เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์(20128-1002) หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน ผู้เรียบเรียง นางสาวสุจิรา แซ่อุ๋ย ครู วิทยฐานะครูชำนาญการ แผนกวิชาช่างเทคนิคคอมพิวเตอร์ วิทยาลัยเทคนิคปัตตานี อาชีวศึกษาจังหวัดปัตตานี สังกัดสำนักงานคณะกรรมการการอาชีวศึกษา กระทรวงศึกษาธิการ
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์(20128-1002) หน้า ก ผู้เรียบเรียง : นางสาวสุจิรา แซ่อุ๋ย คำนำ เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์รหัสวิชา 20128-1002 ระดับ ประกาศนียบัตรวิชาชีพ (ปวช.) ประเภทวิชาอุตสาหกรรม สาขาวิชาช่างเทคนิคคอมพิวเตอร์ เล่มที่ 1 ระบบจำนวน เล่มนี้ ผู้สอนได้นำประสบการณ์จากการสอน และจากการศึกษาค้นคว้านำมาเรียบเรียง เป็นเอกสารประกอบการเรียน ซึ่งประกอบด้วยสาระสำคัญเกี่ยวกับวิวัฒนาการของจำนวนและตัวเลข ประเภทของระบบจำนวน และสมบัติของจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับจุดประสงค์รายวิชา สมรรถนะ รายวิชา และคำอธิบายรายวิชา ตามหลักสูตรประกาศนียบัตรวิชาชีพ (ปวช.) พุทธศักราช 2562 ประเภทวิชาอุตสาหกรรม สาขาวิชาช่างเทคนิคคอมพิวเตอร์ สำนักงานคณะกรรมการการอาชีวศึกษา กระทรวงศึกษาธิการ โดยแบ่งเนื้อหาออกเป็น 8 หน่วย และจัดทำเป็นเล่ม จำนวน 8 เล่ม ดังนี้ 1. เล่มที่ 1 ระบบจำนวน 2. เล่มที่ 2 ระบบเลขฐาน 3. เล่มที่ 3 ตรรกะศาสตร์เบื้องต้น 4. เล่มที่ 4 พีชคณิตบูลีน 5. เล่มที่ 5 เมทริกซ์ 6. เล่มที่ 6 ดีเทอร์มีแนนซ์ 7. เล่มที่ 7 พีชคณิตเชิงเส้น 8. เล่มที่ 8 เซ็ตและฟังก์ชัน ผู้เรียบเรียง หวังเป็นอย่างยิ่งว่าเอกสารประกอบการเรียนเล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อผู้เรียน ผู้สอน ให้ได้ใช้เป็นแนวทางในการจัดการเรียนการสอนตามหลักในการจัดการอาชีวศึกษา หากมี ข้อเสนอแนะประการใด ผู้เรียบเรียงยินดีน้อมรับไว้ด้วยความขอบคุณยิ่ง นางสาวสุจิรา แซ่อุ๋ย ผู้เรียบเรียง
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์(20128-1002) หน้า ข ผู้เรียบเรียง : นางสาวสุจิรา แซ่อุ๋ย สารบัญ เรื่อง หน้า คำนำ ก สารบัญ ข จุดประสงค์รายวิชา สมรรถนะรายวิชา และคำอธิบายรายวิชา 1 กำหนดการสอน 2 คำแนะนำการใช้เอกสารประกอบการเรียน 3 สาระการเรียนรู้ 5 สมรรถนะประจำหน่วย 5 จุดประสงค์การเรียนรู้ 5 แบบทดสอบความรู้ก่อนเรียน 6 ใบความรู้ หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน 8 1.1 วิวัฒนาการของจำนวนและตัวเลข 8 1.2 ประเภทของระบบจำนวน 9 1.3 สมบัติของจำนวนจริง 13 แบบฝึกหัด 18 แบบประเมินผลแบบฝึกหัด 20 แบบทดสอบความรู้หลังเรียน 21 แบบสังเกตพฤติกรรม 23
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์(20128-1002) หน้า ค ผู้เรียบเรียง : นางสาวสุจิรา แซ่อุ๋ย สารบัญภาพ รูปที่ หน้า 1.1 แสดงลักษณะประเภทของระบบจำนวนจริง 9 1.2 เส้นจำนวนแสดงจำนวนเต็มบวก 10 1.3 เส้นจำนวนแสดงจำนวนเต็มลบ 11 1.4 เส้นจำนวนแสดงจำนวนเต็มประเภทต่าง ๆ 11 1.5 เส้นจำนวนแสดงจำนวนเศษส่วน 12
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์(20128-1002) หน้า ง ผู้เรียบเรียง : นางสาวสุจิรา แซ่อุ๋ย สารบัญตาราง ตารางที่ หน้า 1.1 สัญลักษณ์แทนตัวเลขโรมัน 8
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน จุดประสงค์รายวิชา สมรรถนะรายวิชา และคำอธิบายรายวิชา ชื่อรายวิชา คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ รหัสวิชา 20128-1002 ระดับชั้น ปวช.2 สาขาวิชา/แผนกวิชา ช่างเทคนิคคอมพิวเตอร์ หน่วยกิต 2 จำนวนชั่วโมงรวม 2 ชั่วโมง จำนวนสัปดาห์ 18 สัปดาห์ จุดประสงค์รายวิชา 1. เพื่อให้เข้าใจเกี่ยวกับระบบจำนวน ระบบเลขฐาน ตรรกะศาสตร์เบื้องต้น พีชคณิตบูลีน ดีเทอร์มีแนนซ์ เมทริกซ์พีชคณิตเชิงเส้น เซ็ตและฟังก์ชัน 2. เพื่อให้มีทักษะในการคำนวณทางคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ 3. เพื่อให้มีคุณธรรม จริยธรรมและเจตคติที่ดีในการใช้คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ สมรรถนะรายวิชา 1. แสดงความรู้เกี่ยวกับระบบจำนวน ระบบเลขฐาน ตรรกะศาสตร์เบื้องต้น พีชคณิตบูลีน ดีเทอร์มีแนนซ์ เมทริกซ์พีชคณิตเชิงเส้น เซ็ตและฟังก์ชัน 2. คำนวณแก้ปัญหาโจทย์ทางคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ คำอธิบายรายวิชา ศึกษาเกี่ยวกับระบบจำนวน ระบบเลขฐาน ตรรกะศาสตร์เบื้องต้น พีชคณิตบูลีน ดีเทอร์มีแนนซ์ เมทริกซ์พีชคณิตเชิงเส้น เซ็ตและฟังก์ชัน
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน กำหนดการสอน วิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ รหัสวิชา 20128-1002 ระดับประกาศนียบัตรวิชาชีพ (ปวช.) ประเภทวิชาอุตสาหกรรม ทฤษฎี 2 คาบ/สัปดาห์ รวม 36 ชั่วโมง หน่วยที่ ชื่อหน่วยการสอน สัปดาห์ที่ จำนวนชั่วโมง 1 ระบบจำนวน 1-2 4 2 ระบบเลขฐาน 3-5 6 3 ตรรกะศาสตร์เบื้องต้น 6-7 4 4 พีชคณิตบูลีน 8-9 4 5 เมทริกซ์ 10-11 4 6 ดีเทอร์มีแนนซ์ 12-13 4 7 พีชคณิตเชิงเส้น 14-15 4 8 เซ็ตและฟังก์ชัน 16-17 4 สอบปลายภาค 18 2 รวม 36
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน คำแนะนำการใช้เอกสารประกอบการเรียน เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์รหัสวิชา 20128-1002 ระดับ ประกาศนียบัตรวิชาชีพ (ปวช.) ประเภทวิชาอุตสาหกรรม สาขาวิชาช่างเทคนิคคอมพิวเตอร์ เล่มที่ 1 ระบบจำนวน เล่มนี้จัดทำขึ้นเพื่อให้นักเรียนได้ศึกษาค้นคว้าด้วยตนเอง และเพื่อให้ครูใช้เป็นคู่มือ ประกอบการสอน นอกจากนี้ยังสามารถใช้เพื่อซ่อมเสริมกรณีที่นักเรียนทำกิจกรรมการเรียนรู้ไม่ผ่าน เกณฑ์ โดยมีคำแนะนำในการใช้ดังนี้ สำหรับครู 1. ใช้เป็นสื่อการเรียนการสอน เพื่อศึกษาเนื้อหาของระบบจำนวน โดยก่อนใช้ควรชี้แจงให้ นักเรียนทราบถึงวิธีการศึกษา และมีความซื่อสัตย์ในการทำแบบทดสอบความรู้ก่อนเรียน แบบฝึกหัด ระหว่างเรียน และแบบทดสอบความรู้หลังเรียน 2. ใช้เป็นแนวทางในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้เรื่องระบบจำนวน โดยใช้ศึกษาภาคทฤษฎีให้ นักเรียนทำแบบทดสอบความรู้ก่อนเรียน ศึกษาเนื้อหา แล้วทำแบบฝึกหัด แบบทดสอบความรู้หลังเรียน และเฉลยแบบฝึกหัด เฉลยแบบทดสอบความรู้ก่อนเรียน เฉลยแบบทดสอบความรู้หลังเรียน 3. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน อาจให้นักเรียนทำเป็นรายบุคคลหรือรายกลุ่มตามความ เหมาะสม เพื่อฝึกให้นักเรียนสามารถทำงานร่วมกับบุคคลอื่นได้ 4. เมื่อจบกิจกรรมการเรียนรู้ครูควรให้นักเรียนช่วยกันสรุปและมีส่วนช่วยกันประเมินผล และ ครูบันทึกคะแนนก่อนเรียน ระหว่างเรียน และหลังเรียน เพื่อให้นักเรียนเห็นพัฒนาการของตนเอง ถ้า นักเรียนมีคะแนนไม่ผ่านเกณฑ์ ควรให้นักเรียนศึกษาซ้ำอีกหรือครูจะสอนซ่อมเสริมให้จนกระทั่งทดสอบ ผ่านเกณฑ์ที่กำหนดไว้ สำหรับนักเรียน 1. ใช้ศึกษาค้นคว้าด้วยตนเองและต้องมีความซื่อสัตย์ต่อตนเองทั้งก่อนเรียน ระหว่างเรียน และ หลังเรียน 2. ในการศึกษาเอกสารนี้ หากไม่เข้าใจให้บันทึกไว้เพื่อสอบถามครูในเวลาเรียนหรือนอก เวลาเรียน 3. ขั้นตอนการศึกษา มีดังนี้ 3. 3.1 ทำแบบทดสอบความรู้ก่อนเรียน 3. 3.2 ศึกษาเนื้อหาให้เข้าใจอย่างละเอียด 3. 3.3 ทำแบบฝึกหัดตามที่กำหนด 3. 3.4 ทำแบบทดสอบความรู้หลังเรียน 3. 3.5 ตรวจคำตอบแบบฝึกหัด แบบทดสอบความรู้ก่อนและหลังเรียน เพื่อทราบผลการพัฒนา ตนเอง ซึ่งในแต่ละกิจกรรมต้องผ่านเกณฑ์ตามที่กำหนด หากไม่ผ่านเกณฑ์ควรซ่อมเสริมโดยทบทวนแล้ว ทำกิจกรรมนั้นใหม่จนผ่านเกณฑ์
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน 4. ในการศึกษานักเรียนควรได้รับความรู้ ทักษะ และฝึกนิสัยในการทำงานด้วยความเป็น ระเบียบเรียบร้อย ประณีต รอบคอบ คำนึงถึงความปลอดภัย ใช้ทรัพยากรอย่างประหยัดและรักษา สิ่งแวดล้อม รวมทั้งสร้างคุณธรรมให้เกิดกับตัวเอง ได้แก่ การมีวินัย ความซื่อสัตย์ ความสนใจใฝ่รู้ การมี มนุษยสัมพันธ์ และความสามัคคีเพื่อให้เป็นคนดี คนเก่ง และอยู่ในสังคมได้อย่างมีความสุข สื่อที่ใช้ในการเรียนการสอน 1. สื่อ Power Point หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน 2. เอกสารประกอบการเรียน หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน 3. สื่อวีดิทัศน์ เรื่อง ระบบจำนวน
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน หลังจากศึกษาเอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์รหัสวิชา20128-1002 ระดับประกาศนียบัตรวิชาชีพ (ปวช.) ประเภทวิชาอุตสาหกรรม สาขาวิชาช่างเทคนิคคอมพิวเตอร์ เล่มที่1 ระบบจำนวน แล้ว ผู้เรียนจะมีความรู้ความสามารถ ดังนี้ สาระการเรียนรู้ 1.1 วิวัฒนาการของจำนวนและตัวเลข 1.2 ประเภทของระบบจำนวน 1.3 สมบัติของจำนวนจริง สมรรถนะประจำหน่วย 1. แสดงความรู้เกี่ยวกับวิวัฒนาการของจำนวนและตัวเลข ประเภทของระบบจำนวน และ สมบัติของจำนวนจริง 2. คำนวณทางคณิตศาสตร์ของจำนวนจริงตามหลักการ 3. แสดงพฤติกรรมมีคุณธรรม จริยธรรมและเจตคติที่ดีในการใช้คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ จุดประสงค์การเรียนรู้ จุดประสงค์ทั่วไป 1. เพื่อให้มีความรู้เกี่ยวกับวิวัฒนาการของจำนวนและตัวเลข ประเภทของระบบจำนวน และ สมบัติของจำนวนจริง 2. เพื่อให้มีทักษะในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของจำนวนจริงตามหลักการ 3. เพื่อให้มีคุณธรรม จริยธรรมและเจตคติที่ดีในการใช้คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม 1. บอกวิวัฒนาการของจำนวนและตัวเลขได้ 2. บอกประเภทของระบบจำนวนได้ 3. อธิบายสมบัติของจำนวนจริงได้ 4. คำนวณทางคณิตศาสตร์ของจำนวนจริงได้ 5. มีคุณธรรม จริยธรรมและเจตคติที่ดีในการใช้คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน แบบทดสอบความรู้ก่อนเรียน คำชี้แจง 1) จงเลือกตัวเลือกที่ถูกต้องที่สุด แล้วทำเครื่องหมายกากบาท (×) ลงในกระดาษคำตอบ 2) ข้อสอบจำนวน 10 ข้อ เวลาสอบ 15 นาที คะแนนเต็ม 10 คะแนน 1. ตัวเลขโรมันข้อใดมีค่าเท่ากับ 16 ก. VI ข. XI ค. XIV ง. XVI 2. จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้โดยที่ส่วนไม่เป็นศูนย์คือข้อใด ก. จำนวนเต็ม ข. จำนวนตรรกยะ ค. จำนวนอตรรกยะ ง. จำนวนทศนิยม 3. ข้อใดกล่าวไม่ถูกต้อง ก. จำนวนเต็มศูนย์เป็นจำนวนที่อยู่ห่างจาก 1 ไปทางขวามือ ข. จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนที่ใช้แทนปริมาณที่น้อยกว่าศูนย์ ค. จำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนที่ใช้แทนปริมาณที่มากกว่าศูนย์ ง. จำนวนเศษส่วนเป็นจำนวนที่สร้างขึ้นเพื่อใช้แทนจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม 4. ข้อใดกล่าวถูกต้อง ก. 0 เป็นจำนวนนับ ข. 2.345 เป็นจำนวนตรรกยะ ค. 0.060606 เป็นจำนวนอตรรกยะ ง. ถ้า a เป็นจำนวนตรรกยะแล้ว เป็นจำนวนอตรรกยะ 5. ถ้า a = b และ b = c แล้วจะได้ a = c ตรงกับสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริงในข้อใด ก. สมบัติการสะท้อน ข. สมบัติการสมมาตร ค. สมบัติการถ่ายทอด ง. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน 6. ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a + b = b + a ตรงกับสมบัติการบวกในข้อใด ก. สมบัติปิดการบวก ข. สมบัติเอกลักษณ์ของการบวก ค. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก ง. สมบัติการสลับที่ของการบวก 7. ข้อใดคือสมบัติเอกลักษณ์การคูณ ก. a x b = b x a ข. (1 x a) = (a x 1) = 1 ค. (1 x a) = (a x 1) = a ง. a × a-1 = a-1 + (-1) = a0 = 1 8. ข้อใดคือสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก ก. a + 0 = 0 + a = a ข. a + (b + c) = (a + b) + c ค. a + (b + c) = (b + c) + a ง. a × (b + c) = (a × b) + (a × c) 9. 5 x 5-1 มีค่าเท่าไหร่ ก. 1 ข. 5 ค. 25 ง. 250 10. (-20) + 20 มีค่าเท่าไหร่ ก. -40 ข. -1 ค. 0 ง. 40
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน กระดาษคำตอบแบบทดสอบความรู้ก่อนเรียน คำสั่ง จงเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียวแล้วทำเครื่องหมาย (×) ลงในกระดาษคำตอบ ชื่อผู้เรียน............................................................. เลขที่....................... ระดับชั้น........................................... สาขาวิชา.................................. ข้อ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 สรุปผล คะแนนเต็ม 10 คะแนนที่ได้ เกณฑ์การประเมิน ทำแบบทดสอบได้ 9 – 10 คะแนน ระดับคุณภาพ ดีมาก ทำแบบทดสอบได้ 7 – 80 คะแนน ระดับคุณภาพ ดี ทำแบบทดสอบได้ 5 – 60 คะแนน ระดับคุณภาพ พอใช้ ทำแบบทดสอบได้ 0 – 40 คะแนน ระดับคุณภาพ ปรับปรุง
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน ใบความรู้ หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน โดยทั่วไปมนุษย์เรารู้จักกับจำนวนในการดำรงชีวิตมาตั้งแต่สมัยโบราณ และมนุษย์ได้มีวิวัฒนาการ ในการใช้เกี่ยวกับจำนวนมาเรื่อย ๆ เป็นยุค ๆ และมีการเริ่มใช้จำนวนมากที่สุดในสมัยของบาบิโลเนีย กรีก โรมันและอียิปต์ ส่วนชาวฮินดู-อาหรับ ได้สร้างสัญลักษณ์แทนจำนวนอย่างมีระบบ จนถึงยุค ปัจจุบันเราใช้ระบบจำนวนเกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันจนไม่สามารถหลีกเลี่ยงได้ เพื่อใช้ในการสื่อสาร แลกเปลี่ยน ซึ่งรวมไปถึงการคำนวณเลขทั้งทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ดังนั้นจึงมีความจำเป็นต้อง ศึกษาและเรียนรู้ระบบจำนวนให้มีความเข้าใจในหลักการ เพื่อประโยชน์และเกิดประสิทธิภาพมากที่สุด ในการนำไปใช้งานตามประเภทของการใช้งานอย่างถูกหลักและถูกต้องเหมาะสม 1.1 วิวัฒนาการของจำนวนและตัวเลข วิวัฒนาการของตัวเลขมีมาตั้งแต่อดีตจนถึงปัจจุบัน มีผู้คิดค้นพัฒนามาหลาย ๆ รูปแบบ เพื่อใช้ แทนจำนวนของการนับ เช่น ชาวกรีกใช้การนับนิ้วมือหรือก้อนหิน ในสมัยอียิปต์ใช้รูปภาพแทนตัวเลข ชาวบาบิโลนใช้ลิ่มเป็นสัญลักษณ์ เป็นต้น สมัยโรมันมีการใช้ระบบเลขโรมัน ช่วงปี พ.ศ.243-443 โดยนำตัวหนังสือกรีกมาดัดแปลงเป็น ตัวเลขโรมันเป็นสัญลักษณ์พื้นฐาน 7 ตัว คือ I, V, X, L, C, D, และ M ซึ่งปัจจุบันมีการใช้เลขโรมันอยู่แต่ ไม่เป็นที่แพร่หลาย ดังตารางที่ 1.1 ตารางที่ 1.1 สัญลักษณ์แทนตัวเลขโรมัน เลขโรมัน เลขอารบิก เลขโรมัน เลขอารบิก เลขโรมัน เลขอารบิก I 1 XI 11 L 50 II 2 XII 12 C 100 III 3 XIII 13 D 500 IV 4 XIV 14 M 1,000 V 5 XV 15 V 5,000 VI 6 XVI 16 X 10,000 VII 7 XVII 17 L 50,000 VIII 8 XVIII 18 C 100,000 IX 9 XIX 19 D 500,000 X 10 XX 20 M 1,000,000 ตัวเลข หมายถึง สื่อหรือสัญลักษณ์แทนการนับจำนวนของสิ่งต่าง ๆ ว่ามีปริมาณมากหรือน้อย ปัจจุบันนิยมใช้ตัวเลขฮินดูอารบิก ซึ่งใช้งานง่าย สะดวก และเป็นสากล ประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 เมื่อนำตัวเลขหลาย ๆ ตัวมาประกอบกันจะเป็นระบบจำนวนต่าง ๆ ที่ เราเคยเห็นและใช้กัน
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน จำนวนจริง จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนเต็ม จำนวนเศษส่วน จำนวนทศนิยม จำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ จำนวนเต็มศูนย์ 1.2 ประเภทของระบบจำนวน การใช้ตัวเลขเพื่อแสดงข้อมูลต่าง ๆในชีวิตประจำวัน เช่น อัตราแลกเปลี่ยนเงิน ข้อมูลสถิติต่าง ๆ การวัดระยะทางจากสถานที่หนึ่งไปสถานที่หนึ่ง การนับคะแนนเลือกตั้งนายกองค์การบริหารจังหวัด เป็นต้น โดยตัวเลขที่ใช้มีทั้งจำนวนเต็ม ทศนิยม และเศษส่วน ขึ้นอยู่กับความเหมาะสมของตัวเลขที่จะ นำไปใช้ในงานประเภทต่าง ๆ ซึ่งจำนวนที่ใช้อยู่ในปัจจุบันเกี่ยวข้องกับทุกคนทั้งในทางคณิตศาสตร์และ วิทยาศาสตร์จะเป็นจำนวนจริง ซึ่งระบบจำนวนจริง (Real Numbers) หมายถึง ระบบที่ประกอบด้วย จำนวนที่เป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะ เช่น -3, 2, 10, 2.51, 0.1498... , 1/4 เป็นต้น จำนวนจริงที่ใช้กันอยู่ทุกวันนี้ประกอบด้วยจำนวนต่าง ๆ ซึ่งถือกำเนิดขึ้นมาจากาการพัฒนาระบบ การนับของมนุษย์นั่นเอง เพื่อให้เข้าใจในเรื่องจำนวนจริง จึงแบ่งประเภทของตัวเลขเป็นจำนวนต่าง ๆ เพื่อให้เข้าใจง่ายในการทำความเข้าใจและเป็นพื้นฐานเบื้องต้นของการศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์ ประเภทของระบบจำนวนจริง ดังแสดงในแผนภูมิรูปที่ 1.1 รูปที่ 1.1 แสดงลักษณะประเภทของระบบจำนวนจริง ที่มา : http://duanraem.blogspot.com จากแผนภูมิรูปที่1.1จะเห็นว่าจำนวนจริงแบ่งออกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ๆ คือ จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ มีรายละเอียด ดังนี้ 1.2.1 จำนวนตรรกยะ (Rational Numbers) หมายถึง จำนวนที่เขียนได้ในรูป b a โดยที่ a และ b ต่างก็เป็นจำนวนเต็มและ b ≠ 0 หรือกล่าวได้ว่า จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูป เศษส่วนของจำนวนเต็มได้โดยที่ส่วนไม่เป็นศูนย์เช่น 4 2 , 2 1 , 1 -5 , 0.8, 1.6 เป็นต้น ซึ่งจำนวนตรรกยะ สามารถแบ่งออกเป็น 3 จำนวน ดังนี้ 1.2.1 1.2.1.1 จำนวนเต็ม (Integers) คือ จำนวนที่ไม่มีเศษส่วนหรือทศนิยมรวมอยู่ในจำนวน นั้น เช่น 1, 3, -4, -8 เป็นต้น จำนวนเต็มแบ่งได้เป็น 3 ชนิด คือ
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน 1.2.1 1.2.1.1 1) จำนวนเต็มบวก (Positive Integers) เป็นจำนวนที่ใช้แทนปริมาณที่มากกว่า ศูนย์หรือเรียกว่า จำนวนนับ (Counting Numbers) เพราะเป็นจำนวนที่ใช้นับสิ่งของต่าง ๆ โดยนับ จำนวนเริ่มต้นคือ 1 และนับเพิ่มขึ้นทีละหนึ่งไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด เช่น 1, 2, 3,... บางครั้งจะเรียก จำนวนนับอีกอย่างหนึ่งว่าจำนวนธรรมชาติ (Natural Numbers) จากที่กล่าวมาข้างต้น เพื่อแสดงให้ เห็นจำนวนเต็มบวกได้อย่างชัดเจน จึงนำตัวเลขต่าง ๆ มาเขียนบนเส้นจำนวน จะเห็นว่าจำนวนเต็มบวก ซึ่งอยู่ไปทางด้านขวามือของเลข 0 ไปเรื่อย ๆ แสดงดังรูปที่ 1.2 รูปที่1.2 เส้นจำนวนแสดงจำนวนเต็มบวก ที่มา : สุจิรา แซ่อุ๋ย 1.2.1 1.2.1.1 1) ข้อสังเกต จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดคือ 1 แต่จำนวนที่มากที่สุดไม่สามารถ บอกค่าได้ในเรื่องจำนวนนับมีเรื่องที่สำคัญที่ต้องกล่าวถึงอีก คือ จำนวนนับจำแนกได้อีก 2 ประเภท คือ จำนวนคู่และจำนวนคี่ ซึ่งมีรายละเอียดดังนี้ 1.2.1 1.2.1.1 1) (1) จำนวนคู่คือ จำนวนนับที่ 2 หารได้ลงตัว เช่น 2, 4, 6,... 1.2.1 1.2.1.1 1) (2) จำนวนคี่คือ จำนวนนับที่ 2 หารแล้วเหลือเศษ เช่น 1, 3, 5,... 1.2.1 1.2.1.1 1) ตัวอย่างตัวเลขเพื่อแสดงว่าจำนวนใดเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ ดังนี้ 1.2.1 1.2.1.1 1) 20 เป็นจำนวนคู่ เพราะ 20 หาร 2 = 10 1.2.1 1.2.1.1 1) 81 เป็นจำนวนคี่ เพราะ 81 หาร 2 ได้ 40 เศษ 1 1.2.1 1.2.1.1 1) เมื่อนำจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ มาบวกหรือคูณกัน จะได้เป็นจำนวนคู่หรือ จำนวนคี่นั้น มีข้อสังเกตบางประการของการบวกและการคูณจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ มีดังนี้ 1.2.1 1.2.1.1 1) การบวก 1.2.1 1.2.1.1 1) - จำนวนคู่ + จำนวนคู่ จะได้ จำนวนคู่ เช่น 2 + 4 = 6, 6 + 8 = 14 1.2.1 1.2.1.1 1) - จำนวนคู่ + จำนวนคี่ จะได้ จำนวนคี่ เช่น 4 + 5 = 9, 6 + 7 = 13 1.2.1 1.2.1.1 1) - จำนวนคี่ + จำนวนคี่ จะได้ จำนวนคู่ เช่น 3 + 3 = 6, 7 + 9 = 16 1.2.1 1.2.1.1 1) การคูณ 1.2.1 1.2.1.1 1) - จำนวนคู่ × จำนวนคู่จะได้ จำนวนคู่ เช่น 2 × 4 = 8, 4 × 6 = 24 1.2.1 1.2.1.1 1) - จำนวนคู่ × จำนวนคี่ จะได้ จำนวนคู่ เช่น 2 × 3 = 6, 6 × 7 = 42 1.2.1 1.2.1.1 1) - จำนวนคี่ × จำนวนคี่ จะได้ จำนวนคี่ เช่น 1 × 5 = 5, 5 × 7 = 35 1.2.1 1.2.1.1 2) จำนวนเต็มลบ (Negative Integers) เป็นจำนวนที่ใช้แทนปริมาณที่ น้อยกว่าศูนย์โดยเขียนแทนด้วยเลขจำนวนนับที่มีเครื่องหมายลบอยู่ด้านหน้า โดยจำนวนเต็มลบ เริ่มจาก -1 และลดลงทีละ 1 ไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด เช่น -2, -3, -5,... เป็นต้น หรือกล่าวได้ว่าจำนวน เต็มลบจะอยู่ทางด้านซ้ายมือของเลข 0 บนเส้นจำนวน แสดงดังรูปที่ 1.3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 จำนวนเต็มบวก
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน รูปที่1.3 เส้นจำนวนแสดงจำนวนเต็มลบ ที่มา : สุจิรา แซ่อุ๋ย 1.2.1 1.2.1.1 1) ข้อสังเกต จากรูปที่ 1.3 จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุดคือ -1 แต่จำนวนเต็มลบ ที่มีค่าน้อยที่สุดไม่สามารถบอกค่าได้ 1.2.1 1.2.1.1 3) จำนวนเต็มศูนย์คือ ตัวเลข 0 เป็นจำนวนที่อยู่ห่างจาก 1 ไปทางซ้ายมือ เป็น ระยะทาง 1 หน่วย โดยเลข 0 จะมีคุณสมบัติของตัวเลข 0 ที่สำคัญ ดังนี้ 1.2.1 1.2.1.1 1) เมื่อนำ 0 ไปบวกกับจำนวนใด ๆ ผลลัพธ์จะได้เป็นจำนวนนั้น ๆ เสมอ 1.2.1 1.2.1.1 1) เช่น 1 + 0 = 0 + 1 = 1, (-7) + 0 = 0 + (-7) = -7 1.2.1 1.2.1.1 1) เมื่อนำ 0 ไปคูณกับจำนวนใด ๆ ผลลัพธ์จะได้เป็น 0 เสมอ 1.2.1 1.2.1.1 1) เช่น 4 × 0 = 0 × 4 = 0 1.2.1 1.2.1.1 1) การหาร 0 ด้วยจำนวนเต็มใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ จะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 0 1.2.1 1.2.1.1 1) เช่น 0 ÷ 4 = 0, 0 ÷ (-3) = 0 1.2.1 1.2.1.1 1) กล่าวโดยสรุปในเรื่องของจำนวนเต็ม แบ่งได้เป็น 3 ชนิด คือ จำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และจำนวนเต็มศูนย์ เพื่อให้เข้าใจจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และจำนวนเต็มศูนย์ อย่างชัดเจนจะนำตัวเลขต่าง ๆ มาเขียนแสดงรวมทั้งหมดบนเส้นจำนวน ดังแสดงในรูปที่ 1.4 รูปที่1.4 เส้นจำนวนแสดงจำนวนเต็มประเภทต่าง ๆ ที่มา : สุจิรา แซ่อุ๋ย 1.2.1 1.2.1.1 1) จากรูปที่ 1.4 จะเห็นจำนวนเต็มประเภทต่าง ๆ ที่แสดงบนเส้นจำนวน ดังนี้ จำนวนเต็มศูนย์อยู่ตรงกลางของเส้นจำนวน ซึ่งจำนวนเต็มบวกอยู่ทางด้านขวามือของเลขศูนย์ โดย ตัวเลขเริ่มต้นคือ 1 และเพิ่มขึ้นทีละ 1 ไปเรื่อย ๆ ส่วนจำนวนเต็มลบอยู่ทางด้านซ้ายมือของเลขศูนย์ โดยตัวเลขเริ่มต้น คือ -1 และมีค่าลดลงไปทีละ -1 ไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด 1.2.1 1.2.1.2 จำนวนเศษส่วน (Fractions) เป็นจำนวนที่สร้างขึ้นเพื่อใช้แทนจำนวนที่ไม่ใช่ จำนวนเต็ม โดยทั่วไปเศษส่วนใด ๆ เขียนได้ในรูป b a โดย a, b เป็นจำนวนเต็ม และ b ≠ 0 เรียก a ว่า - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 จำนวนเต็ม ลบ -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 จำนวนเต็มลบ จำนวนเต็มศูนย์ 0 จำนวนเต็มบวก
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน ตัวเศษ (Numerator) หมายถึงจำนวนส่วนแบ่งที่ต้องการ และ b ว่า ตัวส่วน (Denominator) หมายถึง จำนวนทั้งหมดที่มีอยู่ เช่น 3 1 เรียก 1 ว่าเศษ และเรียก 3 ว่าส่วน หมายถึง มีของอยู่ทั้งหมด 3 ส่วน ต้องการเพียง 1 ส่วน เพื่อแสดงจำนวนเศษส่วนให้เห็นชัดเจนขึ้น จึงนำไปเขียนแสดงบนเส้นจำนวนโดย ใน 1 หน่วย ความยาวบนเส้นจำนวน จะแบ่งความยาวออกเป็นส่วน ๆ ที่เท่า ๆ กัน ดังรูปที่ 1.5 รูปที่1.5 เส้นจำนวนแสดงจำนวนเศษส่วน ที่มา : สุจิรา แซ่อุ๋ย 1.2.1 1.2.1.1 จากรูปที่1.5 อธิบายได้ว่า เส้นจำนวนแบ่งระยะห่างออกเป็น 3 ส่วนเท่า ๆ กัน จุด A, B, C มีความหมาย ดังนี้ 1.2.1 1.2.1.1 จุด A แทน 3 1 แสดงว่าจุด A อยู่ห่างจาก 0 ไปทางขวามือเป็นระยะทาง 1 ส่วน ของทั้งหมด 3 ส่วน 1.2.1 1.2.1.1 จุด B แทน - 3 2 แสดงว่าจุด B อยู่ห่างจาก 0 ไปทางซ้ายมือเป็นระยะทาง 2 ส่วน ของทั้งหมด 3 ส่วน 1.2.1 1.2.1.1 จุด C แทน 3 5 แสดงว่าจุด C อยู่ห่างจาก 0 ไปทางขวามือเป็นระยะทาง 5 ส่วน ของทั้งหมด 3 ส่วน 1.2.1 1.2.1.1 เศษส่วนสามารถแบ่งออกได้เป็น 3 ประเภท ดังนี้ 1.2.1 1.2.1.1 1) เศษส่วนแท้คือ เศษส่วนที่มีค่าน้อยกว่า 1 หรือตัวเศษมีค่าน้อยกว่าตัวส่วน เช่น 4 1 , 5 3 1.2.1 1.2.1.1 2) เศษส่วนเกิน คือ เศษส่วนที่มีค่ามากกว่า 1 หรือตัวเศษมีค่ามากกว่าตัวส่วน เช่น 2 3 , 3 5 1.2.1 1.2.1.1 3) เศษส่วนจำนวนคละ คือ เศษส่วนที่มีจำนวนเต็มส่วนหนึ่งกับเศษส่วนของ จำนวนเต็มอีกส่วนหนึ่ง 1.2.1 1.2.1.1 ข้อสังเกต ของจำนวนเศษส่วน จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูป เศษส่วนได้ คือ ส่วนเป็น 1 เสมอ แต่ไม่นิยมเขียน 1 กำกับไว้สามารถเปลี่ยนจำนวนที่อยู่ในรูปเศษส่วน ให้เป็นทศนิยมได้โดยนำตัวส่วนไปเป็นตัวหารเศษ กรณี 9 2 = 0.222... เมื่อหารไปเรื่อย ๆ จะได้ เลข 2 ซ้ำกันเพราะหารเหลือเศษเท่ากันทุกครั้ง ทศนิยมที่ได้นี้เรียกว่า ทศนิยมซ้ำ เช่น 15 1 = 0.0666...
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน หรือ 0.06 อ่านว่า ศูนย์จุดศูนย์หก หกซ้ำ, 6 5 = 0.8333... หรือ 0.83 อ่านว่า ศูนย์จุดแปดสาม สามซ้ำ, 4 3 = 0.75หรือ 0.750 อ่านว่า ศูนย์จุดเจ็ดห้าศูนย์ ศูนย์ซ้ำ เพราะเมื่อหารไปเรื่อย ๆ จะได้ศูนย์ซ้ำ แต่จะ ไม่นิยมเขียนศูนย์ซ้ำ ดังนั้นเศษส่วนทุกจำนวนสามารถเปลี่ยนเป็นรูปทศนิยมซ้ำได้ 1.2.1 1.2.1.3 จำนวนทศนิยม (Decimal Numbers) เป็นจำนวนที่ประกอบไปด้วย 2 ส่วน คือ ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นทศนิยม และใช้สัญลักษณ์จุด (.) คั่นระหว่างส่วนที่เป็นจำนวน เต็มและส่วนที่เป็นทศนิยมหรือการเขียนตัวเลขแสดงจำนวนที่มีค่าน้อยกว่า 1 ซึ่งจำนวนทศนิยมที่เป็น จำนวนตรรกยะสามารถแบ่งได้เป็น 2 ประเภท คือ 1.2.1 1.2.1.1 1) ทศนิยมรู้จบ เป็นจำนวนที่มีตัวเลขหลังจุดทศนิยมแน่นอนหรือมีศูนย์ซ้ำ เช่น 2.4, 4.65, 7.125 เป็นต้น 1.2.1 1.2.1.1 2) ทศนิยมไม่รู้จบชนิดซ้ำกัน เป็นจำนวนที่มีเลขทศนิยมตัวหนึ่งหรือมากกว่า ซ้ำ ๆ กันไม่มีที่สิ้นสุด โดยคาดเดาเลขทศนิยมตัวต่อไปได้ว่าจะเป็นเลขอะไร เช่น 0.633, 1.144, 20.544 เป็นต้น 1.2.2 จำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers) หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป เศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่าง เช่น 2, 3, 5, - 2, - 3, - 5 หรือซึ่งมีค่า 3.14159265... 1.3 สมบัติของจำนวนจริง สมบัติของจำนวนจริง มีความสำคัญต่อการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของจำนวนต่าง ๆ ในระบบ จำนวนจริง การดำเนินการนี้หมายถึงการบวกและการคูณ ความรู้เกี่ยวกับสมบัติของจำนวนจริงมี ความสำคัญ เพราะเป็นพื้นฐานในการศึกษาขั้นสูงต่อไปทั้งทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ กล่าวคือ จำนวนจริงใด ๆ จะมีสมบัติการเท่ากัน สมบัติการบวก และสมบัติการคูณของจำนวนจริง ซึ่งมี รายละเอียด ดังนี้ 1.3.1 สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใด ๆ สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง มีดังนี้ 1) สมบัติการสะท้อน 1) ถ้า a = a หรือกล่าวได้ว่าจำนวนจริงใด ๆ ย่อมเท่ากับจำนวนจริงจำนวนนั้น เช่น 2 = 2 4 = 4 15 = 15 2) สมบัติการสมมาตร 1) ถ้า a = b แล้ว b = a หรือกล่าวได้ว่าจำนวนจริงใดๆ ที่เท่ากัน สามารถสลับตำแหน่ง กันได้ เช่น a = 3 แล้ว 3 = a a = 8 แล้ว 8 = a
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน b = -5 แล้ว -5 = b 3) สมบัติการถ่ายทอด 1) ถ้า a = b และ b = c แล้วจะได้ a = c หรือกล่าวได้ว่าสำหรับจำนวนจริง ถ้าจำนวนที่ หนึ่งเท่ากับจำนวนที่สองและจำนวนที่สองเท่ากับจำนวนที่สามแล้ว จำนวนที่หนึ่งและจำนวนที่สามจะ เท่ากันด้วย เช่น a = b และ b = 5 แล้ว a = 5 a = b และ b = 10 แล้ว a = 10 4) สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน 1) ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c หรือกล่าวได้ว่าสำหรับจำนวนจริงสองจำนวนที่เท่ากัน เมื่อบวกแต่ละจำนวนด้วยจำนวนที่เท่ากันแล้ว ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากันด้วย เช่น a = b แล้ว a + 5 = b + 5 b = c แล้ว b + 10 = c + 10 5) สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน 1) ถ้า a = b แล้ว a × c = b × c หรือกล่าวได้ว่าถ้าจำนวนจริงสองจำนวนที่เท่ากัน เมื่อ คูณแต่ละจำนวนด้วยจำนวนเดียวกันแล้ว ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากันด้วย เช่น a = b แล้ว a x 3 = b x 3 b = c แล้ว b x 10 = c x 10 1.3.2 สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใด ๆ สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง มีดังนี้ 1) สมบัติปิดของการบวก 1) ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้วจะได้ a + b เป็นจำนวนจริงด้วย เช่น 3 และ 8 เป็นจำนวนจริง 3 + 8 = 11 9 และ -4 เป็นจำนวนจริง 9 + (-4) = 5 2) สมบัติการสลับที่ของการบวก 1) ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a + b = b + a เช่น 2 + 3 = 3 + 2 เพราะได้คำตอบเท่ากับ 5 เท่ากัน 8 + (-1) = (-1) + 8 เพราะได้คำตอบเท่ากับ 7 เท่ากัน 3) สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก 1) ถ้า a, b, c เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a + (b + c) = (a + b) + c เช่น 2, 4, 6 เป็นจำนวนจริง จะได้2 + (4 + 6) = (2 + 4) + 6 คำตอบคือ 12 7, 8, 9 เป็นจำนวนจริง จะได้ 7 + (8 + 9) = (7 + 8) + 9 คำตอบคือ 24 4) สมบัติเอกลักษณ์ของการบวก เนื่องจากในระบบจำนวนจริง มี0 เป็นเอกลักษณ์ของ การบวก 1) ถ้า a เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a + 0 = 0 + a = a หรืออาจกล่าวได้ว่า 0 เมื่อนำไป บวกกับจำนวนจริงใด ๆ ผลลัพธ์ย่อมได้จำนวนนั้น เช่น 2 + 0 = 0 + 2 = 2
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน (-3) + 0 = 0 + (-3) = -3 5) สมบัติอินเวอร์สของการบวก 1) ถ้า a + (-a) = (-a) + a = 0 นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็น อินเวอร์สของการบวก หรืออาจกล่าวได้ว่า ถ้า a เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้วจะมีจำนวนจริง จำนวนหนึ่ง เขียนแทนด้วย -a ที่ทำให้ a + (-a) = -a = a = 0 เรียก -a ว่าเป็นอินเวอร์สของการบวกของ a นั่นคือ ถ้าสองจำนวนบวกกันได้เท่ากับ 0 จะเรียกว่าจำนวนทั้งสองว่าเป็นอินเวอร์สของการบวกซึ่งกันและกัน เช่น 1 + (-1) = (-1) + 1 = 0 (-5) + 5 = 5 + (-5) = 0 ตัวอย่างที่1.1 จงหาผลบวกของ 29 + 16 โดยใช้สมบัติปิดของการบวก วิธีทํา 29 + 16 = 16 + 29 20 = 20 ตัวอย่างที่1.2 จงหาผลบวกของ 13 + 7 โดยใช้สมบัติการสลับที่ของการบวก วิธีทํา 13 + 7 = 7 + 13 20 = 20 ตัวอย่างที่1.3 จงหาผลบวกของ 3 + (6 + 9) โดยใช้สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก วิธีทํา 3 + (6 + 9) = (3 + 6) + 9 3 + 15 = 9 + 9 18 = 18 ตัวอย่างที่1.4 จงหาผลบวกของ 10 + 0 โดยใช้สมบัติเอกลักษณ์ของการบวก วิธีทํา 10 + 0 = 0 + 10 10 = 10 ตัวอย่างที่1.5 จงหาผลบวกของ (-20) + 20 โดยใช้สมบัติอินเวอร์สของการบวก วิธีทํา (-20) + 20 = 20 + (-20) 0 = 0 1.3.3 สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง 1.3.2 กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใด ๆ สมบัติของการคูณในระบบจำนวนจริง มีดังนี้ 1) สมบัติปิดของการคูณ 1) คือ a x b หรือเขียนเป็น ab ได้จำนวนจริงด้วย กล่าวคือ a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a x b เป็นจำนวนจริงด้วย เช่น 2 x 3 = 6 (5)(6) = 30 2) สมบัติการสลับที่ของการคูณ 1) คือ a x b = b x a หรือเขียนเป็น ab = ba กล่าวคือ a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a x b = b x a เช่น 4 x 6 = 6 x 4 = 24 (7)(9) = (9)(7) = 63
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน 3) สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ 1) คือ a x (b x c) = (a x b) x c หรือเขียนเป็น a(bc) = (ab)c กล่าวคือ ถ้า a, b, c เป็น จำนวนจริงแล้ว จะได้ a x (b x c) = (a x b) x c เช่น 3 x (4 x 6) = (3 x 4) x 6 = 72 (2)((4)(6)) = ((2)(4))(6) = 48 4) สมบัติการแจกแจง สามารถมีได้บนการดำเนินการทวิภาค ซึ่งเป็นกรณีทั่วไปของกฎ การแจกแจงจากพีชคณิตมูลฐาน จะได้a × (b + c) = (a × b) + (a × c) เช่น 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5) = 27 (2)(6 + 9) = (2)(6) + (2)(9) = 30 5) สมบัติเอกลักษณ์ของการคูณ 1) คือ (1 x a) = (a x 1) = a ในระบบจำนวนจริง กำหนดให้ 1 เป็นสัญลักษณ์สำหรับ การคูณ ถ้า a เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ 1 x a = a x 1 = a หรือกล่าวได้ว่า 1 เมื่อนำไปคูณกับจำนวน ใด ๆ ผลลัพธ์ย่อมได้จำนวนนั้น เช่น 1 x 9 = 9 x 1 = 9 (1)(20) = (20)(1) = 20 6) สมบัติอินเวอร์สของการคูณ 1) สำหรับจำนวนจริงใด ๆ ที่ a ≠ 0 แต่ละจำนวนจะมีจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง เขียนแทน ด้วยว่าเป็นอินเวอร์สของการคูณของ a หรือกล่าวได้ว่าจำนวนสองจำนวนที่คูณกันแล้วได้เท่ากับ 1 จะ เรียกจำนวนทั้งสองว่าเป็นอินเวอร์สของการคูณของกันและกัน จะได้a × a -1 = a -1 + (-1) = a 0 = 1 เช่น 2 x 2-1 = 2 1 + (-1) = 2 0 = 1 4 x 4-1 = 4 1 + (-1) = 4 0 = 1 ตัวอย่างที่1.6 จงหาผลคูณของ 17 x 12 โดยใช้สมบัติปิดของการคูณ วิธีทํา 17 x 12 = 204 ตัวอย่างที่1.7 จงหาผลคูณของ 15 x 6 โดยใช้สมบัติการสลับที่ของการคูณ วิธีทํา 15 x 6 = 6 x 15 = 90 ตัวอย่างที่1.8 จงหาผลคูณของ 2 x (5 x 8) โดยใช้สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ วิธีทํา 2 x (5 x 8) = (2 x 5) x 8 2 x 40 = 10 x 8 80 = 80 ตัวอย่างที่1.9 จงหาผลคูณของ 5 × (6 + 7) โดยใช้สมบัติการแจกแจง วิธีทํา 5 × (6 + 7) = (5 × 6) + (5 × 7) 5 x 13 = 30 + 35 65 = 65
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน ตัวอย่างที่1.10 จงหาผลคูณของ 100 x 1 โดยใช้สมบัติเอกลักษณ์ของการคูณ วิธีทํา 100 x 1 = 1 x 100 = 100 ตัวอย่างที่1.11 จงหาผลคูณของ 10 x 10-1 โดยใช้สมบัติอินเวอร์สของการคูณ วิธีทํา 10 x 10-1 = 101 + (-1) = 100 = 1 สรุป วิวัฒนาการของตัวเลขมีมาตั้งแต่อดีตจนถึงปัจจุบัน มีผู้คิดค้นพัฒนามาหลายๆรูปแบบ เพื่อใช้ แทนจำนวนของการนับ เช่น ชาวกรีกใช้การนับนิ้วมือหรือก้อนหิน ในสมัยอียิปต์ใช้รูปภาพแทนตัวเลข ชาวบาบิโลนใช้ลิ่มเป็นสัญลักษณ์ เป็นต้น จำนวนจริงแบ่งออกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ๆ คือ จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ การใช้ ตัวเลขเพื่อแสดงข้อมูลต่าง ๆ ในชีวิตประจำวัน โดยตัวเลขที่ใช้มีทั้งจำนวนเต็ม ทศนิยม เศษส่วน ขึ้นอยู่ กับความเหมาะสมของตัวเลขที่จะนำไปใช้ในงานประเภทต่าง ๆ ซึ่งจำนวนที่ใช้อยู่ในปัจจุบันเกี่ยวข้องกับ ทุกคนทั้งในทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์จะเป็นจำนวนจริง สมบัติของจำนวนจริง มีความสำคัญต่อการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของจำนวนต่าง ๆ ใน ระบบจำนวนจริง การดำเนินการนี้หมายถึงการบวกและการคูณ ความรู้เกี่ยวกับสมบัติของจำนวนจริงมี ความสำคัญ เพราะเป็นพื้นฐานในการศึกษาขั้นสูงต่อไปทั้งทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ กล่าวคือ จำนวนจริงใด ๆ จะมีสมบัติการเท่ากัน สมบัติการบวก และสมบัติการคูณของจำนวนจริง
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน แบบฝึกหัด หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน คำชี้แจง : ให้นักศึกษาทำแบบฝึกหัดต่อไปนี้ด้วยตนเอง ด้วยความซื่อสัตย์ 1. จงอธิบายวิวัฒนาการของจำนวนและตัวเลขมาพอสังเขป ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. ตัวเลข หมายถึง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. จำนวนจริงแบ่งออกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ๆ คือ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. จำนวนเต็มแบ่งออกเป็นกี่ชนิด อะไรบ้าง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. จำนวนเศษส่วน คือ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6. เศษส่วนสามารถแบ่งออกได้เป็น 3 ประเภท คือ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 7. จำนวนทศนิยม คือ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน 8. จงทำเครื่องหมาย (√) หน้าข้อที่ถูกต้องและทำเครื่องหมาย (X) หน้าข้อที่ไม่ถูกต้อง ____________8.1 200−5 เป็นจำนวนเต็ม ____________8.2 ถ้า a เป็นจำนวนเต็มและ b เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น a + b จึงเป็นจำนวนเต็ม ____________8.3 0.101001000... เป็นจำนวนตรรกยะ ____________8.4 0.1234 เป็นจำนวนอตรรกยะ ____________8.5 −50 เป็นจำนวนจริง ____________8.6 −5 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ ____________8.7 จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุดคือ -1 ____________8.8 0 เป็นจำนวนนับ ____________8.9 5.161616... เป็นจำนวนตรรกยะ ____________8.10 + 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ 9. จงเติมคำในช่องว่างให้ถูกต้อง 9.1 สมบัติ……………………………………………………………….. เช่น 5 + (6 + 7) = (5 + 6) + 7 9.2 สมบัติ……………………………………………………………….. เช่น 2 x (4 + 8) = (2 x 4) + (2 x 8) 9.3 สมบัติ……………………………………………………………….. เช่น a + 0 = a 9.4 สมบัติ……………………………………………………………….. เช่น 20 x 1 = 1 x 20 9.5 สมบัติ……………………………………………………………….. เช่น 3 + 6 = 6 + 3 10. จงตอบคำถามต่อไปนี้แล้วเติมคำในช่องว่างให้ถูกต้อง 10.1 100 + (45 + 55) = ……………………………………………………………………………… 10.2 10 x (20 + 30) = ……………………………………………………………………………… 10.3 a + 0 = ……………………………………………………………………………… 10.4 100 x 0 = ……………………………………………………………………………… 10.5 10 x (6 x 5) = ………………………………………………………………………………
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน ใบประเมินผลแบบฝึกหัด หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน ชื่อผู้เรียน............................................................. เลขที่....................... ระดับชั้น........................................... สาขาวิชา.................................. รายการประเมินผล คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ หมายเหตุ แบบฝึกหัดข้อที่ 1 3 แบบฝึกหัดข้อที่ 2 3 แบบฝึกหัดข้อที่ 3 2 แบบฝึกหัดข้อที่ 4 3 แบบฝึกหัดข้อที่ 5 3 แบบฝึกหัดข้อที่ 6 3 แบบฝึกหัดข้อที่ 7 3 แบบฝึกหัดข้อที่ 8 10 แบบฝึกหัดข้อที่ 9 5 แบบฝึกหัดข้อที่ 10 5 รวมคะแนน 40 คะแนนจริง 10 เกณฑ์การประเมิน ทำแบบทดสอบได้ 9 – 10 คะแนน ระดับคุณภาพ ดีมาก ทำแบบทดสอบได้ 7 – 80 คะแนน ระดับคุณภาพ ดี ทำแบบทดสอบได้ 5 – 60 คะแนน ระดับคุณภาพ พอใช้ ทำแบบทดสอบได้ 0 – 40 คะแนน ระดับคุณภาพ ปรับปรุง ลงชื่อ..................................................ผู้ประเมิน (....................................................) วันที่.........................................................
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน แบบทดสอบความรู้หลังเรียน คำชี้แจง 1) จงเลือกตัวเลือกที่ถูกต้องที่สุด แล้วทำเครื่องหมายกากบาท (×) ลงในกระดาษคำตอบ 2) ข้อสอบจำนวน 10 ข้อ เวลาสอบ 15 นาที คะแนนเต็ม 10 คะแนน 1. 5 x 5-1 มีค่าเท่าไหร่ ก. 1 ข. 5 ค. 25 ง. 250 2. (-20) + 20 มีค่าเท่าไหร่ ก. -40 ข. -1 ค. 0 ง. 40 3. ตัวเลขโรมันข้อใดมีค่าเท่ากับ 16 ก. VI ข. XI ค. XIV ง. XVI 4. จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้โดยที่ส่วนไม่เป็นศูนย์คือข้อใด ก. จำนวนเต็ม ข. จำนวนตรรกยะ ค. จำนวนอตรรกยะ ง. จำนวนทศนิยม 5. ข้อใดคือสมบัติเอกลักษณ์ของการคูณ ก. a x b = b x a ข. (1 x a) = (a x 1) = 1 ค. (1 x a) = (a x 1) = a ง. a × a-1 = a-1 + (-1) = a0 = 1 6. ข้อใดคือสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก ก. a + 0 = 0 + a = a ข. a + (b + c) = (a + b) + c ค. a + (b + c) = (b + c) + a ง. a × (b + c) = (a × b) + (a × c) 7. ถ้า a = b และ b = c แล้วจะได้ a = c ตรงกับสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริงในข้อใด ก. สมบัติการสะท้อน ข. สมบัติการสมมาตร ค. สมบัติการถ่ายทอด ง. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน 8. ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a + b = b + a ตรงกับสมบัติการบวกในข้อใด ก. สมบัติปิดของการบวก ข. สมบัติเอกลักษณ์ของการบวก ค. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก ง. สมบัติการสลับที่ของการบวก 9. ข้อใดกล่าวไม่ถูกต้อง ก. จำนวนเต็มศูนย์เป็นจำนวนที่อยู่ห่างจาก 1 ไปทางขวามือ ข. จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนที่ใช้แทนปริมาณที่น้อยกว่าศูนย์ ค. จำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนที่ใช้แทนปริมาณที่มากกว่าศูนย์ ง. จำนวนเศษส่วนเป็นจำนวนที่สร้างขึ้นเพื่อใช้แทนจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม 10. ข้อใดกล่าวถูกต้อง ก. 0 เป็นจำนวนนับ ข. 2.345 เป็นจำนวนตรรกยะ ค. 0.060606 เป็นจำนวนอตรรกยะ ง. ถ้า a เป็นจำนวนตรรกยะแล้ว เป็นจำนวนอตรรกยะ
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน กระดาษคำตอบแบบทดสอบความรู้หลังเรียน คำสั่ง จงเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียวแล้วทำเครื่องหมาย (×) ลงในกระดาษคำตอบ ชื่อผู้เรียน............................................................. เลขที่....................... ระดับชั้น........................................... สาขาวิชา.................................. ข้อ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 สรุปผล คะแนนเต็ม 10 คะแนนที่ได้ เกณฑ์การประเมิน ทำแบบทดสอบได้ 9 – 10 คะแนน ระดับคุณภาพ ดีมาก ทำแบบทดสอบได้ 7 – 80 คะแนน ระดับคุณภาพ ดี ทำแบบทดสอบได้ 5 – 60 คะแนน ระดับคุณภาพ พอใช้ ทำแบบทดสอบได้ 0 – 40 คะแนน ระดับคุณภาพ ปรับปรุง
หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน แบบสังเกตพฤติกรรม (จิตพิสัย) ชื่อผู้เรียน............................................................. เลขที่....................... ระดับชั้น........................................... สาขาวิชา.................................. ประเมิน กิจกรรม คะแนนเต็ม ระดับคะแนนที่ได้ หมายเหตุ 5 5 3 1 คุณธรรม-จริยธรรม 1. ความรับผิดชอบ 5 2. ความมีวินัย 5 3. ความสนใจใฝ่รู้ 5 4. ความซื่อสัตย์ 5 รวมคะแนน 20 คะแนนจริง 10 เกณฑ์การประเมินจิตพิสัย ความหมายของระดับคะแนน 5 = ปฏิบัติอย่างสม่ำเสมอ โดยไม่ต้องมีการชี้นำหรือตักเตือน 3 = ปฏิบัติบ้างในบางครั้งจากการเชิญชวนหรือชี้นำ 1 = ต้องสั่ง บังคับ ว่ากล่าวหรือตักเตือน จึงจะปฏิบัติหรือมักจะปฏิบัติในทางที่ผิดเสมอ เกณฑ์การประเมิน 9 – 10 คะแนน ระดับคุณภาพ ดีมาก 7 – 80 คะแนน ระดับคุณภาพ ดี 5 – 60 คะแนน ระดับคุณภาพ พอใช้ 0 – 40 คะแนน ระดับคุณภาพ ปรับปรุง ลงชื่อ..................................................ผู้ประเมิน (....................................................) วันที่.........................................................