โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต

โครงงานคณติ ศาสตร์ เร่อื ง เซต

คณะผู้จัดทำ
นางสาวรวสิ รา วิชัยดิษฐ์ เลขท่ี 4
นางสาวกนั ตก์ มล สมชมุ เลขท1่ี 4

นายเจนกจิ สงั สุณี เลขท9ี่
นายเชตพล หนูเพ็ง เลขที่25

เสนอ
คุณครู อษุ ณี หนูแกว้
เอกสารฉบับนเ้ี ป�นสว่ นประกอบของโครงงานคณิตศาสตร์ รายวิชา คณติ ศาสตร์
โรงเรียนขอนหาดประชาสรรค์ อำเภอ ชะอวด จังหวดั นครศรีธรรมราช

คำนำ

เซต (set) เป�นวิชาแขนงหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร์ ที่นักวิชาการทั่ว ๆ ไป จะรู้จักวิชานี้ในลักษณะท่ี
เป�นการศึกษาการรวมกลุ่มของสิ่งของ (Collections) หรือเรียกว่าเซตโดยพิจารณาการรวมกลุ่มของสิ่งของ
เช่น จุด เส้น สมการ จำนวนจริง หรือสารเคมีเป�นต้น พร้อมทั้งศึกษาคุณสมบัติของเซต วิชานี้เกิดขึ้นและพัฒนา
ในตา่ งประเทศและเกิดความก้าวหน้าจนเกิดเป�นแขนงวิชาหนึ่งท่ีมคี วามสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์
สาขาต่างๆ

ผู้จัดทำหวงั วา่ รายงานเล่มนจ้ี ะเป�นประโยชน์กบั ผู้อา่ น หรอื นกั เรยี น นักศึกษา ทก่ี ำลังหาข้อมลู เร่ืองนอ้ี ยู่
หากมีขอ้ แนะนำหรือขอ้ ผดิ พลาดประการใด ผจู้ ดั ทำขอน้อมรับไวแ้ ละขออภยั มา ณ ท่ีนีด้ ้วย

คณะผู้จัดทำ

สารบัญ

เรอ่ื ง หนา้

ความเป�นมาของเซต 1
การเขียนเซต 3
ลักษณะของเซต 4
การดำเนินการบนเซต 6
สมบตั ิการดำเนินการเซตและการจัดรูป 9
สบั เซต 11
เพาเวอร์เซต 12
แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ 13
บรรณานกุ รม 15
ภาคผนวก 16

คำช้ีแจง

โครงงาน เรอ่ื ง เซต จัดทำเพอื่ ใหผ้ ูท้ ่ตี ้องการศึกษาค้นควา้ เร่อื ง เซต มีความสะดวกในการอา่ นหนงั สือได้
ทุกท่ี ทกุ เวลา สำหรับทบทวนบทเรียนให้เข้าใจมากขึ้น

อ่านคำชีแ้ จงให้เขา้ ใจ
ศึกษามาตรฐาน
ศกึ ษาเนอื้ หาด้วยตัวเอง
ผ้ศู ึกษาต้องซ่อื สัตย์กับตัวเอง

1

ความเป�นมาของเซต

เซตเป�นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆซึ่งถา้ จะเปรียบเทียบกับคำในภาษาไทยแล้วก็เปรียบเสมือนกบั
คำท่เี ป�นลกั ษณนาม เชน่ ชา้ งหน่งึ โขลง สุนขั หนง่ึ ฝงู กล้วยหนง่ึ หวี่ คำว่า โขลง ฝงู หว่ี ต่างเป�นลักษณนามท่ีบ่งบอก
ให้รู้ว่าเป�นกลุ่มของอะไร ในทางคณิตศาสตร์เราจะใช้คำว่า “เซต” แทนคำที่บ่งบอกถึงลักษณนาม เช่น “ช้างหนึ่ง
เซต” “สนุ ขั หนงึ่ เซต” “ กลว้ ยหน่ึงเซต” และเรยี กสิ่งท่ีอยใู่ นเซตวา่ สมาชิก (elements) ของเซต

ดงั นนั้ สมาชกิ ของเซตเซตหน่ึงจึงสามารถเป�นอะไรกไ็ ด้ เชน่ ตัวเลข ผ้คู น ตวั อักษร หรือเป�นเซตของเซตอื่น
เป�นต้น เซตต้องเขียนแทนด้วยอกั ษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C ฯลฯ ตามธรรมเนียมปฏิบัติ ในประโยคที่ว่า เซต A และ
B เท่ากนั หมายความวา่ ท้งั เซต A และเซต B มสี มาชิกทั้งหมดเหมือนกนั (ตวั อย่างเชน่ สมาชกิ ทกุ ตัวท่ีอย่ใู นเซต A
ก็ต้องเป�นสมาชิกของเซต B ด้วย เขียนแทนด้วย A = B และในทางกลับกันก็เป�นเช่นเดียวกัน เขียนแทนด้วย B =
A)

สมาชิกทุกตัวของเซตเซตหนึ่งต้องไม่ซ้ำกัน และจะไม่มีสมาชิกสองตัวใดในเซตเดียวกันที่เหมือนกันทุก
ประการ ซึ่งไม่เหมือนกับมัลทิเซต (multiset) ที่อาจมีสมาชิกซ้ำกันก็ได้ การดำเนินการของเซตท้ังหมดยังรักษา
คุณสมบัติที่ว่าสมาชิกแต่ละตัวของเซตต้องไม่ซ้ำกัน ส่วนการเรียงลำดับของสมาชิกของเซตนั้นไม่มีความสำคัญ ซึ่ง
ตา่ งจากลำดับอนกุ รมหรอื คู่อันดบั

ในภาษาไทย มีคำทใี่ ช้เรยี กกลมุ่ ของส่ิงต่าง ๆ หลายคำ เราเรยี กวา่ “สมหุ นาม” (คำนามรวมหม่)ู เช่น กลมุ่
ชุด ฝงู พวก ในทางคณติ ศาสตร์ เราจะใช้คำวา่ เซต (SET) เพยี งคำเดียวเท่านนั้ ดงั นั้น คำวา่ เซตในทางคณิตศาสตร์
จึงหมายถึง กลุ่มของสิ่งของต่าง ๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้วจะสามารถทราบได้แน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม และ
สิ่งใดอยู่นอกกลุ่มเราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก (Elements / Member สิ่งต่าง ๆ ที่อยู่ในเซต ต้องเป�นสิ่งที่
สามารถระบุได้อยา่ งแจม่ ชดั (Well-Defined) เพ่อื ท่เี ราสามารถระบไุ ดว้ า่ ส่ิงนัน้ เปน� สมาชกิ ในเซตหรือไม่

วงการคณิตศาสตร์เมื่อ 150 ป�ก่อน มีอัจฉริยะที่เด่นสุดยอดท่านหนึ่ง ชื่อ George Cantor ผู้ให้กำเนิด
ทฤษฎีเซ็ตที่มีอิทธิพลต่อคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 มาก ผลงานนี้ทำให้ David Hilbert กล่าวสรรเสริญ
Cantor ว่า เขาคือผู้สร้างสวนสวรรค์ Eden ใหน้ กั คณติ ศาสตรร์ นุ่ หลงั ไดอ้ ยูท่ ำงานในสวนอยา่ งมีความสขุ จนแมแ้ ต่
พระเจ้าก็ไม่ทรงสามารถอัปเปหิใครออกจากสวนได้ แต่ทว่าในช่วงที่มีชีวิตอยู่ Cantor ถูกนักคณิตศาสตร์อาวุโส
หลายคนต่อต้าน และโจมตีเพราะคิดว่า Cantor ชอบเสนอแนวคิดเกี่ยวกับทฤษฎีเซ็ตและเรื่องอนันต์ (infinity) ท่ี
ผิด แม้ชีวิตของ Cantor ต้องลำบากเพราะประสบอุปสรรคมากมาย แต่โลกทุกวันนี้ก็ยังระลึกถึง เขาผู้ให้กำเนิด
วิชาคณิตศาสตร์แขนงใหม่ คือ ทฤษฎีเซ็ต บิดาของ คันทอร์ มีชื่อว่า จอร์จ วอลด์มาร์ คันทอร์ (George

2

Waldemar Cantor) เป�นพ่อค้าชาวเดนมาร์ก ที่ประสบความสำเร็จทางการค้าในเซนต์ป�เตอร์สเบิร์ก มารดาเป�น
ชาวรัสเซีย มีชื่อว่า Maria Anna Bohm เมื่อ คันทอร์มีอายุได้ 11 ป� ครอบครัวของเขาจึ่งย้ายไปเยอรมนี ในวัย
เรียน คันทอร์เป�นเด็กที่มีผลการเรียนในระดับดีเยี่ยม โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิชาตรีโกณมิติ ต่อมาได้เข้าศึกษาต่อใน
Höherem Gewerbeschule แห่งเมื่องดามชตัดท์ และ ในป� ค.ศ. 1862 ย้ายไป สถาบันเทคโนโลยีสวิส ซูริค
(Polytechnic of Zurich) ทซี่ ง่ึ เขาเลอื กเรียนทางด้านวิศวกรรมศาสตรต์ ามความตอ้ งการของบดิ า และภายหลังจึง
ย้ายมาเรียนคณิตศาสตร์ตามความชอบของตนแทน ต่อมาเมือบิดาเสียชีวิตลง คันทอร์ จึงย้ายมาเรียนที่
มหาวิทยาลัยฮุมโบลด์ทแห่งเบอร์ลิน (University of Berlin) จนสำเร็จการศึกษาในป� ค.ศ. 1867 โดยมีหัวข้อ
วิทยานิพนธท์ างดา้ นทฤษฎีจำนวน หลังจากสำเรจ็ การศกึ ษาแล้ว จงึ เป�นครูสอนคณิตศาสตร์ในโรงเรียนและย้ายมา
เป�นอาจารย์ประจำที่ Halle university ในป� ค.ศ. 1869 ตอนเริ่มแรกของ Beitrge zur Begrndung der
transfiniten Mengenlehre โดย เกออร์ก คันทอร์ (Georg Cantor) ผู้สร้างทฤษฎีเซตคนสำคัญ ให้นิยามของเซต
เซตหนง่ึ ดังต่อไปนี้

โดย “เซต” เซตหนึ่ง เราหมายถงึ การสะสมรวบรวมใดๆ ที่ให้ชื่อว่า M เข้าเป�นหนว่ ยเดยี วกันทัง้ หมด ของ
วัตถุที่ให้ชื่อว่า m ที่แตกต่างกัน (ซึ่งเรียกว่า “สมาชิก” ของ M) ตามความเข้าใจของเรา หรือตามความคิดของเรา
ดังนั้นสมาชิกของเซตเซตหนึ่งจึงสามารถเป�นอะไรก็ได้ เช่น ตัวเลข ผู้คน ตัวอักษร หรือเป�นเซตของเซตอื่น เป�นต้น
เซตนิยมเขียนแทนด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C ฯลฯ ตามธรรมเนียมปฏิบัติ ในประโยคที่ว่า เซต A และ B
เท่ากนั หมายความว่า ท้ังเซต A และเซต B มีสมาชกิ ทงั้ หมดเหมอื นกัน (ตัวอยา่ งเชน่ สมาชกิ ทุกตวั ที่อยใู่ นเซต A ก็
ตอ้ งเปน� สมาชกิ ของเซต B ดว้ ย เขยี นแทนด้วย A = B และในทางกลบั กนั ก็เป�นเช่นเดยี วกนั เขยี นแทนด้วย B = A)
สมาชิกทุกตัวของเซตเซตหนึ่งต้องไม่ซ้ำกัน และจะไม่มีสมาชิกสองตัวใดในเซตเดียวกันที่เหมือนกันทุกประการ ซ่ึง
ไม่เหมือนกับมัลทิเซต (multiset) ที่อาจมีสมาชิกซ้ำกันก็ได้ การดำเนินการของเซตทั้งหมดยังรักษาคุณสมบัติที่ว่า
สมาชิกแต่ละตัวของเซตต้องไม่ซ้ำกัน ส่วนการเรียงลำดับของสมาชิกของเซตนั้นไม่มีความสำคัญ ซึ่งต่างจากลำดับ
อนกุ รมหรือคอู่ นั ดบั ถึงอยา่ งไรกต็ ามเซตถือวา่ เป�น อนยิ าม ไม่มนี ิยามท่ีชดั เจนและครอบคลมุ

3

การเขียนเซต

การเขยี นเซตอาจเขยี นได้ 2 แบบ

1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชกิ เขยี นสมาชิกทกุ ตัวลงในเครอ่ื งหมายวงเลบ็ ปก� กา { } และใช้
เคร่ืองหมาย

จลุ ภาค ( , ) คนั่ ระหวา่ งสมาชิกแต่ละตัว เชน่
เซตของจำนวนนับทนี่ อ้ ยกว่า 7 เขียนแทนดว้ ย {1,2,3,4,5,6,}
เซตของพยัญชนะไทย 5 ตัวแรก เขียนแทนดว้ ย { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }

2. เขยี นแบบบอกเง่ือนไข ใชต้ วั แปรเขียนแทนสมาชกิ ของเซต แล้วบรรยายสมบตั ขิ องสมาชิกท่อี ยู่รูปของตวั แปร

เชน่ {x| x เป�นสระในภาษาอังกฤษ } อา่ นวา่ เซตของ x โดยท่ี x เป�นสระในภาษาอังกฤษ
{x| x เปน� เดอื นแรกและเดอื นสดุ ท้ายของป� } อ่านว่า เซตของ xโดยที่ x เปน� เดอื นแรกและเดือน

สุดท้ายของป�

เครอื่ งหมาย “ | ” แทนคำว่า โดยที่
ในการเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชกิ น้นั จะใช้จดุ ( ... ) เพอื่ แสดงวา่ มสี มาชกิ อน่ื ๆ ซึง่ เป�นทีเ่ ข้าใจกันทวั่ ไปว่ามี
อะไรบ้างที่

อย่ใู นเซต เชน่

{ 1,2,3,...,10 } สญั ลกั ษณ์ ... แสดงวา่ มี 4,5,6,7,8 และ9 เปน� สมาชกิ ของเซต

{ วันจันทร,์ อังคาร, พุธ,..., อาทติ ย์ } สญั ลักษณ์ ... แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี วันศกุ ร์ และวนั เสาร์ เป�น
สมาชิกของเซต

4

ลักษณะของเซต

-เซตจำกดั
บทนิยามเซตจำกัด คือเซตทสี่ ามารถระบจุ ำนวนสมาชกิ ในเซตได้
ตวั อย่างเช่น
A = {1, 2, 3, 4, 5} มสี มาชกิ 5 สมาชิก
B = { a, e, i, o, u}มีสมาชิก 5 สมาชกิ
-เซตอนันต์

เซตอนันต์ คือ เซตท่ไี มใ่ ชเ่ ซตจำกดั หรอื เซตท่มี จี ำนวนสมาชกิ มากมายนบั ไม่ถ้วน คอื เซตที่ไมใ่ ช่เซตจำกัด
หรอื เซตที่มีจำนวนสมาชกิ มากมายนบั ไม่ถว้ น

ตัวอยา่ งเช่น C = {…,-2,-1,0,1,2,…}
-เซตที่เทา่ กนั

เซต A และเซต B จะเป�น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป�นสมาชิกของเซต B และ
สมาชิก ทุกตัวของเซต B เป�นสมาชิกทกุ ตัวของเซต A สามารถเขยี นแทนไดด้ ้วยสญั ลกั ษณ์ A= B
- เซตว่าง

เซตว่าง คอื เซตทีไ่ ม่มีสมาชิก หรอื มีจำนวนสมาชกิ ในเซตเป�นศูนย์ สามารถเขยี นแทนไดด้ ว้ ยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø

-เอกภพสมั พทั ธ์
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้

ดว้ ยสัญลักษณ์ u

-สญั ลักษณ์แทนเซต
ในการเขยี นเซตโดยทท่ี ่ัวไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพใ์ หญ่ เชน่ A,B,C และแทนสมาชิก

ของเซตดว้ ยตัวพิมพเ์ ลก็ เชน่ a,b,c เช่น

5

A = {1,4,9,16,25,36} หมายถงึ A เปน� เซตของกำลังสองของจำนวนนับหกจำนวนแรก }
-สมาชกิ ของเซต

จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ “ € ” แทนคำวา่ เปน� สมาชกิ หรอื อยูใ่ น เชน่
A = {1,2,3,4}

จะไดว้ า่ 1 เปน� สมาชกิ ของ A หรอื อย่ใู น A เขียนแทนดว้ ย 1 €A
3 เป�นสมาชิกของ A หรอื อยใู่ น A เขยี นแทนด้วย 3€ A
4.คำว่า “ไมเ่ ป�นสมาชกิ ” หรอื “ไมอ่ ยูใ่ น” เขียนด้วยสญั ลกั ษณ์ “ € ” เชน่
5 ไม่เป�นสมาชิกของ A หรือไมอ่ ยู่ใน A เขียนแทน 5€A
7 ไม่เปน� สมชกิ ชอง A หรือไมอ่ ยใู่ น A เขยี นแทนด้วย 7€A

สำหรบั เซต A ซึง่ มีสมาชิก 4 ตวั เราจะใช้ n(A) เพื่อบอกจำนวนสมาชกิ ของเซต A นน่ั คือ n(A) = 4
และ ในการเขยี นเซตโดยท่ีท่ัวไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาองั กฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A,B,C และแทนสมาชกิ ของ
เซต
ด้วยตวั พมิ พเ์ ล็ก เชน่ a,b,c เช่น
A = {1,4,9,16,25,36} หมายถึง A เปน� เซตของกำลงั สองของจำนวนนับหกจำนวนแรก }
สมาชกิ ของเซต จะใชส้ ัญลกั ษณ์ “ ϵ ” แทนคำวา่ เป�นสมาชิกหรืออยูใ่ น
เช่น A = {1,2,3,4}
จะไดว้ ่า 1 เป�นสมาชกิ ของ A หรอื อยใู่ น A เขียนแทนด้วย 1 ϵ A
3 เป�นสมาชิกของ A หรอื อยใู่ น A เขยี นแทนดว้ ย 3 ϵ A

6

การดำเนินการเกีย่ วกับเซต

การดำเนินการบนเซต ทำได้4วธิ ี
1.ยเู นยี น (union)
2.อินเตอรเ์ ซคชนั (intersection)
3.คอมพลีเมนท์ (complement)
4.ผลตา่ ง (difference)

ยเู นียน (Union)
ยเู นยี น (Union) มนี ยิ ามว่า เซต A ยูเนยี นกบั เซต B คอื เซตซงึ่ ประกอบด้วยสมาชิกที่เปน� สมาชกิ ของเซต

A หรอื เซต B หรอื ทง้ั A และ B สามารถเขยี นแทนไดด้ ว้ ย สญั ลกั ษณ์ A ∪ B
ตวั อย่างเชน่ A ={1,2,3}

B= {3,4,5}
∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5}

เราสามารถเขยี นการยูเนย่ี นลงในแผนภาพไดด้ งั นี้

7

อนิ เตอรเ์ ซกชัน (Intersection)
อินเตอร์เซกชนั (Intersection) มนี ิยามคอื เซต A อินเตอร์เซกชนั เซต B คอื เซตซึง่ ประกอบดว้ ยสมาชิกที่

เปน� สมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนไดด้ ว้ ยสญั ลกั ษณ์ A ∩ B

คอมพลีเมนต์ (Complements)
คอมพลีเมนต์ (Complements) มนี ยิ ามคอื ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสมั พทั ธ์ U แลว้ คอมพลีเมนต์ของ

เซต A คือ เซตท่ปี ระกอบด้วยสมาชกิ ท่เี ปน� สมาชกิ ของ U แต่ไมเ่ ปน� สมาชกิ ของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วย
สัญลักษณ์ A’

ตัวอยา่ งเช่น U = {1,2,3,4,5}
A ={1,2,3}
A’ = {4,5}

เราสามารถเขยี นการคอมพลเี มนตข์ องเซตลงในแผนภาพได้ดังนี้

8

ผลต่าง (Difference)
บทนิยาม ถ้าเซต A และ B เป�นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ u เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ

เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป�นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป�นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วย
สญั ลักษณ์ A - B
ตัวอย่างเช่น A = {1,2,3}

B = {3,4,5}
∴A - B = {1,2}

9

สมบัตกิ ารดำเนินการเซตและการจัดรูป

สมบตั ิของการยเู นียนและอนิ เตอรเ์ ซกชนั

• สมบตั กิ ารสลบั ที่

1. A∪B=B∪AA∪B=B∪A
2. A∩B=B∩AA∩B=B∩A

• สมบตั กิ ารเปลย่ี นกลุ่ม

1. (A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
2. (A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

• สมบัติการแจงแจง

1. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
2. A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

สมบัตขิ องการลบกนั ของเซต

1. A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)
2. A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)
3. A−(B−C)=(A∩C)∪(A−B)A−(B−C)=(A∩C)∪(A−B)
4. (A−B)∩C=(A∩C)−B=A∩(C−B)(A−B)∩C=(A∩C)−B=A∩(C−B)
5. (A−B)∪C=(A∪C)−(B−C)(A−B)∪C=(A∪C)−(B−C)

สมบตั คิ อมพลเี มนตแ์ ละเพาเวอร์เซต

1. (Ac)c=A(Ac)c=A
2. ∅c=U∅c=U
3. Uc=∅Uc=∅
4. (A∪B)c=Ac∩Bc(A∪B)c=Ac∩Bc

10

5. (A∩B)c=Ac∪Bc(A∩B)c=Ac∪Bc
6. P(A)∩P(B)=P(A∩B)P(A)∩P(B)=P(A∩B)
7. P(A)∪P(B)⊂P(A∪B)P(A)∪P(B)⊂P(A∪B)

สมบัติผลต่างและคอมพลเี มนต์

1. A−B=A∩BcA−B=A∩Bc
2. (A−B)c=Ac∪B(A−B)c=Ac∪B
3. A−Bc=A∩BA−Bc=A∩B

11

สบั เซต

ถ้าสมาชกิ ทุกตวั ของ A เปน� สมาชิกของ B แลว้ จะเรยี กวา่ A เปน� สบั เซตของ B จะเขยี นวา่ เซต A เป�นสบั
เซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B

ถ้าสมาชกิ บางตวั ของ A ไม่เปน� สมาชิกของ B จะเรียกวา่ A ไม่เปน� สับเซตของ B
เซต A ไมเ่ ปน� สับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B
สมบัติของสบั เซต

1) A ⊂ A (เซตทุกเซตเปน� สบั เซตของตวั มันเอง)
2) A ⊂ U (เซตทุกเซตเปน� สบั เซตของเอกภพสมั พัทธ์)
3) ø ⊂ A (เซตว่างเปน� สับเซตของทุกๆ เซต)
4) ถ้า A ⊂ ø แลว้ A = ø
5) ถา้ A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (สมบัตกิ ารถ่ายทอด)
6) A = B กต็ ่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A
7) ถา้ A มีจำนวนสมาชกิ n ตัว สับเซตของเซตจะมีท้ังส้นิ 2n สับเซต
สับเซตแท้
นยิ าม A เปน� สบั เซตแท้ของ B กต็ อ่ เมอื่ A⊂B และ A ≠ B
ตัวอยา่ ง กำหนดให้ A = { a , b , c } จงหาสบั เซตแท้ทงั้ หมดของ A
วธิ ที ำ สับเซตแทข้ อง A ไดแ้ ก่
ø, {a} , {b} ,{c} , {a,b} , {a ,c} , {b,c}
มจี ำนวนสมาชิกท้ังส้นิ 7 สบั เซต
หมายเหตุ ถา้ A มีจำนวนสมาชกิ n ตวั สับเซตแทข้ องเซตA จะมีท้ังสิน้ 2n –1 สบั เซต
เราสามารถเขยี นความสัมพนั ธข์ องสับเซตออกมาในรปู ของแผนภมู ิได้ดังนี้

12

ถา้ สมาชกิ ทุกตวั ของ A เปน� สมาชกิ ของ B แล้ว จะเรยี กว่า A เปน� สับเซตของ B จะเขยี นวา่ เซต A เป�น
สับเซตของเซต B แทนดว้ ย A ⊂ B

ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไมเ่ ป�นสมาชิกของ B จะเรยี กว่า A ไม่เป�นสบั เซตของ B เซต A ไมเ่ ปน� สับเซต
ของเซต B แทนดว้ ย A ⊄ B

ตวั อยา่ ง การเปน� สบั เซตและไม่เป�นสบั เซตกัน

กำหนดให้ A={1,2,3,4,5},B={2,3,5} และ C={2,4}

จะเหน็ วา่ สมาชิกทกุ ตัวของ B คอื 2,3 และ 5 เปน� สมาชิกของ A ดว้ ย ดงั นนั้ B ⊂ A และสมาชิกของ C
คือ 2 และ 4 ก็เปน� สมาชกิ ของ A ด้วยเชน่ กัน ดังนนั้ C ⊂ A แตใ่ นขณะท่สี มาชกิ ของ C ตัวหนึง่ คอื 4 ไม่เปน�
สมาชกิ ของ B ดงั นน้ั C ⊄ B

เพาเวอรเ์ ซต

คำว่า เพาเวอร์เซต เปน� คำศพั ทเ์ ฉพาะ ซง่ึ ใชเ้ ปน� ชอื่ เรียกเซตเซตหนึ่งทเ่ี กีย่ วข้องกับเร่ืองสับเซต เพาเวอร์
เซตของ A เขียนแทนดว้ ย P(A) P(A) คอื เซตท่มี ีสบั เซตทัง้ หมดของ A เปน� สมาชิก
สมบตั ขิ องเพาเวอรเ์ ซต
ให้ A , B เป�นเซตใดๆ

1. ∅∈P(A) เพราะ ∅⊂A เสมอ
2. ∅⊂P(A) เพราะเซตว่างเป�นสับเซตของทกุ เซต แลว้ P(A) กเ็ ปน� เซตเช่นกนั
3. A∈P(A) เพราะ A⊂Aเสมอ
4. ถา้ A เป�นเซตจำกัด และ n(A) คอื จำนวนสมาชิกของ A แลว้ P(A)จะมสี มาชกิ 2n(A) ตวั (เทา่ กบั
จำนวนสับเซตของ A)
5. A⊂B กต็ ่อเม่ือ P(A)⊂P(B)
6. P(A)∩P(B)=P(A∩B)

13

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

แผนภาพออยเลอร์(Eulerdiagram)เป�นแผนภาพที่ใช้ในการอธิบายความสัมพันธ์ของเซตต่างๆโดยให้
วงกลมแต่ละวงแทนแตล่ ะเซตและแสดงความสมั พันธ์ของแต่ละเซตด้วยการครอบซึ่งแสดงความเป�นสบั เซตการทับ
ซ้อนกันหรือการไม่ทับซ้อนกันซึ่งแสดงว่าทั้งสองเซตไม่มีความสัมพันธ์กัน ลักษณะแผนภาพวงกลมเช่นนี้เชื่อว่าถูก
ใช้ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสนามว่าเลออนฮาร์ดออยเลอร์แผนภาพออยเลอร์นั้นมียังลักษณะคล้าย คลึง
กันกับแผนภาพเวนน์มากในทฤษฎีเซตซึ่งเป�นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์จึงนิยมใช้แผนภาพประยุกต์จากแผนภาพ
ทั้งสองในการอธิบายเซตต่าง ๆ ให้เข้าใจได้ง่ายยิ่งขึ้น แผนภาพเวนน์–ออยเลอร์เป�นแผนภาพแสดงความเกี่ยวข้อง
ของเซตต่าง ๆ ซ่งึ ชอ่ื ที่ใชเ้ รยี กเปน� ชอ่ื ของนกั คณติ ศาสตรส์ องคน คอื จอห์น เวนน์ และ เลโอนารด์ ออยเลอร์

-การเขยี นแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์มักเขียนแทนเอกภพสัมพัทธ์U ด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปป�ดใดๆ
ส่วนเซต A,B,C,D,… ซึ่งเป�นเซตย่อยของ Uอาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือวงรีหรือรูปป�ดใดๆโดยให้ภาพที่แทนเซต
ยอ่ ยอยใู่ นรูปสี่เหลี่ยมผืนผา้ ทแี่ ทนเอกภพสมั พัทธ์

การพิจารณาเกี่ยวกับเซตจะง่ายขึ้น ถ้าเราใช้แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ เข้ามาช่วย หลักการเขียนแผนภาพมี
ดังนี้

1. ใชร้ ูปสี่เหลยี่ มผนื ผ้าหรอื สเี่ หล่ียมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์

2. ใชว้ งกลมหรือวงรีหรือรูปปด� ใด ๆ แทนเซตต่าง ๆ ทีเ่ ปน� สมาชกิ ของ และเขยี นภายในสีเ่ หล่ยี มผืนผ้า

ถา้ กำหนดให้ U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3} , B = {1,2,3,4,5} , C = {3,5,6,7}

เราจะเขียนแผนภาพเวนน–์ ออยเลอร์ แสดงเอกภพสมั พัทธ์ U และเซตยอ่ ยตา่ ง ๆ ดังแผนภาพต่อไปนี้

14

การใชแ้ ผนภาพเวนน–์ ออยเลอร์ ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล

เราจะวาดแผนภาพตามสมมติฐานทีเ่ ป�นไปได้ แลว้ พจิ ารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณแี สดงผลสรปุ ตามท่ีสรุป
ไว้หรือไม่ ถ้าทุกกรณีแสดงผลตามที่กหนด แสดงว่าสมเหตุสมผล ถ้ามีแผนภาพที่ไม่แสดงผลตามที่สรุปไว้ การสรุป
นน้ั ไมส่ มเหตสุ มผล โดยจะใช้การอ้างเหตผุ ลโดยตรรกบทของตรรกศาสตร์เข้ามาตรวจสอบ

ในการใช้แผนภาพเพื่อตรวจสอบความสมเหตุสมผล จะต้องวาดแผนภาพตามเหตุผลหรือสมมติฐานทุก
กรณีที่เปน� ไปได้ ถ้าทกุ กรณีแสดงผลตามทกี่ ำหนด จะได้ว่าข้อสรุปน้ัน สมเหตสุ มผล แต่ถ้ามีบางกรณีทไ่ี มส่ อดคลอ้ ง
กับผลสรปุ แลว้ ผลสรปุ นน้ั จะไม่สมเหตุผมผล

15

บรรณานุกรม

สบั เซตและเพาเวอร์เซต (เซต) คณิตศาสตร์ ม.4 . (2564) สบื ค้นเมื่อ 2 พฤษภาคม 2565 .เข้าถึงไดจ้ าก
https://www.tewfree.com

แผนภาพเวนนอ์ อยเลอร์. (2564) สบื ค้นเมื่อ 2 พฤษภาคม 2565 .เขา้ ถึงได้จาก
https://www.opendurian.com/learn/venn_euler_diagram/

สบั เซตและเพาเวอร์เซต .(2563) สืบค้นเมอื่ 2 พฤษภาคม 2565 .เขา้ ถงึ ไดจ้ าก https://nockacademy.com

16

ภาคผนวก

17

แบบทดสอบ

1.กำหนดให้ A, B และ C เปน� สบั เซตท่ีไม่เป�นเซตว่างของเอกภพสัมพัทธ์ U โดยท่ี B ⊂ C และ A ∩ C = Ø ขอ้
ใดถูก (O-Net 59)
A∩B=B∩C
(A ∩ B) U C = Ø
(A U B) ∩ C = B
A ー B = Cー B
B U C ⊄ A’
ตอบ 3.

2.กำหนดขอ้ ความ 2 ขอ้ ความ ดงั นี้
นักเรยี นชั้น ม.6 ทุกคนเปน� คนวา่ ยนำ้ เป�น
คนทว่ี า่ ยนำ้ เป�น บางคนกข็ จ่ี ักรยานเป�น บางคนก็ขี่จกั รยานไมเ่ ป�น

ถ้าให้ U แทนเซตของคน
A แทนเซตของนกั เรียนชนั้ ม.6
B แทนเซตของคนทขี่ ี่จกั รยานเป�น
S แทนเซตของคนทวี่ ่ายน้ำเป�น

แล้วทัง้ สองขอ้ ความทีก่ ำหนดสอดคล้องตามแผนภาพเวนน์ - ออยเลอรใ์ นข้อใดตอ่ ไปน้ี
ตอบ 3.

18

3.หม่บู ้านแหง่ หนงึ่ มี 60 ครอบครัว ทมี่ อี าชพี ทำนา ทำสวน หรือเล้ยี งสตั ว์
ถา้ ทำนา 34 ครอบครวั ทำสวน 30 ครอบครวั
ทำนา และ ทำสวน 8 ครอบครัว
ทำนา และ เลย้ี งสัตว์ 23 ครอบครวั
ทำสวน และ เลี้ยงสัตว์ 20 ครอบครวั
ทำนาอย่างเดยี ว 6 ครอบครวั

แลว้ มที งั้ หมดกค่ี รอบครัวทมี่ อี าชพี เพยี งอาชีพ
ตอบ 15 ครอบครัว

4.กำหนดให้ A เปน� เซตของจำนวนเต็ม
B เปน� เซตของจำนวนจริงท่มี ากกว่า 3
C เป�นเซตคำตอบของสมการ f(x) = 1 โดยที่ f เป�นฟง� ก์ชนั

4 และ 5 เป�นสมาชิกของเชตดงั แผนภาพ

พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
ก. คำตอบทุกตวั ของสมการ f(x) = 1 เป�นจำนวนเตม็
ข. คำตอบทกุ ตวั ของสมการ f(x) = 1 มคี า่ มากกวา่ 3
ค. 4 เปน� คำตอบของสมการ f(x) = 1
ง. 5 ไมเ่ ป�นคำตอบของสมการ f(x) = 1
จำนวนข้อความที่ถกู ตอ้ งเท่ากับขอ้ ใด
ตอบ 4 ขอ้ ความ

19

5.กำหนดให้ A = {1, 2, a, b, d} – {1, b, c}

B = {2, 3 , c} ⋃ {2, b, d}

C = {1, 2, 3, b} ⋂ {3, a, b}

จำนวนสมาชกิ ของเซต B ⋂ (A ⋃ C) เท่ากบั เทา่ ใด
ตอบ 4

6.จากการถาม เรอื่ งความชอบไอศครีมรสวนิลาและรสสม้ ของเดก็ อนุบาลจำนวน 40 คน พบว่า
มี 25 คน ชอบรสวนิลา
10 คน ชอบรสสม้
8 คน ไม่ชอบท้ังรสวนลิ าและรสสม้
มีเด็กอนบุ าลที่ชอบท้ังรสวนลิ าและรสส้มก่คี น
ตอบ 3 คน

7.กำหนดให้ A แทน เซตของจำนวนคี่ทม่ี ากกว่า 4 แต่น้อยกวา่ 14

B แทน เซตของจำนวนเฉพาะท่ีมากกวา่ 4 แตน่ อ้ ยกว่า 14

จำนวนในข้อใดเปน� สมาชกิ ของ A - B

ตอบ 9

8.กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 6} ถา้ A U B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} และ A ∩ B = {1, 3} แล้ว B คือเซตในขอ้ ใด
1.{1, 3, 4, 8}
2.{1, 3, 6, 8}
3.{2, 4, 6, 8}
4.{1, 3}
5.{4, 8}
ตอบ 1

20

9.พจิ ารณาเหตตุ ่อไปนี้
เหตุ 1) นกั เรียนทเี่ ปา่ ขลุ่ยไดบ้ างคน สีซอได้
2) นักเรียนที่เป่าขลยุ่ ไดท้ กุ คน ตีกลองได้
3) นกั เรยี นท่ีตีกลองได้ทุกคน ดดี พิณได้
4) จ้อยเปน� นักเรยี นทเี่ ป่าขลุย่ ได้
ผลสรปุ ในข้อใดสมเหตุสมผล
ตอบ จอ้ ยดีดพิณได้

10พจิ ารณาการอ้างขอ้ มลู โดยกำหนดเหตแุ ละผล ดังน้ี
เหตุ 1) นกั รอ้ งทกุ คนเปน� นักแสดง
2) ไมม่ นี กั รอ้ งคนใดเป�นผูก้ ำกับ
3) ดาเปน� นักรอ้ ง
ผล ดาเปน� นักแสดง
แผนภาพในขอ้ ใดสอดคลอ้ งกับเหตุท่ีกำหนดและแสดงวา่ ผลสรปุ ข้างต้นสมเหตสุ มผล

ตอบ 5