Matematika Peminatan
Interval Monoton Naik dan Monoton Turun ,
Titik Balik Maksimum dan Minimum
Meri Gustina, S.Pd
Tujuan Pembelajaran
Dapat menentukan Interval Monoton Naik dan Monoton
Turun
Dapat menentukan balik Titik Maksimum dan Titik balik
Minimum
Meri Gustina, S.Pd
Rumus Nilai Maksimum dan Minimum
y = sin( + ) + Nilai maks = a + c
Nilai min = - a + c
y = sin + cos + Nilai maks = 2 + 2 + c
Nilai min = - 2 + 2 + c
Meri Gustina, S.Pd
Contoh 1
Tentukanlah nilai maksimum dan minimum dari = 3 sin 2 + 5 + 4
∶
a = 3, k = 2, c + 4
Nilai maks = a + c Nilai min = - a + c
=3+4 =-3+4
=7 =1
Meri Gustina, S.Pd
Contoh 2
Tentukanlah nilai maksimum dan minimum dari = 3 sin 2 + 4 cos 2 − 3
∶
a = 3, b = 4, c = - 3
Nilai maks = 2 + 2 + c Nilai min = - 2 + 2 + c
= 32 + 42 - 2 = - 32 + 42 - 2
=5-2 =-5-2
=3 = -7
Meri Gustina, S.Pd
Rumus Interval Monoton naik dan Monoton Turun
y = sin( + ) + Fungsi monoton naik jika
y = a cos (kx + b) + c y’ > 0 ( + )
Fungsi monoton naik jika
y’ < 0 ( - )
Meri Gustina, S.Pd
Contoh Soal 1
Tentukanlah selang monoton naik dan monoton turun serta titik balik maksimum
dan minimum dari f(x) = sin (2x + 30) + 1 untuk 0o ≤ x ≤ 360o
∶ Kw IV = 360o – 90o = 270o
f(x) = sin (2x + 30) + 1 cos (2x + 30) = cos (270o + k . 360o)
f ’ (x) = 2 cos (2x + 30) 2x + 30 = 270o + k . 360o 2x = 240o + k . 360o
f ’ (x) = 0 x = 120o + k.180o k = 0 → x = 120o
2 cos (2x + 30) = 0 k = 1 → x = 120o + 180o = 300o
cos (2x + 30) = 0
Kw I = 90o
Kw I = 90o Kw IV = 360o – 90o = 270o
cos (2x + 30) = cos ( 90o + k . 360o )
2x + 30 = 90o + k . 360o 2x = 60o + k . 360o
x = 30o + k.180o k = 0 → x = 30o
k = 1 → x = 30o + 180o = 210o
Meri Gustina, S.Pd
LanjutanContoh Soal 1
f(x) = sin (2x + 30) + 1 f ’ (x) = 2 cos (2x + 30)
Kw I = 90o
Kw IV = 360o – 90o = 270o
k = 0 → x = 30o k = 0 → x = 120o
k = 1 → x = 30o + 180o = 210o k = 1 → x = 120o + 180o = 300o
+– + – + 360o
0o 30o 120o 210o 300o
x = 15 → f ’ (x) = 2 cos (2x + 30) = 2 cos 60 = 1 (+ )
Interval Monoton Naik adalah 0o x < 30o atau 120o < x < 210o atau 300o < x 360o
Interval Monoton Turun adalah 30o < x 120o atau 210o < x < 300o
Meri Gustina, S.Pd
LanjutanContoh Soal 1
f(x) = sin (2x + 30) + 1
+– + – + 360o
0o 30o 120o 210o 300o
max min max min
Nilai max = a + c Nilai min = - a + c
=1+1 =-1+1
=2 =0
Koordinat titik balik maksimum Koordinat titik balik minimum
(30o, 2) (210o, 2) (120o, 0) (300o, 0)
Meri Gustina, S.Pd
Contoh Soal 2
Tentukanlah selang monoton naik dan monoton turun, koordinat titik balik
maksimum dan minimum dari F(x) = 3 cos (3x – 15)o + 5 untuk 0o ≤ x ≤ 360o
∶ Kw II = 180o – 0o = 180o
F(x) = 3 cos (3x – 15)o + 5 sin (3x – 15)o = sin (180o + k . 360o)
f ’ (x) = - 9 sin (3x – 15)o (3x – 15)o = 180o + k . 360o 3x = 195o + k . 360o
f ’ (x) = 0 x = 65o + k.120o k = 0 → x = 65o
- 9 sin (3x – 15)o = 0 Kw I = 0o k = 1 → x = 65o + 120o = 185o
sin (3x – 15)o = 0 Kw II = 180o – 0o = 180o k = 2 → x = 65o + 240o = 305o
Kw I = 0o
sin (3x – 15)o = sin (0o + k . 360o)
(3x – 15)o = 0o + k . 360o 3x = 15o + k . 360o
x = 5o + k.120o k = 0 → x = 5o
k = 1 → x = 5o + 120o = 125o
Meri Gustina, S.Pd k = 2 → x = 5o + 240o = 245o
Lanjutan Contoh Soal 2
F(x) = 3 cos (3x – 15)o + 5 f ’ (x) = - 9 sin (3x – 15)o
Kw I = 90o Kw IV = 360o – 90o = 270o
k = 0 → x = 5o k = 0 → x = 65o
k = 1 → x = 5o + 120o = 125o k = 1 → x = 65o + 120o = 185o
k = 2 → x = 5o + 240o = 245o k = 2 → x = 65o + 240o = 305o
+– + – +– +
0o 5o 65o 125o 185o 245o 305o 360o
x = 15 → f ’ (x) = - 9 sin (3x – 15)o = -9 sin 30 = − 9( - )
2
Interval Monoton Naik adalah 0o x < 5o atau 65o < x < 125o atau 185o < x < 245o atau 305o < x 360o
Interval Monoton Turun adalah 5o < x < 65o atau 125o < x < 185o atau 245o < x < 305o
Meri Gustina, S.Pd
Lanjutan Contoh Soal 2
F(x) = 3 cos (3x – 15)o + 5
+– + – +– +
0o 5o 65o 125o 185o 245o 305o 360o
max min max min max min
Nilai max = a + c Nilai min = - a + c
=3+5 =-3+5
=8 =2
Koordinat titik balik maksimum Koordinat titik balik minimum
(5o, 8) (125o, 8) (245o, 8)
(65o, 2) (185o, 2) (305o, 2)
Meri Gustina, S.Pd
Sekian Terimakasih
Meri Gustina, S.Pd