การคิดเชิงเหตุผล (1)

การคิดเชิงเหตุผล

Logical Thinking

สารบัญ

หนา้

01 1-10

02 11-15

03 16-21

จานวนเตม็
-Integer-

1

จานวนเต็ม คือจานวนนบั แบ่งไดอ้ อกเป็น 3 ประเภท

-จานวนเต็มบวก ไดแ้ ก่ 3,8,12 หลักเกณฑก์ ารบวกจานวนเตม็
-จานวนเตม็ ศนู ย์ ไดแ้ ก่ 0 1.การบวกจานวนเตม็ บวกด้วยจานวนเต็มบวก ใหน้ าค่าสมั บรู ณ์มาบวกกนั แล้วตอบเปน็ จานวนเต็มบวก
-จานวนเตม็ ลบ ไดแ้ ก่ -3,-8,-12

ค่าสมั บรู ณ์

ให้ x เป็นจานวนจริงใดๆ คา่ สมั บรู ณข์ อง x แทนด้วย |x|

|x|= x; x มากกว่า 0 Ex. 5+5 = 10

x; x น้อยกว่า 0

x; x เท่ากับ 0 2.การบวกจานวนเตม็ ลบดว้ ยจานวนเตม็ ลบ ให้นาคา่ สมั บูรณ์มาบวกกนั แลว้ ตอบเป็นจานวนเตม็ ลบ

Ex1. |3|=3

Ex2. |-3|=3 Ex. (-6)+(-6) = -12

Ex3. |x-3|=5

x-3 มากกว่า 0 x-3 นอ้ ยกว่า 0 3.การบวกระหว่างจานวนเตม็ บวกกบั จานวนเตม็ ลบท่ีมีคา่ สมั บรู ณ์ไมเ่ ทา่ กนั ให้นาค่าสัมบูรณ์ที่มากกวา่ ลบ
ดว้ ยค่าสัมบรู ณท์ ่ีนอ้ ยกวา่ แลว้ ตอบเปน็ จานวนเต็มบวกหรอื จานวนเตม็ ลบตามจานวนทีม่ คี ่าสมั บรู ณม์ ากกวา่
x-3 เท่ากับ 5 -(x-3) เท่ากับ 5

x เท่ากับ 8 -x+3 เทา่ กับ 5

x เทา่ กบั -2 Ex. |-6|+|8| = 2

4.การบวกระหว่างจานวนเตม็ บวกกบั จานวนเตม็ ลบที่มีคา่ สัมบรู ณ์เท่ากนั ผลบวกเทา่ กบั 0 2
Ex. |-6|+|6| = 0

จานวนตรงกนั ขา้ ม หลักเกณฑก์ ารลบจานวนเตม็

ถา้ a เป็นจานวนเต็มใดๆ จานวนตรงกันขา้ มของ a เขียนแทนดว้ ย -a ตัวตง้ั -ตวั ลบ = ตวั ตงั้ +จานวนตรงข้ามของตวั ลบ แลว้ ใชห้ ลกั การบวก
Ex1. จานวนตรงกันข้ามของ -2 = -(-2) จานวนเตม็ เม่ือ a และb แทนจานวนเต็มใดๆ
Ex1.จงหาคาตอบของ 5- 3 =?
=2
Ex2. จานวนตรงกันข้ามของ 2 = -2 5 -3=5+(-3)
=2

Ex2.จงหาคาตอบของ 8 - (-7) = ?
8 -(-7)=8+7
=15

Ex3.จงหาคาตอบของ (-19) - (-6) = ?
(-19)-(-6) = (-19)+6
= -13

Ex4.จงหาคาตอบของ (-36) - 12 = ?
(-36) - 12 = (-36)+(-12)
= -48

3

หลกั เกณฑ์การบวกจานวนเต็ม

1.การบวกจานวนเต็มบวกด้วยจานวนเตม็ บวก ให้นาค่าสมั บรู ณ์มาบวกกนั แล้วตอบเปน็ จานวนเต็มบวก
Ex. 5+5 = 10

2.การบวกจานวนเต็มลบด้วยจานวนเต็มลบ ให้นาค่าสัมบรู ณ์มาบวกกัน แลว้ ตอบเปน็ จานวนเต็มลบ
Ex. (-6)+(-6) = -12

3.การบวกระหว่างจานวนเต็มบวกกบั จานวนเตม็ ลบทม่ี คี า่ สมั บรู ณ์ไม่เทา่ กนั ใหน้ าคา่ สัมบูรณ์ทม่ี ากกว่าลบ
ดว้ ยคา่ สัมบรู ณ์ท่ีน้อยกว่า แล้วตอบเป็นจานวนเต็มบวกหรอื จานวนเต็มลบตามจานวนท่มี ีคา่ สัมบูรณ์มากกว่า

Ex. |-6|+|8| = 2

4.การบวกระหวา่ งจานวนเต็มบวกกับจานวนเตม็ ลบท่มี ีคา่ สมั บูรณ์เทา่ กัน ผลบวกเทา่ กบั 0
Ex. |-6|+|6| = 0

4

หลักเกณฑก์ ารคูณ หลักเกณฑ์การหาร

ตัวตั้ง ตัวคูณ คาตอบ Ex. ตัวต้งั ตัวคณู คาตอบ Ex.
(+) × (+) = + 6×5=30 (+) ÷ (+) =+ 20÷4= 5
( - ) × (-) = + (-6) ×(-5)=30 (- ) ÷ (-) =+ (-20) ÷(-4)= 5
( +) × (-) = - 6×(-5)= -30 (+) ÷ (-) =- 20÷(-4)= -5
( - ) × (+) = - (-6) ×5= -30 ( -) ÷ (+) =- (-20) ÷4= -5

5

ลาดบั การคานวณ ตวั ประกอบร่วมหรอื ตัวหารร่วม

1.วงเล็บ คอื ตัวประกอบของ n ทเี่ หมอื นกนั
2.เลขยกกาลัง
3.คณู &หาร Ex. ตวั ประกอบของ 7 คอื 1,7
4.บวก&ลบ
ตวั ประกอบของ 28 คอื 1,2.4,7,14,28
*****เรม่ิ ทาจากซา้ ยไปขวา***** *** ดังน้ันตวั ประกอบรว่ มของ 7,28 คือ 1,7

การแยกตวั ประกอบ

การแยกตัวประกอบของ n คอื เขยี น n ในรูปการณ์คนู ตวั ประกอบเฉพาะ
Ex. 6 = 2 × 3
20 = 2 × 2 × 5 = 2^2×5

6

แบบแผนภูมติ น้ ไม้

7

การหาจานวนตวั ประกอบ
จานวนตัวประกอบ = ผลคูณของเลขชก้ี าลงั บวกหนึง่

Ex. จานวนตัวประกอบท่เี ป็นบวกของ 120 มีกีต่ วั

120 = 2^3×3^1×51

ดงั น้ันจานวนตัวประกอบทเี่ ป็นบวกของ 120 มี (3+1) (1+1) (1+1) = 8 จานวน

ตัวหารรว่ มมาก (ห.ร.ม.)

>>ห.ร.ม. ของ a และ b เขียนแทนดว้ ย(a,b)

ตัวประกอบรว่ มของจานวนเต็มบวก

ของ 45 คือ1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 ของ 76 คอื 1,2,4,19,38,76

4 คือตวั หารร่วมที่มากทส่ี ุดของ 48 และ76 ดงั นัน้ ตวั หารรว่ มของ (48,76) = 4

>>วิธหี า ห.ร.ม.

1.แยกตัวประกอบ (ตวั ซ้ามาคูณกนั )

12= 2×2×3 18=2×3×3

ดังน้ัน (12,18)=2×3= 6 8

2.หาตวั ประกอบร่วม

3.ตง้ั หาร

Euclid

***เมื่อหารลงตวั ตวั หารตวั สุดทา้ ยคอื ห.ร.ม.
***ถ้า a และb เป็นจานวนเฉพาะสมั พัทธ์ ; a,b เป็นสมาชกิ ของจานวนเตม็ บวก แสดงวา่ (a,b)=1
เพ่ิมเตมิ หาร : a หาร b หมายถงึ b/a ; b คอื ตวั ตง้ั ส่วน a คือตัวหาร

หารด้วย : a หารด้วย b หมายถงึ a/b ; a คอื ตัวตั้ง
b คือตวั หาร

9

สมบตั ิ

สมบัตขิ อง 1 และ 0 สมบัติจานวนเต็มบวก

1.1 ×a =a×1=a ให้ a ,b และ c ∈ Z^+
2.a/1 =a 1.a + b =b+a
2.(a+b)+c =a+(b +c )
3.a ×0 =0 +a =a
4.a ×0 =0×a =0 3.a ×b=b×a
5.0/a =0 ;a ≠0 ∴ถ้า a =0 จะเปน็ "อนยิ ม" 4.(a×b)×c=a×(b×c)
6.a×b =0 ;a=0 หรือ b=0 5.a(b+c)=(a×b)+(ล ×c)

6.(b+c)×ล=(b×ล)+(c×ล)

10

11

ทศนิยม

จานวนเตม็ สว่ นสิบ = = 0.1

หนว่ ย 10^0 = 1
สิบ 10 = 10 สว่ นรอ้ ย = = 0.01
ร้อย 10 = 100
พัน 10 = 1000 ส่วนพนั = = 0.001



การบวกและการลบเลขทศนยิ ม สว่ นหมน่ื = , = 0.0001

การบวกและการลบสาหรับเลขทศนยิ ม
นน้ั มี การคานวณเหมือนกันกบั การบวกและการ ข้อควรจา
ลบเลขจานวนเต็ม เพียงแต่การบวกและการลบ
ของเลขทศนยิ มนั้นต้องตงั้ ตาแหนง่ ของตัวเลขให้ - ตั้งจดุ ใหต้ รงกัน
ตรงกบั ทศนิยมนัน้ ๆ - เพิ่ม 0 ตอ่ ทา้ ย
- เครื่องหมายเหมอื น (+) ตา่ ง (–)
- คาตอบใสเ่ ครือ่ งหมายตามเลขมาก

12

EX. 2.36 + 1.60 = ? จานวน+และ-จะอยคู่ นละข้างกับ 0 และอยหู่ ่างจาก 0 เป็นระยะทางเท่ากันการหาผลลบคอื
2 . 36 + ตวั ตงั้ – ตัวลบ = ตวั ตั้ง + ที่เปน็ จานวนตรงขา้ มของตัวลบ a – b = a
1 . 60 + จานวนตรงข้ามของ b
หรอื a – b = a + (-b)
ตอบ 3 . 96 EX. 3.76 - 2.55 = 3.76 + (-2.55) = 1.21
เขยี นคา่ ทศนยิ มเป็นจานวนเศษส่วน เขียนค่าทศนยิ มเปน็ จานวนเศษส่วน
3.96 = 396/100 1.21 = 121
เขยี นค่าเศษส่วนเปน็ จานวนรอ้ ยละ
396/100 = 396% 100
เขียนคา่ ร้อยละเปน็ จานวนทศนยิ ม
396% = 396/100 = 3.96 เขยี นคา่ ทศนยิ มเป็นจานวนร้อยละ
1.21 = 121%
เขยี นคา่ รอ้ ยละเปน็ จานวนทศนยิ ม 13
121% = 121 = 1.21

100

ในเร่อื งของการคณู และการหารของเลขทศนยิ ม Ex 0.12 × ( -0.4 ) = 12 × ( -4 ) = -0.048
น้นั จะมขี ั้นตอนท่ีแตกต่างกันในการทา เขยี นค่าทศนยิ มเปน็ จานวนรอ้ ยละ
ดงั นัน้ พีจ่ ึงแยกขน้ั ตอนการคูณและการหารเลข
ทศนิยมออกจากการกัน 0.048 = 0.048 = 0.00048%

การคูณทศนิยม 100

ข้อควรจา เขียนค่าร้อยละเปน็ เศษสว่ น

- กอ่ นคูณทาตวั เลขใหเ้ ป็นจานวนเต็ม 0.00048% = 0.048

- คาตอบทไ่ี ด้นบั ว่ามที ศนยิ มก่ตี าแหนง่ แล้วนามารวมกัน 100

เขยี นค่าร้อยละเปน็ จานวนทศนยิ ม

0.00048% = 0.048 = 0.048

100

14

ในสว่ นของการหารน้ันจะแตกต่างกับการคณู โดย Ex ( -0.45 ) ÷ ( 0.5 ) = ( -4.5 ) ÷ 5 = 0.9
เราน้ันจะพิจารณาเพยี งแคต่ วั หารอยา่ งเดยี วเพียง เขียนคา่ ทศนยิ มเป็นจานวนร้อยละ
เท่าน้ัน ในการหารเศษส่วนน้ันตัวหารหา้ มเปน็
ทศนยิ ม เมื่อใดกต็ ามที่ตวั หารเปน็ ทศนยิ มใหท้ าการ 0.9 = 0.9 = 0.9%
เปล่ียนตวั หารเปน็ จานวนเตม็ ก่อน
100
การหารทศนิยม
เขยี นคา่ เปอรเ์ ซน็ ต์เปน็ จานวนเศษส่วน
ข้อควรจา
9% = 9
- ตวั ต้ังตดิ จดุ ได้ ตวั หารตดิ จุดไม่ได้
100
- ทาตัวหารเปน็ จานวนเตม็ โดยเลอื่ นจดุ
เขียนคา่ ร้อยละเป็นจานวนทศนยิ ม

9 % = 9 = 0.09

100

15

เศษส่วน

16

เศษส่วน

คอื ความสมั พนั ธต์ ามสดั ส่วนระหวา่ งชนิ้ สว่ นของวตั ถุหนง่ึ เม่ือเทียบ
กบั วัตถทุ ั้งหมด เศษสว่ นประกอบด้วย ตัวเศษ(numerator) หมายถงึ
จานวนชน้ิ ส่วนของวัตถทุ มี่ ตี วั สว่ น(denominator) หมายถงึ จานวนช้ินส่วน
ท้งั หมดของวตั ถุน้นั

17

ประกอบดว้ ย • เศษสว่ นแท้ คือ ตวั เศษมีค่าน้อยกวา่ ตวั สว่ น

ตวั อย่าง 1 5 20

2 100 580

• เศษสว่ นเกิน คือ ตัวเศษมคี า่ มากกว่าตัวสว่ น

ตวั อย่าง 10 25 22

2 5 11

• จานนวนคละ คอื จานวนเตม็ รวมกับเศษสว่ นแท้

ตวั อยา่ ง 31 41 73

245

• เศษส่วนซอ้ น คือ เศษส่วนท่ีมีตวั เศษ หรอื ตวั สว่ น ท้งั ตวั เศษและตวั สว่ น

3 2 7

ตวั อย่าง 2 17 8
4
18
455

1.การบวกการลบเศษส่วน
1.1 สว่ นเทา่ กนั นาตัวเศษมาบวกหรือลบกันและใหต้ ัวส่วนคงเดิม

ตัวอยา่ ง 2 + 15 = 17 5-2 =3
33 3 66
1.2 สว่ นไมเ่ ท่ากนั ทาตัวส่วนใหเ้ ท่ากนั โดยการหา ค.ร.น ของตัวสว่ น 6

ตัวอย่าง 1 + 3 = 17
4 5 20
วิธีการ 1. หา ค.ร.น ของ 4 5 คอื 20

2. 1×5 + 3×4 = 5+12 = 17
4×5 5×4 20 20
1.3 จานวนคละ ทาจานวนคละเป็นเศษเกินกอ่ น

ตัวอย่าง

7 3 + 42 = 38 + 14 19

5 353

= (38)(3) + (14)(5)

5 3 (3)(5)

= 114+70

10

= 18.4

2.1. การคณู เศษส่วนกบั จานวนนบั นาจานวนนบั คูณกับตัวเศษ และหารด้วยตัวสว่ น

ตัวอยา่ ง

12×2 = 12×2

44

= 24
= 64

2.2 การคูณเศษส่วนจานวนคละ คือ การเขยี นในรูปของเศษเกนิ กอ่ น แล้วจงึ หาผลหาร

ตวั อย่าง

2 ×5 = 2×5
32 3×2
= 10
6
=5
3
2.3 จานวนคณะ คอื เขียนในรปู ของเศษเกนิ กอ่ น แล้วจึงหาผลคูณ

ตัวอย่าง 51 × 2

23 = 1 × 5×3 +2

23 .

= 1 × 17 20

23

= 1×17

2×3

= 17 17

6

= 25

6

3.1 การหารเศษส่วนดว้ ยเศษสว่ น 3.2 จานวนคละ
ตัวอย่าง
ตวั อยา่ ง
2× 5
1÷3 =1÷ 3 =1 ×4 = 2×5
34 34 33 32
3×2
= 1×4 = 4
= 10
3×3 9
6
=1÷3 =4 21
=5
34 9
3

สาขาวิทยาศาสตรท์ ั่วไป

9