เล่มที่ 7 ยูเนียน และอินเตอร์เซกชันของเซต

ก

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง เซต กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียน
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จัดทำขึ้นเพื่อเป็นสื่อประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ของกลุ่มสาระ
การเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ โดยสนับสนุนใหผ้ ู้เรียนทุกคนมีความสามารถในการเรยี นรู้และพัฒนา
ทักษะวิชาคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเซต เกิดความคิดรวบยอดจากเนื้อหา ฝึกการปฏิบัติจริงเพื่อให้
เกิดทักษะการคดิ คำนวณ สร้างองคค์ วามรู้ด้วยตนเอง แก้ปัญหาโดยเนน้ ประสบการณ์ตรง และ
ประเมินตนเองตามสาระ มาตรฐานการเรียนรู้ และตัวชี้วัดที่กำหนดไว้ในหลักสูตรแกนกลาง
การศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 โดยจำนวนแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต
มที ้ังหมด 10 เลม่

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง เซต กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียน
ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4 เลม่ นี้เป็นเลม่ ที่ 7 ยูเนยี น และอนิ เตอรเ์ ซกชันของเซต เม่ือนกั เรียนศึกษา
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง เซต เลม่ ที่ 7 เสรจ็ สิ้นแลว้ สามารถหาสมาชกิ ของเซตท่ีเกดิ จาก
การยเู นยี น อนิ เตอร์เซกชันกนั ระหว่างเซตทีก่ ำหนดใหไ้ ด้ และสามารถเขียนแผนภาพแทนเซตท่ี
เกิดจาการยเู นยี น และอินเตอร์เซกชนั กนั ระหวา่ งเซตท่ีกำหนดให้ได้ เป็นการส่งเสริมใหน้ ักเรียน
เกิดทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์เพื่อนำไปเช่ือมโยงเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ในเร่ืองอ่ืน ๆ
ได้อย่างถูกต้องเหมาะสม ส่งผลให้นักเรียนเกิดการเรียนรู้ที่มีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น โดยแบบฝึก
ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต ทีจ่ ดั ทำข้ึนมีรปู ภาพประกอบสวยงาม มกี ิจกรรมเกมทำให้นกั เรียน
เกิดความอยากรู้ สนกุ สนาน และเพลิดเพลนิ กับการเรียนรู้ เร่ือง เซต ได้ดียงิ่ ข้นึ

ผู้จัดทำหวังเป็นอยา่ งยง่ิ ว่า แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง เซต นจ้ี ะเปน็ ประโยชน์ต่อครู
นักเรียน และผู้สนใจท่ีจะนำไปใช้ประกอบการจดั กิจกรรมการเรียนรู้ เพื่อทำให้นกั เรยี นซึง่ เปน็
เยาวชนของไทยกลายเปน็ พลเมืองท่ีมีความสามารถทางดา้ นการคิดวิเคราะห์ คิดเชื่อมโยงตาม
กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ และรักทจี่ ะเรยี นคณิตศาสตรม์ ากยิ่งขนึ้

ณฐั ชยา คิดสำราญ
ครู วทิ ยฐานะครชู ำนาญการ

ข

เรื่อง หนา้

คำนำ.................................................................................................................... ก
สารบัญ................................................................................................................ ข
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง เซต กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์
สำหรับนักเรียนช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 4 1
เลม่ ที่ 7 ยูเนยี น และอนิ เตอรเ์ ซกชันของเซต....................................................... 1
2
สาระสำคัญ................................................................................................ 6
จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้................................................................................ 13
แบบทดสอบกอ่ นเรียน............................................................................... 14
ใบความรู้ เร่อื ง ยเู นียน และอินเตอร์เซกชันของเซต...................................... 16
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1...................................................................................... 17
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2...................................................................................... 19
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3...................................................................................... 20
แบบฝึกทกั ษะท่ี 4...................................................................................... 21
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 5...................................................................................... 25
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 6...................................................................................... 26
แบบทดสอบหลงั เรียน............................................................................... 27
เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน...................................................................... 29
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1............................................................................. 30
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2............................................................................. 32
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 3............................................................................. 33
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 4............................................................................. 34
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 5............................................................................. 35
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 6.............................................................................
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน.......................................................................
บรรณานกุ รม.............................................................................................

1

สาระสำคญั

ยูเนียนของเซต A และ เซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ
เซต A หรือเซต B หรอื ของท้งั สองเซต เขยี นแทนด้วย A  B

อินเตอร์เซกชันของเซต A และ เซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็น
สมาชกิ ของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A  B

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

ดา้ นความรู้ (K) นกั เรยี นสามารถ
1. หาสมาชิกของเซตทเ่ี กิดจากการยูเนียนระหว่างเซตทีก่ ำหนดให้ได้
2. หาสมาชิกของเซตทีเ่ กิดจากการอินเตอร์เซกชันกนั ระหว่างเซตท่กี ำหนดให้ได้

ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ (P) นกั เรยี นมีทกั ษะกระบวนการทางการเรียนรูด้ า้ น
1. การแก้ปญั หา
2. การให้เหตุผล
3. การสื่อสาร สื่อความหมายและการนำเสนอ
4. การเชอ่ื มโยงความรู้
5. ความคิดริเรม่ิ สรา้ งสรรค์

ดา้ นคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A) นักเรยี นมีคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ด้าน
1. ซื่อสัตย์สุจริต
2. มีวินยั
3. ใฝเ่ รียนรู้
4. ม่งุ มั่นในการทำงาน

2

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น

เรื่อง เซต รายวชิ าคณิตศาสตร์ 1 (ค31101) ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

เลม่ ที่ 7 ยูเนยี น และอนิ เตอรเ์ ซกชนั ของเซต คะแนนเตม็ 10 คะแนน เวลา 10 นาที

คำชแี้ จง 1. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัย 4 ตัวเลอื ก จำนวน 10 ขอ้

2. ให้นกั เรยี นเลอื กคำตอบทีถ่ ูกท่ีสดุ เพยี งขอ้ เดียว
แลว้ ทำเครื่องหมายกากบาท ( X ) ลงในกระดาษคำตอบ

1. ให้ A = { 1, 2, 3, {1, 2, 3} } และ B = { 1, 2, {1, 2} }
ข้อใดกลา่ วถูกตอ้ ง
1. A  B = { {1, 2} }
2. (A  B)  (A  B)
3. (A  B)  (A  B)
4. A  B = { 1, 2, {1, 2, 3} }

2. ให้ A และ B เปน็ เซตใด ๆ
จงพิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้
ก) ถา้ A  B แล้ว A  B = A
ข) ถา้ A  B แล้ว A  B = B
ข้อใดถูกต้อง
1. ขอ้ ก) ถกู ข) ถกู
2. ขอ้ ก) ถูก ข) ผิด
3. ขอ้ ก) ผิด ข) ถกู
4. ขอ้ ก) ผดิ ข) ผิด

3

3. ให้ A = { x | x2 – 2x – 8 = 0 }
B = { x | x2 + 2x = 0 }

แล้วเซต A  B ตรงกับขอ้ ใด
1. { 4 }
2. { 0 }
3. { –2 }
4. { 0, 4 }

4. ให้ A = { 6, 9, 12, 15, 18, 21 }
B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 }

แล้วจำนวนสบั เซตของเซต A  B ตรงกับขอ้ ใด
1. 4 สับเซต
2. 5 สบั เซต
3. 7 สบั เซต
4. 9 สบั เซต

5. จากแผนภาพ

A BU
427
583

6

เซต A  B ตรงกบั ขอ้ ใด
1. { 2, 8 }
2. { 3, 4, 5, 6, 7 }
3. { 2, 3, 4, 5, 7, 8 }
4. { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

4

6. ขอ้ ใดกล่าวถูกต้อง
1. ถา้ A  B = B แล้ว A  B
2. ถ้า A เป็นเซตใด ๆ แลว้ A   = A
3. ถ้า A เป็นเซตใด ๆ แลว้ A  A = 
4. ถ้า A และ B เปน็ เซตใด ๆ แลว้ A  (A  B)

7. ให้ U = { 1, 2, 3, …, 30 }
A = { x | x เปน็ จำนวนท่ีหารด้วย 8 ลงตวั }

B = { x | x  N และ 2 < x ≤ 8 }

C = { x | x = 2y และ y > 11 }
ข้อใดกล่าวไม่ถกู ต้อง

1. (A  B)  C = { 24 }
2. (A  C)  (A  B) = { 24 }
3. (U  A)  (B  C) = { 8, 16, 24 }
4. (A  C)  U = { 8, 16, 24, 26, 28, 30 }

8. จากแผนภาพ

A5 2B U
31 4
7 86

จงพิจารณาข้อความต่อไปน้ี
ก) A  B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 }
ข) (B  A)  B = { 1, 2, 4, 8 }
ค) A  (A  B) = { 1 }

ข้อใดถูกตอ้ ง
1. ขอ้ ก) ถูก ข) ถูก ค) ผิด
2. ขอ้ ก) ถูก ข) ผิด ค) ผิด
3. ข้อ ก) ถกู ข) ผดิ ค) ถกู
4. ข้อ ก) ผิด ข) ถูก ค) ผิด

5

9. ให้ A  B = { 3, 4, 5 }
แลว้ เซต A และ เซต B ตรงกบั ข้อใด
1. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B={ }
2. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 3, 4, 5, 6 }
3. A = { 2, 3, 4, 5 }
B = { 3, 4, 6 }
4. A = { 1, 2, 4, 5 }
B = { 3, 4 }

10. ให้ U = { x | x เปน็ จำนวนคบู่ วกท่นี อ้ ยกวา่ 20 }
A = { x | x เป็นจำนวนคบู่ วกท่ีอยรู่ ะหวา่ ง 4 และ 16 }
B = { x | x2 = 16 }
C = { x | x เป็นจำนวนท่ีหารด้วย 4 ลงตัว }

จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
ก) (A  B)  C = C
ข) (U  C)  B = C

ข้อใดถูกต้อง
1. ข้อ ก) ถกู ข) ถกู
2. ขอ้ ก) ถกู ข) ผดิ
3. ข้อ ก) ผิด ข) ถกู
4. ข้อ ก) ผิด ข) ผิด

6

ใบความรู้
เร่อื ง ยเู นียน และอนิ เตอร์เซกชันของเซต

ยเู นียน (Union)

ยูเนียนของเซต A และ เซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิก
ของเซต A หรอื เซต B หรือของท้ังสองเซต เขียนแทนด้วย A  B

จากความหมายของยูเนียน สรปุ ไดว้ า่ ยูเนียนของเซต A และเซต B เป็นการสร้าง
เซตใหม่ ซึ่งเกิดจากการนำเอาสมาชิกที่อยู่ในเซต A กับสมาชิกที่อยู่ในเซต B มารวมกนั
สามารถเขยี นเซตใหม่ทเ่ี กดิ จากการยูเนยี นในรปู แบบบอกเง่ือนไข ไดด้ ังน้ี

A  B = { x | x  A หรือ x  B หรือ เปน็ สมาชกิ ของทง้ั สองเซต }

ตวั อย่าง เมอ่ื กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

1. ให้ A = { 2, 4, 6, 8 } และ B = { 1, 3, 5, 7 }
จากโจทย์ เขียนแผนภาพ และแรเงาเซตคำตอบของเซต A  B ไดด้ ังน้ี
9U
24 13
68 57
AB
10
ดงั น้นั A  B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

7

2. ให้ A = { 2, 3, 5, 7 } และ B = { 2, 4, 6, 8 }
จากโจทย์ เขียนแผนภาพ และแรเงาเซตคำตอบของเซต A  B ได้ดังน้ี

U

35 2 46 9
7 8

1A B 7 10

ดังนัน้ A  B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

3. ให้ A = { x | x เปน็ จำนวนเฉพาะ } และ B = { 2, 3, 5, 7 }
จากโจทย์ จะเห็นวา่ เซต A เขยี นแบบแจกแจงสมาชกิ ได้
A = { 2, 3, 5, 7 }
เขียนแผนภาพ และแรเงาเซตคำตอบของเซต A  B ได้ดงั นี้

U

14 23 68
9 5 7 10
AB

ดังนัน้ A  B = { 2, 3, 5, 7 }

4. ให้ A = { 1, 3 } และ B = { x | x เป็นจำนวนค่ีบวกทน่ี อ้ ยกวา่ 9 }
จากโจทย์ จะเหน็ วา่ เซต B เขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้
B = { 1, 3, 5, 7 }
เขียนแผนภาพ และแรเงาเซตคำตอบของเซต A  B ไดด้ งั นี้

2 4 13 U

68

9 5 A7 10
B

ดังนั้น A  B = { 1, 3, 5, 7 }

8

5. ให้ A = { x | x เป็นจำนวนคู่ } และ B = { x | x เปน็ จำนวนท่ีหารดว้ ย 4 ลงตัว }
จากโจทย์ จะเหน็ ว่า เซต A และ B เขียนแบบแจกแจงสมาชกิ ได้
A = { 2, 4, 6, 8 }
B = { 4, 8 }
เขียนแผนภาพ และแรเงาเซตคำตอบของเซต A  B ได้ดังนี้

U

1 48 7

3 2 B6 9
5 A 10

ดังนัน้ A  B = { 2, 4, 6, 8 }

สมบตั ิที่สำคญั เกีย่ วกับยเู นยี น

ให้ A, B และ C เป็นสบั เซตของเอกภพสมั พัทธ์ U จะได้ว่า

1. A  A = A

2. A   = A และ   A = A

3. A  U = U

4. A  B = B  A (สมบัตกิ ารสลับที่)

5. (A  B)  C = A  (B  C) (สมบตั กิ ารเปลี่ยนหม)ู่

6. A  (A  B) และ B  (A  B)

7. A  B กต็ อ่ เมื่อ A  B = B

8. ถา้ A  C และ B  C แลว้ (A  B)  C

9

อินเตอรเ์ ซกชนั (Intersection)

อินเตอรเ์ ซกชนั ของเซต A และ เซต B คือ เซตทปี่ ระกอบด้วยสมาชิกท่ีเป็น
สมาชกิ ของเซต A และ เซต B เขียนแทนด้วย A  B

จากความหมายของอินเตอร์เซกชัน สรุปได้ว่า อินเตอร์เซกชันของเซต A และ
เซต B เป็นการสร้างเซตใหม่ ซ่งึ เกิดจากการนำเอาสมาชิกท่ีอยทู่ ง้ั ในเซต A และ เซต B
น่ันก็คือ เอาสมาชิกทีซ่ ้ำกนั ระหว่างเซต A และ เซต B สามารถเขียนเซตใหม่ที่เกิดจาก
การอินเตอร์เซกชันในรปู แบบบอกเง่ือนไข ไดด้ ังน้ี

A  B = { x | x  A และ x  B }

ตัวอยา่ ง เมื่อกำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

1. ให้ A = { 1, 2, 3 } และ B = { 4, 5, 6, 7 }
จากโจทย์ เขียนแผนภาพ และแรเงาเซตคำตอบของเซต A  B ได้ดังนี้

AB U

12 45
3 67
8 9 10

ดังนัน้ A  B = { }

10

2. ให้ A = { 1, 2, 3 } และ B = { 3, 5 }
จากโจทย์ เขยี นแผนภาพ และแรเงาเซตคำตอบของเซต A  B ได้ดังนี้

AB U
13 5
2

4 6 7 8 9 10
ดังนน้ั A  B = { 3 }

3. ให้ A = { 2, 3, 5, 7 } และ B = { x | x เปน็ จำนวนเฉพาะทีน่ อ้ ยกว่า 10 }
จากโจทย์ จะเหน็ วา่ เซต B เขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้
B = { 2, 3, 5, 7 }
เขียนแผนภาพ และแรเงาเซตคำตอบของเซต A  B ได้ดังนี้

U

1 23 8
4 57 9
6 A B 10

ดงั นั้น A  B = { 2, 3, 5, 7 }

4. ให้ A = { x | 3 ≤ x < 5 } และ B = { x | x เป็นจำนวนนบั ทีน่ อ้ ยกวา่ 5 }

จากโจทย์ จะเห็นว่า เซต A และ B เขยี นแบบแจกแจงสมาชกิ ได้
A = { 3, 4 }
B = { 1, 2, 3, 4 }

เขียนแผนภาพ และแรเงาเซตคำตอบของเซต A  B ได้ดังนี้

5 6 34 U
7 BA1 2
89
10

ดังนน้ั A  B = { 3, 4 }

11

5. ให้ A = { x | x เปน็ จำนวนค่ี } และ B = { 5, 7 }
จากโจทย์ จะเหน็ ว่า เซต A เขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้
A = { 1, 3, 5, 7, 9 }
เขียนแผนภาพ และแรเงาเซตคำตอบของเซต A  B ไดด้ งั นี้

U

2 4 57 68
13 10
6 9B
9
ดังน้ัน A  B = 9{ 5, 7 } A

สมบตั ิทีส่ ำคัญเกีย่ วกับอินเตอร์เซกชัน

ให้ A, B และ C เป็นสบั เซตของเอกภพสัมพัทธ์ U จะไดว้ ่า

1. A  A = A

2. A   =  และ   A = 

3. A  U = A

4. A  B = B  A (สมบัติการสลบั ที)่

5. (A  B)  C = A  (B  C) (สมบตั กิ ารเปลย่ี นหม)ู่

6. (A  B)  A และ (A  B)  B

7. A  B ก็ตอ่ เมอื่ A  B = A

8. ถ้า A  C และ B  C แล้ว (A  B)  C

12

ตัวอยา่ ง ให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A = { 2, 4, 6 } จากโจทย์ เขยี นเซต B และ C

B = { x | x เปน็ จำนวนเฉพาะ } แบบแจกแจงสมาชกิ ไดด้ งั น้ี
B = { 2, 3, 5, 7 }
C = { x | x เปน็ จำนวนค่ี } C = { 1, 3, 5, 7, 9 }
จงหา

1. B  C = { 2, 3, 5, 7 }  { 1, 3, 5, 7, 9 }

= { 1, 2, 3, 5, 7, 9 }

2. B  C = { 2, 3, 5, 7 }  { 1, 3, 5, 7, 9 }

= { 3, 5, 7 }

3. (A  B)  C = ( { 2, 4, 6 }  { 2, 3, 5, 7 } )  { 1, 3, 5, 7, 9 }

= { 2 }  { 1, 3, 5, 7, 9 }

= { 1, 2, 3, 5, 7, 9 }

4. B  (A  C) = { 2, 3, 5, 7 }  ( { 2, 4, 6 }  { 1, 3, 5, 7, 9 } )

= { 2, 3, 5, 7 }  { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 }

= { 2, 3, 5, 7 }

5. A  (B  C) = { 2, 4, 6 }  ( { 2, 3, 5, 7 }  { 1, 3, 5, 7, 9 } )

= { 2, 4, 6 }  { 3, 5, 7 }

= { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

6. (A  B)  (A  C) = ( { 2, 4, 6 }  { 2, 3, 5, 7 } ) ( { 2, 4, 6 }  { 1, 3, 5, 7, 9 } )

= { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }  { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 }

= { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

7. A  (B  C) = { 2, 4, 6 }  ( { 2, 3, 5, 7 }  { 1, 3, 5, 7, 9 } )

= { 2, 4, 6 }  { 1, 2, 3, 5, 7, 9 }

= {2}

8. (A  B)  (A  C) = ( { 2, 4, 6 }  { 2, 3, 5, 7 } )  ( { 2, 4, 6 }  { 1, 3, 5, 7, 9 } )

={2}{ }

={2}

กฎการแจกแจง

1. A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
2. A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

13

แบบฝกึ ทักษะที่ 1
เรื่อง ยูเนียน และอินเตอรเ์ ซกชนั ของเซต

คำช้ีแจง ใหน้ ักเรียนเขียนคำตอบที่ถูกต้องลงในช่องว่าง (10 คะแนน)

เมอื่ กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, …, 10 }
A = { 1, 3, 5, 7 }
B = { 2, 3, 5, 8 }
C = { 4, 5, 7, 8, 9 }

1. A  B =

2. B  A =

3. A  U =

4. A   =

5. U   =

6. (A  B)  C =

=

7. (A  C)  (B  ) =

=

8. (B  C)  U =

=

9. (C  )  (B  ) =

=

10. A  (B  C) =

=

14

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2
เรื่อง ยูเนียน และอนิ เตอร์เซกชนั ของเซต

คำช้แี จง ใหน้ ักเรยี นเขยี นคำตอบท่ีถูกต้องลงในช่องว่าง (10 คะแนน)

เมื่อกำหนดให้ U = { a, b, c, d, e, f, g, h, i }
A = { a, b, c, d, e }
B = { a, d, e, g, i }
C = { b, d, i }

1. A  B =

2. A  C =

3. B  C =

4. U  (A  C) =
=

5. (B  C)  (A  ) =
=

15

6. A  (B  C) =
=

7. (A  B)  (A  C) =
=

8. (A  B)   =
=

9. (C  B)  U =
=

10. (A  U )  (B  U ) =
=

16

แบบฝึกทกั ษะที่ 3
เรือ่ ง ยเู นยี น และอนิ เตอรเ์ ซกชนั ของเซต

คำช้ีแจง ใหน้ กั เรียนเขียนคำตอบท่ีถูกต้องลงในช่องว่าง (10 คะแนน)

เม่ือกำหนดให้ A = { a, b, c, d, e }
B = { b, c, h }
C = { a, d, f }

ขอ้ เซต

1. A  B =
2. B  A =
3. B  C =
4. C  B =
5. A  (B  C) =

=
6. A  (B  C) =

=
7. A  (B  C) =

=
8. A  (B  C) =

=
9. (A  B)  (A  C) =

=
10. (A  B)  (C  B) =

=

17

แบบฝึกทกั ษะที่ 4
เรื่อง ยูเนยี น และอินเตอร์เซกชันของเซต

คำช้ีแจง ใหน้ กั เรียนพิจารณาขอ้ ต่อไปน้ี แล้วเขียนเขยี นแผนภาพ
เวนน์ – ออยเลอร์ พรอ้ มเขียนคำตอบที่ถกู ตอ้ งลงในช่องว่าง
(10 คะแนน)

1. กำหนดให้ U = { x | x เป็นจำนวนคบู่ วกที่นอ้ ยกวา่ 20 }
A = { x | x เป็นจำนวนค่บู วกทอี่ ยรู่ ะหว่าง 4 และ 16 }
B = { x | x2 = 16 }

จงเขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

จงเขียนคำตอบท่ีถกู ตอ้ งลงในช่องวา่ ง
U =
A =
B =
 AB =

=
 AB =

ตง้ั ใจทำแบบฝกึ ทกั ษะ
กนั นะคะ

18

2. กำหนดให้ A = { x | x  I และ 1 < x < 5 }
B = { x | x  I และ 2 < x < 6 }
C = { 2, 5, 9 }

จงเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

จงเขยี นคำตอบท่ถี ูกตอ้ งลงในช่องว่าง
A =
B =
 A  (B  C) =

=
 (A  B )  (A  C) =

=
 (A  B)  (A  C) =

=

ไมย่ ากเลย
ใชไ่ หมคะ

19

แบบฝึกทกั ษะท่ี 5
เรอื่ ง ยเู นียน และอนิ เตอรเ์ ซกชันของเซต

คำช้แี จง ใหน้ กั เรียนพจิ ารณาขอ้ ต่อไปนี้ แลว้ เขยี นเครอ่ื งหมาย  หนา้ ขอ้ ที่ถูก
และเขยี นเครื่องหมาย  หนา้ ขอ้ ท่ผี ิด หากผดิ ให้แก้ไขใหถ้ ูกตอ้ ง
(10 คะแนน)

เมื่อกำหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ ในเอกภพสัมพทั ธ์เดยี วกัน

1. A  A = A
2. A  A = A
3. A  U = A
4. A  U = A
5. A   = 
6. A   = A
7. ถา้ A  B = A แล้ว A  B
8. ถา้ A  B = B แล้ว A  B
9. ถ้า A  B แล้ว A  (A  B)
10. ถา้ A  B และ B  C แล้ว (A  B)  C

20

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 6
เรอื่ ง ยเู นียน และอินเตอรเ์ ซกชนั ของเซต

คำช้แี จง ใหน้ กั เรียนเขยี นคำตอบที่ถกู ต้องลงในช่องว่าง (5 คะแนน)

เมื่อกำหนดให้ A = { 1, 2 }
B = { 2, 4 }

1. P(A  B) จากโจทย์ จะได้
A  B = ……………………………………………
P(A  B) = ……………………………………………

…………………………………….……..

2. P(A)  P(B) จากโจทย์ จะได้
P(A) = ……………………………….….………
P(B) = .………………………………...….……
P(A)  P(B) = .................................................
..……………………………………..……

3. P(A  B) จากโจทย์ จะได้

A  B = ……………………………………………

P(A  B) = ………...…………………………………

4. P(A)  P(B) จากโจทย์ จะได้
P(A) = ……………………………………………
P(B) = ……………………………………………
P(A)  P(B) = ……………………………………………

5. P(P(A  B)) จากโจทย์ จะได้
A  B = ……………….....………….……...……
P(A  B) = …………………….…....…….….………
P(P(A  B)) = ..................................................

21

แบบทดสอบหลังเรยี น

เรื่อง เซต รายวชิ าคณติ ศาสตร์ 1 (ค31101) ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4

เล่มที่ 7 ยูเนยี น และอินเตอรเ์ ซกชนั ของเซต คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลา 10 นาที

คำชแ้ี จง 1. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จำนวน 10 ขอ้

2. ใหน้ ักเรียนเลอื กคำตอบท่ีถูกท่ีสุดเพยี งขอ้ เดียว
แล้วทำเครอ่ื งหมายกากบาท ( X ) ลงในกระดาษคำตอบ

1. ให้ A = { x | x2 – 2x – 8 = 0 }
B = { x | x2 + 2x = 0 }

แลว้ เซต A  B ตรงกบั ข้อใด
1. { 0, 4 }
2. { –2 }
3. { 4 }
4. { 0 }

2. ให้ A = { 6, 9, 12, 15, 18, 21 }
B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 }

แล้วจำนวนสับเซตของเซต A  B ตรงกับขอ้ ใด
1. 9 สบั เซต
2. 7 สับเซต
3. 5 สบั เซต
4. 4 สบั เซต

22

3. จากแผนภาพ

AB
4 27
58 3

6U

แลว้ เซต A  B ตรงกับขอ้ ใด
1. { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
2. { 2, 3, 4, 5, 7, 8 }
3. { 3, 4, 5, 6, 7 }
4. { 2, 8 }

4. ขอ้ ใดกล่าวถูกตอ้ ง
1. ถา้ A และ B เปน็ เซตใด ๆ แลว้ A  (A  B)
2. ถ้า A เป็นเซตใด ๆ แลว้ A   = A
3. ถา้ A เปน็ เซตใด ๆ แล้ว A  A = 
4. ถ้า A  B = B แล้ว A  B

5. ให้ U = { 1, 2, 3, …, 30 }
A = { x | x เปน็ จำนวนท่ีหารดว้ ย 8 ลงตัว }

B = { x | x  N และ 2 < x ≤ 8 }

C = { x | x = 2y และ y > 11 }
ข้อใดกลา่ วไม่ถกู ตอ้ ง

1. (A  C)  U = { 8, 16, 24, 26, 28, 30 }
2. (U  A)  (B  C) = { 8, 16, 24 }
3. (A  C)  (A  B) = { 24 }
4. (A  B)  C = { 24 }

23

6. จากแผนภาพ

A5 2B U
314
7 86

จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้
ก) A  B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 }
ข) (B  A)  B = { 1, 2, 4, 8 }
ค) A  (A  B) = { 1 }

ข้อใดถกู ต้อง
1. ข้อ ก) ถูก ข) ถูก ค) ผิด
2. ข้อ ก) ถกู ข) ผิด ค) ผิด
3. ขอ้ ก) ถูก ข) ผิด ค) ถกู
4. ข้อ ก) ผดิ ข) ถกู ค) ผิด

7. ให้ A  B = { 3, 4, 5 }
แล้วเซต A และเซต B ตรงกบั ขอ้ ใด
1. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B={ }
2. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 3, 4, 5, 6 }
3. A = { 2, 3, 4, 5 }
B = { 3, 4, 6 }
4. A = { 1, 2, 4, 5 }
B = { 3, 4 }

24

8. ให้ U = { x | x เป็นจำนวนคู่บวกทน่ี ้อยกวา่ 20 }
A = { x | x เป็นจำนวนคูบ่ วกท่อี ยู่ระหว่าง 4 และ 16 }
B = { x | x2 = 16 }
C = { x | x เปน็ จำนวนที่หารดว้ ย 4 ลงตัว }

จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนี้
ก) (A  B)  C = C
ข) (U  C)  B = C

ขอ้ ใดถูกตอ้ ง
1. ข้อ ก) ถูก ข) ถูก
2. ข้อ ก) ถกู ข) ผิด
3. ขอ้ ก) ผิด ข) ถูก
4. ขอ้ ก) ผิด ข) ผิด

9. ให้ A = { 1, 2, 3, {1, 2, 3} } และ B = { 1, 2, {1, 2} }
ขอ้ ใดกลา่ วถกู ตอ้ ง
1. A  B = { 1, 2, {1, 2, 3} }
2. (A  B)  (A  B)
3. (A  B)  (A  B)
4. A  B = { {1, 2} }

10. ให้ A และ B เปน็ เซตใด ๆ
จงพิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี
ก) ถ้า A  B แล้ว A  B = A
ข) ถ้า A  B แลว้ A  B = B
ขอ้ ใดถูกตอ้ ง
1. ขอ้ ก) ถูก ข) ถกู
2. ขอ้ ก) ถกู ข) ผดิ
3. ข้อ ก) ผิด ข) ถกู
4. ขอ้ ก) ผดิ ข) ผิด

25

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น
เล่มท่ี 7 ยเู นยี น และอนิ เตอรเ์ ซกชันของเซต

ข้อ คำตอบ
1.
2. 2
3. 1
4. 3
5. 1
6. 3
7. 1
8. 2
9. 1
10. 2
3
ทำไมไ่ ด้ ไมเ่ ปน็ ไรคะ่ ตงั้ ใจ
ศึกษาใบความรู้ แลว้ ลองทำ

แบบฝกึ ทกั ษะกนั นะคะ

26

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 1
เรอ่ื ง ยูเนียน และอนิ เตอร์เซกชันของเซต

คำช้ีแจง ให้นกั เรยี นเขียนคำตอบท่ีถกู ต้องลงในชอ่ งวา่ ง (10 คะแนน)

เมอ่ื กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, …, 10 }
A = { 1, 3, 5, 7 }
B = { 2, 3, 5, 8 }
C = { 4, 5, 7, 8, 9 }

1. A  B = { 1, 2, 3, 5, 7, 8 }

2. B  A = { 1, 2, 3, 5, 7, 8 }
3. A  U = { 1, 2, 3, 4, 5, ..., 10 }
4. A   = { 1, 3, 5, 7 }

5. U   = { 1, 2, 3, 4, 5, ..., 10 }
6. (A  B)  C = { 1, 2, 3, 5, 7, 8 }  { 4, 5, 7, 8, 9 }

7. (A  C)  (B  ) = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 }
= { 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9 }  { 2, 3, 5, 8 }

= { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 }

8. (B  C)  U = { 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 }  { 1, 2, 3, ..., 10 }

9. (C  )  (B  ) = { 1, 2, 3, 4, 5, ..., 10 }
= { 4, 5, 7, 8, 9 }  { 2, 3, 5, 8 }

= { 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 }

10. A  (B  C) = { 1, 3, 5, 7 }  { 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 }

= { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 }

เกณฑก์ ารให้คะแนน/เกณฑ์การประเมิน

เขียนคำตอบได้ถกู ต้อง ใหข้ อ้ ละ 1 คะแนน
เขียนคำตอบไม่ถกู ตอ้ ง หรือไมเ่ ขยี น ให้ข้อละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝึกทกั ษะตอ้ งได้ไมน่ อ้ ยกว่า 8 คะแนน ถือว่าผา่ นเกณฑ์

27

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 2
เรอ่ื ง ยูเนยี น และอินเตอรเ์ ซกชันของเซต

คำช้แี จง ให้นกั เรียนเขยี นคำตอบท่ีถูกต้องลงในช่องวา่ ง (10 คะแนน)

เมือ่ กำหนดให้ U = { a, b, c, d, e, f, g, h, i }
A = { a, b, c, d, e }
B = { a, d, e, g, i }
C = { b, d, i }

1. A  B = { a, d, e }

2. A  C = { b, d }

3. B  C = { d, i }
4. U  (A  C)
= { a, b, c, d, e, f, g, h, i }  { b, d }
= { b, d }

5. (B  C)  (A  ) = { d, i }  { }
= {}

28

6. A  (B  C) = { a, b, c, d, e }  { d, i }
= {d}

7. (A  B)  (A  C) = { a, d, e }  { b, d }
= {d}

8. (A  B)   = { a, d, e }  
=

9. (C  B)  U = { d, i }  { a, b, c, d, e, f, g, h, i }
= { d, i }

10. (A  U )  (B  U ) = { a, b, c, d, e }  { a, d, e, g, i }
= { a, d, e }

เกณฑ์การใหค้ ะแนน/เกณฑก์ ารประเมนิ

เขียนคำตอบไดถ้ ูกตอ้ ง ใหข้ อ้ ละ 1 คะแนน
เขียนคำตอบไม่ถูกตอ้ ง หรอื ไม่เขยี น ใหข้ ้อละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝกึ ทกั ษะตอ้ งได้ไม่นอ้ ยกวา่ 8 คะแนน ถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์

29

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 3
เรอื่ ง ยูเนียน และอนิ เตอรเ์ ซกชันของเซต

คำชแี้ จง ให้นกั เรยี นเขยี นคำตอบท่ีถกู ต้องลงในชอ่ งวา่ ง (10 คะแนน)

เมอื่ กำหนดให้ A = { a, b, c, d, e }
B = { b, c, h }
C = { a, d, f }

ข้อ เซต

1. A  B = { b, c }
2. B  A = { b, c }
3. B  C = { a, b, c, d, f, h }
4. C  B = { a, b, c, d, f, h }
5. A  (B  C) = { a, b, c, d, e }  { a, b, c, d, f, h }

= { a, b, c, d, e, f, h }
6. A  (B  C) = { a, b, c, d, e }  

=
7. A  (B  C) = { a, b, c, d, e }  

= { a, b, c, d, e }
8. A  (B  C) = { a, b, c, d, e }  { a, b, c, d, f, h }

= { a, b, c, d }
9. (A  B)  (A  C) = { a, b, c, d, e, h }  { a, b, c, d, e, f }

= { a, b, c, d, e }
10. (A  B)  (C  B) = { a, b, c, d, e, h }  { a, b, c, d, f, h }

= { a, b, c, d, h }

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน/เกณฑ์การประเมิน

เขยี นคำตอบได้ถูกต้อง ใหข้ อ้ ละ 1 คะแนน
เขียนคำตอบไมถ่ ูกตอ้ ง หรือไมเ่ ขยี น ใหข้ อ้ ละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝึกทกั ษะต้องไดไ้ ม่นอ้ ยกวา่ 8 คะแนน ถอื วา่ ผ่านเกณฑ์

30

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 4
เร่อื ง ยูเนียน และอินเตอร์เซกชันของเซต

คำช้ีแจง ให้นกั เรียนพิจารณาข้อต่อไปน้ี แลว้ เขียนเขยี นแผนภาพ
เวนน์ – ออยเลอร์ พรอ้ มเขียนคำตอบท่ีถกู ต้องลงในชอ่ งว่าง
(10 คะแนน)

1. กำหนดให้ U = { x | x เป็นจำนวนคู่บวกที่นอ้ ยกวา่ 20 }
A = { x | x เปน็ จำนวนคู่บวกท่ีอยู่ระหวา่ ง 4 และ 16 }
B = { x | x2 = 16 }

จงเขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

AB
68
10 12 4

142 16 18 U

จงเขียนคำตอบทีถ่ ูกตอ้ งลงในช่องวา่ ง (5 คะแนน)
 U = { 2, 4, 6, 8, ..., 18 }
 A = { 6, 8, 10, 12, 14 }
 B = {4}
 A  B = { 6, 8, 10, 12, 14 }  { 4 }

= { 4, 6, 8, 10, 12, 14 }
 AB = 

จาก B = { x | x2 = 16 }
จะได้ x = –4, 4
แต่ –4 ไมเ่ ปน็ สมาชกิ ของ U
ดงั นน้ั B = { 4 }

31

2. กำหนดให้ A = { x | x  I และ 1 < x < 5 }
B = { x | x  I และ 2 < x < 6 }
C = { 2, 5, 9 }

จงเขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
AB
34
25
9
CU

จงเขียนคำตอบท่ถี ูกต้องลงในชอ่ งวา่ ง (5 คะแนน)
 A = { 2, 3, 4 }
 B = { 3, 4, 5 }
 A  (B  C) = { 2, 3, 4 }  { 2, 3, 4, 5, 9 }

= { 2, 3, 4 }
 (A  B )  (A  C) = { 3, 4 }  { 2 }

= { 2, 3, 4 }
 (A  B)  (A  C) = { 2, 3, 4, 5 }  { 2, 3, 4, 5, 9 }

= { 2, 3, 4, 5 }

ทำถกู หมดทกุ ขอ้ เลย
เกง่ มากเลยคะ่

เกณฑ์การให้คะแนน/เกณฑ์การประเมิน
เขยี นคำตอบได้ถูกต้อง ใหข้ อ้ ย่อยละ 1 คะแนน
เขยี นคำตอบไมถ่ ูกตอ้ ง หรอื ไมเ่ ขยี น ให้ขอ้ ยอ่ ยละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝกึ ทักษะต้องไดไ้ มน่ ้อยกว่า 8 คะแนน ถอื ว่าผา่ นเกณฑ์

32

เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 5
เร่อื ง ยูเนยี น และอนิ เตอร์เซกชันของเซต

คำชีแ้ จง ใหน้ ักเรยี นพิจารณาขอ้ ต่อไปน้ี แลว้ เขียนเครอ่ื งหมาย  หน้าข้อที่ถูก
และเขยี นเครื่องหมาย  หนา้ ข้อทผี่ ิด หากผดิ ใหแ้ ก้ไขให้ถูกต้อง
(10 คะแนน)

เมอ่ื กำหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์เดยี วกนั

 1. A  A = A

 2. A  A = A

 3. A  U = A ทถ่ี ูกต้อง คือ A  U = U

 4. A  U = A

 5. A   =  ท่ีถกู ตอ้ ง คือ A   = A

 6. A   = A ท่ถี ูกตอ้ ง คอื A   = 

 7. ถา้ A  B = A แลว้ A  B

 8. ถ้า A  B = B แล้ว A  B

 9. ถ้า A  B แล้ว A  ( A  B )

 10. ถา้ A  B และ B  C แลว้ ( A  B)  C

เกณฑ์การใหค้ ะแนน/เกณฑก์ ารประเมนิ

เขยี นเครือ่ งหมาย  หรอื  หน้าขอ้ ท่กี ำหนดให้ไดถ้ ูกตอ้ ง และขอ้ ที่ผิดแกไ้ ข
ได้ถูกตอ้ ง ครบถ้วน ให้ข้อละ 1 คะแนน
เขียนเครอื่ งหมาย  หรือ  หนา้ ข้อท่กี ำหนดให้ไมถ่ ูกตอ้ ง หรอื ไมค่ รบถว้ น
หรือไมเ่ ขยี น ให้ขอ้ ละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝึกทักษะตอ้ งไดไ้ มน่ ้อยกวา่ 8 คะแนน ถอื วา่ ผ่านเกณฑ์

33

เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 6
เรอื่ ง ยเู นยี น และอินเตอร์เซกชนั ของเซต

คำช้ีแจง ใหน้ กั เรยี นเขียนคำตอบท่ีถกู ต้องลงในช่องวา่ ง (5 คะแนน)

เมื่อกำหนดให้ A = { 1, 2 }
B = { 2, 4 }

1. P(A  B) จากโจทย์ จะได้
A  B = …{…1…, …2,…4…}……………………………
P(A  B) = …{……, …{1…},…{2…}…, {…4…},…{1…,…2…},…{1…,…4},

……{2…,…4…},…{1…,…2…, …4}…}……….……..

2. P(A)  P(B) จากโจทย์ จะได้
P(A) = …{……, …{1…},…{2…}…, {…1…, 2…}…}.….………
P(B) = .…{ …,…{…2}…, …{4…},…{…2,…4…} …} ...….……
P(A)  P(B) = ..{.....,...{.1..}.,...{.2..}..,..{.4..}..,..{.1...,..2..}.,.........
..…{…2…, 4…}…}………………………..……

3. P(A  B) จากโจทย์ จะได้
A  B = …{…2…}……………………………………
P(A  B) = …{……, .{.2.…} …} ……………………………

4. P(A)  P(B) จากโจทย์ จะได้
P(A) = …{……, …{1…},…{2…}…, {…1…, 2…}…}……………
P(B) = …{……, …{2…},…{4…}…, {…2…, 4…}…}……………
P(A)  P(B) = …{……, …{2…} …} ……………………………

5. P(P(A  B)) จากโจทย์ จะได้
A  B = …{…2…}……….....………….……...……
P(A  B) = …{……, …{2…} …} …….…....…….….………
P(P(A  B)) = ..{.....,...{...}..,..{.{..2..}.}.,...{...,...{.2..}..}..}..........

เกณฑก์ ารให้คะแนน/เกณฑก์ ารประเมิน

เขียนคำตอบได้ถกู ต้อง ครบถ้วน ให้ข้อละ 1 คะแนน
เขียนคำตอบไม่ถกู ต้อง หรอื ไมค่ รบถ้วน หรือไม่เขียน ให้ข้อละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝกึ ทกั ษะต้องได้ไมน่ อ้ ยกวา่ 4 คะแนน ถอื ว่าผ่านเกณฑ์

34

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น
เลม่ ที่ 7 ยเู นยี น และอินเตอรเ์ ซกชันของเซต

ข้อ คำตอบ
1. 2
2. 4
3. 2
4. 4
5. 3
6. 1
7. 2
8. 3
9. 3
10. 1

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน/เกณฑก์ ารประเมิน
คำตอบถูกตอ้ ง ให้ขอ้ ละ 1 คะแนน
คำตอบไม่ถูกต้อง ให้ขอ้ ละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบทดสอบหลงั เรียนต้องได้ไม่น้อยกวา่ 8 คะแนน ถอื วา่ ผ่านเกณฑ์

เกง่ มากคะ่
เราไปศกึ ษาแบบฝกึ ทกั ษะ

เลม่ ตอ่ ไปกนั นะคะ

35

บรรณานกุ รม

กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551.
กรุงเทพฯ : ชุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย.

กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ :
ชุมนมุ สหกรณก์ ารเกษตรแหง่ ประเทศไทย.

กวิยา เนาวประทีป. (2556). เทคนคิ การเรียนคณติ ศาสตร์ : เซต. กรุงเทพฯ : ฟสิ ิกสเ์ ซน็ เตอร.์
จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (2553). คู่มือประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์ 1 ม.4 – 6.

กรุงเทพฯ : พ.ศ.พฒั นา.
เลศิ สทิ ธโิ กศล. (2554). Math Review คณติ ศาสตร์ ม.4 – 6 เลม่ 1 (พืน้ ฐาน). กรุงเทพฯ :

ไฮเอ็ดพบั ลชิ ชิ่ง จำกดั .
สถาบันส่งเสริมวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2557). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์

เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตร
แกนกลางการศึกษาข้ันพืน้ ฐาน พุทธศกั ราช 2551. พิมพ์คร้ังที่ 7. กรงุ เทพฯ : สกสค.
ลาดพรา้ ว.
สมัย เหล่าวาณิชย์. (2554ก). คณิตศาสตร์ มัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6 เล่ม 1 (รายวิชาพื้นฐาน
และเพ่มิ เติม). กรุงเทพฯ : ไฮเอด็ พบั ลิชชง่ิ .
สมัย เหล่าวาณิชย์. (2554ข). คู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.4–5–6 (รายวิชาพื้นฐาน).
กรงุ เทพฯ : ไฮเอ็ดพบั ลิชช่งิ .
สำนักงานเลขาธิการสภาการศึกษา. (2550). แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง เซต หลักสูตรลด
ระยะเวลาเรียนสำหรับผู้ที่มีความสามารถพิเศษด้านคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา
ตอนปลาย. นนทบรุ ี : ออฟเซ็ต เพรส จำกัด.

ชวี ติ คอื การเรยี นรู้
การเรยี นรู้ คอื ชวี ติ