ปฏิยานุพันธ์และปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

6 5 20



ก

หนังสอื อิเลก็ ทรอนิกสเ์ ลม่ นี้จดั ทำข้นึ เพ่อื ประกอบกำรเรยี นวชิ ำ
เทคโนโลยดี ิจทิ ัลเพ่อื กำรจัดกำรเรียนรูค้ ณิตศำสตร์ รหสั วิชำ 4092101
โดยมีจุดประสงคเ์ ผ่อื ใหผ้ จู้ ัดทำไดฝ้ ึกกำรศกึ ษำคนั ควำ้ และนำส่งิ ท่ีได้
ศกึ ษำคันควำ้ มำสรำ้ งเป็นช้นิ งำน เพ่อื เป็นส่อื กำรเรยี นร้ใู นรำยวิชำ
คณิตศำสตร์ สำหรับนักเรียนหรือผู้ที่ตอ้ งกำรจะศกึ ษำ เร่อื งปฏิยำนพุ นั ธ์
และปริพนั ธไ์ มจ่ ำกัดเขต

ผู้จัดทำได้เลอื กหวั ข้อน้ีในกำรทำหนงั สอื อิเลก็ ทรอนิกส์ เน่ืองมำจำก
เป็นเร่ืองทน่ี กั ศกึ ษำส่วนใหญ่ต้องพบเจอในมหำวทิ ยำลัยและมีควำม
น่ำสนใจ ผู้จดั ทำตอ้ งขอขอบคุณ ผศ.ดร. พรหมมำ วหิ คไพบูลย์
ผ้ใู ห้ควำมรแู้ ละแนวทำงกำรศึกษำ และเพ่ือนๆทกุ คนที่ให้ควำชว่ ยเหลอื
มำโดยตลอด ผจู้ ัดทำหวงั ว่ำหนังสอื อิเลก็ ทรอนิกสเ์ ล่มน้ีจะให้ควำมรู้
และเป็นประโยชแกผ่ ู้อ่ำนทกุ ๆ ท่ำน หำกมีขอ้ เสนอแนะประกำรใด
ผจู้ ดั ทำขอรบั ไวด้ ว้ ยควำม ขอบพระคณุ ย่งิ

นำยรณชัย ทองเหวียน
ผ้จู ดั ทำ

เร่ือง ข
1. คำนำ
2. สำรบญั หนำ้
3. ปฏิยำนพุ ันธ์และปรพิ ันธไ์ ม่จำกดั เขต ก
ข
3.1 บทนิยำม 1
3.2 สูตรของปริพนั ธไ์ มจ่ ำกดั เขต 1-2
3.3 กำรหำปรพิ ันธ์ไม่จำกัดเขต 3
3.4 กำรหำปฏิยำนพุ นั ธ์ 3-5
6
3.5 กำรประยกุ ต์ปรพิ นั ธ์ 6-9
10-14
4. แบบฝึกหัด 15
5. อำ้ งองิ

1

บทนิยำม

ในหวั ขอ้ ทผ่ี ำ่ นมำไดก้ ล่ำวถึงกำรหำอนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั ไปแล้ว ตอ่ ไปจะกล่ำวถึง
กระบวนกำรกลับกนั นัน่ คอื กำรหำปฏิยำนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ัน กลำ่ วคอื เม่ือกำหนดฟังกช์ นั f ให้
จะหำฟังกช์ ัน F ซ่งึ F'(x) = f (x) และจะเรียกฟังก์ชนั F วำ่ ปฏิยำนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั f เชน่
F(x)= x3+3x2 เป็นปฏิยำนพุ นั ธข์ อง f (x) = 3x2 +6x เพรำะ F(x) = f (x) สังเกตว่ำปฏิยำนพุ นั ธ์
ของฟังกช์ นั f มิไดม้ ีเพยี งฟังก์ชันเดยี ว ฟังกช์ ันตอ่ ไปนี้ล้วนเป็นปฏิยำนพุ นั ธข์ อง
f (x) = 3x2 +6x เช่น
x3+3x2
F1 x = x3+3x2+ 5 x3+3x2+ 3x2+6x
F2 x = x3+3x2- 8
F3 x =

นอกจำกนี้ ถ้ำให้ F(x)= c เม่ือ c เป็นค่ำคงตัวใดๆ จะได้วำ่ F'(x) = = f(x)
ถ้ำ f และ F เป็นฟังกช์ นั สองฟังกช์ ันซ่ึง F'(x) = f(x) จะไดว้ ำ่ f เป็นอนพุ นั ธข์ อง F ในทำง
กลบั กนั จะเรียกฟังกช์ นั F วำ่ เป็นปฏิยำนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั f ดงั บทนิยำมตอ่ ไปน้ี

บทนิยำม
ให้ f เป็นฟังกช์ ัน ถ้ำ F เป็นฟังกช์ นั ซ่งึ F'(x) = f(x) สำหรับทุก x ทอ่ี ยู่ใน
โดเมนของ f แลว้ จะเรยี กฟังกช์ นั F ว่ำเป็น ปฏิยำนพุ ันธ์ (antiderivative)
หน่ึงของฟังกช์ ัน f

จำกตัวอยำ่ งขำ้ งต้น จะเหน็ ว่ำฟังกช์ ันใดๆ ที่อยใู่ นรูป F(x)= x3+3x2+ c เม่อื c เป็นค่ำคงตวั
ตำ่ งกเ็ ป็นปฏิยำนพุ ันธข์ องฟังก์ชนั f (x) = 3x2 +6x

ตัวอย่ำงท่ี 1 41

จงแสดงว่ำ F(x) = 6x3−5x+7 ปฏิยำนพุ ันธห์ น่ึงของฟังก์ชัน f (x) = 8x3 -5
4
วธิ ที ำ จำก F(x) = 6x3−5x+7
1
จะได้ F(x) = 8x3 -5
41
ดงั นนั้ F(x) = 6x3−5x+7 ปฏิยำนพุ นั ธห์ น่ึงของฟังกช์ ัน f (x) = 8x3 -5

2

ตวั อย่ำงที่ 2
กำหนดให้ f (x) = x3 จงหำปฏยิ ำนพุ นั ธ์ของ f
วธิ ที ำ ถำ้ ให้ F(x) =x4 จะได้ F'(x) = 4x3 ซ่งึ ไม่เท่ำกับฟังกช์ นั f
แตถ่ ้ำให้ F(x) =x44
ดังนน้ั ปฏิยำนพุ นั ธข์ อง f (x) = x3 จะได้ F'(x) = x3 ซ่ึงเทำ่ กับฟังกช์ นั f
คือ ฟังกช์ นั ท่อี ยูใ่ นรปู F(x) =x44 + c เม่ือ c เป็นค่ำคงตวั ใดๆ

จำกตัวอยำ่ งที่ 2 จะเหน็ วำ่ ปฏิยำนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั f มีได้หลำยฟังก์ชันและจะตำ่ งกนั ที่ค่ำ
คงตวั เทำ่ นนั้ เน่ืองจำกกำรหำปฏิยำนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ัน f คือกำรหำฟังก์ชัน F ซ่งึ F'(x) = f(x)
สำหรับทกุ x∈Df ดงั น้ัน รูปทวั่ ไปของปฏิยำนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั f คือฟังก์ชนั F(x) + c เม่อื c เป็น
ค่ำคงตัว

เรำจะเขยี นรปู ทว่ั ไปของปฏิยำนพุ นั ธ์ของฟังก์ชัน f ด้วยสญั ลกั ษณ์ ‫ ׬‬f(x)dx เรยี กว่ำ

ปรพิ ันธไ์ ม่จำกัดเขต (indefinite integral) ของฟังก์ชัน f เทยี บกับตัวแปร x หรือเรยี กสัน้ ๆว่ำ
ปริพนั ธ์ของฟังก์ชนั f เทยี บกับตวั แปร x
ดงั นน้ั ถำ้ F'(x) = f (x)
แลว้ ‫ ׬‬f (x)dx = F(x) + c เม่ือ c เป็นค่ำคงตัว

กลำ่ วคอื ปริพนั ธไ์ ม่จำกดั เขตของ f ก็คือ รูปทว่ั ไปของปฏิยำนพุ ันธข์ อง f น่นั เอง

เรียกกำรหำ ‫ ׬‬f (x)dx วำ่ กำรหำปรพิ นั ธ์ (integration) เรยี กเคร่อื งหมำย “‫ ’’ ׬‬วำ่ เคร่อื งหมำย
ปรพิ นั ธ์ (integral sign) และเรียก f (x) ว่ำ ปริพันธ์ (integrand) โดยสัญลกั ษณ์ dx คือ กำร
บอกวำ่ หำปริพันธ์นี้เทยี บกบั ตวั แปร x

เคร่อื งหมำยปริพันธ์

‫ ׬‬f (x)dx = F(x) + c

ปรพิ ันธ์ ปฏิยำนพุ นั ธ์

3

สตู รของปรพิ นั ธ์ไม่จำกัดเขต

สตู รที่ 1 ถ้ำ k เป็นค่ำคงตวั แล้ว ‫ ׬‬k(x)dx = kx+c เม่อื c เป็นค่ำคงตวั

สูตรที่ 2 ถำ้ a เป็นจำนวนจริงและ a ≠ 1 แลว้ ‫׬‬ xndx = xa+1 + c เม่อื c เป็นคำ่ คงตัว
a+1
สตู รที่ 3 ถ้ำ k เป็นค่ำคงตัว แล้ว ‫ ׬‬kf (x)dx = k‫ ׬‬f (x)dx

สตู รท่ี 4 ถ้ำ ‫( ׬‬f (x)+g(x))dx = ‫ ׬‬f (x)dx + ‫ ׬‬g(x)dx

สตู รท่ี 5 ถ้ำ ‫( ׬‬f (x)−g(x))dx = ‫ ׬‬f (x)dx - ‫ ׬‬g(x)dx

หมำยเหตุ โดยทวั่ ไปในกำรหำปริพนั ธ์ไมจ่ ำกดั เขตของผลบวกหรือผลตำ่ งของฟังก์ชัน แทนที่
จะบวกคำ่ งคงตัวเม่ือหำปรพิ นั ธ์ไม่จำกัดเขตของแต่ละฟังกช์ นั เพ่อื ควำมสะดวกจะ
บวกค่ำคงตัวเพยี งตัวเดียวเท่ำนั้น

กำรหำปริพันธไ์ ม่จำกดั เขต

สตู รตอ่ ไปน้ีเป็นสตู รสำหรับหำปริพันธไ์ มจ่ ำกัดเขตของฟังกช์ นั บำงฟังก์ชัน

สตู รที่ 1 ถ้ำ k เป็นคำ่ คงตัว แลว้ ‫ ׬‬k(x)dx = kx+c เม่ือ c เป็นคำ่ คงตวั

ตวั อย่ำงที่ 3

จงหำ ‫ ׬‬5dx

วิธที ำ ‫ ׬‬5dx = 5x + c เม่อื c เป็นคำ่ คงตัว

สูตรที่ 2 ถำ้ a เป็นจำนวนจริงและ a ≠ 1 แล้ว ‫׬‬ xndx = xa+1 + c เม่อื c เป็นคำ่ คงตัว
a+1

ตวั อยำ่ งท่ี 4
จงหำ ‫ ׬‬x5dx
xx5656++1+1c+
วธิ ีทำ ‫ ׬‬x5dx = c
=
เม่ือ c เป็นคำ่ คงตวั

4

ตัวอย่ำงท่ี 5

จงหำ ‫׬‬ 1 dx
x3

วธิ ที ำ เน่ืองจำก 1 = x−3
x3

จะได้ ‫׬‬ 1 dx = ‫׬‬ x−3dx
x3
x−3+1
= −3+1 + c

= x−2 + c
−2

= − 1 + c เม่ือ c เป็นค่ำคงตวั
2x2

สตู รท่ี 3 ถ้ำ k เป็นค่ำคงตวั แลว้ ‫ ׬‬kf (x)dx = k‫ ׬‬f (x)dx

ตวั อย่ำงที่ 6
จงหำ ‫ ׬‬3x2dx
วธิ ที ำ ‫ ׬‬3x2dx = 3‫ ׬‬x2dx
3x3(x+33c+
= c1) เม่อื c1 เป็นคำ่ คงตัว
= เม่อื c = 3c1

สูตรที่ 4 ถ้ำ ‫( ׬‬f (x)+g(x))dx = ‫ ׬‬f (x)dx + ‫ ׬‬g(x)dx

ตวั อยำ่ งท่ี 7
จงหำ ‫(׬‬x2+2x)dx
วธิ ีทำ ‫(׬‬x2+2x)dx = ‫ ׬‬x2dx + ‫ ׬‬2xdx
= ‫ ׬‬x2dx + 2‫ ׬‬xdx
x3 2(x22
= x33 + c1+ c + c2) เม่อื c1 และ c2 เป็นค่ำคงตวั
= 3 + x2+ เม่อื c c1+ 2c2
=

5

สตู รท่ี 5 ถ้ำ ‫( ׬‬f (x)−g(x))dx = ‫ ׬‬f (x)dx - ‫ ׬‬g(x)dx

ตวั อยำ่ งท่ี 8
(2x‫׬‬−(2x1x2−)dx1x2
จงหำ ‫׬‬
วิธีทำ
)dx = ‫ ׬‬2xdx - ‫׬‬ xx1−22ddxx
= 2‫ ׬‬xdx - ‫׬‬
x22(x+22x1) - (x−−11)
= +c +c c เป็นคำ่ คงตัว
= เม่อื

จำกสตู รท่ี 3 และ 4 จะได้

ถ้ำ k1, k1, … , k1 เป็นค่ำคงตัว แลว้
‫ ׬‬k1f 1 x +k2f 2 x +…+knf n x dx = k1 ‫ ׬‬f1 (x)dx + k2 ‫ ׬‬f2 (x)dx +…+ kn ‫ ׬‬fn (x)dx

ตัวอยำ่ งท่ี 9
จงหำ ‫( ׬‬3x6− 2x2+7x+1)dx
วิธที ำ ‫( ׬‬3x6− 2x2+7x+1)dx = ‫ ׬‬3x6dx - ‫ ׬‬2x2dx + ‫ ׬‬7xdx + ‫ ׬‬dx
= 3‫ ׬‬x6dx - 2‫ ׬‬x2dx + 7‫ ׬‬xdx + ‫ ׬‬dx
3x7 2x3 7x2
= 7 - 3 + 2 + x + c เม่อื c เป็นค่ำคงตัว

6

กำรหำปฏิยำนพุ นั ธ์

กำรหำปฏิยำนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ัน f เม่ือกำหนด dy = f (x) มำให้ สำมำรถทำไดด้ งั น้ี
dx

จำก dy = f (x)
dx

ดงั นนั้ ‫׬‬ dy dx = ‫׬‬ f (x)dx
dx

หรือ y = ‫ ׬‬f (x)dx

ตวั อยำ่ งท่ี 10

ถำ้ dy = 5x4+3x2−2 จงหำ y
dx

วิธีทำ จำก dy = 5x4+3x2−2
dx
จะได้ y = ‫( ׬‬5x4+3x2−2)dx

= 5‫ ׬‬x4dx + 3‫ ׬‬x2dx - 2‫ ׬‬dx

= 5x5 + 3x3 -2x + c
5 3
= x5+ x3-2x + c เม่ือ c เป็นคำ่ คงตัว

กำรประยุกต์ปริพนั ธ์

ตัวอย่ำงที่ 11
จงหำสมกำรเส้นโค้งทผี่ ่ำนจดุ (2,1) และมีควำมชันของเสน้ โค้งทจ่ี ดุ (x,y) ใดๆ เป็น x2

วิธที ำ เน่ืองจำกควำมชันของเส้นโคง้ ทีจ่ ดุ (x,y) ใดๆ คือ dy
dx

ดังนั้น dy = x2
dx

จะได้ y = ‫׬‬ x2dx = x3 + c เม่ือ c เป็นคำ่ คงตัว
3

ดังน้ัน สมกำรเสน้ โคง้ ท่ีตอ้ งกำรคอื y = x3 + c
3

เน่ืองจำกเสน้ โคง้ น้ีผำ่ นจุด (2,1)

ดงั นัน้ เม่ือแทน x และ y ในสมกำรเส้นโค้งด้วย 2 และ 1 ตำมลำดับ

จะได้ 1 = 23 + c นนั่ คือ c = − 5
3 3

ดงั นัน้ สมกำรของเส้นโคง้ ท่ตี ้องกำร คือ y = x3 − 5
3 3

7

จำกตัวอยำ่ งที่ 11 จะเห็นวำ่ เสน้ โค้ง y = x3 + c มีหลำยเส้นข้นึ อยู่กบั คำ่ คงตวั c ดงั รูปท่ี 1 แต่มี
3

เส้นโคง้ เพยี งเสน้ เดยี วเท่ำนั้นที่ผำ่ นจุด (2,1) ดังรปู ท่ี 2

รูปที่ 1 รปู ท่ี 2

จำกหัวขอ้ เร่ืองประยุกตข์ องอนพุ นั ธ์ ถำ้ ทรำบฟังก์ชนั แสดงตำแหน่งของวตั ถุ จะสำมำรถใช้
ควำมรเู้ ร่ืองอนพุ นั ธใ์ นกำรหำควำมเร็วและควำมเรง่ ของวตั ถุได้ ในทำงกลบั กนั ถ้ำทรำบฟังก์ชนั
แสดงควำมเรง่ ของวตั ถุ ก็จะสำมำรถใชค้ วำมรูเ้ ร่ืองปฏิยำนพุ นั ธใ์ นกำรหำควำมเร็วและตำแหน่ง
ของวัตถุไดเ้ ช่นกัน ดงั ตัวอยำ่ งต่อไปน้ี

8

ตวั อย่ำงท่ี 12

ณ เวลำ ใดๆ วัตถุหน่ึงเคล่ือนทใี่ นแนวรำบดว้ ยควำมเรง่ -3t เมตรต่อวินำที2 ถ้ำขณะท่เี ร่มิ ต้น

จบั เวลำ ตำแหน่งของวัตถุอยู่ท่ี 3 เมตร และวัตถุเคล่ือนทดี่ ้วยควำมเร็ว 1 เมตรตอ่ วินำที

จงหำ 1. ควำมเรว็ ของวัตถุขณะเวลำ t ใด ๆ

2. ตำแหน่งของวัตถุขณะเวลำ t ใด ๆ

3. ระยะหำ่ งของวตั ถุจำกตำแหน่งเร่ิมตน้ ขณะเวลำ 2 และ 4 วินำที

วธิ ที ำ 1. ให้ v(t) แทนควำมเร็วของวัตถขุ ณะเวลำ t ใดๆ

เน่ืองจำก v’(t) = a(t) = -3t

จะได้ v(t) = ‫( ׬‬−3t)dt = − 3t2 + c1 เม่ือ c1 เป็นคำ่ คงตวั
2

เน่ืองจำกขณะเร่มิ ตน้ จับเวลำ วตั ถเุ คล่ือนทีด่ ว้ ยควำมเร็ว 1 เมตรตอ่ วนิ ำที

ดังนน้ั เม่อื แทน t ดว้ ย 0 และแทน v(0) ด้วย 1 ใน v(t) = − 3t2 + c1
2

จะได้ 1 = 0 + c1 นนั่ คือ c1 = 1 3t2
2
ดงั นัน้ ควำมเร็วของวตั ถขุ ณะเวลำ t ใดๆ คือ − +1 เมตรต่อวินำที

2. ให้ s(t) แทนตำแหน่งของวตั ถขุ ณะเวลำ t ใดๆ
v‫(׬‬t()−=32t−232t+21)+d1t
เน่ืองจำก s’(t) = = − t3 + t + c2 เม่อื c2 เป็นคำ่ คงตัว
จะได้ s(t) = 2

เน่ืองจำกขณะเร่มิ ต้นจับเวลำ ตำแหน่งของวตั ถุอยูท่ ี่ 3 เมตร
t3
ดังนน้ั เม่อื แทน t ด้วย 0 และแทน s(0) ด้วย 3 ใน s(t) = − 2 +t+ c2

จะได้ 3 = 0 + 0 + c2 นั่นคอื c2 = 3 t3 + t + 3 เมตร
ดังนน้ั ตำแหน่งของวตั ถุขณะเวลำ t ใดๆ คอื − 2

3. จำกขอ้ 2 จะได้ระยะห่ำงของวัตถุจำกตำแหน่งเร่ิมตน้ ขณะเวลำ 2 วนิ ำที คอื
23 03
s(2) − s(0) = (− 2 + 2 + 3)−(− 2 + 0 + 3) = −2 = 2 เมตร

และระยะหำ่ งของวัตถุจำกตำแหน่งเร่มิ ต้น ขณะเวลำ 4 วินำที คอื
43 03
s(4) − s(0) = (− 2 + 4 + 3)−(− 2 + 0 + 3) = −28 = 28 เมตร

9

ตวั อย่ำงท่ี 13
เม่ือปลอ่ ยวตั ถตุ กจำกท่สี งู แบบเสรี วตั ถจุ ะเคล่ือนท่ีด้วยควำมเร่งโนม้ ถว่ งของโลก (g) ถำ้ กำหนด
g = -9.8 เมตรตอ่ วนิ ำที และขณะท่เี ร่มิ ตน้ จับเวลำ ตำแหน่งของวัตถุอยู่ที่ 10 เมตร และวัตถุ
มคี วำมเรว็ เป็นศนู ย์ จงหำ
1. ควำมเรว็ ของวัตถุขณะเวลำ t ใด ๆ
2. ตำแหน่งของวัตถุขณะเวลำ t ใด ๆ
วธิ ีทำ 1. ให้ v(t) แทนควำมเรว็ ของวตั ถุขณะเวลำ t ใด ๆ

เน่ืองจำก v’(t) = ‫( ׬‬−9.8)dt = -9.8t + c1 เม่ือ c1 เป็นค่ำคงตวั
เน่ืองจำกขณะเร่ิมตน้ จับเวลำ วตั ถุมีควำมเร็วเป็นศูนย์
ดงั นน้ั เม่ือแทน t ด้วย 0 และแทน v(0) ดว้ ย 0 ใน v(t) = -9.8t + c1
จะได้ c1 = 0
ดงั นั้น ควำมเร็วของวตั ถุขณะเวลำ t ใดๆ คือ -9.8t เมตรต่อวนิ ำที

2. ให้ s(t) แทนตำแหน่งของวตั ถุขณะเวลำ t ใดๆ
เน่ืองจำก s’(t) = v(t) = -9.8t
จะได้ s(t) = ‫( ׬‬−9.8t)dt = -4.9 t2+ c2 เม่อื c2 เป็นค่ำคงตวั
เน่ืองจำกขณะเร่มิ ตน้ จบั เวลำ ตำแหน่งของวัตถุอยูท่ ่ี 10 เมตร
ดงั น้ัน เม่ือแทน t ดว้ ย 0 และแทน s(0) ด้วย 10 ใน s(t) = -4.9 t2+ c2
จะได้ c2 = 10
ดังน้ัน ตำแหน่งของวตั ถุขณะเวลำ t ใดๆ คือ -4.9 t2+ 10 เมตร

10

แบบฝึกหดั ท่ี 1

คำชี้แจง : จงแสดงวิธกี ำรหำคำตอบให้ถูกต้อง

1. จงแสดงวำ่ F(x) = x2−1 เป็นปฏิยำนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั f(x) = x
x2−1

วิธที ำ
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

2. จงแสดงว่ำ F(x) =21x5x เป็นปฏิยำนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั f(x) = x3
5x

วธิ ีทำ

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

ช่อื ............................................. นำมสกลุ ............................................. ชัน้ ม.5/...... เลขท.่ี .....

11

แบบฝึกหัดที่ 2

คำชแี้ จง : จงหำค่ำปริพนั ธต์ อ่ ไปน้ี 2. ‫( ׬‬2x3− 3x2−2x+6)dx
1. ‫( ׬‬x4+ 3x2+5x)dx
วิธที ำ........................................................
วธิ ที ำ ........................................................ ................................................................
................................................................. ................................................................
................................................................. ................................................................
................................................................. ................................................................
................................................................. ................................................................
................................................................. ................................................................
.................................................................

3. ‫׬‬ (x10− 1 )dx 4. ‫׬‬ ( 1 + 2 )dx
x3 x2 x4
วิธีทำ ........................................................ วธิ ีทำ........................................................

................................................................. ................................................................

................................................................. ................................................................

................................................................. ................................................................

................................................................. ................................................................

................................................................. ................................................................

................................................................. ................................................................

5. ‫ ׬‬xdx 32
6. ‫( ׬‬x2−x3)dx
วธิ ที ำ ........................................................
................................................................. วธิ ีทำ........................................................
................................................................. ................................................................
................................................................. ................................................................
................................................................. ................................................................
................................................................. ................................................................
................................................................. ................................................................
................................................................

ช่ือ ............................................. นำมสกุล ............................................. ชัน้ ม.5/...... เลขท่.ี .....

12

แบบฝึกหดั ที่ 2 (ต่อ)

คำช้แี จง : จงหำคำ่ ปรพิ ันธ์ตอ่ ไปนี้

7. ‫׬‬ ( 1 − 1 )dx 8. ‫ ׬‬x2(x−3)dx
x2 2x
วธิ ที ำ........................................................
วิธที ำ ........................................................ ................................................................
................................................................
................................................................. ................................................................
................................................................
................................................................. ................................................................
................................................................
.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

9. ‫ ׬‬x(x+1)dx 10. ‫׬‬ ( x−2 )dx
x3
วธิ ที ำ ........................................................ วิธีทำ........................................................
.................................................................
................................................................. ................................................................
.................................................................
................................................................. ................................................................
.................................................................
................................................................. ................................................................

................................................................

................................................................

................................................................

11. ‫( ׬‬6 x+15)dx 12. ‫(׬‬ 6 +8 x)dx
x
วธิ ีทำ ........................................................
................................................................. วธิ ีทำ........................................................
.................................................................
................................................................. ................................................................
.................................................................
................................................................. ................................................................
.................................................................
................................................................

................................................................

................................................................

................................................................

ช่ือ ............................................. นำมสกลุ ............................................. ช้ัน ม.5/...... เลขท.ี่ .....

13

แบบฝึกหัดท่ี 3

คำชแ้ี จง : จงแกโ้ จทย์ปัญหำตอ่ ไปนี้ให้ถูกตอ้ ง 2

1. ถำ้ f ‘(x) = x และ f (2) = 2 แลว้ จงหำ f (x)

วธิ ที ำ

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

2. ถ้ำ f ‘(x) = 6 x+15 และ f (2) = 1 แลว้ จงหำ f (x)
วิธีทำ
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

ช่ือ ............................................. นำมสกลุ ............................................. ชั้น ม.5/...... เลขท่.ี .....

14

แบบฝึกหัดท่ี 4

คำชี้แจง : จงแกโ้ จทย์ปัญหำต่อไปน้ีใหถ้ กู ตอ้ ง
1. จงหำสมกำรของเสน้ โค้ง เม่ือกำหนดควำมชันของเสน้ โคง้ ทีจ่ ุด (x,y) ใดๆ และ จดุ ทเ่ี ส้นโค้ง
ผำ่ นดังนี้

1. ควำมชนั ของเส้นโค้งท่จี ดุ (x,y) ใดๆ คือ x2- 3x + 2 และผ่ำนจดุ (2,1)
2. ควำมชันของเสน้ โคง้ ท่ีจุด (x,y) ใดๆ คอื 2x3+4x และผำ่ นจดุ (0,5)
3. ควำมชนั ของเส้นโคง้ ทจ่ี ุด (x,y) ใดๆ คือ 6 +3x2-2x4 และผ่ำนจดุ (1,0)
วธิ ีทำ
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

ช่อื ............................................. นำมสกลุ ............................................. ช้ัน ม.5/...... เลขท.ี่ .....

15

ศ.ดร.ชกู จิ ลมิ ปิจำนงค์ และ คณะผูจ้ ัดทำ. หนังสือเรยี นรำยวชิ ำ
คณิตศำสตรเ์ พ่ิมเตมิ ชั้นมธั ยมศึกษำปีท่ี 6 เล่ม 1 (ออนไลน)์ ,2551
(ปรับปรงุ 2560)
แหลง่ ทีม่ ำ :
https://drive.google.com/file/d/1hxlHf15lajC2yvFJE0v6WZbu
71nr6DOr/view

15