การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

เอกสารประกอบการสอน

เร่ือง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสอง

คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 2

ครคู ชนันท์ สุวประพนั ธ์
ครูเพียงตะวัน พงศส์ งิ ห์

คานา

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ า คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน ค 22102 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 2 จดั ทาตาม
มาตรฐานการเรียนรู้ และตัวชว้ี ดั กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลกั สูตร
แกนกลางขั้นพื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 โดยคานงึ ถงึ การสง่ เสรมิ ใหผ้ ู้เรียนมที กั ษะทจี่ าเป็น สอดคล้องกับการ
เรยี นรู้ในศตวรรษที 21 เปน็ สาคัญ รวมทัง้ เน้นด้านการวิเคราะห์ การแก้ปญั หา การคิดสร้างสรรค์ และการ
นาไปประยุกตใ์ ช้เพอื่ พฒั นาคุณภาพชีวติ ของตนเอง

ผจู้ ดั ทาหวงั เปน็ อยา่ งย่งิ วา่ เอกสารประกอบการเรยี นเล่มนี้จะเปน็ ประโยชนต์ อ่ การจัดการเรียนรู้ และ
เปน็ ส่วนสาคญั ในการพฒั นาคุณภาพและมาตรฐานการศึกษา

อาจารย์คชนันท์ สวุ ประพันธ์
อาจารย์ปรารถนา รกั ประเทศ
อาจารย์เพียงตะวนั พงศ์สิงห์
นกั ศึกษาปฏิบัติการสอน อามนี จิ
นักศกึ ษาปฏบิ ัตกิ ารสอน มาซเี ตาะ ตาเละ

สารบัญ หนา้

เรือ่ ง 4-7
ทบทวนความรู้เบ้อื งต้น 6
1) การแยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบัติการแจกแจง 8-16
11
ใบงานท่ี 5.1 16
2) การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องตวั แปรเดียว 17-21
20
ใบงานที่ 5.2 ก 22-28
ใบงานที่ 5.2 ข 26
3) การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองทเี ป็นกาลังสองสมบูรณ์ 29
ใบงานที่ 5.3
4) การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องทีเปน็ ผลตา่ งของกาลงั สอง
ใบงานที่ 5.4
บรรณานกุ รม

ตารางสรุปคะแนน

ช้นิ งาน กาหนดสง่ วันทสี่ ง่ คะแนนเตม็ คะแนนที่ได้ หมายเหตุ
ใบงานท่ี 5.1 26
ใบงานท่ี 5.2 ก 20
ใบงานที่ 5.2 ข 20
ใบงานท่ี 5.3 32
ใบงานที่ 5.4 18
116
รวม

1

มาตรฐานและตัวชวี้ ัด

เขา้ ใจและใชก้ ารแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ (ค1.2 ม.2/2)

จุดประสงค์ของบทเรียน

เมือ่ เรียนจบบทน้ีแลว้ นกั เรยี นสามารถ
1. แยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง
2. แยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดยี ว พหนุ ามดีกรีสองท่เี ปน็ กาลงั สองสมบูรณ์ และ
พหุนามดกี รสี องทเี่ ปน็ ผลต่างของกาลังสอง

2

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรี

สอง

ทบทวนความรเู้ บอื้ งต้น

 นพิ จน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคณู ของคา่ คงตัวกับตวั แปรต้งั แต่หนงึ่ ตัวขน้ึ ไป และเลขช้ีกาลัง
ของตัวแปรแตล่ ะตวั เป็นศูนยห์ รือจานวนเต็มบวกเรยี กว่า เอกนาม

 นิพจนท์ อี่ ยู่ในรูปเอกนาม หรอื เขียนอยใู่ นรปู การบวกของเอกนามตง้ั แต่สองเอกนามขนึ้ ไปได้ เรียกว่า
พหุนาม และเรียกแตล่ ะเอกนามในพหุนามวา่ พจน์

 พหุนามทไ่ี ม่มพี จนท์ ่คี ลา้ ยกัน เรียกวา่ พหุนามในรปู ผลสาเร็จ
เรียกดกี รีสงู สดุ ของพจนข์ องพหุนามในรปู ผลสาเรจ็ วา่ ดกี รีของพหุนาม เช่น
5 x - 5 เปน็ พหนุ ามในรปู ผลสาเรจ็ ท่มี ดี กี รีของพหนุ ามเทา่ กับ 1
9x2 + 15x + 4 เปน็ พหุนามในรูปผลสาเรจ็ ท่มี ีดกี รีของพหนุ ามเท่ากับ 2

 ตวั ประกอบของจานวนนบั ใด คือจานวนนับทห่ี ารจานวนนบั น้ันลงตัว เชน่
ตัวประกอบท้งั หมดของ 10 คอื 1, 2, 5 และ 10
ตวั ประกอบท้ังหมดของ 12 คอื 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 12
และ 1, 2 เปน็ ตวั ประกอบของทัง้ 10 และ 12 จงึ เรยี ก 1, 2 วา่ ตวั ประกอบรว่ ม
หรือตวั หารร่วมของ 10 และ 12

 ตวั ประกอบทเี่ ปน็ จานวนเฉพาะ เรยี กวา่ ตัวประกอบเฉพาะ เชน่
3 และ 5 เปน็ ตวั ประกอบเฉพาะของ 15
2 และ 7 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 14

 การแยกตัวประกอบของจานวนนับใด คือประโยคทแี่ สดงการเขยี นจานวนนบั นน้ั ในรูปการคูณของตวั
ประกอบเฉพาะ เชน่ 12 = 2 × 2 × 3
18 = 2 × 3 × 3

 ตวั ประกอบร่วมท่มี ากทส่ี ุด หรอื ตวั หารรว่ มมาก (ห.ร.ม.) ของจานวนนบั ตง้ั แต่สองจานวนขน้ึ ไป คอื
จานวนนบั ท่มี ากทส่ี ดุ ทห่ี ารจานวนนับเหล่านั้นได้ลงตวั เชน่ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คอื 6

3

พิจารณาการคณู ของพหนุ ามต่อไปน้ี

1. 3(x + 2) = …………………………………………………

2. 6x(x + 1) = …………………………………………………

3. –x(2x - 5) = …………………………………………………

4. 7xy(x + 3y) = …………………………………………………

5. (m + 5)(3m – 2) = …………………………………………………

จากความสมั พันธข์ องการคณู และการหาร จาก
ตวั ต้ัง ÷ ตวั หาร = ผลหาร

หรอื ตวั หาร× ผลหาร = ตวั ตง้ั
จงึ กลา่ วไดว้ ่า พหนุ ามแต่ละตวั ทอี่ ยทู่ างซา้ ยของเคร่อื งหมายเท่ากบั
จะหารพหนุ ามท่ีอยทู่ างขวาไดล้ งตวั เชน่
3 หาร ..................................... ได้ลงตัว และมีผลหารเท่ากับ (x + 2)
(x + 2) หาร ...................................... ได้ลงตัว และมีผลหารเทา่ กับ 3

การเขยี นพหุนามทก่ี าหนดให้ ในรูปการคณู กนั ของตวั ประกอบของพหนุ ามตง้ั แต่สองข้ึนไป เรียกว่า
ตัวประกอบของพหุนาม

4

1. การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบตั ิการแจกแจง

สมบัติการแจกแจง
ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ใดๆ จะได้วา่
a(b + c) = ab + ac หรอื (b + c)a = ba + ca
ถา้ a, b และ c เปน็ พหนุ าม สามารถใช้สมบัติการแจกแจงข้างตน้ ได้ และเรียก a วา่ ตวั ประกอบรว่ ม

ของ ab และ ac หรือตวั ประกอบรว่ มของ ba และ ca
พจิ ารณาตัวอยา่ งการแยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบัตกิ ารแจกแจง

ตวั อย่างท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ
1) 5xy + 6x2
วธิ ที า 5xy + 6x2 = x(5y + 6x)
2) 3ab – 10b2
วิธีทา ...........................................................................

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ
1) 12y2z – 20yz
วิธีทา 12y2z – 20yz = 4yz(3y - 5)
2) 18bc2 + 15bc
วิธที า ........................................................................

ตวั อยา่ งที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ
1) ab – 2ac + bc – 2c2
วิธีทา ab – 2ac + bc – 2c2 = (ab – 2ac) + (bc – 2c2)

5
= a(b – 2c) + c(b – 2c)
= (b – 2c)(a + c)
ดงั นั้น ab – 2ac + bc – 2c2 = (b – 2c)(a + c)
2) yz – 3z2 + xy – 3xz
วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
ตัวอยา่ งท่ี 4 จงแยกตัวประกอบของ
1) 5x2z – 3y + 5yz – 3x2
วิธีทา 5x2z – 3y + 5yz – 3x2 = 5x2z – 3x2 + 5yz – 3y
= x2(5z – 3) + y(5z – 3)
= (5z – 3)(x2 + y)
ดังนั้น 5x2z – 3y + 5yz – 3x2 = (5z – 3)(x2 + y)
2) -7a2 + 2bc – 7b + 2a2c
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

6

แบบฝึกหดั 5.1

1. จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี (10 คะแนน)

1) 7x – 14 = ……………………………………………… 2) -8 – 12x = …………………………………………………….

3) x2 + 13x = ……………………………………………… 4) 5y2 – 20y = …………………………………………………….

5) 33y2 – 11yz = ………………………………………… 6) 6xy – 8xy2 = ………………………………………………….

7) y3 + 4y = ………………………………………………. 8) 21x3y2 – 28x2y3 = ………………………………………….
9) 24x4z2 + 18x3z3 = …………………………………… 10) 24xz2 – 27x2z3 + 9x3z4 = ………………………………

2. จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปน้ี (16 คะแนน)

1) m(n + 3) + 5(n + 3) = ………………………………………................................................................

2) 4t(a + b) – s(a + b) = ………………………………………………………………………………………………

3) a(b – 3c) + x(b – 3c) = ………………………………………………………………………………………………

4) 5a – 10x +ab – 2bx = ………………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………………

5) na + 3b + nb + 3a = ………………………………………………………………………………………………

= ……………………………………………………………………………………………...

= ………………………………………………………………………………………………

7

6) ab2 – cb2 – 6a + 6c = ………………………………………………………………………………………………
= ……………………………………………………………………………………………...
= ………………………………………………………………………………………………

7) a2 – 2b – 5a3 + 10ab = ………………………………………………………………………………………………
= ………………………………………………………………………………………………
= ……………………………………………………………………………………………...

8) x3 – x3z + y2z – y2 = ………………………………………………………………………………………………
= ………………………………………………………………………………………………
= ………………………………………………………………………………………………

8

2. การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

พหุนามดกี รีสองตัวแปรเดยี ว หรอื เรยี กอกี อยา่ งหนง่ึ ว่า พหนุ ามกาลังสอง (quadratic
polynomial) คอื พหนุ ามทเ่ี ขยี นไดใ้ นรปู ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เป็นค่าคงตัวท่ี a ≠ 0 และ x เป็นตวั
แปร
2.1 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c เม่อื a, b เปน็ จานวนเต็ม และ c = 0
ตวั อย่างท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของ

1) 4x2 – 20x
วธิ ที า 4x2 – 20x = 4x(x - 5)
2) 10b2 + 25b
วธิ ที า ………………………………………………………………………………………………..
ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ
1) -15x2 + 12x
วิธที า -15x2 + 12x = 3x(-5x + 4)

หรอื -15x2 + 12x = -3x(5x - 4)
2) -24a2 – 32a
วธิ ที า ………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………..

9

2.2 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a = 1, b และ c เป็นจานวนเตม็
และ c ≠ 0

จากรูป

x x2 3x

2 2x 6
3
x

จะเหน็ วา่ (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6
นนั่ คอื x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

และจาก (x + 4)(x - 5) 20

จะเห็นวา่ (x + 4)(x - 5) = x2 - x - 20
น่นั คอื x2 - x – 20 = (x + 4)(x - 5)

จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ สามารถสรปุ การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป x2 + bx + c เมื่อ
a = 1, b และ c เปน็ จานวนเต็ม และ c ≠ 0 ไดว้ า่

ถ้าให้ m และ n เปน็ จานวนเตม็ สองจานวน ซง่ึ mn = c และ m + n = b
จะไดว้ ่า x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

ตวั อยา่ งที่ 3 จงแยกตวั ประกอบของ
1) x2 + 2x + 1
วธิ ีทา x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1)
2) a2 + 6a + 9
วธิ ที า ……………………………………………………………………………………….

10

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ
1) x2 - 10x + 21

วิธีทา x2 - 10x + 21 = [x + (-3)][x + (-7)]

น่ันคือ x2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7)
2) a2 - 12a + 32

วิธีทา …………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………

ตวั อยา่ งที่ 5 จงแยกตวั ประกอบของ
1) x2 + 2x - 35

วิธีทา x2 + 2x - 35 = [x + (-5)](x + 7)

นั่นคือ x2 + 2x - 35 = (x - 5)(x + 7)
2) x2 + 5x – 36

วธิ ที า …………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………

ตวั อย่างท่ี 6 จงแยกตวั ประกอบของ
1) x2 - 4x - 12

วิธีทา x2 - 4x - 12 = [x + (-6)](x + 2)

นน่ั คอื x2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)
2) x2 - 7x – 30

วิธที า …………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………

11

แบบฝกึ หัด 5.2 ก

1. ให้นกั เรียนหาจานวนเต็ม m และ n ทีท่ าให้ mn = c และ m + n = b โดยที่ b และ c มคี า่ ตามที่

กาหนดให้ (5 คะแนน)

ตวั อยา่ ง b = 2 และ c = -143

ตอบ m = 13 n = -11 หรอื m = -11 n = 13

1.1) b = -23 และ c = 126

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2) b = 21 และ c = 90

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3) b = 7 และ c = -120

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4) b = -8 และ c = -128

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.5) b = -24 และ c = 108

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี (15 คะแนน)

2.1) x2 – 5x = ………………………………………………………………………………………………….

2.2) -2y + y = ………………………………………………………………………………………………….

2.3) x2 + 4x + 3x + 12 = ………………………………………………………………………………………………….

2.4) x2 + 9x + 14 = ………………………………………………………………………………………………….

2.5) y2 + 10y + 24 = ………………………………………………………………………………………………….

12

2.6) x2 - 9x + 20 = ………………………………………………………………………………………………….
2.7) b2 + 9b – 10 = ………………………………………………………………………………………………….
2.8) x2 - 14x + 24 = ………………………………………………………………………………………………….
2.9) m2 – 13m + 42 = ………………………………………………………………………………………………….
2.10) x2 - 20x – 21 = ………………………………………………………………………………………………….
2.11) y2 + 13y + 12 = ………………………………………………………………………………………………….
2.12) a2 - a – 72 = ………………………………………………………………………………………………….
2.13) y2 – 18y + 81 = ………………………………………………………………………………………………….
2.14) x2 - 30x – 99 = ………………………………………………………………………………………………….
2.15) x2 - 12x – 85 = ………………………………………………………………………………………………….

13

2.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองในรูป ax2 + bx + c เมอ่ื a, b และ c เปน็ จานวนเตม็ และ
a ≠ 1, c ≠ 0

เพ่อื ความสะดวกในการหาขอ้ สรุปของวธิ ีการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c เรียก ax2

วา่ พจนห์ น้า เรียก bx วา่ พจนก์ ลาง และเรียก c วา่ พจนห์ ลงั

สามารถเขยี นแผนภาพแสดงวธิ หี าพจนห์ น้า พจนห์ ลัง และพจน์กลางของพหุนามท่ีเป็นผลคณู ได้ดงั น้ี

การหาพจนห์ น้า การหาพจน์หลัง การหาพจน์กลาง

ของพหุนามทเี่ ป็นผลคูณ ของพหุนามท่ีเปน็ ผลคูณ ของพหุนามท่ีเป็นผลคูณ

6x2 -3 -9x
(2x - 3)(3x + 1) (2x - 3)(3x + 1) (2x - 3)(3x + 1)

2x

(2y - 3)(3y + 4) (2y - 3)(3y + 4) (2y - 3)(3y + 4)

ดงั นน้ั ในการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องจะทาไดด้ ังนี้
1) หาพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนาม ที่คูณกันแล้วได้พจน์หน้า แล้วเขียนท้ัง แล้วเขียนท้ังสองพหุนาม
นั้นเป็นพจนห์ นา้ ของพหุนามในวงเล็บสองวงเลบ็
2) หาจานวนเต็มสองจานวนที่คูณกันแล้วได้พจน์หลัง แล้วเขียนจานวนท้ังสองนี้เป็นพจน์หลังของ
พหนุ ามในแต่ละองค์เลบ็ ทไี่ ด้ในขอ้ 1)
3) นาผลทีไ่ ดใ้ นขอ้ 2) มาหาพจน์กลางทลี ะกรณี จนกวา่ จะได้พจนก์ ลาง

ตัวอยา่ งที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ ตรวจสอบ

1. 4x2 + 13x + 10 (4x + 5) (x + 2)
วธิ ีทา 4x2 + 13x + 10 = (4x + 5)(x + 2)
2. 6a2 + 25a + 21
วิธที า 6a2 + 25a + 21 = ……………………………………………..

14

ตัวอย่างท่ี 8 จงแยกตวั ประกอบของ ตรวจสอบ
(4x - 1) (3x + 2)
1. 12x2 + 5x - 2
วธิ ที า 12x2 + 5x – 2 = (4x - 1)(3x + 2)

2. 5a2 + 14a - 3
วธิ ีทา 5a2 + 14a – 3 = ……………………………………………….

ตวั อย่างที่ 9 จงแยกตัวประกอบของ ตรวจสอบ
(2x - 5) (4x - 3)
1. 8x2 - 26x + 15
วธิ ีทา 8x2 - 26x + 15 = (2x - 5)(4x - 3)

2. 3x2 - 40x + 117
วธิ ที า 3x2 - 40x + 117 = ……………………………………………..

ตวั อย่างท่ี 10 จงแยกตวั ประกอบของ

1. 6x2 - 10x - 4

วิธที า วิธีที่ 1 6x2 - 10x – 4 = 2(3x2 - 5x - 2)

ดงั นน้ั 6x2 - 10x – 4 = 2(3x + 1)(x - 2)

วธิ ีท่ี 2 6x2 - 10x – 4 = (3x + 1)(2x - 4)
ดังน้ัน 6x2 - 10x – 4 = 2(3x + 1)(x - 2)

วธิ ที ี่ 3 6x2 - 10x – 4 = (6x + 2)(x - 2)
ดังน้นั 6x2 - 10x – 4 = 2(3x + 1)(x - 2)

15
2. 2x2 - 2x – 4
วธิ ที า…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………...........
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………...........
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………...........
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………...........
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………...........

ตวั อย่างที่ 11 จงแยกตวั ประกอบของ

1. -3x2 + 10x + 8

วิธที า วิธีที่ 1 -3x2 + 10x + 8 = (3x + 2)(-x + 4)

วธิ ีที่ 2 เน่ืองจาก -3x2 + 10x + 8 = (-1)(3x2 - 10x - 8)

= (-1)(3x + 2)(x - 4)

ดงั น้นั -3x2 + 10x + 8 = (3x + 2)(-x + 4)

2. -6x2 + 10x + 4

วิธีทา…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………...........

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………...........

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………...........

16

แบบฝึกหัด 5.2 ข

1. จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี (20 คะแนน)

1. 2a2 + 6a + 4 = ………………………………………………………………………………………………………………...

2. 3x2 – 6x – 9 = ………………………………………………………………………………………………………………...

3. 9y2 – 6y + 1 = ………………………………………………………………………………………………………………...

4. 6a2 + a – 12 = ………………………………………………………………………………………………………………...

5. 6a2 + 17a + 12 = ………………………………………………………………………………………………………………...

6. 4x2 + 16x – 9 = ………………………………………………………………………………………………………………...

7. 9y2 – 12y – 5 = ………………………………………………………………………………………………………………...

8. 5x2 + 4x – 1 = ………………………………………………………………………………………………………………...

9. 12a2 - a – 35 = ………………………………………………………………………………………………………………...

10. 16y2 – 8y + 1 = ………………………………………………………………………………………………………………...

11. 15x2 + 8x – 7 = ………………………………………………………………………………………………………………...

12. 7a2 + 49a + 84 = ………………………………………………………………………………………………………………...

13. 35m2 + 18m – 8 = ………………………………………………………………………………………………………………...

14. 9 – 42y + 49y2 = ………………………………………………………………………………………………………………...

15. 35 – 26b + 3b2 = ………………………………………………………………………………………………………………...

16. -12a2 – 20a – 7 = ………………………………………………………………………………………………………………...

17. 6b2 – 38b + 56 = ………………………………………………………………………………………………………………...

18. 20a2 + 77a + 18 = ………………………………………………………………………………………………………………...

19. -10x2 + 81x - 45 = ………………………………………………………………………………………………………………...

20. 4y2 - 36 = ………………………………………………………………………………………………………………...

17

3-.2ก.ากราแรยแกยตกวั ตปวั รปะรกะอกบอขบอขงอพงหพนุ หาุนมาดมีกดรีกสี รอสี งอทงเ่ี ตปวั ็นแกปารลเังดสียอวงสมบูรณ์

ในกรณีทวั่ ไป ถา้ ให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลงั จะแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง
ทีเ่ ป็นกาลงั สองสมบูรณไ์ ด้ตามสตู ร ดังนี้

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2

ตวั อยา่ งที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ
1. x2 + 24x + 144
วิธีทา x2 + 24x + 144 = x2 + 2(12)x + 122

ดงั น้ัน x2 + 24x + 144 = (x + 12)2
2. x2 + 12x + 36

วิธที า………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ
1. x2 – 26x + 169
วธิ ที า x2 – 26x + 169 = x2 – 2(13)x + 132

ดังนน้ั x2 – 26x + 169 = (x - 13)2
2. x2 - 10x + 25

วธิ ีทา………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………

ตวั อยา่ งที่ 3 จงแยกตวั ประกอบของ
1. 25x2 + 20x + 4
วธิ ีทา 25x2 + 20x + 4 = (5x)2 + 2(5x)(2) + 22

ดังนัน้ 25x2 + 20x + 4 = (5x + 2)2

18

2. 16x2 + 56x + 49
วิธีทา………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………

ตวั อย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ
1. 4x2 - 12x + 9
วธิ ีทา 4x2 - 12x + 9 = (2x)2 - 2(2x)(3) + 32

ดังน้นั 4x2 - 12x + 9 = (2x - 3)2
2. 4x2 - 36x + 81

วธิ ที า………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………

จากสตู ร
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2

เราสามารถใชส้ ูตร เพือ่ แยกตัวประกอบในกรณีท่ี A และ B เป็นพหุนาม ไดด้ ังตวั อยา่ งต่อไปนี้
ตัวอยา่ งท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบของ
1. (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49
วธิ ีทา (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49 = (x + 1)2 + 2(x + 1)(7) + 72

= (x + 1 + 7)2
ดังนั้น (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49 = (x + 8)2
2. (x - 2)2 + 12(x - 2) + 36

วธิ ีทา…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

19

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตวั ประกอบของ
1. 4x2 - 4(x2 – 3x) + (x - 3)2
วิธที า 4x2 - 4(x2 – 3x) + (x - 3)2 = (2x)2 – 4x(x - 3) + (x - 3)2

= (2x)2 – 2(2x)(x - 3) + (x - 3)2
= [2x – (x - 3)]2
= (2x – x + 3)2
ดังน้ัน 4x2 - 4(x2 – 3x) + (x - 3)2 = (x + 3)2
2. 9(x – 1)2 - 30(x - 1) + 25

วิธีทา…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

20

แบบฝึกหัด 5.3

1. จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี้ (8 คะแนน)

1.1) x2 + 16x + 64 =……………………………………………………………………………………………….…………………

1.2) x2 + 34x + 289 =……………………………………………………………………………………………….………………..

1.3) x2 + 40x + 400 =……………………………………………………………………………………………….………………..

1.4) x2 + 46x + 526 =……………………………………………………………………………………………….………………..

1.5) x2 + 34x + 64 =……………………………………………………………………………………………….………………..

1.6) x2 - 28x + 196 =……………………………………………………………………………………………….………………..

1.7) x2 - 38x + 361 =……………………………………………………………………………………………….………………..

1.8) x2 - 52x + 676 =……………………………………………………………………………………………….………………..

2. จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปน้ี (8 คะแนน)

2.1) 9x2 + 30x + 25 =……………………………………………………………………………………………….……………….

2.2) 49x2 + 42x + 9 =……………………………………………………………………………………………….………………..

2.3) 100x2 + 220x + 121 =……………………………………………………………………………………………….…………..

2.4) 81x2 + 360x + 400 =……………………………………………………………………………………………….……………

2.5) 49y2 – 70y + 25 =……………………………………………………………………………………………….…………….

2.6) 64y2 – 176y + 121 =……………………………………………………………………………………………….…………..

2.7) 81x2 - 180x + 100 =……………………………………………………………………………………………….………….

2.8) 225x2 - 360x + 144 =……………………………………………………………………………………………….………….

21

3. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปน้ี (8 คะแนน)

3.1) (2x + 1)2 + 20(2x + 1) + 100 =………………………………………………………………………………………………

3.2) (x + 3)2 - 16(x + 3) + 64 =…………………………………………………………………………………………………….

3.3) (4x – 5)2 – 26(4x – 5) + 169 =……………………………………………………………………………………………….

3.4) 36(x + 6)2 + 108(x + 6) + 81 =………………………………………………………………………………………………

3.5) 16x2 + 8x(x + 1) + (x + 1)2 =…………………………………………………………………………………………………

3.6) (x – 3)2 – 12x(x – 3) + 36x2 =…………………………………………………………………………………………………

3.7) 49x2 + 14x(x2 - x) + (x + 1)2 =……………………………………………………………………………………………….

3.8) (x + 2)2 – 18x(x2 + 2x) + 81x2 =…………………………………………………………………………………………….

4. จงเติมพจน์ท่ีหายไปลงในช่องวา่ ง เพ่ือให้พหุนามในรปู ผลสาเรจ็ ทก่ี าหนดให้ในแตล่ ะข้อ เป็นพหุนาม

ดกี รสี องทเี่ ปน็ กาลังสองสมบรู ณ์ (8 คะแนน)

4.1) 4x2 + 24x + +1
4.2) 9x2 - +1
4.3) 100x2 -
4.4) x2 – 18x +

4.5) + 30x +225

4.6) 9x2 - + 25

4.7) 25x2 + + 225

4.8) 16x2 – 56x +

22

4. การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองที่เปน็ ผลต่างของกาลังสอง

กจิ กรรม สารวจผลตา่ งของกาลังสอง

ขอ้ โจทย์ ผลคณู พหุนามในรูป อาจจัดรปู ได้เปน็
1 (x + 4)(x - 4) x2 – 4x + 4x - 16 x2 - 42
ผลสาเร็จ
x2 - 16

2 (x + 7)(x - 7)

3 (x + 9)(x - 9)

4 (3x + 1)(3x - 1)

5 (A + B)(A - B)

จากโจทย์ของกิจกรรม จะเห็นว่าเป็นผลของการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีมีพจน์
เหมือนกนั แต่มีเคร่ืองหมายต่างกัน เรียกพหุนามดีกรีสองท่ีมีผลของการแยกตัวประกอบลักษณะเช่นน้ีว่า พหุ
นามดกี รีสองทีเ่ ปน็ ผลตา่ งของกาลังสอง (difference of two squares)

ในกรณีทวั่ ไป ถา้ ให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองที่
เปน็ ผลตา่ งของกาลงั สองไดต้ ามสตู ร ดงั น้ี

A2 – B2 = (A + B)(A - B)

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ
1. 16x2 – 81
วธิ ีทา 16x2 – 81 = (4x)2 - 92

ดังนน้ั 16x2 – 81 = (4x + 9) (4x – 9)

23

2. 4x2 – 49
วธิ ีทา…………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………..
ตัวอยา่ งที่ 2 จงแยกตวั ประกอบของ
1. 25x2 – 225
วิธีทา 25x2 – 225 = (5x)2 - 152

= (5x + 15)(5x - 15)
= 5(x + 3)(5)(x - 3)
ดงั นนั้ 25x2 – 225= 25(x + 3) (x – 3)
2. 144x2 – 441
วิธีทา…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
ตวั อยา่ งท่ี 3 จงแยกตัวประกอบของ
1. x2 – (x – 4)2
วิธที า x2 – (x – 4)2 = [x + (x - 4)][x – (x - 4)]
= (x + x - 4)(x – x + 4)
= (2x - 4)(4)
ดังนน้ั x2 – (x – 4)2 = 8(x - 2)
2. x2 – (x – 16)2
วิธที า…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

24

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
ตวั อยา่ งท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ
1. (3x – 2)2 – (x + 5)2
วิธีทา (3x – 2)2 – (x + 5)2 = [(3x – 2) + (x + 5)] [(3x – 2) - (x + 5)]

= (3x – 2 + x + 5)(3x – 2 - x - 5)
ดังนัน้ (3x – 2)2 – (x + 5)2 = (4x + 3)(2x - 7)
2. (3x + 2)2 – (x – 1)2
วิธที า…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
ตวั อยา่ งท่ี 5 จงแยกตัวประกอบของ
1. 25(x + 2)2 – 144x2
วธิ ีทา 25(x + 2)2 – 144x2 = [5(x + 2)]2 - (12x)2

= [5(x + 2) + 12x][5(x + 2) - 12x]
= (5x + 10 + 12x)(5x + 10 - 12x)
ดงั น้นั 25(x + 2)2 – 144x2 = (17x + 10)(-7x + 10)
2. 49(x + 3)2 – 169x2
วิธที า…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

25

ตวั อย่างท่ี 6 วงกลมสองวงมจี ุดศูนยก์ ลางรว่ มกัน วงกลมวงใหญม่ ีรศั มยี าว 89 หน่วย วงกลมวงเล็กมีรัศมียาว

65 หน่วย วงกลมท้งั สองมีพ้นื ที่ต่างกันเทา่ ไร (กาหนด )

วิธีทา…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

26

แบบฝึกหดั 5.4

1. จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี (10 คะแนน)

1.1) 16 - x2 =……………………………………………………………………………………………………………………………..

=……………………………………………………………………………………………………………………………..

=……………………………………………………………………………………………………………………………..
1.2) x2 – 144 =…………………………………………………………………………………………………………………………

=…………………………………………………………………………………………………………………………

=…………………………………………………………………………………………………………………………

1.3) 225 - x2 =…………………………………………………………………………………………………………………………

=…………………………………………………………………………………………………………………………

=…………………………………………………………………………………………………………………………

1.4) x2 – 361 =…………………………………………………………………………………………………………………………

=…………………………………………………………………………………………………………………………

=…………………………………………………………………………………………………………………………

1.5) x2 – 625 =…………………………………………………………………………………………………………………………

=…………………………………………………………………………………………………………………………

=…………………………………………………………………………………………………………………………

1.6) 9x2 – 1 =…………………………………………………………………………………………………………………………

=…………………………………………………………………………………………………………………………

=…………………………………………………………………………………………………………………………

27

1.7) 16x2 – 169 =………………………………………………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………………………………………………..

1.8) 49x2 – 81 =………………………………………………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………………………………………………..

1.9) 196x2 – 100 =……………………………………………………………………………………………………………………...
=……………………………………………………………………………………………………………………..
=……………………………………………………………………………………………………………………..

1.10) 5296x2 – 625 =……………………………………………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………………………………………………
=…………………………………………………………………………………………………………………….

2. จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปนี้ (8 คะแนน)

2.1) 25 – (y + 1)2 =………………………………………………………………………………………………………………………

=……………………………………………………………………………………………………………………..

=………………………………………………………………………………………………………………………

2.2) (x - 3)2 – 36 =………………………………………………………………………………………………………………………

=……………………………………………………………………………………………………………………..

=………………………………………………………………………………………………………………………

28

2.3) x2 – (2x + 1)2 =………………………………………………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………………………………………………..
=……………………………………………………………………………………………………………………..

2.4) (2y + 3)2 – 25y2 =…………………………………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………………………………..

2.5) (x – 8)2 – (x - 5)2 =………………………………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………………………………
=…………………………………………………………………………………………………………………

2.6) (4y – 3)2 – (5y + 2)2 =……………………………………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………………………………………
=…………………………………………………………………………………………………………....

2.7) 144x2 – (2x - 3)2 =………………………………………………………………………………………………………………..
=……………………………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………………………….......

2.8) (5y + 3)2 – 121y2 =………………………………………………………………………………………………………………..
=……………………………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………………………….......

29

บรรณานกุ รม

สถาบนั พฒั นาคณุ ภาพวชิ าการ (2562). คู่มอื ครูใช้ค่กู ับชดุ กจิ กรรมการเรยี นรพู้ ฒั นาการคดิ รายวชิ า
คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 2. กรงุ เทพฯ : สานกั พมิ พ์ บริษัทพัฒนาคณุ ภาพวชิ าการ
(พว.)จากดั .

สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. (2562).หนังสอื เรียนรายวชิ า
พน้ื ฐาน คณติ ศาสตร์ เลม่ 2.พมิ พ์ครง้ั ท่ี 1. กรุงเทพฯ : สานกั พิมพ์จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย

30