Modul PD Linear Non-Homogen Orde-2 & PD Simultan Klp 6_TPM C

MODUL PERSAMAAN DIFERENSIAL
PD Linear Non-Homogen Orde-2 & PD Simultan
(Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Persamaan Diferensial)
Dosen Pengampu : Restilawati Woe Titi Cahyani, M.Pd

Disusun oleh :

1. Bill Adli Zulkurnain (1901061006)
2. Choirun Nisa (1901061008)
3. Susan Widiyaningsih (1901062011)

KELOMPOK 6
KELAS/SEMESTER : C/6
JURUSAN TADRIS MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) METRO LAMPUNG
TAHUN AJARAN 2021/2022

PRAKATA
Segala puji dan syukur kepada Allah SWT yang telah memberikan
karunia-Nya kepada kami sehingga dapat menyelesaikan modul ini sebagai tugas
mata kuliah Persamaan Diferensial, sholawat serta salam tetap terlimpahkan
keharibaan baginda nabi besar Muhammad SAW yang membawa risalah yang tak
pernah salah dan mengemban amanah yang tak pernah khianat sehingga berkat
perjuangan beliau lah sehingga alam ini menjadi tentram, aman, dan sejahtera.
Tak lupa kami juga mengucapkan banyak terima kasih atas bantuan dari berbagai
pihak dengan memberi dorongan dan semangat.
Dengan harapan semoga modul ini dapat menambah pengetahuan dan
pengalaman bagi para pembaca. Untuk kedepannya dapat memperbaiki bentuk
maupun menambah isi modul agar menjadi lebih baik.
Karena keterbatasan pengetahuan dan pengalaman kami yakin masih
banyak kekurangan dalam modul ini, oleh karena itu kami sangat mengharapkan
saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan modul ini.

Metro, 09 Mei 2022
Penulis,

ii

DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ............................................................................... i
PRAKATA.............................................................................................. ii
DAFTAR ISI........................................................................................... ii
PENDAHULUAN ................................................................................... 1
Uraian Materi ........................................................................................... 3

1.1 Kegiatan Pembelajaran I ...................................................................... 3
1.2 Kegiatan Pembelajaran II ..................................................................... 7
DAFTAR PUSTAKA

iii

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang
Kehidupan di alam semester mempunyai berbagai masalah yang

harus diselesaikan pemecahannya. Dengan cara membuat formulasi,
pernyataan, teori, dan lain sebagainya. Salah satu ilmu tersebut adalah
matematika, matematika membuat formulasi tertentu dari setiapmasalah
yang dihadapi. Proses penyederhanaan masalah dilakukan dengan
membuat rekayasa sedemikian rupa dari masalah aslinya
sehingga menghasilkan sebuah model matematika berbentuk
formula atau persamaan tertentu, seperti persamaan diferensial.

Persamaan diferensial merupakan persamaan matematika untuk
fungsi satu variabel atau lebih yang menghubungkan nilai fungsi itu
sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Pada modul ini akan
dijelaskan tentang materi Persamaan Diferensial Biasa Orde-2 Non-
Homogen Koefisien Tak Tentu serta Persamaan Diferensial Simultan.

Persamaan diferensial biasa orde-2 merupakan bagian dari
persamaan diferensial dengan orde atau pangkat derajat 2. Adapun
kebutuhan akan ilmu ini adalah seperti pada permasalahan kecepatan
dan percepatan suatu partikel yang melibatkan konsep turunan dalam
penyelesaiannya. Sehingga diperlukan sebuah pemecahan yang
sederhana mungkin dalam penyelesaiannya, yakni dengan
menggunakan persamaan diferensial.

Persamaan differensial yang mengandung beberapa variabel
terikat (lebih dari satu) tetapi memiliki satu variabel bebas, sulit untuk
diselesaikan secara langsung. Persamaan seperti itu membentuk suatu
sistem persamaan yang simultan.

B. Tujuan Penulisan Modul
1. Untuk memenuhi tugas modul mata kuliah persamaan diferensial
2. Agar mahasiswa mampu memahami Persamaan Diferensial Biasa
Orde-2 Non-Homogen Koefisien Tak Tentu

3. Agar mahasiswa mampu memahami Persamaan Diferensial
Simultan

C. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Modul ini berisi informasi tentang materi beserta contoh soal
persamaan diferensial untuk mencapai tujuan pembelajaran.
2. Bacalah modul ini dengan teliti, setelah itu pahami dengan benar
materi dan contoh soal dalam modul.
3. Jika ada informasi yang kurang jelas atau anda mengalami kesulitan
dalam memahami setiap materi dalam modul, sebaiknya
konsultasikan dengan pengajar.

Kegiatan Pembelajaran I
1.1 PD Linear Non-Homogen Orde 2

A. PD Linear Non-Homogen Orde-2

Solusi umum PD linear non homogen orde 2 merupakan jumlah
dari solusi PD homogen (yh) dan solusi pelengkap (yp) dan diruliskan
sebagai:

y = yh + yp
Solusi homogen (yh) dicari seperti pembahasan sebelumnya,
sedangangkan solusi pelengkap (yp) menggunakan 2 metode yaitu
metode koefisien tak tentu dan metode koefisien parameter.

1. Metode koefisien tak tentu

Jika f(x) merupakan fungsi polinom, eksponen, sinus, atau cosinus,
maka solusi pelengkap yp dapat dimisalkan sebagai jumlah dari f(x) dan
semua turunannya seperti tabel berikut:

f(x) yp

xn Anxn + An-1xn-1 +…+A1x + A0

eax A eax

x eax A eax + B x eax

sin ax A cos ax + B sin ax

cos ax A sin ax + B cos ax

Selanjutnya yp, yp’, dan yp” disubstitusikan kedalam PD untuk mencari
nilai dari koefisiennya.
Contoh:
1. Tentukan solusi umum dari PD:

y” – y = -3 e2x

Penyelesaian:
Akar karakteristik PD, m = ± 1
Solusi homogen, yh = C1 ex + C2 ex
Solusi pelengkap, yp = A e2x
Substitusikan solusi pelengkap dan turunan keduanya kedalam PD:
4 A e2x – A e2x = -3 e2x
Didapatkan A = -1, sehingga solusi pelengkap:
yp = -e2x
solusi umum PD:
y = C1ex + C2ex – e2x
2. Tentukan solusi umum dari PD:
y’’ + y = 6 sin 2x
Penyelesaian:
Akar karakteristik PD, m = ± 1
Solusi homogen, yh = C1 cos x + C2 sin x
Solusi pelengkap, yp = A cos 2x + B sin 2x
Substitusikan solusi pelengkap dan turunan keduanya kedalam PD,
didapatkan A = 0, dan A = -2, sehingga solusi pelengkap:
yp = -2 sin 2x
Solusi umum PD:
y = C1 cos x + C2 sin x – 2 sin 2x

2. Metode variasi parameter

Metode untuk menentukan penyelesaian khusus PD linear non
homogen dengan koefisienvariabel. Prinsip metode ini adalah mengubah
variabel konstanta Ck dengan variasi parameter vk(x). Misal pada PD non
homogeny orde 2 konstanta C1 dan C2 pada solusi umum PD homogen yh =
C1y1(x) + C2y2(x) diubah dengan variasi parameter v1(x) dan v2(x),
sehingga solusi khusus PD non homogen yp = v1(x) y1(x) + v2(x) y2(x).
Metode ini lebih umum daripada metode koefisien tak tentu yang
memperhatikan bentuk fungsi f(x).

Jika yh = C1y1 + C2y2 merupakan solusi homogen PD:
y’’ + py’ + qy = f(x), maka solusi pelengkap dimisalkan:

yp = v1y1 + v2y2
Fungsi v1(x) dan v2(x) merupakan fungsi parameter, jika solusi pelengkap

diturunkan sekali lagi:
yp’ = (v1’y1 + v2’y2) + (v1’y1 + v2’y2)
Dipilih persamaan syarat : v1’y1 + v2’y2 = 0, sehingga diperoleh turunan

keduanya:
yp’’ = (v1’y1’ + v2’y2’) + (v1y1’’ + v2y2’’)
Substitusikan yp, yp’, dan yp’’ kedalam PD, dan diperoleh:
v1’y1’ + v2’y2’ = f(x)
Fungsi parameter v1(x) dan v2(x) diperoleh dari solusi SPL dalam v1’ dan
v2’ :
v1’y1’ + v2’y2’ = 0
v1’y1’ + v2’y2’ = f(x)

Dengan metode Crammer diperoleh:

′1 = | (0 ) 22′| → v1 = ∫ − 2 ( ) dx
| 11′ 22′| 1 ′2− 2 1′

| 11′ 0
| 11′ ( )|
′2 = 22′| → v2 = ∫ 2 ( ) dx
1 ′2− 2 1′

Contoh:

1. Tentukan solusi umum dari PD:
y’’ + y’ = sec x
Penyelesaian:
Akar karakteristik PD, m = ± i
Solusi homogen, yh = C1 cos x + C2 sin x
Solusi pelengkap, yp = v1(x) cos 2x + v2(x) sin 2x
Fungsi parameter v1(x) dan v2(x) diselesaikan dari SPL berikut:
v1’(x) cos x + v2’(x) sin x = 0
- v1’(x) sin x + v2’(x) cos x = sec x
Dengan metode Crammer diperoleh:

0 22′| |se0c sin |
| ( ) 22′| |− s i n cos
′1 = | 11′ = = - sin sec = -tan x
1
csoins |

→ v1(x) = ln (cos x)

′2 = | 11′ (0 )| = |−cosisn 0 | = cos sec = 1
| 11′ 22′| |−cosisn sec | 1
sin
cos

→ v2(x) = x

Solusi lengkap:

yp = In (cos x) cos x + x sin x
Solusi umum PD:

y = C1 cos x + C2 sin x + In (cos x) cos x + x sin x

Kegiatan Pembelajaran II
1.2 PD Simultan

B. Persamaan Diferensial Simultan

Cara yang ditempuh untuk penyelesaian persamaan menggunakan

system yang simultan, diantaranya:

1. Metode eliminasi dan substitusi, yang secara simultan

menghilangkan salah satu variabel terikat dan turunannya.

Selanjutnya menyelesaikan persamaan differensial yang tertinggal.

Jawaban dari persamaan differensial yang didapat disubsitusikan ke

dalam persamaan semula untuk mendapatkan jawaban variabel yang

tereliminasi.

2. Metode matriks dan determinan (cramer), yang dapat dibuat

berdasarkan persamaan differensial yang diberikan. Selanjutnya

melakukan integral atau penyelesaian yang sesuai dengan ordo

persamaan diffrensial yang diperoleh.

3. Metode transformasi laplace, yang dapat merubah persamaan

diffrensial menjadi persamaan aljabar biasa yang mudah untuk

diselesaikan. Hasil penyelesaian aljabar biasa ini kembali

ditransformasikan ke fungsi semula sebagai jawaban persamaan

differensial yang diberikan.

a. Metode eliminasi dan substitusi

Berikut adalah sistem persamaan diferensial:

1. + 2x + + 6y = 2e’


2. 2 + 3x + 3 + + 8y = -1



Tentukan jawaban untuk y(t) dan x(t)

Penyelesaian:

Eliminasi x dan dari persamaan



2x(1) – (2) : x - + 4y = 4e’ + 1…….(3)


turunan terhadap pers (3) : - 2 + 4 = 4e’…….(4)
2

2x(2) – 3x(1) : – 3 – 2y = -6e’ – 2…….(5)


(5) – (4) : 2 - – 2y = -10e’-2…….(6)
2

Persamaan 6 merupakan PDL ordo 2 dalam fungsi y terhadap t.

Prosedur penyelesaiannya sebagai berikut:

1. Fungsi komplementer dengan persamaan karakteristik:
m2 – m - 2 = 0

m1 = -1

yc = c1e-1 + c2e1

m2 = 2

2. Integralkhusus,misalkan
yp = Ae1 + B
y’p = Ae1
y’’p = Ae1

Substitusikan kedalam persamaan (6) didapat:
Ae1 – Be1 = 2Ae1 – 2B = -10e1 – 2

(a)-2A = -10→A = 5
didapat yp = 5e1 + 1

(b)-2B = -2→B = 1

Jadi jawaban untuk variabel y sebagai fungsi t adalah:

y(t) = c1 e-t + c2 e2t + 5c1 et + 1…….(7)

dan = c1 e-t + 2c2 e2t + 5e1…….(8)


Substitusikan (7) dan (8) ke (3) didapat:

x(t) = - 4y + 4et + 1



= -c1 e-t + 2c2e2t + 5et – 4[c1 e-t + c2e2t + 5et + 1] + 4et + 1
= -c1 e-t + 2c2e2t + 5et – 4 c1 e-t + 4c2e2t - 20et - 4 + 4et + 1
= -5c1 e-t - 2c2e2t – 11 e-t – 3
Jadi x(t) = -5c1 e-t - 2c2e2t – 11 e-t – 3

Cara lain dapat juga mensubstitusikan (7) dan (8) ke (5) lalu

menyelesaikan atau substitusi (7) dan (8) ke (1) atau (2)

hasilnya tetap sama.

b. Metode matriks dan determinan

Metode ini menggunakan operator diferensial dalam

membentuk matriks dan determinan untuk mendapat jawaban

umum dan setiap variabel terikat sebagai fungsi variabel

bebasnya.

Bentuk umumnya:

1). 2 + a1 + a2x + 2 + b1 + b2y = h(x)
2 2

2). 2 + c1 + c2x + 2 + d1 + d2y = g(x)
2 2

Karena persamaan dapat ditulis dalam bentuk operator

diferensial sebagai berikut:
1). (D2 + a1 D + a2)x + (D2 + b1 D + b2)y = h(x)
2). (D2 + c1 D + c2)x + (D2 + d1 D + d2)y = g(x)

Dari kedua persamaan ini dapat dibuat matriks sebagai berikut:

|(( 22 + 1 + 2) ( 2 + 1 + 22)) | = | ℎ (( ))|
+ 1 + 2) ( 2 + 1 + | |

Dengan menggunakan metode cramer didapat:

x(t) = ℎ( ) ( 2+ 1 + 2) | = 1
| ( 2+ 1 + 2)
( )

| 22++ 11 + 2 ( 2+ 1 + 22)) |
+ 2 ( 2+ 1 +

y(t) = | 22++ 11 + 2 ℎ( )| = 2
+ 2 ( )

| 22++ 11 + 2 ( 2+ 1 + 22)) |
+ 2 ( 2+ 1 +

Bila det A1 = 0, det A2 = 0, maka akan diperoleh persamaan

diferensial yang homogen. Dari persamaan yang diperoleh,

jawaban dari PD dapat diselesaikan dengan cara-cara pada

ordonya masing-masing.

Contoh:

Tentukan jawaban dari persamaan berikut:

1). 2 2 + 3 − 9 + 2 − 14 =4
2 2

2). + + + 2 = −8 2



Penyelesaian:

Persamaan dibuat dalam bentuk operatornya diferensial

1). (2D2 + 3D - 9)x + (D2 + 7D – 14)y = 4
2). (D + 1)x + (D + 2)u = -8e2t

Bentuk matriks utamanya adalah:

|(2 2( + +3 1 )− 9) ( 2 + 7 − 14)| = |−84 2 |
( + 2) | |

Selanjutnya dapat dihitung nilai-nilai determinan sebagai

berikut:
Det A = (2D2 + 3D – 9) (D + 2) – (D2 + 7D – 14) (D + 1)

= 2D3 + 3D2 – 9D + 4D2 + 4D2 + 6D – 18 – (D3 + 7D2 -
14D + D2 + 7D – 14)

= D3 – D2 + 4D – 4
= D (D2 + 4) – (D2 + 4)
= (D – 1) (D2 + 4)
Det A1 = 4 (D + 2) + 8e2t (D2 + 7D – 14)
= 4D + 8 + 8 D2 e2t + 7D 8e2t – 112e2t
= 0 + 8 + 32e2t + 112e2t – 112e2t
= 32e2t + 8
Det A1= -8e2t(2D2 + 3D – 9) – 4(D + 1)
= -16e2e2t – 24De2t + 72e2t – 4D + 4
= -64e2t – 48e2t + 72e2t – 0 – 4
= -40e2t – 4

(1). Penyelesaian untuk bentuk x = f(t) didapat:

x(t) = 32 2 +8
( −1)( 2+ 4)

(D – 1) (D2 + 4) x = 32 e2t + 8

a. Fungsi komplementer dengan persamaan
karakteristik (m – 1) (m2 + 4) = 0

m1 = 1

didapat fungsi komplementer karakteristik

m23 = ±2i
xc= c1e1 + c2 cos 2t + c3 sin 2t

b. Integral khusus dengan memisalkan:
xp = A + Be2t

x’p = 2Be2t
x’’p = 4Be2t
x’’’p = 8Be2t

Substitusikan kedalam persamaan, didapat:
8Be2t – 4Be2t + 8Be2t – 4A – 4Be2t = 32e2t + 8

8Be2t – 4A = 32e2t + 8

(1) -4A = 8 → A = -2 didapat integral khusus

dalam bentuk x = f(t)

(2) 8B = 32 → B = 4
xp = 4e2t – 2

Jadi jawaban umum untuk x(t) = C1 cos 2t + C2 sin 2t +
C3 et + 4e2t – 3

(2). Penyelesaian untuk bentuk y = f(t):

y(t) = −40 2 −4
( −1)( 2+4)

(D – 1)(D2 + 4)y = -40e2t – 4

Dengan cara yang sama didapat jawaban umum untuk

y = f(t)
y(t) = C1 cos 2t + C2 sin 2t + C3 et – 5e2t + 1

DAFTAR PUSTAKA

Dr.AZ. 2015. “PD-Linear-Non-Homogen-Tk-2”,
http://zacoeb.lecture.ub.ac.id/files/2015/04/24-PD-linear-Non-Homogen-Tk-2.pdf,
diakses pada 02 Mei 2022 pukul 16.15.

Wijayanti, Indah. 2011. “Makalah Persamaan Diferensial”,
http://www.slideshare.net/nd4hindah/makalah-pd-2-200813500172-indah-
wijayanti?from_m_app=android, diakses pada 02 Mei 2022 pukul 17.00.