ทฤษฎีวงกลม

MAKING IT HAPPEN!

สรุ ปทฤษฎีบท
วงกลม

พร้ อมการพิ สู จน์ แต่ ละทฤษฎี

1

สรุปทฤษฎีบทวงกลม

สำหรับในวงกลมวงเดียวกนั หรือวงกลมที่เทา่ กันทกุ ประการ จะมที ฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ี

ทฤษฎบี ท 1 มมุ ทจ่ี ุดศนู ยก์ ลาง จะมขี นาดเป็นสองเท่าของขนาดของมมุ ในส่วนโค้งของวงกลม

จทีร่ องรับดว้ ยสว่ นโค้งเดียวกัน

ทฤษฎีบท 2 มุมในคร่งึ วงกลมมขี นาด 90° หรอื หนึง่ มมุ ฉาก
ทฤษฎีบท 3 มมุ ในสว่ นโค้งของวงกลมทร่ี องรับดว้ ยส่วนโค้งเดยี วกนั จะมีขนาดเท่ากนั
ทฤษฎบี ท 4 รูปส่ีเหลีย่ มใดๆท่แี นบอย่ใู นวงกลม มีผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามเทา่ กับ 180°
ทฤษฎีบท 5 1) ส่วนของเสน้ ตรงทล่ี ากผ่านจดุ ศนู ย์กลางไปต้ังฉากกบั คอร์ด จะแบง่ คร่งึ คอร์ด

จ2) สว่ นของเส้นตรงทล่ี ากผ่านจุดศูนย์กลางไปแบ่งคร่งึ คอร์ด จะตั้งฉากกับคอร์ด

ทฤษฎบี ท 6 1) ถา้ คอร์ดสองเส้นยาวเท่ากัน แลว้ คอร์ดทั้งสองจะอยหู่ ่างจากจดุ ศนู ย์กลางเท่ากัน

จ2) ถา้ คอร์ดสองเส้นอย่หู ่างจากจดุ ศนู ย์กลางเท่ากัน แล้วคอร์ดท้ังสองจะยาวเทา่ กนั

ทฤษฎีบท 7 เสน้ สัมผสั วงกลม จะต้ังฉากกับรัศมขี องวงกลมทจี่ ุดสัมผสั
ทฤษฎบี ท 8 สว่ นของเสน้ ตรงทล่ี ากมาจากจดุ ๆหนง่ึ ภายนอกวงกลมมาสมั ผัสวงกลมเดียวกนั

จจะยาวเท่ากนั และมีไดส้ องเสน้

ทฤษฎบี ท 9 มมุ ที่เกดิ จากคอร์ดและเส้นสมั ผัสวงกลมทีจ่ ดุ สมั ผัสจะมขี นาดเทา่ กบั ขนาดของ

จมมุ ในสว่ นโค้งทอ่ี ยูต่ รงขา้ มกับคอร์ดนนั้

ทฤษฎบี ทจ10 ถ้ารูปสี่เหล่ียมมีวงกลมแนบในได้ แลว้ ผลบวกของด้านตรงขา้ มจะมีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎบี ทท้ัง 10 น้ี สามารถ
พิสูจนไ์ ดอ้ ย่างไร ?

หน้าต่อไป →

2

Proof of Circle Theorems

ทฤษฎบี ท 1 มุมที่จุดศูนยก์ ลาง จะมขี นาดเป็นสองเทา่ ของขนาดของมุมในสว่ นโค้งของวงกลม

จท่ีรองรับด้วยส่วนโค้งเดยี วกนั

ต้องการพสิ ูจน์ว่า : 2( ACˆB) = AOˆB
ลาก CE ให้ผ่านจุด O จะได้ CE เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง กำหนดให้มุม
แตล่ ะมมุ มีช่อื ดังภาพ ทฤษฎบี ทท่ตี ้องใชใ้ นการพิสจู นค์ ือ
ทฤษฎบี ท : ถ้าตอ่ ด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอก
ที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุม
ประชดิ ของมุมภายนอกนน้ั (เคยพิสจู นไ์ ว้แลว้ ตอน ม.2)
จาก ทบ. จะได้ว่า a + e = c --- (1) และ b + f = d --- (2)
เน่ืองจาก OA = OC และ OB = OC (รัศมีของวงกลมยาวเทา่ กัน)
จะไดว้ า่ OAC และ OBC เปน็  หนา้ จวั่ ทำให้ a = e และ b = f
(1) + (2) ; a + e + b + f = c + d
a + a + b + b = c + d (แทน a = e และ b = f )
2a + 2b = c + d (
0 2(a + b) = c + d (
จากรูป จะเหน็ ว่า a + b = ACˆB และ c + d = AOˆB จึงสรปุ ได้วา่ 2(ACˆB) = AOˆB

ทฤษฎบี ท 2 มมุ ในคร่งึ วงกลมมขี นาด 90° หรอื หนง่ึ มมุ ฉาก

ต้องการพสิ จู น์วา่ : ACˆB = 90
วธิ ที ่ี 1 ลาก OC แล้วกำหนดใหม้ มุ แต่ละมุม มชี อ่ื ดงั ภาพ
เน่ืองจาก OA = OC และ OB = OC (รศั มขี องวงกลมยาวเทา่ กัน)
จะได้ว่า OAC และ OBC เปน็  หน้าจวั่ ทำให้ a = c และ b = d
จาก จ a + c + b + d = 180 (มมุ ภายในของรปู สามเหลีย่ มมขี นาด 180 )

จ a + a + b + b = 180 (แทน a = c และ b = d )
2a + 2b = 180 (

0

0 2(a + b) = จ180 (
2(ACˆB) = 180 (จากรูป a + b = ACˆB )
จงึ สรปุ ได้วา่ ACˆB = 90

วธิ ที ี่ 2 จาก ทฤษฎีบท 1 จะไดว้ า่ 2(ACˆB) = AOˆB (ในทีน่ ้คี ือ AOˆB มุมดา้ นลา่ ง)
เนือ่ งจาก AOˆB = 180 (เป็นมมุ ตรง) จะได้ 2(ACˆB) = 180 จึงสรุปได้วา่ ACˆB = 90

3

ทฤษฎบี ท 3 มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมที่รองรับดว้ ยส่วนโคง้ เดียวกันจะมขี นาดเทา่ กัน

ต้องการพสิ จู น์ว่า : ACˆB = ADˆ B

จาก ทฤษฎบี ท 1 จะได้ว่า 2(ACˆB) = AOˆB --- (1) และ

2(ADˆ B) = AOˆB --- (2)

จะเห็นวา่ ทง้ั ACˆB และ ADˆB เปน็ คร่ึงหน่งึ ของ AOˆB เหมือนกนั ดงั น้ัน

เราสามารถคาดการณ์ได้ว่า ACˆB = ADˆB และสามารถใช้วิธีทาง

คณติ ศาสตร์พิสจู น์ได้ โดยนำ (1) − (2) ;

จะได้ 2(ACˆB) − 2(ADˆ B) = AOˆB − AOˆB

2(ACˆB − ADˆ B) จ = 0 (

ACˆB − ADˆ B = 0 ((

จงึ สรุปไดว้ ่า จ ACˆB = ADˆ B

ทฤษฎบี ท 4 รูปส่ีเหลี่ยมใดๆทแี่ นบอยู่ในวงกลม มีผลบวกของขนาดของมุมตรงขา้ มเท่ากับ 180°

ต้องการพิสจู นว์ า่ : ACˆB + ADˆ B = 180
ลาก OA และ OB แล้วกำหนดใหม้ ุมแต่ละมมุ มีช่อื ดงั ภาพ
จาก ทฤษฎีบท 1 จะไดว้ า่ 2a = c และ 2b = d
ทำให้ 2a + 2b = c + d

2(a + b) = 360 (จากรูป c + d = 360 )
จะได้ a + b = 180
เน่อื งจาก a = ACˆB และ b = ADˆB
จงึ สรปุ ไดว้ ่า ACˆB + ADˆB =180

ทฤษฎีบท 5 1) ส่วนของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศนู ย์กลางไปต้งั ฉากกับคอร์ด จะแบง่ คร่งึ คอร์ด

ตอ้ งการพสิ ูจน์ว่า : AC = BC

ลาก OA และ OB จะพบความสัมพนั ธต์ อ่ ไปนี้

ACˆO = BCˆO (กำหนดใหเ้ ป็นมุมฉาก) (ฉ)

0 OC = OC (เป็นด้านร่วม) (ด)

OA = OB (เป็นรศั มีของวงกลม) (ด)

จะได้ว่า ACO  BCO แบบ ฉาก - ดา้ น – ดา้ น

เน่ืองจาก AC และ BC เปน็ ดา้ นคู่ทส่ี มนัยกนั จึงสรปุ ไดว้ า่ AC = BC

4

ทฤษฎบี ท 5 2) ส่วนของเส้นตรงทีล่ ากผา่ นจุดศนู ยก์ ลางไปแบ่งคร่งึ คอร์ด จะต้ังฉากกบั คอร์ด

ต้องการพิสูจนว์ า่ : ACˆO = BCˆO = 90

ลาก OA และ OB จะพบความสมั พนั ธ์ต่อไปน้ี

AC = BC (กำหนดให้) (ด)

OC = OC (เป็นด้านร่วม) (ด)

จOA = OB (เปน็ รศั มีของวงกลม) (ด)

จะไดว้ ่า ACO  BCO แบบ ดา้ น - ดา้ น – ดา้ น

เนอ่ื งจาก ACˆO และ BCˆO เปน็ มุมคทู่ ่ีสมัยกัน ทำให้ ACˆO = BCˆO

จากรปู ACˆO + BCˆO =180 (เปน็ มุมตรง)

จะได้ ACˆO + ACˆO =180 และ BCˆO + BCˆO = 180 (แทน ACˆO = BCˆO )

2(ACˆO) = 180 2(BCˆO) = 180
ACˆO = 90 BCˆO = 90

จึงสรุปไดว้ ่า ACˆO = BCˆO = 90

ทฤษฎบี ท 6 1) ถ้าคอร์ดสองเสน้ ยาวเทา่ กัน แลว้ คอร์ดทัง้ สองจะอย่หู า่ งจากจุดศนู ย์กลางเท่ากนั

ตอ้ งการพิสจู น์วา่ : OM = ON
บทนิยาม : ระยะหา่ งระหว่างจุดศนู ย์กลางกับคอร์ด คือ ความยาวของส่วน
ของเส้นตรงท่ลี ากจากจดุ ศนู ย์กลางไปตง้ั ฉากกบั คอรด์
ลาก OD และ OB จะพบความสมั พันธต์ อ่ ไปน้ี
ONˆD = OMˆB = 90 (ฉ) (ON และ OM คือระยะห่างระหว่างจุด
ศนู ย์กลางกบั คอร์ด จากบทนยิ ามจะไดว้ า่ มนั ตง้ั ฉากกบั คอรด์ )
จาก ทฤษฎีบท 5.1) จะได้ NC = ND และ MA = MB
เน่ืองจาก CD = AB (กำหนดให้คอร์ดสองเส้นยาวเท่ากนั )
จะได้ NC + ND = MA + MB ( CD = NC + ND และ AB = MA + MB )
ND + ND = MB + MB (แทน NC = ND และ MA = MB )
2(ND) = 2(MB) (
0 ND = MB ((ด)
และจาก OB = OD (ด) (รัศมีของวงกลมมีความยาวเท่ากัน)
จะได้ว่า OND  OMB แบบ ฉาก - ดา้ น – ดา้ น
เนอ่ื งจาก ON และ OM เปน็ ดา้ นคทู่ ่ีสมนยั กัน จึงสรุปได้ว่า OM = ON

5

ทฤษฎีบท 6 2) ถ้าคอร์ดสองเส้นอยูห่ ่างจากจดุ ศูนย์กลางเทา่ กนั แล้วคอร์ดทงั้ สองจะยาวเทา่ กนั

ต้องการพสิ จู น์ว่า : AB = CD
บทนิยาม : ระยะหา่ งระหว่างจดุ ศนู ย์กลางกบั คอร์ด คือ ความยาวของส่วน
ของเสน้ ตรงทล่ี ากจากจดุ ศนู ย์กลางไปต้งั ฉากกบั คอรด์
ลาก OA , OD , OC และ OB
พิจารณา OMA และ ONC พบวา่
OMˆA = ONˆC = 90 (ฉ) (ON และ OM คือระยะห่างระหว่างจุด
ศนู ย์กลางกับคอร์ด จากบทนยิ ามจะไดว้ า่ มันต้งั ฉากกับคอร์ด)

OM = ON (ด) (กำหนดให้)
OA = OC (ด) (รศั มีของวงกลมยาวเท่ากนั )
จะไดว้ า่ OMA  ONC แบบ ฉาก - ดา้ น – ดา้ น ทำให้ MA = NC ---(1) (ด้านคทู่ ีส่ มนัยกัน)
พจิ ารณา OMB และ OND พบว่า OMˆB = ONˆD = 90 (ฉ) (เหตุผลเหมือนครง้ั กอ่ น)
OM = ON (ด) (กำหนดให้) และ OB = OD (ด) (รัศมีของวงกลมยาวเทา่ กนั )
จะไดว้ ่า OMB  OND แบบ ฉาก - ดา้ น – ดา้ น ทำให้ MB = ND --- (2) (ด้านคู่ที่สมนยั กนั )
(1) + (2) ; MA + MB = NC + ND จากรปู จะเห็นวา่ MA + MB = AB และ NC + ND = CD
จงึ สรปุ ได้วา่ AB = CD

ทฤษฎบี ท 7 เส้นสัมผสั วงกลม จะตงั้ ฉากกับรัศมขี องวงกลมทจี่ ุดสมั ผัส

ต้องการพิสูจน์วา่ : OPˆQ = 90

เนื่องจาก AB สัมผัสวงกลม O ที่จุด P ดังนั้นจุด P จึงเป็นจุดเดียวบน
AB ทอ่ี ยูบ่ นวงกลม ให้จดุ Q เปน็ จดุ บน AB ท่ไี ม่ใช่จุด P
ลาก OQ จะเกิดจุดตัดบนวงกลม ให้ชอื่ จดุ R
จะเหน็ วา่ OQ = OR + RQ และ RQ  0 ดังน้ัน OQ  OR
เน่อื งจาก OP = OR ดงั นัน้ OQ  OP
ในทำนองเดียวกัน ไม่ว่าจะลากส่วนของเส้นตรงใดๆจากจุด O ไปยังจุดใดๆบน AB ที่ไม่ใช่จุด P ส่วนของ
เสน้ ตรงนนั้ จะยาวกวา่ OP เสมอ นั่นคือ OP เปน็ ส่วนของเสน้ ตรงทส่ี นั้ ท่ีสุด
จากสมบตั ิ : เม่ือกาหนดเส้นตรงหนึ่งมาให้ ในบรรดาส่วนของเสน้ ตรงท่ีลากจากจุดๆหนึ่งที่อยู่ภายนอก

ไปยังเสน้ ตรงนนั้ ส่วนของเสน้ ตรงที่สน้ั ที่สุด คือสว่ นของเสน้ ตรงท่ตี ัง้ ฉากกบั เสน้ ตรงนั้น

เนือ่ งจาก OP เป็นส่วนของเส้นตรงที่สนั้ ท่สี ดุ ทำให้ไดว้ า่ OP ⊥ AB จึงสรุปได้วา่ OPˆQ = 90

6

ทฤษฎบี ท 8 ส่วนของเส้นตรงท่ีลากมาจากจดุ ๆหน่งึ ภายนอกวงกลมมาสมั ผัสวงกลมเดียวกนั

จจะยาวเท่ากนั และมไี ด้สองเส้น

ตอ้ งการพสิ ูจน์ว่า : PA = PB

ลาก OP จะพบความสัมพนั ธ์ต่อไปน้ี
OAˆP = OBˆP (ฉ) (จากทฤษฎีบท 7)
OA = OB (ด) (รัศมีของวงกลมมคี วามยาวเท่ากนั )
0OP = OP (ด) (เป็นด้านรว่ ม)
จะได้วา่ PAO  PBO แบบ ฉาก - ดา้ น – ดา้ น
เน่อื งจาก PA และ PB เป็นด้านคู่ที่สมนัยกนั จึงสรุปได้วา่ PA = PB

ทฤษฎบี ท 9 มมุ ท่ีเกิดจากคอร์ดและเส้นสัมผัสวงกลมท่ีจุดสมั ผัสจะมขี นาดเท่ากับขนาดของ

จมุมในส่วนโค้งทอ่ี ยู่ตรงข้ามกับคอร์ดนัน้

ต้องการพิสูจนว์ ่า : APˆQ = PRˆQ

สร้างเส้นผ่านศูนยก์ ลาง PS ลาก SQ แลว้ ใหม้ ุมแต่ละมุมมีชื่อดงั ภาพ
c = 90 (จากทฤษฎีบท 2)

c + d + e =180 (มุมภายในของรูปสามเหล่ยี ม)
90 + d + e = 180 (แทน c = 90)
จะได้จ d + e = 90 --- (1)

a + e = 90 --- (2) (จากทฤษฎบี ท 7)
(2) − (1); a + e − d − e = 90 − 90 (

a−d =0(
จะได้ a = d
เน่อื งจาก d = b (จากทฤษฎบี ท 3) จะได้วา่ a = b (สมบตั ถิ ่ายทอด)
และจากรปู APˆQ = a และ PRˆQ = b จึงสรุปได้วา่ APˆQ = PRˆQ

7

ทฤษฎบี ทจ10 ถา้ รูปสี่เหลย่ี มมวี งกลมแนบในได้ แล้วผลบวกของด้านตรงขา้ มจะมีขนาดเทา่ กนั

กาหนดให้ : วงกลม O แนบในสีเ่ หลยี่ ม ABCD มจี ุด E , F , G
และ H เป็นจุดสัมผัสวงกลม O

ต้องการพิสูจนว์ ่า : AB + CD = AD + BC

ลาก OA , OB , OC , OD , OE , OF , OG และ OH
พิจารณา AEO และ AHO พบว่า
AEˆO = AHˆO = 90 (ฉ) (จากทฤษฎีบท 7)

OE = OH (ด) (รศั มขี องวงกลมมขี นาดเท่ากัน)
OA = OA (ด) (เปน็ ด้านรว่ ม)
จะได้ว่า AEO  AHO แบบ ฉาก - ดา้ น – ดา้ น จะได้ AE = AH --- (1)
พิสูจนใ์ นทำนองเดยี วกัน จะได้ว่า BEO  BFO , CFO  CGO และ DGO  DHO
จะไดส้ มการอีก 3 สมการคือ BE = BF --- (2) , CG = CF --- (3) และ DG = DH --- (4)
นำ (1) + (2) + (3) + (4) ; AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH
0 (AE + BE) + (CG + DG) = (AH + DH ) + (BF + CF) --- (5)
เนอ่ื งจาก AE + BE = AB , CG + DG = CD , AH + DH = AD และ BF + CF = BC
เมือ่ แทนค่าไปใน (5) จึงสรุปไดว้ า่ AB + CD = AD + BC

8

เอกสารอา้ งอิง

วัฒนา นิธิศดลิ ก, และเจริญ ราคาแก้ว. (2564). หนงั สอื เรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่
3 เล่ม 2 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐานพุทธศักราช 2551
(พิมพค์ รง้ั ท่ี 2). กรุงเทพฯ: พัฒนาคุณภาพวชิ าการ (พว.).

สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2564). หนังสอื เรียนรายวชิ าพนื้ ฐาน คณติ ศาสตร์ เล่ม 2
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน
พุทธศกั ราช 2551 (พมิ พค์ รงั้ ท่ี 2). กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

โปรแกรมทใี่ ช้

พมิ พ์และออกแบบด้วย Microsoft Word
รูปภาพเรขาคณติ สรา้ งด้วย GeoGebra Geometry
พมิ พ์สตู รทางคณิตศาสตรด์ ้วย MathType
ฟอนตท์ ่ใี ชค้ อื TH SarabunPSK และ Pridi

สที ใี่ ช้ 5 สี คอื และ สพี ื้นหลงั

#FFFFF2 #44E3FF #6F88FE #A162F7 #2B3A51