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Published by , 2018-12-23 08:04:57

28-series[1]

28-series[1]

Séries numériques

Plan du chapitre

1 Généralités sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2

1.1 Etude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
1.3 Reste à l’ordre n d’une série convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 4
1.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 5
1.5 Lien suites-séries. Séries télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 6

2 Séries de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 7

2.1 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 7
2.2 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 8

3 Etude des séries à termes réels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 11

3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 11
3.2 Utilisation des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 11

4 Comparaison séries-intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 13
5 Séries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 14

5.1 Les suites (u+n ) et (un−) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 14
5.2 Définition de la convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 14
5.3 Application à la convergence d’une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 15
5.4 Exemples de séries semi-convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 16

c Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr

1 Généralités sur les séries

1.1 Etude d’un exemple

Un des paradoxes de Zénon d’élée (≈ 450 av. J.-C.) était le suivant : pour parcourir une certaine distance, il faut
d’abord en parcourir la moitié, puis il faut parcourir la moitié de la moitié restante, puis il faut parcourir la moitié de la
moitié de la moitié restante, . . . Nous ne parviendrons donc jamais à franchir cette distance.

1 1 = 1 × 1 1 11
2 4 2 2 8 16 32

1

Il manquait à Zénon d’élée une vision claire de l’infini. Pour nous aujourd’hui, un segment de longueur non nulle est
composé d’une infinité de points ou plus généralement d’une infinité de morceaux sans que cela ne nous pose de problème
particulier :

1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ...
2 4 8 16

Que signifient précisément les pointillés ? Au bout d’une étape, la longueur est S1 = 1. Au bout de deux étapes, la longueur
2
1 1.
est S2 = 2 + 4 Au bout de n étapes, la longueur est

1 1 1 n 1 1 1 − 1 1
2 22 2n 2k 2 2n 2n
Sn = + + ... + = = × = 1 − .
1− 1
k=1 2

(Cette dernière égalité était immédiate car, après la n-ème étape, il reste la dernière moitié de moitié de . . . de moitié à
franchir pour obtenir 1). Maintenant,

n 1 1
2k 2n
lim Sn = lim = lim 1 − = 1.

n→+∞ n→+∞ k=1 n→+∞

1 est donc la somme infinie des nombres 1 , 1 , 1 , 1 , . . . ou encore
2 4 8 16

+∞ 1
2k
1 = .

k=1

1.2 Définitions

On généralise la démarche précédente :

n

Définition 1. Soit (un)n∈N ∈ CN. Pour n ∈ N, on pose Sn = uk.

k=0

La série de terme général un est la suite (Sn)n∈N.
Sn est la somme partielle de rang n de la série de terme général un.

Quand on connaît la suite (Sn)n∈N, on peut récupérer le terme général un de la série :

n

Théorème 1. Soit (un)n∈N ∈ CN. Pour n ∈ N, on pose Sn = uk.

k=0

Alors, u0 = S0 et pour tout n ∈ N∗, un = Sn − Sn−1.

n n(n + 1) ,
2
Exemple. Si pour tout n ∈ N, uk = alors u0 = 0 et pour n 1,

k=0

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n n−1 n(n + 1) (n − 1)n n+1 − n−1
2 2 22
un = uk − uk = − = n = n,

k=0 k=0

ce qui reste vrai pour n = 0. ❏

n

Définition 2. Soit (un)n∈N ∈ CN. Pour n ∈ N, on pose Sn = uk.

k=0

La série de terme général un, n ∈ N, converge si et seulement si la suite des somme partielles (Sn)n∈N converge.
La série de terme général un est dite divergente dans le cas contraire.

n

Si la série de terme général un converge, la somme de la série est S = lim Sn = lim uk. Elle se note

n→+∞ n→+∞ k=0

+∞

S = uk.

k=0

Un premier résultat est :

Théorème 2. Soit (un)n∈N ∈ CN.

Si la série de terme général un converge, alors lim un = 0.

n→+∞

Si la suite (un)n∈N ne converge pas vers 0, alors la série de terme général un diverge.

n

Démonstration . Pour n ∈ N, posons Sn = uk. Pour n ∈ N∗, on a un = Sn − Sn−1. Si la suite (Sn)n∈N converge vers un

k=0

certain nombre (réel ou complexe) S, alors un tend vers S − S = 0.

Par contraposition, si un ne tend pas vers 0 quand n tend vers +∞, alors la suite (Sn)n∈N diverge ou encore la série de terme général
un, n ∈ N, diverge.



Définition 3. Soit (un)n∈N ∈ CN.

On dit que la série de terme général un est grossièrement divergente si et seulement si un ne tend pas vers 0
quand n tend vers +∞.

Par exemple, si pour tout n ∈ N, un = (−1)n, alors la série de terme général un est grossièrement divergente car (−1)n
ne tend pas vers 0 quand n tend vers +∞.

Etudions maintenant deux séries célèbres non grossièrement divergentes.

Exemple 1. Pour n ∈ N∗, posons un = 1 (et u0 = 0 si on tient absolument à travailler avec une suite définie sur N).
n
Puisque un → 0, la série de terme général un n’est pas grossièrement divergente.

n→+∞

Vérifions que la série de terme général un est divergente. Soit k ∈ N∗. La fonction t → 1 est continue et décroissante sur
t
1 1
]0, +∞[ et en particulier sur [k, k + 1]. Pour tout t ∈ [k, k + 1], on a t k et on en déduit que

k+1 1 k+1 1 dt = 1 (k + 1 − k) = 1 .
dt kk k k

kt

Soit n ∈ N∗. En additionnant membre à membre les inégalités précédentes quand k varie de 1 à n, on obtient

n1 n k+1 1 dt = n+1 1 dt = ln(n + 1).
k k=1 k t 1t

k=1

n 1
k
Puisque ln(n + 1) → +∞, on en déduit que → +∞. Ainsi,

n→+∞ k=1 n→+∞

la série de terme général 1 , n ∈ N∗, diverge.
n

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Exemple 2. Pour n ∈ N∗, posons un = 1 . Puisque un → 0, la série de terme général un n’est pas grossièrement
n2
n→+∞

divergente.

n n 1
k2
Pour n ∈ N∗, posons Sn = uk = .

k=1 k=1

• Pour n ∈ N∗, Sn+1 − Sn = 1 et en particulier, Sn+1 − Sn 0. La suite (Sn)n∈N est croissante.
(n + 1)2

• Soit n 2. Pour k ∈ 2, n , 1 = 1 1 1) = k 1 1 − 1 . En additionnant membres à membre ces inégalités,
k2 k×k k(k − − k

on obtient :

n 1 n 1
k2 k2
= 1 +

k=1 k=2

n k 1 1 − 1
− k
1+

k=2

= 1 +1 − 1 (somme télescopique)
n

= 2 − 1
n

2.

En résumé, la suite (Sn)n∈N∗ est croissante et majorée par le réel 2. On en déduit que la suite (Sn)n∈N∗ converge ou encore
que

la série de terme général 1 , n ∈ N∗, converge.
n2



1.3 Reste à l’ordre n d’une série convergente

On suppose dans ce paragraphe que la série de terme général un, n ∈ N, converge. On note S la somme de la série de
terme général un, n ∈ N :

+∞

S = uk.

k=0

n +∞

Pour n entier naturel donné, la somme partielle Sn = uk n’est pas, en général, la « somme complète » S = uk. La

différence entre les deux est k=0 k=0

p +∞

Rn = S − Sn = lim (Sp) − Sn = lim (Sp − Sn) = lim uk = uk.

p→+∞ p→+∞ p→+∞ k=n+1 k=n+1

+∞

Définition 4. Soit (un)n∈N. Si la série de terme général uk, k ∈ N, converge, on pose S = uk.

k=0

Pour chaque entier naturel n, on peut définir Rn le reste à l’ordre n de la série de terme général un :

+∞

Rn = S − Sn = uk.

k=n+1

Pour tout entier naturel n, on a S = Sn + Rn.

On a presque immédiatement :

Théorème 3. Soit (un)n∈N. Si la série de terme général uk, k ∈ N, converge, alors la suite des restes (Rn)n∈N et
définie et converge vers 0.

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Démonstration . Puisque lim Sn = S, Rn = S − Sn tend vers S − S = 0 quand n tend vers +∞.
n→+∞



Exemple. Posons u0 = 0 et pour k ∈ N∗, posons uk = 1 (il s’agit de la suite étudiée dans le premier exemple du
2k
1
chapitre). Pour n ∈ N∗, on a Sn = 2n et S=1 puis

Rn = S − Sn = 1
2n

ou encore

+∞ 1 1
2k 2n .
=

k=n+1



1.4 Propriétés

Tout d’abord, la notion de convergence de la série de terme général un ne dépend pas de la valeur des premiers termes de
la suite (un)n∈N :

Théorème 4. Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites complexes. On suppose qu’il existe n0 ∈ N tel que pour n n0,
un = vn.

Alors, les séries de termes généraux respectifs un et vn, n ∈ N, sont de même nature (c’est-à-dire toutes deux
convergentes ou toutes deux divergentes.

nn

Démonstration . Pour n ∈ N, posons Un = uk et Vn = vk. Pour n n0,

k=0 k=0
n n0

Un − Vn = (uk − vk) = (uk − vk) = Un0 − Vn0 .

k=0 k=0

Ainsi, pour tout n n0, Un = Vn + Un0 − Vn0 et Vn = Un + Vn0 − Un0 . Ainsi, si la série de terme général un converge ou encore
si la suite (Un)n∈N converge alors la suite (Vn)n∈N converge ou encore la série de terme général vn converge et réciproquement.



Théorème 5. Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites complexes.

Si les séries de termes généraux respectifs un et vn convergent, alors pour tout (λ, µ) ∈ C2, la série de terme général
λun + µvn converge. De plus, en cas de convergence

+∞ +∞ +∞

(λun + µvn) = λ un + µ vn.

n=0 n=0 n=0

nn

Démonstration . Soit (λ, µ) ∈ C2. Pour n ∈ N, posons Un = uk et Vn = vk. Pour tout n ∈ N, on a

k=0 k=0

n nn

(λuk + µvk) = λ uk + µ vk = λUn + µVn.

k=0 k=0 k=0

+∞ +∞

Supposons que la série de terme général un converge vers U = uk et que la série de terme général vn converge vers V = vk.

k=0 k=0

Alors, la suite λ (Un) + µ (Vn) converge vers λU + µV ou encore la série de terme général λun + µvn converge vers λU + µV ce qui

s’écrit

+∞ +∞ +∞

(λuk + µvk) = λ uk + µ vk = λUn + µVn.

k=0 k=0 k=0



L’hypothèse : « les deux séries convergent » est essentielle. Pour n ∈ N, posons un = 1 et vn = −1. Pour tout
n n

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n

n ∈ N∗, on a un + vn = 0 puis, pour tout n ∈ N∗, (uk + vk) = 0. Donc, la série de terme général un + vn

k=1
converge et a pour somme 0. Par contre, la série de terme général un diverge de même que la série de terme général

+∞ 1−1 +∞ 1−1 = +∞ 1 − +∞ 1
nn nn nn
vn. Ainsi, on a le droit d’écrire = 0 mais on n’a pas le droit d’écrire

n=1 n=1 n=1 n=1

(qui « vaut » (+∞) − (+∞) et ne veut donc rien dire).

Théorème 6. Soit (un)n∈N une suite complexe.

La série de terme général un converge si et seulement si la série de terme général un converge. De plus, en cas de
convergence

+∞ +∞

un = un .

n=0 n=0

nn

Démonstration . Pour n ∈ N, posons Un = uk. Alors, pour n ∈ N, uk = Un. Si la série de terme général un converge

k=0 k=0

+∞ +∞

vers U = uk, on sait que la suite (Un) converge vers U ou encore la série de terme général un converge vers uk .

k=0 k=0



Théorème 7. Soit (un)n∈N une suite complexe.

La série de terme général un converge si et seulement si les séries de termes généraux respectifs Re (un) et Im (un)
convergent. De plus, en cas de convergence

+∞ +∞ +∞

un = Re (un) + i Im (un) .

n=0 n=0 n=0

Démonstration . Si les séries de termes généraux respectifs Re (un) et Im (un) convergent, alors la série de terme général
un = Re (un) + iIm (un) converge d’après le théorème 5 et de plus,

+∞ +∞ +∞

un = Re (un) + i Im (un) .

n=0 n=0 n=0

Réciproquement, si la série de terme général un converge, alors la série de terme général un converge d’après le théorème 6 puis les

séries de termes généraux respectifs Re (un) = 1 un + 1 un et Im (un) = 1 un − 1 un convergent.
2 2 2i 2i


1.5 Lien suites-séries. Séries télescopiques

Théorème 8. Soit (un)n∈N une suite complexe.
La suite (un)n∈N et la série de terme général un+1 − un sont de même nature (c’est-à-dire ou bien toutes deux
convergentes, ou bien toutes deux divergentes).

Démonstration . Pour n ∈ N, posons vn = un+1 − un. Pour n ∈ N,

nn

vk = (uk+1 − uk) = un+1 − u0 (somme télescopique).

k=0 k=0

n

Si la suite (un) converge vers un certain nombre complexe ℓ, alors vk → ℓ − u0. Ainsi, la série de terme général un+1 − un
n→+∞
k=0
converge.

Réciproquement, supposons que la série de terme général un+1 − un converge vers un certain nombre complexe S. Pour n ∈ N∗, on

n−1

a un = u0 + (uk+1 − uk) et donc, un → u0 + S. Ainsi, la suite (un) converge.
n→+∞
k=0



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Exercice 1. Montrer la convergence et déterminer la somme de la série de terme général un dans les deux cas suivants :

1) pour tout n ∈ N∗, un = 1 1) .
n(n +

2) pour tout n ∈ N∗, un = n(n + 1 + 2) .
1)(n

3) pour tout n ∈ N, un = Arctan 1 (on rappelle que si a 0 et b 0, Arctan a − Arctan b =
n2 + n + 1

Arctan a−b .)
1 + ab

Solution 1.

1) Pour n ∈ N∗, 1 = (n + 1) − n = 1 − 1 puis pour n ∈ N∗,
n(n + 1) n(n + 1) n n+1

n 1 n 1 1 1
k + +1
k(k + 1) = − k 1 = 1− n (somme télescopique).

k=1 k=1

2) Pour n ∈ N∗, 1 = 1 × (n + 2) − n = 1 1− 1 puis pour n ∈ N∗,
n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1)(n + 2) 2
n(n + 1) (n + 1)(n + 2)

n 1 =1 n 1− 1 =1 1− 1

k(k + 1)(k + 2) 2 k(k + 1) (k + 1)(k + 2) 2 2 (n + 1)(n + 2) (somme télescopique).

k=1 k=1

Quand n tend vers +∞, on obtient

+∞ 1 1
1)(k 4.
k(k + + 2) =

k=1

3) Pour n ∈ N, Arctan 1 = Arctan (n + 1) − n = Arctan(n + 1) − Arctan(n) puis pour n ∈ N,
n2 + n + 1 1 + n(n + 1)

n 1 n
k2 + k + 1
Arctan = (Arctan(k + 1) − Arctan(k)) = Arctan(n + 1) − Arctan(0)

k=0 k=0

= Arctan(n + 1) (somme télescopique).

Quand n tend vers +∞, on obtient

+∞ 1 = π .
k2 + k + 1 2
Arctan

k=0

2 Séries de référence

2.1 Séries géométriques

Théorème 9. Soit q ∈ C.
La série de terme général qn, n ∈ N, converge si et seulement si |q| < 1. De plus,

+∞ 1
1−q
∀q ∈ C, |q| < 1 ⇒ qn = .

n=0

Plus généralement, si (un)n∈N est une suite géométrique de raison q telle que |q| < 1,

+∞ u0
−q
un = 1 .

n=0

Démonstration . Soit q ∈ C. Si |q| 1, qn ne tend pas vers 0 quand n tend vers +∞. Dans ce cas, la série de terme qn,
n ∈ N, diverge grossièrement.

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Supposons maintenant |q| < 1. En particulier, q = 1 et pour n ∈ N,

1+ q + ... + qn = 1 − qn+1 .
1−q

n 1

Puisque |q| < 1, qn+1 → 0 puis qk → 1 .
n→+∞ q
k=0 n→+∞

Plus généralement, si (un)n∈N est une suite géométrique de raison q telle que |q| < 1,

+∞ +∞ u0

un = u0 qn = 1 q .

n=0 n=0



Quand on additionne les termes d’une suite géométrique, il y a le premier terme en facteur. Par exemple, pour la suite

1 ,
2n
n∈N∗

+∞ 1 = 1 × 1 1 = 1,
2n 2 1−

n=1 2

et pour la suite 9 ,
10n
n∈N∗

+∞ 9 = 9 × 1 1 = 1.
n=1 10n 10 1−

10

n 9
10k
On note que s’écrit 0, 9...9 puis, quand n tend vers +∞, 0, 9 . . . 9 . . . = 1.

k=1 n chiffres

2.2 Séries de Riemann

Théorème 9. Soit α ∈ R.

La série de terme général 1 , n ∈ N∗, converge si et seulement si α > 1.


n 1

Démonstration . Soit α ∈ R. Pour n ∈ N∗, posons Sn,α = .

k=1

n 1
k
• On a déjà vu que la suite Sn,1 = → +∞.

k=1 n→+∞

• Soit α 1. Pour k ∈ N∗, 1 1 puis pour n ∈ N∗, Sn,α Sn,1. On en déduit que Sn,α → +∞.
kα k n→+∞

• Soit α > 1. Pour n ∈ N∗, Sn+1,α − Sn,α = 1 0. Donc, la suite (Sn,α)n∈N∗ est croissante. Donc, la suite (Sn,α)n∈N∗ est
(n + 1)α

convergente si et seulement si la suite (Sn,α)n∈N∗ est majorée.

La fonction t→ 1 est continue et décroissante sur ]0, +∞[. Soit k 2.


1 = (k + 1 − k) × 1 k 1 dt
kα kα k−1 tα

puis, pour n 2,

n 1

Sn,α = 1 +

k=2

n k 1 dt = 1 + n 1 dt = 1+ − (α − 1 n
k−1 tα 1 tα 1)tα−1 1
1+

k=2

= 1 − (α − 1 + α 1 1
1)nα−1 −

1 + α 1 1 (car α −1 > 0).


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La suite (Sn,α)n∈N∗ est croissante et majorée par 1+ α 1 1 . Donc, la suite (Sn,α)n∈N∗ converge.




➱ Commentaire . Contrairement au cas des séries géométriques, nous n’avons pas fourni la valeur de la somme +∞ 1 quand

n=1 nα

α > 1. On est capable de calculer cette somme pour un nombre très restreint de valeurs de α et par exemple, dans l’exercice qui suit,

+∞ 1 π2 .
n2 6
on établit que =

n=1

+∞ 1
nα ,
La fonction ζ : α → ζ(α) = définie sur ]1, +∞[, s’appelle la fonction zeta de Riemann.

n=1

+∞ 1
n2
Exercice 2. Un calcul de .

n=1

1) Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout entier naturel non nul n, 1 = π at2 + bt cos(nt) dt.
n2 0

n  (2n + 1)t −1 si t ∈]0, π]
 sin 2 2

2) Montrer que ∀t ∈ [0, π], cos(kt) = 2 sin t .
k=1  n si t = 0 2

n 1 π (2n + 1)t dt − 1 π t2 − t
k2 2 2 0 2π
3) Montrer que pour tout n ∈ N∗, = g(t) sin dt où, pour tout t ∈ [0, π],

 k=1 0

t2 − t si t ∈]0, π]
g(t) = 2π

2 sin t .
2

−1 si t = 0

π (2n + 1)t f(t) dt = 0.
2
4) Soit f une fonction de classe C1 sur [0, π], montrer que lim sin

n→+∞ 0

5) Montrer que la fonction g est de classe C1 sur [0, π].

+∞ 1
n2
6) Calculer .

n=1

Solution 2.

1) Soient a et b deux réels. Soit n ∈ N∗. Deux intégrations par parties fournissent

π at2 + bt sin(nt) π π + b) sin(nt) = 1 π

at2 + bt cos(nt) dt = − (2at (2at + b)(− sin(nt)) dt
n 00 n n0
0

1 cos(nt) π π 1 cos(nt) π
= (2at + b) n − 2a cos(nt) dt = n2 (2at + b)
n n
00 0

= 1 ((2aπ + b)(−1)n − b) .
n2

puis

∀n ∈ N∗, π at2 + bt cos(nt) dt = 1 ⇔ ∀n 1, 1 ((2aπ + b)(−1)n − b) 1
0 n2 n2 n2

⇔ ∀n 1, (2aπ + b)(−1)n − b = 1

⇐ b = −1 et a = 1
2π .

Donc, ∀n 1, 1 = π t2 − t cos(nt) dt.
n2 0 2π

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2) Soit n ∈ N∗. Pour t ∈ [0, π],

2 sin t nn t n sin k + 1 t − sin k − 1 t
2 2
cos(kt) = 2 sin cos(kt) =
22
k=1 k=1 k=1

= sin n + 1 t − sin 1 t (somme télescopique)
2 2

= sin (2n + 1)t − sin t .
2 2

nn t = 0,
2
Si t = 0, cos(kt) = 1 = n et si t ∈]0, π], alors sin

k=1 k=1

n sin (2n + 1)t 1
2 sin 2 2.
cos(kt) = t −
2
k=1

3) Soit n 1.

n1 nπ t2 π t2 n
−t −t
k2 = cos(kt) dt = cos(kt) dt.
2π 0 2π
k=1 k=1 0 k=1

Si t ∈]0, π],

 (2n + 1)t 
sin
t2 n t2 2 1 (2n + 1)t −1 t2
2π − t 2π − t − = g(t) sin 2 2 2π − t .
cos(kt) =  2 sin t 2 
 

k=1 2

Cette dernière égalité reste vraie quand t = 0. Donc,

n 1= π (2n + 1)t dt − 1 π t2 − t dt.
k2 2 2 0 2π
g(t) sin
k=1
0

4) Soit n ∈ N∗. Puisque la fonction f est de classe C1 sur le segment [0, π], on peut effectuer une intégration par parties
qui fournit

 (2n + 1)t π

π (2n + 1)t cos 2  + 2 π (2n + 1)t
dt = f(t) × − 2n + 1  2n + 2
f(t) sin  f ′(t) cos
02  1
0

20

=2 π (2n + 1)t dt

f ′(t) cos
2n + 1 0 2

On en déduit que pour tout n 1, π (2n + 1)t dt 2 π
2 2n + 1
f(t) sin |f′(t)| dt puis que

0 0

lim π (2n + 1)t dt = 0.

f(t) sin 2
n→+∞ 0

t2 − t ∼ −t = −1 = g(0).
5) La fonction g est de classe C1 sur ]0, π] en vertu de théorèmes généraux. Ensuite, g(t) = 2π 2t
x→0
2 sin t 2
2

La fonction g est donc continue en 0 puis sur [0, π].

Pour tout réel t ∈]0, π], g′(t) = 1 × t − 1 sin t − t2 − t 1 cos t
2 π 2 2π 2 2
puis
t
sin2 2

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g′(t) = 1 × −1 + t t + o t2 − 1 −t + t2 (1 + o(t))
x→0 2 π 2 2 2π

2 t2 + o (t2)
4

− t + t + t2 + o t2 = 1 + o(1).
2 2 4π x→0 4π
= t2 + o (t2)

x→0

Ainsi, g ∈ C0([0, π], R) ∩ C1(]0, π], R) et g′ a une limite réelle en 0. D’après le théorème de la limite de la dérivée, la
fonction g est de classe C1 sur le segment [0, π].

6) Puisque la fonction g est de classe C1 sur le segment [0, π], la question 4) permet d’affirmer que
π
lim (2n + 1)t = 0 et donc
g(t) sin
n→+∞ 0 2

+∞ 1 −1 π t2 − t dt = − 1 t3 − t2 π = − 1 π3 − π2 π2
n2 2 0 6π 2 .
= 2π 2 6π 2 0 2 = 6

n=1

On a montré que

+∞ 1 π2 .
n2 6
=

n=1

3 Etude des séries à termes réels positifs

3.1 Généralités

Quand la suite (un)n∈N est une suite réelle, positive à partir d’un certain rang, on dispose d’un certain nombre de
techniques pratiques pour étudier la nature de la série de terme général un. Le point de départ est le théorème suivant :

Théorème 10. Soit (un)n∈N est une suite réelle, positive à partir d’un certain rang n0. Pour n ∈ N, on pose

n

Sn = uk.

k=0

1) La suite (Sn)n n0 est croissante.

2) La série de terme général un, n ∈ N, converge si et seulement si la suite des sommes partielles (Sn)n∈N est majorée.

+∞

Quand la suite des sommes partielles n’est pas majorée, Sn → +∞ et on peut écrire un = +∞.

n→+∞ n=0

Démonstration . Pour n n0, Sn+1 − Sn = un+1 0. Donc, la suite (Sn)n n0 est croissante ou encore la suite (Sn)n∈N est
croissante à partir d’un certain rang.

Donc, si la suite (Sn)n∈N est majorée, elle converge et si la suite (Sn)n∈N n’est pas majorée, Sn tend vers +∞ quand n tend vers
+∞.



➱ Commentaire . Si la suite (un)n∈N est réelle et négative à partir d’un certain rang, la suite (Sn)n∈N est décroissante puis
convergente si elle est minorée et de limite −∞ si elle n’est pas minorée.

3.2 Utilisation des relations de comparaison

Théorème 11. Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suite réelles telles que, à partir d’un certain rang n0, 0 un vn.
Si la série de terme général vn converge, alors la série de terme général un converge.
Si la série de terme général un diverge, alors la série de terme général vn diverge.

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nn

Démonstration . Pour n ∈ N, posons Un = uk et Vn = vk. Supposons que la série de terme général vn converge.

k=0 k=0

Notons V la somme de cette série. D’après le théorème 11, la suite (Vn)n n0 est croissante et on en déduit que pour n n0, Vn V.

Pour n > n0,

n0 n n0 n

Un = uk + uk uk + uk = Un0 + Vn − Vn0 Un0 − Vn0 + V.

k=0 k=n0 +1 k=0 k=n0 +1

La suite (un)n∈N est donc majorée. On en déduit que la série de terme général un converge d’après le théorème 10.



Théorème 12.

Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suite réelles, positives à partir d’un certain rang, telles que un = O (vn) ou

n→+∞

un = o (vn).

n→+∞

Si la série de terme général vn converge, alors la série de terme général un converge.
Si la série de terme général un diverge, alors la série de terme général vn diverge.

Démonstration . Si un = o (vn), alors un = O (vn). Il suffit donc de prouver le théorème quand un = O (vn) ce
n→+∞ n→+∞ n→+∞

que l’on fait.

Il existe un rang n0 et un réel positif M tel que 0 un Mvn. Si par hypothèse, la série de terme général vn converge, il en est de
même de la série de terme général Mvn. D’après le théorème 11, la série de terme général un converge.



Théorème 13.

Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suite réelles, positives à partir d’un certain rang, telles que un ∼ vn.

n→+∞

La série de terme général un converge si et seulement si la série de terme général vn converge (ou encore les séries de
termes généraux respectifs un et vn sont de même nature).

Démonstration . Si un ∼ vn, alors un = O (vn) et vn = O (un).
n→+∞ n→+∞ n→+∞

Donc, la série de terme général un converge si et seulement si la série de terme général vn converge.



➱ Commentaire . Dans les théorèmes qui précèdent, on a systématiquement l’hypothèse « un et vn sont positifs à partir d’un
certain rang ». On verra plus loin que cette hypothèse est indispensable. C’est ce qu’on analyse à travers différents exemples
ci-dessous.

Pour : pour tout n ∈ N∗, on a −1 1 et la série de terme général 1 converge. Pourtant, la série de terme général
n2 n2
−1 est grossièrement divergente. On ne peut donc pas supprimer l’hypothèse de signe dans le théorème 11.

Pour o et O : on verra à travers un exercice à la fin de ce chapitre, que la série de terme (−√1)n−1 converge. Or,
n

1 = o (−√1)n−1 (et aussi 1 = O (−√1)n−1 ) car (−1)n1/−n1/√n = √1 → 0 et d’autre part, la série de
n n→+∞ n n n→+∞ n n
n→+∞

terme général 1 diverge. On ne peut donc pas supprimer l’hypothèse de signe dans le théorème 12.
n

Pour ∼ : on verra dans le même exercice, que la série de terme général √n(+−1()−n1−)1n−1 diverge (et on rappelle que l’on

montrera que la série de terme général (−√1)n−1 converge . Pourtant, √n(+−1()−n1−)1n−1 ∼ (−√1)n−1 . On ne peut donc
n n
n→+∞

pas supprimer l’hypothèse de signe dans le théorème 13.

Exercice 3. Nature de la série de terme général

1) un = ln n2 + n + 1 et vn = ln n2 + n + 1 .
n2 − n + 1 n2 + n − 1

2) un = ln(n) et vn = √ 1 .
n2 n ln(n)

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Solution 3.

1) Puisque n2 +n+1 → 1,
n2 −n+1
n→+∞

ln n2 + n + 1 ∼ n2 +n + 1 − 1 = n2 2n ∼ 2 .
n2 − n + 1 n2 −n + 1 −n+1 n
n→+∞ n→+∞

Puisque la suite 2 est positive (et donc la suite (un) est positive à partir d’un certain rang) et que la série de
n
n∈N
2
terme général n diverge (série de Riemann d’exposant 1 1), la série de terme général un diverge.

Puisque n2 +n+1 → 1,
n2 +n−1
n→+∞

ln n2 + n + 1 ∼ n2 +n + 1 − 1 = n2 2 ∼ 2
n2 + n − 1 n2 +n − 1 −n+1 n2 .
n→+∞ n→+∞

Puisque la suite 2 est positive et que la série de terme général 2 diverge (série de Riemann d’exposant 2 > 1),
n2 n2
n∈N
la série de terme général un converge.

2) • Il est exact ln n est prépondérant devant 1 et que la série de terme général 1 converge. Mais ceci ne permet pas
n2 n2 n2
1 1 1 1 1
de conclure car par exemple, n3 et n sont prépondérants devant n2 mais les séries de termes généraux n3 et n sont

2 2
respectivement convergente et divergente.

Vérifions que ln(n) = o 1 . D’après un théorème de croissances comparées,
n2 n3
n→+∞
2

3 ln(n) ln(n)
n2 × = = = o(1),
n2 n1
2 n→+∞

et donc ln(n) =o 1 . Puisque les suites ln(n) et 1 sont positives et que la série de terme général 1

n2 n→+∞ n3 n2 n3 n3
2 2 2
3 ln(n)
converge (série de Riemann d’exposant 2 > 1), la série de terme général n2 converge.

• Vérifions que √1 ≫ 1 . D’après un théorème de croissances comparées,
n ln(n) n3
n→+∞
4

3 1 ln(n)
n4 × √ = = o(1),
n ln(n) n1
2 n→+∞

et donc √ 1 ≫o 1 . Puisque les suites √ 1 et 1 sont positives et que la série de terme général
n ln(n) n→+∞ n3 n ln(n) n3

1 4 3 4
n3 4 1), la série de terme général √ 1 converge.
diverge (série de Riemann d’exposant n ln(n)
4

4 Comparaison séries-intégrales

On va généraliser le travail effectué pour étudier la convergence des séries de Riemann. On se donne une fonction f
continue et décroissante sur [0, +∞[. Soit k 0. Puisque f est décroissante sur [k, k + 1], pour tout xde [k, k + 1], on a
f(x) f(k) et donc

k+1 k+1

f(x) dx f(k) dx = (k + 1 − k)f(k) = f(k).

k k

De même, pour k 1 et x ∈ [k − 1, k], f(k) f(x) et donc

k k

f(x) dx f(k) dx = (k − (k − 1))f(k) = f(k).

k−1 k−1

Illustrons ces inégalités par un graphique dans le cas où de plus, f est positive.

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f(k)
D D′

k−1 k k+1

k k+1

f(x) dx et f(x) dx sont respectivement l’aire, exprimée en unités d’aire, de D = {(x, y) ∈ R2/ k−1 x k et 0

k−1 k
y f(x)} et D′ = {(x, y) ∈ R2/ k x k + 1 et 0 y f(x)}. D’autre part, f(k) = (k − (k − 1))f(k) = (k + 1 − k)f(k)

est l’aire du rectangle R de sommets (k − 1, 0), (k, 0), (k, f(k)) et (k − 1, f(k)) et aussi l’aire du rectangle R′ de sommets

(k, 0), (k + 1, 0), (k + 1, f(k)) et (k, f(k)).

k

L’inégalité f(x) dx f(k) s’interprète graphiquement par le fait que l’aire de D est supérieure à l’aire de R et

k−1
k+1

l’inégalité f(x) dx f(k) s’interprète graphiquement par le fait que l’aire de D′ est inférieure à l’aire de R′.

k

En sommant membre à membre ces inégalités, on obtient pour n ∈ N,

n n k+1 n+1

f(k) f(x) dx = f(x) dx

k=0 k=0 k 0

et pour n ∈ N∗,

nn nk n

f(k) = f(0) + f(k) f(0) + f(x) dx = f(0) + f(x) dx.

k=0 k=1 k=1 k−1 0

Dans le cas où f est continue et décroissante sur [0, +∞[, on a montré que

n+1 n n

∀n ∈ N∗, f(x) dx f(k) f(0) + f(x) dx.

0 k=0 0

Ceci généralise le travail effectué pour étudier la convergence des séries de Riemann. On peut effectuer un travail analogue
dans le cas d’une fonction croissante.

5 Séries absolument convergentes

Dans les paragraphes précédents, on a pu donner un certain nombre de techniques pour étudier la convergence d’une série

à termes réels positifs (au moins à partir d’un certain rang). On va maintenant s’intéresser aux suites réelles de signe

quelconque comme par exemple la suite (−1)n puis aux suites complexes comme par exemple eiθ . On
n2
n n∈N∗ n∈N∗
commence par l’étude des suites réelles en dégageant les notions de parties positive et négative d’une suite réelle.

5.1 Les suites (u+n ) et (u−n )

Définition 5. Soit (un)n∈N une suite réelle.
Pour n ∈ N, on pose un+ = Max {un, 0} et u+n = −Min {un, 0} = Max {−un, 0}.
Par exemple, si pour tout n ∈ N, un = (−1)n, alors (un+)n∈N = (1, 0, 1, 0, 1, . . .) et (un−)n∈N = (0, 1, 0, 1, 0, . . .). On
note que les suites (u+n )n∈N et (un−)n∈N sont deux suites réelles positives.

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Théorème 14. Soit (un)n∈N une suite réelle.

1) Pour tout n ∈ N, un+ 0 et u−n 0.

2) Pour tout n ∈ N, |un| = un+ + u−n et un = un+ − un−.

3) Pour tout n ∈ N, un+ = |un| + un et un− = |un| − un .
2 2

4) Pour tout n ∈ N, un+ |un| et un− |un|.

Démonstration .

1) Soit n ∈ N. u+n est le plus grand des deux réels un et 0 et en particulier, un+ est plus grand que 0. De même, u−n est le plus grand
des deux réels −un et 0 et en particulier, u−n est plus grand que 0.

2) Si un 0, u+n = un et un− = 0 puis un+ + u−n = un = |un| et u+n − u−n = un.
Si un 0, un+ = 0 et u−n = −un puis u+n + un− = −un = |un| et un+ − un− = un.

3) En additionnant ou en retranchant membre à membre les égalités de 2), on obtient |un| + un = 2u+n et |un| − un = 2u−n . Donc,

u+n = |un| + un et un− = |un | − un .
2 2

4) Pour tout n ∈ N, u+n 0 et un− 0 et donc, u+n un+ + un− = |un| et u−n un+ + u−n = |un|. ❏

5.2 Définition de la convergence absolue

Définition 6. Soit (un)n∈N une suite converge.
La série de terme général un est absolument convergente si et seulement si la série de terme général |un| converge.

Par exemple, les séries de termes généraux respectifs −1)n , n ∈ N∗, ou ei√nθ , n ∈ N∗ et θ ∈ R, sont des séries absolument
n2 nn

convergentes (car (−1)n = 1 et ei√nθ = 1 ). Par contre, la série de terme général (−1)n , n ∈ N∗, n’est pas
n2 n2 nn n3 n

absolument convergente. 2

5.3 Application à la convergence d’une série

Théorème 15. Soit (un)n∈N une suite complexe.
Si la série de terme général un est absolument convergente, alors la série de terme général un est convergente.

Démonstration .

• Analysons d’abord le cas où (un) est une suite réelle. Supposons que la série de terme général un converge absolument ou encore

supposons que la série de terme général |un| converge. Pour tout n ∈ N, 0 u+n |un| et 0 u−n |un|. Mais alors, d’après le
théorème 11, les séries de termes généraux respectifs u+n et un− convergent.

+∞

Puisque pour tout n ∈ N, un = u+n − un−, la série de terme général un converge d’après le théorème 5 (et de plus, un =

n=0

+∞ +∞

u+n − u−n ). Le résultat est établi dans le cas d’une suite réelle.

n=0 n=0

• Passons au cas d’une suite complexe. Supposons que la série de terme général un converge absolument ou encore supposons que
la série de terme général |un| converge. Pour tout n ∈ N, |Re (un)| |un| et |Im (un)| |un|.
On en déduit que les séries de termes généraux |Re (un)| et |Im (un)| sont convergentes ou encore que les séries de termes généraux
Re (un) et Im (un) sont absolument convergentes. D’après l’étude du cas où la suite est réelle, on en déduit que les les séries de
termes généraux Re (un) et Im (un) sont convergentes puis la série de terme général un converge d’après le théorème 7.



Par exemple, les séries de termes généraux respectifs −1)n , n ∈ N∗, ou ei√nθ , n ∈ N∗ et θ ∈ R, sont absolument
n2 nn

convergentes et donc convergentes.

Exercice 4. Nature de la série de terme général un = ln (−1)n−1 , n ∈ N∗.
1 + n2

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Solution 4. ln 1 + (−1)n−1 ∼ (−1)n−1 = 1 . Puisque la série de terme général 1 converge, on en déduit
n2 n2 n2 n2
n→+∞

que la série de terme général ln 1 + (−1)n−1 converge absolument et donc converge.
n2

On peut pratiquer différemment : ln 1 + (−1)n−1 =O 1 . Donc, la série de terme général ln 1 + (−1)n−1
n2 n2 n2
n→+∞

converge absolument et donc converge (dire que un = O 1 signifie qu’il existe M ∈ R+ et n0 ∈ N tel que pour
n2
n→+∞

n n0, |un| M ).
n2

5.4 Exemples de séries semi-convergentes

Dans l’exercice qui vient, on va voir deux exemples de séries convergentes qui ne sont pas absolument convergentes. Une
telle série est dite semi-convergente.

Exercice 5.

1) Convergence et somme de la série de terme général (−1)n−1 , n ∈ N∗. La série de terme général (−1)n−1 , n ∈ N∗
n n
est-elle absolument convergente ?

2) Convergence et somme de la série de terme général (−1)n , n ∈ N. La série de terme général (−1)n , n ∈ N est-elle
2n + 1 2n + 1
absolument convergente ?

(Dans les deux cas, on pourra utiliser le fait que pour tout k ∈ N∗, 1 = 1

tt−1 dt.)
k0

Solution 5.

1) Soit n ∈ N∗.

n (−1)k−1 = n 1 1 n−1

k (−1)k−1 tk−1 dt = (−t)k dt

k=1 k=1 0 0 k=0

= 1 1 − (−t)n dt (car, pour tout t ∈ [0, 1], −t = 1)
0 1 − (−t)

1 1 1 tn dt

= dt − (−1)n
0 1+t 0 1+t

= ln 2 − (−1)n 1 tn dt.
0 1+t

De plus, pour n ∈ N∗,

(−1)n 1 tn = 1 tn 1 tn dt = n 1 1.
0 1 + t dt 0 1 + t dt 0 1+0 +

Puisque 1 → 0, on en déduit que (−1)n 1 tn dt → 0 puis que n (−1)k−1 → ln 2. Ceci montre la
n+1 0 1+t k=1 k
n→+∞ n→+∞ n→+∞

convergence de la série de terme général (−1)n−1 , n ∈ N∗, et fournit sa somme :
n

+∞ (−1)n−1 = ln 2.
n

n=1

D’autre part, pour n ∈ N∗, (−1)n−1 = 1 et donc, la série de terme général (−1)n−1 diverge ou encore la série de
n n n

terme général (−1)n−1 n’est pas absolument convergente.
n

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2) Soit n ∈ N.

n (−1)k = n 1 1 n
2k + 1 0
(−1)k t2k dt = −t2 k dt

k=0 k=0 0 k=0

= 1 1 − −t2 n+1 dt (car, pour tout t ∈ [0, 1], −t2 = 1)
0 1 − (−t2)

= 1 1 dt + (−1)n 1 t2n+2 dt
0 1 + t2 0 1 + t2

= π + (−1)n 1 t2n+2
4 0 1 + t2 dt.

De plus, pour n ∈ N,

(−1)n 1 t2n+2 = 1 t2n+2 1 t2n+2 dt = 1 .
0 1 + t2 dt 0 1 + t2 dt 0 1+0 2n + 3

1 1 t2n+2 n (−1)k π . Ceci montre la
2n + 3 0 1 + t2 2k + 1 4
Puisque → 0, on en déduit que (−1)n dt → 0 puis que →

n→+∞ n→+∞ k=0 n→+∞

convergence de la série de terme général (−1)n , n ∈ N, et fournit sa somme :
2n + 1

+∞ (−1)n π
2n + 1 4
= .

n=0

D’autre part, pour n ∈ N, (−1)n = 1 ∼ 1 et donc, la série de terme général (−1)n diverge ou encore la
2n + 1 2n + 1 2n 2n + 1
n→+∞

série de terme général (−1)n n’est pas absolument convergente.
2n + 1

On termine ce chapitre par un exercice qui fournit un exemple de deux suites (un) et (vn) équivalentes telles que la série
de terme général un converge et la série de terme général vn diverge.

Exercice 6.

(−√1)n−1 n
n
1) Pour n ∈ N∗, on pose un = puis Un = uk.

k=1

a) Montrer que les suites (U2n)n∈N∗ et (U2n−1)n∈N∗ sont adjacentes.
b) Que peut-on en conclure ?

2) Pour n ∈ N∗, on pose vn = √n(+−1()−n1−)1n−1 puis Vn = n vk.

k=1

a) Montrer que la série de terme général vn diverge.

b) Montrer que un ∼ vn.

n→+∞

Solution 6.

1) a)

• Pour tout n ∈ N∗, U2n+2 − U2n = u2n+1 + u2n+2 = √1 1 − √1 2 0. Donc, la suite (U2n)n∈N∗ est croissante.
2n + 2n +
√1 √1
• Pour tout n ∈ N∗, U2n+1 − U2n−1 = u2n+1 + u2n = 2n + 1 − 2n 0. Donc, la suite (U2n−1)n∈N∗ est décroissante.

• Pour tout n ∈ N∗, U2n−1 − U2n = −u2n = √1 et donc U2n−1 − U2n → 0.
2n
n→+∞

On a montré que les suites (U2n)n∈N∗ et (U2n−1)n∈N∗ sont adjacentes.

b) Les deux suites (U2n)n∈N∗ et (U2n−1)n∈N∗ sont donc convergentes et ont même limite. On en déduit que la suite
(Un)n∈N∗ converge ou encore que la série de terme général un converge.

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2) a) Pour n ∈ N∗, (−√1)n−1 = √1 et de plus √1 → 0. Donc, lim (−√1)n−1 = 0 puis
n n n n
n→+∞ n→+∞

vn = (−√1)n−1 × 1
n (−√1)n−1
1 +
n

= (−√1)n−1 1 − (−√1)n−1 + O 1
n→+∞ n n n

= (−√1)n−1 − 1 + O 1 .
n→+∞ n n n3

2

Pour n ∈ N∗, posons wn = −1 et tn = O 1 de sorte que vn = un + wn + tn.
n n3

2
La série de terme général un converge d’après 1) et la série de terme général tn converge absolument et donc converge (car

3 > 1). Si la série de terme général vn converge, il en est de même de la série de terme général vn − un − tn = wn = −1
2 n
ce qui est faux. Donc, la série de terme général vn diverge.

b) Pour n ∈ N∗,

vn = √n(+−1()−n1−)1n−1 = (−√1)n−1 1 1
n × 1 + (−√1)n−1 = vn 1 + (−√1)n−1 .

nn

Or, lim (−√1)n−1 = 0 et donc lim 1 = 1. Ceci montre que un ∼ vn.
n→+∞ n (−√1)n−1
n→+∞ 1 + n→+∞

n

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