แผนแคลคูลัส 1

51

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 6 แคลคูลสั 1 รหสั 30000–1404

บนั ทกึ หลงั การสอน

1. ผลการใช้แผนการจัดการเรียนรู้
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

2. ผลการเรียนของนักเรียน/ผลการสอนของครู/ปัญหาที่พบ
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

3. แนวทางการแก้ปัญหา
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

ลงช่ือ............................................... ลงชื่อ...............................................
(...............................................) (.............................................)
ตวั แทนนกั เรียน ครูผสู้ อน

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 7 52

ชื่อวชิ า แคลคลู สั 1 รหสั 30000–1404 หน่วยที่ 7
ชื่อหน่วย อินทิกรัล
ชื่อเร่ือง อินทิกรัล เวลาเรียนรวม 54 คาบ
สอนคร้ังท่ี 12–13/18
จานวน 6 คาบ

7.1 อินทิกรัลไม่จากดั เขต 7.2 อินทิกรัลของฟังกช์ นั พีชคณิต

7.3 อินทิกรัลของฟังกช์ นั เลขยกกาลงั 7.4 อินทิกรัลของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ

7.5 อินทิกรัลของฟังกช์ นั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ

ดาเนินการเกี่ยวกบั อินทิกรัลของฟังกช์ นั พีชคณิตและฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ

ดา้ นความรู้ และทกั ษะการคิดคานวณ แกป้ ัญหา
1. อธิบายความหมายของอินทิกรัลไม่จากดั เขตได้
2. บอกนิยามของอินทิกรัลไมจ่ ากดั เขตได้
3. หาอินทิกรัลฟังกช์ นั พชี คณิตโดยใชส้ ูตรได้
4. หาอินทิกรัลฟังกช์ นั เลขยกกาลงั โดยใชส้ ูตรได้
5. หาอินทิกรัลฟังกช์ นั ตรีโกณมิติโดยใชส้ ูตรได้
6. หาอินทิกรัลฟังกช์ นั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติโดยใชส้ ูตรได้
ดา้ นคณุ ธรรม จริยธรรม/บูรณาการปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง/ 3D

ตรงต่อเวลา มีวินยั มีความรับผิดชอบ ละเอียดรอบคอบ ทางานเรียบร้อย สนใจใฝ่ รู้ มีความ
ซ่ือสัตย์ ขยนั หมน่ั เพยี ร ไม่หยดุ น่ิงที่จะแกป้ ัญหา

53

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 7 แคลคูลสั 1 รหสั 30000–1404

7.1 อนิ ทิกรัลไม่จากดั เขต

นยิ ามท่ี 7.1 กาหนดให้ F เป็นฟังกช์ นั ซ่ึงมีอนุพนั ธ์บนช่วงจานวนจริง

จะเรียก F วา่ ปฏิยานุพนั ธ์ (Antiderivative) ของฟังกช์ นั f

ถา้ F(x) = f (x) สาหรับทกุ x บนช่วงจานวนจริง

7.2 อนิ ทกิ รัลของฟังก์ชันพชี คณติ

การอินทิเกรตหรือการหาอินทิกรัลของฟังกช์ นั พีชคณิตมีสูตรดงั น้ี

กาหนดให้ u v เป็นฟังกช์ นั ของ x และ a, c เป็นค่าคงที่

1. du = u + c
2. adu = adu เมื่อ a เป็นคา่ คงที่

3. (u  v)dx =  udx   vdx

4. xndx = x n+1 + c เมื่อ n  –1
n +1
u n+1
5.  undu = n +1 + c เม่ือ n  –1

6.  1udu =  du = lnu + c
u

7.3 อนิ ทกิ รัลของฟังก์ชันเลขยกกาลงั

จากสูตรอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั เลขยกกาลงั จะไดส้ ูตรการหาอินทิกรัลของฟังกช์ นั เลขยกกาลงั ดงั น้ี

กาหนดให้ u และ v เป็นฟังกช์ นั ของ x และ a เป็นจานวนจริงที่ a > 0 และ a  1

1.  a u du = au + c
ln a
2. eudu = eu + c

7.4 อนิ ทกิ รัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
จากสูตรอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ จะไดส้ ูตรอินทิกรัลฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ ดงั น้ี

1. sin xdx = –cos x + c
2.  cosxdx = sin x + c
3. sec2 xdx = tan x + c
4. csc2 xdx = –cot x + c
5. secx tanxdx = sec x + c
6. cscxcotxdx = –csc x + c
7.  tanxdx = ln secx + c

54

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 7 แคลคลู สั 1 รหสั 30000–1404

8. cotxdx = ln sinx + c
9. secxdx = ln secx + tanx + c
10. cscxdx = ln cscx − cotx + c

สาหรับสูตรท้งั 10 สูตรขา้ งตน้ ถา้ ให้ u เป็นฟังกช์ นั ของ x ไดส้ ูตรอินทิกรัลฟังกช์ นั ตรีโกณมิติทว่ั ไป

1. sin udu = –cos u + c
2.  cos udu = sin u + c
3. sec2 udu = tan u + c
4. csc2 udu = –cot u + c
5. sec u tan udu = sec u + c = sec u + c
6. csc ucot udu = –cos u + c
7.  tan udu = ln secu + c
8. cot udu = ln sin u + c
9. secudu = ln secu + tan u + c
10. csc udu = ln cscu − cotu

7.5 อนิ ทกิ รัลของฟังก์ชันผกผนั ของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ
อินทิกรัลของฟังก์ชันผกผนั ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ หมายถึง การอินทิเกรตที่ได้ผลลพั ธ์เป็ น

ฟังก์ชนั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ จากสูตรการหาอนุพนั ธ์ฟังกช์ นั ผกผนั ของฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ ทาใหไ้ ด้
สูตรการอินทิแกรตฟังกช์ นั บางฟังกช์ นั ที่ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นฟังกช์ นั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ ดงั ตอ่ ไปน้ี

1.  1 du = sin–1 u + c
1− u2

สื่อและแหล่งการเรียนรู้

1. หนงั สือแคลคูลสั พ้นื ฐาน หน่วยท่ี 7
2. แบบสอบถามตามกิจกรรมท่ีมอบหมาย
3. แบบทดสอบและแบบประเมินพฤติกรรม หน่วยท่ี 7
4. แหลง่ สืบคน้ ขอ้ มลู หอ้ งสมุดวทิ ยาลยั ศูนยว์ ิทยบริการ หอ้ ง Internet

55

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 7 แคลคูลสั 1 รหสั 30000–1404

กจิ กรรมการเรียนรู้ (สัปดาห์ท่ี 12/18 คาบที่ 34–36/54)

1. ครูขานช่ือผเู้ รียน และเตรียมความพร้อมในการเรียน
2. ครูทบทวนเน้ือหา (ใหข้ อ้ มลู ยอ้ นกลบั )
3. นกั ศึกษาทาแบบทดสอบก่อนเรียนหน่วยที่ 7
4. ครูสอนเน้ือหาสาระ หวั ขอ้ 7.1 -7.3
5. นกั ศึกษาทาแบบฝึกหดั บางขอ้ ขณะทาแบบฝึกหดั ครูจะสังเกตการณ์ทางาน
6. ครูและนกั ศึกษาร่วมกนั เฉลยแบบฝึกหดั และร่วมอภิปรายสรุปบทเรียน
7. มอบหมายงาน

กจิ กรรมการเรียนรู้ (สัปดาห์ที่ 13/18 คาบที่ 37–39/54) (ต่อ)

1. ครูขานชื่อผเู้ รียน และเตรียมความพร้อมในการเรียน
2. ครูทบทวนเน้ือหา (ใหข้ อ้ มูลยอ้ นกลบั )
3. ครูสอนเน้ือหาสาระ หวั ขอ้ 7.4-7.5
4. นกั ศึกษาทาแบบฝึ กหดั บางขอ้ ขณะทาแบบฝึกหดั ครูจะสังเกตการณ์ทางาน
5. ครูและนกั ศึกษาร่วมกนั เฉลยแบบฝึกหดั บางขอ้ และร่วมอภิปรายสรุปบทเรียน
6. มอบหมายงาน
7. นกั ศึกษาทาแบบทดสอบหลงั เรียนหน่วยที่ 7

การวดั ผลและประเมนิ ผล

การวัดผล การประเมินผล

(ใชเ้ คร่ืองมือ) (นาผลเทียบกบั เกณฑแ์ ละแปลความหมาย)

1. แบบทดสอบก่อนเรียน (Pre–test) หน่วยที่ 7 (ไวเ้ ปรียบเทียบกบั คะแนนสอบหลงั เรียน)

2. แบบสังเกตการทางานกลุ่มและการนาเสนอผลงานกลุ่ม เกณฑผ์ า่ น 60%

3. แบบฝึกหดั ในหน่วยที่ 7 เกณฑผ์ า่ น 50%

4. แบบทดสอบหลงั เรียน (Post–test) หน่วยท่ี 7 เกณฑผ์ า่ น 50%

5. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ตามสภาพจริง เกณฑผ์ า่ น 60%

งานท่มี อบหมาย

1. ใหน้ กั ศึกษาทาแบบฝึกหดั ใหส้ มบูรณ์เป็นการบา้ น ส่งในการเรียนคร้ังท่ี 14
2. ใหน้ กั ศึกษาคน้ ควา้ ตวั อยา่ งการประยกุ ตใ์ ช้อินทิกรัลในวิชาชีพของนกั ศึกษาอยา่ งนอ้ ย 3 ขอ้

56

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 7 แคลคลู สั 1 รหสั 30000–1404

ผลงาน/ชิ้นงาน/ความสาเร็จของผ้เู รียน

1. คะแนนจากแบบฝึกหัดในหน่วยท่ี 7
2. คะแนนแบบทดสอบหลงั เรียน (Post–test) หน่วยท่ี 7

(สาหรับผสู้ อบไมผ่ า่ นเกณฑ์ ใหท้ บทวนและสอบซ่อมในคร้ัง/นดั หมายคร้ังต่อไป)
3. การตรวจจากงานท่ีมอบหมาย

เอกสารอ้างองิ

1. หนงั สือเรียนวิชาแคลคูลสั พ้ืนฐาน รหสั วชิ า 3000–1406
2. เวบ็ ไซตแ์ ละสื่อส่ิงพิมพท์ ่ีเกี่ยวขอ้ งกบั เน้ือหาบทเรียน

บนั ทกึ หลงั การสอน

1. ผลการใช้แผนการจดั การเรียนรู้

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

2. ผลการเรียนของนักเรียน/ผลการสอนของครู/ปัญหาที่พบ

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

3. แนวทางการแก้ปัญหา

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

ลงชื่อ............................................... ลงชื่อ...............................................

ตวั แทนนกั ศึกษา ครูผสู้ อน

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 8 57

ช่ือวชิ า แคลคูลสั 1 รหสั 30000–1404 หน่วยที่ 8
ชื่อหน่วย เทคนิคการอินทิเกรต
ชื่อเร่ือง เทคนิคการอินทิเกรต เวลาเรียนรวม 54 คาบ
สอนคร้ังท่ี 14–15/18
จานวน 6 คาบ

8.1 เทคนิคการอินทิเกรตฟังกช์ นั ตรีโกณมิติที่มีรูปแบบเฉพาะ
8.2 เทคนิคการอินทิเกรตโดยการแทนค่าดว้ ยฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ
8.3 เทคนิคการอินทิเกรตโดยการทาเป็นเศษส่วนยอ่ ย
8.4 เทคนิคการอินทิเกรตโดยการแยกส่วน

ดาเนินการเกี่ยวกบั อินทิเกรตและประยกุ ตใ์ ชใ้ นงานอาชีพ

ดา้ นความรู้ และทกั ษะการคดิ คานวณ แกป้ ัญหา
1. หาอินทิกรัลของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติท่ีมีรูปแบบ sinm ucosnudu ได้
2. หาอินทิกรัลของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติที่มีรูปแบบ  tanm usecnudu ได้
3. หาอินทิกรัลของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติท่ีมีรูปแบบ cotm ucscnudu ได้
4. หาอินทิกรัลของฟังกช์ นั พชี คณิตโดยการแทนคา่ ดว้ ยฟังกช์ นั ตรีโกณมิติได้
5. หาอินทิกรัลของฟังกช์ นั ตรรกยะโดยการทาเป็นเศษส่วนยอ่ ยได้
6. หาอินทิกรัลของฟังกช์ นั โดยการแยกส่วนได้
ดา้ นคุณธรรม จริยธรรม/บูรณาการปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง/ คา่ นิยม

ตรงตอ่ เวลา มีวินยั มีความรับผิดชอบ ละเอียดรอบคอบ ทางานเรียบร้อย สนใจใฝ่ รู้ มีความ
ซื่อสัตย์ ขยนั หมนั่ เพียร ไม่หยดุ นิ่งที่จะแกป้ ัญหา

58

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 8 แคลคูลสั 1 รหสั 30000–1404

8.1 เทคนิคการอนิ ทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิตทิ ่มี ีรูปแบบเฉพาะ

ในการจดั รูปแบบฟังกช์ นั ใหม่น้นั จาเป็นตอ้ งอาศยั ความรู้เรื่องเอกลกั ษณ์ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ
ดงั ตอ่ ไปน้ี

1. sin2 u + cos2 u = 1
2. tan2 u +1 = sec2 u

3. cot2 u +1 = csc2 u
1 cos 2u
4. sin2 u = − 2

5. cos2 u = 1 + cos 2u
2
นอกจากเอกลกั ษณ์ตรีโกณมิติดงั กล่าวขา้ งตน้ แลว้ ตอ้ งอาศยั สูตรการหาค่าเชิงอนุพนั ธ์และสู ตร

การหาอินทิกรัลดงั ต่อไปน้ี

1. cosudu = d(sin u)

2. sinudu = −d(cosu)

3. sec2 udu = d(tan u)

4. csc2 udu = −d(cot u)

5. secutanudu = d(secu)

6. cscucotudu = −d(cscu)

7.  undu = u n+1 + c เม่ือ n  1
n +1
1
8.  u−1du =  u du = ln u + c

8.2 เทคนคิ การอนิ ทเิ กรตโดยการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

การอินทิเกรตโดยการแทนค่าดว้ ยฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ (Trigonometric Substitutions) เป็ นวิธีการ

หาอินทิกรัลของฟังกช์ นั พีชคณิต ซ่ึงแบ่งออกเป็น 3 กรณี ดงั น้ี

กรณีท่ี 1 การอินทิเกรตฟังก์ชนั ที่อยู่ในรูป a2 − x2 เม่ือ a เป็ นค่าคงที่ และ a > 0 ในการ

แทนคา่ a2 − x2 ดว้ ยฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ สามารถดาเนินการได้ 2 วธิ ี

กรณที ่ี 2 การอินทิเกรตฟังก์ชนั ท่ีอยู่ในรูป a2 + x2 เม่ือ a เป็ นค่าคงท่ี และ a > 0 ในการ

แทนค่า a2 + x2 ดว้ ยฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ สามารถดาเนินการได้ 2 วิธี

กรณีที่ 3 การอินทิเกรตฟังกช์ นั ท่ีอยใู่ นรูป x2 − a2 เม่ือ a เป็นค่าคงท่ี และ a > 0

ในทานองเดียวกนั การแทนคา่ x2 − a2 ดว้ ยฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ ก็สามารถดาเนินการได้ 2 วธิ ี

59

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 8 แคลคูลสั 1 รหสั 30000–1404

8.3 เทคนิคการอนิ ทเิ กรตโดยการทาเป็ นเศษส่วนย่อย

การอินทิเกรตโดยการทาเป็ นเศษส่ วนย่อย (Integration by Partial Fractions) เป็ นเทคนิ ค

อินทิเกรตท่ีนามาใช้ในการหาอินทิกรัลฟังก์ชนั ตรรกยะ ท่ีไม่สามารถอินทิเกรตด้วยการให้สูตรอินทิเกรต

พ้ืนฐานทว่ั ไปได้ การอินทิเกรตโดยการทาเป็นเศษส่วนยอ่ ย เป็นการแยกฟังกช์ นั ตรรกยะท่ีตอ้ งการอินทิเกรต

ใหเ้ ป็นผลบวกของเศษส่วนยอ่ ยก่อนแลว้ จึงอินทิเกรต

8.4 เทคนิคการอนิ ทเิ กรตโดยการแยกส่วน

การอินทิเกรตโดยการแยกส่วน (Integration by Parts) เป็นเทคนิคการอินทิเกรตท่ีนามาใชใ้ นการ

หาอินทิกรัลของฟังกช์ นั ที่อยใู่ นรูปผลคณู เช่น xlnx, xex, x2 lnx เป็นตน้

สูตรการอินทิเกรตโดยการแยกส่วน พฒั นามาจากสูตรการหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ท่ีอย่ใู นรูปผล

คูณนนั่ คือ

ถา้ กาหนดให้ f(x) และ g(x) เป็นฟังกช์ นั ท่ีหาอนุพนั ธ์ท่ี x ได้ และจะไดว้ า่
ddx [f(x)g(x)] = f(x)g(x) +g(x)f(x)
จดั รูปสมการใหม่ จะได้
d
f (x)g(x) = dx [f (x)g(x)] − g(x)f (x )

อินทิเกรตเทียบกบั x ท้งั สองขา้ งจะได้
d
 f (x)g(x)dx =  dx [f (x)g(x)]dx −  g(x )f (x)dx

เน่ืองจาก  d [f (x)g(x )]dx = f (x)g(x) + c
dx
ดงั น้นั f(x)g(x)dx = f(x)g(x) + g(x)f(x)dx (1)

ถา้ ให้ u = f(x) และ v = g(x)

จะได้ du = f(x)dx และ dv = g(x)dx

แทนในสมการ (1) จะไดส้ ูตรการอินทิเกรตโดยการแยกส่วน ดงั น้ี

 udv = uv −  vdu

สื่อและแหล่งการเรียนรู้

1. หนงั สือแคลคูลสั พ้นื ฐาน หน่วยท่ี 8
2. แบบสอบถามตามกิจกรรมท่ีมอบหมาย
3. แบบทดสอบและแบบประเมินพฤติกรรม หน่วยท่ี 8
4. แหลง่ สืบคน้ ขอ้ มูลหอ้ งสมุดวทิ ยาลยั ศนู ยว์ ิทยบริการ หอ้ ง Internet

60

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 8 แคลคูลสั 1 รหสั 30000–1404

กจิ กรรมการเรียนรู้ (สัปดาห์ท่ี 14/18 คาบที่ 40–42/54)

1. ครูขานชื่อผเู้ รียน และเตรียมความพร้อมในการเรียน
2. ครูทบทวนเน้ือหา (ใหข้ อ้ มูลยอ้ นกลบั )
3. นกั ศึกษาทาแบบทดสอบก่อนเรียนหน่วยท่ี 8
4. ครูสอนเน้ือหาสาระ หวั ขอ้ 8.1-8.2
5. นกั ศึกษาทาแบบฝึกหดั บางขอ้ ขณะทาแบบฝึกหดั ครูจะสงั เกตการณ์ทางาน
6. ครูและนกั ศึกษาร่วมกนั เฉลยแบบฝึกหดั และร่วมอภิปรายสรุปบทเรียน
7. มอบหมายงาน

กจิ กรรมการเรียนรู้ (สัปดาห์ท่ี 15/18 คาบท่ี 43–45/54) (ต่อ)

1. ครูขานชื่อผเู้ รียน และเตรียมความพร้อมในการเรียน
2. ครูทบทวนเน้ือหา (ใหข้ อ้ มูลยอ้ นกลบั )
3. ครูสอนเน้ือหาสาระ หวั ขอ้ 8.3-8.4
4. นกั เรียนทาแบบฝึกหดั ขณะทาแบบฝึกหดั ครูจะสงั เกตการณ์ทางาน
5. ครูและนกั ศึกษาร่วมกนั เฉลยแบบฝึกหดั บางขอ้ และร่วมอภิปรายสรุปบทเรียน
6. มอบหมายงาน
7. นกั ศึกษาทาแบบทดสอบหลงั เรียนหน่วยที่ 8

การวัดผลและประเมนิ ผล

การวัดผล การประเมินผล

(ใชเ้ ครื่องมือ) (นาผลเทียบกบั เกณฑแ์ ละแปลความหมาย)

1. แบบทดสอบก่อนเรียน (Pre–test) หน่วยท่ี 8 (ไวเ้ ปรียบเทียบกบั คะแนนสอบหลงั เรียน)

2. แบบสังเกตการทางานกลุ่มและการนาเสนอผลงานกลุ่ม เกณฑผ์ า่ น 60%

3. แบบฝึกหดั ในหน่วยท่ี 8 เกณฑผ์ า่ น 50%

4. แบบทดสอบหลงั เรียน (Post–test) หน่วยที่ 8 เกณฑผ์ า่ น 50%

งานท่ีมอบหมาย

1. ใหน้ กั ศึกษาทาแบบฝึกหดั ใหส้ มบรู ณ์เป็นการบา้ น ส่งในการเรียนคร้ังที่ 16
2. ใหน้ กั ศึกษาคน้ ควา้ ตวั อยา่ งการประยกุ ตใ์ ช้อินทิกรัลในวิชาชีพของนกั ศึกษาอยา่ งนอ้ ย 3 ขอ้

61

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 8 แคลคูลสั 1 รหสั 30000–1404

ผลงาน/ชิ้นงาน/ความสาเร็จของผู้เรียน

1. คะแนนจากแบบฝึกหดั ในหน่วยที่ 8 2. คะแนนแบบทดสอบหลงั เรียน (Post–test)

(สาหรับผสู้ อบไม่ผา่ นเกณฑ์ ใหท้ บทวนและสอบซ่อมในคร้ัง/นดั หมายคร้ังต่อไป)

3. ผลจากการนาเสนอสาระสาคญั 4. การตรวจจากงานท่ีมอบหมาย

เอกสารอ้างองิ

1. หนงั สือเรียนวิชาแคลคลู สั พ้นื ฐาน รหสั วชิ า 3000–1406
2. เวบ็ ไซตแ์ ละสื่อสิ่งพิมพท์ ่ีเก่ียวขอ้ งกบั เน้ือหาบทเรียน

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 9 หน่วยท่ี 9

ช่ือวชิ า แคลคลู สั 1 รหสั 30000–1404 เวลาเรียนรวม 54 คาบ
ช่ือหน่วย การอินทิกรัลจากดั เขตและการประยกุ ต์ สอนคร้ังท่ี 16–17/18
ชื่อเร่ือง การอินทิกรัลจากดั เขตและการประยกุ ต์ จานวน 6 คาบ

9.1 อินทิกรัลจากดั เขต
9.2 การประยกุ ตอ์ ินทิกรัลจากดั เขต

ดาเนินการเก่ียวกบั อินทิกรัลจากดั เขตและประยกุ ตใ์ ชใ้ นงานอาชีพ

ดา้ นความรู้ และทกั ษะการคิดคานวณ แกป้ ัญหา
1. อธิบายความหมายของอินทิกรัลจากดั เขตได้
2. บอกนิยามของอินทิกรัลจากดั เขตได้

62

3. บอกสมบตั ิของอินทิกรัลจากดั เขตได้
4. อธิบายทฤษฎีบนหลกั มลู ของแคลคลู สั ได้
5. หาพ้ืนที่ระหวา่ งกราฟบนแกนพกิ ดั ฉาก xy โดยใชอ้ ินทิกรัลจากดั เขตได้
6. หาปริมาตรรูปทรงตนั ที่เกิดจากการหมุนพ้ืนท่ีรอบแกนโดยวธิ ีแบบจานได้
7. หาปริมาตรรูปทรงตนั ท่ีเกิดจากการหมุนพ้ืนท่ีรอบแกนโดยวิธีแบบเปลือกได้
ดา้ นคณุ ธรรม จริยธรรม/บูรณาการปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง/ 3D

ตรงต่อเวลา มีวนิ ยั มีความรับผดิ ชอบ ละเอียดรอบคอบ ทางานเรียบร้อย สนใจใฝ่ รู้ มีความ
ซ่ือสัตย์ ขยนั หมนั่ เพยี ร ไม่หยดุ นิ่งที่จะแกป้ ัญหาและละเวน้ ส่ิงเสพติด

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 9 แคลคูลสั 1 รหสั 30000–1404

9.1 อนิ ทกิ รัลจากดั เขต

9.1.1 นิยามอินทิกรัลจากดั เขต

นิยามที่ 9.1.1 กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนช่วง [a, b] แบง่ ช่วง [a, b]

ออกเป็น n ช่วง มีจุดแบ่งช่วงเป็น

a = x0  x1  x2  x3  x4 ...  xn = b

โดยมีความกวา้ งแต่ละช่วงเท่ากบั xi = xi − xi−1 เมื่อ i = 1, 2, 3, …, n

และ x*i เป็นคา่ ใด ๆ บนช่วง [xi–1, xi] เมื่อ i = 1, 2, 3, …, n
n
ถา้ nl→imS*n = lim f (x * )x i มีคา่ เดียวกนั สาหรับทุกคา่ x*i ท่ีเลือก
 i
n→
i=1

จะกล่าวว่า f เป็ นฟังก์ชนั ที่หาอินทิกรัลไดแ้ ละเรียกลิมิตดงั กล่าวว่า

อินทิกรัลจากดั เขตของ f จาก a ถึง b เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์

ba f (x)dx



ดงั น้นั ba f (x)dx = nl→imS*n



หรือ ba f (x)dx = nl→im n f (x*i )x i

 

b i=1

สญั ลกั ษณ์ a f (x)dx จะเรียก a วา่ ลิมิตลา่ ง (Lower Limit)

และเรียก b วา่ ลิมิตบน (Upper Limit)

63

9.1.2 สมบตั ิของอินทิกรัลจากดั เขต (Properties of Definite Integrals)

ถา้ f(x) และ g(x) มีความต่อเน่ืองบน [a, b] แลว้ จะไดว้ า่

1. aa f (x)dx =0



2. b f (x)dx = − a f (x )dx
ab
 

3. b cf (x )dx = c b f (x)dx ; เม่ือ c เป็นค่าคงที่
aa
 

 4.b b f (x)dx b
f (x)  g(x) =  g( x )dx
  
a aa
c b b
5. f (x)dx + f (x)dx = a f (x)dx ; เม่ือ a < c < b
ac  

9.1.3 ทฤษฎีบนหลกั มลู ของแคลคลู สั (Fundamental Theorem of Calculus)

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 9 แคลคลู สั 1 รหสั 30000–1404

9.2 การประยุกต์อนิ ทิกรัลจากดั เขต
การประยกุ ตอ์ ินทิกรัลที่จะกล่าวตอ่ ไปน้ี เป็นการกล่าวถึงประโยชนข์ องอินทิกรัลเก่ียวกบั การนา

ความรู้อินทิกรัลไปใชใ้ นการหาพ้ืนท่ีระหว่างกราฟบนระบบพิกดั ฉาก และการหาปริมาตรรูปทรงตนั ท่ีเกิด
จากการหมุน ซ่ึงจะกล่าวตามลาดบั ดงั น้ี

9.2.1การหาพ้ืนท่ีระหวา่ งกราฟ
1. การหาพ้ืนท่ีระหวา่ งกราฟกบั แกน x เป็นการประยกุ ตอ์ ินทิกรัลจากดั เขตเพื่อหาพ้ืนที่

ระหวา่ งกราฟใด ๆ บนระนาบ xy โดยสรุปแยกเป็น 3 กรณี
9.2.2การหาปริมาตรรูปทรงตนั ท่ีเกิดจากการหมนุ พ้นื ท่ีรอบแกน

สื่อและแหล่งการเรียนรู้

1. หนงั สือแคลคลู สั พ้ืนฐาน หน่วยที่ 9
2. แบบสอบถามตามกิจกรรมที่มอบหมาย
3. แบบทดสอบและแบบประเมินพฤติกรรม หน่วยท่ี 9
4. แหลง่ สืบคน้ ขอ้ มลู หอ้ งสมุดวทิ ยาลยั ศูนยว์ ทิ ยบริการ หอ้ ง Internet

กจิ กรรมการเรียนรู้ (สัปดาห์ท่ี 16/18 คาบท่ี 46–48/54)

1. ครูขานช่ือผเู้ รียน และเตรียมความพร้อมในการเรียน
2. ครูทบทวนเน้ือหา (ใหข้ อ้ มูลยอ้ นกลบั ) เป็นภาพรวมท้งั รายวชิ า ใชถ้ ามตอบเพือ่ ระลึกได้
3. ครูสอนเน้ือหาสาระ หวั ขอ้ 9.1
4. มอบหมายงาน

64

กจิ กรรมการเรียนรู้ (สัปดาห์ที่ 17/18 คาบท่ี 49–51/54) (ตอ่ )

1. ครูขานช่ือผเู้ รียน และเตรียมความพร้อมในการเรียน
2. ครูทบทวนเน้ือหา (ใหข้ อ้ มูลยอ้ นกลบั ) เป็นภาพรวมท้งั รายวิชา ใชถ้ ามตอบเพอ่ื ระลึกได้
3. ครูสอนเน้ือหาสาระ หวั ขอ้ 9.2
4. ทดสอบหลงั เรียน
5. มอบหมายงาน

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 9 แคลคูลสั 1 รหสั 30000–1404

การวดั ผลและประเมนิ ผล

การวัดผล (ใชเ้ ครื่องมือ) การประเมินผล

(นาผลเทียบกบั เกณฑแ์ ละแปลความหมาย)

1. แบบทดสอบก่อนเรียน (Pre–test) หน่วยที่ 9 (ไวเ้ ปรียบเทียบกบั คะแนนสอบหลงั เรียน)

2. แบบสังเกตการทางานกลุ่มและการนาเสนอผลงานกลุ่ม เกณฑผ์ า่ น 60%

3. แบบฝึกหดั ในหน่วยท่ี 9 เกณฑผ์ า่ น 50%

4. แบบทดสอบหลงั เรียน (Post–test) หน่วยท่ี 9 เกณฑผ์ า่ น 50%

งานทม่ี อบหมาย

1. ใหน้ กั ศึกษาทาแบบฝึกหดั ใหส้ มบรู ณ์เป็นการบา้ น ส่งในการเรียนคร้ังที่ 18
2. ใหน้ กั ศึกษาคน้ ควา้ ตวั อยา่ งการประยกุ ตใ์ ช้อินทิกรัลจากดั เขตในวิชาชีพ อยา่ งนอ้ ย 3 ขอ้
3. ทบทวนเน้ือหาเพ่ือเตรียมสอบวดั ผลสัมฤทธ์ิปลายภาคเรียน

ผลงาน/ชิน้ งาน/ความสาเร็จของผ้เู รียน

1. คะแนนจากแบบฝึกหดั ในหน่วยที่ 9 2. คะแนนแบบทดสอบหลงั เรียน (Post–test)

(สาหรับผสู้ อบไม่ผา่ นเกณฑ์ ใหท้ บทวนและสอบซ่อมในคร้ัง/นดั หมายคร้ังต่อไป)

3. ผลจากการนาเสนอสาระสาคญั 4. การตรวจจากงานที่มอบหมาย

เอกสารอ้างองิ

1. หนงั สือเรียนวิชาแคลคูลสั พ้ืนฐาน รหสั วชิ า 3000–1406
2. เวบ็ ไซตแ์ ละส่ือสิ่งพมิ พท์ ี่เก่ียวขอ้ งกบั เน้ือหาบทเรียน

65