BAHAN AJAR

HIPERBOLA

Suster nicoline dachi 200940009

Pengertian Hiperbola

Hiperbola adalah himpunan semua titik yang selisih
jaraknya terhadap dua titik tertentu sama. Kedua titik tertentu
itu disebut fokus (titik api) hiperbola. Selisih jarak yang
sama = 2a (a > 0) dan jarak kedua fokus = 2c dengan 2c > 2a.
Suatu persamaan Hiperbola memiliki unsur-unsur
didalamnya yaitu titik pusat, titik Fokus, titik puncak,
sumbu simetri, sumbu nyata, sumbu imajiner, persamaan
direktriks, eksentrisitas, dan panjang latus rectum.
Suatu Hiperbola memiliki nilai persamaan umum:

Perhatikan Gambar 2.
• Fokus (titik api), yaitu

F1 (-c, 0) dan F2 (c, 0)
• Pusat, yaitu O (0, 0)
• Sumbu Simetri:

– Sumbu utama, yaitu sumbu X
– Sumbu sekawan yaitu sumbu Y
• Sumbu nyata, yaitu AB = 2a
• Sumbu imajiner, yaitu CD = 2c
• Titik A dan B disebut titik puncak hiperbola yang
merupakan titik potong hiperbola dengan sumbu nyata

Penjelasan:

• Titik fokus adalah dua titik tertentu yang bukan merupakan himpunan dari
Hiperbola.

• Sumbu imajiner adalah sumbu vertikal pada hiperbola sedangkan sumbu
nyata adalah sumbu horizontal pada hiperbola.

• Persamaan direktriks adalah sebuah garis yang tegak lurus dengan sumbu
nyata.

• Eksentriksitas adalah ukuran sebuah irisan kerucut menjauhi lingkaran.
(Secara matematis, Eksentrisitas didefinisikan perbandingan jarak 2 titik
fokus dan panjang sumbu nyatanya).

• Panjang latus rectum adalah garis yang melalui titik fokus F1 dan F2 yang
tegak lurus dengan sumbu nyata.

• Titik puncak hiperbola adalah titik A (-a, 0) dan B (a, 0) adalah titik potong
hiperbola dengan sumbu nyata.

Persamaan Hiperbola dengan Unsur Berbeda

Suatu persamaan Hiperbola memiliki titik pusat yang berbeda yaitu di O (0,
0) dan

di titik sembarang P (a, b). Nilai persamaan Hiperbola dan unsur-unsurnya
juga

berbeda yaitu sebagai berikut.
A. Persamaan Hiperbola berpusat di O (0,0)

Atau jika diubah bentuknya menjadi:

Unsur-unsurnya adalah sebagai berikut: - Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0)
- Pusat O (0,0) -Sumbu nyata AB = 2a
- Puncak A (-a,0) dan B (a,0)
- Sumbu Simetri:
– Sumbu utama adalah sumbu X
– Sumbu sekawan adalah sumbu Y
- Sumbu imajiner CD= 2b
- Persamaan direktriks

- Eksentrisitas
- Panjang latus rectum









b. Persamaan Hiperbola berpusat di (p,q)
Atau pusat nya di titik sembarang adalah sebagai berikut:

Atau dapat diubah menjadi :

- Pusat (p,q) - Fokus F1 (p –c, q) dan F2(p+ c, q)

- Puncak A (p- a, q) dan B (p+ a, q) -Sumbu nyata AB = 2a

- Sumbu simetri:

– Sumbu utama y = q (sumbu X’)
– Sumbu sekawan x = p (sumbu Y’)

- Sumbu imajiner CD = 2b

- Persamaan direktriks - Eksentrisitas - Panjang latus rectum

Asimtot

Suatu Hiperbola memiliki Asimtot. Bentuk Asimtot berupa garis
lengkung. Secara definisi, Asimtot adalah garis lengkung adalah sebuah
garis lurus yang makin lama semakin didekati oleh garis lengkung itu
tetapi tidak pernah berpotongan. Asimtot Hiperbola ada yang di pusat
koordinat (0,0) dan di titik sembarang.

Persamaan Nilai Asimtot Hiperbola pada pusat
O(0,0) adalah sebagai berikut:

Sedangkan persamaan nilai Asimtot Hiperbola
pada pusat P(a.b) adalah sebagai berikut:

Suatu Hiperbola memiliki persamaan garis singgung. Garis
Singgung di sini artinya adalah sebuah titik singgung yang mengenai
Permukaan hiperbola di titik sembarang P(x1 ,y1).

Persamaan garis singgung Hiperbola
juga dapat dillintasi yang memiliki
gradien. Rumus untuk persamaan garis
singgungnya adalah sebagai berikut:
Berpusat di O(0,) dan titik focus di sumbu X:

Berpusat di (h,k) dan sumbu utama sejajar
sumbu X:





Contoh Soal 1
Tentukan unsur-unsur persamaan Hiperbola (titik pusat, titik fokus, titik
puncak, sumbu simetri, dan asimtot) yang persamaanya adalah:

Jawab:

Contoh Soal 2
Tentukan persamaan Hiperbola, jika diketahui:

Jawab:

Contoh Soal 3

Tentukan persamaan garis singgung pada setiap Hiperbola dengan titik
singgung yang diberikan berikut ini dan tuliskan hasilnya dalam
bentuk Ax + By + C = 0

Jawab:

Contoh Soal 4

Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola yang memiliki gradien 4.

Jawab :

SEKIAN DAN TERIMAKASIH

KAMI HARAP KALIAN
MENGERTI!!!!