จำนวนเชิงซ้อน 39

COMPLEX

จำนวนเชิงซ้อน

NUMBER

นายวรชิต ตาทิน
ชั้น ม.5/3 เลขที่ 39

What is Complex Number ?

จำนวนเชิงซ้อน (complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ
เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน ซึ่งทำให้สมการ

เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้
ใหม่มีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน ทุกตัว
สามารถเขียนอยู่ในรูป โดยที่ และ เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก และ
ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary
part)

ความหมายของจำนวนเชิงซ้อน
ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน
z = a + bi
a คือ Re(z) เป็นส่วนจริงของ z
b คือ Im(z) เป็นส่วนจินตภาพของ z

โดยที่ i = รูท -1 ดังนั้น i ไม่เป็นจำนวนจริง และ i^2 = -1

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ จากนิยาม
ข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของ
จำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถ
บวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใดๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อน
ได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็น
จำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของ
จำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติ
ปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มี
สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อน
ด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

ในระบบจำนวนจริง สมการพหุนามบางสมการ เช่น x + 1 = 0 ไม่มีคำตอบ
เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงใดๆ จะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ ในที่นี้
เราจะศึกษาวิธีการสร้างระบบจำนวนชนิดใหม่ เพื่อให้หาคำตอบของสมการพหุนามทุก
สมการได้เสมอ และเรียกจำนวนในระบบที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่าจำนวนเชิงซ้อน (
complex numbers) ซึ้งนอกจากจะปัญหาในเรื่องของการมีคำตอบของ
สมการพหุนามใดๆ แล้ว ยังสามารถประยุกต์อย่างกว้างขวางกับสาขาต่าง ๆ ทาง
ด้านวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์

การสร้างจำนวนเชิงซ้อน

นาม x + 1 = 0 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริงแต่นักคณิตศาสตร์ต้องการสร้าง
ระบบจำนวนซึ้งขยายระบบจำนวนจริงออกไปเพื่อให้สามารถครอบคลุมทุกคำตอบของ
สมการพหุนามทั้งหมดได้ ดังนั้นจึงพิจารณาเซตที่มีจำนวนจริงเป็นสับเซต

บทนิยาม จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b เป็น
จำนวนจริงและกำหนดการเท่ากัน

การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน ดังนี้
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (a,b) และ (c,d)
1. การเท่ากัน ( a , b ) = ( c , d ) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
2. การบวก ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d )
3 การคูณ ( a , b ) • ( c , d ) = ( ac – bd , ad + bc )
เราอาจเขียนแทน ( a , c ) • ( c , d ) ด้วย ( a , b )( c , d ) ก็ได้
เซตของจำนวนเชิงซ้อนเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ C

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (-1,2) และ (3,-4)
วิธีทำ (-1,2)+(3,-4) = (-1 + 3 , 2 – 4)

= (2 , – 2)
(-1,2)(3,-4) = ((-1)3 – 2 (- 4), ( -1 )( -4 ) + 2 • 3)

= (-3 + 8, 4 +6)
= (5, 10)

การหารจำนวนเชิงซ้อน

z1/z2 = a+ bi/ c+ di
นำ c-di คูณทั้งส่วนและเศษ เพื่อไม่ให้ส่วนติดค่า i
z1/2 = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di)
หรือสูตร (c+di)(c-di) = c^2 + d^2

อินเวอร์ส

ให้ z = a+ bi
อินเวอร์สคูณของ z คือ z-1
โดย zz^-1 จะเท่ากับ 1 จะได้ว่า
z^-1 = 1/a+bi นำ a-bi คูณทั้งเศษและส่วน
เพื่อไม่ให้ส่วนติด i
จะได้สูตร
z^-1 = 1(a-bi)/(a+bi)(a-bi)

สังยุค

ให้ z = a+ bi
สังยุคของ z คือ -z โดย -z = a - bi

สz-ม=บัตzิ มีดังนี้ z1 z2 = z- 1 z- 2
z -z = a^2 + b^2
z1 +,- z2 = -z 1 --z 2

บทนิยาม
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z = (a,b) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง
เรียก a ว่าส่วนจริง (Real part) ของ z และแทนด้วย Re(z)
เรียก b ว่าส่วนจิตภาพ (Imaginary part) ของ z และแทนด้วย
Im(z)

จากบทนิยามนี้ อาจกล่าวได้ว่า จำนวนจริงก็คือจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็น
ศูนย์ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ แต่ส่วนจินตภาพไม่ใช้ศูนย์ เรียกว่า
จำนวนจินตภาพแท้(purely imaginary number)
ต่อไปพิจารณาจำนวนเชิงซ้อน ( 0 , 1 ) สังเกตว่า
( 0 , 1 )( 0 , 1 ) = ( 0 – 1 , 0 + 0 ) = (-1 , 0 )
ซึ่งจำนวนเชิงซ้อน (-1,0) คือจำนวนจริง -1 นั่นเองเขียนแทน
จำนวนเชิงซ้อน(0,1)ด้วยสัญลักษณ์ i จะได้ว่า i2 = -1
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ( a , b ) ใด ๆ
(a,b) = (a,0)+(0,b)

= ( a , 0 ) + ( b , 0 )( 0 , 1 )

= a + bi

ฉะนั้น จำนวนเชิงซ้อน ( a , b ) สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ a + bi

การกำหนดสัญลักษณ์ของจำนวนเชิงซ้อนในรูป a + bi เมื่อ a และ b เป็น

จำนวนจริง ทำให้การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้โดยง่ายโดยใช้

สมบัติต่าง ๆ เกี่ยวกับการบวกและการคูณ เช่นเดียวกับสมบัติของการบวกและการ

คูณของจำนวนจริง และข้อตกลงว่า i2 = -1 เช่น ( a + bi ) +

( c + di ) = ( a + c ) + ( bi + di )

= (a+c)+(b+d)i

( a + bi )( c + di ) = a ( c + di ) + bi ( c + di )

= ac + abi + bic + bdi2

= ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i

a + bi = c + di ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ต่อไปเมื่อกล่าวว่า z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะถือว่า a และ b เป็น

จำนวนจริงโดยไม่ต้องกล่าวซ้ำอีก

THANK
YOU