Matemáticas II
Límites – Asíntotas - Continuidad
Límites
Observación: I Significa intervalo con extremos.
Ejemplos
• Si I = 3;+ , entonces, I = 3,+
• Si A= -;1 3;+ , entonces, A= -;1 3;+
• Si B = -,3 3,+ , entonces, B= -,33,+-
Idea de límite.
lim f(x)=lim x 2 -5x+6 =? f(x) 0,9 0,95 0,995 0,9 No
x →3 x-3 definido
x →x0
x →3 2,9 2,95 2,995 2,9 3
La tabulación y la gráfica muestra que
cuando x se acerca a 3 el valor de la
función f (x) se acerca a 1. Por lo
tanto lim x2 - 5x +6 =1, por más que
x-3
x →3
el valor de f (3) no está definido.
I. LÍMITE DE FUNCIONES:
Sea f : I → , x0 I y L . Decimos que f
tiene límite cuando x tiende a x0 :
ε > 0,δ > 0,x I, x - x0 < δ → f(x) - L < ε
Denotamos entonces: lim f(x)=L
x → x0
II. ÁLGEBRA DE LÍMITES: 1. lim ( f ( x ) g( x )) = L M
Sean f,g : I → , x0 I , tales que:
x →x0
lim f(x) = L lim g(x) = M
x →x0 x →x0 2. lim ( f ( x ) g( x )) = L M
(Es decir los límites existen) x →x0
3. , lim ( × f(x)) = × L
x →x0
4. g(x) 0, lim( f (x)) = L
x→x0 g(x) M
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III. TEOREMA DEL SÁNDWICH
••ff,(gx,)h:gI(x→) x0 I
h(x)
• lim f(x) = lim h(x)
x →x0 x →x0
Entonces:
* lim g(x)
x →x0
* lim f(x) = lim g(x) = lim h(x)
x →x0 x →x0 x →x0
* Corolario del teorema del sándwich:
lim f(x) = 0 •f,g,h : I → x0 I
lim f(x) = 0 2. •g(x) es acotada lim f(x) = 0
1. Si entonces x →x0
x →x0 x →x0
Entonces lim ( f(x)× g(x) )= 0
x →x0
IV. MÉTODO PARA RESOLVER LÍMITES
xCaso #1: Cuando tiende a un número xCaso #2: Cuando tiende al infinito.
lim x2 - x - 12 lim x2 - x - 12
x2 + x - 20 x2 + x - 20
x →4 x →+
Paso 1: Reemplazar Paso 1: Reemplazar
El resultado es El resultado es
Número real. Forma Indeterminada. Número real. Forma Indeterminada.
entonces entonces
Paso 2: Factorizar o racionalizar para Paso 2: Dividir a cada término por
simplificar tanto en el numerados como en
el denominador el factor Finalmente
Finalmente Paso 3: usar
Paso 3: Reemplazar
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Caso #3: Cuando al límite que queremos *Limites conocidos:
calcular le damos forma de un límite
conocido para poder realizar el cálculo del lim sent =1 lim 1- cost = 0
nuevo límite. t t
Esto requiere que el alumno realice un t →0 t →0
cambio de variable o racionalice incluso en
algunos casos. lim 1 = 0 lim sent = 0
t t
t →+ t →+
lim cost = 0 lim (1+ t )1 = e
t t →0 t
t →+
( )Ejemplo: de lim x 2
Calcule el límite
x →1 1- x .
lim 1+ t 1 = e
( )Solución. Sabemos que t , por lo tanto, haremos un cambio de variable.
t →0
Cambio de variable Reemplazamos en el limite
x =1+ t lim(x) 2 = lim(1+ t) 2 = lltíi→mmi0te(1con+octi)d1ot 2
1- x t
Dado que x →1 (x tiende a 1) x →1 t →0
entonces reemplazamos x = 0,99 = (e )2
en el cambio de variable (x=1+t) ,
entonces se deduce que t = −0,01
Concluimos que:
x →1 t →0
Caso #4: Cuando usamos el teorema del sándwich para calcular el límite.
Ejemplo: Calcule el límite de lim x sen 1 = 0
x
x →0
Solución. Sabemos que -1 sen cualquier 1 .
ángulo
Por lo tanto -1 sen 1 1 multipliquemos por x entonces - x x sen 1 x
x x
f(x) h(x)
g(x)
Luego Por el teorema del sándwich
lim x sen 1 =0
lim - x = 0 lim x = 0 x
x →0 f(x) x →0
x →0 h(x)
g(x)
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Límites laterales
I. LÍMITES LATERALES
La gráfica mostrada representa a una función f ,
que por fines didácticos la parte izquierda a x0
está de color rojo mientras el lado derecho a x0
está de color azul., además el objetivo de este tema
es estudiar que sucede con la función cuando x
tienda a x0 . A partir de este momento llamaremos
“empalme” al punto de encuentro de la gráfica roja
y azul.
• Limite lateral izquierdo • Limite lateral derecho
Sea x ,a < x0 , f : a, x0 → y L . Sea x , b > x0 , f : x0 ,b → y M .
Decimos que f tiene límite L cuando x tiende Decimos que f tiene límite L cuando
a x0 por la izquierda: x tiende a x0 por la derecha:
ε > 0,δ > 0 : x a,x0 , ε > 0,δ > 0 : x x0 ,b ,
x0 - δ < x < x0 → f(x) - L < ε x0 < x < x0 + δ → f(x) - M < ε
Denotamos: L = lim f(x) Denotamos: M = lim f(x)
x →x0− x →x0+
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Teorema: Gráficamente
Sea x0 a,b y A = a,b- x0, f : A → y
L . Las siguientes proposiciones son
equivalentes:
➢ Existe el límite de f cuando x tiende a x0 y
L = lim f(x) .
x →x0
➢ Existen los limites por la izquierda y la
derecha de f cuando x tiende a x0 y
L = lim f(x) = lim f(x)
x →x0− x →x0+
II. LIMITES INFINITOS
• Límite + de una función
Sea A un intervalo o unión de intervalos,
_
f : A → y x0 A . Decimos que f tiene
límite + cuando x tiende a x0 :
M > 0,δ > 0 : x A, x - x0 < δ → f(x) > M
lim f(x) = +
x →x0
• Límite − de una función
Sea A un intervalo o unión de intervalos,
_
f : A → y x0 A . Decimos que f tiene límite
− cuando x tiende a x0 :
N < 0,δ > 0 : x A, x - x0 < δ → f(x) < N
lim f(x) = -
x →x0
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Límites infinitos asíntotas
I. LIMITES x → −
Sea f : −,b → y L . Decimos que f tiene
límite L cuando x tiende a − :
ε > 0,N < 0 : x -,b, x < N → f(x) - L < ε
II. LIMITES x → +
Sea f : −,b → y L . Decimos que f tiene
límite L cuando x tiende a − :
ε > 0,M > 0 : x a,+, x > M → f(x) - L < ε
III. ASÍNTOTAS
1) Asíntotas Verticales.
Paso 1: Reducir la expresión (numerador-
denominador) si es que se puede.
Paso 2: Igualar el denominador a cero, las
soluciones de dicha ecuación son las
asíntotas verticales. ( x = x0 )
Paso 3: Usar definición: para justificar
Definición: Sea f : A → y x0 A , si se
cumple alguna de las siguientes
condiciones:
lim f(x) = ± , lim f(x) = ±
x →x0+ x →x0−
Entonces x = x0 es la asíntota vertical
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2) Asíntotas Horizontales.
Sea f : A → y L , si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
lim f(x) = L , (b es un número real), lim f(x) = L , (b es un número real),
x →+ x →−
entonces la asíntota es: x = L entonces la asíntota es: x = L
3) Asíntotas Oblicua.
Sea f : A → y m, b , si se cumple alguna de las siguientes condiciones
Si lim f(x) - (mx + b ) = 0 entonces la Si lim f(x) - (mx + b ) = 0 entonces la
x →+ x →−
asíntota oblicua es: y = mx + b asíntota oblicua es: y = mx + b
m = lim f(x) , (Es un número real). m = lim f(x) , (Es un número real).
x x
x →+ x →−
b = lim f(x) - mx ,(Es un número real). b = lim f(x) - mx ,(Es un número real).
x →+ x →−
Entonces la asíntota oblicua es: y = mx + b Entonces la asíntota oblicua es: y = mx + b
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Continuidad
Idea de continuidad. Cuando la gráfica de una función no es
La gráfica de la función es continuidad continua entonces decimos que es
cuando no tiene saltos (interrupciones) en un
intervalo (dominio). Es decir, se puede trazar discontinua. En el intervalo a,b no se puede
la gráfica de la función, en dicho intervalo,
sin levantar el lápiz graficar la función sin levantar el lápiz.
I. Definición de continuidad en un punto.
Decimos que la función f : A → es continua
en el punto x0 A , si:
lim f(x) = f(x0 )
x →x0
También es equivalente decir
lim f(x) = lim f(x) = f(x0 )
x →x0− x →x0+
Observación:
• Si f no es continua en x0 , decimos que f es discontinua en x0
• Decimos que f : A → es continua, si f es continua en todo punto x0 A
TEOREMA.: Sean A , x0 A y f , g : A → continuas en x0 , entonces:
1) La función f + g es continua en x0
2) La función f g es continua en x0
3) Para cada c , c f función es continua en x0
4) Si g(x0) 0 la función f es continua en x0
g
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Nota: Las siguientes funciones:
• Los polinomios son funciones • Radicales f(x) = n x son continuas.
continuas
• Las funciones seno, coseno,
• Funciones Racionales r(x) = p(x) son exponencial y logarítmicas son
q(x) continuas.
continuas
II. DISCONTINUIDAD
Sea f : A → , Si f no es continua en x0 , decimos que f es discontinua en x0
Discontinuidad removible. Discontinuidad no removible.
Sean A , f : A → y x0 A tal que f Sean A , f : A → y x0 A tal que f
es discontinua en x0 . es discontinua en x0 .
Decimos que la discontinuidad de f en x0 Decimos que la discontinuidad de f en x0
es removible, si: es no removible, si:
lim f(x) = lim f(x) f(x0 ) lim f(x) lim f(x)
x →x0− x →x0+
x →x0− x →x0+
* El límite existe, pero no es igual al f (x0) *Si el límite no existe, es porque los límites
laterales difieren, son infinitos o no existen
Otros gráficos que representan discontinuidad no removible.
lim f(x) lim f(x) lim f(x) lim f(x)
x →x0− x →x0+ x →x0− x →x0+
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Propiedades de Continuidad
I. PROPIEDADES DE CONTINUIDAD
• Sea g : B → y f : A → con f ( A) B , tal que f es continua en x0 A y g es continua en
u0 = f ( x0 ) , entonces la composición g o f es continua en x0
• Sea g : B → y f : A → con f ( A) B , tal que lim f (x) = L y g es continua en L B ,
x → x0
entonces: lim g ( f (x)) = g (L)
x→x0
II. TEOREMA
• Sea A , f : A → y x0 . Si f es continua en x0 y f ( x0 ) k , entonces:
Existe 0 tal que f (x) k , para todo x x0 − , x0 + A
• Sea A , f : A → y x0 . Si f es continua en x0 y f ( x0 ) k , entonces:
Existe 0 tal que f (x) k , para todo x x0 − , x0 + A
III. TEOREMA DEL VALOR DEL VALOR INTERMEDIO
Si:
f : a,b →
f es continua
f(a) < k < f(b) ,
Entonces, existe c a,b tal que f(c) = k
IV. COROLARIO DEL TVI
Si:
f : a,b →
f es continua
f(a) f(b) < 0 ,
Entonces, existe c a,b tal que f(c) = 0
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V. TEOREMA DE WEIERSTRASS
Si
f : a,b →
f es continua, entonces:
Entonces
f alcanza un máximo valor M y un mínimo
valor m sobre a,b , es decir existe
x1, x2 a,b, tales que f(x2 ) f(x) f(x1 )
para todo x a,b
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