test

1

เรือ่ ง ปริมาณเวกเตอร์และสเกลาร์
1. เวกเตอรแ์ ละสเกลาร์

ปรมิ าณเวกเตอร์ (Vector quantity) คอื ปรมิ าณทมี่ ีทั้งขนาดและทศิ ทาง จึงจะได้
ความหมายท่ชี ดั เจน เชน่ แรง ความเรว็ น้าหนกั ความเรง่ โมเมนต์ การขจัด สนามแมเ่ หล็ก ความดนั

ปรมิ าณสเกลาร์ (Scalar quantity) คอื ปรมิ าณท่บี อกขนาดเพยี งอยา่ งเดยี วก็สามารถ
เข้าใจถึงความหมายท่ีชัดเจน เช่น มวล พื้นที่ ปริมาตร เป็นต้นซ่ึงเราจะเห็นว่าปริมาณเวกเตอร์น้ัน
จา้ เปน็ ตอ้ งมีการบอกถงึ ทศิ ทาง ซง่ึ ในการค้านวณน้นั เราจ้าเปน็ ตอ้ งสมมตใิ ห้ปรมิ าณเวกเตอร์ที่ไปด้านหนึ่ง
เป็นบวก และถา้ ย้อนกลับอีกดา้ นเราจะสมมติให้เป็นลบ ซ่ึงในการค้านวณน้ันเราจะต้องยึดถือหลักการนี้
ใหด้ ี เพราะถ้าเมอื่ เราสมมตใิ หป้ รมิ าณที่กระท้าด้านใดเป็นบวกแล้ว ตัวต่อๆไปก็จะต้องยึดถือทิศทางด้าน
น้ันเสมอไปในการค้านวณ เพราะถ้าในการค้านวณโจทย์ใดๆแล้ว เรากลับค่าสลับกันไปมาจะท้าให้ค่าท่ี
ค้านวณไดน้ ้นั ผิดพลาดทันที เช่น ในตัวอย่างตอ่ ไปนี้

a = ความเรง่

F2 F1

f

รูปท่ี 1.1

จากรูปที่ 1.1 เราจะเห็นว่ามแี รงกระทา้ ต่อวัตถุ 2 แรง คือ แรง F1 , F2 และมแี รงเสียดทานเกิด
ขึ้นกับผิววัตถุที่สัมผัสกับพื้น คือ f ท่ีมีทิศทางสวนทางกับแรงกระท้าท้ังสองแรงท่ีผลักวัตถุให้เคล่ือนท่ี
ดังน้ันถ้าเราสมมติให้แรงท่ีกระท้าท้าให้วัตถุเคลื่อนท่ีไปทิศทางใดเป็นบวก ดังน้ันแรงท่ีมีทิศทางสวนทาง
อีกดา้ นย่อมเป็นลบ ดังนัน้ เราจงึ ไดว้ า่

F1 และ F2 เป็นบวก(+)
f แรงเสยี ดทานเป็นลบ(-)
2. เวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ย (Unit Vector)
เวกเตอร์หนงึ่ หน่วย (Unit Vector)หมายถึง เวกเตอรท์ ี่มขี นาด 1 หนว่ ย

สว่ นประกอบของเวกเตอร์ใน 2 มติ ิ

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

2

การเทา่ กนั ของปริมาณเวกเตอร์
ถ้ามีเวกเตอร์สองอัน A และ B เวกเตอร์ทัง้ สองน้จี ะเทา่ กันก็ตอ่ เมอื่ เป็นเวกเตอร์ที่มีทง้ั ขนาด

เทา่ กันและช้ใี นทิศทางเดียวกัน (ไม่จ้าเปน็ ต้องมีจุดเรม่ิ ตน้ เดยี วกนั หรืออยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกัน) อยา่ ง
ในรปู ขา้ งลา่ ง

นยิ าม Negative vector
เราเรียกเวกเตอรท์ ่มี ีขนาดเท่ากบั แต่มที ิศตรงกนั ข้ามวา่

2. การรวมเวกเตอร์
การรวมเวกเตอร์ เป็นการรวมปริมาณเวกเตอรห์ รอื การหาเวกเตอรล์ พั ธ์น้นั เองการรวมเวกเตอร์

มี 2 วิธีคือการรวมเวกเตอร์โดยการสร้างรูป และการรวมเวกเตอร์ด้วยวิธีการค้านวณซ่ึงใช้ความรู้ทาง
คณิตศาสตร์เข้าช่วย เช่น ใช้กฎทางตรีโกณมิติ การใช้ทฤษฎีบทปีธากอลัส ซ่ึงเราอาจจะต้องท้าการ
พจิ ารณาให้เวกเตอร์นนั้ อย่ใู นรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก หรือถา้ ไมอ่ ยู่ในรปู สามเหล่ียมเราก็สามารถหาได้โดยมี
รูปแบบการค้านวณทจ่ี ะกลา่ วถึงต่อไป
วธิ ีที่ 1 การรวมเวกเตอร์โดยการสรา้ งรปู

หลักการ
1. เขียนลูกศรแทนเวกเตอร์แต่ละปริมาณ โดยลากตดิ ต่อกนั ไปเลย ใหห้ างตอ่ กับหวั ลูกศร

จนครบทุกเวกเตอร์
2. เส้นตรงทลี่ ากจากจดุ ตั้งตน้ ไปจนถงึ จุดสดุ ทา้ ย จะเปน็ เวกเตอร์ลัพธ์ (Resultant Vector) ท้ัง

ขนาดและทิศทาง
ตัวอยา่ ง

3

การบวกเวกเตอร์ ท้าได้โดยเขียนเวกเตอร์ที่เป็นตัวต้ัง จากนั้นเอาหางของเวกเตอร์ท่ีเป็นผลบวก
หรือผลต่าง มาต่อกับหัวของเวกเตอร์ตัวต้ัง โดยเขียนให้ถูกต้องทั้งขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ลัพธ์หาได้
โดยการวัดระยะทาง จากหางเวกเตอรแ์ รกไปยังหัวเวกเตอร์สดุ ทา้ ยดังรปู

จากรปู เวกเตอร์ =

การบวกเวกเตอร์

ให้ และ เปน็ เวกเตอร์ซ่ึงท้ามมุ ระหว่างกนั และใหเ้ วกเตอร์ เป็นผลบวกเวกเตอร์ของ

กับ หรอื โดยให้ ทา้ มุม กับ การบวกเวกเตอรน์ ส้ี ามารถแสดงโดยวิธีหาง

ตอ่ หวั ดงั รปู ข่างล่างน้ี

ขนาดของเวกเตอร์ หรอื (หรอื บางคร้ังอาจเขียน C เฉยๆ) สามารถค้านวณไดจ้ าก
โดยทิศทางของเวกเตอร์ จะท้ามมุ กับเวกเตอร์ เป็นมมุ เท่ากับ โดย

4

การลบเวกเตอร์

การลบเวกเตอรโ์ ดยการเขยี นรูปใชห้ ลักการเดยี วกบั การบวกเวกเตอร์เพยี งแต่กลบั ทิศเวกเตอรด์ ว้ ย
เคร่อื งหมายลบ

ขนาดของเวกเตอร์ หรือ สามารถค้านวณไดจ้ าก

และ
คณุ สมบตั ิของการบวกเวกเตอร์

เมื่อ เป็นปริมาณสเกลาร์ คุณสมบัตกิ ารสลับที่
คุณสมบตั กิ ารจดั หมู่
คุณสมบัติของการบวกเวกเตอร์
1. A + B = B + A
2. A + (B + C) = (A + B) + C

5

การลบเวกเตอร์ สามารถหาเวกเตอร์ลพั ธ์ไดเ้ ชน่ เดียวกบั การบวกเวกเตอร์ แตใ่ หก้ ลบั ทิศทาง เวกเตอร์ตัว
ลบ ดงั นี้

วิธีท่ี 2 การรวมเวกเตอร์โดยการคานวณมี 4 กรณี คอื
กรณที ี่ 1 เวกเตอร์อย่ใู นแนวตง้ั ฉากกนั

PR RP

QQ

จากรปู เวกเตอรด์ า้ นบนแรง P , Q เปน็ แรงย่อย และแรง R เปน็ แรงรวมหรือแรงลพั ธ์
ดงั นัน้ เราสามารถคา้ นวณหาแรงรวม R ได้โดยวธิ กี ารดังน้ี

R2 = P2 + Q2

ตัวอยา่ ง จงหาเวกเตอร์รวมตามรปู ต่อไปนี้

4
10

วธิ ีท้า ท้าการสร้างรปู ให้อยู่ในรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก หรือสร้างรูปเปน็ สเ่ี หลี่ยมผืนผา้

4R R 4

หรอื

10 10

ทา้ การหาแรงรวมโดยใช้ความรูท้ ฤษฎบี ทปธี ากอลสั ดงั นน้ั แรงรวม R เทา่ กับ
R2 = 42 + 102
R = 42 + 102
= 16 + 100
= 116
= 10.77

6

ตัวอย่าง จงหาแรงรวมตามรปู ตอ่ ไปน้ี

3 นวิ ตนั

4 นิวตัน

……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………กในร……กณร……ีทณี่ ีท……2ี่เเว……วกก……เตเตอ……อรร……์ย์ไ่อม……ยอ่ ไ……ยมูใ่ ่ต……นั้งแฉ……นากว……ตก……ัง้ันฉ……าเกร……าอ……าจ……ใช……้ค……วา……มร……ู้ทา……งค……ณ……ิตศ……าส……ต……ร์ท……้ังต……รีโ……กณ……ม……ิติ ……แ……ละ……ทฤ..……ษฎ……ี ………………
…………………บท…ปธี…าก…อ…ลัส……ช่ว…ยใ…นก…าร…ห…าค…า่ ข…อง…แร…งร…วม……ซงึ่ …ถ้า…เวก…เต…อ…ร์อ…ยู่ใ…นร…ูปด…้าน…ล…่าง…นี้ …เม…ื่อเว…ก…เต…อร.์เ…ป็น…………

รูปส่เี หลี่ยมด้านขนาน

ตวั อย่าง แรงกระทา้ ดังรปู จงหาขนาดของแรงรวม

FR
7N

60o

8N

จาก …….. = …………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………

7

กรณที ่ี 3 เวกเตอรอ์ ยใู่ นแนวเดียวกันและมีทิศทางเดยี วกัน
ในกรณีท่เี วกเตอร์ย่อยอยใู่ นแนวเดียวกนั ทศิ ทางเดียวกัน เราสามารถนา้ เวกเตอร์

นน้ั มารวมกนั หรือบวกกันได้เลย เพราะเวกเตอร์น้ันอยู่ในทิศเดียวกัน แต่ต้องท้าการพิจารณาหน่วยต้อง
อย่ใู นหนว่ ยเดยี วกนั ดว้ ย

F2 F1

F = F1 + F2
ตัวอยา่ ง จงหาแรงรวมดงั รูปตอ่ ไปนี้

50 N 100 N

วธิ ีทา้ จากรปู แรง F1 = 100 N และแรง F2 = 50 N
ดังนั้นแรงรวมเท่ากบั F = F1 + F2 = ………………………….

ตัวอย่าง แรงกระท้ากบั วัตถุดังรปู จงหาแรงลัพธ์

F2= 5 kN F1= 10 kN

วธิ ีทา้ FR = F1+ F2
= 10 + 5 kN

= 15 kN

กรณีท่ี 4 เวกเตอรอ์ ยใู่ นแนวเดียวกนั และมีทศิ ทางตรงกนั ขา้ มกัน
ในกรณที ่เี วกเตอร์ย่อยอยใู่ นแนวเดียวกันทศิ ทางตรงกนั ขา้ มกนั เราสามารถนา้ เวกเตอรน์ ้นั
มารวมกันหรือลบกันได้เลย เพราะเวกเตอร์น้ันอยู่ในทิศทางตรงข้ามกัน แต่ต้องท้าการพิจารณาหน่วย
ตอ้ งอยู่ในหน่วยเดียวกัน

F2 F1

หรอื F = F1 - F2 อยทู่ ี่สมมตใิ ห้ทศิ ใดเปน็ บวกหรอื ลบ
ตัวอย่าง จงหาแรงรวมดังรปู ต่อไปน้ี F = F2 - F1
100 N
50 N

8

วิธที ้า จากรูปแรง F1 = 100 N และแรง F2 = 50 N สมมติให้ทิศทไ่ี ปทางขาวเป็นบวก
ดังนน้ั แรงรวมเทา่ กับ F = F1 - F2
= 100 - 50

= 50 N

ตวั อย่าง แรงกระท้ากับวตั ถดุ งั รปู จงหาแรงลัพธ์

F1= 10 kN F2= 5 kN

วธิ ที ้า FR = F1- F2 = .........................................

1.2 การแตกเวกเตอร์
การแตกหรือแยกเวกเตอร์ เปน็ พื้นฐานในการหาปรมิ าณเวกเตอรใ์ ดๆ ทมี่ กี ารกระท้าทา้ ใหเ้ กิด

เวกเตอรย์ อ่ ยในแกนปกติ x , y เชน่ แรงท่ีกระท้าเป็นมุมกับวัตถุ ท้าให้เกิดเวกเตอร์ในแนวแกนปกติดัง
แสดงในรปู ที่ 1.2

Fy F

 Fx

รูปที่ 1.2

จากรปู แรงหรอื เวกเตอร์ F กระทา้ กบั วตั ถกุ อ้ นหนึง่ ซ่งึ เมื่อเราพิจารณาวัตถุเราจะเห็นว่าแรงกระท้า
ดังกล่าวจะท้าให้เกิดแรงย่อยสองแรงขึ้นคือ แรง Fy ที่จะพยายามยกวัตถุข้ึน และแรง Fx ที่จะ
พยายามลากวตั ถเุ คลอื่ นทไ่ี ปดา้ นหน้า ดังน้ันเมื่อเราพิจารณาดังน้ีแล้วเราจึงต้องท้าการหา แรง
ยอ่ ยทั้งสอง หรือการแตกแรงหรือแตกเวกเตอร์นน่ั เอง ซึ่งในการหาเราสามารถใช้ความรู้ทาง
คณติ ศาสตร์เข้าชว่ ยในการหาคา่

- ใชท้ ฤษฎบี ทปีธากอลัสชว่ ยในการหาค่า Fx , Fy

Fy F

 Fx

……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
………………- ใ…ช้ต…รโี …กณ…ม…ิตชิ …ว่ ย…ใน…ก…ารห…า…คา่ ……Fx…, …F…y …เมือ่…เร…าท…รา…บ…ค่า…มุม………………………………….……………

ตัวอย่าง จากรปู จงหาแรงย่อย Fx , Fy

……………………………………………………

9

Fy 100 N
Fx
45

……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………………….……………
………………………………………………ใ…บก…จิ …กร…รม…ท…่ี 1…กา…รร…วม…เว…ก…เต…อร…์ ………………………….……………
…………………………1……. ……จง……แส……ดง……วธิ ……กี า……รห……าเ……วก……เต……อร……ผ์ ล……ล……พั ธ……โ์ ด……ยว……ิธีต……่อเ……วก……เต……อร……์ ………………………………………………………………………………..…………………………

2. จงแสดงวธิ กี ารหาเวกเตอร์ผลลพั ธ์โดยวธิ สี เ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน

3. เวกเตอร์ท่ีกาหนดให้จงแสดงวิธหี าเวกเตอร์ลพั ธโ์ ดยการสรา้ งรปู 10

A = 5 หนว่ ย C=

B = 7 หนว่ ย

6 หนว่ ย

D = 5 หน่วย
F = 3 หนว่ ย

จงหาเวกเตอร์ลพั ธ์ 1. A + B + C + D + F
2. D – A + C – F + B

4. แสดงการแตกเวกเตอร์ Z

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

11

5. จงแสดงวิธกี ารหาเวกเตอร์ลพั ธโ์ ดยวิธีแตกเวกเตอร์

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6….…เ…ว…กเ…ต…อร…์ …A……แล…ะ……B…ม…ขี …น…า…ด…6…แ…ล…ะ…8…ห…น…ว่ ย……ต…าม…ล…้าด…ับ……จง…ห…า…ขน…า…ด…ขอ…ง…เว…ก…เต…อ…ร…์ลัพ…ธ…์ข…อ…ง …A……B…..
เม่ือเวกเตอร์ A และ B ท้ามมุ กัน

6.1) 0 องศา
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6.2) 90 องศา
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

6.3) 180 องศา
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

12

7. จงหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ 10 หน่วย และ 15 หน่วย ท้ามุมกนั 60 องศาดงั รปู

5 หนว่ ย

60
10 หนว่ ย

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
8. จงหาขนาดของเวกเตอรล์ ัพธ์ 10 หนว่ ย และ 10/2 หน่วย ทา้ มมุ กนั 135 องศา

9. จงหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ 10 หน่วย 20 หนว่ ย และ 20/3 หนว่ ย

50 หน่วย 60 30 20/3 หน่วย
20 หน่วย

13

10. จงหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ 50 หนว่ ย 20 หน่วย และ 10/3 หนว่ ย

10 หน่วย 20 หนว่ ย 20/3 หน่วย
60
30