a − :

ε > 0,N < 0 : x  -,b, x < N → f(x) - L < ε 

II. LIMITES x → +

Sea f : −,b → y L  . Decimos que f tiene

límite L cuando x tiende a − :

ε > 0,M > 0 : x a,+, x > M → f(x) - L < ε

III. ASÍNTOTAS
1) Asíntotas Verticales.

Paso 1: Reducir la expresión (numerador-
denominador) si es que se puede.
Paso 2: Igualar el denominador a cero, las
soluciones de dicha ecuación son las

asíntotas verticales. ( x = x0 )

Paso 3: Usar definición: para justificar

Definición: Sea f : A → y x0  A , si se

cumple alguna de las siguientes

condiciones:

lim f(x) = ± , lim f(x) = ±
x →x0+ x →x0−

Entonces x = x0 es la asíntota vertical

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2) Asíntotas Horizontales.
Sea f : A → y L  , si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

lim f(x) = L , (b es un número real), lim f(x) = L , (b es un número real),

x →+ x →−

entonces la asíntota es: x = L entonces la asíntota es: x = L

3) Asíntotas Oblicua.
Sea f : A → y m, b  , si se cumple alguna de las siguientes condiciones

Si lim  f(x) - (mx + b ) = 0 entonces la Si lim  f(x) - (mx + b ) = 0 entonces la

x →+  x →−

asíntota oblicua es: y = mx + b asíntota oblicua es: y = mx + b

m = lim f(x) , (Es un número real). m = lim f(x) , (Es un número real).
x x
x →+ x →−

b = lim  f(x) - mx  ,(Es un número real). b = lim  f(x) - mx  ,(Es un número real).
x →+ x →−

Entonces la asíntota oblicua es: y = mx + b Entonces la asíntota oblicua es: y = mx + b

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Continuidad

Idea de continuidad. Cuando la gráfica de una función no es
La gráfica de la función es continuidad continua entonces decimos que es
cuando no tiene saltos (interrupciones) en un
intervalo (dominio). Es decir, se puede trazar discontinua. En el intervalo a,b no se puede
la gráfica de la función, en dicho intervalo,
sin levantar el lápiz graficar la función sin levantar el lápiz.

I. Definición de continuidad en un punto.

Decimos que la función f : A → es continua

en el punto x0  A , si:

lim f(x) = f(x0 )

x →x0

También es equivalente decir

lim f(x) = lim f(x) = f(x0 )

x →x0− x →x0+

Observación:

• Si f no es continua en x0 , decimos que f es discontinua en x0
• Decimos que f : A → es continua, si f es continua en todo punto x0  A

TEOREMA.: Sean A  , x0  A y f , g : A → continuas en x0 , entonces:

1) La función f + g es continua en x0

2) La función f  g es continua en x0

3) Para cada c  , c  f función es continua en x0

4) Si g(x0)  0 la función f es continua en x0
g

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Nota: Las siguientes funciones:

• Los polinomios son funciones • Radicales f(x) = n x son continuas.
continuas
• Las funciones seno, coseno,
• Funciones Racionales r(x) = p(x) son exponencial y logarítmicas son
q(x) continuas.

continuas

II. DISCONTINUIDAD
Sea f : A → , Si f no es continua en x0 , decimos que f es discontinua en x0

Discontinuidad removible. Discontinuidad no removible.

Sean A  , f : A → y x0  A tal que f Sean A  , f : A → y x0  A tal que f

es discontinua en x0 . es discontinua en x0 .

Decimos que la discontinuidad de f en x0 Decimos que la discontinuidad de f en x0
es removible, si: es no removible, si:

lim f(x) = lim f(x)  f(x0 ) lim f(x)  lim f(x)
x →x0− x →x0+
x →x0− x →x0+

* El límite existe, pero no es igual al f (x0) *Si el límite no existe, es porque los límites

laterales difieren, son infinitos o no existen

Otros gráficos que representan discontinuidad no removible.

lim f(x)  lim f(x) lim f(x)  lim f(x)
x →x0− x →x0+ x →x0− x →x0+

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Propiedades de Continuidad

I. PROPIEDADES DE CONTINUIDAD

• Sea g : B → y f : A → con f ( A)  B , tal que f es continua en x0  A y g es continua en
u0 = f ( x0 ) , entonces la composición g o f es continua en x0

• Sea g : B → y f : A → con f ( A)  B , tal que lim f (x) = L y g es continua en L B ,
x → x0
entonces: lim g ( f (x)) = g (L)
x→x0

II. TEOREMA

• Sea A  , f : A → y x0  . Si f es continua en x0 y f ( x0 )  k , entonces:

 Existe   0 tal que f (x)  k , para todo x  x0 −  , x0 +   A

• Sea A  , f : A → y x0  . Si f es continua en x0 y f ( x0 )  k , entonces:

 Existe   0 tal que f (x)  k , para todo x  x0 −  , x0 +   A

III. TEOREMA DEL VALOR DEL VALOR INTERMEDIO

Si:

f : a,b →

f es continua
f(a) < k < f(b) ,

 Entonces, existe c  a,b tal que f(c) = k

IV. COROLARIO DEL TVI

Si:

f : a,b →

f es continua
f(a)  f(b) < 0 ,

 Entonces, existe c  a,b tal que f(c) = 0

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V. TEOREMA DE WEIERSTRASS

Si

f : a,b →

f es continua, entonces:
Entonces
f alcanza un máximo valor M y un mínimo

valor m sobre a,b , es decir existe
x1, x2 a,b, tales que f(x2 )  f(x)  f(x1 )
para todo x a,b

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