การเเจกเเจงความน่าจะเป็นของ ตัวเเปรสุ่มต่อเนื่อง จัดทำ โดย นางสาว สุชานันท์ กฤติทเดช ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/1 เลขที่ 16 เสนอ คุณครู ลำ ภู จันทร์พรม สื่อการเรียนการสอน รายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่6 เล่มที่2 (continuous random variable)
ผูัจัดทำ นางสาว สุชานันท์ กฤติทเดช สื่อการเรียนการสอนนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่่มเติมของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปี ที่6/1จัดทําขึ้นเพื่อเป็นสื่อการเรียนรู้ให้กับนักเรียนและบุคคลอื่นที่ต้องการที่จะศึกษาหาความรู้หรือใช้ ในการเรียนการสอนในเรื่องการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เนื่องจากเนื้อหาสาระที่อยูภายในสื่อการเรียนรู้นี้มีทัั้งเนื้อหา ตัวอย่าง รวมถึงแบบฝึกหัดพร้อม เฉลยวิธีการทำ ที่เข้าใจง่ายอยู่ภายในเล่มเดียวกัน สามารถศึกษาหาความรู้และทำ เเบบฝึกหัด ซึ่งผู้จัด ทําหวังอย่างยิ่งว่าสื่อสารเรียนการสอนนี้จะเป็นประโยชน์แก่ผู้อ่านและหวังว่าผู้อ่านจะสามารถนาํเนื้อหา สาระมาปรับใช้ในการเรียนการสอนได้เป็นอย่างดี หากมีข้อมูลส่วนใดขาดตกบกพร่องข้าพเจ้าขออภัย มา ณ ที่นี้ด้วย คำ นำ
สารบัญ เนื้อหา หน้า การเเจกเเจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง 1 การเเจกเเจงปกติ 3 การเเจกเเจงปกติมาตรฐาน 5 ตัวอย่าง 6 เปอร์เซ็นไทล์ของตัวเเปรสุ่มต่อเนื่อง 9 การเปรียบเทียบตำ เเหน่งของข้อมูลโดยใช้ค่าของตัวเเปรสุ่มปกติมาตรฐาน 11 เเบบฝึกหัด 12 เฉลยเเบบฝึกหัด 13
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (continuous random variable) คือตัวแปรสุ่มที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ ทั้งหมด เป็นช่วงที่เป็นสับเชตของ R (จำ นวนจริง) ใช้เช้ส้นโค้งความหนาเเน่น(density curve) ในการเขียนเเสดงการเเจกเเจงความน่าจะเป็นโดยความ น่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่งจะเท่ากับพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งความหนาแน่นกับ แกน X ในช่วงนั้น การเเจกเเจงความน่าจะเป็นของตัวเเปรสู่มต่อเนื่อง เสันโค้งความหนาแน่นเป็นกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) โดยที่ x แทนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม เรียกฟังก์ชันนี้ว่า ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (probability density function) f(x) เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ก็ต่อเมื่อ 1. f (x)≥0 สำ หรับทุก x ที่เป็นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X 2. พื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่นทั้งหมดจะเท่ากับ 1 (continuous random variable) 1
พิจารณาเส้นโค้งความหนาเเน่นของตัวเเปรสุ่ม X ถาให X เปนตัวแปรสุมตอเนื่อง และ a เปนคาที่เปนไปไดของ X จะไดวา P(X=a)=0 เนื่องจากพื้นที่ใตเสนโคงความหนาแนนจาก a ถึง a เทากับศูนย ดังนั้น สําหรับตัวแปรสุมตอเนื่อง จะไมพิจารณาความนาจะเปนของการเกิดคาของตัวแปรสุมคาใดคาหนึ่งแตจะสนใจเฉพาะความนา จะเปนที่ตัวแปรสุมจะมีคาอยูในชวงใดชวงหนึ่ง โดยความนาจะเปนที่ตัวแปรสุมจะมีคาอยูในชวงปด [a b,] จะเทากับความนาจะเปนที่ตัวแปรสุมจะมีคาอยูในชวงเปด (a b, ) นั่นคือ P(a ≤ X ≤ b)=P(a < X < b) เมื่อ a และ b เปนคาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X ใน ทํานองเดียวกัน จะไดวา P(X ≤ a)=P(X < a) เเละ P(X ≥ a)=P(X > a) เมื่อ a เปนคาที่เปนไป ไดของตัวแปรสุม X 2
การเเจกเเจงปกติ การแจกแจงปกติ คือ การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมตอเนื่อง X ที่มีฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปน การแจกแจงปกติเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง แบบหนึ่งโดย ทั่วไปแล้ว ตัวแปรสุ่มที่ได้จากการเลือกตัวอย่างขนาดใหญ่จาก ประชากร จะมีการแจกแจงแบบนี้ บทนิยาม 1) เสนโคงมีเสนตั้งฉากกับแกน X ที่ลากผานคาเฉลี่ยเปนแกนสมมาตร ทําใหพื้นที่ ใตเสนโคงทางดานซายของคาเฉลี่ยเทากับพื้นที่ใตเสนโคงทางดานขวาของคาเฉลี่ย 2) ปลายเสนโคงทั้งสองดานเขาใกลแกน X แตจะไมตัดแกน X หรือกลาวไดวาแกน X เปนเสนกํากับแนวนอน 3) คาเฉลี่ยและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (หรือความแปรปรวน) จะเปนตัวกําหนดลักษณะ เฉพาะของเสนโคงวามีแกนสมมาตรอยูที่ใดและมีการกระจายจากคาเฉลี่ยมากนอยเพียงใด ถาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงปกติ แลวเมื่อเขียน กราฟของฟงกชัน ความหนาแนนความนาจะเปนสําหรับตัวแปรสุม X จะไดเสนโคงปกติ ซึ่งเปนเสนโคงรูประฆัง (normal distribution) 3
เส้นโค้งปกติ(normal curve) ค่าเฉลี่ยเเตกต่างกัน เเต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากัน ค่าเฉลี่ยเท่ากัน เเต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเเตกต่างกัน ตัวอย่างเส้นโค้งปกติ 4
การเเจกเเจงปกติมาตรฐาน ฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z ที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน คือ บทนิยาม เรียกเสนโคงปกติซึ่งไดจากตัวแปรสุมปกติที่มีคาเฉลี่ยเปน 0 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 1 วา เสนโคงปกติมาตรฐาน(standard normal curve) (standard normal distribution) เรียกตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐานวา ตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน (standard normal random variable) 5
ตัวอย่าง ให้ Z เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน จงหา 1) P(Z≤-1.34) 2) P(Z>2.18) 3) P(-2.45≤Z≤1.68) ตัวอย่างที่1 วิธีทำ 1) P(Z≤-1.34) จะได้P(Z≤-1.34)=0.0901 2) P(Z>2.18) จะได้P(Z>2.18)=1-P(Z≤2.18) = 1-0.9854 P(Z>2.18)=0.0146 3) P(-2.45≤Z≤1.68) จะได้P(-2.45≤Z≤1.68)=P(Z≤1.68)-P(Z<-2.45) =0.9535-0.0071 P(-2.45≤Z≤1.68)=0.9464 6
ในกรณีที่ตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงปกติแต่ไม่ใช่การแจกแจงปกติมาตรฐานจะไม่สามารถใช้ ตารางในการหาความน่าจะเป็นได้ ดังนั้นจะต้องแปลงตัวแปรสุ่มปกติให้เป็นตัวแปรสุ่มปกติ มาตรฐานโดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบท ตัวอย่างที่2 กำ หนดให้ X ~ N (100,64) จงหา 1) P(X<92) 2) P(94<X<106) 3) P(102<X<110) 1) P(X<92) วิธีทำ P(X<92)=P(Z<92-100) 8 =P(Z<−1) P(X<92)=0.1587 2) P(94<X<106) P(94<X<106)=P(94-100<Z<106-100) 8 8 =P(-0.75<Z<0.75) =P(Z<0.75)-P(Z≤-0.75) =0.7734-0.2266 P(94<X<106)=0.5468 7
ตัวอย่างที่3 ในการบรรจุกาแฟชนิดหนึ่งลงขวดให้มีน้ำ หนักสุทธิ 115 กรัม ถ้าน้ำ หนักของกาแฟที่บรรจุ มีการ แจกแจงปกติ และมีน้ำ หนักเฉลี่ยเท่ากับ 115.5 กรัม ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 0.3 กรัม อยากทราบว่ามีกี่เปอร์เซ็นต์ที่กาแฟในแต่ละขวดมีน้ำ หนัก 1) ระหว่าง 115 กรัม และ 115.5 กรัม 2) มากกว่า 115.5 กรัม 3) น้อยกว่า 115 กรัม 1) ระหว่าง 115 กรัม และ 115.5 กรัม เนื่องจาก P(115<X<115.5)=P(115-115.5<Z<115.5-115.5) 0.3 0.3 =P(-1.667<Z<0) =P(Z<0)-P(Z≤-1.667) P(115<X<115.5)=0.4522 2) มากกว่า 115.5 กรัม เนื่องจาก P(X>115.5)=P(Z>115.5-115.5) 0.3 =P(Z>0) =1-P(Z≤O) P(X>115.5)=0.5000 3) น้อยกว่า 115 กรัม เนื่องจาก P(X<115)=P(Z<115-115.5) 0.3 =P(Z<-1.667) P(X<115)=0.0478 ให้ 8
คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่6ในภาคเรียนหนึ่งมีการแจกแจง ปกติโดยมีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 60 และ 5 คะแนน ตามลำ ดับ ถ้ากำ หนดให้ P(Z <1.645)=0.95และP(Z<-1,282)=0.1 จงหา 1) คะแนนต่ำ สุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุด ซึ่งมีจำ นวนประมาณ 5%ของนักเรียนทั้งหมด 2)คะแนนสูงสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนต่ำ สุด ซึ่งมีจำ นวนประมาณ109 ของนักเรียนทั้งหมด เปอร์เซ็นไทล์ของตัวเเปรสุ่มต่อเนื่อง เปอร์เซ็นไทล์เป็นค่าวัดตำ แหน่งที่ของข้อมูลเชิงปริมาณโดยแบ่งข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปมากออกเป็น 100ส่วนเท่าๆกันสำ หรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X เนื่องจากฟื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่นทั้งหมดเท่ากับ 1 หรือคิดเป็น 100% ดังนั้น ถ้า x เป็นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X จะได้ว่าข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่าx มีจำ นวน P(X<x)(100%) นั่นคือ ถ้า P(X<x)-100 เป็นจำ นวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 0 และ 100 จะได้ว่าเปอร์เซ็นไทล็ ที่ P(X<x)(100) เท่ากับ x ตัวอย่าง 1) คะแนนต่ำ สุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุด ซึ่งมีจำ นวนประมาณ 5%ของนักเรียนทั้งหมด ดังนั้น x คือเปอรเซ็นไทลที่ 95 จะได้ P(X<x)=0.95 P(Z<x-60)=0.95 5 เนื่องจาก P(Z<1.645)=0.95 จะได้ x-60=1.645 5 x= 68.225 ดังนั้น คะแนนต่ํ่าสุดของกลุมนักเรียนที่ไดคะแนนสูงสุด ซึ่งมีจํานวนประมาณ 5% ของ นักเรียนทั้งหมดคือ 68.225 คะแนน 9
2)คะแนนสูงสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนต่ำ สุด ซึ่งมีจำ นวนประมาณ109 ของนักเรียนทั้งหมด ดังนั้น x คือเปอรเซ็นไทลที่ 10 จะได P(X<x) = 0.1 P(Z<x-60)=0.1 5 เนื่องจาก P(Z<−1.282)= 0.1 จะได x-60 = −1.282 5 x = 53.59 ดังนั้น คะแนนสูงสุดของกลุมนักเรียนที่ไดคะแนนต่ํ่าสุดซึ่งมีจํานวนประมาณ 10% ของนักเรียน ทั้งหมดคือ 53.59 คะแนน 10
ร้านอาหารแห่งหนึ่งนอกจากขายอาหารแล้วยังมีผลไม้ขายบริเวณหน้าร้านด้วย โดยยอดขายอาหาร รายวันมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยและส่วนเบียงเบนมาตรฐานเท่ากับ 8,400 และ 360 บาท ตามลำ ดับและยอดขายผลไม้รายวันมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากับ 5,200 และ 240 บาท ตามลำ ดับ ถ้าวันนี้มียอดขายอาหาร 9,500 บาท และยอดขายผลไม้ 6,000 บาท จงพิจารณาว่าวันนี้ร้านอาหารแห่งนี้ขายอาหาร หรือผลไม้ได้ดีกว่ากัน การเปรียบเทียบตำ เเหน่งของข้อมูลโดยใช้ค่าของ ตัวเเปรสุ่มปกติมาตรฐาน การแปลงตัวแปรสุ่มปกติให้เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน นอกจากจะมีประโยชน์ในการหาความ น่าจะเป็นโดยใช้ตารางแล้ว ยังสามารถนำ ค่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานที่แปลงได้ไปใช้ในการ เปรียบเทียบข้อมูลตั้งแต่สองชุดขึ้นไปว่ามีความแตกต่างกันหรือไม่เพียงใด เนื่องจากค่าเฉลี่ยและ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลแต่ละชุดมักจะไม่เท่ากันบางครั้งจึงไม่สามารถนำ ข้อมูลแต่ละ ชุดมาเปรียบเทียบโดยตรงได้ ตัวอย่าง ใหตัวแปรสุม X และ Y คือยอดขายอาหารรายวันและยอดขายผลไมรายวันของรานอาหารแหงนี้ ตามลําดับ จะไดวาตัวแปรสุม X และ Y มีการแจกแจงปกติ ให x และ y คือ ยอดขายอาหารและยอดขายผลไมของวันนี้ ตามลําดับ นั่นคือ x = 9,500 และ y = 6,000 จะไดวาคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ x คือ = 9,500-8,400 ≈ 3.056 360 และคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ y คือ = 6,000-5,200 ≈ 3.333 240 เนื่องจากคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ x นอยกวาคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ y ดังนั้น วันนี้รานอาหารแหงนี้ขายผลไมไดดีกวาอาหาร 11
เเบบฝึกหัด เเบบฝึกหัดที่1 ตัวแปรสุ่ม X ~ N (10, 9) จงหา 1. P(4<X<13) 2. P(X≤19) 3. P(X>7) เเบบฝึกหัดที่2 ในการสอบครั้งหนึ่งมีนักเรียนเข้าสอบ 1,000 คน โดย คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติที่มี ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยง เบนมาตรฐานเท่ากับ 200 และ 30 คะแนน ตามลำ ดับ จงหาว่า มีนักเรียนประมาณกี่คนที่ได้คะแนนสอบ 1) ระหว่าง 170 และ 230 คะแนน 2) มากกว่า 260 คะแนน เเบบฝึกหัดที่3 เก่งและกล้าเป็นนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนเดียวกันแต่อยู่คนละห้องโดยเก่งอยู่ห้อง 1 และ กล้าอยู่ห้อง 2 ซึ่งห้องเรียนแต่ละห้องประกอบด้วยนักเรียนที่มีความสามารถแตกต่างกัน ถ้าเก่งและกล้า เรียนวิชาคณิตศาสตร์ที่สอนโดยครูคนละคนกันและใช้ข้อสอบแตกต่างกัน โดยในการสอบกลางภาคเก่ง และกล้าได้ 80 และ 90 คะแนนตามลำ ดับ สมมติว่าคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน ทั้งสองห้องมีการแจกแจงปกติโดยคะแนนสอบของนักเรียนห้อง 1 มีค่าเฉลี่ยและส่วนเบียงเบนมาตรฐาน เท่ากับ 65 และ 5 คะแนน ตามลำ ดับ และคะแนนสอบของนักเรียนห้อง 2 มีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานเท่ากับ 70 และ 10 คะแนนตามลำ ดับ 1) มีนักเรียนห้อง 1 กี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้คะแนนสอบระหว่าง 55 และ 75 คะแนน 2) มีนักเรียนห้อง 1 กี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้คะแนนไม่เกินคะแนนของเก่ง 3) มีนักเรียนห้อง 2 กี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้คะแนนมากกว่ากล้า 12
เฉลยเเบบฝึกหัดที่1 ตัวแปรสุ่ม X ~ N (10, 9) จงหา 1) P(4<X<13) 2) P(X≤19) 3) P(X>7) เฉลยเเบบฝึกหัด 1) P(4<X<13) P(4<X<13) =P(4-10<Z<13-10) 3 3 = P(–2<Z<1) = 0.8413 – 0.0228 = 0.8185 P(4<X<13) = 0.8185 2) P(X≤19) P(X≤19) =P(Z≤19-10) 3 =P(Z≤3) P(X≤19)=0.9987 3) P(X>7) P(X>7) =P(Z>17-10) 3 =1–P(Z≤1) = 1–0.1587 P(X>7)=0.8413 13
เฉลยเเบบฝึกหัดที่2 ในการสอบครั้งหนึ่งมีนักเรียนเข้าสอบ 1,000 คน โดยคะแนนสอบมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยและ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 200 และ 30 คะแนน ตามลำ ดับ จงหาว่ามีนักเรียนประมาณกี่คนที่ได้ คะแนนสอบ 1) ระหว่าง 170 และ 230 คะแนน 2) มากกว่า 260 คะแนน เนื่องจาก P(170<X<230) =P(170-200<Z<230-200) 30 30 =P(−1<Z<1) =P(Z<1)-(Z≤−1) = 0.8413-0.1587 P(170<X<230)= 0.6826 1) ระหว่าง 170 และ 230 คะแนน 2) มากกว่า 260 คะแนน เนื่องจาก P(X>260) =P(260-200) 30 =P(Z>2) = 1-P(Z≤2) = 1-0.9772 P(X>260)= 0.0228 14
เฉลยเเบบฝึกหัดที่3 เก่งและกล้าเป็นนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนเดียวกันแต่อยู่คนละห้องโดยเก่งอยู่ห้อง 1 และ กล้าอยู่ห้อง 2 ซึ่งห้องเรียนแต่ละห้องประกอบด้วยนักเรียนที่มีความสามารถแตกต่างกัน ถ้าเก่งและกล้า เรียนวิชาคณิตศาสตร์ที่สอนโดยครูคนละคนกันและใช้ข้อสอบแตกต่างกัน โดยในการสอบกลางภาคเก่ง และกล้าได้ 80 และ 90 คะแนนตามลำ ดับ สมมติว่าคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน ทั้งสองห้องมีการแจกแจงปกติโดยคะแนนสอบของนักเรียนห้อง 1 มีค่าเฉลี่ยและส่วนเบียงเบนมาตรฐาน เท่ากับ 65 และ 5 คะแนน ตามลำ ดับ และคะแนนสอบของนักเรียนห้อง 2 มีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานเท่ากับ 70 และ 10 คะแนนตามลำ ดับ 1) มีนักเรียนห้อง 1 กี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้คะแนนสอบระหว่าง 55 และ 75 คะแนน 2) มีนักเรียนห้อง 1 กี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้คะแนนไม่เกินคะแนนของเก่ง 1) มีนักเรียนห้อง 1 กี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้คะแนนสอบระหว่าง 55 และ 75 คะแนน เนื่องจาก P(55<X<75)=P(55-65<Z<75-65) 5 5 = P(-2<Z<2) = P(Z<2)-P(Z≤-2) = 0.9772-0.0228 P(55<X<75) = 0.9544 ดังนั้น มีนักเรียนหอง 1 จํานวน 0.9544×100=95.44 เปอรเซ็นตที่ไดคะแนนสอบระหวาง 55 และ 75 คะแนน 15
เฉลยเเบบฝึกหัดที่3 เนื่องจาก P X(≤80)=P(Z≤80-65) 5 = P(Z≤3) P X(≤80)= 0.9987 ดังนั้น มีนักเรียนหอง 1 จํานวน 0.9987×100= 99.87 เปอรเซ็นตที่ไดคะแนนไมเกิน คะแนนของเกง 2) มีนักเรียนห้อง 1 กี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้คะแนนไม่เกินคะแนนของเก่ง 3) มีนักเรียนห้อง 2 กี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้คะแนนมากกว่ากล้า เนื่องจาก P(Y>90)=P(Z>90-70) 5 = 1-P(Z≤2) = 1-0.9772 = 0.0228 P(Y>90)=0.0228 ดังนั้น มีนักเรียนหอง 2 จํานวน 0.0228×100=2.28 เปอรเซ็นตที่ไดคะแนนมากกวากลา 16