แผนการสอนวิชาความแข็งแรงของวัสดุ

แผนการสอน 230
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย ความเคน้ ดดั ในคาน หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 13
จานวน 3 ชั่วโมง

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.....................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน...................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู............................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

แผนการสอน 274
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การรวมความเคน้ หน่วยท่ี 9
สอนคร้ังท่ี 16
จานวน 3 ช่ัวโมง

หัวข้อเรื่อง
1. การรวมความเคน้ ดดั และความเคน้ เฉือน
2. การรวมความเคน้ ในแนวแกน ความเคน้ ดดั และความเคน้ เฉือน

สาระสาคัญ
1. เม่ือเพลาไดร้ ับโมเมนตด์ ดั และแรงบิด กจ็ ะทาให้เกิดความเคน้ ดดั และความเคน้ เฉือนข้ึน

โดย ความเคน้ ดดั จะเกิดจากโมเมนตด์ ดั และความเคน้ เฉือนเกิดจากแรงบิด
2. เม่ือเพลาไดร้ ับแรงในแนวแกนเพ่ิมข้ึน จากความเคน้ อดั และความเคน้ เฉือนท่ีมีอยเู่ ดิม ใน

การรวมความเคน้ จะตอ้ งพิจารณาแรงในแนวแกนดว้ ย

วตั ถุประสงค์
1. เพ่อื ใหผ้ เู้ รียนสามารถคานวณหาคา่ ความเคน้ รวมของความเคน้ ดดั และความเคน้ เฉือนได้

อยา่ งถูกตอ้ ง
2. เพือ่ ใหผ้ เู้ รียนสามารถคานวณหาคา่ ความเคน้ รวมของความเคน้ ในแนวแกน ความเคน้ ดดั

และความเคน้ เฉือนไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

แผนการสอน 275
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การรวมความเคน้ หน่วยท่ี 9
สอนคร้ังท่ี 16
เนือ้ หาสาระ จานวน 3 ชั่วโมง
1. การรวมความเค้นดดั และความเค้นเฉือน

1.1 ระนาบความเค้นหลกั และระนาบความเค้นเฉือนสูงสุด

รูปท่ี 1 ความสัมพนั ธ์ของความเคน้ บนวงกลมโมห์

ในรูป 8-5 ก. แกนแนวต้งั เป็ น xy' และแกนแนวนอนเป็ น x' จุด M มีพิกดั อยทู่ ี่
(x', xy') ทุกๆจุด จะอยบู่ นเส้นรอบวงตามคา่ กาหนดของมุม  จากสมการ ที่ 1 และ 2 จะจดั
สมการใหไ้ มม่ ีเทอมของ  ไดด้ งั น้ี

A  y 2  [xy (รัศมีของกราฟวงกลม)2
2 2
( x ' )   2 ' ]2   2 
xy' xy

กาหนดให้

A  y  x  y  2
2 2
, av g R    2 y
x

(x'  avg )2  2xy'  R 2

รูปที่ 1ข. แสดงรูปกราฟวงกลมของสมการ โดยมีจุด C เป็นจุดศูนยก์ ลางซ่ึงอยทู่ ี่พกิ ดั
(avg,0) และท่ีจุด N บนเส้นรอบวงอยทู่ ี่พกิ ดั (x'  xy' )

276

แผนการสอน หน่วยท่ี 9
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 16
ชื่อหน่วย การรวมความเคน้ จานวน 3 ช่ัวโมง

1.2 ระนาบความเค้นหลกั

ในรูป 1 ก. จุด A คือความเคน้ ต้งั ฉากสูงสุด (max ) และจุด B คือความเคน้ ต้งั ฉาก
ต่าสุด ( min ) ซ่ึงที่จุดท้งั สองน้ี ความเคน้ เฉือน (xy') เป็ นศูนย์ สภาวะความเคน้ น้ีเรียกวา่ ความ
เคน้ หลกั จากสมการ (3) จะได้

0   xy sin 2  xy cos2
2

ตาแหน่งของความเคน้ หลกั t an 2 p  2 x y
x  y

ข้อควรจา

1. ระนาบที่ใหค้ ่าความเคน้ ต้งั ฉากสูงสุดหรือต่าสุดน้ีเรียกวา่ ระนาบความเคน้ หลกั
2. ระนาบความเคน้ หลกั ทามุมกบั ระนาบเดิม (แกน x’ หรือ y’ ทามุมกบั แกน x )

เท่ากบั มุม p หรือ p โดยท่ี p  90 p ดงั รูปที่ 10.4
3. บนระนาบความเคน้ หลกั น้นั ความเคน้ เฉือนเป็นศูนยเ์ สมอ

มุมในกราฟวงกลมปรากฏเป็ น 2 แตม่ ุมระหวา่ งระนาบเป็ น 

รูปท่ี 2 ระนาบความเคน้ หลกั

ในรูป 2 แสดงระนาบความเคน้ หลกั ที่จุด Q ซ่ึงมี max และ min เป็ นความเคน้ ต้งั
ฉากกระ ทาต่อระนาบน้นั จะเห็นไดช้ ดั เจนวา่ ไมม่ ีความเคน้ เฉือนบนระนาบเคน้ หลกั น้ี
จากรูปที่ 1 ก. พบวา่ max  avg  R และ min  avg  R

แผนการสอน 277
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การรวมความเคน้ หน่วยที่ 9
สอนคร้ังท่ี 16
แทนค่าลงในสมการ จานวน 3 ช่ัวโมง
ความเคน้ สูงสุดและต่าสุดหาจาก

max,min   x  y    x  y  2   2
2 2 xy

1.3 ระนาบความเค้นเฉือนสูงสุด

ในรูปท่ี 1 ก. ที่จุด D และ E บนเส้นผา่ นศูนยก์ ลางในแนวดิ่ง ของวงกลมน้นั ใหค้ า่

ตวั เลขสูงสุดของความเคน้ เฉือน และอยทู่ ี่พิกดั 'x  avg x  y โดยท่ีระนาบความเคน้
2

เฉือน สูงสุดทามุมกบั ระนาบเดิม (ซ่ึงมีสภาวะความเคน้ เป็ น x , y และ xy ) เทา่ กบั s ซ่ึง

หาไดจ้ ากสมการที่ (1) ดงั น้ี

 xy cos2  xy sin 2  0
2

t an 2s   (x  y )
2 x y

รูปที่ 3 ระนาบความเคน้ เฉือนสูงสุด

แผนการสอน 278
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การรวมความเคน้ หน่วยที่ 9
สอนคร้ังที่ 16
จานวน 3 ชั่วโมง

ความเคน้ เฉือนสูงสุดเกิดท่ีสองคา่ ของ s ซ่ึงค่าท้งั สองน้นั ต่างกนั อยู่  ดงั แสดงใน

90

รูปท่ี 8-5 ความเคน้ สูงสุดน้ีมีคา่ เท่ากบั รัศมีของวงกลมคือ

max   x  y  2   2
2 xy

และ '  x  y

2

สภาวะ ของความเคน้ บนระนาบความเคน้ เฉือนสูงสุดน้ีจะมีความเคน้ ต้งั

จาก '  avg x  y
2

ข้อควรจา

1. เมื่อพจิ ารณาแลว้ พบวา่ t an 2s  1 แสดงวา่ ในกราฟวงกลมมุม 2s และ
t an 2 p

2p น้นั ต่างกนั อยู่  นน่ั คือ ระนาบความเคน้ เฉือนสูงสุด ทามุม 45 กบั ระนาบความเคน้

90

หลกั เสมอ

2. บนระนาบความเคน้ เฉือนสูงสุดจะมีสภาวะของความเคน้ เป็น

และx  y  avg xy  max

การรวมความเคน้ ในแนวแกน ความเคน้ ดดั และความเคน้ เฉือน เมื่อเพลารับแรงใน

แนวแกนเพิม่ ข้ึน การรวมความเคน้ จะตอ้ งพิจารณาแรงน้ีดว้ ย ดงั น้นั

x  F1  Mc
A I

x   4F1  32M
d 2 d 3

เมื่อ A= d 2 , Mz  F2L และ I d 4
4 64

xy  Tr  16T
J d 3

แผนการสอน 279
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การรวมความเคน้ หน่วยที่ 9
สอนคร้ังที่ 16
จานวน 3 ช่ัวโมง

เม่ือ T  F2S , J  d 4
32

ความเคน้ รวม คือ

1  x   x  2   2
2  2  xy

2  x   x  2   2
2  2  xy

ความเคน้ เฉือนสูงสุด

max   x  2   2 y
 2  x

สรุปเนือ้ หา

ในการออกแบบคาน ตอ้ งหาค่าความเคน้ ตรงสูงสุด จากกรณีที่ผวิ บนและล่าง  xy  0

principal stress มีคา่ เท่ากบั ความเคน้ ในแนวแกน x แตส่ าหรับที่ระดบั ใกล้ ๆ ผวิ x มีค่า

นอ้ ยกวา่ ที่ผวิ บนหรือล่างแต่ในกรณีที่มีค่าความเคน้ เฉือน  xy  ดว้ ย เมื่อรวมกนั จะได้ principal

stress จะได้ principal stress 1,2 ซ่ึงอาจจะมีค่ามากกวา่ คา่ ที่ผวิ บนและล่างได้

การหาค่าความเคน้ หลกั ใชส้ ูตร max,min   x  y 
2

  x  y  2   2
2 xy

สาหรับค่าความเคน้ เฉือนสูงสุดใชส้ ูตร max   x  y 2  2xy
2

เม่ือพิจารณาแลว้ พบวา่ t an 2s   1 แสดงวา่ ในกราฟวงกลมมุม 2s และ
t an 2 p

2p น้นั ต่างกนั อยู่  นนั่ คือ ระนาบความเค้นเฉือนสูงสุด ทามุม 45 กบั ระนาบความเค้น

90

หลกั เสมอ

บนระนาบความเคน้ เฉือนสูงสุดจะมีสภาวะของความเคน้ เป็ น

และx  y  avg xy  max

แผนการสอน 280
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การรวมความเคน้ หน่วยท่ี 9
สอนคร้ังที่ 16
ตัวอย่าง จานวน 3 ชั่วโมง
ระนาบความเคน้ ที่แสดงดงั รูปจงหา
ก) ตาแหน่งของระนาบความเคน้ หลกั
ข) ความเคน้ หลกั
ค) ความเคน้ เฉือนสูงสุดและความเคน้ ต้งั ฉาก

หลกั การวเิ คราะห์
ตาแหน่งระนาบความเคน้ หลกั กาหนดดว้ ยมุม p ใชส้ มการ ท่ี ( 8) คานวณ
max' min สมการ (10) และ(11)คานวณ max และ  ตามลาดบั

ก) ตาแหน่งของระนาบความเคน้ หลกั

x  50MPa ,y  10MPa , xy  40MPa

(เมื่อใชส้ ูตรคานวณ  มีเคร่ืองหมายบวกเม่ือโมเมนตข์ องแรงแรงเฉือนมีทิศทวนเข็มนาฬิกา)

t an 2 p  2 x y 2(40)  80
x  y  60

50  (10)

2p  53.1 และ180  53.1  233.1

ตอบ p  26.6 และ 166.6

ข.) ความเคน้ หลกั

max,min   x  y 
2

แผนการสอน 281
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การรวมความเคน้ หน่วยที่ 9
สอนคร้ังที่ 16
จานวน 3 ช่ัวโมง

  x  y  2   2
2 xy

ตอบ max  20  302  402

 min  70MPa(ความเคน้ ดึง)
 30MPa(ความเคน้ อดั )

ค.) ความเคน้ เฉือนสูงสุด

max   x  y  2   2
2 xy

 302  402

ตอบ  50MPa
ตาแหน่งความเคน้ เฉือนสูงสุดน้นั จะทามุม 45 กบั ระนาบความเคน้ หลกั

และ '  avg x  y  5010
2 2

ตอบ  20MPa

282

แผนการสอน หน่วยที่ 9
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังท่ี 16
ชื่อหน่วย การรวมความเคน้ จานวน 3 ช่ัวโมง

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู

ข้นั นา
1. กล่าวทกั ทายนกั ศึกษาแลว้ นาภาพการต่อเพลาแบบตา่ ง ๆ มาใหน้ กั ศึกษาดูแลว้ ถาม

ข้นั สอน
1. แจง้ จุดประสงคร์ ายวชิ า หวั ขอ้ ที่จะตอ้ งเรียน การวดั การประเมินผล ขอ้ ตกลง

ตา่ ง ๆ แก่นกั ศึกษา
2. บรรยายเน้ือหาประกอบแผน่ ใสในหน่วยที่ 9
3. สาธิตหลกั การคานวณประกอบแผน่ ใสตวั อยา่ งที่ 1
4. เปิ ดโอกาสใหน้ กั ศึกษาถาม และใหน้ กั ศึกษาทาแบบทดสอบหน่วยที่ 9

ข้นั สรุป
1.ใหน้ กั ศึกษาช่วยกนั สรุปเน้ือหา

งานทม่ี อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนในเรื่อง ที่จะสอนต่อไป
2. ใหไ้ ปศึกษาทบทวนเร่ืองท่ีเรียน และทาแบบฝึ กหดั

ส่ือการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนหน่วยท่ี 9
2. รูปภาพ 1, 2 และ 3

283

แผนการสอน หน่วยที่ 9
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 16
ชื่อหน่วย การรวมความเคน้ จานวน 3 ชั่วโมง

การวดั ผลและประเมินผล
1. สังเกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานที่มอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ใหท้ าแบบทดสอบ

แผนการสอน 284
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การรวมความเคน้ หน่วยท่ี 9
สอนคร้ังท่ี 16
จานวน 3 ชั่วโมง

แบบฝึ กหดั

1. เพลาตนั อยภู่ ายใตแ้ รงบิด 1.5 กิโลนิวตนั เมตร และโมเมนตด์ ดั สูงสุด 1 กิโลนิวตนั เมตร

ถา้ เพลามีขนาด 60 มิลลิเมตร จงหาความเคน้ ดึง และความเคน้ เฉือนสูงสุด
2. เพลาตนั ขนาดเส้นผา่ ศนู ยก์ ลาง 50 มิลลิเมตร ยาว 300 มิลลิเมตร รับแรง F1 เทา่ กบั 1 กิโล

นิวตนั กระทาในแนวแกน และ F2 เท่ากบั 2 กิโลนิวตนั กระต้งั ฉากกบั ศูนยก์ ลางของเพลา ระยะ S
เทา่ กบั 50 มิลลิเมตร จงหาความเคน้ ดึง และความเคน้ เฉือนสูงสุด

แผนการสอน 285
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การรวมความเคน้ หน่วยที่ 9
สอนคร้ังที่ 16
จานวน 3 ช่ัวโมง

เฉลยแบบฝึ กหดั

1. เพลาตนั อยภู่ ายใตแ้ รงบิด 1.5 กิโลนิวตนั เมตร และโมเมนตด์ ดั สูงสุด 1 กิโลนิวตนั เมตร
ถา้ เพลามีขนาด 60 มิลลิเมตร จงหาความเคน้ ดึง และความเคน้ เฉือนสูงสุด

วธิ ีทา จาก 1  16 M  M2  T2 
d 3 

 16 1  12  1.52 

0.063

= 66085 kN/m2

ตอบ ความเคน้ ดึงสูงสุดเท่ากบั 66085 กิโลนิวตนั

จาก max  16 M2  T2
d 3

 16 12  1.52

0.063

= 42506.76 kN/m2

ตอบ ความเคน้ เฉือนสูงสุดเทา่ กบั 42506.76 กิโลนิวตนั

2. เพลาตนั ขนาดเส้นผา่ ศูนยก์ ลาง 50 มิลลิเมตร ยาว 300 มิลลิเมตร รับแรง F1 เท่ากบั 1
กิโลนิวตนั กระทาในแนวแกน และ F2 เทา่ กบั 2 กิโลนิวตนั กระต้งั ฉากกบั ศนู ยก์ ลางของเพลา
ระยะ S เทา่ กบั 50 มิลลิเมตร จงหาความเคน้ ดึง และความเคน้ เฉือนสูงสุด

วธิ ีทา แรง F1 เทา่ ใหเ้ กิด Mz

Mz = F1 × L = 2×0.3 = 0.6 kN.M

จาก x  4F  32M   41  320.6
d 2 d 3 0.052 0.053

แผนการสอน 286
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การรวมความเคน้ หน่วยที่ 9
สอนคร้ังท่ี 16
จานวน 3 ช่ัวโมง

= -49401.6 kN/m2

= -49.4 MN/m2

แรง F2 ทาใหเ้ กิดแรงบิด T

T = F2S = 2 ×0.05 = 0.1 kN.m

จาก xy  16T  160.1
d 3 0.053

= 4074.36 kN/m2

= 4.07 MN/m2

จาก 1  x   x  2   2 y
2 2  x

  49.4    49.4 2  4.072

2  2

= 0.33 MN/m2

จาก 2  x   x  2   2
2  2  xy

  49.4    49.4 2  4.072

2  2

= - 49.73 MN/m2

จาก max   x  2   2
 2  xy

   49.4 2  4.072

 2

= 25.03 MN/m2

ตอบ ความเคน้ ดึงสูงสุดเท่ากบั 0.33 เมกะนิวตนั /ตารางเมตร
ความเคน้ เฉือนสูงสุดเทา่ กบั 25.03 เมกะนิวตนั /ตารางเมตร

แผนการสอน 287
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การรวมความเคน้ หน่วยที่ 9
สอนคร้ังที่ 16
จานวน 3 ชั่วโมง

แบบทดสอบ

1. เพลาตนั อยภู่ ายใตแ้ รงบิด 2.4 กิโลนิวตนั เมตร และโมเมนตด์ ดั สูงสุด 1.5 กิโลนิวตนั เมตร

ถา้ เพลามีขนาด 55 มิลลิเมตร จงหาความเคน้ ดึง และความเคน้ เฉือนสูงสุด
2. เพลาตนั ขนาดเส้นผา่ ศนู ยก์ ลาง 45 มิลลิเมตร ยาว 350 มิลลิเมตร รับแรง F1 เทา่ กบั 2 กิโล

นิวตนั กระทาในแนวแกน และ F2 เทา่ กบั 3 กิโลนิวตนั กระต้งั ฉากกบั ศูนยก์ ลางของเพลา ระยะ S
เท่ากบั 45 มิลลิเมตร จงหาความเคน้ ดึง และความเคน้ เฉือนสูงสุด

แผนการสอน 288
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การรวมความเคน้ หน่วยท่ี 9
สอนคร้ังที่ 16
จานวน 3 ชั่วโมง

เฉลยแบบทดสอบ

1. เพลาตนั อยภู่ ายใตแ้ รงบิด 2.4 กิโลนิวตนั เมตร และโมเมนตด์ ดั สูงสุด 1.5 กิโลนิวตนั เมตร
ถา้ เพลามีขนาด 55 มิลลิเมตร จงหาความเคน้ ดึง และความเคน้ เฉือนสูงสุด

วธิ ีทา จาก 1  16 M  M2  T2 
d 3 

 16 1.5  1.52  2.4 2 

0.0553

= 132552.96 kN/m2

ตอบ ความเคน้ ดึงสูงสุดเท่ากบั 132552.96 กิโลนิวตนั /ตารางเมตร

จาก max  16 M2  T2
d 3

 16 1.52  2.42

0.0553

= 86635.98 kN/m2

ตอบ ความเคน้ เฉือนสูงสุดเท่ากบั 86635.98 กิโลนิวตนั

2. เพลาตนั ขนาดเส้นผา่ ศนู ยก์ ลาง 45 มิลลิเมตร ยาว 350 มิลลิเมตร รับแรง F1 เท่ากบั 2 กิโล
นิวตนั กระทาในแนวแกน และ F2 เท่ากบั 3 กิโลนิวตนั กระต้งั ฉากกบั ศูนยก์ ลางของเพลา ระยะ S
เทา่ กบั 45 มิลลิเมตร จงหาความเคน้ ดึง และความเคน้ เฉือนสูงสุด

วธิ ีทา แรง F1 เทา่ ใหเ้ กิด Mz

Mz = F1 × L = 2×0.35 = 0.7 kN.M

จาก x  4F  32M   42  320.7
d 2 d 3 0.0452 0.0453

แผนการสอน 289
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การรวมความเคน้ หน่วยที่ 9
สอนคร้ังท่ี 16
จานวน 3 ช่ัวโมง

= -79503.24 kN/m2

= -79.5 MN/m2

แรง F2 ทาใหเ้ กิดแรงบิด T

T = F2S = 3 ×0.045 = 0.135 kN.m

จาก xy  16T  160.135
d 3 0.0453

= 7545.12 kN/m2

= 7.545 MN/m2

จาก 1  x   x  2   2 y
2 2  x

  79.5    79.5 2  7.5452

2  2

= 0.71 MN/m2

จาก 2  x   x  2   2
2  2  xy

  79.5    79.5 2  7.5452

2  2

= - 80.21 MN/m2

จาก max   x  2   2
 2  xy

   79.5 2  7.5452

 2

= 40.46 MN/m2

ตอบ ความเคน้ ดึงสูงสุดเทา่ กบั 0.71 เมกะนิวตนั /ตารางเมตร
ความเคน้ เฉือนสูงสุดเท่ากบั 40.46 เมกะนิวตนั /ตารางเมตร

แผนการสอน 290
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การรวมความเคน้ หน่วยท่ี 9
สอนคร้ังท่ี 16
จานวน 3 ชั่วโมง

บันทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.....................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน...................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู............................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

แผนการสอน 292
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน หน่วยท่ี 10
สอนคร้ังที่ 17
จานวน 3 ช่ัวโมง

หวั ข้อเร่ือง
1. วธิ ีคานวณหาการโก่งของคาน

สาระสาคัญ
1. ในการคานวณหาการโก่งของคานน้นั มีอยหู่ ลายวธิ ี แตว่ ธิ ีที่ใชค้ านวณที่ใชก้ นั มาก

มีอยู่ 3 วธิ ี คือวธิ ี Double-integration ,วธิ ี Moment-area ,วธิ ี Superposition

วตั ถุประสงค์
1. เพือ่ ใหผ้ เู้ รียนสามารถคานวณหาค่าการโก่งของคานโดยวธิ ี Double-integration ไดอ้ ยา่ ง

ถูกตอ้ ง
2. เพือ่ ใหผ้ เู้ รียนสามารถคานวณหาคา่ การโก่งของคานโดยวธิ ี Moment-area ไดอ้ ยา่ ง

ถูกตอ้ ง
3. เพ่อื ใหผ้ เู้ รียนสามารถคานวณหาคา่ การโก่งของคานโดยวธิ ี Superposition ไดอ้ ยา่ ง

ถูกตอ้ ง

แผนการสอน 293
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน หน่วยที่ 10
สอนคร้ังที่ 17
จานวน 3 ช่ัวโมง

เนือ้ หาสาระ

1. วธิ ีคานวณหาการโก่งของคาน
วธิ ีคานวณหาการโก่งของคานน้นั มีอยหู่ ลายแบบ ในท่ีน้ีจะกล่าวเพยี ง วธิ ีเดียวคือ วธิ ี

Moment-area, วธิ ี Double-integration ,วธิ ี Superposition

1.1 วธิ ี Moment-area
วธิ ีของ moment-area เป็น Simi graphical method ซ่ึงจะทาใหส้ ามารถหาความลาด
เอียงและระยะโก่ง ณ ตาแหน่งใด ๆ บนเส้นโคง้ อีลาสติกของคานได้ และถา้ หากวา่ เราตอ้ งการที่
จะทราบแต่เพยี งความลาดเอียง หรือระยะโก่งของเส้นโคง้ อีลาสติกเพียงสองสามตาแหน่งเท่าน้นั
วธิ ีน้ีจะมีความสะดวกและรวดเร็วกวา่ วธิ ี double-integration แตถ่ า้ ตอ้ งการท่ีจะไดล้ กั ษณะของ
เส้นโคง้ อีลาสติกตลอดความยาวของคานแลว้ ก็ควรท่ีจะใชว้ ธิ ี double-integration
ทฤษฎีท่ีใชห้ าความลาดเอียงและระยะโก่งท่ีใชใ้ นวธิ ี Moment-area จะมีอยดู่ ว้ ยกนั 2
ทฤษฎี คือทฤษฎีหน่ึงจะใชส้ าหรับหาความลาดเอียง อีกทฤษฎีหน่ึงใชส้ าหรับหาระยะโก่งของ
คานน้นั

รูปที่ 1 การหาความลาดเอียงและระยะโก่ง

294

แผนการสอน หน่วยที่ 10
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 17
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน จานวน 3 ช่ัวโมง

ในการพิสูจน์หาทฤษฎีท้งั สองน้นั ใหพ้ จิ ารณาคานซ่ึงถูกกระทาดว้ ยแรงใด ๆ ในรูป ถา้

คานมีหนา้ ตดั สม่าเสมอ (EI = คา่ คงท่ี) M ...diagram จะมีรูปร่างเช่นเดียวกบั BMD ดงั ในรูป

EI

ส่วนโคง้ อีลาสติกจะแสดงในรูปท่ี

จากความสัมพนั ธ์ท่ีไดว้ า่ d  M
ds EI

เม่ือกรณีท่ีระยะโก่งของคานมีคา่ นอ้ ยมากค่า ds  dx

 d  M
dx EI

d  Mdx
EI

 A d  A Mdx A Mdx
EI EI
 AB 
BB
B

เม่ือ AB คือมุมระหวา่ งเส้นสมั ผสั ที่ลากจากจุด A และ B บนเส้นโคง้ อีลาสติกมีคา่
เท่ากบั พ้นื ที่ท้งั หมดของ M diagram ระหวา่ งจุด A และจุด B ในกรณีท่ีพ้ืนท่ีมีท้งั บวกและลบ ก็

EI

ใหค้ ิดเครื่องหมายของพ้ืนที่เหล่าน้นั ดว้ ย
ฉะน้นั เราจะไดท้ ฤษฎีท่ีหน่ึงวา่ “เมื่อคานตรงถูกกระทาดว้ ยโมเมนตด์ ดั มุมระหวา่ งเส้น

สัมผสั ที่ลากจากจุดใด ๆ สองจุดบนเส้นโคง้ อีลาสติก จะมีคา่ เท่ากบั พ้นื ที่ท้งั หมดของ M diagram

EI

ระหวา่ งสองจุดน้นั ”
ตอ่ ไปให้ AB เป็นระยะทางในแนวดิ่งของจุด B เม่ือเทียบกบั เส้นสัมผสั ท่ีลากจากจุด A

ไป ซ่ึงจะไดค้ วามสัมพนั ธ์วา่

d(AB )  xd

A

 d(AB )  xd

B

แผนการสอน 295
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน หน่วยที่ 10
สอนคร้ังที่ 17
จานวน 3 ชั่วโมง

A Mxdx
EI
 BA

B

จะเห็นไดว้ า่ A Mxdx เป็นค่าของโมเมนตข์ อง M diagram ระหวา่ งจุด A และจุด B
EI
 EI
B

เทียบกบั แกนผา่ นจุด B ฉะน้นั จึงไดท้ ฤษฎีสาหรับการหาระยะโก่งซ่ึงเป็นทฤษฎีท่ีสองวา่ “เม่ือ

คานตรงถูกกระทาดว้ ยโมเมนตด์ ดั ระยะในแนวดิ่งของจุด B เมื่อเทียบกบั เส้นสัมผสั ท่ีลากจากจุด

A จะมีคา่ เทา่ กบั โมเมนตร์ อบแกนซ่ึงผา่ นจุด B ของ M diagram ระหวา่ งจุดท้งั สองน้นั ”

EI

ในการหาโมเมนตข์ อง M diagram ซ่ึงมีพ้ืนท่ีที่มีท้งั คา่ บวกและลบก็ใหค้ ิดเคร่ืองหมาย

EI

ของพ้ืนท่ีเหล่าน้นั ดว้ ย

เน่ืองจากการคานวณหาระยะโก่ง โดยวธิ ีน้ีมีความจาเป็นท่ีจะตอ้ งรวมโมเมนตข์ องพ้ืนท่ี

รอบแกนๆ หน่ึงเสมอ ฉะน้นั จึงแสดงถึงจุดศูนยถ์ ่วงของพ้ืนทีชนิดต่าง ๆ ซ่ึงตอ้ งใชอ้ ยบู่ ่อยคร้ัง

ดงั ต่อไปน้ี

รูปที่ 2 จุดศนู ยถ์ ่วงของพ้นื ทีชนิดต่าง ๆ

แผนการสอน 296
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน หน่วยท่ี 10
สอนคร้ังท่ี 17
จานวน 3 ชั่วโมง

รูปท่ี 3 จุดศนู ยถ์ ่วงของพ้ืนทีชนิดตา่ ง ๆ

1.1.1ข้นั ตอนการหาค่าความลาดเอยี งและระยะโก่งโดยวธิ ี Moment-area
1. จากโจทยท์ ่ีกาหนดใหถ้ า้ เป็นคานแบบช่วงเดียวหรือคานช่วงเดียวปลายยนื่ จะตอ้ ง

คานวณหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับก่อน ส่วนคานแบบยน่ื ไมจ่ าเป็นจะตอ้ งหา

2. เขียนแผนผงั ของโมเมนตด์ ดั (BMD) จากการคานวณหาไดจ้ ากโจทยท์ ่ีกาหนดให้
3. เขียนเส้นโคง้ อีลาสติก แสดงถึงลกั ษณะการโก่งของคานใหใ้ กลเ้ คียงกบั ความเป็นจริง
มากที่สุด

4. เขียนแผนผงั ของ M diagram

EI

5. เลือกจุดบนเส้นโคง้ อีลาสติกที่ทราบคา่ ความลาดเอียงหรือระยะโก่ง เช่น จุดรองรับ
หรือจุดท่ีอยใู่ นแกนสมมาตร หรือจุดที่โจทยก์ าหนดคา่ แน่นอนมาให้ เป็นตน้ แลว้ ลากเส้นสัมผสั
กบั จุดท่ีเลือกน้นั

6. คานวณการเคล่ือนที่ของจุดเทียบจากเส้นสมั ผสั ในขอ้ 5

7. คานวณหาระยะโก่งและความลาดเอียง โดยการพิจารณาลกั ษณะของเส้นโคง้ อีลาสติก
และอาศยั ทฤษฎีท้งั สองทฤษฎีน้นั เขา้ ช่วย

แผนการสอน 297
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน หน่วยที่ 10
สอนคร้ังที่ 17
จานวน 3 ช่ัวโมง

ตัวอย่างท่ี 1
จงคานวณหาระยะโก่งและมุมลาดเอียงท่ีปลายคาน กาหนดให้ EI มีคา่ คงท่ีตลอดความยาว

คานโดยวธิ ี moment-area

วธิ ีทา จากรูปจะเห็นวา่ ymax  AB
= โมเมนตข์ องพ้นื ที่ A1B1D1 รอบแกนผา่ นจุด A1

y max  1  PL(L) 2 L
2  EI   3 

 1pL3  PL3
3EI 3EI

 ระยะโก่งปลายคาน

แผนการสอน 298
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน หน่วยที่ 10
สอนคร้ังที่ 17
จานวน 3 ช่ัวโมง

AB  A

 พ้ืนท่ีของ A1B1D1

A  1  P L (L)
2 EI 

 PL2  PL2
2EI 2EI

ตอบ มุมลาดเอียงที่ปลายคาน

ตัวอย่างที่ 2
คานแบบ simply supported ถูกแรงกระทาที่จุดก่ึงกลางของคาน จงหามุมลาดเอียง A

และระยะโก่งสูงสุด โดยวธิ ี moment-area
วธิ ีทา เขียนรูปไดด้ งั น้ี

จากรูปจะเห็นวา่

A  มุมลาดเอียง  พ้นื ท่ีของ A1C1D1

A  1  PL  L 
2  4EI  2 

299

แผนการสอน หน่วยท่ี 10
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 17
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน จานวน 3 ช่ัวโมง

 PL2
16EI

ตอบ มุมลาดเอียง  PL2

16EI

ymax  AC  โมเมนตข์ องพ้นื ที่ A1C1D1 รอบแกนผา่ นจุด A1

y max  1  PL  L  2  L 
2  4EI  2  3 2 

 PL3
48EI

ตอบ ระยะโก่งสูงสุด  PL3

48EI

1.2 วธิ ี Double-integration
วธิ ี Double-integration เป็นวธิ ีการหาระยะการโก่งและคา่ ความลาดเอียง ตลอดจนหา

เส้นโคง้ อิลาสติกตลอดความยาวของคานน้นั เป็นวธิ ีการท่ีใชก้ ารอินทิเกรตสองคร้ัง
พจิ ารณาเส้นโคง้ อีลาสติกของคานซ่ึงถูกแรงภายนอกกระทาใหเ้ กิดการโคง้ งอ โดยให้

เป็นความยาวส่วนหน่ึงของเส้นโคง้ อิลาสติกน้ี คือจุดศุนยก์ ลางของความโคง้ และ เป็นรัศมีของ
ความโคง้ ของเส้นโคง้ อีอิลาสติก ณ หนา้ ตดั ใด ๆ ในการที่จะหาความสมั พนั ธ์เพอื่ หาสูตรสาหรับ
วธิ ี double-integration น้นั จะตอ้ งใชข้ อ้ สมมติฐานท่ีกล่าวมาขา้ งตน้ แลว้ ยงั สมมติใหร้ ะยะโก่งมีค่า
นอ้ ยมากจนกระทง่ั ความยาว ds ซ่ึงเป็นเส้นโคง้ มีค่าประมาณเทา่ กบั dx ซ่ึงเป็นเส้นตรงอีกดว้ ย
และเป็นรัศมีของความโคง้ ของเส้นโคง้ อิลาสติก ณ หนา้ ตดั ใด ๆ ในการที่จะหาความสัมพนั ธ์
เพ่อื หาสูตรสาหรับวธิ ี double-integration น้นั จะตอ้ งใชข้ อ้ สมมติฐานท่ีกล่าวมาขา้ งตน้ แลว้ ยงั
สมมติใหร้ ะยะโก่งมีค่านอ้ ยมากจนกระทงั่ ความยาว ds ซ่ึงเป็นเส้นโคง้ มีคา่ ประ มาณเท่ากบั dx
ซ่ึงเป็นเส้นตรงอีกดว้ ย

จากรูปจะไดค้ วามสมั พนั ธ์ ds =   d

หรือ 1  d

 ds

300

แผนการสอน หน่วยที่ 10
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังท่ี 17
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน จานวน 3 ช่ัวโมง

แต่ 1  M

 EI

 d  M
ds EI

เนื่องจาก ds  dx และ   dy ดงั น้นั

dx

d2y   M
dx 2 EI

1.2.1 ข้อตกลงเรื่องเครื่องหมาย
จากสมการขา้ งตน้ จะมีเคร่ืองหมายบวก + และลบ – อยู่ ซ่ึงข้ึนอยกู่ บั การกาหนดเคร่ืองหมาย
ของโมเมนตด์ ดั M และจุดโคออร์ดิเนต x ,y ตามเครื่องหมาย M ,x และ y ท่ีเรากาหนดมาต้งั แต่
ตน้ จะเห็นวา่ เม่ือเส้นโคง้ อิลาสติกหงายข้ึน ซ่ึงตรงกบั คา่ M เป็นบวก (+) ค่าความลาด dy จะ

dx

ลดลง เมื่อ x เพม่ิ ข้ึน ดงั น้นั d2y เป็นลบ (-) เมื่อเส้นโคง้ อิลาสติกคว่าลงซ่ึง

dx 2

ตรงกบั ค่า M เป็นลบ (-) คา่ ความลาด dy จะเพมิ่ ข้ึน เมื่อ x เพม่ิ ข้ึน ดงั น้นั d2y เป็น

dx dx 2

บวก (+)
จากขอ้ ความขา้ งตน้ เราพอสรุปไดว้ า่ d2y และ M จะมีเคร่ืองหมายตรงกนั ขา้ ง

dx 2

เสมอไปเขียนสมการใหม่ เพอ่ื ใหส้ อดคลอ้ งตามเครื่องหมายจะได้
EI d2y = -M

dx 2

EI d3y = - V

dx 3

EI d4y = dV = w

dx 4 dx

301

แผนการสอน หน่วยที่ 10
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 17
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน จานวน 3 ช่ัวโมง

เมื่อ M คือโมเมนตด์ ดั ที่เกิดข้ึนในคานน้นั
I คือโมเมนตข์ องความเฉื่อยของหนา้ ตดั คาน

E คือโมดูลสั ของการยดื หยนุ่ ของวสั ดุท่ีกระทากบั คาน
V คือแรงเฉือนที่เกิดข้ึนในคานน้นั
W คือน้าหนกั บรรทุกที่กระทากบั คาน
x,y คือโคออร์ดิเนตของจุดบนเส้นโคง้ อิลาสติก

1.2.2 ข้นั ตอนการหาค่าความลาดเอยี งและระยะโก่งโดยวธิ ี Double-intergration

1. เขียนรูปแสดงการสมดุลยเู คชน่ั ขอส่วนของคานท่ีรับน้าหนกั แลว้ ดูลกั ษณะการโก่ง
ของคานก่อน

2.เลือกจุดเร่ิมตน้ และต้งั แกน x,y แลว้ กาหนดเคร่ืองหมายใหถ้ ูกตอ้ ง
3. เขียนสมการของโมเมนตด์ ดั M อยใู่ นเทอมของระยะ x และแรงหรือน้าหนกั ท่ีกระทา
4.แทนคา่ ของโมเมนตด์ ดั M ลงในสมการเส้นโคง้ อีลาสติกแกส้ มการดิฟเฟอเรนเชียล

ของสมการเส้นโคง้ อีลาสติก

5.การอินทิเกรต ในการอินทิเกรตคร้ังแรกจะไดส้ มการของความลาดเอียงและตวั คงที่
หน่ึงตวั เมื่ออินทิเกรตคร้ังที่สองจะไดส้ มการของการโก่งและมีตวั คงท่ีเพม่ิ ข้ึนอีกหน่ึงตวั

6.แทนค่าตวั คงท่ีที่หาไดล้ งในสมการของความลาดเอียง และการโก่งในข้นั ตอนที่ 5 ก็
จะไดส้ มการที่ตอ้ งการ คา่ ความลาดเอียงและการโก่งที่จุดใด ๆ จะหาไดโ้ ดยแทนคา่ ของระยะ x
ลงไปในสมการของความลาดเอียงและการโก่งงอ

1.2.3 เง่ือนไขสาหรับการหาค่าคงทีท่ ไี่ ด้จากการอนิ ทเิ กรต

1. คานแบบยนื่ (Cantilever beam)

ก. เมอื่ แรงกระทาเป็ นแบบจุด

เง่ือนไข 1. เมื่อ X=L จะไดค้ ่าความลาดเอียงเท่ากบั ศูนย์  dy  0
 dx

2 . เมื่อ X=L จะไดร้ ะยะโก่งเทา่ กบั ศูนย์ (y=0)

แผนการสอน 302
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน หน่วยท่ี 10
สอนคร้ังที่ 17
ข. เม่ือแรงกระทาเป็ นแบบกระจาย จานวน 3 ชั่วโมง

รูปที่ 4 แรงกระทาเป็นแบบกระจาย

เงื่อนไข 1. เมื่อ x=L จะไดค้ ่าความลาดเอียงเทา่ กบั ศูนย์  dy  0
 dx

2. เมื่อ x=L จะไดค้ ่าระยะโก่งเทา่ ศนู ย์ (y=0)

3. เมื่อ x=0 จะไดแ้ รงเฉือนเทา่ กบั ศนู ย์ (V=0)

4. เมื่อ x=0 จะไดโ้ มเมนตต์ ดั เทา่ กบั ศูนย์ (M=0)

ค. เมอ่ื แรงกระทาเป็ นแรงคู่ควบหรือโมเมนต์

รูปที่ 5 แรงกระทาเป็นแรงคูค่ วบหรือโมเมนต์

เงื่อนไข 1. เม่ือ x=L จะไดค้ ่าความลาดเอียงเทา่ กบั ศูนย์  dy  0
 dx

2. เม่ือ x=L จะไดค้ า่ ระยะโก่งเทา่ กบั ศนู ย์ (y=o)

แผนการสอน 303
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน หน่วยที่ 10
สอนคร้ังที่ 17
2. คานช่วงเดยี ว (Simply supported beam) จานวน 3 ชั่วโมง
ก. เมื่อแรงกระทาเป็ นแบบเป็ นจุด

รูปท่ี 6 แรงกระทาเป็นแบบเป็นจุด

เง่ือนไข 1. เม่ือ x=0 จะไดค้ ่าระยะโก่งเทา่ กบั ศูนย์ (y=0)

2. เม่ือ x= L จะไดค้ า่ ความลาดเอียงเทา่ กบั ศนู ย์  dy  0
 dx
2

รูปท่ี 7 แรงกระทาเป็นแบบเป็นจุด
เงื่อนไข 1. เม่ือ x=0 จะไดค้ ่าระยะโก่งเท่ากบั ศูนย์ (y=0)

2. เม่ือ x=L จะไดค้ า่ ระยะโก่งเท่ากบั ศนู ย์ (y=0)

ที่ x=a, dy1  dy 2 ท่ี x=a

dx dx

ที่ x=a, y1  y2 ที่ x=a

แผนการสอน 304
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน หน่วยท่ี 10
สอนคร้ังท่ี 17
ข.เมื่อแรงกระทาเป็ นแบบกระจาย จานวน 3 ชั่วโมง

รูปที่ 8 แรงกระทาเป็นแบบกระจาย
เง่ือนไข 1. เมื่อ x=0 จะไดแ้ รงเฉือนเทา่ กบั แรงปฏิกิริยาที่จุด A V  RA 

2. เมื่อ x=0 จะไดโ้ มเมนตด์ ดั เทา่ กบั ศูนย์ (M=0)
3. เมื่อ x=0 จะไดร้ ะยะโก่งเท่ากบั ศนู ย์ (y=0)
4. เม่ือ x=L จะไดร้ ะยะโก่งเทา่ กบั ศนู ย์ (y=0)
ค. เม่ือแรงกระทาเป็ นแรงคู่ควบหรือโมเมนต์

รูปท่ี 9 แรงกระทาเป็นแรงคูค่ วบหรือโมเมนต์

รูปท่ี 10 แรงกระทาเป็นแรงคู่ควบหรือโมเมนต์

แผนการสอน 305
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน หน่วยท่ี 10
สอนคร้ังที่ 17
จานวน 3 ชั่วโมง

เงื่อนไข 1. เมื่อ x=0 จะไดร้ ะยะโก่งเท่ากบั ศนู ย์ (y=0)
2. เม่ือ x=L จะไดร้ ะยะโก่งเทา่ กบั ศูนย์ (y=0))

1.3 วธิ ี Superposition
ถา้ หากคานรับแรงหลายชนิด การคานวณหาค่าความลาดชนั และระยะโก่งตวั ดว้ ยวธิ ี
Moment- area จะยงุ่ ยากและเสียเวลา ดงั น้นั จึงใชว้ ธิ ี Superposition โดยแยกแรงกระทาแต่ละชนิด
แลว้ ใชส้ ูตรสาเร็จในตารางหาคา่ ความลาดชนั และระยะโก่งตวั ไดท้ นั ที ผลของแรงกระทาหลาย
ชนิดกระทากบั คาน จึงเป็นผลรวมของคา่ ความลาดชนั และระยะโก่งตวั ท่ีคานวณไดแ้ ต่ละชนิด

แผนการสอน 306
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน หน่วยที่ 10
สอนคร้ังท่ี 17
จานวน 3 ชั่วโมง

ตารางที่ 1 หาคา่ ความลาดชนั และระยะโก่งตวั ของคาน

307

แผนการสอน หน่วยที่ 10
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังท่ี 17
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน จานวน 3 ชั่วโมง

ตารางที่ 2 หาคา่ ความลาดชนั และระยะโก่งตวั ของคาน

แผนการสอน 308
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน หน่วยที่ 10
สอนคร้ังท่ี 17
จานวน 3 ชั่วโมง

ตารางที่ 3 หาคา่ ความลาดชนั และระยะโก่งตวั ของคาน

แผนการสอน 309
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน หน่วยที่ 10
สอนคร้ังที่ 17
จานวน 3 ชั่วโมง

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู

ข้นั นา
1. กล่าวทกั ทายนกั ศึกษาแลว้ นาภาพการต่อเพลาแบบตา่ ง ๆ มาใหน้ กั ศึกษาดูแลว้ ถาม

ข้นั สอน
1. แจง้ จุดประสงคร์ ายวชิ า หวั ขอ้ ที่จะตอ้ งเรียน การวดั การประเมินผล ขอ้ ตกลง

ต่าง ๆ แก่นกั ศึกษา
2. บรรยายเน้ือหาประกอบแผน่ ใสในหน่วยท่ี 10
3. สาธิตหลกั การคานวณประกอบแผน่ ใสตวั อยา่ งท่ี 1และ 2
4. เปิ ดโอกาสใหน้ กั ศึกษาถาม และใหน้ กั ศึกษาทาแบบทดสอบหน่วยท่ี 10

ข้ันสรุป
1.ใหน้ กั ศึกษาช่วยกนั สรุปเน้ือหา

งานทมี่ อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนในเรื่อง ที่จะสอนต่อไป
2. ใหไ้ ปศึกษาทบทวนเร่ืองที่เรียน และทาแบบฝึ กหดั

ส่ือการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนหน่วยท่ี 10
2. รูปภาพ 1 ถึง 10

แผนการสอน 310
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน หน่วยที่ 10
สอนคร้ังท่ี 17
การวดั ผลและประเมินผล จานวน 3 ชั่วโมง
1. สังเกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ใหท้ าแบบทดสอบ

แผนการสอน 311
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน หน่วยท่ี 10
สอนคร้ังท่ี 17
จานวน 3 ช่ัวโมง

แบบฝึ กหัด

1. คานแบบ simply supported ถูกแรงกระทาท่ีจุดก่ึงกลางของคาน จงหามุมลาดเอียง A

และระยะโก่งสูงสุด โดยวธิ ี moment – area

2. จงหาความโก่งตวั ท่ีก่ึงกลางของคาน กาหนดให้ E เทา่ กบั 12 จิกะนิวตนั /ตารางเมตร
และ I เท่ากบั 200×106 mm4

แผนการสอน 312
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน หน่วยท่ี 10
สอนคร้ังท่ี 17
จานวน 3 ช่ัวโมง

เฉลยแบบฝึ กหัด

1. คานแบบ simply supported ถูกแรงกระทาที่จุดก่ึงกลางของคาน จงหามุมลาดเอียง A

และระยะโก่งสูงสุด โดยวธิ ี moment – area

วธิ ีทา

จากรูปจะเห็นวา่

A  มุมลาดเอียง  พ้ืนท่ีของ A1C1D1

A  1  PL  L 
2  4EI  2 

 PL2
16EI

ตอบ มุมลาดเอียง  PL2

16EI

ymax  AC  โมเมนตข์ องพ้ืนท่ี A1C1D1 รอบแกนผา่ นจุด A1

y max  1  PL  L  2  L 
2  4EI  2  3 2 

 PL3
48EI

ตอบ ระยะโก่งสูงสุดเทา่ กบั PL3

48EI

แผนการสอน 313
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน หน่วยท่ี 10
สอนคร้ังท่ี 17
จานวน 3 ชั่วโมง

2. จงหาความโก่งตวั ท่ีก่ึงกลางของคาน กาหนดให้ E เทา่ กบั 12 จิกะนิวตนั /ตารางเมตร
และ I เทา่ กบั 200×106 mm4

วธิ ีทา M  WL2

8

 30 42  60 kN.m
8

60  103
  M   0.251/ m
EI 12109 200106

AC  (พ้ืนที่ A1, C1, D1)( x )(รอบแกน A)

 2  M  L 5  L
3  EI 2 8 2 

 2  0.025 4  5  4
3 282

= 0.04167 m

ตอบ ระยะโก่งตวั ที่ก่ึงกลางคานเทา่ กบั 41.67 มิลลิเมตร

แผนการสอน 314
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน หน่วยที่ 10
สอนคร้ังที่ 17
จานวน 3 ชั่วโมง

แบบทดสอบ

1. จงหาระยะโก่งตวั สูงสุดของคาน กาหนดให้ EI เท่ากบั 2000 กิโลนิวตนั ตารางเมตร

2. จงหาความลาดชนั ที่จุด A และระยะโก่งตวั ท่ีก่ึงกลางของคาน กาหนดให้ EI เท่ากบั 4 เมกะนิว
ตนั ตารางเมตร

แผนการสอน 315
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน หน่วยที่ 10
สอนคร้ังท่ี 17
จานวน 3 ชั่วโมง

เฉลยแบบทดสอบ

1. จงหาระยะโก่งตวั สูงสุดของคาน กาหนดให้ EI เท่ากบั 2000 กิโลนิวตนั ตารางเมตร

วธิ ีทา หาแรงปฏิกิริยา RA, RB

MB  0

7.5 RA =10

RA = 10
7.5

= 1.333 kN

MA  0

7.5 RB = 10

RB = 10
7.5

RB = 1.333 kN

ท่ีหนา้ ตดั 0  x  2.5

M = -1.333(x)

x  0 m, M  0 kN.m

x  2.5m, M  1.3332.5

 3.33 kN.m

316

แผนการสอน หน่วยที่ 10
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 17
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน จานวน 3 ชั่วโมง

ท่ีหนา้ ตดั 2.5  x  7.5

M  R A x 10 kN.m
x  2.5 m, M  3.3332.5 10  6.67 kN.m

x  7.5 m, M  3.3337.5 10  0 kN.m

M1  6.67  0.0033 1/ m
EI 2000

และ  M2  3.33  0.0017 1/ m

EI 2000

AB  A1 x1  A2 x2 (รอบแกน A)

 1  M1 52.5  1 5  1  M2 2.5 2 2.5
2  EI 3 2 EI 3

  1  0.0033 5  4.167   1  0.0017 2.5  1.667
 2  2

= 0.0344 – 0.0035 = 0.0309 m

ตอบ ระยะโก่งสูงสุดของคานเท่ากบั 30.9 มิลลิเมตร

317

แผนการสอน หน่วยที่ 10
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังที่ 17
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน จานวน 3 ช่ัวโมง

2. จงหาความลาดชนั ที่จุด A และระยะโก่งตวั ที่ก่ึงกลางของคาน กาหนดให้ EI เท่ากบั 4 เมกะนิว
ตนั ตารางเมตร

วธิ ีทา แยกคานออกเป็นรูป (ก) และ (ข)

หาความลาดชนั ที่ A โดยใชต้ ารางท่ี 2 กรณีที่ 7 จะได้

 A
 L  Fb L2  b 2
6EIL

จากรูป (ก) b1 = 2.5 m

จากรูป (ข) b2 = 1 m

ดงั น้นั

   A L2 2
 Fb1 L2  b12  Fb 2  b 2
6EIL
6EIL

      5 103  2.5 3.52  2.52  5 103 1 3.52 12
6  4 106  3.5 6  4 106  3.5

= 0.00089 + 0.00067

= 0.00156 rad

ตอบ ความลาดชนั ท่ี A เท่ากบั 0.00156 rad

หาระยะโก่งตวั ท่ีก่ึงลางของคาน

จากสูตร   2  Fb  3L2  4b2
48EI

  2  5 103 1  33.52  412
48 4 106

= 0.00171 m = 1.71 mm

ตอบ ระยะโก่งตวั ท่ีก่ึงกลางคานเท่ากบั 1.71 มิลลิเมตร

แผนการสอน 318
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน หน่วยท่ี 10
สอนคร้ังท่ี 17
จานวน 3 ช่ัวโมง

บันทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.....................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน...................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู............................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

แผนการสอน 320
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน หน่วยท่ี 10
สอนคร้ังที่ 18
จานวน 3 ช่ัวโมง

ทอดสอบแก้ตวั เร่ือง การโก่งของคาน

1. จงหาความโก่งตวั ที่ก่ึงกลางของคาน กาหนดให้ E เทา่ กบั 12 จิกะนิวตนั /ตารางเมตร
และ I เท่ากบั 200×106 mm4

2. คานแบบ simply supported ถูกแรงกระทาท่ีจุดก่ึงกลางของคาน จงหามุมลาดเอียง A

และระยะโก่งสูงสุด โดยวธิ ี moment – area

แผนการสอน 321
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน หน่วยที่ 10
สอนคร้ังท่ี 18
จานวน 3 ช่ัวโมง

3. จงหาความลาดชนั ที่จุด A และระยะโก่งตวั ท่ีก่ึงกลางของคาน กาหนดให้ EI เทา่ กบั 4
เมกะนิวตนั ตารางเมตร

322

แผนการสอน หน่วยท่ี 10
ช่ือวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ สอนคร้ังท่ี 18
ช่ือหน่วย การโก่งของคาน จานวน 3 ชั่วโมง

เฉลยแบบทดสอบ

1. จงหาความโก่งตวั ท่ีก่ึงกลางของคาน กาหนดให้ E เท่ากบั 12 จิกะนิวตนั /ตารางเมตร
และ I เทา่ กบั 200×106 mm4

วธิ ีทา M  WL2

8

 30 42  60 kN.m
8

60  103
  M   0.251/ m
EI 12109 200106

AC  (พ้ืนที่ A1, C1, D1)( x )(รอบแกน A)

 2  M  L 5  L
3  EI 2 8 2 

 2  0.025 4  5  4
3 282

= 0.04167 m

ตอบ ระยะโก่งตวั ท่ีก่ึงกลางคานเท่ากบั 41.67 มิลลิเมตร

แผนการสอน 323
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน หน่วยที่ 10
สอนคร้ังที่ 18
จานวน 3 ชั่วโมง

2. คานแบบ simply supported ถูกแรงกระทาที่จุดก่ึงกลางของคาน จงหามุมลาดเอียง A

และระยะโก่งสูงสุด โดยวธิ ี moment – area

วธิ ีทา

จากรูปจะเห็นวา่

A  มุมลาดเอียง  พ้ืนที่ของ A1C1D1

A  1  PL  L 
2  4EI  2 

 PL2
16EI

ตอบ มุมลาดเอียง  PL2

16EI

ymax  AC  โมเมนตข์ องพ้ืนที่ A1C1D1 รอบแกนผา่ นจุด A1

y max  1  PL  L  2  L 
2  4EI  2  3 2 

 PL3
48EI

ตอบ ระยะโก่งสูงสุดเทา่ กบั PL3

48EI

แผนการสอน 324
ชื่อวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ
ชื่อหน่วย การโก่งของคาน หน่วยท่ี 10
สอนคร้ังที่ 18
จานวน 3 ชั่วโมง

3. จงหาความลาดชนั ที่จุด A และระยะโก่งตวั ท่ีก่ึงกลางของคาน กาหนดให้ EI เทา่ กบั 4
เมกะนิวตนั ตารางเมตร

วธิ ีทา แยกคานออกเป็นรูป (ก) และ (ข)

หาความลาดชนั ท่ี A โดยใชต้ ารางท่ี 2 กรณีที่ 7 จะได้

 A
 L  Fb L2  b 2
6EIL

จากรูป (ก) b1 = 2.5 m

จากรูป (ข) b2 = 1 m

ดงั น้นั

   A
 Fb1 L2  b12  Fb 2 L2  b 2
6EIL 2

6EIL

      5 103  2.5 3.52  2.52  5 103 1 3.52 12
6  4 106  3.5 6  4 106  3.5

= 0.00089 + 0.00067

= 0.00156 rad

ตอบ ความลาดชนั ท่ี A เทา่ กบั 0.00156 rad

หาระยะโก่งตวั ท่ีก่ึงลางของคาน

จากสูตร   2  Fb  3L2  4b2
48EI

  2  5 103 1  33.52  412
48 4 106

= 0.00171 m = 1.71 mm

ตอบ ระยะโก่งตวั ที่ก่ึงกลางคานเท่ากบั 1.71 มิลลิเมตหร