รากที่ n

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์

วชิ าคณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน รหัสวิชา ค32101
เรื่อง เลขยกกาํ ลงั ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 5

ชดุ ท่ี 1 เร่อื ง รากท่ี n ของจาํ นวนจรงิ

โดย
นางจรยิ า จติ สาํ รวย
ตําแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ชํานาญการ
โรงเรยี นเตรยี มอุดมศึกษาภาคใต้
อาํ เภอพระพรหม จงั หวดั นครศรธี รรมราช
สาํ นักงานเขตพน้ื ทก่ี ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 12

ก

คาํ นํา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง เลขยกกาํ ลงั ชุดน้ี จดั ทาํ ข้ึนเพอื่ ฝึก
ทกั ษะเรื่อง เลขยกกาํ ลงั ใหก้ บั ผเู้ รียนช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5 ซ่ึงจะช่วยฝึกฝน
ทกั ษะทางคณิตศาสตร์ โดยเริ่มจากง่ายไปหายากตามลาํ ดบั ผลจากการฝึกจะ
ช่วยใหผ้ เู้ รียนมีความเขา้ ใจเกี่ยวกบั เร่ือง เลขยกกาํ ลงั ไดด้ ียงิ่ ข้ึน นบั ไดว้ า่ เป็น
การวางรากฐานทางคณิตศาสตร์ใหก้ บั ผเู้ รียนไดอ้ ยา่ งมน่ั คง

ขอขอบพระคุณผเู้ ช่ียวชาญและผทู้ ี่เก่ียวขอ้ งทุกท่านที่มีส่วนช่วย
ใหค้ าํ ปรึกษา และแนะนาํ ในการจดั ทาํ แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง เลขยก
กาํ ลงั ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5 ชุดน้ีสาํ เร็จไปดว้ ยดี มีความสมบรู ณ์ยง่ิ ข้ึน และ
ขอบคุณคณะครู นกั เรียนโรงเรียนเตรียมอุดมศึกษาภาคใต้ ทุกคนท่ีใหก้ าํ ลงั ใจ
และนาํ แบบฝึกทกั ษะไปทดลองใช้ ผจู้ ดั ทาํ หวงั วา่ แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
เร่ือง เลขยกกาํ ลงั ชุดน้ี จะช่วยใหผ้ เู้ รียนมีผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียนสูงข้ึน
และมีเจตคติที่ดีต่อการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์

จริยา จิตสาํ รวย

ข

คาํ ชี้แจง

1. แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง เลขยกกาํ ลงั ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5
มี

จาํ นวน 6 ชุด ดงั น้ี
ชุดที่ 1 เร่ืองรากที่ n ของจาํ นวนจริง
ชุดที่ 2 เรื่องค่าประมาณของจาํ นวนจริงท่ีอยใู่ นรูปกรณฑ์
ชุดที่ 3 เร่ืองสมบตั ิของรากที่ n ของจาํ นวนจริง
ชุดท่ี 4 เร่ืองผลบวก ผลต่าง และผลคณู ของจาํ นวนจริงท่ีอยใู่ นรูป

กรณฑ์
ชุดที่ 5 เรื่องเลขยกกาํ ลงั ท่ีมีเลขช้ีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะ
ชุดที่ 6 เร่ืองสมการเลขยกกาํ ลงั ท่ีมีฐานเป็นจาํ นวนจริงและมีเลขช้ี
กาํ ลงั เป็นตวั แปร

2. แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์แต่ละชุดมสี ่วนประกอบดงั น้ี
2.1 ช่ือแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
2.2 คาํ อธิบายเน้ือหาสาระของแบบฝึกทกั ษะชุดน้นั ๆ
2.3 แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
2.4 แบบทดสอบก่อน – หลงั เรียน
2.5 เฉลยแบบฝึกทกั ษะ
2.6 เฉลยแบบทดสอบก่อน – หลงั เรียน

3. นกั เรียนทาํ แบบฝึกทกั ษะเร่ือง เลขยกกาํ ลงั ใหค้ รบทุกแบบฝึก
4. นกั เรียนทาํ แบบฝึกทกั ษะตามลาํ ดบั หากสงสยั ให้ถามครู
5. นกั เรียนปฏิบตั ิกิจกรรมดว้ ยความต้งั ใจ ทาํ งานดว้ ยความเรียบร้อย
และผลงานสะอาด

สารบญั ค

เรื่อง หน้า
คาํ นาํ ก
คาํ ช้ีแจง ข
สารบญั ค
จุดประสงคข์ องแบบฝึกทกั ษะ ง
คาํ แนะนาํ ในการใชแ้ บบฝึกทกั ษะ จ
มาตรฐานการเรียนรู้ ฉ
สาระสาํ คญั ช
สาระการเรียนรู้ ช
แบบทดสอบก่อนเรียน 1
เน้ือหาสาระของแบบฝึกทกั ษะ 2
แบบฝึกทกั ษะชุดท่ี 1.1 8
แบบฝึกทกั ษะชุดท่ี 1.2 9
แบบฝึกทกั ษะชุดที่ 1.3 10
แบบฝึกทกั ษะชุดที่ 1.4 11
แบบฝึกทกั ษะชุดที่ 1.5 12
แบบฝึกทกั ษะชุดที่ 1.6 13
แบบฝึกทกั ษะชุดท่ี 1.7 14
แบบฝึกทกั ษะชุดที่ 1.8 18
เฉลยแบบฝึกทกั ษะ 19
แบบทดสอบหลงั เรียน 30
เฉลยแบบทดสอบก่อนและหลงั เรียน 31
บรรณานุกรม 32

ง

จุดประสงค์การเรียนรู้
แบบฝึ กทกั ษะ

1. เม่ือนกั เรียนไดเ้ รียนรู้แบบฝึกทกั ษะเรื่องน้ีจบแลว้ สามารถ
หาคา่ รากที่ n ของจาํ นวนจริง a ได้

2. เม่ือนกั เรียนไดเ้ รียนรู้แบบฝึกทกั ษะเร่ืองน้ีจบแลว้ สามารถ
หาคา่ หลกั ของรากท่ี n ของจาํ นวนจริง a ได้

3. เม่ือนกั เรียนไดเ้ รียนรู้แบบฝึกทกั ษะเร่ืองน้ีจบแล้วสามารถบอก
ความแตกต่างระหวา่ งรากท่ี n ของจาํ นวนจริง a กบั ค่าหลกั
ของรากที่ n ของจาํ นวนจริง a ได้

จ

คาํ แนะนํา
การใช้แบบฝึ กทกั ษะ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์เรื่องเลขยกกาํ ลงั ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5
ชุดที่ 1 เรื่อง รากที่ n ของจาํ นวนจริง เวลา 2 ชวั่ โมง

ใหน้ กั เรียนปฏิบตั ิดงั น้ี

1. ทาํ แบบทดสอบก่อนเรียน
2. ศึกษาเน้ือหาสาระสาํ คญั ก่อนที่จะทาํ แบบฝึกทกั ษะชุดท่ี 1-8

จากน้นั ตรวจแนวคาํ ตอบจากเฉลยทา้ ยเล่ม
3. เม่ือทาํ แบบฝึกทกั ษะครบทกุ ชุดแลว้ ทาํ แบบทดสอบ

หลงั เรียนลงในกระดาษคาํ ตอบ
4. ตรวจแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียนจากเฉลย

ทา้ ยเล่มแลว้ บนั ทึกผลท่ีไดล้ งในตารางบนั ทึก

ฉ

มาตรฐานการเรียนรู้

มาตรฐาน ค 1.1 เขา้ ใจถึงความหลากหลายของการแสดงจาํ นวนและ
การใชจ้ าํ นวนในชีวติ จริง

ตวั ช้ีวดั ม.4-6/3 มีความคิดรวบยอดเก่ียวกบั จาํ นวนจริงท่ีอยใู่ นรูปเลขยก
กาํ ลงั ท่ีมีเลขช้ีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะและจาํ นวนจริง
ท่ีอยใู่ นรูปกรณฑ์

ช

สาระสําคญั

สาํ หรับจาํ นวนจริงบวก n ที่มากกวา่ 1 และจาํ นวน
จริง a และ b แลว้ b เป็นรากท่ี n ของ a กต็ ่อเมื่อ bn = a

จาํ นวนจริงท่ีอยใู่ นรูป n a หมายถึง คา่ หลกั ของราก

ท่ี n ของ a หรือกรณฑท์ ี่ n ของ a

สาระการเรียนรู้

1. รากที่ n ของจาํ นวนจริง
2. คา่ หลกั ของรากท่ี n ของจาํ นวนจริง

1

แบบทดสอบก่อนเรียน
เร่ือง รากที่ n ของจาํ นวนจริง

จงหาคา่ ของจาํ นวนต่อไปน้ี
1. รากท่ีสองของ 144 คือ.............................................................................
2. 7 และ -7 เป็นรากท่ี 4 ของ.....................................................................
3. -9 เป็นรากท่ี 3 ของ..................................................................................
4. 256 = ................................................................................................
5. 6 64 = ................................................................................................
6.  4 625 = ..........................................................................................
7. คา่ หลกั ของรากที่ 3 ของ -64 คือ.............................................................
8. ค่าหลกั ของรากท่ี 4 ของ 256 คือ.............................................................
9. 15  2 26 = ..................................................................................
10. ค่าหลกั ของรากท่ี 2 ของ 11 120 คือ......................................................

คะแนนเตม็ 10
คะแนนท่ีได้
ลงช่ือผตู้ รวจ

2

แบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 1

เร่ือง รากท่ี n ของจาํ นวนจริง

รากท่ี n ของจาํ นวนจริง
สาํ หรับจาํ นวนจริงบวก n ท่ีมากกวา่ 1 และจาํ นวนจริง a และ b

b เป็นรากที่ n ของ a กต็ ่อเมื่อ bn = a
เช่น

1) เน่ืองจาก 23  8
จะไดว้ า่ 2 เป็นรากท่ี 3 ของ 8

2) เนื่องจาก (2)3  8
จะไดว้ า่ -2 เป็นรากท่ี 3 ของ - 8

3) เนื่องจาก (2)4 16
จะไดว้ า่ -2 เป็นรากที่ 4 ของ 16
และ 24 16
จะไดว้ า่ 2 เป็นรากท่ี 4 ของ 16
ดงั น้นั -2 และ 2 เป็นรากท่ี 4 ของ 16

4) เน่ืองจาก 25  32
จะไดว้ า่ 2 เป็นรากที่ 5 ของ 32

5) เน่ืองจาก (2)5  32
จะไดว้ า่ -2 เป็นรากท่ี 5 ของ - 32

6) เนื่องจาก (2)6  64
จะไดว้ า่ -2 เป็นรากที่ 6 ของ 64
และ 26  64
จะไดว้ า่ 2 เป็นรากท่ี 6 ของ 64
ดงั น้นั -2 และ 2 เป็นรากที่ 6 ของ 64

3

ค่าหลกั ของรากท่ี n ของจาํ นวนจริง

บทนิยาม ให้ n เป็นจาํ นวนเตม็ บวกท่ีมากกวา่ 1 a และ b เป็นจาํ นวนจริง
b เป็นรากท่ี n ของ a กต็ ่อเม่ือ bn = a

คา่ หลกั ของรากที่ n ของจาํ นวนจริง a หรือ n a เป็นดงั น้ี

1) ถา้ a = 0 แลว้ n a = 0

2) ถา้ a > 0 แลว้ n a เป็นจาํ นวนจริงบวก

3) ถา้ a < 0 และ n เป็นจาํ นวนค่ี แลว้ n a เป็นจาํ นวนจริงลบ

ถา้ a < 0 และ n เป็นจาํ นวนคู่ แลว้ รากที่ n ของ a ไม่มี

เช่น

1) รากท่ีสองของ 4 คือ 2 และ -2 เพราะ 22  4 และ - 22  4

2) รากที่สองของ 9 คือ 3 และ -3 เพราะ 32  9 และ -32  9

3) รากท่ีสองของ 5 คือ 5 และ - 5 เพราะ  2 5 และ - 5 2  5

5

4) รากที่สามของ 27 คือ 3 เพราะ 33  27

5) รากท่ีสี่ของ 81 คือ 3 และ -3 เพราะ 34  81 และ -34  81

6) รากที่หกของ 729 คือ 3 และ -3 เพราะ 36  729 และ -36  729

7) รากที่หกของ 25 คือ 6 25 และ  6 25 เพราะ  6 25 6  25 และ

  6 25 6  25
8) รากที่หา้ ของ 20 คือ 5 20 เพราะ  5 20 5  20

4

การเขียน n a แทนค่าหลกั ของรากที่ n ของ a

จาก - 23  8
ดงั น้นั -2 เป็นรากที่ 3 ของ -8
จาก  1 3  1

 3  27

ดงั น้นั 1 เป็นรากท่ี 3 ของ 1

3 27

จาก  33  27
ดงั น้นั -3 เป็นรากที่สาม ของ -27
จาก 22  4 และ  22  4
ดงั น้นั 2 และ -2 เป็นรากท่ีสอง ของ 4
จาก 54  625 และ  54  625
ดงั น้นั 5 และ -5 เป็นรากท่ีส่ี ของ 625

เมื่อ a เป็นจาํ นวนจริงที่มีรากท่ี n จะกล่าววา่ จาํ นวนจริง b เป็นคา่ หลกั ของ
รากท่ี n ของ a กต็ ่อเม่ือ b เป็นรากท่ี n ของ a และ ba  0 เขียนแทนค่าหลกั ของรากที่ n
ของ a ดว้ ย n a

เช่น จาก - 23  8 และ  28  0
ดงั น้นั -2 เป็นคา่ หลกั ของรากท่ี 3 ของ -8 หรือ 3  8  2
ค่าหลกั ของรากท่ี 4 ของ 16 คือ 4 16  2
คา่ หลกั ของรากท่ี 5 ของ 32 คือ 5 32  2
คา่ หลกั ของรากที่ 6 ของ 64 คือ 6 64  2
ค่าหลกั ของรากที่ 3 ของ -64 คือ 3  64  4

5

ความแตกต่างระหวา่ งรากที่ n ของจาํ นวนจริง a กบั คา่ หลกั ของรากท่ี n ของ a ดงั น้ี
4  2 แสดงวา่ คา่ หลกั ของรากที่สอง ของ 4 คือ 2
แต่ รากที่สองของ 4 คือ 2 และ -2
3  27  3 แสดงวา่ คา่ หลกั ของรากท่ีสาม ของ -27 คือ -3
และ รากท่ีสามของ -27 คือ -3
4 625  5 แสดงวา่ คา่ หลกั ของรากท่ีสี่ ของ 625 คือ 5
แต่ รากท่ีสี่ของ 625 คือ 5 และ -5

ตวั อยา่ ง
1. คา่ หลกั ของรากท่ี 3 ของ 27 คือ 3 27  3
2. คา่ หลกั ของรากที่ 2 ของ 225 คือ 225 15
3. คา่ หลกั ของรากที่ 3 ของ - 125 คือ 3 125  5
4. ค่าหลกั ของรากที่ 5 ของ 243 คือ 5 243  3
5. ค่าหลกั ของรากท่ี 3 ของ -512 คือ 3 512  8
6. คา่ หลกั ของรากท่ี 4 ของ 0 คือ 4 0  0
7. ค่าหลกั ของรากที่ 4 ของ -625 คือ ไม่มีคาํ ตอบเป็นจาํ นวนจริง

ข้อสังเกตเก่ียวกบั ค่าหลกั ของรากที่ n ของจาํ นวนจริง a หรือ n a ดงั น้ี
1) ถา้ a = 0 แลว้ n a = 0
2) ถา้ a > 0 แลว้ n a เป็นจาํ นวนจริงบวก
3) ถา้ a < 0 และ n เป็นจาํ นวนคแ่ี ลว้ n a เป็นจาํ นวนจริงลบ
ถา้ a > 0 และ n เป็นจาํ นวนคูแ่ ลว้ รากที่ n ของ a
ไม่มีคาํ ตอบเป็นจาํ นวนจริง

6

การหาค่าหลกั ของรากท่ี n ของจํานวนจริง สามารถเขียนให้อยู่ในรูปกาํ ลงั สองสมบูรณ์
เช่น ถา้ a และ b เป็นจาํ นวนเตม็ บวกที่มากกวา่ 0 จะได้

 1. a  b 2  a  b  2 a b
 2. a  b 2  a  b  2 a b

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาค่าหลกั ของรากที่สองของ 5  24

5  24 = 5  4  6

= 52 6

= 3  2   2 3 2

   = 3 2  2 2  2 3 2

   = 2
3 22 3 2
2

=  3 2

2

ดงั น้นั 3  2 เป็นคา่ หลกั ของรากท่ีสองของ 5  24

เนื่องจาก  3  2 =  3 2  3  2

2

   = 2
3 22 3 2
2

= 32 3 2 2

= 52 6

= 5  24

7

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาค่าหลกั ของรากท่ีสองของ 7  48

7  48 = 7  4  12

= 7  2 12

= 4  3  2 4 3

   = 4 2  3 2  2 4 3

   =
4 22 4 3 2

3

=  4 2

3

= 2  2

3

ดงั น้นั 2  3 เป็นค่าหลกั ของรากที่สองของ 7  48

เนื่องจาก 2  2 = 2  3 2  3

3

= 44 33

= 7  16  3

= 7  48

8

แบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 1.1
เรื่อง รากท่ี n ของจํานวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาคา่ รากที่ n ของจาํ นวนจริง a ได้

คาํ ช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหาค่ารากท่ี n ของจาํ นวนจริงที่กาํ หนดใหต้ อ่ ไปน้ี (ขอ้ ละ1 คะแนน)
ก. รากท่ีสองของ 9 คือ 3 และ -3
1. รากท่ีสองของ 100 คือ .......................................................
2. รากที่สามของ 64 คือ .......................................................
3. รากที่สามของ -216 คือ .......................................................
4. รากท่ีส่ีของ -216 คือ .......................................................
5. รากท่ีหา้ ของ 243 คือ .......................................................
6. รากที่หกของ 64 คือ .......................................................
7. รากที่สี่ของ 256 คือ .......................................................
8. รากที่สี่ของ 256 คือ .......................................................
9. รากท่ีส่ีของ 2401 คือ .......................................................
10. รากที่สามของ 512 คือ .......................................................

คะแนนเตม็ 10
คะแนนท่ีได้
ลงชื่อผตู้ รวจ

9

.............................................................

แบบฝึ กทกั ษะชุดท่ี 1.2
เรื่อง รากที่ n ของจาํ นวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาค่ารากที่ n ของจาํ นวนจริง a ได้
คาํ ช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหาคา่ รากท่ี n ของจาํ นวนจริงท่ีกาํ หนดใหต้ ่อไปน้ี (ขอ้ ละ1 คะแนน)

ก. 225 = 15

1. 169 = ………………………………
2. 4 81 =……………………………….
3. 7 128 = ……………………………
4. 3 125 = ………………………………

5.  64 = ……………………………

3

125

6. 32 = ……………………………

5

125

7. 3 0.008 = ………………………………

8. 3 0.125 = ………………………………

9. 3 0.000001 = ………………………………
10. 5 0.00032 = ………………………………

คะแนนเตม็ 10
คะแนนท่ีได้
ลงชื่อผตู้ รวจ

10

แบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 1.3
เรื่อง รากท่ี n ของจํานวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาคา่ รากท่ี n ของจาํ นวนจริง a ได้

คาํ ช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหาคา่ รากท่ี n ของจาํ นวนจริงที่กาํ หนดใหต้ อ่ ไปน้ี (ขอ้ ละ1 คะแนน)

ก. 9 เป็นรากท่ี 2 ของ 81 เพราะ 92  81
1. 5 เป็นรากที่ 2 ของ …….. เพราะ .............................................................

2. 4 เป็นรากท่ี 3 ของ …….. เพราะ .............................................................

3. 2 เป็นรากท่ี 4 ของ …….. เพราะ .............................................................

4. 1 เป็นรากที่ 5 ของ …….. เพราะ .............................................................

2 เพราะ .............................................................
เพราะ...............................................................
5.  1 เป็นรากท่ี 7 ของ ……..

2

6. -2 เป็นรากที่ 9 ของ ……..

7. -6 เป็นรากที่ 5 ของ …….. เพราะ...............................................................

8. -4 เป็นรากที่ 5 ของ …….. เพราะ...............................................................

9. -7 เป็นรากที่ 3 ของ …….. เพราะ...............................................................

10. -9 เป็นรากท่ี 3 ของ …….. เพราะ...............................................................

คะแนนเตม็ 10
คะแนนที่ได้
ลงช่ือผตู้ รวจ

11

แบบฝึ กทกั ษะชุดท่ี 1.4
เรื่อง ค่าหลกั ของรากที่ n ของจํานวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาคา่ หลกั ของรากที่ n ของจาํ นวนจริง a ได้

คาํ ช้ีแจง นกั เรียนหาค่าหลกั รากท่ี n ของจาํ นวนจริงท่ีกาํ หนดใหต้ ่อไปน้ี( ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ก ค่าหลกั ของรากที่ 5 ของ 32 คือ 5 32  2

1. คา่ หลกั ของรากที่ 2 ของ 1 คือ .............................................................

2. คา่ หลกั ของรากท่ี 3 ของ -1 คือ .............................................................

3. คา่ หลกั ของรากที่ 4 ของ 16 คือ .............................................................

4. คา่ หลกั ของรากที่ 4 ของ -81 คือ .............................................................

5. คา่ หลกั ของรากท่ี 5 ของ 243 คือ ............................................................
1
6. คา่ หลกั ของรากที่ 5 ของ 32 คือ .............................................................

7. ค่าหลกั ของรากที่ 7 ของ  1 คือ .............................................................
128
8. คา่ หลกั ของรากที่ 8 ของ -256 คือ .............................................................

9. คา่ หลกั ของรากท่ี 9 ของ -512 คือ .............................................................

10. คา่ หลกั ของรากท่ี 9 ของ 512 คือ .............................................................

คะแนนเตม็ 10
คะแนนที่ได้
ลงช่ือผตู้ รวจ

17

แบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 1.5
เร่ือง รากที่ n ของจาํ นวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ บอกความแตกต่างระหวา่ งรากที่ n ของจาํ นวนจริง a กบั
คา่ หลกั ของ รากที่ n ของจาํ นวนจริง a ได้

คาํ ช้ีแจง ใหน้ กั เรียนทาํ เครื่องหมาย  หนา้ ขอ้ ท่ีถูก และทาํ เครื่องหมาย  หนา้ ขอ้ ที่ผดิ
(ขอ้ ละ 1 คะแนน)

... ...ก. 4 6561 = 9
……. 1. 2 เป็นค่าหลกั ของรากท่ี 3 ของ 8
……. 2. 4 และ -4 เป็นคา่ หลกั ของรากท่ี 2 ของ 16
……. 3. 3 เป็นคา่ หลกั ของรากที่ 2 ของ 3
……. 4. 4 และ -4 เป็นคา่ ของรากที่ 3 ของ 64
……. 5. รากที่ 2 ของ 225 คือ 15 และ -15
……. 6. 5 เป็นค่าหลกั ของรากท่ี 4 ของ 625
……. 7. -14 เป็นคา่ หลกั ของรากที่ 2 ของ 196
……. 8. 12 เป็นค่าหลกั ของรากที่ 3 ของ 1728
……. 9. คา่ หลกั ของรากที่ 3 ของ 343 คือ 7
…….10. 4 1296 = -6

คะแนนเตม็ 10
คะแนนท่ีได้
ลงช่ือผตู้ รวจ

18

แบบฝึ กทกั ษะชุดท่ี 1.6
เร่ือง รากท่ี n ของจํานวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาค่ารากท่ี n ของจาํ นวนจริง a ได้

คาํ ช้ีแจง นกั เรียนหาคา่ รากที่ n ของจาํ นวนจริงทกี่ าํ หนดใหต้ ่อไปน้ี (ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ก. รากที่สองของ 361 คือ 19 และ -19

ข. 400 = 20

ค. 9 เป็นรากท่ี 2 ของ 81

1. รากที่สองของ 289 คือ .......................................................

2. รากที่สามของ -1331 คือ .......................................................

3. รากที่ส่ีของ 28 คือ .......................................................

4. 1296 = …………………………… .

5. 4 2401 =……………………………….
6. 7 128 = ……………………………

7.  64 = ……………………………

3

729

8. 2 เป็นรากท่ี 4 ของ ……..

9. 2 เป็นรากท่ี 6 ของ …….. คะแนนเตม็ 10
คะแนนท่ีได้
3 ลงชื่อผตู้ รวจ

10. -2 เป็นรากท่ี 9 ของ ……..

19

แบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 1.7
เร่ือง ค่าหลกั ของรากท่ี n ของจํานวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาคา่ หลกั ของรากที่ n ของจาํ นวนจริง a ได้

คาํ ช้ีแจง นกั เรียนหาค่าหลกั ของรากท่ี 2 ของจาํ นวนจริงท่ีกาํ หนดใหต้ ่อไปน้ี( ขอ้ ละ 3 คะแนน)

ตวั อยา่ ง จงหาค่าหลกั ของรากที่สองของ 5  24

5  24 = 5  4  6

= 52 6

= 3  2   2 3 2

   = 3 2  2 2  2 3 2

   = 2
322 3 2
2

=  3 2

2

ดงั น้นั 3  2 เป็นคา่ หลกั ของรากท่ีสองของ 5  24

1. 9  56 ……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

คะแนนเตม็ 12
คะแนนที่ได้
ลงช่ือผตู้ รวจ

20

2. 12  2 35 ……………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

3. 11  72 ……………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

4. 11  2 24 ……………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

21

2. จงหาค่าของจาํ นวนต่อไปน้ี
1. 12  140 …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
2. 6  32 …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
3. 11  72 …………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

22

4. 14  192 …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

5. 17  288 …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

6. 13  88 …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

23

แบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 1.8
เร่ือง ค่าหลกั ของรากที่ n ของจาํ นวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาคา่ หลกั ของรากที่ n ของจาํ นวนจริง a ได้

คาํ ช้ีแจง ใหน้ กั เรียนเติมคาํ ตอบ (ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. 14  132  …………………………………………………………………….
2. 13  168  …………………………………………………………………….
3. 7  48  …………………………………………………………………….
4. 14  180  …………………………………………………………………….
5. 16  252  ………………………………………………………………….
6. 8  48  …………………………………………………………………….
7. 11  5 เป็นค่าหลกั ของรากท่ี 2 ของ…………………………………………
8. 7  15 เป็นคา่ หลกั ของรากที่ 2 ของ…………………………………………
9. 5  3 เป็นคา่ หลกั ของรากที่ 2 ของ…………………………………………
10. 4  7 เป็นคา่ หลกั ของรากที่ 2 ของ…………………………………………

คะแนนเตม็ 10
คะแนนที่ได้
ลงชื่อผตู้ รวจ

24

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 1.1
เร่ือง รากท่ี n ของจํานวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาค่ารากท่ี n ของจาํ นวนจริง a ได้

คาํ ช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหาคา่ รากท่ี n ของจาํ นวนจริงที่กาํ หนดใหต้ อ่ ไปน้ี (ขอ้ ละ1 คะแนน)
ก. รากที่สองของ 9 คือ 3 และ -3
1. รากที่สองของ 100 คือ 10 และ -10
2. รากท่ีสามของ 64 คือ 4
3. รากที่สามของ -216 คือ -6
4. รากที่ส่ีของ -216 คือ ไม่มีคาํ ตอบเป็นจาํ นวนจริง
5. รากที่หา้ ของ 243 คือ 3
6. รากท่ีหกของ 64 คือ 2 และ -2
7. รากท่ีส่ีของ 256 คือ 4
8. รากท่ีสี่ของ 256 คือ 4 และ -4
9. รากที่สี่ของ 2401 คือ 7 และ -7
10. รากที่สามของ 512 คือ 8

คะแนนเตม็ 10
คะแนนที่ได้
ลงชื่อผตู้ รวจ

25

.............................................................

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะชุดท่ี 1.2
เรื่อง รากท่ี n ของจํานวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาค่ารากท่ี n ของจาํ นวนจริง a ได้
คาํ ช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหาคา่ รากที่ n ของจาํ นวนจริงที่กาํ หนดใหต้ ่อไปน้ี (ขอ้ ละ1 คะแนน)

ก. 225 = 15

1. 169 = 13

2. 4 81 = 3

3. 7 128 = -2

4. 3 125 = 5

5. 3 64 = 4
125 5

6. 5 32 = 2

125 5 125

7. 3 0.008 = 0.2

8. 3 0.125 = 0.5

9. 3 0.000001 = 0.01
10. 5 0.00032 = 0.2

คะแนนเตม็ 10
คะแนนท่ีได้
ลงชื่อผตู้ รวจ

26

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 1.3
เรื่อง รากที่ n ของจาํ นวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาคา่ รากที่ n ของจาํ นวนจริง a ได้

คาํ ช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหาค่ารากที่ n ของจาํ นวนจริงที่กาํ หนดใหต้ อ่ ไปน้ี (ขอ้ ละ1 คะแนน)

ก. 9 เป็นรากท่ี 2 ของ 81 เพราะ 92  81
1. 5 เป็นรากที่ 2 ของ 25 เพราะ 52  25
2. 4 เป็นรากที่ 3 ของ 64 เพราะ 43  64
3. 2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 เพราะ 24 16

4. 1 เป็นรากท่ี 5 ของ 1 เพราะ  1 5  1

2 32  2  32

5.  1 เป็นรากที่ 7 ของ  1 เพราะ  1 7   1

2 128  2  128

6. -2 เป็นรากท่ี 9 ของ -512 เพราะ  29  512

7. -6 เป็นรากที่ 5 ของ -7776 เพราะ  65  7776

8. -4 เป็นรากที่ 5 ของ -1024 เพราะ  45  1024

9. -7 เป็นรากท่ี 3 ของ -343 เพราะ  73  343

10. -9 เป็นรากท่ี 3 ของ -729 เพราะ  93  729

คะแนนเตม็ 10
คะแนนท่ีได้
ลงชอ่ื ผตู้ รวจ

27

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะชุดท่ี 1.4
เร่ือง ค่าหลกั ของรากที่ n ของจาํ นวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาค่าหลกั ของรากที่ n ของจาํ นวนจริง a ได้

คาํ ช้ีแจง นกั เรียนหาคา่ หลกั รากที่ n ของจาํ นวนจริงท่ีกาํ หนดใหต้ ่อไปน้ี( ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ก คา่ หลกั ของรากท่ี 5 ของ 32 คือ 5 32  2

1. คา่ หลกั ของรากที่ 2 ของ 1 คือ 1  1

2. คา่ หลกั ของรากที่ 3 ของ -1 คือ 3 1  1

3. คา่ หลกั ของรากที่ 4 ของ 16 คือ 4 16  2

4. คา่ หลกั ของรากท่ี 4 ของ -81 คือ ไม่มีคาํ ตอบทเ่ี ป็นจาํ นวนจริง

5. คา่ หลกั ของรากท่ี 5 ของ 243 คือ 5 243  3

6. คา่ หลกั ของรากท่ี 5 ของ 1 คือ 5 1  1
32
32 2
5. คา่ หลกั ของรากท่ี 6 ของ 0
คือ 6 0  0

6. คา่ หลกั ของรากท่ี 6 ของ 729 คือ 6 729  3

7. คา่ หลกั ของรากท่ี 7 ของ  1 คือ 7  1   1

128 128 2

8. คา่ หลกั ของรากที่ 8 ของ -256 คือ ไม่มีคาํ ตอบทเ่ี ป็นจาํ นวนจริง

9. คา่ หลกั ของรากท่ี 9 ของ -512 คือ 9  512  2

10. ค่าหลกั ของรากที่ 9 ของ 512 คือ 9 512  2

คะแนนเตม็ 10
คะแนนท่ีได้
ลงช่ือผตู้ รวจ

29

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 1.5
เรื่อง รากท่ี n ของจาํ นวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ บอกความแตกต่างระหวา่ งรากที่ n ของจาํ นวนจริง a กบั
ค่าหลกั ของ รากที่ n ของจาํ นวนจริง a ได้

คาํ ช้ีแจง ใหน้ กั เรียนทาํ เครื่องหมาย  หนา้ ขอ้ ท่ีถูก และทาํ เครื่องหมาย  หนา้ ขอ้ ที่ผดิ
(ขอ้ ละ 1 คะแนน)

... . ก. 4 6561 = 9
…. 1. 2 เป็นค่าหลกั ของรากที่ 3 ของ 8
….2. 4 และ -4 เป็นค่าหลกั ของรากที่ 2 ของ 16
…. 3. 3 เป็นค่าหลกั ของรากท่ี 2 ของ 3
….4. 4 และ -4 เป็นคา่ ของรากที่ 3 ของ 64
…. 5. รากท่ี 2 ของ 225 คือ 15 และ -15
…. 6. 5 เป็นคา่ หลกั ของรากท่ี 4 ของ 625
….7. -14 เป็นคา่ หลกั ของรากที่ 2 ของ 196
…. 8. 12 เป็นคา่ หลกั ของรากท่ี 3 ของ 1728
….9. ค่าหลกั ของรากท่ี 3 ของ 343 คือ 7
….10. 4 1296 = -6

คะแนนเตม็ 10
คะแนนท่ีได้
ลงชอ่ื ผตู้ รวจ

30

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 1.6
เรื่อง รากท่ี n ของจํานวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาคา่ รากท่ี n ของจาํ นวนจริง a ได้

คาํ ช้ีแจง นกั เรียนหาค่ารากท่ี n ของจาํ นวนจริงทก่ี าํ หนดใหต้ ่อไปน้ี (ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ก. รากท่ีสองของ 361 คือ 19 และ -19

ข. 400 = 20

ค. 9 เป็นรากท่ี 2 ของ 81

1. รากที่สองของ 289 คือ 17 และ -17

2. รากที่สามของ -1331 คือ -11

3. รากท่ีส่ีของ 28 คือ 4 28

4. 1296 = 36

5. 4 2401 = 7

6. 7 128 = -2

7.  64 = 4

3 3

729 9

8. 2 เป็นรากที่ 4 ของ 16

9. 2 เป็นรากท่ี 6 ของ 64
3 729

10. -2 เป็นรากที่ 9 ของ -512

คะแนนเตม็ 10
คะแนนที่ได้
ลงชื่อผตู้ รวจ

31

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 1.7
เรื่อง ค่าหลกั ของรากที่ n ของจํานวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาค่าหลกั ของรากท่ี n ของจาํ นวนจริง a ได้

คาํ ช้ีแจง นกั เรียนหาค่าหลกั ของรากท่ี 2 ของจาํ นวนจริงที่กาํ หนดใหต้ ่อไปน้ี( ขอ้ ละ 3 คะแนน)

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ หลกั ของรากที่สองของ 5  24

5  24 = 5  4  6

= 52 6

= 3  2 2 3  2 

=  3 2   2 2  2 3  2 

=  3 2  2 3  2   2

2

=  3 2

2

ดงั น้นั 3  2 เป็นคา่ หลกั ของรากที่สองของ 5  24

1. 9  56 = 9  4  14

= 9  2 14

= 7  2 2 7  2 

=  7 2   2 2  2 7  2 

=  7 2  2 7  2   2

2

=  7 2

2

ดงั น้นั 7  2 เป็นคา่ หลกั ของรากที่สองของ 9  56

คะแนนเตม็ 12
คะแนนท่ีได้
ลงช่ือผตู้ รวจ

32

2. 12  2 35 = 12  2 7  5

= 7  5 2 7  5 

=  7 2   5 2  2 7  5 

=  7 2  2 7  5   2

5

=  7 2

5

ดงั น้นั 7  5 เป็นคา่ หลกั ของรากท่ีสองของ 12  2 35

3. 11  72 = 11  4  18

= 11  2 18

= 9  2 2 9  2 

=  9 2   2 2  2 9  2 

=  9 2  2 9  2   2

2

=  9 2

2

= 3  2

2

ดงั น้นั 3  2 เป็นคา่ หลกั ของรากท่ีสองของ 11  72

4. 11  2 24 = 11  4  18

= 11  2 18

= 9  2 2 9  2 

=  9 2   2 2  2 9  2 

=  9 2  2 9  2   2

2

=  9 2

2

= 3  2

2

ดงั น้นั 3  2 เป็นคา่ หลกั ของรากท่ีสองของ 11  2 24

33

2. จงหาค่าของจาํ นวนต่อไปน้ี

1. 12  140 = 12  4  35

= 12  2 35

= 7  5 2 7  5 

=  7 2   5 2  2 7  5 

=  7 2  2 7  5   2

5

=  7 2

5

= 7 5

2. 6  32 = 6  4  8

= 62 8

= 4  2 2 4  2 

=  4 2   2 2  2 4  2 

=  4 2  2 4  2   2

2

=  4 2

2

= 4 2

= 2 2

3. 11  72 = 11  4  18

= 11  2 18

= 9  2  2 9  2 

=  9 2   2 2  2 9  2 

=  9 2  2 9  2   2

2

=  9 2

2

= 9 2

= 3 2

34

4. 14  192 = 14  4  48

= 14  2 48

= 8  6 2 8  6 

=  8 2   6 2  2 8  6 

=  8 2  2 8  6   2

6

=  8 2

6

= 8 6

= 2 2 6

5. 17  288 = 17  4  72

= 17  2 72

= 9  8 2 9  8 

=  9 2   8 2  2 9  8 

=  9 2  2 9  8   2

8

=  9 2

8

= 9 8

= 32 2

6. 13  88 = 13  4  22

= 13  2 22

= 11  2  2 11  2 

=  11 2   2 2  2 11  2 

=   11 2  2 11  2   2

2

 = 2
11 
2

= 11  2

35

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะชุดท่ี 1.8
เร่ือง ค่าหลกั ของรากที่ n ของจํานวนจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาค่าหลกั ของรากท่ี n ของจาํ นวนจริง a ได้

คาํ ช้ีแจง ใหน้ กั เรียนเติมคาํ ตอบ (ขอ้ ละ 1 คะแนน)

 1. 14  132  2
11 
3

 2. 13  168  2
7
6

 3. 7  2
48  2
3

 4. 14  180  2
3
5

5. 16  252  3  7

6. 8  48  6  2
7. 11  5 เป็ นคา่ หลกั ของรากที่ 2 ของ 16  220

8. 7  15 เป็ นค่าหลกั ของรากท่ี 2 ของ 22  420

9. 5  3 เป็นค่าหลกั ของรากที่ 2 ของ 14  180

10. 4  7 เป็นคา่ หลกั ของรากท่ี 2 ของ 23  448

คะแนนเตม็ 10
คะแนนท่ีได้
ลงชื่อผตู้ รวจ

36

แบบทดสอบหลงั เรียน
เร่ือง รากที่ n ของจาํ นวนจริง

จงหาคา่ ของจาํ นวนต่อไปน้ี
1. รากท่ีสองของ 144 คือ.............................................................................
2. 7 และ -7 เป็นรากท่ี 4 ของ.....................................................................
3. -9 เป็นรากท่ี 3 ของ..................................................................................
4. 256 = ................................................................................................
5. 6 64 = ................................................................................................
6.  4 625 = ..........................................................................................
7. คา่ หลกั ของรากที่ 3 ของ -64 คือ.............................................................
8. ค่าหลกั ของรากท่ี 4 ของ 256 คือ.............................................................
9. 15  2 26 = ..................................................................................
10. ค่าหลกั ของรากท่ี 2 ของ 11 120 คือ......................................................

คะแนนเตม็ 10
คะแนนท่ีได้
ลงชื่อผตู้ รวจ

37

เฉลยแบบทดสอบก่อนและหลงั เรียน
เรื่อง รากท่ี n ของจาํ นวนจริง

จงหาค่าของจาํ นวนต่อไปน้ี
1. รากท่ีสองของ 144 คือ 12 และ -12
2. 7 และ -7 เป็นรากท่ี 4 ของ 2401
3. -9 เป็นรากท่ี 3 ของ 729
4. 256 = 16
5. 6 64 = 2
6.  4 625 = -5
7. คา่ หลกั ของรากท่ี 3 ของ -64 คือ 4
8. ค่าหลกั ของรากที่ 4 ของ 256 คือ 4
9. 15  2 26 = 13  2
10. คา่ หลกั ของรากที่ 2 ของ 11 120 คือ 6  5

คะแนนเตม็ 10
คะแนนท่ีได้
ลงชื่อผตู้ รวจ

38

บรรณานุกรม

กนกวลี อุษณกรกลุ รณชยั มาเจริญทรัพย์ และเรญู สุทธิวารี. (ม.ป.ป.). คู่มือเตรียมสอบ
คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน เล่ม 2 ช้นั ม.4-6 กรุงเทพฯ. ภูมิบณั ฑิต.

กนกวลี อุษณกรกลุ และรณชยั มาเจริญทรัพย.์ (ม.ป.ป.). แบบฝึกหดั และประเมินผลคณิตศาสตร์
ม.4. กรุงเทพฯ. รุ่งสาร์นการพิมพ.์

มาริสา วทญั ญา. (ม.ป.ป.). คู่มือคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน ม.4-6 เล่ม 2. กรุงเทพฯ.เยลโล่การพมิ พ์
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี (2554). คมู่ ือครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร์

เล่ม 2. ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4-6 กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตร
แกนกลางการศึกษาข้นั พ้นื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ.โรงพมิ พ์ สกสค.
ลาดพร้าว.
สุเทพ จนั ทร์สมศกั ด์ิ และสุเทพ ทองอย.ู่ (ม.ป.ป.) คณิตศาสตร์แบบฝึกปฏิบตั ิ. กรุงเทพฯ.
ภูมิบณั ฑิต.
สุเทพ พฒั นะวาณิช.(ม.ป.ป.) คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน เล่ม 1. กรุงเทพฯ. รุ่งสาร์นการพิมพ.์
สุวร กาญจนมยรู และคณะ. (ม.ป.ป.). หนงั สือประกอบการเรียน กลุ่มสาระการเรียนคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ ม.4-6. กรุงเทพฯ. ไทยวฒั นาพาณิช.