เล่มที่ 6 เอกภพสัมพัทธ์ และแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

ก

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง เซต กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียน
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จัดทำขึ้นเพื่อเป็นสื่อประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ของกลุ่มสาระ
การเรียนรู้คณิตศาสตร์ โดยสนับสนุนใหผ้ ู้เรียนทุกคนมคี วามสามารถในการเรียนรู้และพัฒนา
ทักษะวิชาคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเซต เกิดความคิดรวบยอดจากเนื้อหา ฝึกการปฏิบัติจริงเพื่อให้
เกดิ ทักษะการคิดคำนวณ สร้างองค์ความรู้ดว้ ยตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง และ
ประเมินตนเองตามสาระ มาตรฐานการเรียนรู้ และตัวชี้วัดที่กำหนดไว้ในหลักสูตรแกนกลาง
การศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 โดยจำนวนแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต
มที ้ังหมด 10 เล่ม

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง เซต กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียน
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่มนี้เป็นเล่มที่ 6 เอกภพสัมพัทธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
เมื่อนักเรียนศึกษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต เล่มที่ 6 เสร็จสิ้นแล้ว สามารถบอก
ความหมายของเอกภพสัมพทั ธ์ และเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์แสดงความสัมพนั ธ์ของเซต
ในกรณีต่าง ๆ ได้ เป็นการสง่ เสริมใหน้ กั เรียนเกิดทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ เพ่ือนำไป
เชื่อมโยงเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่น ๆ ได้อย่างถูกต้องเหมาะสม ส่งผลให้นักเรียนเกิด
การเรียนรู้ทม่ี ีประสทิ ธิภาพยิ่งข้ึน โดยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต ที่จัดทำขึ้นมีรูปภาพ
ประกอบสวยงาม มีกิจกรรมเกมทำให้นักเรียนเกิดความอยากรู้ สนุกสนาน และเพลิดเพลินกบั
การเรยี นรู้ เร่อื ง เซต ได้ดียง่ิ ข้นึ

ผู้จดั ทำหวังเปน็ อย่างยงิ่ ว่า แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง เซต นี้จะเปน็ ประโยชน์ต่อครู
นักเรียน และผู้สนใจที่จะนำไปใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ เพื่อทำใหน้ ักเรยี นซึ่งเปน็
เยาวชนของไทยกลายเป็นพลเมืองท่ีมีความสามารถทางด้านการคิดวิเคราะห์ คิดเชื่อมโยงตาม
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ และรกั ทจี่ ะเรียนคณิตศาสตร์มากย่งิ ขึ้น

ณัฐชยา คิดสำราญ
ครู วทิ ยฐานะครูชำนาญการ

ข

เรอ่ื ง หนา้

คำนำ.................................................................................................................... ก
สารบญั ................................................................................................................ ข
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง เซต กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
สำหรบั นกั เรียนช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 4 1
เล่มที่ 6 เอกภพสมั พัทธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์.................................... 1
2
สาระสำคัญ................................................................................................ 8
จุดประสงคก์ ารเรียนร.ู้ ............................................................................... 15
แบบทดสอบก่อนเรยี น.............................................................................. 17
ใบความรู้ เร่ือง เอกภพสมั พทั ธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์.............. 19
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1...................................................................................... 21
แบบฝึกทกั ษะที่ 2...................................................................................... 23
แบบฝึกทกั ษะท่ี 3...................................................................................... 25
แบบฝึกทกั ษะที่ 4...................................................................................... 26
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 5...................................................................................... 32
แบบฝึกทกั ษะที่ 6...................................................................................... 33
แบบทดสอบหลังเรียน............................................................................... 35
เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น...................................................................... 37
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1.............................................................................. 39
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2.............................................................................. 41
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 3.............................................................................. 43
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 4.............................................................................. 44
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 5.............................................................................. 45
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 6..............................................................................
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน.......................................................................
บรรณานุกรม.............................................................................................

1

สาระสำคญั

เอกภพสมั พทั ธ์ คอื เซตทก่ี ำหนดขึน้ มาเพอื่ จำกัดขอบเขต ครอบคลุมเซตทกุ เซตท่ีเรา
สนใจ และจะไมก่ ล่าวถึงสิ่งอืน่ ใดนอกเหนือจากเซตท่ีเรากำหนดขน้ึ น้ี เขียนแทนด้วย U

แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ คือ แผนภาพทเี่ ขยี นแสดงความสัมพนั ธข์ องเซตต่าง ๆ
ในเอกภพสัมพัทธ์ โดยนิยมใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปปิดแทนเอกภพสัมพัทธ์ และใช้
วงกลมหรือวงรแี ทนสบั เซตย่อย ๆ ของเอกภพสัมพัทธ์

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

ด้านความรู้ (K) นกั เรยี นสามารถ
1. เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์แสดงความสมั พันธ์ของเซต
ในกรณีตา่ ง ๆ ได้

ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ (P) นักเรยี นมีทกั ษะกระบวนการทางการเรยี นรูด้ ้าน
1. การแก้ปญั หา
2. การให้เหตุผล
3. การส่อื สาร ส่อื ความหมายและการนำเสนอ
4. การเชื่อมโยงความรู้
5. ความคิดรเิ ร่มิ สร้างสรรค์

ด้านคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) นกั เรียนมีคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงคด์ ้าน
1. ซื่อสตั ยส์ จุ ริต
2. มีวนิ ัย
3. ใฝ่เรยี นรู้
4. มุง่ ม่นั ในการทำงาน

2

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น

เร่อื ง เซต รายวชิ าคณติ ศาสตร์ 1 (ค31101) ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

เล่มท่ี 6 เอกภพสัมพัทธ์ และ คะแนนเตม็ 10 คะแนน เวลา 10 นาที
แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

คำชแ้ี จง 1. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัย 4 ตัวเลอื ก จำนวน 10 ขอ้

2. ใหน้ ักเรียนเลอื กคำตอบทีถ่ ูกทสี่ ุดเพยี งข้อเดียว
แลว้ ทำเคร่ืองหมายกากบาท ( X ) ลงในกระดาษคำตอบ

1. ให้ U แทน เอกภพสมั พัทธ์ A  B, B  C, a  A, c  B
และ d  C ข้อใดกลา่ วไม่ถูกต้อง
1. a  C
2. c  A
3. c  C
4. d  A

2. จากแผนภาพ

AB
45 7

68

U

จงหาเอกภพสมั พัทธ์ U
1. U = { 7, 8 }
2. U = { 4, 5, 6 }
3. U = { 4, 5, 6, 7, 8 }
4. U = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

3

3. จากแผนภาพ C

B
A

U

ขอ้ ใดกลา่ วถูกตอ้ ง
1. A  B, B และ C เป็นเซตท่ีไม่มีสมาชกิ ร่วมกนั
2. A  B, A และ C เปน็ เซตท่มี ีสมาชิกบางตัวรว่ มกนั
3. B  A, A และ B เปน็ เซตทม่ี สี มาชกิ บางตวั รว่ มกัน
4. B  A, A และ C เปน็ เซตที่มีสมาชกิ บางตัวรว่ มกนั

4. จากแผนภาพ
AB

C

U

ข้อใดกลา่ วไม่ถูกตอ้ ง
1. A  B
2. B  C
3. A  C
4. C  U

4

5. ให้ A = { x | x  I  และ x < 6 }

B = { x | x  N และ 2 < x ≤ 8 }

เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ตรงกบั ข้อใด

1. A B

1 35 6

2 47 8

U

2. A 6B
7
1 3 8U
2 4
5

3. B
A
1 34 7
2 56 8
U

4. A 36 B
1 47
2 58 U

5

6. ให้ U = { x | x  I+ และ x ≤ 8 }
A = { x | x เปน็ จำนวนนบั ทอ่ี ยู่ระหว่าง 1 และ 4 }
B = { x | x2 = 5x }
C = { x | x เปน็ จำนวนเตม็ บวกท่ีน้อยกว่า 6 }

เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ตรงกบั ข้อใด

1.

AC
2 1B
34 0

5

678 U

2. AC

2 14
3 B

5

678 U

3.
AC

2 14

3B

50

678 U

4. AC

2 1
34 B

5

678 U

6

7. จากแผนภาพ

A B
13
795 2
8

4 6 10 U

เอกภพสมั พทั ธ์ตรงกบั ข้อใด
1. { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }
2. { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 }
3. { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
4. { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

8. กำหนดแผนภาพดังรูป B
A

CU

จงพจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้
ก) A, B และ C เป็นเซตที่อยใู่ นเอกภพสัมพทั ธ์
ข) A, B และ C เปน็ เซตท่มี ีสมาชิกบางตวั ร่วมกนั

ข้อใดถูกต้อง
1. ขอ้ ก) ถกู ข) ถกู
2. ขอ้ ก) ถกู ข) ผดิ
3. ข้อ ก) ผดิ ข) ถกู
4. ขอ้ ก) ผดิ ข) ผิด

7

9. จากแผนภาพ

AB C

U

ข้อใดกลา่ วถูกตอ้ ง
1. A  B และ B  C
2. C  B และ B  A
3. A และ C ไม่มสี มาชกิ ร่วมกนั
4. A, B และ C ไมม่ ีสมาชกิ รว่ มกนั

10. จากแผนภาพ

A B4
2 1

73 596
8
U

ขอ้ ใดกล่าวถูกตอ้ ง
1. U = { x | x เปน็ จำนวนนบั }
2. A = { x | x เปน็ จำนวนนับที่น้อยกว่า 10 }
3. B = { x | x เปน็ จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 7 }
4. A = { x | x เปน็ จำนวนนบั และ 0 ≤ x ≤ 10 }

8

ใบความรู้
เร่ือง เอกภพสัมพัทธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

เอกภพสมั พทั ธ์ (Relative Universe)

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่กำหนดขึ้นมาเพื่อจำกัดขอบเขต เขียนแทนด้วย “U ”
โดยมีข้อตกลงว่า เมื่อกล่าวถึงสมาชิกของเซตใด ๆ แล้วจะไม่กล่าวถึงสมาชิกอื่นใด
ที่นอกเหนือไปจากสมาชิกท่อี ยใู่ นเอกภพสมั พทั ธ์

จากข้างต้น จะเห็นว่า เอกภพสัมพัทธ์ U เป็นเซตที่สำคัญมากในการศึกษาทาง
ด้านคณิตศาสตร์ เพราะเป็นการกำหนดให้รู้แน่ชัดว่า สิ่งที่เราจะศึกษานั้นมีขอบเขต
กว้างขวางเพียงใด

ตัวอย่าง การเป็นเอกภพสัมพัทธ์

ถา้ กำหนดให้ U = { x | x เปน็ จำนวนเตม็ บวก }
จากเอกภพสัมพัทธ์ท่ีกำหนดให้ เขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้

U = { 1, 2, 3, … }
น่ันแสดงว่า จำนวนอน่ื ใดท่นี อกเหนือจากใน U แล้วจะไมถ่ ูกกล่าวถึง

จากตวั อยา่ ง จะเหน็ วา่ 0, -1,
-2, -3, -4, ... จะไมถ่ กู กลา่ วถงึ
เพราะจำนวนเหลา่ นเี้ ปน็ จำนวนเตม็
แตไ่ มเ่ ปน็ จำนวนเตม็ บวกนะคะ

9

ตวั อย่าง กำหนดให้ U = { x | x เปน็ จำนวนเต็มบวกทมี่ ีคา่ น้อยกวา่ 10 }
และ A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกท่ีหารดว้ ย 4 ลงตัว }
จงหาสมาชิกของเซต A

วิธีทำ จากโจทย์จะได้ว่า U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
จะเห็นว่า 1  A เพราะ 1 หารดว้ ย 4 ไม่ลงตวั แต่ 1  U
4  A เพราะ 4 หารด้วย 4 ลงตัว และ 4  U
8  A เพราะ 8 หารด้วย 4 ลงตัว และ 8  U
12  A เพราะ 12 หารด้วย 4 ลงตัว แต่ 12  U
นัน่ คือ สมาชกิ ทอ่ี ยู่ใน A จะตอ้ งอยู่ใน U และสอดคล้องกับเงื่อนไข
ท่ีกำหนดใหด้ ้วย
ดังนน้ั A = { 4, 8 }

ตอบ A = { 4, 8 }

นอกจากตัวอย่างข้างต้น ท่ีเขียนบอกเอกภพสัมพัทธ์ไว้อย่างชัดเจนแลว้ ยังมีการบอก
เอกภพสัมพทั ธโ์ ดยไม่ต้องเขยี นบอก แต่สามารถพิจารณาจากเซตทก่ี ำหนดให้ได้ เชน่

1) ให้ A = { x  I | x2 – 3x – 10 = 0 }
จากเซต A ทีก่ ำหนดให้ จะเหน็ ว่า x  I
ดังนนั้ เอกภพสัมพทั ธ์ คอื เซตของจำนวนเตม็

2) ให้ B = { x  R | (x – 1)(x + 1) = 0 }
จากเซต B ทีก่ ำหนดให้ จะเห็นว่า x  R
ดังนัน้ เอกภพสมั พทั ธ์ คือ เซตของจำนวนจรงิ

3) ให้ C = { x | 2x2 + x – 15 = 0 }
จากเซต C ทีก่ ำหนดให้ จะเห็นว่า x มไิ ดบ้ ่งบอกวา่ อยใู่ นเซตใด
ในกรณเี ช่นน้เี ป็นข้อตกลงกันวา่ x  R
ดงั นัน้ เอกภพสัมพัทธ์ คอื เซตของจำนวนจรงิ

ขอ้ สังเกต กรณไี ม่กำหนดเอกภพสมั พัทธ์ ใหถ้ ือว่าเอกภพสัมพัทธ์
คือ เซตของจำนวนจริง

10

แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ (Venn - Euler Diagram)

จอห์น เวนน์ การเขียนแผนภาพแทนเซตช่วยทำให้
(John Venn) เข้าใจเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างเซตได้
ชัดเจนยิ่งขึ้น แผนภาพที่เราใช้เขียนแทนเซต
โดยทั่วไปจะใช้แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
ซึ่งเรียกชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ
คือ จอห์น เวนน์ และ นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส
คอื เลออนฮารด์ ออยเลอร์
เลออนฮารด์ ออยเลอร์
(Leonhard Euler)

หลักในการเขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

นิยมเขียนเอกภพสัมพัทธ์แทนด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
และเซตต่าง ๆ ที่เป็นสบั เซตของเอกภพสมั พัทธ์แทนด้วย
รปู วงกลม วงรี หรือรปู ปิดอน่ื ๆ ท่ีมพี ้ืนทีจ่ ำกดั

ถ้า U แทน เอกภพสัมพัทธ์ และ A, B แทน สับเซต
ของ U แล้วจะเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์แสดง
ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งเซต A และ เซต B ได้ 5 กรณี ดงั น้ี

11

ความสมั พันธร์ ะหวา่ งเซต A และ เซต B แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

1. เซต A และ เซต B U
ไม่มีสมาชกิ รว่ มกัน

2. เซต A และ เซต B AB
มสี มาชกิ บางตัวรว่ มกัน
U

3. เซต A และ เซต B AB
มสี มาชกิ เท่ากันทุกตัว
U

4. เซต A เปน็ สบั เซตของเซต B AB
5. เซต B เปน็ สับเซตของเซต A
U

A
B

U

B
A

12

ตวั อยา่ ง ให้ U = { 0, 1, 2, 3, …, 9 }
A = { 1, 3, 5 }
B = { 2, 4, 6 }

จงเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ แทนเซตท่กี ำหนดให้

วธิ ีทำ จากเซตทก่ี ำหนดให้ จะเห็นว่า เซต A และเซต B ไม่มีสมาชกิ รว่ มกนั
เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังนี้

A BU

13 24
5 86 0
97

ตัวอยา่ ง ให้ U = { 0, 1, 2, 3, …, 9 }
A = { 1, 2, 3 }
B = { 0, 2, 4 }

จงเขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ แทนเซตทก่ี ำหนดให้

วิธีทำ จากเซตท่ีกำหนดให้ จะเหน็ ว่า เซต A และเซต B มีสมาชกิ บางตัวรว่ มกัน
เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังน้ี

AB U
12 0 9
34

56 78

13

ตัวอยา่ ง ให้ U = { 0, 1, 2, 3, …, 9 }
A = { 5, 3, 2 }
B = { 2, 3, 5 }

จงเขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ แทนเซตทีก่ ำหนดให้

วิธีทำ จากเซตทก่ี ำหนดให้ จะเหน็ ว่า เซต A และ เซต B มสี มาชิกเทา่ กนั ทกุ ตวั
เขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังน้ี

A AB B U
0 6
1 8 22 3 7
49 5 8
9

ตัวอยา่ ง ให้ U = { 0, 1, 2, 3, …, 9 }
A = { 2, 3 }
B = { 1, 2, 3, 4 }

จงเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ แทนเซตทก่ี ำหนดให้

วิธที ำ จากเซตที่กำหนดให้ จะเห็นว่า เซต A เป็นสบั เซตของเซต B
เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังน้ี

BU
05 1 A 4 7 8

6 23 9

14

ตวั อยา่ ง ให้ U = { 0, 1, 2, 3, …, 9 }
A = { 5, 6, 7, 9 }
B = { 7, 9 }

จงเขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ แทนเซตท่ีกำหนดให้

วธิ ีทำ จากเซตท่กี ำหนดให้ จะเหน็ ว่า เซต B เป็นสับเซตของเซต A
เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ไดด้ ังน้ี

AU
B
01 5 79 6 24
3 8

ตวั อย่าง ให้ U = { 1, 2, 3, … }
A = { 2, 4, 5, 8, 9 }
B = { 1, 2, 3, 5, 7 }
C = { 1, 2, 3, 4, 6 }

จงเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ แทนเซตท่กี ำหนดให้

วิธที ำ จากเซตท่ีกำหนดให้ จะเห็นว่า
ทง้ั เซต A, B และ C มี 2 เป็นสมาชิกรว่ มกัน
เซต A และ B มี 2, 5 เป็นสมาชิกรว่ มกัน
เซต A และ C มี 2, 4 เป็นสมาชกิ รว่ มกัน
เซต B และ C มี 1, 2, 3 เปน็ สมาชิกร่วมกนั
เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ไดด้ ังน้ี

A 8 57 BU
9 2 13
4

6

6C 10, 11, 12, …

15

แบบฝึกทกั ษะท่ี 1
เร่อื ง เอกภพสัมพัทธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

คำชี้แจง คำใหน้ ักเรยี นพิจารณาเซตทกี่ ำหนดให้ตอ่ ไปน้ี
แลว้ เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ (5 คะแนน)

ให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

1. A = { 3, 5, 7, 9 }

2. B = { 1, 2, 6, 8 }

3. A = { 2, 3, 4, 5, 6 } และ B = { 3, 5, 6, 7, 8 }

16

4. A = { 3, 5, 7 } และ B = { 1, 3, 5, 7, 9 }

5. A = { 2, 4, 6, 8 } และ B = { 8, 6, 4, 2 }

17

แบบฝึกทักษะที่ 2
เร่อื ง เอกภพสมั พัทธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

คำชแี้ จง ใหน้ ักเรียนพจิ ารณาแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ทก่ี ำหนดให้ต่อไปนี้
แล้วเขียนเซตที่มีในแผนภาพแบบแจกแจงสมาชิก (5 คะแนน)

ขอ้ แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ เซต

…………………………………………………….

U …………………………………………………….

1. 1a …………………………………………………….
2 3 bc …………………………………………………….
…………………………………………………….

AB ……………….

…………………………………………………….

U …………………………………………………….
02 …………………………………………………….

2. 46 …………………………………………………….
A8B …………………………………………………….

…………………………………………………….

…………………………………………………….

3. A B U …………………………………………………….
…………………………………………………….

13 5 …………………………………………………….

24 6 …………………………………………………….

…………………………………………………….

18

ข้อ แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ เซต

A3 7 8 B U …………………………………………………….
…………………………………………………….
4. 11 9 10 …………………………………………………….
51 6 …………………………………………………….
0 …………………………………………………….
…………………………………………………….
CC 2 4
12

…………………………………………………….
U …………………………………………………….
…………………………………………………….
5. 35 10 4 2 …………………………………………………….
79 0 6 BD …………………………………………………….
C1 8 …………………………………………………….

A EB …………………………………………………….
…………………………………………………….

19

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3
เรือ่ ง เอกภพสมั พทั ธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

คำช้ีแจง ให้นักเรียนพจิ ารณาเซตทกี่ ำหนดให้ต่อไปนี้ แลว้ เขยี นแผนภาพ
เวนน์ – ออยเลอร์แสดงความสมั พันธข์ องเซต (5 คะแนน)

ขอ้ เซต แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

1. U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 2, 7, 9 }
B = { 1, 2, 5 }

2. U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 1, 3, 5, 9 }
B = { 5, 9 }

3. U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 1, 2, 3 }
B = { 3, 4, 5, 6 }

ขอ้ เซต 20

U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
4. A = { 6, 7, 8 }

B = { 3, 4 }
C = { 0, 1 }

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
5. A = { 1, 3, 5, 7 }

B = { 4, 5, 8 }
C = { 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

21
9

แบบฝกึ ทักษะท่ี 4
เร่ือง เอกภพสัมพทั ธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

คำช้แี จง ใหน้ ักเรยี นพิจารณาเซตท่กี ำหนดให้ต่อไปนี้ แล้วเขียนแผนภาพ
เวนน์ – ออยเลอร์แสดงความสมั พันธข์ องเซต (5 คะแนน)

ให้ U แทน เซตของจำนวนนับ

เซต แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

1. A = { 1, 2, 3, 4, …, 10 }
B = { 1, 3, 5, 7, 9 }

2. A = { 1, 2, 3, 5, 7, 9 }
B = { 2, 3, 4, 6, 8, 10 }

3. A = { 1, 2, 3, 4, …, 10 }
B = { 1, 3, 5, 7, 9 }
C = { 1, 3, 5 }

เซต 22

4. A = { 1, 2, 3, 4, …, 10 } แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
B = { 1, 3, 5 }
C = { 2, 4, 6 }

5. A = { 2, 3, 4, 5, 7, 9 }
B = { 1, 3, 5, 6, 8 }
C = { 3, 7, 8, 9, 10 }

23

แบบฝึกทกั ษะท่ี 5
เรอ่ื ง เอกภพสมั พทั ธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

คำช้แี จง ใหน้ กั เรียนพิจารณาความสมั พนั ธ์ของเซตท่กี ำหนดให้ตอ่ ไปน้ี แล้วเขยี น
แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์แสดงความสัมพันธ์ของเซต (5 คะแนน)

ความสมั พันธข์ องเซต แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

1. A  B
BC

2. B  A, C  A, B  C และ C  B
B และ C มีสมาชกิ บางตวั ร่วมกัน

3. A  B, B  A, B  C
B และ C มีสมาชิกบางตัวร่วมกัน

24

ความสมั พนั ธข์ องเซต แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

4. A และ B มีสมาชกิ บางตัวร่วมกัน
B และ C มีสมาชิกบางตวั รว่ มกนั และ
A และ C ไม่มีสมาชิกบางตวั ร่วมกัน

5. B  A, B  C และ
A และ C มีสมาชกิ บางตวั รว่ มกนั

25

แบบฝึกทักษะที่ 6
เรือ่ ง เอกภพสมั พทั ธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

คำช้แี จง ให้นักเรยี นพิจารณาความสมั พันธ์ของเซตทีก่ ำหนดให้ต่อไปนี้ แล้วเขยี น
แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์แสดงความสัมพันธข์ องเซต (2 คะแนน)

1) A เปน็ สบั เซตแท้ของ B, A เป็นสับเซตแท้ของ C
และ B เป็นสับเซตแทข้ อง D
เขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ไดด้ ังนี้

2) A  B, A  C, D  C, B  D, D ไม่มีสมาชกิ ร่วมกับ A และ B
และไมม่ ีสองเซตใดเท่ากัน
เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังน้ี

26

แบบทดสอบหลังเรยี น

เรื่อง เซต รายวชิ าคณติ ศาสตร์ 1 (ค31101) ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 4

เล่มท่ี 6 เอกภพสัมพัทธ์ และ คะแนนเตม็ 10 คะแนน เวลา 10 นาที
แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

คำชแ้ี จง 1. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนัย 4 ตวั เลอื ก จำนวน 10 ข้อ

2. ให้นักเรยี นเลอื กคำตอบท่ีถูกท่ีสุดเพียงข้อเดียว
แล้วทำเคร่อื งหมายกากบาท ( X ) ลงในกระดาษคำตอบ

1. จากแผนภาพ

AB
45 7
68

U

จงหาเอกภพสมั พทั ธ์ U
1. U = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
2. U = { 4, 5, 6, 7, 8 }
3. U = { 4, 5, 6 }
4. U = { 7, 8 }

2. ให้ U แทน เอกภพสัมพัทธ์ A  B, B  C, a  A, c  B
และ d  C ข้อใดกลา่ วไม่ถูกต้อง
1. d  A
2. c  C
3. c  A
4. a  C

27

3. จากแผนภาพ
AB

C

U

ข้อใดกลา่ วไม่ถูกตอ้ ง
1. A  B
2. B  C
3. A  C
4. C  U

4. จากแผนภาพ C

B
A

U

ขอ้ ใดกลา่ วถูกต้อง
1. B  A, A และ C เป็นเซตทม่ี ีสมาชิกบางตวั ร่วมกัน
2. B  A, A และ B เป็นเซตท่ีมสี มาชิกบางตัวร่วมกนั
3. A  B, A และ C เปน็ เซตทม่ี สี มาชิกบางตัวร่วมกนั
4. A  B, B และ C เป็นเซตทีไ่ มม่ สี มาชิกร่วมกัน

28

5. ให้ U = { x | x  I  และ x ≤ 8 }

A = { x | x เปน็ จำนวนนับท่ีอยรู่ ะหว่าง 1 และ 4 }

B = { x | x2 = 5x }

C = { x | x เป็นจำนวนเตม็ บวกท่นี ้อยกว่า 6 }

เขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ตรงกบั ข้อใด

1.

AC
1
2 B
34
0

5

2. 678 U

AC
14
2 B
3
5

678 U

3. C
4
A 1
2
3 B

50

678 U

4. C
1
A
2 B

34 5

678 U

29

6. ให้ A = { x | x  I  และ x < 6 }

B = { x | x  N และ 2 < x ≤ 8 }

เขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ตรงกับขอ้ ใด

1. A1 B
3 56
2 4 78

U

2.
AB
12 367
5 48

U

3.
AB
1 34 7
2 56 8

U

4. A B
1 67
3
2 4 8
5
U

30

7. จากแผนภาพ

AB C

U

ข้อใดกล่าวถูกตอ้ ง
1. A, B และ C ไมม่ ีสมาชกิ รว่ มกนั
2. A และ C ไมม่ ีสมาชิกร่วมกัน
3. A  B และ B  C
4. C  B และ B  A

8. จากแผนภาพ

AB U
1 32
795 8

4 6 10

เอกภพสัมพทั ธ์ตรงกบั ขอ้ ใด
1. { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
2. { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
3. { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 }
4. { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }

31

9. จากแผนภาพ

A B
2 14

7 356 U
89

ขอ้ ใดกลา่ วถกู ต้อง
1. A = { x | x เป็นจำนวนนับ และ 0 ≤ x ≤ 10 }
2. B = { x | x เปน็ จำนวนเฉพาะทนี่ อ้ ยกว่า 7 }
3. A = { x | x เป็นจำนวนนับทนี่ ้อยกวา่ 10 }
4. U = { x | x เปน็ จำนวนนบั }

10. กำหนดแผนภาพดังรูป B
A

C

U

จงพจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้
ก) เซต A เซต B และ เซต C อยใู่ นเอกภพสัมพัทธ์
ข) เซต A เซต B และ เซต C เปน็ เซตทีม่ ีสมาชกิ บางตัวร่วมกัน

ข้อใดถกู ต้อง
1. ขอ้ ก) ถูก ข) ถกู
2. ขอ้ ก) ถกู ข) ผิด
3. ขอ้ ก) ผดิ ข) ถกู
4. ขอ้ ก) ผิด ข) ผิด

32

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น
เล่มที่ 6 เอกภพสัมพทั ธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

ขอ้ คำตอบ
1.
2. 2
3. 3
4. 2
5. 1
6. 4
7. 2
8. 3
9. 1
10. 1
2
ทำไมไ่ ด้ ไมเ่ ปน็ ไรคะ่ ตง้ั ใจ
ศกึ ษาใบความรู้ แลว้ ลองทำ

แบบฝกึ ทกั ษะกนั นะคะ

33

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1
เรื่อง เอกภพสมั พทั ธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

คำช้ีแจง ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาเซตที่กำหนดให้ต่อไปนี้
แลว้ เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ (5 คะแนน)

ให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

1. A = { 3, 5, 7, 9 } 4U
A 6
8
1 35
2 79 U

2. B = { 1, 2, 6, 8 } 5
7
3 B1 2 9
4 68

3. A = { 2, 3, 4, 5, 6 } และ B = { 3, 5, 6, 7, 8 }

23 7 U
5 8
4 6 B 1
9

A

34

4. A = { 3, 5, 7 } และ B = { 1, 3, 5, 7, 9 }

BA U
24
3 51
79
68

5. A = { 2, 4, 6, 8 } และ B = { 8, 6, 4, 2 }

U

AB
24
68
13579

เกณฑก์ ารให้คะแนน/เกณฑก์ ารประเมิน

เขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ไดถ้ ูกตอ้ ง ครบถ้วน ใหข้ ้อละ 1 คะแนน
เขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ไมถ่ ูกต้อง หรือไมค่ รบถ้วน
ใหข้ ้อละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝกึ ทกั ษะต้องไดไ้ ม่น้อยกว่า 4 คะแนน ถือวา่ ผ่านเกณฑ์

35

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 2
เรอื่ ง เอกภพสมั พัทธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

คำชีแ้ จง ให้นกั เรยี นพจิ ารณาแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ทีก่ ำหนดให้ต่อไปน้ี
แลว้ เขยี นเซตทีม่ ีในแผนภาพแบบแจกแจงสมาชิก (5 คะแนน)

ขอ้ แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ เซต

…………………………………………………….

U …………A…=……{…1…, 2…,…3…}…………………….
…………B…=……{ …a…, b…,…c…}…………………….
1. 1a ………………U………………=……{……1……,……2……, ……3,……a……,……b……, ……c……}…………..
2 3 bc

AB ……….…………………………

…………………………………………………….
U …………A……=…{…0…, …2…, 4…,…6…, …8…}………….
02
…………B……=…{…0…, …2,…4…,…6…, …8…}………….
2. 4 6 ………………U………………=……{……0……, ……2……, 4……,……6……, ……8……}……………………..
8
AB …………………………………………………….

…………………………………………………….
U …………A……=…{…1…, …2…, 3…,…4…}……………….
A B …………B……=…{…3…, …4…, 5…,…6…}……………….

3. 13 5 ………………U………………=……{……1……,……2……, ……3,……4……,……5……, 6…………} …………..
24 6
…………………………………………………….

36

ขอ้ แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ เซต

A 3 78 U ………………A…………=……{……1……,……3……, 5……,……7……,……9……, 1……1…………} …………..
11 5 1 9 6 10 ………B……=…{…6…,…7…, 8…,…9…, …1…0…}………….
4. CC 2 B ………C……=…{…1…,…2…, 5…,…6…,…9…}…………….
0 ……………U……………=……{……09……,,……11……,0……2, ,1……31……,,……41……,2……5},……6……,……7……, ..8,
4
12

…………………………………………………….

U …………A……=…{…1…, …3,…5…,…7…, …9…}………….
…………B……=…{…2…, …4,…6…,…8…, …10……} ……….
5. 35 9 10 4 2 ……………………C…………=……{……3……, ……5,……7…………} ……………………………………..
7 0 6 D …………D……=…{…2…}…………………………….
C1 8

AEB …………E……=…{…0…, …9,…1…0…}………………….
………U………=…{…0…, …1…, 2…,…3…, …4,…5…,…6…, ….

7, 8, 9, 10 }

เกณฑก์ ารให้คะแนน/เกณฑก์ ารประเมนิ

เขียนเซตทีม่ ีในแผนภาพแบบแจกแจงสมาชกิ ไดถ้ ูกต้อง ครบถว้ น
ใหข้ ้อละ 1 คะแนน
เขียนเซตทมี่ ใี นแผนภาพแบบแจกแจงสมาชิกไมถ่ กู ต้อง หรือไมค่ รบถ้วน
หรอื ไมเ่ ขียน ใหข้ อ้ ละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝึกทักษะตอ้ งไดไ้ ม่นอ้ ยกว่า 4 คะแนน ถือวา่ ผา่ นเกณฑ์

37

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 3
เร่อื ง เอกภพสมั พทั ธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

คำชี้แจง ให้นกั เรียนพิจารณาเซตที่กำหนดให้ต่อไปน้ี แลว้ เขียนแผนภาพ
เวนน์ – ออยเลอร์แสดงความสัมพนั ธ์ของเซต (5 คะแนน)

ข้อ เซต แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

9 1 U
7 5
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 2
1. A = { 2, 7, 9 }
AB
B = { 1, 2, 5 } 346 8

U

A B 59

13

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } หรอื 24678

2. A = { 1, 3, 5, 9 } U

B = { 5, 9 } 15
39

AB
24678

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 4 U
3. A = { 1, 2, 3 } 5
1 3 6
B = { 3, 4, 5, 6 } 2

A B7 8 9

38

ขอ้ เซต แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } 3 U

4. A = { 6, 7, 8 } 67 4 0
B = { 3, 4 } 8B 1
A 25 C
C = { 0, 1 }

A 1 U

3 5 48 B
7
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } C269 10
A = { 1, 3, 5, 7 }

5. B = { 4, 5, 8 } หรอื

C = { 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } U

A1 7 B 2 C
3 54 6
8 9 10

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน/เกณฑ์การประเมนิ

เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอรแ์ สดงความสมั พันธข์ องเซตทก่ี ำหนดให้
ไดถ้ กู ต้อง ครบถ้วน ให้ข้อละ 1 คะแนน
เขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์แสดงความสัมพันธข์ องเซตทีก่ ำหนดให้
ไมถ่ ูกตอ้ ง หรอื ไม่ครบถว้ น หรือไม่เขยี น ใหข้ ้อละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝึกทักษะต้องได้ไมน่ ้อยกว่า 4 คะแนน ถือว่าผา่ นเกณฑ์

39

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 4
เร่ือง เอกภพสัมพทั ธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

คำช้ีแจง ให้นักเรยี นพิจารณาเซตทก่ี ำหนดให้ต่อไปน้ี แล้วเขยี นแผนภาพ
เวนน์ – ออยเลอร์แสดงความสมั พนั ธข์ องเซต (5 คะแนน)

ให้ U แทน เซตของจำนวนนับ

เซต แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
1. A = { 1, 2, 3, 4, …, 10 }
24 U
B = { 1, 3, 5, 7, 9 }
A B 135 6
2. A = { 1, 2, 3, 5, 7, 9 } 79
B = { 2, 3, 4, 6, 8, 10 } 10 8 13, ...
11, 12,
3. A = { 1, 2, 3, 4, …, 10 }
B = { 1, 3, 5, 7, 9 } AB U
C = { 1, 3, 5 }
15 2 46
7 9 3 8 10

11, 12, 13, ...

2U
13 4
A BC 5 76
10 9
8 11, 12, 13, ...

40

เซต แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

4. A = { 1, 2, 3, 4, …, 10 } AB C U
B = { 1, 3, 5 }
C = { 2, 4, 6 } 13 2 4

5. A = { 2, 3, 4, 5, 7, 9 } 56
B = { 1, 3, 5, 6, 8 } 7 8 9 10
C = { 3, 7, 8, 9, 10 } 11, 12, 13, ...

A 25 1 U
4 79 3 8 6
B

C 9 10 11, 12, 13, ...

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน/เกณฑก์ ารประเมิน

เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอรแ์ สดงความสัมพันธข์ องเซตที่กำหนดให้
ไดถ้ ูกต้อง ครบถว้ น ใหข้ ้อละ 1 คะแนน
เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอรแ์ สดงความสัมพันธข์ องเซตทกี่ ำหนดให้
ไมถ่ กู ตอ้ ง หรอื ไมค่ รบถ้วน หรือไม่เขียน ให้ข้อละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝึกทกั ษะต้องได้ไมน่ อ้ ยกว่า 4 คะแนน ถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์

41

เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 5
เรือ่ ง เอกภพสมั พทั ธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

คำชแี้ จง ใหน้ กั เรยี นพิจารณาความสมั พนั ธ์ของเซตที่กำหนดให้ตอ่ ไปน้ี แล้วเขียน
แผนภาพเวนน์ – ออยเลอรแ์ สดงความสัมพันธข์ องเซต (5 คะแนน)

ความสัมพนั ธ์ของเซต แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

1. A  B U
BC
ABC

2. B  A, C  A, B  C และ C  B A BC U
B และ C มีสมาชกิ บางตวั ร่วมกัน

3. A  B, B  A, B  C A U
B และ C มีสมาชกิ บางตัวรว่ มกัน B
C

ความสัมพันธข์ องเซต 42

4. A และ B มีสมาชกิ บางตัวร่วมกนั แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
B และ C มีสมาชิกบางตัวรว่ มกัน และ A B CU
A และ C ไมม่ ีสมาชกิ บางตวั รว่ มกนั

5. B  A, B  C และ A CU
A และ C มีสมาชกิ บางตวั ร่วมกัน B

เกณฑก์ ารให้คะแนน/เกณฑ์การประเมนิ

เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์แสดงความสัมพันธ์ของเซตท่ีกำหนดให้
ได้ถกู ตอ้ ง ครบถ้วน ให้ข้อละ 1 คะแนน
เขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์แสดงความสัมพนั ธข์ องเซตที่กำหนดให้
ไม่ถูกต้อง หรือไมค่ รบถ้วน หรอื ไมเ่ ขยี น ใหข้ ้อละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝกึ ทกั ษะต้องได้ไมน่ อ้ ยกวา่ 4 คะแนน ถือว่าผ่านเกณฑ์

43

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 6
เรือ่ ง เอกภพสัมพทั ธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

คำชี้แจง ใหน้ กั เรยี นพิจารณาความสัมพันธข์ องเซตท่ีกำหนดให้ต่อไปน้ี แล้วเขยี น
แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์แสดงความสมั พนั ธข์ องเซต (2 คะแนน)

1) A เป็นสบั เซตแท้ของ B, A เป็นสบั เซตแท้ของ C
และ B เป็นสับเซตแท้ของ D
เขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดงั น้ี

U

AB C D

2) A  B, A  C, D  C, B  D, D ไมม่ ีสมาชิกรว่ มกับ A และ B
และไมม่ สี องเซตใดเทา่ กนั
เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ไดด้ ังน้ี

U

B A DC

เกณฑก์ ารให้คะแนน/เกณฑก์ ารประเมนิ
เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์แสดงความสมั พนั ธข์ องเซตทกี่ ำหนดให้
ได้ถกู ต้อง ครบถ้วน ใหข้ ้อละ 1 คะแนน
เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์แสดงความสัมพนั ธข์ องเซตทก่ี ำหนดให้
ไม่ถกู ตอ้ ง หรือไม่ครบถว้ น หรอื ไมเ่ ขียน ใหข้ ้อละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝึกทกั ษะต้องไดไ้ มน่ ้อยกวา่ 1 คะแนน ถอื ว่าผา่ นเกณฑ์

44

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น
เล่มท่ี 6 เอกภพสัมพัทธ์ และแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

ขอ้ คำตอบ
1. 2
2. 3
3. 1
4. 3
5. 2
6. 4
7. 3
8. 2
9. 3
10. 1

เกณฑ์การใหค้ ะแนน/เกณฑก์ ารประเมิน

คำตอบถกู ตอ้ ง ให้ขอ้ ละ 1 คะแนน
คำตอบไม่ถกู ตอ้ ง ใหข้ อ้ ละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบทดสอบหลังเรยี นตอ้ งไดไ้ มน่ อ้ ยกว่า 8 คะแนน ถือวา่ ผ่านเกณฑ์

เกง่ มากคะ่
เราไปศกึ ษาแบบฝกึ ทกั ษะ

เลม่ ตอ่ ไปกนั นะคะ

45

บรรณานุกรม

กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551.
กรุงเทพฯ : ชุมนมุ สหกรณก์ ารเกษตรแห่งประเทศไทย.

กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ :
ชมุ นุมสหกรณก์ ารเกษตรแหง่ ประเทศไทย.

กวิยา เนาวประทีป. (2556). เทคนิคการเรยี นคณิตศาสตร์ : เซต. กรงุ เทพฯ : ฟสิ กิ ส์เซน็ เตอร์.
จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (2553). คู่มือประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์ 1 ม.4 – 6.

กรงุ เทพฯ : พ.ศ.พฒั นา.
เลศิ สทิ ธโิ กศล. (2554). Math Review คณิตศาสตร์ ม.4 – 6 เล่ม 1 (พนื้ ฐาน). กรงุ เทพฯ :

ไฮเอด็ พับลชิ ชง่ิ จำกดั .
สถาบันส่งเสริมวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2557). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์

เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตร
แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. พิมพค์ รง้ั ท่ี 7. กรุงเทพฯ : สกสค.
ลาดพร้าว.
สมัย เหล่าวาณิชย์. (2554ก). คณิตศาสตร์ มัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6 เล่ม 1 (รายวิชาพื้นฐาน
และเพมิ่ เตมิ ). กรงุ เทพฯ : ไฮเอด็ พับลิชช่ิง.
สมัย เหล่าวาณิชย์. (2554ข). คู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.4–5–6 (รายวิชาพื้นฐาน).
กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพบั ลชิ ชิง่ .
สำนักงานเลขาธิการสภาการศึกษา. (2550). แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง เซต หลักสูตรลด
ระยะเวลาเรียนสำหรับผู้ท่ีมีความสามารถพิเศษด้านคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา
ตอนปลาย. นนทบรุ ี : ออฟเซต็ เพรส จำกัด.

ชวี ติ คอื การเรยี นรู้
การเรยี นรู้ คอื ชวี ติ