Calendar of matrix by PHURITHAT

2022 CALENDAR

น า ย ภู ริ ทั ต จั น ท ร ภ า ส เ ล ข ที่ 2 4 ม . 5 / 3

JANUARY 2022

S M TWT F S

26 27 28 29 30 31 1

23 45678

9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22

23 24 25 26 27 28 29

30 31 1 2 3 4 5

เมทริกซ์

∈บทนิยาม 1 เมทริกซ์ คือ ชุดของจํานวน mn ตัว (m, n I+ ) ซึ่งเขียนเรียงกัน m แถว n หลัก

ภายในเครื่องหมายวงเล็บ ในรูป

เรียก a(ij) ว่าเป็นสมาชิกในแถวท่ี่ i และหลักท่ี่ j ของเมทริกซ์

หรือเรียกว่าเป็นสมาชิกในตำแหน่งท่ี่ ij ของเมทริกซ์ เมื่อ i = 1, 2, ... , m และ j = 1, 2, ... , n

FEBRUARY 2022

S M TWT F S
30 31 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 1 2 3 4 5

บทนิยาม 2 (มิติของเมทริกซ์) สําหรับแต่ละจํานวนเต็มบวก m และ n ใด ๆ
ถ้า A เป็นเมทริกซ์ซึ่งมี m แถว และ n หลัก จะกล่าวว่า A เป็น
m x n เมทริกซ์และกล่าวได้ว่า A มีมิติหรือขนาด (dimension)
เท่ากับ m x n

การเขียนเมทริกซ์ในรูปทั่วไป

โดยทั่วไป เราจะเขียนสัญลักษณ์แทนเมทริกซ์ A = [ ( )] mXn
โดยที่ ( ) แทนสมาชิกของ A ในแถวที่ i หลักที่ j

MARCH 2022

S M TWT F S

27 28 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31 1 2

เมทริกซ์ที่ควรรู้

APRIL 2022

S M TWT F S
27 28 29 30 31 1 2
34 56789
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30



MAY 2022

S M TWT F S

12 34567

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30 31 1 2 3 4

บทนิยาม 4 ผลบวกของ A และ B เขียนแทนด้วย A + B ซึ่งนิยามดังนี้ การเท่ากันของเมทริกซ์
A+B = [a(ij) + b(ij)]mxn การบวก และ ลบเมทริกซ์

ผลลบของ A และ B เขียนแทนด้วย A – B ซึ่งนิยามดังนี้
A–B = [a(ij) +(-b(ij)]mxn

สําหรับทุกๆ i=1,2,3,...,m และ j=1,2,3,...,n

JUNE 2022

S M TWT F S

29 30 31 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 1 2

การคูณเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์

บทนิยาม 5
กำหนดเมทริกซ์ A = [ ( )] × และ k เป็นจำนวนจริงใดๆ

ผลคูณของ k และ A เขียนแทนด้วย kA ซึ่งนิยามดังนี้
kA = [ ( )] × สำหรับทุกๆ I=1,2,3,...,m,j =1,2,3,...,n

JULY 2022

S M TWT F S

26 27 28 29 30 1 2

34 56789

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23

24 25 26 27 28 29 30

31 1 23456

การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

บทนิยาม 6 กำหนดเมทริกซ์ A = [a(ij)]mxn และ B = [b(ij])nxk

ผลคูณระหว่างเมทริกซ์ A และ B จะเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติm×k

ผลคูณของ A และ B เขียนแทนด้วย AB ซึ่งนิยามดังนี้

นั่นคือ AB = C = [c(ij])mxk

เมื่อ c(ij) = a(i1)b(1j) + a(i2)b(2j) + ... + a(in)b(nj)

สำหรับทุกๆ i=1,2,3,...,m และ j=1,2,3,...,k

*หมายเหตุจากนิยาม 6 จะได้ว่า
(1). AB จะคูณกันได้ ก็ต่อเมื่อ จำนวนหลักของตัวตั้ง (A) = จำนวนแถวของตัวคูณ (B)
(2). AB ที่ได้ จะเป็นเมทริกซ์ท่ีมีจำนวนแถวเท่ากับ จำนวนแถวของ ตัวตั้ง (A)

และ จำนวนหลักเท่ากับ จำนวนหลักของตัวคูณ (B) นั่นคือ

AUGUST 2022

S M TWT F S

31 1 23456

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 1 2 3

สมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ ข้อควรระวัง

SEPTEMBER 2022

S M TWT F S

28 29 30 31 1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 1

การทรานสโพสของเมทริกซ์ (เมทริกซ์สลับเปลี่ยน)

OCTOBER 2022

S M TWT F S

25 26 27 28 29 30 1

23 45678

9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22

23 24 25 26 27 28 29

30 31 1 2 3 4 5

บทนิยาม 8 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 1 x
1

ถ้า A = [a] เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ 1 x 1
แล้ว det(A) = a

NOVEMBER 2022

S M TWT F S

30 31 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 1 2 3

คุณสมบัติของดีเทอร์มินันต์

December 2022

S M TWT F S

27 28 29 30 1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

การหาดีเทอร์มิแนนต์ โดยการกระจายโคแฟคเตอร์

เมทริกซ์ผกผัน (Inverse of a matrix)

เมทริกซ์ผกผัน (Inverse of a matrix) ต่อ

สมบัติของเมทริกซ์นอนซิงกูลาร์

การหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ที่มีมิติ n Xn

โคแฟคเตอร์ยังช่วยในการหาเมทริกซ์ผกผันสำหรับการคูณของเมทริกซ์นอนซิงกูลาร์ได้ด้วย
ซึ่งทำให้เราสามารถหาเมทริกซ์ผกผัน หรืออินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ที่มีมิติอื่นนอกจากเมทริกซ์ที่มีมิติ 2×2 ที่ได้กล่าวไปแล้ว

จากความรู้เกี่ยวกับเมทริกซ์ผูกผันตามที่กล่าวมาแล้วเรา
สามารถ นำมาช่วยในการหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์

A ที่เป็นเมทริกซ์นอนซิงกูลาร์ ได้ดังนี้

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์

เราสามารถใช้ความรู้เรื่องเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนท์มาช่วยในการหาคําตอบได้ ซึ่งในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์นั้น เราต้องเปลี่ยนระบบสมการเชิงเส้น
ให้อยู่ในรูปของเมทริกซ์เสียก่อน โดยที่จากระบบสมการเชิงเส้นให้จัดเรียงตําแหน่งของตัวแปรในแต่ละสมการให้เหมือนกัน และค่าคงตัวที่ไม่มีตัวแปรให้ นําไปไว้ทางขวาของสมการ

หมายเหตุ จากระบบสมการเชิงเส้น ในการแก้ระบบสมการเพื่อหาคำตอบว่าได้
หรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

การหาคําตอบของระบบสมการเชิงเส้น
โดยใช้เมทริกซ์ทําได้ 3 วิธี

วิธีที่ 1. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้อินเวอร์ส
การคูณของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

ตัวอย่าง

วิธีที่ 2. การแก้ระบบสมการเชิงเส้น
โดยใช้กฎของคราเมอร์ (Cramer’s rule)

ตัวอย่าง

วิธีที่ 3. การแก้ระบบสมการเชิงเส้น
โดยใช้การดำเนินการตามแถวกับเมทริกซ์แต่งเดิม

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยใช้เมทริกซ์แต่งเติมนั้น เราจะใช้วิธีการดำเนินตามแถว (row operations) ซึ่งมีอยู่ด้วยกัน 3 วิธี
จากระบบสมการ AX = B นำมาเขียนเป็นเมทริกซ์แต่งเติม [ A | B ] ใช้วิธีการปฎิบัติการตามแถว เปลี่ยนเมทริกซ์แต่งเติมให้อยู่ในรูป [ I | C ] จะได้ X = C

ดำเนินการตามแถว ดังนี้

คำศัพท์จ้าาาาา!

คำศัพท์ ความหมาย
เมทริกซ์จัตุรัส (square matrix) เป็นเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและหลักเท่ากัน

เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (upper triangular matrix) เมทริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกทุกตัวซึ่งอยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ 0

ส่วนสมาชิกท่ีอยู่บนเส้นทแยงมุมหลักหรืออยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักจะมีค่าเท่าไรก็ได้
เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (lower triangular matrix) เมทริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกทุกตัวซึ่งอยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ 0

เมทริกซ์สามเหลี่ยม (triangular matrix) ส่วนสมาชิกท่ีอยู่บนเส้นทแยงมุมหลักหรืออยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักจะมีค่าเท่าไรก็ได้
เมทริกซ์ที่เป็นเมทริกซ์สามเหล่ี่ยมบนหรือเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง
เมทริกซ์ศูนย์ (zero matrix)
อย่างใดอย่างหนึ่งหรือสองอย่าง

เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ทั้งหมด และใช้สัญลักษณ์

คำศัพท์จ้าาาาา!

คำศัพท์ ความหมาย
เมทริกซ์เฉียง (diagonal matrix) เมทริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกที่ไม่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก
ทุกตัวมีค่าเป็น 0 ทั้งหมด

เมทริกซ์สเกลาร์ (scalar matrix) เมทริกซ์จัตุรัสท่ี่มีสมาชิกทุกตัวบนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน

ส่วนสมาชิกอ่ื่นท่ี่เหลือมีค่าเป็น 0 ทั้งหมด

เมทริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix) เมทริกซ์จัตุรัสท่ี่มีสมาชิกทุกตัวบนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 1
ส่วนสมาชิกอื่นท่ี่เหลือมีค่าเป็น 0 ทั้งหมด

เราจะใช้ I(n) แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีมิติ n×n

คำศัพท์จ้าาาาา!

คำศัพท์ ความหมาย

เมทริกซ์แบบแถว (row matrix) เมทริกซ์ที่ม่ีมิติ 1×n

เมทริกซ์แบบหลัก (column matrix) เมทริกซ์ที่มีมิติ n×1

นาย ภูริทัต จันทรภาส เลขที่ 24

ข อ ค ะ เ เ น น เ ต็ ม น ะ ค รั บ บ บ บ บ บ บ