คู่มือเวทคณิต สพม.26

46

การคณู โดยใชต้ ารางด้วยวิธนี ิขลิ ัม

เงอ่ื นไข
1. ผู้เรยี นต้องเรียนรวู้ ิธีการแปลงนขิ ิลัมจากเร่อื งการลบ และการคูณโดยใชต้ าราง กอ่ นเรียนรู้เรื่องนี้
2. วิธีนี้เหมาะสําหรับโจทย์ท่ีมีเลขโดดมีค่ามากกว่า 5 เพราะวิธีนิขิลัมเป็นการทําให้ตัวเลขน้อยลง

เพ่ือสะดวกต่อการคํานวณ

ขน้ั ตอนการคูณโดยใชต้ ารางดว้ ยวิธนี ิขลิ ัม
1. แปลงจาํ นวนตัวตั้งและตัวคณู ใหเ้ ป็นตัวเลขนิขิลมั
2. สร้างตารางใสต่ วั เลขกํากบั และหาผลคูณด้วยวิธีการคูณโดยใชต้ ารางปกติ
3. ผลคูณที่ได้จะเป็นตัวเลขนิขิลัม ให้แปลงกลับตัวเลขนิขิลัมเป็นเลขในระบบฐานสิบ โดยใช้หลักการ

ทบสบิ และทบเก้า

ตัวอย่างการคณู โดยใช้ตารางดว้ ยวิธีนิขลิ มั แปลงจํานวนตวั ตัง้ และตวั คูณใหเ้ ปน็ ตัวเลขนิขลิ ัม
ตวั อย่างที่ 1 79  86 =  สรา้ งตาราง แล้วใส่ตัวเลขนิขิลัมกํากับ
ขน้ั ท่ี 1
79 = 1 ¯2 ¯1  คณู ตัวเลขในแต่ละหลัก แล้วนําเลขหลกั หน่วยเขียนชอ่ งล่าง
86 = 1 1¯ ¯4  และเลขหลักสบิ เขยี นชอ่ งบน ในแตล่ ะช่องตาราง

1 2¯  ¯1 
1

1¯

4¯

ขนั้ ที่ 2
1 2¯  ¯1 

0 0 0 ¯1  1
1 ¯2 

0 0 0 1 1¯
1¯  2

0 0 0 4 4¯
4¯  8

คู่มือการใชเ้ ทคนิคการคิดเลขเรว็ แบบอินเดีย (เวทคณิต)
สํานกั งานเขตพน้ื ท่ีการศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 326

47

ข้นั ที่ 3 หาผลบวกตามแนวทแยง (ตามลกู ศร )
1 2¯  ¯1  แลว้ นําเลขของผลบวกเขียนเรยี งตามลกู ศร

0 0 0 0 ¯1  1 จะได้คําตอบ
1 ¯2 

1 0 0 0 1 1¯
1¯  2

3¯  0 0 0 4 4¯
4¯  8
¯3  9 4
13¯ 3¯ 94

ขั้นที่ 4 แปลงกลบั ตัวเลขนขิ ิลมั เปน็ เลขในระบบฐานสบิ
1 3¯ 3¯ 9 4 = 6,794 โดยใช้หลกั การทบสบิ และทบเกา้

ตอบ 79  86 = 6,794

ตวั อยา่ งท่ี 2 95  77 =  แปลงจาํ นวนตวั ต้งั และตัวคณู ใหเ้ ป็นตวั เลขนขิ ลิ มั
ขน้ั ท่ี 1 สรา้ งตาราง แลว้ ใส่ตวั เลขนขิ ิลัมกํากบั

95 = 1 1¯ 5 คณู ตวั เลขในแต่ละหลกั แลว้ นาํ เลขหลกั หน่วยเขียนช่องล่าง
77 = 1 ¯2 ¯3  และเลขหลักสบิ เขยี นช่องบน ในแต่ละช่องตาราง

1 1¯  5 ค่มู อื การใชเ้ ทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดยี (เวทคณิต)
1 สํานกั งานเขตพน้ื ทกี่ ารศึกษามัธยมศึกษา เขต 326

2¯

3¯

ขน้ั ท่ี 2 1 1¯  5

0 0 0 51
1 ¯1 
1¯ 
0 0 2 0 2¯
2¯ 
1¯ 
0 0 3 5¯  3¯
3¯ 

48

ขนั้ ที่ 3 1 1¯  5

0 0 0 0 51 หาผลบวกตามแนวทแยง (ตามลูกศร ) จะไดค้ ําตอบ
1 1¯  แล้วนําเลขของผลบวกเขยี นเรยี งตามลูกศร

1 0 0 1¯  0 2¯
2¯  2
1¯ 
3¯  0 0 3 5¯  3¯
3¯ 
3 2 5¯  13¯32¯5

ขน้ั ที่ 4 แปลงกลับตวั เลขนิขิลัมเป็นเลขในระบบฐานสิบ
1 3¯ 3 2 5¯  = 7,315 โดยใช้หลกั การทบสิบและทบเก้า

ตอบ 95  77 = 7,315

คมู่ อื การใช้เทคนิคการคดิ เลขเร็วแบบอินเดยี (เวทคณติ )
สํานักงานเขตพ้ืนทีก่ ารศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 326

49

ฝกึ ปฏบิ ตั ิการ : การคูณโดยใชต้ ารางด้วยวธิ ีนขิ ลิ มั

1) 768  597 2) 788  69

3) 65  78  

4) 97  66

5) 989  997 6) 79  97

คมู่ ือการใชเ้ ทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอนิ เดยี (เวทคณิต)
สํานกั งานเขตพ้ืนทก่ี ารศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 326

1) 89  67 50
แบบฝึกหดั เรอ่ื ง การคณู โดยใช้ตารางด้วยวิธีนิขลิ มั

2) 68  96

3) 989  988 4) 678  67

5) 88  77 6) 565  98

คูม่ อื การใช้เทคนิคการคดิ เลขเร็วแบบอนิ เดีย (เวทคณติ )
สํานักงานเขตพื้นท่ีการศึกษามธั ยมศึกษา เขต 326

51
เฉลยคาํ ตอบ

ฝึกปฏบิ ตั ิการ : การคณู โดยใช้ตารางดว้ ยวธิ ีนิขลิ ัม
1) 458,496
2) 54,372
3) 5,070
4) 6,402
5) 986,033
6) 7,663

แบบฝึกหดั เรอ่ื ง การคณู โดยใชต้ ารางด้วยวธิ ีนขิ ลิ มั
1) 5,963
2) 6,528
3) 977,132
4) 45,426
5) 6,776
6) 55,370

คู่มอื การใช้เทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอินเดยี (เวทคณติ )
สาํ นักงานเขตพนื้ ที่การศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 326

52

การคูณแนวต้งั และการคณู ไขว้

การคูณแนวตั้งและการคูณไขว้ ใช้หลักการสมมาตร และมีผังการคูณจากขวาไปซ้าย โดยใช้  แทนตําแหน่ง
ของเลขโดดของตัวตงั้ และตวั คณู

ผงั การคณู แนวต้ังและการคณู ไขว้
กรณที ี่ 1 ตวั ต้ังและตวั คณู เป็นจํานวนทีม่ ีสองหลกั

  

  

ขั้นที่ 3 ข้ันท่ี 2 ขัน้ ท่ี 1

กรณที ่ี 2 ตวั ต้งั และตวั คูณเปน็ จาํ นวนทมี่ สี ามหลัก

    

    

ขน้ั ที่ 5 ขั้นที่ 4 ข้นั ที่ 3 ขน้ั ท่ี 2 ขั้นที่ 1

กรณีที่ 3 ตัวตง้ั และตวั คูณเปน็ จํานวนที่มีสี่หลกั

      

      

ขั้นท่ี 7 ขั้นที่ 6 ข้นั ที่ 5 ขั้นที่ 4 ข้ันที่ 3 ขัน้ ท่ี 2 ขั้นท่ี 1

กรณีที่ 4 ตัวตั้งและตวั คณู มเี ลขโดดทม่ี ากกว่าเลข 5
ในกรณีที่ตัวต้ังและตัวคูณมีเลขโดดที่มากกว่าเลข 5 เราสามารถแปลงเป็นเลขโดดท่ีมีค่าน้อยกว่า 5 ได้
โดยใชน้ ขิ ิลัมสูตร

แนวคิด
1. กรณีตัวต้ังและตัวคูณมีจํานวนตัวเลขโดดไม่เท่ากัน เช่น การคูณท่ีตัวตั้งเป็นจํานวนท่ีมีสามหลัก และ

ตัวคูณเป็นจํานวนท่ีมีสองหลัก เป็นต้น เนื่องจากจํานวนหลักของตัวตั้งมากกว่าตัวคูณ จึงใส่เลข 0 หน้าตัวคูณ เพื่อให้
จาํ นวนเลขโดดของตวั ตง้ั และตัวคูณเท่ากันเสยี กอ่ น แล้วจงึ คาํ นวณตามผังการคณู

2. จาํ นวนขน้ั ของการคูณแนวตัง้ และการคูณไขว้ สามารถคํานวณไดด้ ังน้ี

จาํ นวนขัน้ = 2n – 1

เม่ือ n หมายถงึ จํานวนหลกั (ทีม่ ากที่สดุ ) ของตัวตั้งและตวั คูณทน่ี ํามาคณู กันน้ัน
ตัวอย่างการคณู แนวตงั้ และการคูณไขว้

คูม่ ือการใช้เทคนิคการคิดเลขเรว็ แบบอนิ เดยี (เวทคณิต)
สาํ นกั งานเขตพ้ืนที่การศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 326

53

ตวั อย่างท่ี 1 24  31 = 
เน่อื งจากตวั ตง้ั และตวั คณู เปน็ จํานวนทมี่ ีสองหลัก จงึ มผี งั การคณู ดังน้ี

24 24 24

31 31 31
(12) + (34) = 14 14 = 4
23 = 6
การคาํ นวณ
6
2 4 
3 1

14 4

ผลคณู ทไี่ ด้ คอื 614 4
7 44

ตอบ 24  31 = 744

ตัวอย่างท่ี 2 613  158 = 

เนื่องจากตวั ต้ังและตวั คูณเป็นจํานวนทม่ี สี ามหลัก จงึ มผี ังการคูณดังน้ี

613 613 613 613 613
158
158 158 158 158 83 = 24
61 = 6
(56)+(11) = 31 (86)+(51) +(13) = 56 (81)+(53) = 23

การคํานวณ

6 1 3 
1 5 8

6 31 56 23 24

ผลคณู ทไี่ ด้ คอื 631 562324
9 6 85 4

ตอบ 613  158 = 96,854

ค่มู อื การใชเ้ ทคนิคการคดิ เลขเร็วแบบอินเดยี (เวทคณิต)
สาํ นกั งานเขตพนื้ ท่กี ารศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 3266

54

ตัวอย่างที่ 3 925  43 = 

เนือ่ งจากจํานวนหลักของตัวตั้งมากกว่าตวั คูณ จงึ ใสเ่ ลข 0 หน้าตัวคูณ เพอ่ื ใหจ้ าํ นวนเลขโดดของตวั ต้ังและ
ตัวคูณเท่ากนั เสยี กอ่ น แลว้ จงึ คํานวณตามผงั การคูณดังน้ี

925 925 925 925 925

043 043 043 043 043
09 = 0 35 = 15
(49)+(02) = 36 (39)+(42) +(05) = 35 (32)+(45) = 26

การคํานวณ

9 2 5 
0 4 3

0 36 35 26 15

ผลคูณท่ีได้ คือ 036 35 26 15
3 9 77 5

ตอบ 925  43 = 39,775

ตัวอย่างท่ี 4 5,274  8,136 = 

เน่อื งจากตัวตงั้ และตวั คูณเปน็ จํานวนทม่ี สี ห่ี ลกั จงึ มีผังการคณู ดงั น้ี

5274 5274 5274 5274 5274 5274 5274

8136 8136 8136 8136 8136 8136 8136
ข้ันที่ 7 ขั้นที่ 6 ขัน้ ท่ี 5 ขน้ั ที่ 4 ขนั้ ที่ 3 ข้ันท่ี 2 ขน้ั ท่ี 1
40 21 73 75 37 54 24

การคํานวณ 5 2 7 4 
ผลคณู ทไี่ ด้ คอื 8 1 3 6

40 21 73 75 37 54 24

40 21 7375 3754 24 เท่ากับ 4 2 9 0 9 2 6 4

ตอบ 5,274  8,136 = 42,909,264

คูม่ ือการใชเ้ ทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอนิ เดยี (เวทคณิต)
สาํ นกั งานเขตพน้ื ทก่ี ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 326

55

ตวั อย่างท่ี 5 28  18 = 

ต2ัวต8ั้งแ=ละ3ตัว2–คูณมแีเลลขะโดด1ที่ม8าก=กว2่าเ2–ลข 5 จงึ แปลงเป็นเลขนขิ ลิ มั ดังน้ี

เนอ่ื งจากตวั ตงั้ และตัวคูณเปน็ จาํ นวนท่ีมสี องหลกั จึงมผี ังการคูณดงั นี้

3 –2 3 –2 3 –2
2 –2 2 –2 2 2–

23 = 6 (2–3) + (22–) = –1–0 2––2 = 4

การคาํ นวณ

2 8 
–11–0 8

6 4

ผลคูณทไี่ ด้ คอื 6 1–0– 4 เท่ากับ 5 0 4

ตอบ 28  18 = 504

คมู่ อื การใช้เทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอนิ เดยี (เวทคณิต)
สํานกั งานเขตพน้ื ท่ีการศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 3266

ฝกึ ปฏบิ ตั ิการ : การคูณแนวต้งั และการคูณไขว้ 56
1) 49  23 2) 99  4

49 49 49
23 23 23
…….. ………. ……….

การคาํ นวณ

3) 97  45 4) 235  79

.… .… …. …. … …
.… .… …. …. … …

…….. ………. ……….

การคํานวณ

5) 989  997 6) 1,189  253

คู่มือการใชเ้ ทคนิคการคิดเลขเรว็ แบบอนิ เดีย (เวทคณิต)
สํานกั งานเขตพนื้ ทก่ี ารศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 326

1) 58  32 57
แบบฝกึ หดั เรอ่ื ง การคณู แนวต้งั และการคณู ไขว้

2) 479  561

3) 514  39 4) 4,216  3,036

5) 88  77 6) 565  98

คู่มอื การใชเ้ ทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอนิ เดีย (เวทคณติ )
สาํ นกั งานเขตพืน้ ทก่ี ารศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 326

58
เฉลยคาํ ตอบ

ฝกึ ปฏิบัตกิ าร : การคณู แนวตงั้ และการคณู ไขว้
1) 1,127
2) 396
3) 4,365
4) 18,565
5) 986,033
6) 300,817

แบบฝกึ หัด เรอ่ื ง การคณู แนวตัง้ และการคณู ไขว้
1) 1,856
2) 268,719
3) 20,046
4) 12,799,776
5) 6,776
6) 55,370

คู่มอื การใช้เทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอินเดยี (เวทคณติ )
สาํ นักงานเขตพนื้ ที่การศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 326

59

การคูณโดยวธิ ีเบย่ี งฐาน

คา่ เบย่ี งฐาน
ตัวเลขในเวทคณติ เช่นเดยี วกบั ตวั เลขระบบฐานสิบ กล่าวคือ อิงฐานของระบบฐานสิบ และขณะเดียวกัน จะ

ระบุค่าเบ่ียงฐานควบคู่ไปด้วยในกรณีต้องการคูณ โดยตัวเลขในเวทคณิตจะยึดฐาน 10 , 100 , 1,000 , ... และ
จะระบุคา่ เบยี่ งฐานของจาํ นวนเหล่าน้นั ซงึ่ คา่ เบย่ี งฐานมีทั้งค่าบวก ค่าลบ และศูนย์

ตวั อยา่ งค่าเบยี่ งฐาน
คา่ เบ่ยี งฐานจากฐาน 10
8 มคี า่ นอ้ ยกว่า 10 อยู่ 2 หมายถึง 8 มีคา่ เบีย่ งฐานจาก 10 เปน็ –2
6 มคี ่าน้อยกว่า 10 อยู่ 4 หมายถึง 6 มคี ่าเบยี่ งฐานจาก 10 เปน็ –4
13 มีคา่ มากกวา่ 10 อยู่ 3 หมายถงึ 13 มคี ่าเบ่ยี งฐานจาก 10 เป็น +3
25 มคี ่ามากกว่า 10 อยู่ 15 หมายถงึ 25 มคี า่ เบ่ียงฐานจาก 10 เป็น +15

ค่าเบ่ียงฐานจากฐาน 100 หมายถงึ 82 มคี ่าเบี่ยงฐานจาก 100 เป็น –18
82 มคี า่ น้อยกวา่ 100 อยู่ 18 หมายถงึ 96 มีคา่ เบยี่ งฐานจาก 100 เป็น –4
96 มคี ่าน้อยกว่า 100 อยู่ 4 หมายถึง 105 มคี ่าเบย่ี งฐานจาก 100 เปน็ +5
105 มคี ่ามากกวา่ 100 อยู่ 5 หมายถึง 118 มคี ่าเบ่ยี งฐานจาก 100 เปน็ +18
118 มคี ่ามากกวา่ 100 อยู่ 18

ค่าเบยี่ งฐานจากฐาน 1,000
992 มคี ่านอ้ ยกวา่ 1,000 อยู่ 8 หมายถึง 992 มีค่าเบ่ียงฐานจาก 1,000 เป็น –8
986 มคี า่ นอ้ ยกวา่ 1,000 อยู่ 14 หมายถึง 986 มคี ่าเบี่ยงฐานจาก 1,000 เปน็ –14
1,011 มีคา่ มากกวา่ 1,000 อยู่ 11 หมายถึง 1,011 มีค่าเบยี่ งฐานจาก 1,000 เป็น +11
1,026 มีคา่ มากกว่า 1,000 อยู่ 26 หมายถึง 1,026 มีค่าเบ่ียงฐานจาก 1,000 เปน็ +26

ค่าเบ่ียงฐานจากฐานย่อยอื่น ๆ
28 มีคา่ นอ้ ยกว่า 30 อยู่ 2 หมายถึง 28 มคี า่ เบ่ยี งฐานจาก 30 เปน็ –2
28 มีคา่ มากกว่า 20 อยู่ 8 หมายถึง 28 มีค่าเบีย่ งฐานจาก 20 เป็น +8
54 มคี ่ามากกว่า 50 อยู่ 4 หมายถึง 54 มคี ่าเบีย่ งฐานจาก 50 เปน็ +4

ข้ันตอนวิธีการคณู โดยวธิ เี บ่ยี งฐาน
ขั้นท่ี 1 เขยี นตัวต้งั และตวั คณู แบบจาํ นวน พร้อมค่าเบีย่ งฐาน 10 100 1,000 และตง้ั คูณ
ข้นั ท่ี 2 แบง่ ผลคณู ท่จี ะไดอ้ อกเป็นสองส่วน โดยใช้ เป็นตวั แบง่ ซงึ่ จะแยกผลคณู จากค่าเบยี่ งฐาน
ไวต้ า่ งหาก
ขน้ั ที่ 3 หาผลคูณของคา่ เบี่ยงฐาน แล้วใส่ผลลัพธไ์ วท้ างขวาของ
ขั้นที่ 4 หาผลบวกของตัวตง้ั และค่าเบี่ยงฐานของตัวคูณ หรือตัวคูณกบั คา่ เบีย่ งฐานของตวั ตั้ง
(ผลบวกในแนวทแยงจะเท่ากนั ) แลว้ เขียนไว้ดา้ นซา้ ยมอื ของเครือ่ งหมาย
ขัน้ ท่ี 5 เขยี นผลคูณทไี่ ด้

คู่มือการใชเ้ ทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอินเดยี (เวทคณติ )
สาํ นักงานเขตพน้ื ทกี่ ารศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 326

60

ตวั อยา่ งการคณู โดยวธิ ีเบย่ี งฐาน (ผลคูณของจาํ นวนทม่ี คี ่าใกลเ้ คยี งฐาน 10)

ตวั อยา่ งที่ 1 12  14 =  เขียนตวั ต้งั และตัวคณู แบบจาํ นวน พรอ้ มคา่ เบ่ียงฐาน และต้งั คูณ
ข้ันที่ 1

12 +2
14 +4

ข้ันที่ 2 แบง่ ผลคูณท่จี ะไดอ้ อกเป็นสองสว่ น โดยใช้ เป็นตัวแบ่ง 
12 +2
14 +4

ขนั้ ท่ี 3 หาผลคูณของค่าเบ่ียงฐาน แลว้ ใส่ผลลพั ธไ์ ว้ทางขวาของ 
12 +2
14 +4 หาผลบวกของตัวตั้งและคา่ เบย่ี งฐานของตัวคณู หรอื ตวั คณู กบั
+8 ค่าเบ่ยี งฐานของตัวตง้ั แล้วเขียนไวด้ า้ นซา้ ยมือของ 

ขัน้ ที่ 4 เขียนผลคณู ที่ได้ (16  10) + 8 = 168
12 +2
14 +4
16 +8

ขนั้ ท่ี 5 12 +2
14 +4
เบีย่ งฐาน 10 16 +8
16010 =160

ตอบ 12  14 = 168

คู่มอื การใช้เทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดยี (เวทคณิต)
สํานกั งานเขตพืน้ ทก่ี ารศึกษามธั ยมศึกษา เขต 3266

61

ตัวอย่างที่ 2 103  96 =  (ผลคูณของจํานวนทมี่ คี ่าใกลเ้ คียงฐาน 100)
ข้ันท่ี 1
เขยี นตัวตั้งและตัวคณู แบบจํานวน พรอ้ มค่าเบี่ยงฐาน และตั้งคณู
103 +3
96 –4

ขนั้ ท่ี 2 แบง่ ผลคูณท่ีจะได้ออกเป็นสองสว่ น โดยใช้ เป็นตวั แบ่ง 
103 +3
96 –4

ขั้นที่ 3 หาผลคูณของค่าเบ่ยี งฐาน แล้วใส่ผลลพั ธ์ไว้ทางขวาของ 
103 +3
96 –4 หาผลบวกของตัวต้ังและค่าเบ่ียงฐานของตัวคูณ หรอื ตัวคณู กบั
–12 คา่ เบี่ยงฐานของตัวตงั้ แลว้ เขียนไว้ด้านซ้ายมือของ 

ข้ันท่ี 4 เขยี นผลคณู ทีไ่ ด้ (99  100) – 12 = 9,888
103 +3
96 –4
99 –12

ขนั้ ท่ี 5 103 +3
96 –4
เบ่ียงฐาน 100 99 –12
99100 = 9,900

ตอบ 103  96 = 9,888

คู่มอื การใช้เทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอนิ เดีย (เวทคณิต)
สํานักงานเขตพน้ื ท่ีการศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 326

62

ตัวอยา่ งท่ี 3 46  56 =  (ผลคูณของจํานวนทม่ี ีคา่ ใกลเ้ คียงฐาน 50)
ขนั้ ท่ี 1
46 –4 เขยี นตวั ตงั้ และตัวคณู แบบจาํ นวน พรอ้ มค่าเบี่ยงฐาน และต้งั คูณ
56 +6

ขัน้ ท่ี 2 แบง่ ผลคณู ท่จี ะไดอ้ อกเปน็ สองส่วน โดยใช้ เป็นตวั แบ่ง 
46 –4
56 +6

ขน้ั ท่ี 3 หาผลคณู ของค่าเบ่ียงฐาน แลว้ ใส่ผลลัพธ์ไว้ทางขวาของ 
46 –4
56 +6 หาผลบวกของตัวตัง้ และคา่ เบย่ี งฐานของตวั คูณ หรอื ตัวคูณกับ
–24 ค่าเบี่ยงฐานของตวั ตั้ง แล้วเขียนไวด้ ้านซา้ ยมือของ 

ขัน้ ที่ 4 เขียนผลคูณท่ไี ด้ (52  50) – 24 = 2,576
46 –4
56 +6
52 –24

ขั้นที่ 5 46 –4
56 +6
เบีย่ งฐาน 50 52 –24
5250 = 2,600

ตอบ 46  56 = 2,576

ค่มู ือการใช้เทคนิคการคิดเลขเรว็ แบบอินเดีย (เวทคณติ )
สาํ นกั งานเขตพื้นทกี่ ารศึกษามธั ยมศึกษา เขต 326

ฝึกปฏิบตั กิ าร : การคณู โดยวธิ ีเบ่ยี งฐาน 63
1) 93  95
2) 84  87
     
       
       
   
 

3) 1,008  985   4) 109  109  
   
       
   
   
   

5) 73  65 6) 1,005  1,025

       
       
       
   

คูม่ อื การใชเ้ ทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอนิ เดีย (เวทคณติ )
สาํ นกั งานเขตพื้นทกี่ ารศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 3266

1) 18  17 64
แบบฝกึ หดั เรอ่ื ง การคณู โดยวิธเี บย่ี งฐาน

2) 12  13

3) 96  97 4) 992  993

5) 394  389 6) 789  805

คมู่ ือการใชเ้ ทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอนิ เดยี (เวทคณติ )
สํานกั งานเขตพื้นทก่ี ารศึกษามัธยมศึกษา เขต 3266

65
เฉลยคาํ ตอบ

ฝึกปฏิบตั กิ าร : การคณู โดยวิธีเบ่ยี งฐาน
1) 8,835
2) 7,308
3) 992,880
4) 11,881
5) 4,745
6) 1,030,125

แบบฝกึ หดั เรอ่ื ง การคณู โดยวิธเี บย่ี งฐาน
1) 306
2) 156
3) 9,312
4) 985,056
5) 153,266
6) 635,145

คู่มอื การใช้เทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอินเดยี (เวทคณติ )
สาํ นักงานเขตพนื้ ที่การศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 326

66

การหารแบบเวทคณิต

 การหารทีต่ ัวหารเปน็ เลขโดดทนี่ ้อยกว่าหรอื เทา่ กบั 5
 การหารโดยใชว้ ิธีนิขิลัม
 การหารโดยใชว้ ิธพี าราวารท

คู่มอื การใชเ้ ทคนิคการคิดเลขเรว็ แบบอนิ เดีย (เวทคณิต)
สาํ นักงานเขตพื้นทก่ี ารศกึ ษามธั ยมศึกษา เขต 36

67
แบบทดสอบกอ่ นการอบรม เร่อื ง การหาร

จงแสดงวิธีทาํ เพ่ือหาผลหารของจาํ นวนตอ่ ไปน้ี โดยใชว้ ธิ ปี กติ

1) 4,850  98 2) 81,946  898

3) 12,351  1,012 4) 16,416  112

5) 40,000  9,808

คู่มือการใช้เทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดีย (เวทคณติ )
สาํ นักงานเขตพน้ื ท่กี ารศึกษามธั ยมศึกษา เขต 3266

68

การหารทต่ี วั หารเปน็ เลขโดดทน่ี ้อยกว่าหรอื เท่ากับ 5

การหารตามแนวเวทคณติ เป็นวิธีการปรับจํานวนให้เหมาะสมและอาจใช้จํานวนทบสิบ จํานวนทบเก้า และ
วิธีการแปลงจาํ นวน

การหารด้วย 2
การหารด้วย 2 ทําไดโ้ ดยแปลงตัวต้ังท่ีเป็นจํานวนคี่ให้เป็นจํานวนคู่ โดยลดค่าจํานวนค่ีลง 1 แล้วเขียน 1 เป็น

ตัวทดมาลงจากจํานวนทางขวา ส่วนจาํ นวนค่ใู หค้ งเดิม แลว้ ทาํ การหารจากซา้ ยไปขวา

ตวั อย่างการหารด้วย 2 ตัวต้งั มี 3 และ 5 เปน็ จาํ นวนคี่
ตัวอย่างท่ี 1 32,456  2 =  ให้แปลง 3 และ 5 เป็นจาํ นวนคู่

32456  2 = 2124416  2 (เอา 2 หาร 2 / 12 / 4 / 4 / 16)
= 16228

ตอบ 32,456  2 = 16,228

ตัวอย่างที่ 2 59,377  2 =  ตัวตัง้ มี 5 9 3 และ 7 เปน็ จํานวนคี่

59377  2 = 4181216161  2 ให้แปลง 5 9 3 และ 7 เปน็ จํานวนคู่

= 29688 เศษ 1 (เอา 2 หาร 4 / 18 / 12 / 16 / 16)

หรือ 59377  2 = 41812161610  2
= 29688.5 (เอา 2 หาร 4 / 18 / 12 / 16 / 16 / 0.10)

ตอบ 59377  2 = 29,688.5 หรือ 29,688 เศษ 1

ค่มู อื การใช้เทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอนิ เดีย (เวทคณิต)
สํานกั งานเขตพื้นทกี่ ารศกึ ษามธั ยมศึกษา เขต 3266

69

การหารดว้ ย 3
การหารด้วย 3 ทําได้โดยหารแต่ละหลัก เม่ือเหลือเศษให้เขียนเศษไว้เย้ืองทางด้านล้างขวาของหลักนั้น ๆ

โดยใหเ้ ศษทไ่ี ด้เป็นหลกั หน้าของหลกั ถัดไปทางขวา แล้วทําการหารไปทางขวาทลี ะตวั เลขจนหมด

ตวั อย่างการหารด้วย 3
ตวั อยา่ งท่ี 1 507,891  3 = 

3 ) 169 2 97 (เอา 3 หาร 5 / 20 / 27 / 8 / 29 / 21)
52027 829 21

ตอบ 507,891  3 = 169,297

ตวั อยา่ งท่ี 2 716,096  3 = 

3 ) 2386 98 (เอา 3 หาร 7 / 11 / 26 / 20 / 29 / 26)
7112620 2926 2

ตอบ 716,096  3 = 238,698 เศษ 2

การหารด้วย 4
การหารดว้ ย 4 ใหด้ ําเนนิ การทํานองเดยี วกบั การหารด้วย 3

ตวั อยา่ งการหารดว้ ย 4
ตัวอยา่ งท่ี 1 773,684  4 = 

4 ) 1934 21 (เอา 4 หาร 7 / 37 / 13 / 16 / 8 / 4)
73713 16 84

ตอบ 773,684  4 = 193,421

ตัวอย่างที่ 2 3,702,806  4 = 

4 ) 3 9257 01 2 (เอา 4 หาร 37 / 10 / 22 / 28 / 0 / 6)
710 22 28 06

ตอบ 3,702,806  4 = 925,701 เศษ 2

คมู่ ือการใช้เทคนิคการคิดเลขเรว็ แบบอนิ เดยี (เวทคณติ )
สํานกั งานเขตพืน้ ทก่ี ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 3266

70

การหารดว้ ย 5

การหารด้วย 5 คือ การคณู ดว้ ย 2 แล้วหารด้วย 10 เพราะ 1  2
5 10

ตวั อยา่ งการหารดว้ ย 5

ตัวอยา่ งท่ี 1 5,435  5 = 

5,435  5 =   5435 2
10

= 10870
10
= 1087

ตอบ 5,435  5 = 1,087

ตัวอยา่ งที่ 2 83,407,251  5 = 

83,407,251  5 =   83407251 2
10

= 166814502
10
= 16681450.2

ตอบ 83,407,251  5 = 16681450.2

คูม่ อื การใช้เทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอนิ เดยี (เวทคณิต)
สํานกั งานเขตพ้ืนท่กี ารศกึ ษามธั ยมศึกษา เขต 326

71

ฝกึ ปฏบิ ัตกิ าร : การหารที่ตวั หารเป็นเลขโดดที่น้อยกวา่ หรอื เทา่ กบั 5

1) 394,167  2 2) 219,543  3

3) 7,777,777  2 4) 550,643  4

5) 391,061  5 6) 820,568  5

ค่มู ือการใช้เทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอนิ เดยี (เวทคณติ )
สาํ นกั งานเขตพ้นื ท่กี ารศกึ ษามธั ยมศึกษา เขต 3266

72
แบบฝึกหัด เรอ่ื ง การหารทต่ี ัวหารเปน็ เลขโดดท่ีนอ้ ยกว่าหรือเทา่ กบั 5

1) 2,560  2 2) 751,937  2

3) 29,870  3 4) 9,014,623  3

5) 2,930,461  4 6) 6,530,146  5

คู่มือการใช้เทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดยี (เวทคณติ )
สํานกั งานเขตพน้ื ท่กี ารศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 3266

73
เฉลยคําตอบ

ฝกึ ปฏิบัติการ : การหารที่ตวั หารเป็นเลขโดดทีน่ อ้ ยกวา่ หรอื เทา่ กบั 5
1) 197,083 เศษ 1
2) 73,181
3) 3,888,888 เศษ 1
4) 137,660 เศษ 3
5) 78,212 เศษ 1
6) 164,113 เศษ 3

แบบฝึกหัด เรอื่ ง การหารทตี่ วั หารเป็นเลขโดดที่น้อยกวา่ หรอื เทา่ กบั 5
1) 1,280
2) 375,968 เศษ 1
3) 9,956 เศษ 2
4) 3,004,874 เศษ 1
5) 732,615 เศษ 1
6) 1,306,029 เศษ 1

คมู่ อื การใชเ้ ทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอนิ เดยี (เวทคณติ )
สาํ นักงานเขตพน้ื ที่การศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 3266

74

การหารโดยใชว้ ิธนี ิขลิ ัม

กรณีท่ีตัวหารเป็นเลขโดดที่มีค่ามากกว่า 5 เม่ือใช้นิขิลัมสูตรผสมกับการหารสังเคราะห์ จะทําให้การหารนั้น
ง่ายขึ้น

ข้ันตอนการหารโดยใชว้ ิธนี ิขลิ ัม
ข้ันที่ 1 พิจารณาตัวหาร โดยการทบสบิ จาํ นวนทบสบิ ของตวั หารใหเ้ ขยี นไวใ้ ต้ตวั หาร
ขน้ั ท่ี 2 พจิ ารณาจาํ นวนทบสิบทไ่ี ดม้ า เพื่อนําไปใชใ้ นการหารสงั เคราะห์
จากน้ันพิจารณาตัวตัง้ เพอ่ื แบ่งตาํ แหน่งของตวั เลขจากขวาไปซา้ ย ให้จํานวนตาํ แหนง่ ของตัวหาร
จาํ นวนทบสิบทไี่ ดม้ า โดยใช้เส้นแบ่งระหวา่ งผลลัพธก์ ับเศษ
ขั้นที่ 3 นบั จาํ นวนบรรทดั ตอ่ จากตัวตั้งลงมาใหเ้ ท่ากบั จํานวนของเลขโดดของตวั ตั้งทางดา้ นซ้าย
ของเส้นแบ่งแล้วขีดเสน้ ใต้
ขน้ั ท่ี 4 ชกั เลขโดดตัวแรกด้านซา้ ยสดุ ลงมาใตเ้ สน้ ของขน้ั ตอนท่ี 3
ขั้นท่ี 5 นําจาํ นวนทบไปคณู กบั ตวั เลขท่ดี งึ มา แล้วนาํ ไปใสใ่ นหลกั ถดั ไป
ขน้ั ท่ี 6 บวกเลขโดดในตาํ แหน่งท่ีสองลงมาไว้ใต้เส้น
ขนั้ ที่ 7 ผลลพั ธ์ทีไ่ ด้จากการหาร ตัวเลขทอ่ี ยดู่ า้ นซ้ายมือ คอื จํานวนเต็มทห่ี ารลงตัว
ตวั เลขทีอ่ ยู่ด้านหลังเส้นแบง่ ขวามือ คือ เศษทไ่ี ด้

ตวั อย่างการหารโดยใชว้ ธิ นี ิขลิ มั พิจารณาตวั หาร โดยการทบสิบ
ตัวอย่างที่ 1 34  9 =  จาํ นวนทบสิบของ 9 คือ 1 ให้เขยี นไว้ใต้เลข 9
ขน้ั ที่ 1

9 ) 34

1

  เสน้ แบง่

ขั้นท่ี 2

9 ) 34 จาํ นวนทบสบิ ท่ไี ด้มา คือ 1 นาํ ไปใช้ในการหารสังเคราะห์
จากนน้ั พิจารณาตัวตง้ั เพอ่ื แบง่ ตําแหน่งของตัวเลขจากขวาไปซา้ ย

1 ให้จาํ นวนตําแหนง่ ของตวั หารจํานวนทบสิบท่ไี ดม้ า

โดยใช้เสน้ แบง่ ระหว่างผลลพั ธก์ ับเศษ (จํานวนทบสบิ ทไ่ี ด้ คือ 1

ดังน้ันจงึ แบง่ ตาํ แหน่งโดยนับจาก 4 ไปซ้าย 1 ตําแหน่ง)

 

คู่มอื การใชเ้ ทคนิคการคดิ เลขเร็วแบบอนิ เดีย (เวทคณิต)
สํานักงานเขตพน้ื ท่กี ารศึกษามธั ยมศึกษา เขต 3266

ขนั้ ที่ 3 75
9 ) 34
1 นับจํานวนบรรทดั ต่อจากตวั ตั้งลงมาใหไ้ ด้เท่ากบั จาํ นวน
ของเลขโดดของตัวต้งั ทางดา้ นซ้ายมอื ของเส้นแบ่ง แลว้ ขดี เสน้ ใต้
  (จํานวนเลขโดดท่ีเหลือดา้ นซา้ ยมือของเสน้ แบง่ มี 1 ตัว คอื 3
ดงั น้นั จงึ นับจาํ นวนบรรทัดตอ่ จากตัวตงั้ ลงมา 1 บรรทดั )
ขั้นที่ 4
9 ) 34 ชักเลขโดดตวั แรกด้านซา้ ยสดุ ลงมาใต้เสน้ ของขั้นตอนท่ี 3
1 ชักเลข 3 ซึง่ เป็นเลขโดดตัวแรกด้านซ้ายสุดลงมาใต้เสน้
3
นําจํานวนทบไปคณู กบั ตัวเลขทด่ี ึงมา แล้วนําไปใสใ่ นหลกั ถดั ไป
  1  3 = 3 ใสเ่ ลข 3 ในหลกั ถัดไป

ขั้นท่ี 5 บวกเลขโดดในตําแหน่งท่ีสองลงมาไวใ้ ตเ้ ส้น
9 ) 34 4 + 3 = 7 ใส่เลข 7 ไว้ใต้เสน้
13
3 ผลลัพธ์ที่ได้จากการหาร ตัวเลขที่อยดู่ า้ นซา้ ยมือ คือ จํานวนเตม็
ทีห่ ารลงตัว ตัวเลขทอี่ ยู่ดา้ นหลงั เส้นแบ่งขวามอื คือ เศษทไี่ ด้
 

ขน้ั ที่ 6
9 ) 34
13
37

 

ขั้นที่ 7
ผลลพั ธค์ ือ 3 เศษ 7

ตอบ 34  9 = 3 เศษ 7

ตรวจคําตอบ นาํ ผลลัพธค์ ณู ตวั หาร แลว้ บวกดว้ ยเศษ

(3  9) + 7 = 27 + 7
= 34

ค่มู ือการใชเ้ ทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอนิ เดยี (เวทคณิต)
สํานกั งานเขตพืน้ ทกี่ ารศกึ ษามธั ยมศึกษา เขต 3266

ตวั อย่างที่ 2 3,124  7 =  76
ขนั้ ที่ 1
พจิ ารณาตัวหาร โดยการทบสบิ
7 ) 3124 จํานวนทบสบิ ของ 7 คือ 3 ให้เขียนไว้ใต้เลข 7

3

ข้ันท่ี 2 จาํ นวนทบสิบทไ่ี ดม้ า คือ 3 นาํ ไปใชใ้ นการหารสังเคราะห์
7 ) 3124 จากนั้นพจิ ารณาตัวตง้ั เพ่ือแบ่งตาํ แหนง่ ของตัวเลขจากขวาไปซา้ ย
3 ให้จํานวนตําแหน่งของตวั หารจาํ นวนทบสบิ ท่ีได้มา
โดยใช้เส้นแบง่ ระหว่างผลลพั ธก์ ับเศษ (จํานวนทบสบิ ที่ได้ คอื 3
ดงั นั้นจงึ แบง่ ตําแหน่งโดยนบั จาก 4 ไปซ้าย 1 ตาํ แหนง่ )

ขั้นท่ี 3 นบั จํานวนบรรทดั ตอ่ จากตัวตง้ั ลงมาใหไ้ ด้เท่ากบั จํานวน
7 ) 3124 ของเลขโดดของตวั ต้ังทางดา้ นซา้ ยมอื ของเสน้ แบง่ แล้วขดี เส้นใต้
3 (จาํ นวนเลขโดดที่เหลือด้านซ้ายมือของเสน้ แบ่งมี 3 ตัว คอื 3 1 2
ดังนน้ั จงึ นบั จาํ นวนบรรทัดตอ่ จากตวั ต้ังลงมา 3 บรรทดั )

ข้ันที่ 4 ชักเลขโดดตวั แรกดา้ นซ้ายสดุ ลงมาใตเ้ ส้นของขั้นตอนท่ี 3
7 ) 3124 ชกั เลข 3 ซึ่งเปน็ เลขโดดตัวแรกด้านซ้ายสุดลงมาใต้เส้น
3

3

คูม่ ือการใช้เทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดีย (เวทคณิต)
สาํ นักงานเขตพ้ืนท่ีการศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 3266

ขัน้ ที่ 5 77
7 ) 3124
39 นาํ จํานวนทบไปคูณกับตวั เลขท่ีดึงมา แลว้ นาํ ไปใส่ในหลักถดั ไป
3  3 = 9 ใสเ่ ลข 9 ในหลักถดั ไป

3 บวกเลขโดดในตําแหนง่ ท่สี องลงมาไวใ้ ต้เส้น
1 + 9 = 10 ใสเ่ ลข 10 ไวใ้ ต้เสน้
ขัน้ ที่ 6
7 ) 3124
39

3 10

ทาํ ซาํ้ ข้ันตอนท่ี 5-6 จนครบจาํ นวนเลขโดดของตัวต้ัง ดังนี้

7 ) 3124 เมอื่ ผลรวมหลังเส้นแบง่ ดา้ นขวามอื (100)
39 มคี ่ามากกวา่ ตวั หาร (3) ต้องนาํ ตัวเลขทีไ่ ด้มา
ดาํ เนนิ การหารต่อไปอกี
30
96

3 10 32 1 0 0

7 ) 3124 เม่อื ผลรวมหลงั เสน้ แบ่งด้านขวามือ (9) มคี ่า
39 มากกวา่ ตวั หาร แตจ่ ํานวนตําแหน่งเทา่ กบั
ตัวหาร (3) ให้นํามาแปลงใหอ้ ยู่ในรูปแบบนิขลิ มั
30
96 ก9่อแนปแลลงว้ เปจงึ็นดเลาํ เขนนนิ ิขกิลามั รไหดา้ ร1ต–1อ่ ไป

3 10 32 1 0 0 คูม่ อื การใชเ้ ทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอนิ เดยี (เวทคณิต)
3 สํานักงานเขตพืน้ ทีก่ ารศึกษามธั ยมศึกษา เขต 3266
9

139

78

7 ) 3124

39

30

96
3 10 32 1 0 0

จํานวนเต็ม 3
ของผลลพั ธ์ 9

139

จํานวนเต็ม 1 1– เศษที่ได้
ของผลลพั ธ์ 3 ของผลลพั ธ์

จํานวนเตม็ 12
ของผลลพั ธ์

ขน้ั ที่ 7
ผลลัพธ์ของการหาร 3,124 ดว้ ย 7 คอื 31032 + 13 + 1 เศษ 2
เท่ากบั 432 + 13 + 1 = 446 เศษ 2

ตอบ 3,124  7 = 446 เศษ 2

ตรวจคําตอบ นาํ ผลลัพธ์คูณตวั หาร แลว้ บวกด้วยเศษ

(446  7) + 2 = 3,122 + 2
= 3,124

ค่มู อื การใช้เทคนิคการคิดเลขเรว็ แบบอนิ เดีย (เวทคณิต)
สาํ นกั งานเขตพ้นื ทีก่ ารศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 3266

79

ในกรณีที่ตัวเลขมีค่ามากกว่า 5 อยู่หลายตัว เราอาจแปลงเลขโดดเหล่านั้นเป็นเลขนิขิลัมก่อนนําไปหาร
เพือ่ ใหก้ ารคํานวณสะดวกข้นึ ดังตัวอย่างต่อไปน้ี

ตัวอย่างที่ 3 98,564,318  9,886 = 
การแปลง 98,564,318 เป็นเลขนิขิลัม 98564318 = 1 0 1–4–4–4 3 2 2–

9886) 98564318

0 1 1 4 ) 1 0 –1 4– 4– 4 3 2 –2 10 1–02– = 11–02–

0114

0000

0000
0 –3 3– –1–2

0000
1 0 0 3– 0 1 0 –1 0 2–
ผลลพั ธ์ของการหาร 98,564,318 ดว้ ย 9,886 คือ 1003–0 เศษ 11–02–
เทา่ กบั 10,000 – 30 = 9,970 เศษ 1,000 – 102 = 898

ตอบ 98,564,318  9,886 = 9,970 เศษ 898

คมู่ อื การใช้เทคนิคการคดิ เลขเร็วแบบอนิ เดีย (เวทคณติ )
สาํ นักงานเขตพ้นื ท่ีการศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 3266

ฝกึ ปฏบิ ตั กิ าร : การหารโดยใชว้ ธิ นี ขิ ลิ มั 80
1) 216  89 2) 34,567  89

3) 5,488  98 4) 65,732  989

5) 198,073  979 6) 78,479  97

คู่มือการใช้เทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอนิ เดยี (เวทคณิต)
สาํ นกั งานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 3266

1) 1,323  9 81
แบบฝึกหัด เรอ่ื ง การหารโดยใชว้ ธิ นี ิขลิ ัม

2) 11,311  988

3) 54,023  89 4) 198,073  979

5) 1,340,729  8,879 6) 1,428  88

คมู่ ือการใช้เทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดีย (เวทคณิต)
สํานกั งานเขตพน้ื ทกี่ ารศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 3266

82
เฉลยคาํ ตอบ

ฝึกปฏิบัติการ : การหารโดยใชว้ ธิ นี ขิ ลิ ัม
1) 2 เศษ 38
2) 388 เศษ 35
3) 56
4) 66 เศษ 458
5) 202 เศษ 315
6) 809 เศษ 6

แบบฝกึ หดั เรอื่ ง การหารโดยใชว้ ิธนี ิขลิ มั
1) 147
2) 11 เศษ 443
3) 607
4) 202 เศษ 315
5) 151
6) 16 เศษ 20

คู่มอื การใช้เทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอินเดยี (เวทคณติ )
สาํ นักงานเขตพนื้ ที่การศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 3266

83

การหารโดยใช้วธิ พี าราวารท

การหารโดยใช้วิธีพาราวารท มีความเหมาะสมกับตัวหารที่อยู่ในรูป 1abc วิธีน้ีจะต่างจากการหารโดยวิธี

นิขลิ ัมในข้ันตอนแรก สว่ นข้ันตอ่ ไปคล้ายกัน –a –b –c

ถ้าตวั หารอยู่ในรปู 1abc 22ตัวหารปรMMับปDDรคคุงใืืออหม21–่ (M22–– D) คอื

เช่น ตัวหารเป็น 1 21–
ตัวหารเปน็ 1

ตัวอยา่ งการหารโดยใช้วิธพี าราวารท

ตัวอยา่ งท่ี 1 1,235  112 M=D= 1– 2– เน่อื งจาก MD มีเลขโดด 2 ตวั จึงเขียนเส้นแบ่ง
แนวคดิ ตัวหารคอื 112 จะได้

หนา้ เลขโดดของตัวตั้ง 2 ตวั นับจากทางขวา

112 ) 1235
–1 –2 –1 –2

–1 –2

1103

 

ผลลัพธ์คอื 11 เศษคือ 03

 

ตอบ 1,235  9 = 11 เศษ 3

ตวั อยา่ งที่ 2 112  89 =  1 1– 1– ดงั นน้ั MD คอื 11
แนวคิด กรณีน้ีตัวหารคือ 89 สามารถแปลงเป็นเลขนขิ ลิ มั ได้

หน้าเลขโดดของตวั ต้ัง 2 ตวั นับจากทางขวา

1 –1 –1 ) 1 1 2

11 11

123

 

ผลลัพ  ธ์คอื 1 เศษคอื 23

ตอบ 112  89 = 1 เศษ 23

คู่มอื การใช้เทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอนิ เดยี (เวทคณิต)
สาํ นกั งานเขตพื้นทีก่ ารศึกษามัธยมศึกษา เขต 3266

84

ตวั อย่างที่ 3 1,354  184 = 

แนวคดิ พ1ิจ8าร4ณา=ตัว2ห2–าร4คอื แ1ล8ว้4นถาํ งึ 2แมไ้วปา่ หจาะรมจี ะ1ไดน้ าํ ห1น1–า้ 2แตต่ วั ตามคอื 8 ซงึ่ ทาํ ใหค้ าํ นวณลําบาก
อาจใชว้ ธิ ีการดังนี้

2 ) 2 –2 4 ) 1 3 5 4
1 –1 2 1 –2
1 2–
4 8–
1 4 7 4–

 

** เน  ือ่ งจากนํา 2 ไปหารตัวหาร จงึ ต้องนํา 2 ไปหาผลลัพธ์ แตไ่ มต่ อ้ งนํา 2 ไปหารเศษที่ได้ ดังน้ี
14  2 = 7

ผลลพั ธ์คือ 7 เศษคือ 7 –4 หรอื 7 เศษ 66

ตอบ 1,354  184 = 7 เศษ 66

คมู่ ือการใช้เทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดยี (เวทคณิต)
สํานกั งานเขตพื้นทกี่ ารศึกษามัธยมศึกษา เขต 3266

ฝกึ ปฏิบัติการ : การหารโดยใชว้ ิธพี าราวารท 85
1) 1,235  112 2) 81,937  1,102

3) 131,503  1,229 4) 13,891 1,072

5) 2,253  182 6) 14,850  198

คมู่ อื การใช้เทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอนิ เดีย (เวทคณติ )
สํานักงานเขตพนื้ ทกี่ ารศึกษามธั ยมศึกษา เขต 3266

1) 197,960  178 86
แบบฝกึ หัด เรอ่ื ง การหารโดยใช้วิธพี าราวารท

2) 124,312  1,918

3) 76,848  891 4) 17,885  679

5) 3,564  297 6) 890,188  789

คู่มอื การใช้เทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอนิ เดีย (เวทคณติ )
สาํ นกั งานเขตพน้ื ทก่ี ารศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 326

87
เฉลยคาํ ตอบ

ฝกึ ปฏิบัตกิ าร : การหารโดยใชว้ ิธพี าราวารท
1) 11 เศษ 3
2) 74 เศษ 389
3) 107
4) 12 เศษ 1,027
5) 12 เศษ 69
6) 75

แบบฝึกหัด เรอ่ื ง การหารโดยใช้วธิ พี าราวารท
1) 1,112 เศษ 24
2) 64 เศษ 1,560
3) 86 เศษ 222
4) 26 เศษ 231
5) 12
6) 1,128 เศษ 196

คู่มอื การใช้เทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอินเดยี (เวทคณติ )
สาํ นักงานเขตพนื้ ที่การศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 3266

88

เฉลยคาํ ตอบ
แบบทดสอบก่อนการอบรม

การบวก การลบ
1) 270,076 1) 4,265
2) 87,178 2) 9,697
3) 856,230 3) 20,186,254
4) 499,269 4) 72,253
5) 110,716,580 5) 15,287,578

การคณู การหาร
1) 46,256 1) 49 เศษ 48
2) 142,992 2) 91 เศษ 228
3) 1,521,135 3) 12 เศษ 207
4) 5,175 4) 146 เศษ 64
5) 8,277 5) 4 เศษ 768

คู่มือการใชเ้ ทคนิคการคดิ เลขเร็วแบบอินเดีย (เวทคณติ )
สาํ นกั งานเขตพนื้ ท่ีการศึกษามัธยมศึกษา เขต 3266

89

การนําเทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดยี (เวทคณติ ) ไปใชใ้ นสถานศึกษา

วิธีการนําเทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดีย (เวทคณิต) ไปใช้ในสถานศึกษา ลงสู่การปฏิบัติจริงในการจัด
การเรยี นรูใ้ นช้นั เรยี น กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ มี 5 ชอ่ งทาง ได้แก่

1. การจัดทาํ รายวิชาเพิ่มเติม
2. การจัดทําหน่วยการเรยี นรู้เพมิ่ เตมิ
3. การสอดแทรกบรู ณาการในแผนการจดั การเรยี นรู้
4. การจัดทาํ กิจกรรมชมุ นุม/ชมรมเกี่ยวกบั เทคนคิ การคิดเลขเร็วแบบอนิ เดีย (เวทคณติ )
5. การจัดทาํ โครงการ/กจิ กรรมสง่ เสริมการเรยี นรู้
บทบาทของผู้เก่ียวข้องและรายละเอียดของการนําเทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดีย (เวทคณิต) ไปใช้
ในสถานศึกษาแตล่ ะวธิ ี มีดงั น้ี

การจดั ทาํ รายวชิ าเพ่ิมเติม
 บทบาทของคณะกรรมการบริหารหลักสตู รและงานวชิ าการของสถานศึกษา
(1) จัดทาํ สาระการเรียนรู้ แตล่ ะระดบั ช้นั
(2) เขยี นคําอธบิ ายรายวิชา จัดทําโครงสรา้ งรายวิขา
(3) ปรับเล่มหลักสตู รสถานศึกษา
(4) ปรบั เลม่ ระเบยี บว่าด้วยการวดั และประเมนิ ผลการเรยี นรู้
(5) จัดตารางเรยี น
(6) จัดครูผ้สู อน
(7) นเิ ทศ กาํ กับ ตดิ ตามและประเมินผลการใช้หลักสตู ร
 บทบาทของครผู ูส้ อน
(1) ออกแบบหน่วยการเรียนรู้
(2) จดั ทาํ แผนการจดั การเรยี นรู้
(3) จัดกจิ กรรมการเรยี นรู้
(4) ประเมินผลการเรยี นรู้

การจัดทาํ หน่วยการเรียนรู้เพม่ิ เตมิ
 บทบาทของครูผูส้ อน
(1) วิเคราะหห์ นว่ ยการเรยี นรกู้ ลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์
(2) ปรบั ลดเวลาเรียนแตล่ ะหนว่ ยการเรียนรู้
(3) จัดทาํ หนว่ ยการเรียนร้เู กย่ี วกับเทคนคิ การคดิ เลขเร็วแบบอนิ เดยี (เวทคณติ )
(4) ปรับโครงสรา้ งหน่วยการเรยี นรกู้ ลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์
(5) ออกแบบหน่วยการเรยี นรู้
(6) จัดทาํ แผนการจัดการเรยี นรู้
(7) จัดทาํ กิจกรรมการเรียนรู้
(8) ประเมินผลการเรียนรู้

คูม่ ือการใชเ้ ทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอนิ เดีย (เวทคณติ )
สํานักงานเขตพ้นื ท่ีการศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 3266

90

การสอดแทรกบรู ณาการในแผนการจดั การเรียนรู้
 บทบาทของครผู ูส้ อน
(1) ตรวจสอบ หน่วยการเรียนรู้ และแผนการจดั การเรียนรกู้ ลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์
(2) ปรับแผนและกิจกรรมการเรียนรู้ โดยสอดแทรกบูรณาการเทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดีย

(เวทคณติ ) ในกจิ กรรมการเรียนรู้
(3) จัดกจิ กรรมการเรียนรู้
(4) ประเมนิ ผลการเรียนรู้

การจัดทาํ กิจกรรมชุมนุม/ชมรมเก่ยี วกบั เทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดีย (เวทคณติ )
 บทบาทของคณะกรรมการบริหารหลักสูตรและงานวิชาการของสถานศึกษา
(1) จดั ทาํ โครงการจดั ตัง้ ชมุ นมุ /ชมรม
(2) จัดทาํ โครงสร้างกจิ กรรมชุมนมุ /ชมรม
(3) ปรบั เล่มหลกั สตู รสถานศึกษา
(4) ปรับเลม่ ระเบียบวา่ ด้วยการวัดและประเมินผลการเรียนรู้
(5) จัดตารางเรียน
(6) จัดครผู ้สู อน
(7) นเิ ทศ กํากับ ติดตามและประเมินผลการใชห้ ลักสตู ร
 บทบาทของครูผู้สอน
(1) รบั สมัครนักเรียนเขา้ รว่ มกิจกรรมชุมนมุ /ชมรม
(2) จดั ทําแผนการจัดกิจกรรม
(3) จดั กจิ กรรมการเรยี นรู้
(4) ประเมินผลการเขา้ ร่วมกิจกรรม

การจดั ทําโครงการ/กจิ กรรมส่งเสรมิ การเรยี นรู้
 บทบาทของผรู้ ับผดิ ชอบโครงการ
(1) จัดทําโครงการ/กิจกรรมส่งเสริมการเรียนรู้เก่ียวกับการนําเทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดีย

(เวทคณิต) มาใช้
(2) จัดทําแผนการจดั กิจกรรม
(3) จดั ตารางการจดั กิจกรรม
(4) จดั ครูผู้รบั ผดิ ชอบ
(5) จดั กจิ กรรม
(6) ประเมนิ ผลการเรยี นรู้
(7) นิเทศ กาํ กับ ตดิ ตามและประเมนิ ผล

ค่มู ือการใชเ้ ทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอนิ เดยี (เวทคณติ )
สํานกั งานเขตพื้นท่กี ารศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 3266

91

การวจิ ยั ในชนั้ เรียน
การใช้เทคนคิ การคิดเลขเรว็ แบบอนิ เดยี (เวทคณติ ) ในสถานศึกษา

กรอบเนอ้ื หา
1. วธิ กี ารคดิ เลขเรว็ แบบเวทคณิต
1.1 การบวก 1 แบบ
1.2 การลบ 4 แบบ
1.3 การคณู 4 แบบ
1.4 การหาร 3 แบบ
2. ทักษะการคิดเลขเร็วโดยใช้เวทคณิตเก็บข้อมูลด้วยวิธี Time Series เว้นระยะ 2 สัปดาห์ รวม 4 คร้ัง

ดว้ ยแบบทดสอบคณติ คิดเลขเรว็ โดยใชเ้ วทคณิตแบบคู่ขนาน
2.1 การบวก 20 ขอ้ 4 ฉบับ
2.2 การลบ 20 ขอ้ 4 ฉบบั
2.3 การคูณ 20 ข้อ 4 ฉบบั
2.4 การหาร 20 ขอ้ 4 ฉบบั
กําหนดเวลาฉบับละ 10 นาที ให้บนั ทึกเวลาที่เริม่ ทาํ แบบทดสอบและเวลาแลว้ เสร็จ

3. แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการเรียนรู้
4. แบบประเมนิ ความพึงพอใจของผ้เู รียน

การนาํ เทคนคิ คิดเลขเรว็ แบบอินเดยี (เวทคณติ ) ไปใชใ้ นโรงเรียน
1. จัดการเรียนรู้ในรายวิชาเพ่ิมเติม/หน่วยการเรียนรู้เพ่ิมเติม/สอดแทรกบูรณาการในแผนการจัด

การเรยี นรู้
2. กจิ กรรมเสรมิ ทกั ษะระหว่างเรียน
3. ทาํ แบบฝกึ ทกั ษะเวทคณติ เพม่ิ เตมิ นอกเวลาเรียน
4. ฝกึ ในกิจกรรมลดเวลาเรยี น เพม่ิ เวลารู้
5. กจิ กรรมชมุ นุม/ชมรม
6. อืน่ ๆ

ความรบั ผดิ ชอบครผู ู้สอน
1. เลือกวิธีคิดเลขเรว็ แบบเวทคณิตเพ่ือทดลองในโรงเรยี นตามระดับชนั้ และแนวทางนาํ ไปใช้อยา่ งน้อย 1 วิธี
2. ระยะเวลาการดําเนนิ งาน ภาคเรยี นท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2560

ค่มู ือการใชเ้ ทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอนิ เดีย (เวทคณิต)
สาํ นกั งานเขตพื้นทก่ี ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 3266

92

ตวั อย่างแบบร่าง
เคา้ โครงวจิ ัยในช้นั เรียน

เร่ือง การพัฒนา..................................................................................................................................................
ของนกั เรียน...............................................................................................................................................
โดยใช้.........................................................................................................................................................

ปัญหาและความสาํ คญั ของปัญหา
กลุ่มสาระการเรียนรู้............................................................................เป็นกลุ่มสาระวิชาท่ีมีความสําคัญ

เพราะ.....................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
ในการจัดการเรียนการสอนกลุ่มสาระวิชา............................................................................................................
จึงมุ่งให้นักเรียนมีความรู้ความเข้าใจในเร่ือง.........................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
และเกิดทักษะ.......................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
และพัฒนาคุณลักษณะด้าน..................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................

จากการจัดการเรียนรู้กลุ่มสาระ...................................................เรื่อง.................................................
..........................................................................................................................พบว่า นักเรียนส่วนใหญ่มีปัญหา
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
ซ่ึงมีสาเหตุมาจาก...................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
การท่ีนักเรียนมีปัญหาดังกล่าว จะส่งผลกระทบต่อ..............................................................................................
.............................................................................................................................................................................
จึงได้คิดค้นแนวทางในการแก้ปัญหาให้กับนักเรียนหลายวิธี แต่วิธีที่วิเคราะห์แล้ว เห็นว่าเป็นวิธีแก้ปัญหาเรื่องน้ี
ท่ีเหมาะสมที่สุด คือ..........................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

วัตถุประสงค์
1. เพ่ือพัฒนา.......................................................................................................................................

ของนักเรียน โดยใช.้ ..........................................................................................................................
2. เพ่ือศึกษาความพงึ พอใจของนักเรียนทม่ี ีต่อการเรยี นการสอนโดยใช้........................................................

คู่มือการใช้เทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดยี (เวทคณติ )
สาํ นักงานเขตพนื้ ทก่ี ารศึกษามัธยมศึกษา เขต 3266

93

ขอบเขตการวจิ ยั
1. กลุ่มเป้าหมาย ได้แก่ นักเรียนชั้น........................................................................................................

............................ที่เรียนกลุ่มสาระการเรียนรู้............................................ภาคเรียนท่ี…………….ปีการศึกษา.........
จาํ นวน............คน

2. ขอบเขตเน้ือหาสาระ ได้แก่..............................................................................................................

เคร่อื งมือวจิ ัย
1. แผนการเรียนรู้กลุ่มสาระ.........................................................ท่ีใช้...................................................

จาํ นวน..............................................แผนการเรยี นรู้
2. เครอื่ งมือเกบ็ ข้อมูล ไดแ้ ก่
2.1 เครื่องมือประเมินทักษะ.................................................................หรือ......................................

(กรณขี อ้ มูลผลสมั ฤทธิ์)
2.2 ข้อทดสอบแบบเขียนตอบ (...แสดงวิธีทํากลุ่มสาระ..............เรื่อง................................................

จํานวน .............ข้อ
2.3 แบบสอบถามความพงึ พอใจของนกั เรียท่ีมตี อ่ การจดั การเรียนรู้

การวเิ คราะหข์ อ้ มูล
การวเิ คราะห์ขอ้ มูล........................................................................................................................................

ของนักเรียน โดยการหาค่า...........................................................................................................
การวิเคราะหข์ อ้ มลู ความพงึ พอใจของนกั เรียนโดยหาคา่ ...............................................................................

...........................................................................................................................................

ขั้นตอนการทดลอง
กอ่ นการทดลอง
1. ประเมิน....................................................ก่อนการเรียน
2. เตรยี มความนกั เรียนในเรอ่ื ง.............................................................................................
ระหว่างการทดลอง
3. สอนตามแผนการสอนท่ี....................................ถงึ ...........................................................
4. เกบ็ รวบรวมข้อมูล.......................................................................................................... โดยใชเ้ ครือ่ งมือ

...............................................................................................................
หลังการทดลอง
5. ประเมิน.........................................................................หลงั เรียน.......................................
6. สอบถามความพึงพอใจของนกั เรียน โดยใช้ แบบสอบถ......................................................

คู่มือการใชเ้ ทคนิคการคดิ เลขเร็วแบบอนิ เดีย (เวทคณิต)
สํานักงานเขตพ้ืนทก่ี ารศึกษามัธยมศึกษา เขต 3266

94 ระยะเวลา งบประมาณ

ขน้ั ตอนดาํ เนนิ การวจิ ัย
ที่ รายการปฏิบัติงาน
1 ศกึ ษาและวเิ คราะห์ปัญหา
2 จดั ทาํ เค้าโครงการวจิ ยั
3 เสนอขออนุมตั ิตอ่ โรงเรียน
4 จดั ทาํ เอกสารการวิจยั และเคร่อื งมอื วิจัย
5 ให้ผเู้ ชีย่ วชาญตรวจเอกสารและเครื่องมือวิจยั
6 ปรับปรงุ เอกสารและเครื่องมอื วจิ ัย
7 ดาํ เนนิ การวจิ ัยกับกลมุ่ เป้าหมาย
8 เขียนรายงานผลการวิจยั
9 เสนอผลการวจิ ัยต่อทางโรงเรยี น

เอกสารอา้ งองิ
………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..

ผวู้ ิจัย
………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..

คู่มือการใชเ้ ทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดีย (เวทคณิต)
สํานกั งานเขตพนื้ ทกี่ ารศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 3266

95

ตวั อยา่ ง
แบบรายงานการวจิ ัยในชั้นเรยี น
การใช้เทคนคิ การคดิ เลขเร็วแบบอนิ เดยี (เวทคณติ )

ช่อื หวั ข้อวจิ ยั การใช้เทคนคิ การสอนคิดเลขเรว็ แบบอนิ เดยี (เวทคณิต) เร่อื งการบวก..... ทม่ี ผี ลตอ่
ความสามารถการคดิ คํานวณของนักเรียนช้นั ...….โรงเรยี น................................................

1. ความเป็นมาและความสาํ คัญของปญั หา

จากสภาพความเป็นจริงในการจัดการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ยังไม่ประสบความสําเร็จเท่าที่ควร
โดยเฉพาะทักษะการคิดคํานวณ ซึ่งเป็นทักษะพื้นฐานท่ีสําคัญในการเรียนคณิตศาสตร์ให้ประสบผลสําเร็จ และ
นําไปใช้ในชีวิตประจําวันได้จากการสังเกตการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ในห้องเรียน พบว่า นักเรียนมีปัญหาในการคิด
คํานวณ โดยเฉพาะการบวก นักเรียนจะมีปัญหาในเรื่องการทด กล่าวคือ นักเรียนมักจะลืมทด ไม่นําตัวทดไปรวมกับ
ผลบวกในหลกั ทางซ้ายมือและคดิ คํานวณไดช้ า้ จึงแสวงหาแนวทางใหม่ ๆ นน่ั คือ การบวกตามแนวเวทคณิต

เวทคณิตมีความหมายว่าความรู้แห่งการคํานวณ เป็นการคิดเลขเร็วของอินเดียท่ีประกอบด้วย 16 สูตร
เก่ียวกับการบวก การลบ การคูณ และการหาร ซึ่งแต่ละสูตรเป็นสูตรเฉพาะที่จะช่วยทําให้คิดคํานวณลัดขึ้น (ศักดา
บุญโต, 2538 : คํานํา) การบวกตามแนวเวทคณิตจะช่วยแก้ปัญหาการทดและทําให้นักเรียนการบวกเลขในใจได้
การบวกตามแนวเวทคณิตจะใช้จุดแทนการทด (ศักดา บุญโต, 2538 : 1) ซ่ึงจะช่วยลดความผิดพลาดในการบวกของ
นักเรียนได้ ครูผู้สอนจึงมีความสนใจใช้เทคนิคการบวกตามแนวเวทคณิต เพ่ือพัฒนาความสามารถด้านการคิด
คํานวณของนกั เรยี นในเรือ่ งการบวก

2. วตั ถุประสงค์
1. เพ่ือศึกษาผลการใช้เทคนิค (การบวก...) ตามแนวเวทคณิต ส่งผลต่อการคํานวณของนักเรียนในด้าน

ความถกู ต้องแมน่ ยํา และความรวดเรว็ หรือไม่
2. เพ่อื ประเมนิ ความพงึ พอใจของนกั เรียนต่อการคิดคาํ นวณเรื่องการบวกตามแนวเวทคณติ

3. กลุ่มเปา้ หมาย
นักเรยี นชัน้ ..........ซึง่ กาํ ลังศึกษาอยู่ในภาคเรยี นท่ี 1 ปกี ารศึกษา 2560 โรงเรยี น......................

4. วิธกี ารหรอื นวัตกรรมทใี่ ช้
1. แผนการจดั การเรียนรเู้ รื่อง……………โดยใชเ้ ทคนิคการสอนคดิ คาํ นวณตามแนวเวทคณิต จํานวน... แผน

แผนละ...นาที
2. เครอื่ งมือวัดผลและรวบรวมขอ้ มลู
2.1 แบบทดสอบวดั ความสามารถในการคดิ คาํ นวณ เรอ่ื ง (การบวก............) ครผู สู้ อนได้สรา้ งข้นึ เอง

มลี ักษณะเป็นข้อสอบแบบ..........................จํานวน.....ฉบับ ฉบับละ....ขอ้
2.2 แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการเรยี นรู้
2.3 แบบประเมนิ ความพงึ พอใจการใช้เทคนิคการสอนคดิ คาํ นวณตามแนวเวทคณติ
โดยมขี น้ั ตอนในการสรา้ งดงั นี้
1) ศกึ ษาคูม่ ือครกู ลุ่มทักษะคณิตศาสตร์ ชั้น ….. เนือ้ หาเก่ยี วกับ (การบวก...)
2) สร้างแบบทดสอบ แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการเรยี นรู้ และแบบประเมนิ ความพงึ พอใจการใช้เทคนคิ

การสอนคิดคาํ นวณตามแนวเวทคณติ

ค่มู ือการใช้เทคนิคการคดิ เลขเรว็ แบบอนิ เดยี (เวทคณติ )
สํานกั งานเขตพนื้ ที่การศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 3266