เรื่อง อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

บทท่ี 3 เรอื่ ง อสมการเชิงเสนตัวแปรเดยี ว

แนะนําอสมการเชิงเสนตวั แปรเดยี ว

อสมการ คอื ประโยคท่ีแสดงถึงความสมั พันธข องจาํ นวน โดยมีสญั ลักษณ < ,
> , ≤ , ≥ หรอื ≠ แสดงความสมั พนั ธ

สญั ลกั ษณแทนความสัมพนั ธระหวา งจํานวนสองจํานวน ไดแ ก

< แทนความความสมั พนั ธ นอยกวา
> แทนความความสัมพันธ มากกวา
≥ แทนความความสมั พันธ มากกวาหรือเทากับ
≤ แทนความความสัมพนั ธ นอ ยกวา หรอื เทากบั
= แทนความความสัมพันธ เทา กบั
≠ แทนความความสมั พนั ธ ไมเทากบั



ตัวอยา ง ใหนักเรยี นพจิ ารณาวา ประโยคสัญลักษณทางคณิตศาสตรท กี่ ําหนดให เปนอสมการหรือไม โดยทาํ
เครื่องหมาย √ ลงในชอ งวา งใหถกู ตอง

ประโยคภาษาและประโยคสญั ลกั ษณ



ประโยคภาษา ประโยคสัญลกั ษณ

1. ศนู ยน อ ยกวา สาม
2. สองบวกหนงึ่ เทา กบั สาม
3. สองเทา ของจาํ นวนจาํ นวนหน่ึงบวกหามากกวาสบิ
4. สามเทา ของจาํ นวนจํานวนหนง่ึ มากกวาหรือเทากับเกา
5. เศษสส่ี วนหา ของผลบวกของจาํ นวนจํานวนหนงึ่ กับแปดไมเทากับสิบหา
6. สองเทา ของผลตา งของจํานวนจํานวนหนึง่ กบั สไ่ี มน อ ยกวา สาม

7. ผลบวกของจํานวนจํานวนหนง่ึ กบั สองเมอ่ื หารดว ยแปด มีคาไมมากกวา
สามสบิ เอด็
8. ผลตา งของจํานวนจาํ นวนหนง่ึ กบั เจ็ดเมอื่ หารดว ยสามมีคา ไมเทา กบั สอง

สรุป แนะนาํ อสมการเชิงเสนตวั แปรเดยี ว

อสมการ คอื ประโยคที่แสดงถึงความสมั พันธข องจาํ นวน โดยมีสญั ลักษณ < ,
> , ≤ , ≥ หรอื ≠ แสดงความสัมพันธ

ประโยคภาษาทางคณติ ศาสตร คือ ประโยคทเ่ี กย่ี วกบั จาํ นวนทเ่ี ขียนเปน ขอความ

ประโยคสญั ลักษณท างคณติ ศาสตร คอื ประโยคท่ใี ชสัญลกั ษณทางคณติ ศาสตร
เขยี นแทนขอ ความและคําที่แสดงความสัมพันธของจาํ นวน

คาํ ตอบของอสมการเชงิ เสนตัวแปรเดยี ว

คาํ ตอบของอสมการ คอื จาํ นวนทนี่ าํ ไปแทนคา ตวั แปรในอสมการ แลวทาํ ใหไดอ สมการทเ่ี ปน จรงิ

อสมการเชงิ เสน ตวั แปรเดียว อาจมีคาํ ตอบไดหลายลักษณะ ดังตัวอยางตอ ไปน้ี
ตัวอยา งที่ 1 จงหาคาํ ตอบของอสมการ ≥ −3
วิธที าํ เนอื่ งจาก เมื่อแทน X ดวยจํานวนจริงทุกจาํ นวนทีม่ ากกวาหรือเทา กบั -3

ในอสมการ ≥ −3 แลว ทาํ ใหไ ดอสมการทเี่ ปน จรงิ
ดงั นัน้ คาํ ตอบของอสมการ ≥ −3 คอื จาํ นวนจรงิ ทกุ จํานวนทม่ี ากกวา หรอื เทากับ -3

ตัวอยา งที่ 2 จงหาคําตอบของอสมการ ≠ 23
วิธีทาํ เนอื่ งจาก เมอ่ื แทน ดวยจํานวนจริงใดๆ ทไี่ มเ ทากบั 23 ในอสมการ ≠ 23

แลว ทาํ ใหไ ดอ สมการที่เปนจรงิ
ดังนัน้ คําตอบของอสมการ ≠ 23 คอื จํานวนจรงิ ทกุ จํานวนยกเวน 23

ตัวอยา งที่ 3 จงหาคาํ ตอบของอสมการ x + 2 < x + 3
วธิ ที ํา เน่อื งจาก เมอ่ื แทน x ดวยจํานวนจรงิ ใดๆ ในอสมการ x + 2 < x + 3

แลว ทําใหไ ดอสมการที่เปนจรงิ
ดงั นน้ั คาํ ตอบของอสมการ x + 2 < x + 3 คอื จาํ นวนจรงิ ทกุ จาํ นวน

ตวั อยางที่ 4 จงหาคําตอบของอสมการ b + 4 < b
วิธที ํา เน่ืองจาก ไมม ีจาํ นวนจรงิ ใดแทน b ในอสมการ b + 4 < b

แลวทาํ ใหไ ดอสมการทเี่ ปนจรงิ
ดังนัน้ ไมมีจํานวนจรงิ ใดเปน คําตอบของอสมการ b + 4 < b

จากตัวอยา งขางตนแสดงใหเหน็ ถงึ อสมการ 3 แบบ ตามลักษณะคําตอบดงั น้ี
1. อสมการที่มีจาํ นวนจรงิ บางจาํ นวนเปน คาํ ตอบ
2. อสมการทม่ี ีจาํ นวนจริงทุกจาํ นวนเปน คําตอบ
3. อสมการท่ีไมม ีจํานวนจรงิ ใดเปนคําตอบ

กราฟแสดงคําตอบของอสมการ

คาํ ตอบของ อสมการ สามารถแสดงคาํ ตอบโดยใชเสน จํานวนได โดยเฉพาะคาํ ตอบของอสมการ
ท่ีมีคามากกวา หรอื นอยกวา จาํ นวนใดจาํ นวนหนงึ่ หรือมคี าเปนชว ง การแสดงคําตอบโดยใชเ สนจํานวน
จะทําใหเหน็ ภาพชัดเจนยงิ่ ขึ้น

จดุ ทึบ (•) แสดงวา ตัวเลข ณ จดุ นัน้ เปนคาํ ตอบของสมการหรอื อสมการดวย

จุดโปรง () แสดงวา ตัวเลข ณ จดุ นน้ั ไมเปนคําตอบของสมการหรอื อสมการ

แสดง จาํ นวนทมี่ ีคามากกวา จํานวนทีเ่ ปน จุดเรมิ่ ตนของลูกศร

แสดง จาํ นวนทมี่ คี านอยกวา จํานวนทเี่ ปน จุดเริ่มตน ของลกู ศร

ตวั อยางที่ 1 จงเขยี นกราฟแสดงคาํ ตอบของอสมการ x ≥ 2
วธิ ที าํ คําตอบของอสมการ x ≥ 2 คือ จํานวนจรงิ ทกุ จํานวนท่มี ากกวา หรอื เทากับ 2

กราฟแสดงคําตอบของอสมการ x ≥ 2 เปนดงั น้ี

-2 -1 0 1 2 3

ตัวอยางท่ี 2 จงเขยี นกราฟแสดงคําตอบของอสมการ x < −7
วธิ ที ํา คาํ ตอบของอสมการ x < −7 คอื จาํ นวนจรงิ ทกุ จาํ นวนทน่ี อ ยกวา -7

กราฟแสดงคําตอบของอสมการ x < −7 เปนดงั นี้

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

ตวั อยา งที่ 3 จงเขยี นกราฟแสดงคําตอบของอสมการตอไปน้ี
1. x ≠ 5

2 34 5 6 7 8

2. x ≤ −1

-3 -2 -1 0 1 2 3

3. −2 < x ≤ 5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

4. −3 ≤ x ≤ 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4

ตวั อยางท่ี 4 จงหาวากราฟแสดงคาํ ตอบในแตล ะขอ ตอไปนแี้ สดงจํานวนใดบาง
1.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

ตอบ จํานวนจริงทกุ จํานวนท.่ี ......................................................................................

2.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

ตอบ จํานวนจริงทกุ จาํ นวนที่.......................................................................................

3.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

ตอบ จํานวนจรงิ ทกุ จาํ นวนท่.ี ......................................................................................

4.
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

ตอบ จาํ นวนจริงทุกจํานวนที.่ ......................................................................................

สรุป คําตอบของอสมการเชงิ เสนตัวแปรเดยี ว

คําตอบของอสมการ คือ จํานวนทน่ี าํ ไปแทนคา ตวั แปรในอสมการ แลวทําใหไ ดอ สมการท่เี ปน จรงิ

กราฟแสดงคาํ ตอบของอสมการ

จุดทบึ (•) แสดงวา ตวั เลข ณ จดุ น้ันเปนคาํ ตอบของสมการหรอื อสมการดว ย

จดุ โปรง () แสดงวา ตัวเลข ณ จุดนั้นไมเ ปนคําตอบของสมการหรอื อสมการ

แสดง จาํ นวนทม่ี คี า มากกวาจาํ นวนท่ีเปน จุดเรม่ิ ตนของลกู ศร
แสดง จํานวนทม่ี ีคา นอ ยกวาจาํ นวนทีเ่ ปน จุดเร่มิ ตน ของลูกศร

การแกอ สมการเชงิ เสน ตวั แปรเดียว

การแกอสมการ คอื การหาคาํ ตอบทงั้ หมดของอสมการ

การแกอสมการเราใชสมบตั กิ ารบวกของการไมเ ทากันและสมบตั กิ ารคูณของการไมเทา กัน ดงั น้ี

สมบตั กิ ารบวกของการไมเ ทากนั 3. ถา > แลว + > +
ให , และ แทนจาํ นวนจริงใดๆ เชน

1. ถา < แลว + < +
เชน

2. ถา ≤ แลว + ≤ + 4. ถา ≥ แลว + ≥ +
เชน เชน

สมบตั ิการคณู ของการไมเทา กัน
ให , และ แทนจํานวนจรงิ ใดๆ

1. ถา < และ เปน จาํ นวนจริงบวก แลว <
เชน

2. ถา ≤ และ เปนจํานวนจรงิ บวก แลว ≤
เชน

3. ถา < และ เปน จํานวนจรงิ ลบ แลว >
เชน

4. ถา ≤ และ เปน จํานวนจรงิ ลบ แลว ≥
เชน

5.ถา > และ เปนจํานวนจริงบวก แลว >
6. ถา ≥ และ เปนจาํ นวนจริงบวก แลว ≥
7. ถา > และ เปนจํานวนจริงลบ แลว <
8. ถา ≥ และ เปนจาํ นวนจริงลบ แลว ≤

ตัวอยา งที่ 1 จงแกอ สมการ 4x + 4 > 20 และเขยี นกราฟแสดงคาํ ตอบ

วิธที ํา จาก 4x + 4 > 20

นํา………………………………………………………………………………………………..

จะได ………………………………………………………

ดงั นนั้ ………………………………………………………

นั่นคือ คาํ ตอบของอสมการ 4x + 4 > 20 คือ...............................................................
และเขยี นกราฟแสดงคําตอบไดดังนี้

ตวั อยา งที่ 2 จงแกอ สมการ 3x − 6 > −18 และเขยี นกราฟแสดงคาํ ตอบ

วิธีทํา จาก 3x − 6 > −18

น่นั คือ คาํ ตอบของอสมการ 3x − 6 > −18 คือ...............................................................
และเขียนกราฟแสดงคําตอบไดดงั นี้

ตัวอยางที่ 3 จงแกอสมการ 5x − 2 ≥ 2x และเขยี นกราฟแสดงคําตอบ

วิธีทํา จาก 5x − 2 ≥ 2x

นั่นคอื คาํ ตอบของอสมการ 5x − 2 ≥ 2x คือ...............................................................
และเขียนกราฟแสดงคําตอบไดดังนี้

ตัวอยางที่ 4 จงแกอสมการ 7x − 6 ≤ 8x −10 และเขยี นกราฟแสดงคําตอบ

วิธที าํ จาก 7x − 6 ≤ 8x −10

นั่นคอื คาํ ตอบของอสมการ 7x − 6 ≤ 8x −10 คอื ...............................................................
และเขียนกราฟแสดงคําตอบไดดงั นี้

ตวั อยางที่ 5 จงแกอสมการ −2x > 7 และเขียนกราฟแสดงคําตอบ

วธิ ที าํ จาก −2x > 7

น่ันคอื คาํ ตอบของอสมการ −2x > 7 คือ...............................................................
และเขยี นกราฟแสดงคําตอบไดด ังนี้

ตัวอยา งท่ี 6 จงแกอสมการ 5( x + 4) ≤ 6(2x − 6)

วิธีทาํ จาก 5(x + 4) ≤ 6(2x −6)

นั่นคือ คาํ ตอบของอสมการ 5( x + 4) ≤ 6(2x − 6) คอื .......................................................................

ตัวอยา งท่ี 7 จงแกอสมการ 5( x − 2) − 3 > 4(2x −1)

วธิ ที าํ จาก 5( x − 2) − 3 > 4(2x −1)

น่ันคือ คําตอบของอสมการ 5( x − 2) − 3 > 4(2x −1) คอื ..................................................................

สรุป การแกอ สมการเชิงเสน ตัวแปรเดยี ว

การแกอ สมการ คือ การหาคําตอบทง้ั หมดของอสมการ

การแกอ สมการเราใชสมบัตกิ ารบวกของการไมเ ทากันและสมบัติการคูณของการไมเทา กัน ดังน้ี

สมบัติการบวกของการเทา กัน สมบตั กิ ารคณู ของการเทา กัน

ให , และ แทนจาํ นวนจรงิ ใดๆ ให , และ แทนจาํ นวนจรงิ ใดๆ
1. ถา < แลว + < + 1. ถา < และ เปน จํานวนจรงิ บวก แลว <
2. ถา ≤ แลว + ≤ + 2. ถา ≤ และ เปน จํานวนจรงิ บวก แลว ≤
3. ถา > แลว + > + 3. ถา < และ เปนจาํ นวนจรงิ ลบ แลว >
4. ถา ≥ แลว + ≥ + 4. ถา ≤ และ เปน จาํ นวนจรงิ ลบ แลว ≥
5. ถา > และ เปนจาํ นวนจริงบวก แลว >
6. ถา ≥ และ เปนจํานวนจริงบวก แลว ≥
7. ถา > และ เปนจํานวนจริงลบ แลว <
8. ถา ≥ และ เปน จํานวนจรงิ ลบ แลว ≤

ตวั อยางที่ 1 จงแกอสมการ 2x −1 > 3x
3 6 2

วิธที ํา 2x − 1 > 3x
36 2

นัน่ คือ คําตอบของอสมการ 2x − 1 > 3x คือ....................................................................................
36 2

ตวั อยางท่ี 2 จงแกอสมการ 3x − 2 + 9x +1 ≥1
37

วธิ ที ํา 3x − 2 + 9x +1 ≥1
37

นัน่ คอื คําตอบของอสมการ 3x − 2 + 9x +1 ≥1 คอื ...........................................................
3 7

ตวั อยางที่ 3 จงหาจํานวนเต็มทม่ี ากทส่ี ุดทเ่ี ปนคาํ ตอบของอสมการ 2x − x < 1 (2 − 5x)
3
3

วิธีทาํ 2x − x < 1 (2 −5x)

33

ดงั นั้น คําตอบของอสมการ 2x − x < 1 (2 −5x) คือ...............................................................

33

นน่ั คือ จํานวนเต็มทมี่ ากท่สี ดุ ที่เปน คาํ ตอบของอสมการทก่ี ําหนดใหคอื ........................................

ตัวอยางท่ี 4 จงหาจํานวนเต็มทน่ี อ ยทส่ี ดุ ทเี่ ปนคําตอบของอสมการ 2x +13 > 2 − 4 − x
34

วิธีทาํ 2x +13 > 2 − 4 − x
34

ดงั น้นั คาํ ตอบของอสมการ 2x +13 > 2− 4− x คอื ...............................................................
3 4

นั่นคอื จํานวนเต็มทีน่ อยทสี่ ุดทเี่ ปน คาํ ตอบของอสมการที่กําหนดใหค ือ........................................

สาํ หรบั การแกอ สมการท่ีมเี ครอ่ื งหมาย ≠ เราจะใชสมบตั ิการบวกของการไมเทา กนั และสมบตั ิ
การคณู ของการไมเ ทากนั แตจ ะใชก ารแกส มการเพื่อหาคาํ ตอบ ซงึ่ เม่ือไดค าํ ตอบของสมการแลว จะ
ทําใหไ ดค าํ ตอบของอสมการที่มีเคร่อื งหมาย ≠ เปน จาํ นวนจริงทกุ จาํ นวนยกเวน จาํ นวนทเ่ี ปน
คาํ ตอบของสมการนน้ั

ตวั อยา งท่ี 5 จงแกอ สมการ x +15 ≠ 36 และเขียนกราฟแสดงคาํ ตอบ
วิธที าํ x +15 ≠ 36

ดงั นนั้ คําตอบของสมการ x +15 =36 คอื ....................................................................
นัน่ คือ คาํ ตอบของอสมการ x +15 ≠ 36 คือ...............................................................

และเขยี นกราฟแสดงคาํ ตอบไดดังนี้

ตัวอยางที่ 6 จงแกอสมการ 6(2x + 3) ≠ 4 − ( x −1)
วธิ ที าํ 6(2x + 3) ≠ 4 − ( x −1)

ดงั นั้น คําตอบของสมการ 6(2x + 3) =4 − ( x −1) คือ....................................................................
นนั่ คือ คาํ ตอบของอสมการ 6(2x + 3) ≠ 4 − ( x −1) คอื ....................................................................

ตวั อยางที่ 7 จงแกอสมการ 3x +1 ≠ 7x − 2
25

วิธีทํา 3x +1 ≠ 7x − 2
25

ดงั นน้ั คําตอบของสมการ 3x + 1 = 7 x− 2 คือ....................................................................
2 5

น่นั คอื คาํ ตอบของอสมการ 3x +1 ≠ 7x −2 คอื ..................................................................
2 5

สรปุ การแกอ สมการเชิงเสน ตัวแปรเดยี ว

การแกอสมการ คือ การหาคําตอบทงั้ หมดของอสมการ
การแกอ สมการเราใชสมบัตกิ ารบวกของการไมเทา กนั และสมบตั ิการคณู ของการไมเทา กนั

สาํ หรบั การแกอสมการทมี่ ีเครอ่ื งหมาย ≠ เราจะใชสมบตั กิ ารบวกของการไมเ ทา กันและสมบัติ
การคณู ของการไมเทากัน แตจ ะใชการแกสมการเพอื่ หาคาํ ตอบ ซงึ่ เม่ือไดค าํ ตอบของสมการแลวจะ
ทําใหไดค าํ ตอบของอสมการท่มี เี ครอ่ื งหมาย ≠ เปนจาํ นวนจริงทุกจาํ นวนยกเวนจาํ นวนท่ีเปน
คําตอบของสมการนั้น

ตัวอยา งที่ 1 เมอ่ื นาํ 50 ไปลบออกจากผลบวกของจาํ นวนเต็มบวกจาํ นวนหนึ่งกบั 18 ทาํ ใหผ ลลพั ธมคี า นอ ย
กวา 6 จงหาวาจาํ นวนเตม็ บวกเปน จาํ นวนใดไดบา ง
วธิ ีทํา ใหจ าํ นวนเต็มบวกท่ตี อ งการ คือ................................

ตวั อยา งที่ 2 จาํ นวนบวกสองจํานวนไมเทากันใหผลบวกเทากบั 32 และผลตางของสองจํานวนนี้มคี าไมเกนิ
11 จงหาจํานวนบวกทีม่ ีคา มาก
วิธีทาํ ใหจํานวนบวกที่มีคามาก คอื ................................

จํานวนบวกทมี่ ีคา นอ ย คือ................................

ตัวอยา งท่ี 3 ครูมาลีซื้อปากกามาจํานวนหนงึ่ เพอื่ แจกใหน ักเรยี นในหอง หลงั จากแจกไปแลว 10 ดาม ปรากฎ
วา เหลอื ปากกาไมถึง 24 ดาม คุณครมู าลีซอ้ื ปากกามากทสี่ ดุ กีด่ า น
วธิ ีทํา ใหคุณครมู าลซี อื้ ปากกามา ................................

ตวั อยา งท่ี 4 มานติ สอบคณิตศาสตรท ง้ั หมด 4 ครงั้ แตล ะครั้งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน มานติ สอบ 3 ครั้ง
แรกไดคะแนน 85 , 91 และ 76 คะแนน เขาจะตอ งไดค ะแนนอยางตา่ํ ก่คี ะแนนในการสอบครง้ั ท่ี 4 เขาจึงจะ
ไดค ะแนนเฉลี่ยจากการทดสอบทั้งสค่ี ร้งั มากกวา 85 คะแนน ถาคะแนนทไี่ ดเปนจํานวนเตม็ เทา นั้น
วิธที าํ ใหม านติ สอบครง้ั ทส่ี ่ไี ดค ะแนน ……………………………………………..

มานติ สอบ 4 คร้ังไดค ะแนน……………………………………………..
เขาตอ งการคะแนนเฉลีย่ จากการทดสอบทง้ั สค่ี รัง้ มากกวา 85 คะแนน

ตัวอยา งที่ 5 จาํ นวนเตม็ บวกสองจาํ นวนตางกันอยู 8 ถา นํา 3 เทา ของจาํ นวนนอยบวกกบั จํานวนมาก จะ
ไดผลบวกมากกวา 48 แตไมเกนิ 68 จงหาวาจาํ นวนเตม็ บวกที่เปนจาํ นวนนอ ยคอื จํานวนใดบาง
วิธที ํา ใหจาํ นวนเต็มบวกที่มคี า นอย คือ................................

จาํ นวนเตม็ บวกทีม่ ีคามาก คือ................................

สรุป โจทยป ญ หาเกยี่ วกบั อสมการเชงิ เสน ตวั แปรเดยี ว

ในการแกโ จทยปญหาเก่ยี วกบั อสมการเชงิ เสน ตัวแปรเดยี ว มีข้ันตอนดังน้ี

ขนั้ ที่ 1 วิเคราะหโ จทยเพอ่ื หาวา โจทยก ําหนดอะไรมาใหแ ละใหห าอะไร
ข้ันที่ 2 กําหนดตัวแปรแทนสิ่งทีโ่ จทยใหห าหรือแทนสง่ิ ที่เกยี่ วของกบั สงิ่ ทโ่ี จทยใหห า
ข้นั ท่ี 3 เขียนอสมการตามเงอ่ื นไขในโจทย
ขน้ั ที่ 4 แกอสมการเพ่ือหาคําตอบท่ีโจทยตอ งการ
ขน้ั ที่ 5 ตรวจสอบคาํ ตอบทไ่ี ดก ับเงือ่ นไขในโจทย