เล่มที่ 8 คอมพลีเมนต์ และผลต่างระหว่างเซต

ก

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง เซต กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียน
ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 จัดทำข้ึนเพ่ือเป็นส่ือประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ของกลุ่มสาระ
การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โดยสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคนมีความสามารถในการเรียนรู้และพัฒนา
ทักษะวิชาคณิตศาสตร์เก่ียวกับเซต เกิดความคิดรวบยอดจากเนื้อหา ฝึกการปฏิบัติจริงเพื่อให้
เกดิ ทักษะการคิดคำนวณ สร้างองคค์ วามรู้ดว้ ยตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง และ
ประเมินตนเองตามสาระ มาตรฐานการเรียนรู้ และตัวช้ีวัดท่ีกำหนดไว้ในหลักสูตรแกนกลาง
การศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 โดยจำนวนแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง เซต
มีทั้งหมด 10 เล่ม

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ สำหรับนักเรยี น
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่มน้ีเป็นเล่มที่ 8 คอมพลีเมนต์ และผลต่างระหว่างเซต เมื่อนักเรียน
ศกึ ษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง เซต เล่มท่ี 8 เสร็จสิ้นแล้ว สามารถหาสมาชิกที่เกิดจาก
การคอมพลีเมนต์ ผลตา่ งระหว่างเซตทกี่ ำหนดให้ได้ และสามารถเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
แทนเซตที่เกิดจากการคอมพลีเมนต์ ผลต่างระหว่างเซตท่ีกำหนดให้ได้ เป็นการส่งเสริมให้
นักเรยี นเกิดทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์เพื่อนำไปเช่อื มโยงเนื้อหาวชิ าคณิตศาสตร์
ในเร่ืองอ่ืน ๆ ได้อย่างถูกต้องเหมาะสม ส่งผลให้นักเรียนเกิดการเรียนรู้ท่ีมีประสิทธิภาพย่ิงข้ึน
โดยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง เซต ที่จัดทำข้ึนมีรูปภาพประกอบสวยงาม มีกิจกรรมเกม
ทำให้นกั เรียนเกิดความอยากรู้ สนุกสนาน และเพลิดเพลินกับการเรียนรู้ เรื่อง เซต ได้ดยี ิ่งขนึ้

ผูจ้ ัดทำหวังเปน็ อย่างยิง่ วา่ แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง เซต น้ีจะเป็นประโยชนต์ ่อครู
นกั เรียน และผู้สนใจท่ีจะนำไปใช้ประกอบการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ เพ่อื ทำให้นักเรยี นซ่ึงเป็น
เยาวชนของไทยกลายเป็นพลเมืองท่ีมีความสามารถทางด้านการคิดวเิ คราะห์ คิดเช่ือมโยงตาม
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ และรกั ท่จี ะเรยี นคณติ ศาสตร์มากย่งิ ข้ึน

ณฐั ชยา คิดสำราญ
ครู วทิ ยฐานะครูชำนาญการ

ข

สาร

เร่ือง หนา้

คำนำ.................................................................................................................... ก
สารบญั ................................................................................................................ ข
แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์
สำหรับชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 1
เลม่ ท่ี 8 คอมพลีเมนต์ และผลต่างระหว่างเซต.................................................... 1
2
สาระสำคัญ................................................................................................ 6
จดุ ประสงค์การเรียนรู.้ ............................................................................... 13
แบบทดสอบก่อนเรียน............................................................................... 14
ใบความรู้ เรื่อง คอมพลีเมนต์ และผลต่างระหว่างเซต............................... 15
แบบฝึกทกั ษะที่ 1...................................................................................... 16
แบบฝึกทกั ษะท่ี 2...................................................................................... 17
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3...................................................................................... 18
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 4...................................................................................... 19
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 5...................................................................................... 23
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 6...................................................................................... 24
แบบทดสอบหลงั เรยี น................................................................................ 25
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน....................................................................... 26
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1.............................................................................. 27
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 2.............................................................................. 28
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.............................................................................. 29
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 4.............................................................................. 30
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 5.............................................................................. 31
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 6..............................................................................
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน........................................................................
บรรณานกุ รม.............................................................................................

1

สาระสำคัญ

คอมพลีเมนตข์ องเซต A คือ เซตทีป่ ระกอบด้วยสมาชิกทีเ่ ป็นสมาชกิ ของ
เซตเอกภพสมั พทั ธ์ U แต่ไมเ่ ปน็ สมาชกิ ของเซต A เขยี นแทนดว้ ย A′

ผลตา่ งระหว่างเซต A และเซต B คอื เซตทปี่ ระกอบดว้ ยสมาชิกทเ่ี ปน็ สมาชกิ ของ
เซต A แต่ไมเ่ ปน็ สมาชิกของเซต B เขยี นแทนด้วย A – B

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

ด้านความรู้ (K) นกั เรยี นสามารถ
1. หาสมาชิกของเซตท่ีเกิดจากการคอมพลีเมนต์ของเซตทกี่ ำหนดให้ได้
2. หาสมาชิกของเซตที่เกิดจากผลต่างระหว่างเซตทีก่ ำหนดใหไ้ ด้

ด้านทกั ษะ/กระบวนการ (P) นักเรยี นมีทักษะกระบวนการทางการเรียนรูด้ า้ น
1. การแก้ปญั หา
2. การให้เหตุผล
3. การสือ่ สาร ส่ือความหมายและการนำเสนอ
4. การเชอ่ื มโยงความรู้
5. ความคิดริเริม่ สรา้ งสรรค์

ด้านคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A) นักเรียนมคี ุณลกั ษณะอนั พึงประสงคด์ า้ น
1. ซอื่ สตั ยส์ ุจรติ
2. มีวินัย
3. ใฝเ่ รียนรู้
4. มุง่ มน่ั ในการทำงาน

2

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น

เรือ่ ง เซต รายวชิ าคณติ ศาสตร์ 1 (ค31101) ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

เลม่ ที่ 8 คอมพลเี มนต์ และผลต่างระหว่างเซต คะแนนเตม็ 10 คะแนน เวลา 10 นาที

คำชีแ้ จง 1. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนัย 4 ตวั เลอื ก จำนวน 10 ขอ้

2. ใหน้ ักเรียนเลอื กคำตอบทีถ่ ูกทส่ี ดุ เพยี งขอ้ เดียว
แลว้ ทำเครื่องหมายกากบาท ( X ) ลงในกระดาษคำตอบ

1. ให้ A = { a, {a}, b, {a, b} }, B = { a, b } และ C = { {a}, b }
แลว้ เซต A – (B – C) เท่ากับขอ้ ใด
1. { a }
2. { {a, b} }
3. { a, b, {a, b} }
4. { {a}, b, {a, b} }

2. ให้ U = { 1, 2, 3, …, 10 }
A = { x | x เป็นจำนวนท่ีหารด้วย 3 ลงตวั }

B = { x | x  N และ 2 < x ≤ 8 }

C = { x | x = 2y เม่ือ y  N และ y > 3 }
ขอ้ ใดกลา่ วถกู ตอ้ ง

1. (A  B) – C = { 3, 6 }
2. A′  (C – B) = { 4, 5, 8 }
3. (B – A)  C = { 5, 7, 8, 10 }
4. (A  B)  C′ = { 3, 4, 5, 9 }

3

3. ให้ A, B และ C เปน็ เซตใด ๆ ข้อใดกล่าวถกู ต้อง
1. A′  B′ = (A  B)′
2. A – B = A – (A  B)′
3. A – (A  B) = A  B
4. (B – C)  A = (A  C) – B

4. ให้ A เป็นเซตใด ๆ ขอ้ ใดกล่าวไม่ถกู ต้อง
1. (A′)′ = A
2. A′  A = A
3. A′   = 
4. (A  B)′ = A′  B′

5. ให้ A = { 1, 3, 5, 7 }
B = { 2, 3, 4, 5 }
C = { 7, 9 }

แลว้ เซต (A – B)  (B – C) เท่ากับข้อใด
1. { 1, 2, 3, 4, 5 }
2. { 1, 3, 5, 7, 9 }
3. { 1, 2, 3, 4, 5, 7 }
4. { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 }

6. ให้ U = { 1, 2, 3, …, 10 }
A = { 1, 2, 3, 5 }
B = { 2, 5, 7, 9 }

แล้วเซต (A  B)′ เทา่ กบั ข้อใด
1. { 4, 6, 8, 10 }
2. { 1, 2, 3, 5, 7, 9 }
3. { 1, 3, 4, 6, 8, 10 }
4. { 4, 6, 7, 8, 9, 10 }

4

7. ให้ U = { 1, 2, 3, …, 10 }
A = { 1, 5, 7, 9 }
B = { 2, 3, 4, 5, 6 }
C = { 1, 7, 9 }

แล้วเซต (B – A)′  C เท่ากับขอ้ ใด
1. { 1, 7, 9 }
2. { 2, 3, 4, 6 }
3. { 1, 7, 8, 9, 10 }
4. { 2, 3, 4, 6, 8, 10 }

8. ให้ U = { 1, 2, 3, …, 10 }
A = { 2, 5, 8, 9 }
B = { 1, 2, 3, 6, 7 }

แลว้ เซต P((A  B)′) เทา่ กบั ขอ้ ใด
1. { 4, 10 }
2. { , 4, 10, {4, 10} }
3. { , {4}, {10}, {4, 10} }
4. { , {4}, {10}, {}, {4, 10} }

9. ให้ A = { a, b, {a}, c }
B = { a, b, {c} }

แลว้ ขอ้ ใดเปน็ สบั เซตของเซต B – A
1. { }
2. { c }
3. { c, {a} }
4. { c, {c}, {a} }

5

10. จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้
ก) ให้ A = { 1, 2 } และสับเซตแทข้ องเซต B คอื , {1}, {3}
แล้วจำนวนสมาชิกของ P(A – B) มี 2 ตวั
ข) ให้ U = { x | x  I+ และ x < 5 }
A = { x | x เปน็ จำนวนเฉพาะ }
B = { x | x เป็นจำนวนคู่ }
แล้วจำนวนสมาชิกของเซต (A – B)′ มี 3 ตวั

ข้อใดถกู ต้อง
1. ขอ้ ก) ถกู ข) ถกู
2. ขอ้ ก) ถูก ข) ผิด
3. ข้อ ก) ผิด ข) ถกู
4. ข้อ ก) ผดิ ข) ผิด

ทำไมไ่ ดไ้ มเ่ ปน็ ไรคะ่
ถา้ ตง้ั ใจเรยี น ตอ้ งทำ
แบบทดสอบหลงั เรยี น

ไดแ้ น่ ๆ

6

ใบความรู้
เรือ่ ง คอมพลเี มนต์ และผลตา่ งระหว่างเซต

คอมพลีเมนต์ (Complement)

คอมพลเี มนตข์ องเซต A คือ เซตทีป่ ระกอบดว้ ยสมาชกิ ทีเ่ ปน็ สมาชกิ ของเซต
เอกภพสัมพัทธ์ U แตไ่ ม่เป็นสมาชกิ ของเซต A เขียนแทนดว้ ย A′

จากความหมายของคอมพลีเมนต์ สรุปได้ว่า คอมพลีเมนต์ของเซต A เป็นการสร้าง
เซตใหม่ ซ่ึงเกิดจากการนำเอาสมาชิกทุกตัวท่ีอยู่ในเซต U แต่ต้องไม่อยู่ในเซต A
สามารถเขียนเซตใหม่ที่เกดิ จากการคอมพลเี มนตใ์ นรปู แบบบอกเง่ือนไข ไดด้ งั นี้

A′ = { x | x  U และ x  A }

ตวั อย่าง ให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
และ A = { 3, 5, 7, 10 }

จงหา A′

วธิ ที ำ จากโจทย์ เขยี นแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ และแรเงาเซตคำตอบของ A′
ได้ดังนี้

AU U

1 35 6
2 7 10 8
4 9

ตอบ A′ = { 1, 2, 4, 61, 8, 92} 46
89

7

ตัวอยา่ ง ให้ U = { 6, 7, 8, 9, 10 }
และ A = { 6, 8 }

จงหา A′

วธิ ีทำ จากโจทย์ เขยี นแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ และแรเงาเซตคำตอบของ A′
ได้ดงั น้ี

7A U
96
10 8

ตอบ A′ = { 7, 9, 10 }

ตวั อยา่ ง ให้ U = { 6, 7, 8, 9, 10 }
วิธที ำ A = { 6, 8, 10 }

และ B = { 6, 7, 8 }

จงหา 1. A′ 2. B′ 3. U ′

1. จากโจทย์ เขยี นแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ และแรเงาเซตคำตอบของ A′
ไดด้ งั นี้

A BU

6 9
10 8 7

ตอบ A′ = { 7, 9 }

วิธีทำ 2. จากโจทย์ เขยี นแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ และแรเงาเซตคำตอบของ B′
ได้ดงั น้ี

10 6 7 U
8
9
AB

ตอบ B′ = { 9, 10 }

8

วธิ ที ำ 3. จากโจทย์ เขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ และแรเงาเซตคำตอบของ U ′
ได้ดังนี้

10 6 7 U
8
9
AB

เนอื่ งจากเซตคำตอบเปน็ เซตวา่ ง จึงไม่ต้องแรเงา
ตอบ U ′ = 

สมบตั ทิ สี่ ำคญั เกย่ี วกับคอมพลเี มนต์

ให้ A และ B เป็นสับเซตของเอกภพสมั พัทธ์ U จะได้วา่
 (A′)′ = A
 ′ = U
 U ′= 
 A  A′ = 
 A  A′ = U
 (A  B)′ = A′  B′
 (A  B)′ = A′  B′

9

ผลตา่ งระหวา่ งเซต (Relative complement or Difference of set)

ผลตา่ งระหว่างเซต A และเซต B คอื เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกท่เี ปน็ สมาชิกของ
เซต A แต่ไม่เป็นสมาชกิ ของเซต B เขียนแทนด้วย A – B

จากความหมายของผลต่าง สรปุ ได้ว่า ผลตา่ งระหวา่ งเซต A และเซต B เป็นการสรา้ ง
เซตใหม่ ซึ่งเกิดจากการนำเอาสมาชิกทุกตัวที่อยู่ใน A แต่ต้องไม่อยู่ในเซต B สามารถ
เขียนเซตใหมท่ เ่ี กิดจากการหาผลตา่ งระหว่างเซตในรปู แบบบอกเงอ่ื นไข ได้ดังน้ี

A – B = { x | x  A และ x  B }

ตัวอยา่ ง ให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 1, 2, 3, 5, 9 }

และ B = { 2, 4, 5, 8 }
จงหา 1. A – B

2. B – A

วธิ ีทำ 1. จากโจทย์ เขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ และแรเงาเซตคำตอบของ
เซต A – B ได้ดังนี้

13 2 4 U
958
A B5 6
7

ตอบ A – B = { 1, 3, 9 }

10

วิธที ำ 2. จากโจทย์ เขยี นแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ และแรเงาเซตคำตอบของ
เซต B – A ได้ดงั นี้

13 2 4 U

958 6

A B5 7
ตอบ B – A = { 4, 8 } 5

จากตัวอย่างข้างตน้ สามารถเขียนเซตแบบบอกเง่อื นไข สรปุ ได้ดงั น้ี
A – B = { x | x  A และ x  B }
B – A = { x | x  B และ x  A }
A′ = { x | x  U และ x  A } = U – A
B′ = { x | x  U และ x  B } = U – B

ตัวอย่าง ให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

A = { 2, 3, 5, 7 }

และ B = { 1, 3, 4, 8 } c

จงหา 1. A′ 2. B′

3. A – B 4. B – A

วธิ ที ำ 1. A′ = U – A
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } – { 2, 3, 5, 7 }

= { 1, 4, 6, 8 } สมาชิกทกุ ตวั ทอ่ี ยใู่ น U
ตอบ A′ = { 1, 4, 6, 8 } แตไ่ มอ่ ยู่ในเซต A

วิธีทำ 2. B′= U – B

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } – { 1, 3, 4, 8 }

= { 2, 5, 6, 7 } สมาชกิ ทกุ ตวั ท่ีอยใู่ น U

ตอบ B′ = { 2, 5, 6, 7 } แตไ่ ม่อยใู่ นเซต B

11

วิธที ำ 3. A – B = { 2, 3, 5, 7 } – { 1, 3, 4, 8 }

= { 2, 5, 7 } สมาชิกทุกตัวท่อี ยใู่ นเซต A

ตอบ A – B = { 2, 5, 7 } แต่ไมอ่ ยู่ในเซต B

วธิ ที ำ 4. B – A = { 1, 3, 4, 8 } – { 2, 3, 5, 7 }

= { 1, 4, 8 } สมาชกิ ทุกตวั ท่ีอยู่ในเซต B
ตอบ B – A = { 1, 4, 8 } แตไ่ มอ่ ยูใ่ นเซต A

สมบตั ิทีส่ ำคัญเกี่ยวกับผลต่างระหวา่ งเซต

ให้ A และ B เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U จะได้วา่
 A – B = A  B′
 A – B = A เม่อื A  B = 
 A – B =  เมือ่ A  B

ตวั อยา่ ง ให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A = { 2, 4, 6 } จากโจทย์ เขยี นเซต B และ C

B = { x | x เปน็ จำนวนเฉพcาะ } แบบแจกแจงสมาชกิ ไดด้ งั นี้
B = { 2, 3, 5, 7 }
C = { x | x เปน็ จำนวนคี่ }
จงหา C = { 1, 3, 5, 7, 9 }

1. (A  B)′ = ( { 2, 4, 6 }  { 2, 3, 5, 7 } )′
= { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }′
= { 1, 8, 9, 10 }

2. C′  B = { 1, 3, 5, 7, 9 }′  { 2, 3, 5, 7 }
= { 2, 4, 6, 8, 10 }  { 2, 3, 5, 7 }
= {2}

12

3. (A  B) – C = ( { 2, 4, 6 }  { 2, 3, 5, 7 } ) – { 1, 3, 5, 7, 9 }
= { 2, 3, 4, 5, 6, 7 } – { 1, 3, 5, 7, 9 }
= { 2, 4, 6 }

4. (B  C)′ – A = ( { 2, 3, 5, 7 }  { 1, 3, 5, 7, 9 } )′ – { 2, 4, 6 }
= { 3, 5, 7 } – { 2, 4, 6 }
= { 3, 5, 7 }

5. A  (C – B) = { 2, 4, 6 }  ( { 1, 3, 5, 7, 9 } – { 2, 3, 5, 7 } )
= { 2, 4, 6 }  { 1, 9 }
={}

6. B – A′ = { 2, 3, 5, 7 } – { 2, 4, 6 }′
= { 2, 3, 5, 7 } – { 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10 }
= {2}

7. B′ – (A  C) = { 2, 3, 5, 7 }′ – ( { 2, 4, 6 }  { 1, 3, 5, 7, 9 } )
= { 1, 4, 6, 8, 9, 10 } – { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 }
= { 8, 10 }

8. (C – A)  B = ( { 1, 3, 5, 7, 9 } – { 2, 4, 6 } )  { 2, 3, 5, 7 }
= { 1, 3, 5, 7, 9 }  { 2, 3, 5, 7 }
= { 3, 5, 7 }

9. (B – C)  A′ = ( { 2, 3, 5, 7 } – { 1, 3, 5, 7, 9 } )  { 2, 4, 6 }′
= { 2 }  { 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10 }
= { 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10 }

10. (B  C)′ – A = ( { 2, 3, 5, 7 }  { 1, 3, 5, 7, 9 } )′ – { 2, 4, 6 }

= { 1, 2, 3, 5, 7, 9 }′ – { 2, 4, 6 }

= { 4, 6, 8, 10 } – { 2, 4, 6 }

= { 8, 10 } พรอ้ มแลว้ เราไปทำ

แบบฝกึ ทกั ษะกนั เลยคะ

13

แบบฝึกทักษะท่ี 1
เรือ่ ง คอมพลเี มนต์ และผลตา่ งระหวา่ งเซต

คำชีแ้ จง ใหน้ ักเรยี นพจิ ารณาเซตตอ่ ไปน้ี แลว้ เขียนคอมพลเี มนตข์ องเซต A
ลงในช่องวา่ งให้ถูกตอ้ ง (10 คะแนน)

ข้อ เอกภพสมั พทั ธ์ (U ) เซต A คอมพลเี มนตข์ องเซต A
1. { 1, 2, 3, …, 15 } { 1, 2, 3, 4, 5 } (A′)

2. { 1, 3, 5, 7, …, 17 } { 3, 5, 7, 9 }

3. { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 } { 4, 6, 8 }

4. { x | x เปน็ จำนวนนบั ทนี่ ้อยกวา่ 10 } { 1, 2, 3 }

5. { x | x เป็นจำนวนคบู่ วกที่นอ้ ยกว่า {4}
30 และหารด้วย 4 ลงตัว }

6. { x | x เปน็ จำนวนเตม็ บวกท่ี { 3, 5, 7 }
น้อยกว่า 8 }

7. { x | x = y2 เมื่อ y เปน็ จำนวนเต็มบวก { 4, 9, 36, 49 }
ทนี่ อ้ ยกว่า 7 }

8. { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 } { 10, 20, 30, 40 }

9. { a, b, c, d, e, f, g, h } { b, d, f, g }

10. { –1, –2, –3, –4, –5, –6, –7 } { –2, –4, –6 }

14

แบบฝึกทกั ษะที่ 2
เรอื่ ง คอมพลีเมนต์ และผลตา่ งระหว่างเซต

คำชแี้ จง ใหน้ ักเรียนพิจารณาเซตต่อไปนี้ แลว้ เขียนผลต่างระหวา่ งเซต
ลงในชอ่ งวา่ งใหถ้ กู ต้อง (10 คะแนน)

ข้อ เซต A เซต B เซตของผลต่าง
A–B B–A

1. { 1, 2, 3, 4, 5 } { 2, 3, 5, 7 }

2. { 2, 4, 6, 8, 10 } { 6, 8, 10, 12 }

3. { 10, 15, 20 } { 5, 10, 15, 20, 25 }

4. { a, b, c, d, e } { b, c, d }

5. { p, q, r, s, t } { m, p, q, r }

6. { x | x เป็นจำนวนนบั { x | x เป็นจำนวนค่บี วก
ที่น้อยกวา่ 10 } ที่น้อยกว่า 7 }

7. { x | x เป็นจำนวนนบั { x | x เป็นจำนวนนบั 3
ทน่ี ้อยกว่า 5 } จำนวนแรก }

8. { 2, 4, 6, 8, 10 } { 1, 3, 5, 7, 9 }

{ x | x เปน็ จำนวนคบ่ี วก { x | x เป็นจำนวนนับท่ี

9. ทน่ี ้อยกว่า 10 } น้อยกว่า 10 และ

หารด้วย 3 ลงตวั }

10. { 10, 11, 12, 13, 14, { 11, 13, 15 }
15 }

15

แบบฝกึ ทักษะที่ 3
เรอ่ื ง คอมพลีเมนต์ และผลต่างระหวา่ งเซต

คำช้แี จง ใหน้ กั เรยี นพิจารณาข้อต่อไปนี้ แลว้ เขยี นเครือ่ งหมาย 
หน้าขอ้ ทถ่ี ูก และเขียนเคร่อื งหมาย  หนา้ ข้อที่ผิด (10 คะแนน)

กำหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ ในเอกภพสมั พัทธ์เดยี วกนั

1. (A′)′ = A
2. A  A′ = U
3. U ′ = 
4.  = U
5. ถ้า A – B =  แลว้ A  B
6. ถ้า A – B =  แล้ว A = B
7. A –  = A
8. A′  B′ = (A  B)′
9. ถ้า A – B = A แลว้ A  B = 
10. A – B = A  B′

16

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 4
เรื่อง คอมพลีเมนต์ และผลต่างระหวา่ งเซต

คำช้แี จง ให้นักเรยี นพิจารณาเซตท่กี ำหนดให้ แล้วเขียนเซตคำตอบต่อไปนี้
ลงในชอ่ งวา่ งใหถ้ กู ต้อง (10 คะแนน)

กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, …, 10 }
A = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 }
B = { 2, 4, 6, 8, 10 }

จงหาเซตต่อไปน้ี
1. (A′)′ =
2. A′  B′ =
3. A′  B′ =
4. (A  B)′ =
5. (A  B)′ =
6. A′  A =
7. A′  A =
8. B  A′ =
9. B′  A =
10. (A – B)′ =

17

แบบฝึกทกั ษะท่ี 5
เรอื่ ง คอมพลเี มนต์ และผลต่างระหวา่ งเซต

คำช้แี จง ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาเซตท่กี ำหนดให้ แล้วเขียนเซตคำตอบต่อไปน้ี
ลงในชอ่ งวา่ งใหถ้ กู ต้อง (10 คะแนน)

กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, …, 10 }
A = { x | x เป็นจำนวนคี่ }
B ={x|x<6}
C = { x | (x – 1)(x – 3) = 0 }

จงหาเซตตอ่ ไปนี้
1. A′ – B =.
2. C  A′ =
3. C′ – B′ =
4. (A  C) – B′ =
5. C′ – (A  B)′ =
6. (B – A) – C =
7. (A – B)  (C – B) =
8. (A  B)′  C′ =
9. (A  B  C)′ =
10. (A  B  C)′ =

18

แบบฝกึ ทักษะท่ี 6
เรื่อง คอมพลเี มนต์ และผลตา่ งระหว่างเซต

คำชแ้ี จง ใหน้ กั เรยี นพิจารณาเซตทกี่ ำหนดให้ แล้วเขยี นเซตคำตอบตอ่ ไปนี้
ลงในช่องว่างให้ถูกตอ้ ง (10 คะแนน)

กำหนดให้ U = { 0, 1, 2, …, 10 }
และ A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
B = { 2, 4, 6, 8, 10 }
C = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

ใหเ้ ตมิ สมาชกิ ลงในแผนภาพและเขียนเซตท่ีกำหนด
A BU

C

จงหาเซตต่อไปนี้
1. B – A′ =
2. (B – C) ′ =
3. B′ – (A  C) =
4. A – (B  C) ′ =
5. (A  C) ′ – B =
6. (A – B)  C =
7. (A  B) – C =
8. C′ – (A  B) =
9. (A′  C′)  B =
10. (C – A)  B =

19

แบบทดสอบหลังเรยี น

เรอ่ื ง เซต รายวชิ าคณติ ศาสตร์ 1 (ค31101) ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 4

เลม่ ท่ี 8 คอมพลีเมนต์ และผลตา่ งระหว่างเซต คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลา 10 นาที

คำชแี้ จง 1. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัย 4 ตัวเลือก จำนวน 10 ขอ้

2. ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกทสี่ ดุ เพียงข้อเดียว
แล้วทำเครอื่ งหมายกากบาท ( X ) ลงในกระดาษคำตอบ

1. ให้ A, B และ C เปน็ เซตใด ๆ ขอ้ ใดกล่าวถูกต้อง
1. (B – C)  A = (A  C) – B
2. A – B = A – (A  B)′
3. A – (A  B) = A  B
4. A′  B′ = (A  B)′

2. ให้ U = { 1, 2, 3, …, 10 }
A = { x | x เป็นจำนวนท่ีหารดว้ ย 3 ลงตวั }

B = { x | x  N และ 2 < x ≤ 8 }

C = { x | x = 2y เมือ่ y  N และ y > 3 }
ขอ้ ใดกล่าวถกู ตอ้ ง

1. (A  B)  C′ = { 3, 4, 5, 9 }
2. (B – A)  C = { 5, 7, 8, 10 }
3. A′  (C – B) = { 4, 5, 8 }
4. (A  B) – C = { 3, 6 }

20

3. ให้ A เป็นเซตใด ๆ ขอ้ ใดกล่าวไม่ถกู ตอ้ ง
1. (A  B)′ = A′  B′
2. A′  A = A
3. A′   = 
4. (A′)′ = A

4. ให้ A = { a, {a}, b, {a, b} }, B = { a, b } และ C = { {a}, b }
แลว้ เซต A – (B – C) เทา่ กับข้อใด
1. { {a}, b, {a, b} }
2. { a, b, {a, b} }
3. { {a, b} }
4. { a }

5. ให้ U = { 1, 2, 3, …, 10 }
A = { 1, 2, 3, 5 }
B = { 2, 5, 7, 9 }

แล้วเซต (A  B)′ เท่ากับขอ้ ใด
1. { 4, 6, 7, 8, 9, 10 }
2. { 1, 3, 4, 6, 8, 10 }
3. { 1, 2, 3, 5, 7, 9 }
4. { 4, 6, 8, 10 }

6. ให้ A = { 1, 3, 5, 7 }
B = { 2, 3, 4, 5 }
C = { 7, 9 }

แลว้ เซต (A – B)  (B – C) เทา่ กับขอ้ ใด
1. { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 }
2. { 1, 2, 3, 4, 5, 7 }
3. { 1, 3, 5, 7, 9 }
4. { 1, 2, 3, 4, 5 }

21

7. ให้ U = { 1, 2, 3, …, 10 }
A = { 2, 5, 8, 9 }
B = { 1, 2, 3, 6, 7 }

แลว้ เซต P((A  B)′) เท่ากบั ขอ้ ใด
1. { , {4}, {10}, {ø}, {4, 10} }
2. { , {4}, {10}, {4, 10} }
3. { , 4, 10, {4, 10} }
4. { 4, 10 }

8. ให้ U = { 1, 2, 3, …, 10 }
A = { 1, 5, 7, 9 }
B = { 2, 3, 4, 5, 6 }
C = { 1, 7, 9 }

แล้วเซต (B – A)′  C เท่ากบั ขอ้ ใด
1. { 2, 3, 4, 6, 8, 10 }
2. { 1, 7, 8, 9, 10 }
3. { 2, 3, 4, 6 }
4. { 1, 7, 9 }

9. จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
ก) ให้ A = { 1, 2 } และสบั เซตแท้ของเซต B คือ , {1}, {3}
แล้วจำนวนสมาชกิ ของ P(A – B) มี 2 ตวั
ข) ให้ U = { x | x  I+ และ x < 5 }
A = { x | x เปน็ จำนวนเฉพาะ }
B = { x | x เป็นจำนวนคู่ }
แล้วจำนวนสมาชกิ ของเซต (A – B)′ มี 3 ตวั

ข้อใดถกู ตอ้ ง
1. ขอ้ ก) ถกู ข) ถกู
2. ขอ้ ก) ถกู ข) ผดิ
3. ข้อ ก) ผดิ ข) ถกู
4. ขอ้ ก) ผิด ข) ผิด

22

10. ให้ A = { a, b, {a}, c }
B = { a, b, {c} }

แล้วขอ้ ใดเปน็ สับเซตของ B – A
1. { c, {c}, {a} }
2. { c, {a} }
3. { c }
4. { }

เกง่ มาก ๆ เลยคะ่
ทำถกู หมดทกุ ขอ้ เลย
ไมม่ คี ำวา่ ทำไมไ่ ด้
ถา้ เราตง้ั ใจทำใชไ่ หมคะ

23

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น
เล่มที่ 8 คอมพลเี มนต์ และผลตา่ งระหวา่ งเซต

ข้อ คำตอบ
1.
2. 4
3. 1
4. 1
5. 2
6. 3
7. 1
8. 1
9. 3
10. 1
1
ทำไมไ่ ด้ ไมเ่ ปน็ ไรคะ่ ตง้ั ใจ
ศกึ ษาใบความรู้ แลว้ ลองทำ

แบบฝกึ ทกั ษะกนั นะคะ

24

เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 1
เรื่อง คอมพลเี มนต์ และผลต่างระหว่างเซต

คำชี้แจง ใหน้ ักเรียนพิจารณาเซตต่อไปน้ี แลว้ เขียนคอมพลีเมนต์ของเซต A
ลงในชอ่ งว่างให้ถกู ตอ้ ง (10 คะแนน)

ขอ้ เอกภพสมั พทั ธ์ (U ) เซต A คอมพลีเมนต์ของเซต A
(A′)

1. { 1, 2, 3, …, 15 } { 1, 2, 3, 4, 5 } { 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,

13, 14, 15 }

2. { 1, 3, 5, 7, …, 17 } { 3, 5, 7, 9 } { 1, 11, 13, 15, 17 }

3. { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 } { 4, 6, 8 } { 2, 10, 12, 14, 16, 18 }

4. { x | x เป็นจำนวนนบั ที่น้อยกวา่ 10 } { 1, 2, 3 } { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

5. { x | x เป็นจำนวนคูบ่ วกทน่ี ้อยกวา่ { 4 } { 8, 12, 16, 20, 24, 28 }

30 และหารด้วย 4 ลงตวั }

6. { x | x เปน็ จำนวนเตม็ บวกท่ี { 3, 5, 7 } { 1, 2, 4, 6 }

นอ้ ยกวา่ 8 }

7. { x | x = y2 เมอ่ื y เปน็ จำนวนเต็มบวก { 4, 9, 36, 49 } { 1, 16, 25 }

ท่ีน้อยกวา่ 7 }

8. { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 } { 10, 20, 30, 40 } { 5, 15, 25, 35 }

9. { a, b, c, d, e, f, g, h } { b, d, f, g } { a, c, e, h }

10. { –1, –2, –3, –4, –5, –6, –7 } { –2, –4, –6 } { –1, –3, –5, –7 }

เกณฑ์การให้คะแนน/เกณฑ์การประเมนิ

เขยี นคำตอบไดถ้ กู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน
เขียนคำตอบไม่ถกู ต้อง หรือไม่เขียน ให้ขอ้ ละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝกึ ทกั ษะต้องได้ไม่นอ้ ยกว่า 8 คะแนน ถือว่าผ่านเกณฑ์

25

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 2
เรอื่ ง คอมพลเี มนต์ และผลตา่ งระหว่างเซต

คำชีแ้ จง ให้นกั เรยี นพจิ ารณาเซตตอ่ ไปนี้ แล้วเขยี นผลต่างระหวา่ งเซต
ลงในชอ่ งว่างให้ถกู ต้อง (10 คะแนน)

ข้อ เซต A เซต B เซตของผลต่าง
A–B B–A

1. { 1, 2, 3, 4, 5 } { 2, 3, 5, 7 } { 1, 4 } {7}

2. { 2, 4, 6, 8, 10 } { 6, 8, 10, 12 } { 2, 4 } { 12 }

3. { 10, 15, 20 } { 5, 10, 15, 20, 25 } { } { 5, 25 }

4. { a, b, c, d, e } { b, c, d } { a, e } {}

5. { p, q, r, s, t } { m, p, q, r } { s, t } {m}
{}
6. { x | x เปน็ จำนวนนบั { x | x เปน็ จำนวนคี่บวก { 2, 4, 6, 7, 8, 9 } {}
ท่นี ้อยกว่า 10 } ทน่ี อ้ ยกวา่ 7 } { 1, 3, 5, 7, 9 }
{6}
7. { x | x เปน็ จำนวนนบั { x | x เป็นจำนวนนับ 3 {4}
ท่ีน้อยกวา่ 5 } จำนวนแรก } {}

8. { 2, 4, 6, 8, 10 } { 1, 3, 5, 7, 9 } { 2, 4, 6, 8, 10 }

9. { x | x เป็นจำนวนคี่บวก { x | x เป็นจำนวนนับที่ { 1, 5, 7 }
ทน่ี ้อยกว่า 10 } น้อยกว่า 10 และ
หารด้วย 3 ลงตัว }

10. { 10, 11, 12, 13, 14, { 11, 13, 15 } { 10, 12, 14 }
15 }

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน/เกณฑก์ ารประเมิน

เขยี นคำตอบได้ถูกตอ้ ง ครบถว้ น ให้ข้อละ 1 คะแนน
เขยี นคำตอบไม่ถกู ต้อง หรือไม่ครบถ้วน หรือไม่เขียน ใหข้ ้อละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝกึ ทกั ษะตอ้ งได้ไม่นอ้ ยกวา่ 8 คะแนน ถอื ว่าผา่ นเกณฑ์

26

เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 3
เร่ือง คอมพลีเมนต์ และผลต่างระหวา่ งเซต

คำช้แี จง ให้นักเรยี นพจิ ารณาขอ้ ต่อไปนี้ แลว้ เขยี นเคร่อื งหมาย  หนา้ ขอ้ ที่ถูก
และเขียนเครอ่ื งหมาย  หนา้ ข้อท่ผี ิด (10 คะแนน)

กำหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ ในเอกภพสมั พทั ธเ์ ดียวกนั

 1. (A′)′ = A
 2. A  A′ = U
 3. U ′ = 
 4.  = U
 5. ถ้า A – B =  แลว้ A  B
 6. ถา้ A – B =  แลว้ A = B
 7. A –  = A
 8. A′  B′ = ( A  B)′
 9. ถา้ A – B = A แล้ว A  B = 
 10. A – B = A  B′

เกณฑก์ ารให้คะแนน/เกณฑก์ ารประเมนิ
เขยี นเคร่ืองหมาย  หรอื  หน้าขอ้ ท่ีกำหนดใหไ้ ดถ้ กู ตอ้ ง
ใหข้ อ้ ละ 1 คะแนน
เขยี นเครอ่ื งหมาย  หรือ  หน้าข้อท่ีกำหนดให้ไมถ่ ูกต้อง หรอื ไม่เขียน
ใหข้ ้อละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝึกทกั ษะตอ้ งไดไ้ ม่นอ้ ยกวา่ 8 คะแนน ถือวา่ ผ่านเกณฑ์

27

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 4
เรอ่ื ง คอมพลีเมนต์ และผลต่างระหว่างเซต

คำช้แี จง ให้นกั เรยี นพิจารณาเซตทกี่ ำหนดให้ แลว้ เขียนเซตคำตอบตอ่ ไปนี้
ลงในชอ่ งว่างให้ถูกต้อง (10 คะแนน)

กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, …, 10 }
A = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 }
B = { 2, 4, 6, 8, 10 }

จงหาเซตตอ่ ไปน้ี
1. (A′)′ = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 }
2. A′  B′ = { 5, 7, 9 }
3. A′  B′ = { 1, 3, 5, 7, 9, 10 }
4. (A  B)′ = { 1, 3, 5, 7, 9, 10 }
5. (A  B)′ = { 5, 7, 9 }
6. A′  A = { 1, 2, 3, ..., 10 }
7. A′  A = 
8. B  A′ = { 10 }
9. B′  A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
10. (A – B)′ = { 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

เกณฑ์การให้คะแนน/เกณฑก์ ารประเมนิ
เขียนคำตอบไดถ้ กู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน
เขียนคำตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไม่เขียน ให้ขอ้ ละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝกึ ทักษะตอ้ งไดไ้ มน่ อ้ ยกว่า 8 คะแนน ถือวา่ ผา่ นเกณฑ์

28

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 5
เรอ่ื ง คอมพลเี มนต์ และผลต่างระหว่างเซต

คำช้แี จง ให้นกั เรยี นพิจารณาเซตทีก่ ำหนดให้ แลว้ เขยี นเซตคำตอบต่อไปน้ี
ลงในชอ่ งวา่ งใหถ้ กู ต้อง (10 คะแนน)

กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, …, 10 }
A = { x | x เป็นจำนวนค่ี }
B={x|x<6}
C = { x | (x – 1)(x – 3) = 0 }

จงหาเซตตอ่ ไปนี้ จากโจทย์ เขยี นเซต A
1. A′ – B =. { 6, 8, 10 }
แบบแจกแจงสมาชกิ ไดด้ งั นี้
2. C  A′ =  A = { 1, 3, 5, 7, 9 }

3. C′ – B′ = { 2, 4, 5 }

4. (A  C) – B′ = { 1, 3 }

5. C′ – (A  B)′ = { 2, 4, 5, 7, 9 }

6. (B – A) – C = { 2, 4 }

7. (A – B)  (C – B) = { 7, 9 }

8. (A  B)′  C′ = { 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10 }

9. (A  B  C)′ = { 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

10. (A  B  C)′ = { 6, 8, 10 }

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน/เกณฑก์ ารประเมนิ

เขยี นคำตอบได้ถกู ตอ้ ง ใหข้ ้อละ 1 คะแนน
เขียนคำตอบไม่ถูกต้อง หรือไม่เขียน ให้ขอ้ ละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝกึ ทกั ษะตอ้ งได้ไมน่ อ้ ยกวา่ 8 คะแนน ถอื ว่าผ่านเกณฑ์

29

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 6
เรือ่ ง คอมพลเี มนต์ และผลตา่ งระหวา่ งเซต

คำชแ้ี จง ให้นกั เรียนพจิ ารณาเซตทีก่ ำหนดให้ แล้วเขยี นเซตคำตอบต่อไปนี้
ลงในช่องวา่ งใหถ้ ูกต้อง (10 คะแนน)

กำหนดให้ U = { 0, 1, 2, …, 10 }
และ A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
B = { 2, 4, 6, 8, 10 }
C = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

ใหเ้ ตมิ สมาชิกลงในแผนภาพและเขียนเซตท่ีกำหนด

A 1 2 10 B
3546 8
0 79
CU

จงหาเซตต่อไปนี้

1. B – A′ = { 2, 4, 6 }
2. (B – C)′ = { 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
3. B′ – (A  C) = { 0 }

4. A – (B  C)′ = { 4, 6 }
5. (A  C)′ – B = { 0 }

6. (A – B)  C = { 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

7. (A  B) – C = { 2 }

8. C′ – (A  B) = { 0, 1, 10 }

9. (A′  C′)  B = { 2, 8, 10 }
10. (C – A)  B = { 8 }

เกณฑ์การใหค้ ะแนน/เกณฑ์การประเมิน

เขียนคำตอบได้ถูกต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน
เขียนคำตอบไมถ่ ูกต้อง หรือไม่เขียน ให้ขอ้ ละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบฝึกทกั ษะต้องได้ไมน่ ้อยกว่า 8 คะแนน ถือว่าผ่านเกณฑ์

30

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น
เลม่ ท่ี 8 คอมพลีเมนต์ และผลตา่ งระหวา่ งเซต

ข้อ คำตอบ
1. 4
2. 4
3. 2
4. 1
5. 4
6. 2
7. 2
8. 4
9. 1
10. 4

เกณฑ์การใหค้ ะแนน/เกณฑก์ ารประเมนิ
คำตอบถูกตอ้ ง ให้ขอ้ ละ 1 คะแนน
คำตอบไมถ่ ูกตอ้ ง ใหข้ อ้ ละ 0 คะแนน
ผลรวมคะแนนของแบบทดสอบหลงั เรยี นต้องได้ไมน่ อ้ ยกวา่ 8 คะแนน ถอื วา่ ผ่านเกณฑ์

เกง่ มากคะ่
เราไปศกึ ษาแบบฝกึ ทกั ษะ

เลม่ ตอ่ ไปกนั นะคะ

31

บรรณานกุ รม

กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551.
กรุงเทพฯ : ชมุ นมุ สหกรณก์ ารเกษตรแห่งประเทศไทย.

กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). ตัวช้ีวัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ัน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ :
ชุมนุมสหกรณก์ ารเกษตรแหง่ ประเทศไทย.

กวิยา เนาวประทปี . (2556). เทคนคิ การเรียนคณติ ศาสตร์ : เซต. กรุงเทพฯ : ฟิสิกส์เซ็นเตอร์.
จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (2553). คู่มือประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์ 1 ม.4 – 6.

กรุงเทพฯ : พ.ศ.พฒั นา.
เลิศ สิทธิโกศล. (2554). Math Review คณติ ศาสตร์ ม.4 – 6 เล่ม 1 (พ้ืนฐาน). กรุงเทพฯ :

ไฮเอด็ พับลชิ ชงิ่ จำกดั .
สถาบันส่งเสริมวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2557). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์

เล่ม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 – 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตร
แกนกลางการศกึ ษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551. พิมพ์ครั้งที่ 7. กรุงเทพฯ : สกสค.
ลาดพร้าว.
สมัย เหล่าวาณิชย์. (2554ก). คณิตศาสตร์ มัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6 เล่ม 1 (รายวิชาพื้นฐาน
และเพมิ่ เตมิ ). กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชง่ิ .
สมัย เหล่าวาณิชย์. (2554ข). คู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.4–5–6 (รายวิชาพ้ืนฐาน).
กรุงเทพฯ : ไฮเอด็ พบั ลชิ ชิง่ .
สำนักงานเลขาธิการสภาการศึกษา. (2550). แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง เซต หลักสูตรลด
ระยะเวลาเรียนสำหรับผู้ท่ีมีความสามารถพิเศษด้านคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา
ตอนปลาย. นนทบรุ ี : ออฟเซ็ต เพรส จำกัด.

ชวี ติ คอื การเรยี นรู้
การเรยี นรู้ คอื ชวี ติ