คณิตศาสตร์

ตรรกศาสตร์ร์ ร์ร์ เก่งคณิตพิชิต โจทย์ปัญหา ผู้เเต่ง : สาวจันจิรา ศรีจันทร์

E-Book เรื่อง ตรรกศาสตร์ ฉบับนี้จัดขึ้นเพื่อใช้ ประกอบการสอนในวิชาคณิตศาสตร์ระตับชั้นมัธยมศึกษาปี ที่4 โรงเรียนน้ำ สวยวิทยา ซึ่งมีเนื้อหาตรงตามหลักสูตรแกน กลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ2560)มาตรฐานการเรียนรู้ ค ๑.๑ เข้าใจความหลากหลาย ของการแสดงจำ นวน ระบบจํานวน การดำ เนินการของ จำ นวน ผลที่เกิดขึ้นจากการดำ เนินการ สมบัติของการ ดำ เนินการและ นำ ไปใช้ ตัวชี้วัด ค2.2 ม.4/1 ผู้จัดทำ หวังว่า E-Book เล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อนักเรียน ทุกคนที่กำ ลังศึกษาเรื่อง ตรรกศาสตร์และจะช่วยให้นักเรียน บรรลุตามวัตถุประสงค์การเรียนรู้ตามมาตรฐานการเรียนู้ คำ นำ นางสาวจันจิรา ศรีจั รีจั นทร์ นักศึกษาสาขาคณิตศาสตร์

ประพจน์ที่สมมูลกัน สารบัญ ประพจน์ ตัวเชื่อมประพจน์ ตารางค่าความจริงริ สันนิรันดร์ การอ้างเหตุผล เเบบฝึกหัด เฉลยแบบฝึกหัด บรรณานุกรม ประวัติส่วนตัว

หน่วยการเรีย รี นรู้ที่ 1 เรื่อง ตรรกศาสตร์ ตัวชี้วัด จุดประสงค์ของ การเรียนรู้ สาระการเรียนรู้ ค 1.1 ม.4/1 เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับ เซตและตรรกศาสตร์เบื้องต้นในการ สื่อสารและ สื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ นักเรียนรู้ถึงหลักการและวิธีการหาค่าความ จริงใช้สัญลักษณ์สื่อความหมายได้ • ประพจน์และตัวเชื่อม (นิเสธ และ หรือ ถ้า...แล้ว... ก็ต่อเมื่อ และการให้เหตุผล)

“ประพจน์” 1) ดาวเสาร์เป็นดาวเคราะห์ (จริง) 2) 8 ไม่เท่ากับ 3 (จริง) 3) 15 – 8 > 20 (เท็จ) “ประพจน์”คือ คืประโยคหรือ รื ข้อ ข้ความที่เป็นจริง หรือ รื เท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เช่น คำ สั่ง คำ ขอร้อง คำ อุทาน คำ อ้อนวอน คำ แสดงความปรารถนา เป็นต้น เอ่!! เช่น ว้าววสวยจัง ใช่ไหมนะ ตัวอย่างประโยคที่เป็นประพจน์ ตัวอย่างประโยคที่ ไม่เป็นประพจน์ 1) 100 บวก 20 มีค่มีค่าเท่าไหร่ (ประโยคคำ ถาม) 2) โปรดอย่าเดินลัดสนาม (ข้อข้ความขอร้อง) 3)ให้อภัยฉันด้วยเถิด (ข้อข้ความอ้อนวอน) 4)อยากกินเค้กค้อร่อยๆ (ข้อข้ความแสดงความปรารถนา) 5)ว้าว้ว สวยจัง (คำ อุทาน) สรุปก็คือคืถ้าเราบอกได้ ว่าข้อข้ความนั้นเป็นความ จริงหรือรืไม่จริงเป็น ประพจน์ อ๋อ อ๋ !! ถ้าถ้ เราบอกไม่ได้ ว่าว่ข้อข้ ความนั้นเป็นความ จริงหรือ รื ไม่จริงไมเป็น ประพจน์

ตัวเชื่อมประพจน์ ตัวเชื่อม “และ” (∧) เป็นจริงเพียพีง กรณีเดียวคือคื T∧T เป็น T ตัวเชื่อม “หรือรื” (∨) เป็นเท็จเพียพีง กรณีเดียวคือคื F∨F เป็น F ตัวเชื่อม “ถ้า…แล้วล้…” (→) เป็นเท็จ เพียพีงกรณีเดียว คือคื T → F เป็น F ตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” (↔) ถ้ามีค่มีค่า ความจริงเหมือมืนกันจะเป็นจริง ไม่ เหมือมืนกันจะเป็นเท็จ 1. 2. 3. 4. นักเรียนคงพอรู้จัก สัญลักษณ์ไปดูที่ตัว เชื่อมต่อกันเลย หรือรืและ ถ้ถ้ถ้ ถ้ า ถ้ า ถ้ า…แล้ล้ล้ ล้ ว ล้ ว ล้ ว…ก็ก็ก็ก็ ต่ ก็ ต่ ก็ ต่ ต่ อ ต่ อ ต่ อเมื่มื่มื่ มื่มื่ อมื่มื่ อมื่มื่ เป็นจริง ใช้สัญลักษณ์ T เป็นเท็จ ใช้สัญลักษณ์ F ถ้ามีวมีงเล็บ ให้หาความจริงในวงเล็บก่อน ถ้าไม่มีวมีงเล็บ ให้หาความจริงของ “~” ก่อนแล้วล้จึงจึ“∧” “∨” “→” และ “↔” ตามลำ ดับ เทคนิค

ตารางค่าความจริง มี 3 ประพจน์ : 2³=8 แบบ F F F T F F F T T T F T F T จงหาค่าความความจริง(p → q) →~r p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q T T F F T T T T T F F F F F T T T F T T T T F F กำ หนด p,q เป็นประพจน์ เทคนิคการสร้างตาราง แจกแจงความจริง หาจำ นวนวิธีแจกแจงโดยใช้สูตร 2ⁿ เริ่มจากเขียขีนประพจน์ตัวแรก เขียขีน T ลงมาครึ่งหนึ่ง และเขียขีน F อีกครั้ง ที่เหลือลื จำ นวนค่าความจริงของประพจน์ตัว ต่อไปก็จะเป็นครึ่งหนึ่งของประพจน์ ตัวก่อน 1. 2. 3. ตัวอย่าง p q r ~r p → q (p → q) →~r T T T F T T T F F F T T F T F F T T F F F F T T T T T T F F T T T แค่นี้ T นี้ สบายๆจิ๊บจ๊อย

ประพจน์ที่สมมูลกัน คือปคื ระพจน์ที่มีค่มีค่ าความจริงเหมือมืนกันทุกกรณี สัญลักษณ์ “ ≡ ” แทนคำ ว่าสมมูล สามารถทำ ได้ 2 วิธี คือคื การใช้ตารางแจกแจงความจริง หรือรืการใช้สมบัติสมมูลของประพจน์ สมบัติการสมมูล สมบัติการสลับที่ p ∧ q ≡ q ∧ p p ∨ q ≡ q ∨ p p ↔ q ≡ q ↔ p สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r p ↔ ( q ↔ r ) ≡ ( p ↔ q ) ↔ r ≡ p ↔ q ↔ r สมบัติการแจกแจง p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) p → ( q ∨ r ) ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r ) p → ( q ∧ r ) ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r ) ( p ∨ q ) → r ≡ ( p → r ) ∧ ( p → r ) ( p ∧ q ) → r ≡ ( p → r ) ∨ ( p → r ) สมบัติของ “ถ้า..แล้วล้..” ( → ) p→ q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q สมบัติของ “ก็ต่อเมื่อ” ( ↔ ) p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p ) สมบัติของนิเสธ ( ~ ) ~(~p) ≡ p ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q ~(p → q) ≡ p ∧ ~q ~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~q เปลี่ยน “ถ้า…แล้วล้…” เป็น “หรือรื” ง่ายๆ ด้วยประโยค “หน้าเปลี่ยนไป “หรือรื” หลัง เฉยๆ วิธีนี้ใช้ได้ทั้งไปและ กลับ

p→ q ≡ p∨ q ≡ q∨ p ≡ q→ p ประพจน์ที่สมมูลกัน ตัวอย่าง จงพิจารณาว่า ประพจน์ที่ให้มาสมมูลกันหรือ รืไม่ p→ q กับ q→ p ใช้ช้ช้ช้ช้ช้ตารางแจกแจงความจริริริ ริริริ ง จากตารางค่าความจริง จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p→ q กับ q→ p มีค่มีค่าความจริง เหมือมืนกันทุกกรณี ดังนั้น p→ q กับ q→ p สมมูลกัน ใช้ช้ช้ช้ช้ช้สมบับับับับับัติติติ ติติติ p ∨ q ≡ q ∨ p p→ q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q ฉู้ๆฮะ!! p→ q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q หยุดก่อนน!! คำ ถามวัดกึ๋น?? ที่ไหนมีถมีนน แต่ไม่มีย มีานพาหนะ มีบ้ มี บ้ านแต่ไม่มีคมีน มีซุ มี ซุ ปเปอร์มาร์เก็ต บริษัท… แต่ไม่มีสิมีสินค้า ค้… ที่ไหน เนี่ย??!! ติ๊กต๊อกๆ!!!?? บนแผนที่!! ตอบถูกกันอะป่าวว555

สร้างตารางค่าความจริง(ใช้เวลานาน เสียเวลา) ใช้วิธีหาข้อ ข้ ขัดแย้ง ย้ นิยมใช้กับตัวเชื่อม “หรือรื” กับ “ถ้า..แล้วล้..” หากใช้กับ “และ” , “ก็ต่อเมื่อ” อาจจะ ต้องทำ หลายครั้ง 1. 2. 3.การใช้หลักสมมูล เราจะใช้วิธีนี้กับตัวเชื่อม “ก็ต่อ เมื่อ” โดยมีห มี ลักการ Δ ↔ Ο ถ้า Δ ≡ Ο จะได้ว่า Δ ↔ Ο เป็นสัจจนิรันดร์ (เหมือมืนตัวอย่างก่อนหน้านี้) สัจนิรันดร์ สัจนิรันดร์” คือ คื ประพจน์ที่มีค่มีค่ าความจริงเป็นจริงทุก กรณี มีวิ มีวิธีการตรวจสอบ 3 วิธี **สมมติให้ประพจน์มีค่มีค่าความจริงเป็นเท็จ (ส่วนใหญ่ใช้วิธีนี้ ) ถ้า “ สอดคล้อล้ง ” กับที่สมมติให้เป็นเท็จ แสดงว่า ไม่เป็นสันนิรันดร์ ถ้า “ ไม่สอดคล้อล้ง ” กับที่สมมติให้เป็นเท็จ แสดงว่า เป็นสันนิรันดร์ เดี๋ยวก่อนน!!555 แอ๊ะๆ!!ครูสงสัย มีคมีวาย 1 ตัว หัวหันไปทางทิศตะวันขึ้น เลี้ยวซ้าย 2 ครั้ง แล้วล้หันหลังกลับแล้วล้เลี้ยวขวาอีกครั้ง หรือรืถามว่า หางชี้ไปทางไหน? ไปต่อกันฮะ!!! ชี้ไปที่พื้น!555

สัจนิรันดร์ ตัวอย่าง 1. ใช้ตารางแสดงค่าความจริง 2. ใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง จุดเริ่ม เกิดข้อข้ขัดแย้งย้ ตอบ เป็นสันนิรันดร์ ฮะ จะเห็นว่า รูปแบบของประพจน์ [ ( p → q ) ∧ p ] → q มีค่มีค่าจริงเป็นจริงทุกกรณี ดังนั้น [ ( p → q ) ∧ p ] → q เป็น สัจนิรันดร์ จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือ รืไม่ 1. [ ( p → q ) ∧ p ] → q 1. ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) วิธีทำ สมมุติว่า ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นเท็จ จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p และ q เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ แสดงว่า ไม่มีกมีรณีที่ทำ ให้ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นสัจนิรันดร์

จะได้ด้ด้ ด้ ว่ ด้ ว่ ด้ ว่ว่ว่ว่า ไม่ม่ม่ม่ม่ม่มีมีมีข้ข้ มี ข้ มีมี อ ข้อ ข้ข้ ขัขัขัขัขัดขัแย้ย้ย้ง ย้ ง ย้ ง ย้ใด ๆ เกิกิกิกิดขึ้ขึ้ ขึ้ นขึ้แสดงว่า เกิดขึ้ ขึ้ขึ้น แสดงว่า ขึ้ น แสดงว่า ประพจนี้ ประพจนี้ ประพจนี้ไไไม่ม่ม่ม่ม่เป็ป็ป็ป็ นสัสัสัสัจนินินินิรัรัรัรันดร์ร์ร์ร์ ม่เป็นสัจนิรันดร์ สัจนิรันดร์ ตัวอย่าง คำ ถามตึงสติ!! เสือถูกล่ามโซ่กับต้นไม้ โซ่ยาว 30 เมตร มีพุ่ มี พุ่ มไม้ห ม้ ญ้า ญ้ ห่างจากต้นไม้ 31 เมตร เสือกินหญ้า ญ้ได้อย่างไร? ติกตอกๆ คำ ตอบคืออะไร น้าา 2 ) [ p∧(p∨ (r∧s))]→( r∨s) เป็นสัจนิรันดร์หรือรืไม่ อ๋อ อ๋ อ!! เจ๋ง จ๋ แจ๋ว จ๋ คำ ต๊อบบคือคืออ!!!! เสือไม่กินหญ้าญ้ 555

1.) เหตุและผลจะเชื่อมกันด้วนเครื่องหมาย ถ้า…แล้วล้… 2.) สมมติให้เป็นเท็จ จะได้ เหตุเป็นจริง และผลเป็นเท็จ ถ้าสอดคล้อล้ ง แปลว่า ไม่สมเหตุสมผล ถ้าไม่สอดคล้อล้ ง แปลว่า สมเหตุสมผล เช่น กำ หนดให้เหตุคือ คื 1. p∧q 2. p→(q→r) ผล คือ คื r ผล คือ คื ผลสรุปจากเหตุ แทนด้วย Q การอ้างเหตุผล ประกอบด้วย เหตุ คือ คื ส่ิงที่ถูกกำ หนดมาให้ การอ้างเหตุผล คือ คื การตรวจสอบว่าข้อ ข้ความที่ให้มาสมเหตุสมผลหรือ รืไม่ วิธีตรวจสอบ 1.)นำ เหตุมาเชื่อมกันด้วย ∧ และ เชื่อม → กับผล(สันนิรันดร์) 2.)ให้เหตุของทุกข้อเป็นT หาค่า ความจริงแล้วล้นำ ไปแทนในผล 3.)ใช้รูปแบบที่มีกมีารพิสูจน์ ว่าสม เหตุสมผล 1. ถ้า สมศรีสอบได้ที่หนึ่ง แล้วล้ สมศรีเรียนเก่ง 2. ถ้า สมชายเรียนต่อต่างประเทศ แล้วล้ สมชายเก่งภาษาอังกฤษ 3. สมศรีสอบได้ที่หนึ่ง หรือรื สมชายเรียนต่อต่างประเทศ ผล คือคื สมศรีเรียนเก่ง หรือรื สมชายเก่งอังกฤษ เทคนิค เปลี่ยนประโยคข้อความ เป็น ประโยคสัญลักษณ์

1.) การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผลหรือรืไม่ เหตุ 1. ถ้าวันนี้วันจันทร์ แล้วล้พรุ่งนี้วันอังคาร 2. วันนี้วันจันทร์ ผล พรุ่งนี้วันอังคาร การอ้างเหตุผล 1. นำ เหตุมาเชื่อมกันด้วย ∧ และนำ → มาเชื่อมกับผล หลังจากนั้นให้ ตรวจว่าเป็นสัจนิรันดร์ (P1∧P2∧P3∧…∧Pn) → Q หากเป็นสัจนิรันดร์แสดงว่าการอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid) หากไม่เป็นสัจนิรันดร์แสดงว่าการอ้างเหตุผลนี้ไม่สมเหตุสมผล (Invalid) ขั้นตอน 2. ให้เหตุทุกข้อข้เป็นจริง (T) หาค่าความจริงและไปแทนในผล ถ้าผล เป็นจริง (T) แสดงว่า สมเหตุสมผล ถ้าผล เป็นเท็จ (F) แสดงว่า ไม่สมเหตุสมผล 3. ใช้รูปแบบที่มีก มีารพิสูจน์แล้วล้ว่าสมเหตุสมผล (เหตุที่1∧ เหตุ2∧…เหตุที่n) →ผล สันนิรันดร์ สมเหตุสมผล ตัวอย่างที่ 1 วิธีทำ 1 กำ หนดให้ p แทนประพจน์ วันนี้วันจันทร์ q แทนประพจน์ พรุ่งนี้วันอังคาร จะได้ เหตุ 1. p→qเหตุ 2. p (จาก กฎ Modus Ponens) จะได้ ผล q p q p q อ๋อออ!!!อย่างงนี้นี่เองง

จากรูปข้าข้งบนจะเห็นว่า ประพจน์เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล ตัวอย่างที่3 การอ้างเหตุผล ตัวอย่างที่2 การตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์ได้ โดยจะสมมติให้ประพจน์ เหตุ “แล้วล้” ผล มีค่มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วล้หาข้อข้ขัดแย้งย้ดังนี้ ใช้การสมมูลมาช่วยตรวจสอบ ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล ยาวไปๆ!! ดูตาก็รู้ว่ รู้ว่าเข้าข้ใจ!!555 ปา ฮ ยยต่อกัน ะ!!

แบบฝึกหัด เรื่อง ตารางค่าความจริง 1) กำ หนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงสร้างตารางค่าความจริง ของ p→(q∨ p) 2)จงแสดงตามข้อ ข้ความต่อไปนี้ 2.1)สร้างตาราง ค่าความจริงของ p→q และ p∨q 2.2)นักเรียนคิดว่า p→q และ p∨q สมมูลกันหรือรืไม่ 2.3)นักเรียนคิดว่า p→q และ p∨q เป็นสันนิรันดร์หรือรืไม่ ว้ายยย!!ตายยแล้วล้ เสร็จแล้วล้ครับ ครู!! หิวววข้าข้ วว!!แล้วล้ ว! 3) กำ หนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่ารูป แบบของประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือรืไม่ 3.1) (p∧ q)→(p∨q) 3.2) p⟶[(q⟶p)⟶q] 4) ประพจน์ [ (p→q)]→[( p↔q)] เป็นสัจนิรันดร์หรือรื ไม่ 5 )กำ หนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่าการ อ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือรืไม่ 5.1 เหตุ 1. p 2.p⟶q 3.(q∨r)⟶s ผล s โย่วว!! และนี้คือคื เสียงจากเด็กวัด!!

จากตารางจะเห็นว่า ในกรณีที่2 มีค่มีค่าความจริงเป็นเท็จตอบได้ เลยว่า ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 2)จงแสดงตามข้อ ข้ความต่อไปนี้ 2.1)สร้างตาราง ค่าความจริงของ p→q และ p∨q 2.2)นักเรียนคิดว่า p→q และ p∨q สมมูลกันหรือรืไม่ 2.3)นักเรียนคิดว่า p→q และ p∨q เป็นสันนิรันดร์หรือรืไม่ เฉลยแบบฝึกหัด 1) กำ หนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงสร้างตารางค่าความจริง ของ p→(q∨ p) จากตารางจะเห็นว่ามีค่มีค่า ความจริงตรงกันเลย ตอบได้ว่า “สมมูลกัน” เยส!! ข้อ ข้ 1 ผม ทำ ถูกครับ อ่าาา!! อย่างนี้นี่เอง

เป็นสันนิรันดร์ เป็นสันนิรันดร์ เฉลยแบบฝึก 4) ประพจน์ [ (p→q)]→[( p↔q)] เป็นสัจนิรันดร์หรือรืไม่ 3) กำ หนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่ารูป แบบของประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือรืไม่ 3.1) (p∧ q)→(p∨q) 3.2) p⟶[(q⟶p)⟶q] ไม่เป็นสัจนิรันดร์ (เนื่องจากไม่เกิดข้อข้ขัดแย้งย้) โอเครรครับบ!! ครูคะข้อข้ นี้หนูทำ ได้ค่ด้ค่ะ!!

เฉลยแบบฝึก 5 )กำ หนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจ สอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผล หรือรืไม่ 5.1 เหตุ 1. p 2.p⟶q 3.(q∨r)⟶s ผล s วิธีทำ ขั้นที่ 1 ใช้เครื่องหมาย ∧ เชื่อมเหตุเข้าข้ด้วยกัน และใช้ ⟶เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุและผล จะได้รูปแบบของประพจน์คือคืp∧(p⟶q)∧[(q∨r)⟶s]⟶s ขั้นที่ 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่ได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือรืไม่ โดย สมมติให้ p∧(p⟶q)∧[(q∨r)⟶s]⟶s เป็นเท็จ ผมไปกินข้าข้ วแล้วล้ นะครับ!! สำ หรับบทนี้ก็จบ ลงเท่านี้ !! แล้วล้ เจอกันบทหน้านะคะ!!

บรรณานุกรม วชิรา โอภาสวัฒนา. (2553). SHORT NOTE คณิตศาสตร์ (พื้นฐาน+เพิ่มเติม)ม.ปลาย. บริษัท สำ นักพิมพ์เอ็มไอเอส จำ กัด. Rath center. (2564). ตรรกศาสตร์. สืนค้นค้เมื่อ 29 สิงหาคม 2566. จากhttps://rathcenter.com/old-web/Sheet/Logic.pdf

ประวัติส่วนตัว ชื่อ : นางสาวจันจิรา ศรีจัรีจั นทร์ ชื่อเล่น : จัน นางสาวจันจิรา ศรีจั รีจั นทร์ 0640467169 กำ ลังศึกษา : สาขาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทวิยาลัยราชภัฏอุดรธานี รหัสนักศึกษา : 65040140106

เรีย รี นรู้จ รู้ ากวันวั วาน ใช้ชีวิตเพื่อปัจจุบัน มีคมี วามหวัง วั สำ หรับวันวั พรุ่งนี้นะ ครับ