5 - Aturan Sinus dan Cosinus

ATURAN SINUS

Adalah pengembangan masalah dari perbandingan trigonometri pada segitiga istimewa yang

terbatas yang bertujuan untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut segitiga sembarang.

Perlu dilakukan kesepakatan
penamaan sudut dan sisi suatu
segitiga, bahwa "lambang/nama suatu
sisi segitiga dituliskan dengan huruf
kecil sesuai dengan titik sudut yang
berada di hadapannya "seperti contoh
di samping.

Perhatikan gambar dibawah ini

Pada ∆ABC sembarang jika AD adalah garis tinggi maka AD tegak
lurus BC sehingga terlihat ∆BDA dan segitiga cda dimana
keduanya siku-siku di titik D.

Selanjutnya pada ∆BDA Selanjutnya pada ∆CDA


sin = sin =

= ∙ sin = ∙ sin

= ∙ sin … (1) = ∙ sin … (2)

Dari (1) dan (2) maka dapat dinyatakan bahwa ∙ sin = ∙ sin atau =

sin sin

Selanjutnya dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa:

= atau =
sin sin sin sin

Pada ∆ABC sembarang berlaku aturan dibawah ini yang dikenal dengan istinal aturan sinus.


sin = sin = sin

Catatan

Aturan sinus digunakan untuk menentukan elemen-elemen suatu segitiga yang dalam
keadaannya telah diketahui ukuran dari:

• Sisi – Sudut – Sisi
• Sudut – Sisi – Sudut
• Sisi – Sisi – Sudut

ATURAN COSINUS

Aturan sinus tidak dapat digunakan untuk menentukan elemen-elemen suatu segitiga yang dalam
keadaannya telah diketahui ukuran dari:

• Sisi – Sudut – Sisi
• Sisi – Sisi – Sisi
Maka diperlukan antara lain untuk menyelesaikan permasalahan tersebut

Perhatikan gambar dibawah ini

Pada ∆ABC sembarang jika AD adalah garis tinggi maka AD tegak
lurus BC sehingga terlihat ∆BDA dan segitiga cda dimana
keduanya siku-siku di titik D.

Selanjutnya pada ∆BDA Pada ∆BDA … (1)
2 = 2 − 2

cos = Pada ∆CDA … (2)
= ∙ cos 2 = 2 − 2

= ∙ cos
Akibatnya = − ∙ cos

Dari (1) dan (2) maka diperoleh
2 − 2 = 2 − 2
2 − ( ∙ cos )2 = 2 − ( − ∙ cos )2
2 − 2 ∙ cos 2 = 2 − ( 2 − 2 cos + 2 cos 2 )
2 − 2 ∙ cos 2 = 2 − 2 + 2 cos − 2 cos 2
2 = 2 − 2 + 2 cos
= + −

Dengan cara yang sama, maka dapat dibuktikan aturan cos yang melibatkan sudut lainnya,
selanjutnya dapat dinyatakan bahwa pada ∆ABC sembarang berlaku aturan dibawah ini.

= + −
= + −
= + −
Selanjutnya dapat dimodifikasi menjadi

+ −
=

+ −
=

+ −
=

CONTOH ATURAN SINUS

Sebuah tiang dibangun dengan ketinggian 40 m. Suatu ketika, terjadi gempa bumi yang
mengakibatkan terjadi kemiringan pada tiang tersebut. Pada jarak 40√2 m dari dasar tiang
diperoleh sudut elevasi 450, tentukan derajat kemiringan tiang dari permukaan tanah!

Jawab:
Berdasarkan data soal, dapat di ilustrasikan sebagai berikut:

Diketahui:
= = 40
= = 40√2
∠ = 45°
Ditanyakan:
∠ = ⋯ ?
Penyelesaian:


sin = sin

40 40√2
sin 30 ° = sin
40 sin = 40√2 × sin 45°

1
40 sin = 40√2 × 2 √2

20 × 2
sin = 40
sin = 1
∠ = 90°

∠ = 180° − ∠ − ∠ dari
∠ = 180° − 45° − 90°
∠ = 45°
Jadi, derajat kemiringan tiang
permukaan tanah adalah 45°.

CONTOH ATURAN COSINUS

Diketahui segitiga sebarang dengan = 4, = 7, dan ∠ = 60°. Tentukan panjang !

Jawab:
Berdasarkan data soal, dapat di ilustrasikan sebagai berikut:

Diketahui:

= = 4

= = 7

∠ = 60°
Ditanyakan:

= = ⋯ ?

Penyelesaian:

2 = 2 + 2 − 2 cos

2 = 72 + 42 − 2(7)(4) cos 60°

2 = (49) + (16) − 56 × 1
2

2 = 65 − 28

2 = 37

= √37

Jadi, panjang = √37.