รายวิชา แคลคูลัส 1 รหัส 30000-1404 หน่วยที่ 1 เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem) โดย ครูนาวิน ศรีสุข
หัวข้อเรื่อง (Topics) 1.1 แฟคทอเรียล 1.2 สัมประสิทธิ์ทวินาม 1.3 สามเหลี่ยมปาสคาล 1.4 ทฤษฎีบททวินาม สมรรถนะรายวิชา สมรรถนะที่ 1 ด าเนินการเกี่ยวกับการกระจายทวินาม
จุดประสงค์การเรียนรู้ 1. หาค่าของจ านวนที่อยู่ในรูปแฟคทอเรียลได้ 2. กระจายทวินามโดยใช้สามเหลี่ยมปาสคาลได้ 3. กระจายทวินามโดยใช้ทฤษฎีบททวินามได้ 4. ใช้ทฤษฎีบททวินามค านาณหาค่าประมาณที่ต้องการ ผลลัพธ์ที่มีความละเอียดสูงได้
ทวินาม(Binomialal) เป็นการการกระจายผลบวกหรือผลต่างของพจน์ 2 พจน์ที่ยกก าลังเป็น จ านวนเต็มที่อยู่ในรูป (a b) n เมื่อ a, b เป็นจ านวนจริงใด ๆ และ n เป็นจ านวนเต็ม ถ้า n เป็นจ านวนเต็มที่มีค่าน้อย ๆ ใช้วิธีคูณกันได้ แต่ถ้า n เป็นจ านวนเต็มบวกที่มีค่ามาก ๆ จะใช้วิธีคูณท าได้ยากและเสียเวลาในการค านวณมาก การน าทฤษฎีบททวินามมาใช้จะช่วยให้ กระจายเลขยกก าลังได้ง่ายและรวดเร็วขึ้น ดังนั้น ก่อนที่จะกล่าวถึงทฤษฎีบทวินาม ควรทราบถึง แฟคทอเรียลและสัมประสิทธ์ทวินาม ซึ่งเป็นพื้นฐานในการศึกษาเรื่องทฤษฎีบททวินาม
1.1 แฟคทอเรียล แฟคทอเรียล (Factorial) ของ n เขียนแทนด้วย n! อ่านว่า แฟคทอเรียลเอ็น หรือ เอ็นแฟคทอเรียล ซึ่งมีนิยาม ดังนี้ นิยาม แฟคทอเรียลของ n เม ื่อ n เป็ นจ านวนเต็มบวก คือ n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…..3 2 1
ตัวอย่างท ี่1.1 จงหาค่าของ 1. 4! 2. 7! 3. 10! แนวคิด 1. 4! = 4 3 2 1 2. 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 24 ตอบ 3. 10! = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 5,040 ตอบ = 3,628,800 ตอบ
หมายเหตุในท านองเดียวกันเราสามารถเขียน n! ให้อยู่ในรูปของ แฟคทอเรียลของจ านวนใด ๆ ที่มีค่าน้อยกว่า n ได้ดังนี้ n! = n(n – 1)! หรือ = n(n – 1)(n – 2)! หรือ = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)! หรือ = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)! จาก n! = n(n – 1)! ถ้าให้ n = 1 จะได้ว่า ; 1! = 1(1–1)! 1 = 1(0!) นั่นคือ 0! = 1 (n + 3) (n + 2) (n + 1) n (n – 1) (n – 2) (n – 3)
ตว ั อย ่ างท ี่1.2 จงหาค่าของ 1.7! 5! 2 6! 5!7! แนวคิด 1. 7! 5! 7 6 5! 5! = = 42 ตอบ 2. 6! 5!7! = ตอบ 1 840 6 ! (5 4 3 2 1)(7 6!) =
ตว ั อย ่ างท ี่1.3 จงหาค่าของ 1. 3! 5! 3! 5! + − 2. (n 2)! (n 1)! − + แนวคิด 1. 3! 5! 3! 5! + − (3!) (5 4 3!) (3!) (5 4 3!) + = − 3! (1) (5 4) 3! (1) (5 4) + = − 21 19 = − ตอบ
ตว ั อย ่ างท ี่1.3 จงหาค่าของ 1. 3! 5! 3! 5! + − 2. (n 2)! (n 1)! − + แนวคิด 2. (n 2)! (n 1)! − + (n 2)! (n 1)(n)(n 1)(n 2)! − = + − − 1 (n)(n 1)(n 1) = + − = ตอบ 1 n 2 (n −n +n −1) 2 1 n(n 1) = −
ตว ั อย ่ างท ี่1.4 จงหาค่าของ เม ื่อ n = 5 แนวคิด (n 1)! (n 2)! + − (5 1)! (5 2)! + = − 6! 3! = 6 5 4 3! 3! = (n 1)! (n 2)! + − = 120 ตอบ
ตว ั อย ่ างท ี่1.5 ก าหนดให้ จงหาค่าของ n แนวคิด (n 2)! n! + = 30 = 30 = 30 (n 2)! 30 n ! + = = 30 ตอบ (n 2)(n 1)n! n ! + + (n 2)(n 1) + + 6 5 n 1 + = 5 n = −5 1 n = 4
ตว ั อย ่ างท ี่1.6 จงเข ี ยนจา นวนตอ ่ ไปน ีใ ้ หอ ้ ย ู ่ในร ู ปแฟคทอเร ี ยล 1. 12 11 10 2. (2n 2)(2n 1)(2n) + + แนวคิด 12 11 10 ! 12 11 10 9! 9 = 12! 9! = ตอบ (2n 2)(2n 1)(2n ! (2n 1)! (2n 1 ) ) + + − − = (2n 2)! (2n 1)! + = − ตอบ
1.2 สัมประสิทธิ์ทวินาม ถ้า n, r เป็ นจ านวนเต็มบวก และ n r สัญลักษณ์ อ่านว่า สัมประสิทธิ์ทวินามเอ็นอาร์ หรือ เอ็นซีอาร์ ซึ่งมีความหมายตามนิยามดังนี้ n r นิยาม เมื่อ n, r เป็ นจ ำนวนเต็มบวก และ 0 r n แล้ว = n r n! (n r)!r! −
ตว ั อย ่ างท ี่1.7 จงหาค ่ าของจา นวนตอ ่ ไปน ี ้ 6 1. 3 7 2. 2 9 3. 0 9 4. 9 แนวคิด n r n ! (n r)!r! = − 6 3 6! (6 3)!3! = − 6! 3!3! = 6 5 4 3! 3 2 1 3! = = 20 ตอบ แนวคิด n r n ! (n r)!r! = − 7 2 7! (7 2)!2! = − 7! 5!2! = 7 6 5! 5! 2 1 = = 21 ตอบ แนวคิด n r n ! (n r)!r! = − 9 0 9! (9 0)!0! = − 9! 9! 1 = 9! 9! == 1 ตอบ แนวคิด n r n ! (n r)!r! = − 9 9 9! (9 9)!9! = − 9! 0!9! = 9! 9! == 1 ตอบ
ตว ั อย ่ างท ี่1.8 ก าหนดให้ จงหาค่าของ n แนวคิด n 4 = 15 = 15 = 15 n 15 4 = n ! (n 4)!4! − n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)! (n 4)! 4 3 2 1 − − − − − n(n 1)(n 2)(n 3) 24 − − − = 15 n(n 1)(n 2)(n 3) − − − = 15 24 n(n 1)(n 2)(n 3) − − − = (5 3) (4 6) n(n 1)(n 2)(n 3) − − − = 6 5 4 3 n = 6 ตอบ
นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ชื่อ Blaise Pascal เป็นผู้น าสัมประสิทธิ์ของการกระจาย (a + b) n เมื่อ a, b เป็นจ านวนจริงใด ๆ และ n เป็นจ านวนเต็มบวก มาเขียนเรียงกันเป็น ลักษณะรูปสามเหลี่ยม จึงเรียกการเรียงกันของค่าที่จัดเรียงนี้ว่าสามเหลี่ยมปาสคาล จากตัวอย่างการกระจาย (a + b) n (a + b) 0 = 1 (a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab2 + b3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab3 + b4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab4 + b5 1.3 สามเหลี่ยมปาสคาล
ถ้าน าสัมประสิทธิ์จากการกระจายข้างต้นมาเขียนเป็นรูปสามเหลี่ยมปาสคาล ได้ดังนี้ 0 0 1 0 2 1 3 2 4 2 5 2 1 1 2 2 2 0 3 1 3 0 3 3 4 3 4 4 4 1 4 0 5 3 5 4 5 5 5 1 5 0 1 1 2 3 6 10 1 1 1 1 3 1 1 4 4 1 1 5 10 5 1
จากตัวอย่างการกระจาย (a + b) n (a + b) 0 = 1 (a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab2 + b3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab3 + b4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab4 + b5 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
จากตัวอย่างการกระจาย (a + b) n (a + b) 0 = 1 (a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab2 + b3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab3 + b4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab4 + b5 1 1 2 3 6 10 1 1 1 1 3 1 1 4 4 1 1 5 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 6 (a b) + 5 (a b) + 4 (a b) + 7 (a b) + 1 7 21 35 35 21 7 1
จากตัวอย่างการกระจาย (น + ล) n (น + ล) 0 = 1 (น + ล) 1 = น + ล (น + ล) 2 = น 2 + 2นล + ล 2 (น + ล) 3 = น 3 + 3น 2ล + 3นล2 + ล 3 (น + ล) 4 = น 4 + 4น 3ล + 6น 2ล 2 + 4นล3 + ล 4 (น + ล) 5 = น 5 + 5น 4ล + 10น 3ล 2 + 10น 2ล 3 + 5นล4 + ล 5 (น + ล) 6 = น 6 + 6น 5ล + 15น 4ล 2 + 20น 3ล 3 + 15น 2ล 4 + 6นล5 + ล 6 (น + ล) 7 = น 7 + 6น 6ล + 15น 5ล 2 + 20น 4ล 3 + 15น 3ล 4 + 6น 2ล 5 + นล6 + ล 7
จงกระจาย (x + y) 3 ตัวอย่าง วิธีท า จากโจทย์จะได้ น = x, ล = y, n = 3 (x + y) 3 = x3 + 3x 2 y + 3xy2 + y3 (น + ล) 3 = น 3 + 3น 2ล + 3นล2 + ล 3 ตอบ
จงกระจาย (2 + 1) 3 ตัวอย่าง วิธีท า จากโจทย์จะได้ น = 2, ล = 1, n = 3 (2 + 1) 3 = (2) 3 + 3(2) 2 (1) + 3(2)(1) 2 + (1) 3 (น + ล) 3 = น 3 + 3น 2ล + 3นล2 + ล 3 = 8+ 12 + 6 + 1 (2 + 1) 3 = 27 ตอบ
จงกระจาย (x - y) 5 ตัวอย่าง วิธีท า จากโจทย์จะได้ น = x, ล = -y, n = 5 (x - y) 5 = x 5 + 5x 4 (-y) + 10x 3 (-y)2 + 10x 2 (-y)3 + 5x(-y)4 + (-y)5 (น + ล) 5 = น 5 + 5น 4ล + 10น 3ล 2 + 10น 2ล 3 + 5นล4 + ล 5 = x 5 - 5x 4 y + 10x 3 y 2 -10x 2 y 3 + 5xy4 - y 5 ตอบ
จงกระจาย (4 - 1) 3 ตัวอย่าง วิธีท า จากโจทย์จะได้ น = 4, ล = - 1, n = 3 (4 + (-1))3 = (4) 3 + 3(4) 2 (-1) + 3(4)(-1) 2 + (-1) 3 (น + ล) 3 = น 3 + 3น 2ล + 3นล2 + ล 3 = 64 - 48 + 12 - 1 (4 - 1) 3 = 27 ตอบ
จงกระจาย (x - 2y)5 กิจกรรมที่ 1.1 วิธีท า จากโจทย์จะได้ น = x, ล = -2y, n = 5 (x - 2y) 5 = x 5 + 5x 4 (-2y) + 10x 3 (-2y)2 + 10x 2 (-2y)3 + 5x(-2y)4 + (-2y)5 (น + ล) 5 = น 5 + 5น 4ล + 10น 3ล 2 + 10น 2ล 3 + 5นล4 + ล 5 = x 5 + 5x 4 (-2y) + 10x 3 (-2) 2 (y) 2 + 10x 2 (-2) 3 (y)3 + 5x(-2) 4 (y)4 + (-2) 5 (y)5 = x 5 - 10x 4 y + 40x 3 y 2 - 80x 2 y 3 + 80xy4 -32y 5 ตอบ
ทฤษฎีบททวินาม ข้อสังเกต ถ้า r และ n เป็นจ านวนเต็ม โดยที่ 0 ≤ r ≤ n แล้ว
จงกระจาย ( + ) 5 โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม วิธีท า ตัวอย่าง
จงหาสม ัประสท ิ ธข ิ์ องพจน ์ 8 2 ในการกระจาย (2 + ) 10 ตัวอย่าง วิธีท า
จงหาพจน์ที่ 8 ของ (x + 3) 15 ตัวอย่าง ว ิ ธ ี ทา พจน์ที่ 8= r+ 1 = 7+ 1 ดังนั้น r = 7, n = 15, a= x, b = 3 n r r r 1 n T a b r − + = 15 7 7 8 15 T x 3 7 − = 8 7 8 15! T x 3 (15 7)!7! = − 8 T (6,435)x (2,187) 8 = 8 8 15 14 13 12 11 10 9 8! T x (2,187) 8! 7 6 5 4 3 2 1 = 8 T 14,073x 8 = ดังนั้น พจน์ที่8 คือ 14,073 x 8 ตอบ
จงหาสม ัประสท ิ ธข ิ์ องพจน ์ x 8 y 2 ในการกระจาย (2x+y)10 ตัวอย่าง วิธีท า พจน์ที่ต้องการหา สปส. คือ x 8 y 2 = r = 2, n = 10, a = 2x, b = y n r r r 1 n T a b r − + = 10 2 2 2 1 10 T (2x) y 2 − + = 8 2 3 10! T (2x) y (10 2)!2! = − 8 8 2 T (45)(2 x )y 3 = 8 2 T (45)(256x )y 3 = 8 8 2 3 10 9 8! T (2 x )y 8! 2 1 = 8 2 3 T x y = 11,520 ดังนั้น สปส. ของ x 8 y 2 คือ 11,520 ตอบ
ใบงานหลังเรียน 1) ให ้ น ั กศ ึ กษาทา แบบประเม ิ นผลการเร ี ยนร ้ ู ท ี ่ 1 (หน้า 11 –16) 2) ให้นักศึกษาทบทวนบทเรียนที่ผ่านมา 3) ให้นักศึกษา ศึกษา หน่วยที่ 2ล่วงหน้า
สวัสดี