Tugas matematika kelompok

PRAKATA

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas
berkah, rahmat, dan karunia-Nya, penyusunan modul Matematika dapat kami
selesaikan.

Buku ini disusun sebagai salah satu bahan ajar dalam pelaksanaan kegiatan
belajar menhgajar mata pelajaran Matematika di Sekolah.

Dalam buku ini disajikan materi pembelajaran matematika secara sederhana,
efektif, dan mudah dimengerti yang disertai contoh dalam kehidupan. Didalam buku
ini juga dilengkapi contoh soal maupun tugas.

Ucapan terimakasih kami sampaikan kepada semua pihak yang telah
membantu terselesaikannya modul ini sehingga dapat disajikan kepada siswa.
Namun demikian buku ini pasti tidak luput dari kekurangan-kekurangan. Oleh karena
itu, berbagai macam perbaikan termasuk saran dan kritik dari pembaca sangat kami
harapkan demi kesempurnaan buku ini.

Kudus, Desember 2020

Tim Penyusun

2

DAFTAR ISI

PRAKATA............................................................................................................................................... 2
DAFTAR ISI............................................................................................................................................3
PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL.................................................................................................4

Petunjuk bagi siswa..............................................................................................................................4
Petunjuk bagi guru ...............................................................................................................................4
KI dan KD................................................................................................................................................5
Kompetensi Inti ....................................................................................................................................5
Kompetensi Dasar ................................................................................................................................5
Tujuan Pembelajaran ...............................................................................................................................6
Peta Informasi ..........................................................................................................................................7
Kegiatan Belajar.......................................................................................................................................8
MATERI ..................................................................................................................................................9
Pengertian ............................................................................................................................................. 9
Nilai fungsi atau harga fungsi ............................................................................................................11
Daerah asal fungsi ..............................................................................................................................12
Macam-macam Fungsi .......................................................................................................................13
E. Sifat-Sifat Fungsi ...........................................................................................................................15
Operasi Aljabar pada Fungsi ..............................................................................................................17
Contoh Soal dan Penyelesaiannya .........................................................................................................19
Rangkuman ............................................................................................................................................20
Feedback ................................................................................................................................................21
Uji Kompetensi ......................................................................................................................................22
Glosarium............................................................................................................................................... 23
Indeks ..................................................................................................................................................... 24
Augmented Reality ................................................................................................................................24
Daftar Pustaka........................................................................................................................................24

3

PETUNJUK PENGGUNAAN
MODUL

Petunjuk bagi siswa

Untuk meperoleh prestasi belajar secara maksimal, maka langkah-
langkahyang perlu dilaksanakan dalam modul ini antara lain:

1. Bacalah dan pahami materi yang ada pada setiap kegiatan belajar. Bila ada materi

yang belum jelas, siswa dapat bertanya kepada guru.

2. Kerjakan setiap tugas diskusi terhadap materi-materi yang dibahas dalam setiap

kegiatan belajar.

3. Jika belum menguasai materi yang diharapkan, ulangi lagi pada kegiatan belajar

sebelumnya atau bertanyalah kepada guru.

4. Kerjakan soal yang sudah dibuat dengan benar dan melihar cara atau materi yang

sudah dijelaskan.

Petunjuk bagi guru

1. Membantu siswa dalam merencanakan proses belajar
2. Membimbing siswa dalam memahami konsep, analisa, dan

menjawab pertanyaan siswa mengenai proses belajar

3. Membantu siswa yang kesulitan dengan menjelaskan teori yang belum

dipahami.

4

KI dan KD

Kompetensi Inti

1.1 menerima, menghargai, dan

menjalankan ajaraan agama yang

dianutnya

1.2 memiliki perilaku jujur, disiplin,tanggung

jawab, santun, peduli, dan percaya diri

dalam berinteraksi dengan keluarga,

teman

1. Kompetensi Dasar

2.1 menampilkan pengertian fungsi
2.2 memahami nilai fungsi atau harga fungsi
2.3 mengetahui daerah asal fungsi
2.4 mengetahui macam-macam fungsi
2.5 mengetahui sifat-sifat yang dimiliki
fungsi
2.6 mengetahui operasi aljabar pada fungsi

5

Tujuan Pembelajaran
1. Siswa mampu memahami pengertian fungsi
2. Siswa juga mamu memahami nilai fungsi atau harga

fungsi
3. Siswa mampu mengetahui daerah asal fungsi
4. Siswa mampu mengetahui macam-macam fungsi
5. Siswa mampu mengetahui sifat-sifat yang dimiliki oleh

fungsi
6. Siswa mampu mengetahui operasi aljabar pada fungsi

6

Peta Informasi

Fungsi

Bagian Inti Bagian Akhir
Feedback
Pengertian Fungsi
Uji Kompetensi
Nilai fungsi Glosarium
Indeks
Daerah Asal Daftar Pustaka
Fungsi

Macam-macam
Fungsi

Sifat-sifat
fungsi

Operasi Aljabar

7

Kegiatan Belajar

Kegiatan Pembelajaran Kompetensi yang
Dikembangkan
1. Menjelaskan tentang
Sikap
pengertian fungsi  Jujur,disiplin dan tanggung jawab
Pengetahuan
2. Menjelaskan tentang nilai
 Pengertian fungsi
fungsi atau harga fungsi  Nilai fungsi atau harga fungsi
 Daerah asal fungsi
3. Menentukan dan  Macam-macam fungsi
 Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi
mengetahui daerah asal  Operasi aljabar pada fungsi

fungsi Ketrampilan

4. Menyebutkan macam-  Dapat menentukan daerah asal fungsi

Sikmaapcam fungsi
5. Menyebutkan sifat-sifat

yang dimiliki oleh fungsi

8

MATERI

A. Pengertian

Fungsi adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang mana setiap x ϵ

Adipasangkan atau dihubungkan dengan satu dan hanya satu y ϵ B.

A B A BA B

1 A1 A1 A
2 B2 B2 B
3 C3 C3 C

Dari gambar diatas dapat disimpulkan bahwa

1. Jika relasi dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut, maka tidak boleh ada dua

atau lebih pasangan terurut yang mempunyai unsur pertamanya sama.

2. Jika relasi dinyatakan dengan diagram panah, maka tidak boleh ada hubungan

bercabang dari suatu x ϵ A ke y ϵ B

3. Jika relasi dinyatakan dengan grafik Cartesius, maka tidak boleh ada satupun garis

vertikal (// sumbu y) yang memotong grafik di dua titik atau lebih.
Untuk lebih jelasnya amati contoh berikut:

a. Himpunan pasangan terurut
 P = {(1,3), (2,4), (3,5), (4,6), 90,4)}

Adalah suatu fungsi sebab tidak ada pasangan terurut yang unsur pertamanya sama.

 Q = {(1,3), (2,4), (3,5), (1,6)}

Adalah bukan fungsi sebab ada dua pasangan terurut yang unsur pertamanya sama
yaitu (1,3) dan (1,6) dimana unsur pertamanya adalah 1.

9

Jika daerah asal suatu relasi dinyatakan dengan suatu interval atau selang, maka grafik
cartesius dari relasi tersebut akan berbentuk kurva, kurva yang terbentuk dapat berupa
garis lurus atau garis lengkung atau busur.

YY

X

Linear Kurva

Y Y= 2x

X

Suatu fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf tunggal misalnya f, g, h dan

sebagainya.

Untuk menyatakan bahwa f adalah suatu fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke

himpunan B dilambangkan dengan f: A B

Jika x ϵ A dan y ϵ B maka lambang pernyataan fungsi tersebut dapat diganti dengan f:

x

“y” adalah peta dari x oleh f atau “y” adalah fungsi dari x dan pada umumnya digunakan

sebagai lambang.

y = f (x)

bentuk terakhir ini yang disebut rumus fungsi.

X disebut variabel bebas dan y disebut variabel tak bebas, karena nilainya tergantung

pada x.

10
0

B. Nilai fungsi atau harga fungsi

Yang dimaksud dengan nilai fungsi adalah suat nilai y yang diperoleh apabila variabel x
diberi harga tertentu. Misal diberikan rumus fungsi y = f (x) = x2- 2, maka :

Nilai fungsi untuk:

X = -3 adalah f(-3) =( −32)- 2 = 9 – 2 =7

X = -1 adalah f(-1) = ( −12)- 2 = 1 –2 = -1

X=0 adalah f(0) = (02)- 2 = 0 – 2 = -2

X=2 adalah f(2) = (22)- 2 = 4 – 2 = 2

X=a adalah f(a) = ( a2)- 2 = a2- 2

X=k+1 adalah f (k+1) = (k+12)- 2 = k2+ 2k + 1- 2 = k2- 2k - 1

11

C. Daerah asal fungsi

Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan f : A B.
Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal,
sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. Domain fungsi
f ditulis dengan notasi Df dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain
funsi f adalah himpunan terbesar didalam R sehingga f terdefinisikan atau ada. Jadi:
Df = {x ϵ R : f (x) ada (terdefinisikan)}

Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah
hasil fungsi f, ditulis Rf atau Im (f)

AB

Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x ϵ A mempunyai kawan y ϵ B,

maka dikatakan “y merupakan bayangan x oleh f” atau “y merupakan nilai fungsi f di x”

dan ditulis y = f(x).

12

D. Macam-macam Fungsi

1. Fungsi konstan
Sebuah fungsi yang dirumuskan dengan f(x) – k, dengan k adalah konstanta riil.

Grafiknya berupa garis mendatar yang berjarak k satuan dari sumbu x. jika k lebih

dari 0, maka garis berada di atas sumbu x. Jika k kurang dari 0, maka garis berada di

bawah sumbu x. dan jika k=0, maka f(x)=0. Garis berimpit dengan sumbu x.

3 F(x)=
2 2
1

1234

2. Fungsi identitas
Seuah fungsi yang dirumuskan dengan f(x)=x. Grafiknya berupa sebuah garis yang
melalui titik asal dengan gradien atau tanjakan.
Dari kedua fungsi tersebut di atas dapat dibentuk atau dibangun banyak fungsi.
Sembarang fungsi yang dapat dibangun dari fungsi konstan dan fungsi identitas
dengan memakai operasi-operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian disebut
fungsi polinom.

3. Fungsi linear

Fungsi polinom berderajat satu. Bentuk umumnya adalah f(x)=ax+b; a dan b
adalah konstanta riil. Grafiknya berupa garis yang melalui titik (a,0) dan (0,b).

y

l(x)=x
x

4. Fungsi kuadrat

Fungsi polinom berderajat dua. Bentuknya adalah f(x)=ax2 + bx + c
Grafiknya berbentuk parabola.
Parabola terbuka ke atas jika a>0 dan terbuka ke bawah jika a<0.

13

Ditinjau dari kesimetrisan kurva, fungsi tersebut terbagi menjadi 2:

1. Fungsi genap, jika dipenuhi f(-x) = f(x)
2. Fungsi ganjil, jika dipenuhi f(-x) = -f(x)

Jika 1 dan 2 tidak dipenuhi, dikatakan bahwa fungsi tak genap dan tak ganjil.

14

E. Sifat-Sifat Fungsi

1. Fungsi Surjektif
 Fungsi f : A B disebut fungsi surjektif atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah fungsi
f=himpunan b.
 Fungsi f : A B disebut fungsi info atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil
fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari himpunan b.
 Fungsi injektif
Fungsi f : A B disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk tiap
a1, a2 elemen A dan f(a1) ≠ f(a2) Contoh:
Himpunan P = {1, 2, 3}, dan Q = {p, q, r}

 Fungsi Bijektif B disebut sebagai fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi

Fungsi f : A

f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif. Contoh:

Fungsi f : A B

A = {0, 1, 2}, dan B = {a, b, c}

Fungsi f : A B
A = {0, 1, 2}, dan B = {a, b, c, d}

15

2. Fungsi Komposisi
Dilambangkan dengan “o” atau dibaca komposisi. Fungsi baru dapat dibentuk
dengan operasi komposisi.

a. (f o g)(x) dibaca f komposisi g x atau f g x

b. (g o f)(x) dibaca g komposisi f x atau g
f x Fungsi A B

Tiap x elemen A dipetakan ke y elemen B

sehingga g : x y ditentukan dengan rumus y = g(x)

Fungsi f : B C

Tiap y elemen B dipetakan ke z elemen C

Sehingga f : y z ditentukan dengan rumus z = f(y)

Fungsi h : A C

Tiap x elemen A dipetakan ke z elemen C

Sehingga h : x z ditentukan dengan rumus z = h(x)

Fungsi h disebut komposisi dari fungsi f dan fungsi g. komposisi fungsi f
dan g ditulis dengan notasi h = f o g atau h(x) = (f o g)(x)

5. Fungsi Invers B mempunyai fungsi invers f-1 hanya jika

Suatu fungsi f : A

f merupakan fungsi bijektif atau himpunan A dan B mempunyai korespondensi

satu-satu.

16

F. Operasi Aljabar pada Fungsi

Jika f suatu fungsi dengan daerah asal Df dan g suatu fungsi dengan daerah aal Dg, maka pada
operasi aljabar penjumlahan, pengurangan,perkalian, pembagian, dinyatakan sebagai berikut.

1) Penjumlahan
Penjumlahan f dan g ditulis f + g, didefinisikan sebagai (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan
daerah asal Df + g = Df ᴖ Dg.
Contoh:
Diketahui f (x) = x + 2 dan g(x) = x2 – 7. Tentuka (f + g)(x)!
Jawaab:
(f + g)(x) = f(X) + g(x)
(f + g)(x) = (x + 2) + (x2 – 7)
(f + g) (x) = x + 2 + x2 – 7
(f + g)(x) = x2 + x - 5

2) Pengurangan
Selisih f dan g ditulis dengan f – g, didefinisikan sebagai (f – g) (x) = f(x) – g(x) dengan
daerah asal df – g = Df ᴖ Dg.
Contoh:
Diketahui f(x) = x3 + 8x dan g(x) = 2x – 5. Tentukan (f – g)(x)!
Jawab:
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f – g)(x) = (x3 + 8x – (2x – 5)
(f – g)(x) = x3 + 8x – 2x + 5
(f – g)(x) = x3 + 6x - 5

3) Perkalian
Perkalian f dan g ditulis dengan f × g, didefinisikan sebagai (f × g)(x) = f(x) × g(x) dengan
daerah asal Df × g = Df ᴖ Dg.
Contoh:
Diketahui f(x) = x – 3 dan g(x) = x2 + 2x. Tentukan (f × g)(x)!
Jawab:
(f × g)(x) = f(x) × g(x)
(f × g)(x) = (x – 3) × (x2 + 2x)
(f × g)(x) = x3 + 2x2 – 3x2 – 6x
(f × g)(x) = x3 – x2 – 6x

17

4) Pembagian dimana g(x)≠ 0,
Pembagian f dan g ditulis dengan , didefinisikan sebagai ( (x) =
dengan daerah asal D = Df ᴖ Dg – x l g(x) = 0
Contoh:
Diketahui f(x) = x2 - dan g(x) = x + 3. Tentukan (
Jawab:
(
(
(=
(

18

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Soal:

Fungsi f : R R dan g : R R ditentukan f(x) = 4x – 1 dan g(x) = 2x. tentukan:

• f o g (x)
• g o f (x)

Jawab:

a. f(x) = 4x – 1
f(g(x)) = 4 . g(x) – 1

(f o g)(x) = 4 (2x)-1
(f o g)(x) = 8x – 1

b. g(x) = 2x
g(f(x)) = 2 f(x)
= 2 (4x -1)
(g o f)(x) = 8x - 2
(g o f)(x)

19

Rangkuman

1. Fungsi adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang mana setiap x € A
dipasangkan atau dihubungkan dengan satu dan hanya satu y € B.

2. Nilai fungsi adalah suatu nilai y yang diperoleh apabila variable x diberi harga tertentu.
3. Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan f : A B

Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal,
sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. Domain fungsi f
ditulis dengan notasi Df dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain funsi
f adalah himpunan terbesar didalam R sehingga f terdefinisikan atau ada.
4. Macam-macam fungsi antara lain:

 Fungsi konstan
 Fungsi identitas
 Fungsi linear
 Fungsi kuadrat
5. Sifat-sifat fungsi antara lain:
 Fungsi surjektif
 Fungsi injektif
 Fungsi bijektif
 Fungsi komposisi
 Fungsi invers
6. Operasi Aljabar pada Fungsi adalah Jika f suatu fungsi dengan daerah asal Df dan g suatu
fungsi dengan daerah aal Dg, maka pada operasi aljabar penjumlahan,
pengurangan,perkalian, pembagian.

20

Feedback

1. Siswa terangsang untuk lebih giat belajar karena

pekerjaannya dihargai

2. Ketika siswa mengajukan pertanyaan, biasakan janganlah langsung

dijawab oleh guru, beri kesempatan siswa lainnya untuk memberikan
jawaban atau untuk didiskusikan dengan teman-temannya. Komentar
dating dari berbagai pihak sehingga terjadi pembicaraan antara guru
dengan siswa, dan siswa dengan siswa. Dengan diskusi semacam ini,
siswa yang bertanya akan mengetahui bagaimana cara pemecahannya.

3. Pada waktu diskusi berlangsung, guru hendaknya melibatkan diri agar

dapat mengetahui proses berpikir siswa dalam memehami suatu
konsep.

4. Mendorong guru untuk menilai seberapa relavansi antara aspek-

aspek pembelajaran dengan tingkat kemampuan siswa dalam
menguasai bahan ajar seperti yang diinginkan oleh gurunya.

5. Setelah siswa mendapatkan saran atau komentar, para siswa

paham akan kekurangan pada pekerjaannya dan segera
berkeinginan memperbaiki.

6. Guru segera dapat melihat kekurangan perencanaan program

dan pelaksanaan pembelajaran dirinya dan berusaha
meningkatkan kemampuannya.

21

1

Uji Kompetensi

Nah… untuk mencoba soal untuk materi fungsi ini coba klik link di samping gambar
ini…

https://docs.google.com/forms/d/1
HPcpJn1iVauM5BY0dnaZ_CjLkn
d1rpw2oLs15eaVi-
8/edit?usp=sharing

Nah.... untuk pembahasannya
dapat dilihat pada link dibawah
ini....

https://drive.google.com/file/d/1Qcb5Lv1eMRWb7
N2o4cvVFuRfmkPuOH14/view?usp=sharing

22

Glosarium

1. Relasi : aturan yang menghubungkan anggota pada suatu

himpunan dengan anggota himpunan lainnya

2. Himpunan : kumpulan objek yang memiliki sifat yang dapat

didefinisikan dengan jelas, atau lebih jelasnya adalah segala koleksi

benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatua.

3. Elemen : bagian-bagin dasar yang mendasari sesuatu

4. Diagram : suatu representasi simbolis informasi dalam bentuk geometri

dua dimensi sesuai teknik visualisasi.

5. Grafik : data yang diwakili dibentuk oleh symbol-simbol, seperti

batang dalam bagan batang, garis-garis dalam sebuah bagan garis, atau

irisan dalam bagan pai.

6. Kurva : suatu garis lengkung yang menghubungkan titik- titik

potong

7. Notasi : sebuah himpunan yang biasanya dinyatakan dengan

symbol-simbol tertentu, biasanya sebuah himpunan yang dinyatakan

dengan menggunakan huruf capital atau bisa juga ditandai dengan

adanya kurung kurawal. Sedangkan anggota dari himpunan tersebut

biasanya ditandai dengan menggunakan huruf alphabet berukuran kecil.

8. Sumbu : sumbu dalam matematika dibedakan menjadi 2 yaitu

sumbu koordinat dan sumbu simetri.

9. Domain : suatu himpunan nilai-nilai “masukan” tempat fungsi tersebut

terdefinsi (ada)

23

Indeks

Relasi 9, 10
Himpunan 9, 10, 11, 14, 16
Elemen 16
Diagram 9
Grafik 9, 10, 12,13
Kurva 10
Notasi 11
Sumbu 12
Domain11

24

Augmented Reality

Petunjuk Penggunaan:
1. Instal aplikasi Assemblr atau Assemblr Edu di play store pada Hp
android anda masing-masing
2. Pilih menu scan
3. Lalu scan kode QR pada gambar yang ada dbawah ini
4. Amati dan pelajarilah AR yang muncul pada HP android kalian masing-
masing

25

Daftar Pustaka

Putri, Adisty Danya. 2020. Fungsi: Pengertian, Operasi, Sifat, Komposisi (Lengkap).
https://www.edura.id/blog/matematika/operasi-fungsi/. 30 Desember 2020

Rohendi, Dedi. 2014. Fungsi. http://dedi.staf.upi.edu/files/2014/02/Bahan-ajar-Matematika-Dasar-d3.pdf.
30 Desember 2020

26