ประกอบการสอนแปรผันเพิ่มเติม

เอกสารประกอบการสอน

การแปรผัน

ร า ย วิช า ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม

ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2

ค รู ป ร า ร ถ น า รั ก ป ร ะ เ ท ศ
ค รู เ พี ย ง ต ะ วั น พ ง ศ์ สิ ง ห์

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
โรงเรียนเบญจมราชูทิศ จังหวัดปัตตานี

คานา

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ค 22202 ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 2 จดั ทา
ตามมาตรฐานการเรยี นรแู้ ละตวั ชีว้ ัด กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) ตาม
หลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาขั้นพื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 โดยคานึงถึงการส่งเสริมให้ผูเ้ รยี นมที ักษะที่จาเปน็
สอดคลอ้ งกบั การเรยี นรู้ในศตวรรษท่ี 21 เป็นสาคัญ รวมทงั้ เน้นด้านการวเิ คราะห์ การแก้ปญั หาการคดิ
สรา้ งสรรคแ์ ละการนาไปประยกุ ต์ใชเ้ พอ่ื พัฒนาคณุ ภาพชวี ติ ของตนเอง

ผ้จู ดั ทาหวงั เปน็ อย่างยิ่งวา่ เอกสารประกอบการเรยี นการสอนเล่มน้ี จะเปน็ ประโยชน์ต่อการจัดการ
เรียนรแู้ ละเป็นสว่ นสาคญั ในการพัฒนาคณุ ภาพและมาตรฐานของการศกึ ษา

ผู้จัดทา

สารบัญ

เนือ้ หา หนา้
การแปรผนั 1 – 21
1-3
การแปรผนั ตรง 4-8
แบบฝึกหดั ที่ 1 9 - 11
การแปรผกผนั 12 - 15
แบบฝกึ หัดที่ 2 16 - 17
การแปรผันเกย่ี วเน่อื ง 18 - 21
แบบฝึกหดั ที่ 3

1

เอกสารประกอบการเรียน

เร่ือง การแปรผนั

การแปรผนั ตรง

ในชีวิตประจาวนั เรามกั จะพบความสมั พนั ธ์ระหวา่ งปริมาณสองปริมาณ เช่น ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งจานวน

ผโู้ ดยสารรถประจาทางและค่าโดยสาร ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งปริมาณน้ามนั และจานวนเงินที่จ่ายเป็นตน้

ใหน้ กั เรียนพจิ ารณาสถานการณ์ท่ีมีตารางแสดงความสมั พนั ธ์ระหวา่ งปริมาณน้ามนั และจานวนเงินที่จ่าย

ดงั ต่อไปน้ี ปริมาณน้ามนั (ลิตร) จานวนเงินที่จ่าย (บาท)
0 0
1 35
2 70
3 105
4 140
5 175

ให้ x แทนปริมาณน้ามนั เป็นลิตร
ให้ y แทนจานวนเงินที่จ่ายเป็นบาท
จากแบบรูปในตารางสามารถเขียนความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง x และ y ไดเ้ ป็น y = 35x
จะเห็นวา่ เมื่อปริมาณน้ามนั x เพม่ิ ข้ึน จานวนเงินท่ีจ่าย y กจ็ ะสูงข้ึนตามในอตั ราท่ีคงตวั คือ 35 บาทต่อลิตร และ
เนื่องจากเราสามารถหาจานวนเงินที่จ่ายไดเ้ สมอ ไมว่ า่ น้ามนั จะมีปริมาณเท่าใดกต็ าม จึงเขียนกราฟแสดงความสมั พนั ธ์
ระหวา่ งปริมาณน้ามนั และจานวนเงินท่ีจ่ายขา้ งตน้ ไดใ้ นลกั ษณะท่ีต่อเน่ืองกนั เป็นส่วนหน่ึงของเสน้ ตรง และกราฟท่ีได้
จะผา่ น จุด (0,0) ดงั รูป

2
ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งปริมาณน้ามนั และจานวนเงินท่ีจ่ายดงั กล่าวเป็น ตวั อยา่ งหน่ึงของ การแปรผนั

บทนิยาม ให้ x และ y แทนปริมาณใดๆ
y แปรผนั ตรงกบั x เมื่อ y = kx โดยที่ k เป็นค่าคงตวั และ k 0

จากสมการ y = kx โดยที่ k เป็นคา่ คงตวั และ k  0 เรียกวา่ สมการแสดรงการแปรผนั ของการแปรผนั ตรง

เรียก k วา่ ค่าคงตวั ของการแปรผนั และเขียนแทน y แปรผนั ตรงกบั x ดว้ ย y x

จากความสมั พนั ธ์ระหวา่ งปริมาณน้ามนั และจานวนเงินท่ีจ่ายซ่ึงแสดงดว้ ยสมการ y = 35x ขา้ งตน้ จะไดว้ า่

y แปรผนั ตรงกบั x โดยมีสมการแสดงการแปรผนั เป็น y = 35x และมีค่าคงตวั ของการแปรผนั คือ 35

ตวั อยา่ งท่ี 1 สมการต่อไปน้ีแสดงการแปรผนั ตรง จงบอกวา่ ปริมาณใดเป็นแปรผนั ตรงกบั ปริมาณใดๆ พร้อมท้งั บอก

ค่าคงตวั ของการแปรผนั

สมการแสดงการแปรผนั สญั ลกั ษณ์การแปรผนั ค่าคงตวั ของการแปรผนั
2.1 N = 7.8 s2

2.2 T =

2.3 H = -k2
2.4 D = -0.7h
2.5 X =
ตวั อยา่ งที่ 2 ถา้ a แปรผนั ตรงกบั b และ a = 45 เมื่อ b = 60 จงหา

1. ค่าคงตวั ของการแปรผนั

2. a เมื่อ b = 28

วิธีทา 1. จาก a b หรือ a = kb : k เป็นค่าคงตวั

เมื่อ a = 45 และ b = 60

แทนค่า \

ดงั น้นั ค่าคงตวั ของการแปรผนั คือ

วธิ ีทา 2. จาก a = kb เม่ือ k = และ b = 28

แทนค่า a = (28) = 21
ดงั น้นั a = 21 เม่ือ b = 28

3

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาค่า y เม่ือกาหนดให้ y แปรผนั ตรงกบั x และ k = -2 และ x = 15
วิธีทา y x หรือ y = kx

y = (-2)(15) = -30
ดงั น้นั y = -30

ตวั อยา่ งที่ 4 จากตารางแสดงแบบรูปของความเก่ียวขอ้ งระหวา่ ง x และ y ตารางใดแสดงวา่ y แปรผนั ตรงกบั x
และถา้ y แปรผนั ตรงกบั x ใหห้ าค่าคงตวั ของการแปรผนั และเขียนสมการแสดงการแปรผนั ดว้ ย

1. x 2 3 4 5
y 10 15 20 25

วธิ ีทา y x หรือ y = kx

จะได้ ค่าคงตวั ของการแปรผนั คือ 5
ดงั น้นั y แปรผนั ตรงกบั x จะได้ y = 5x
2. x 1 -1 2 -3

y -1 3 -3 7

วิธีทา………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งที่ 5 ถา้ s แปรผนั ตรงกบั t 2 และ t เป็น เท่าของปริมาณเดิมแลว้ s จะเป็นกี่เท่า ของปริมาณเดิม

วธิ ีทา………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

4

แบบฝึกหดั ท่ี 1

5

3. จากส่ิงท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี จงเขียนสมการแสดงการแปรผนั โดยใชส้ ญั ลกั ษณ์ที่กาหนดใหใ้ นแต่ละขอ้

3.1 เมื่อดอกเบ้ียจากเงินกู้ I (บาท) แปรผนั ตรงกบั จานวนเงินที่ใหก้ ู้ P (บาท) และค่าคงตวั ของการแปรผนั คือ
0.15 …………………………………………………………………………………………………………

3.2 เมื่อพ้นื ท่ีผวิ ของทรงกลม A (ตารางหน่วย) แปรผนั ตรงกบั กาลงั สองของความยาวของรัศมีของวงกลม
r (หน่วย) และค่าคงตวั ของการแปรผนั เท่ากบั 4π

…………………………………………………………………………………………………………

3.3 พ้ืนที่ของรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัส A (ตารางหน่อย) แปรผนั ตรงกบั กาลงั สองของความยาวของเสน้ ทแยงมุม
และค่าคงตวั ของการแปรผนั คือ

…………………………………………………………………………………………………………

3.4 ปริมาณเกลือแกงที่ละลาย s (กรัม) แปรผนั ตรงกบั อณุ หภูมิ t (องศาเซลเซียส) และค่าคงตวั ของการแปร
ผนั คือ 0.5

…………………………………………………………………………………………………………

3.5 ระยะทางท่ีรถยนตค์ นั หน่ึงแลน่ ได้ s (กิโลเมตร) เม่ือใชอ้ ตั ราเร็วคงท่ี แปรผนั ตรงกบั เวลาในการเดินทาง
t (ชวั่ โมง) และค่าคงตวั ของการแปรผนั คือ 60

…………………………………………………………………………………………………………

4. ถา้ y แปรผนั ตรงกบั x และ y = 6 เม่ือ x = 3 แลว้

4.1 จงหาค่าคงตวั ของการแปรผนั

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

6

4.2 y มีค่าเท่าใด เม่ือ x = 11

.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………………...

4.3 ถา้ x เป็น 3เท่าของปริมาณเดิม y จะเป็นก่ีเท่าของปริมาณเดิม

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

5. ถา้ y แปรผนั ตรงกบั x + 1 และ y = 3 เม่ือ x = 5จงแสดงวา่ 2y – x = 1

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

6. กาหนดให้ 2 จงหาสมการของการแปรผนั และเติมจานวนที่เวน้ ไว้ ใหถ้ กู กตอ้ ง เม่ือกาหนดค่า x และ y

ดงั ตาราง

x1234

y 2 8 18 50 98

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

7

8

9

การแปรผกผนั

ใหน้ กั เรียนพิจารณาตารางแสดงแบบรูปความสมั พนั ธ์ระหวา่ งอตั ราเร็วเฉล่ียและเวลาท่ีใช่ในการ
เดินทางของรถคนั หน่ึง ซ่ึงแล่นไดร้ ะยะทาง 240 กิโลเมตร

ให้ v แทน อตั ราเร็วเฉลี่ยของรถยนตเ์ ป็นกิโลเมตรต่อชว่ั โมง
t แทน เวลาท่ีใชใ้ นการเดินทางเป็นชวั่ โมงในระยะทาง 240 กิโลเมตร
vt

40 6
60 4
80 3
100
120 2
จากตารางจะเห็นวา่ เมื่ออตั ราเร็วเฉล่ีย v ของรถยนตเ์ พิ่มข้ึนเวลา t ที่ใชใ้ นการเดินทางจะลดลงในอตั ราท่ีไมค่ ง

ตวั เม่ือพิจารณา จะพบว่าค่า สาหรับ v และ t แต่ละคู่ท่ีหาไดไ้ ม่เท่ากนั ดงั น้นั t ไม่แปรผนั ตรงกบั v แต่เมื่อ
พจิ ารณาค่า จากตาราง จะเห็นวา่ เป็นค่าคงตวั เท่ากบั 240 สาหรับทุกคู่ของ v และ t

นนั่ คือ ความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง v และ t เขียนแสดงไดส้ มการ vt = 240 หรือ t = 240
เน่ืองจากเราสามารถหาเวลาท่ีใชใ้ นการเดินทางไดเ้ สมอ ไม่วา่ อตั ราเร็วเฉล่ียของรถยนตจ์ ะเป็นเท่าใดกต็ ามท่ี
มากกวา่ ศูนย์ จึงเขียนกราฟแสดงความสมั พนั ธ์ระหวา่ งเวลาท่ีใชใ้ นการเดินทางกบั อตั ราเร็วเฉล่ียของรถยนต์ โดยให้
แกนนอนแสดงค่า v และแกนต้งั แสดงค่า t ไดด้ งั รูป

ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งอตั ราเร็วเฉลี่ยของรถยนตแ์ ละเวลาท่ีใชใ้ นการเดินทางดงั กล่าวน้ี เป็นตวั อยา่ งหน่ึงของ
การแปรผกผนั

10
นิยาม ให้ และ แทนปริมาณใดๆ ท่ีไม่เท่ากบั 0

แปรผกผนั กบั (แทนดว้ ย ) เมื่อ = × โดยที่ เป็นค่า คงตวั และ ≠ 0



สมการ = × โดยท่ี k เป็นค่าคงตวั และ k ≠ 0 เรียกวา่ สมการแสดงการแปรผนั ของการแปรผนั เรียก k

วา่ ค่าคงตวั ของการแปรผนั และเขียนแทน y แปรผกผนั กบั x ดว้ ย
จากความสมั พนั ธ์ระหวา่ งอตั ราเร็วเฉลี่ยและเวลาที่ใชใ้ นการเดินทาง ซ่ึงแสดงดว้ ยสมการ vt = 240 หรือ t =

240 × ขา้ งตน้ จะไดว้ า่ t แปรผกผนั กบั v โดยมีสมการแสดงการแปรผนั t = 240 × และมีค่าคงตวั ของการแปรผนั

เป็น 240

ตวั อยา่ งที่ 1 สมการต่อไปน้ีแสดงการแปรผกผนั จงบอกวา่ ปริมาณใดเป็นแปรผกผนั กบั ปริมาณใดๆ พร้อมท้งั

บอกค่าคงตวั ของการแปรผนั

สมการแสดงการแปรผนั สญั ลกั ษณ์การแปรผนั ค่าคงตวั ของการแปรผนั

2.1 T =

2.2 N =

2.3 P =
2.4 A =
2.5 F =

ตวั อยา่ งท่ี 2 จากตารางแสดงความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง x และ y จงตรวจสอบวา่ y แปรผกผนั กบั x หรือไม่ หากy

แปรผกผนั กบั x ใหห้ าคา่ คงตวั การแปรผนั และเขียนสมการการแปรผนั ดว้ ย

x23 456
y 12 8 6 4.8 2.4

11

ตวั อยา่ งท่ี 3 ถา้ y แปรผกผนั กบั x และ y = 20 เมื่อ x = 2 แลว้ จงเขียนสมการแสดงการแปรผนั
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

ตวั อยา่ งที่ 4 ถา้ y แปรผกผนั กบั x 2 และ y = 8 เมื่อ x = 5 แลว้
1. จงหาค่า y เมื่อ x = 10

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………….
2. ถา้ x เป็น 3 เท่าของปริมาณเดิม แลว้ y จะเป็นกี่เท่าของปริมาณเดิม
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งท่ี 5 หากอณุ หภูมิคงท่ีความดนั ของกา๊ ซจะแปรผกผนั กบั ปริมาตรของก๊าซ หาก กา๊ ซหน่ึงมีปริมาตร 8×10-2
ลูกบาศกเ์ มตร ที่ความดนั 0.5 บรรยากาศจงหา ความดนั ของกา๊ ซเม่ือกา๊ ซมีปริมาตร 2×10-3 ลูกบาศกเ์ มตร
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………..

12

แบบฝึกหดั ท่ี 2

1. จากส่ิงที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี จงเขียนสมการแสดงการแปรผนั โดยใชส้ ญั ลกั ษณ์ที่กาหนดใหใ้ นแต่ละขอ้
1.1 ปริมาณกระแสไฟฟ้า (I) แปรผกผนั กบั ความตา้ นทาน (R) โดยค่าคงตวั ของการแปรผนั เท่ากบั 220
………………………………………………………………………………………………………….
1.2 y แปรผกผนั กบั x 3 + 2 โดยค่าคงตวั ของการแปรผนั เท่ากบั 5
…………………………………………………………………………………………………………..
1.3 ความสูง (h) ของรูปส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน แปรผกผนั กบั ความยาวฐาน (b) โดยค่าคงตวั ของการแปรผนั คือ
120
………………………………………………………………………………………………………….
1.4 พ้นื ท่ีฐาน (A) ของทรงกระบอก แปรผกผนั กบั ความสูง (h) โดยค่าคงตวั ของการแปรผนั คือ 154
………………………………………………………………………………………………………….
1.5 ความถี่ ( f ) ของเสียง แปรผกผนั กบั ความยาวคลื่น (L) โดยค่าคงตวั ของการแปรผนั คือ 346
………………………………………………………………………………………………………….

2. ถา้ y แปรผกผนั กบั x และ y = 8 เมื่อ x = 3 จงหา
2.1 สมการแสดงความเก่ียวขอ้ งระหวา่ ง y และ x
………………………………………………………………………………………………………….
2.2 ค่า y เมื่อ x = 84
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
2.3 ค่า x เมื่อ y = 9
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

13

2.4 y จะเป็นกี่เท่าของปริมาณเดิม เมื่อ x เป็นสองเท่าของปริมาณเดิม
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….

3. กาหนดให้ y แปรผกผนั กบั √ และ y = 5 เมื่อ x = 16 จงหา
3.1 ค่า y เมื่อ x = 100
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
3.2 ค่า x เม่ือ y = 60
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

3.3 y จะเป็นกี่เท่าของปริมาณเดิม เม่ือ x เป็น เท่าของปริมาณเดิม
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

14

15
บนั ทึกความจา

16

การแปรผนั เกย่ี วเนื่อง

นกั เรียนไดร้ ู้จกั ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งปริมาณสองปริมาณ เช่น x และ y มาแลว้ ดงั น้ี
1. y แปรผนั ตรงกบั x เมื่อ y = kx โดยที่ k เป็นค่าคงตวั และ k ≠ 0

2. y แปรผกผนั กบั x เมื่อ y = × โดยท่ี k เป็นค่าคงตวั และ k ≠ 0

การแปรผนั ตรงและการแปรผกผนั ขา้ งตน้ ถา้ x แปรเปล่ียนไป y จะเปลี่ยนตามไปดว้ ยกลา่ วคือ ค่า y ข้ึนอยกู่ บั

ค่า x เพยี งตวั เดียว

เรามกั จะพบวา่ ในชีวติ ประจาวนั การเปล่ียนแปรงของปริมาณใดปริมาณหน่ึงข้ึนอยกู่ บั หลายปริมาณ เช่น

ระยะทางท่ีเดินทางโดยรถยนต์ จะข้ึนอยกู่ บั อตั ราเร็วเฉล่ียของรถยนตแ์ ละเวลาท่ีใชใ้ นการเดินทาง ดงั ตวั อยา่ งขอ้ มูลใน

ตารางต่อไปน้ี

อตั ราเร็วเฉลี่ย v เวลา t ระยะทาง s
(กิโลเมตรต่อชวั่ โมง) (ชว่ั โมง) (กิโลเมตร)

40 1 40
60 2 120
90 4 360
135 8 1,080
202.5 16 3,240

จากตารางจะพบแบบรูปท่ีสรุปเป็นความสมั พนั ธ์ไดว้ า่ ระยะทาง s ที่รถยนตว์ ่งิ ไดเ้ ท่ากบั ผลคูณของอตั ราเร็ว

เฉลี่ย v และเวลา t ท่ีใชใ้ นการเดินทาง กล่าวคือ s = vt

ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งระยะทางกบั อตั ราเร็วเฉลี่ยและเวลาดงั กลา่ ว เป็นตวั อยา่ งหน่ึงของ การแปรผนั เกี่ยวเนื่อง

บทนิยาม ให้ y, x1, x2, … , xn แทนปริมาณใดๆ

y แปรผนั เก่ียวเน่ืองกบั x1, x2, … , xn เมื่อ y แปรผนั ตรงกบั ผลคูณของ x1, x2, … , xn

นนั่ คือ y แปรผนั เก่ียวเนื่องกบั x1, x2, … , xn เมื่อ y = k(x1), (x2), … ,( xn) โดยที่ k เป็นค่าคงตวั และ k ≠ 0
จากความสมั พนั ธ์ระหวา่ งระยะทางกบั อตั ราเร็วเฉลี่ยและเวลาท่ีใชใ้ นการเดินทางโดยรถยนต์ ซ่ึงแสดงดว้ ย
สมการ s = vt ขา้ งตน้ จะไดว้ า่ s แปรผนั เก่ียวเนื่องกบั v และ t โดยมีสมการการแสดงการแปรผนั เป็น s = vt และมีค่า
คงตวั ของการแปรผนั เป็น 1

ตวั อยา่ งที่ 1 พ้นื ที่ของรูปสามเหล่ียม 17


A แปรผนั เก่ียวเน่ืองกบั x และ h และมีค่าคงตวั การแปรผนั เป็น

ถา้ เป็นค่าคงตวั แลว้ จะแปรผนั ตรงกบั โดย เป็นค่าคงที่การแปรผนั
ถา้ เป็นคา่ คงตวั แลว้ จะแปรผนั ตรงกบั โดย

ตวั อยา่ งท่ี 2 ปริมาตรของทรงกระบอกแปรผนั เก่ียวเนื่องกบั กาลงั สองของรัศมีของฐาน และความสูง ทรงกระบอกใบ
หน่ึง ฐานมีรัศมี 2 เมตร และสูง 25 เมตร จะมี ปริมาตร 100π ลูกบาศกเ์ มตรจงหา

1. ปริมาตรของทรงกระบอกท่ีฐานมีรัศมี 5 เมตร สูง 4 เมตร
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

2. หากรัศมีเพม่ิ ข้ึน 2 เท่าของเดิม และความสูงลดลงเป็นคร่ึงหน่ึง ปริมาตรจะ เปลี่ยนไปก่ีเท่าของเดิม
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

ตวั อยา่ งท่ี 3 หาก แปรผนั เกี่ยวเน่ืองกบั , และ ถา้ = 6 เมื่อ = 2, = 3 และ = 4 จงหาค่า เม่ือ

= 4, = 1 และ = 16
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

18

แบบฝึกหดั ที่ 3

1. จงเปลี่ยนขอ้ ความต่อไปน้ีเป็นสมการ
1.1 A แปรผนั เกี่ยวเนื่องกบั B และ C โดยค่าคงตวั ของการแปรผนั คือ 0.75
……………………………………………………………………………………………………………..
1.2 Q แปรผนั เก่ียวเน่ืองกบั x และกาลงั สองของ y โดยค่าคงตวั ของการแปรผนั คือ -1
……………………………………………………………………………………………………………..
1.3 F แปรผนั เกี่ยวเน่ืองกบั m1, m2 และกาลงั สองของ d โดยค่าคงตวั ของการแปรผนั คือ 9
…………………………………………………………………………………………………………….
1.4 y แปรผนั เก่ียวเน่ืองกบั x และ โดยค่าคงตวั ของการแปรผนั คือ
……………………………………………………………………………………………………………

2. y แปรผนั เก่ียวเนื่องกบั x, z และ ถา้ x = 25 , z = 2 และ t = 1 จะได้ y = 100 จงหา

√

2.1 ค่า y เมื่อ x = 12, z = 5 และ t = 4
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

2.2 ค่า x เม่ือ y = 36, z = 3 และ t = 2
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

19

3. ให้ V แปรผนั ตรงกบั x และแปรผกผนั กบั √ จงแสดงวา่ y แปรผนั ตรงกบั x2 และแปรผกผนั กบั V2
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

4. หากค่าโทรศพั ทแ์ ต่ละเดือนเป็นผลรวมของสองส่วน ส่วนหน่ึงเป็นค่าบริการรายเดือนซ่ึงคงตวั 100 บาทต่อ
เดือน อีกส่วนเป็นค่าใชโ้ ทรศพั ท์ ซ่ึงแปรผนั ตรงกบั จานวนคร้ังท่ีใชโ้ ทรศพั ท์ หากเดือนหน่ึงมีการใชโ้ ทรศพั ท์
150 คร้ัง และมีค่าโทรศพั ทข์ องเดือนน้นั เป็น 550 บาท จงหาวา่
4.1 อตั ราค่าโทรศพั ทต์ ่อคร้ังเป็นเท่าไร
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
4.2 หากเดือนถดั มาใชโ้ ทรศพั ท์ 123 คร้ัง เดือนน้นั จะเสียค่าโทรศพั ทก์ ี่บาท
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

บนั ทึกความจา

20

แบบฝึ กทกั ษะการแปรผนั เกย่ี วเน่ืองชุด 2

21

22

บรรณานุกรม

สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ.(2551).ชุดกจิ กรรมปฏบิ ัติ เร่ืองพืน้ ที่ผวิ และ
ปริมาตรของทรงกระบอก. กรุงเทพมหานคร:โรงพิมพค์ ุรุสภาลาดพร้าว

สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยกี ระทรวงศึกษาธิการ.(2551).หนังสือเรียนรายวิชาพืน้ ฐาน
คณติ ศาสตร์เล่ม 2 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 2. กรุงเทพมหานคร : สานกั พมิ พจ์ ุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลยั