พิสูจน์ทฤษฎีบทของคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

Proof

AB
T รับประกันความงง 100%

F
ใช้ภาษาเอเลี่ยน เข้าใจยาก

C
อ่านจบสลบคาโต๊ะ

ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์

เซต, ตรรกศาสตร์,
จำนวนจริง
หนังสือราคาเป็นกันเอง (200,000 บาท) ผู้เขียน : Leo Suvijak Dowruang

1

บทที่ 1 เซต

ในวิชาคณิตศาสตร์ ใช้คำว่า “เซต” ในการกล่าวถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใด
แล้วสามารถทราบไดแ้ น่นอนว่าส่ิงใดอยู่ในกลุม่ และส่งิ ใดไม่อยู่ในกลุ่ม เรยี กสิ่งท่ีอยู่ในเซตว่า “สมาชิก” คำว่า
“เป็นสมาชิกของ” หรือ “อยู่ใน” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “” คำว่า “ไม่เป็นสมาชกิ ของ” เขียนแทนด้วย
สัญลกั ษณ์ “” การเขยี นแสดงเซตมีสองแบบ คือ แบบแจกแจงสมาชกิ และแบบบอกเงอ่ื นไขของสมาชิก

เซตทไ่ี มม่ ีสมาชกิ เรยี กวา่ “เซตว่าง” เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ “  ” หรอื “ ”

เซตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ หรือศูนย์ เรียกว่า “เซตจํากัด” เซตท่ีไม่ใช่เซต
จาํ กัด เรยี กวา่ “เซตอนันต์”

ในการเขียนเซตจะต้องกำหนดเซตท่ีบ่งบอกถึงขอบเขตของสิ่งที่จะพิจารณา เรียกเซตน้ีว่า

“เอกภพสัมพทั ธ์” ซึ่งมกั เขยี นแทนดว้ ย U เอกภพสมั พทั ธ์ท่ีพบบ่อย ไดแ้ ก่

แทนเซตของจำนวนนับ แทนเซตของจำนวนเต็ม

แทนเซตของจำนวนตรรกยะ ' แทนเซตของจำนวนอตรรกยะ

แทนเซตของจำนวนจริง

บทนยิ าม 1.1 1) A = B กต็ ่อเมอ่ื สมาชกิ ทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และ สมาชกิ ทุกตวั ของ
เซต B เป็นสมาชกิ ของเซต A

2) A  B ก็ต่อเม่ือมีสมาชิกอย่างน้อยหน่ึงตัวของเซต A ทไี่ มใ่ ช่สมาชิกของเซต B หรือมี
สมาชิกอย่างนอ้ ยหน่งึ ตัวของเซต B ทไี่ ม่ใช่สมาชกิ ของเซต A

บทนิยาม 1.2 1) เซต A เป็นสบั เซตของเซต B ก็ตอ่ เม่ือสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชกิ ของเซต B
เขียนแทนดว้ ย A  B

2) เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่
เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A  B

ทฤษฎบี ท 1.1 1) เซตทกุ เซตเปน็ สับเซตของตวั เอง น่ันคือ ถา้ เซต A เป็นเซตใด ๆ แลว้ A  A

2) A  B และ B  A ก็ตอ่ เมื่อ A = B

พสิ จู น์ : 1.1.1) เน่ืองจาก A = A (เซตเดียวกนั ยอ่ มเท่ากนั )
จาก บทนยิ าม 1.1.1 จะไดว้ ่าสมาชกิ ทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต A
ดังนัน้ จาก บทนยิ าม 1.2.1 จงึ ไดส้ รปุ วา่ A  A
1.1.2) เนื่องจาก A  B และ B  A จาก บทนิยาม 1.2.1 จะได้ว่า สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็น
สมาชิกของเซต B และ สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A ดงั น้นั จาก บทนิยาม 1.1.1 จึงได้
ว่า A = B ในทำนองเดียวกันถา้ A = B จะได้ A  B และ B  A เช่นกัน
จึงสรปุ ได้ว่า A  B และ B  A ก็ตอ่ เมอ่ื A = B

2

ทฤษฎบี ท 1.2  เปน็ สับเซตของทกุ เซต นัน่ คือ ถา้ A เปน็ เซตใด ๆ แล้ว   A

ความรู้ทต่ี ้องมกี อ่ นอา่ นการพิสจู น์ : ตวั บง่ ปริมาณ (บทที่ 2 ตรรกศาสตร์)
พิสูจน์ : เนื่องจาก   A หมายความว่า x[x  → x A] พิจารณาประโยคเปิด x  เนื่องจาก
 ไม่มีสมาชกิ ดงั น้นั ไมว่ า่ จะแทน x ด้วยสมาชิกตัวใดใน U จะได้ประพจนเ์ ป็นเทจ็ เสมอ

จะได้ x[x  → x  A]  x[F → x  A] เราทราบมาแล้วว่าในประพจน์ F → q ไม่ว่า
q จะมีความจริงเป็น T หรือ F ประพจน์ F → q จะมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ ดังนั้นเมือ่ แทน x ด้วย
สมาชิกใน U ในประโยคเปดิ x[F → x  A] จะได้ประพจน์ที่เปน็ จริงเสมอ นั่นคือ x[x  → x A]
เป็นจรงิ จึงสรปุ ไดว้ า่   A เม่อื A เปน็ เซตใดๆ

จำนวนสมาชิกของเซต A เขียนแทนดว้ ย n(A)
เซตของสับเซตทั้งหมดของเซต A เรยี กว่า เพาเวอร์เซตของเซต A เขยี นแทนดว้ ย P(A)

ทฤษฎบี ท 1.3 ถ้าเซต A มีสมาชิก n ตวั แลว้ จะได้วา่ P(A) มสี มาชิก 2n ตวั

ความรู้ท่ีตอ้ งมีกอ่ นอา่ นการพสิ ูจน์ : การจดั หมู่ และทฤษฎีบททวินาม (บทที่ 11 หลกั การนบั เบ้อื งต้น)
คาดการณ์ : กำหนดให้ A1 = {a}, A2 = {a,b} และ A3 = {a,b,c}
จะได้ P(A1) = ,{a}, P(A2 ) = ,{a},{b},{a,b}
และ P(A3) = ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b, c},{a,b, c}
จะพบวา่ n ( P(A1)) = 2 = 21, n ( P(A2 )) = 4 = 22 และ n ( P(A3)) = 8 = 23
เนื่องจาก n(A1) =1, n(A2) = 2 และ n(A3) = 3 จึงพอจะคาดการณ์ไดว้ า่ ถา้ เซต A มีสมาชกิ n ตวั แล้ว
P(A) มีสมาชกิ 2n ตวั
พิสจู น์ : ให้ A เปน็ เซตที่มีสมาชกิ n ตวั จะได้วา่ P(A) ประกอบไปด้วยสมาชกิ คอื เซตว่าง,
เซตท่ีมสี มาชิก 1 ตวั , เซตทม่ี ีสมาชิก 2 ตวั , เซตท่ีมสี มาชกิ 3 ตวั , …, เซตทม่ี สี มาชกิ n ตวั
ซึ่งจำนวนของเซตที่มีสมาชิก r ตัว โดยที่ r  หาได้จากการจัดหมู่สมาชิกใน A จำนวน r ตัว จาก n

ตัว แลว้ รวมกนั เปน็ เซตใหมเ่ พ่ือไปอยู่ใน P( A) จึงได้ว่า n ( P( A)) = 1 + n  +  n  +  n  +  n 
1   2   3  ... n 
     


จากทฤษฎีบททวินาม เราทราบแลว้ วา่ (x +1)n =  n  x n + n  x n−1 +  n  x n− 2 +  n  x n−3... +  n 
 0  1   2   3   n 
        

เมอื่ แทน x =1 จะได้ (1 + 1)n =  n 1n + n 1n−1 +  n 1n−2 +  n 1n−3... +  n 
 0  1   2   3   n 
    

cนนั่ คือ 2n =  n  + n  +  n  +  n  +  n  = 1+ n  +  n  +  n  ... +  n
 0  1   2   3  ...  n  1   2   3   n 
              

ซง่ึ ก็เท่ากบั n(P(A)) ด้วย ดงั น้ัน n(P(A)) = 2n จงึ สรปุ ไดว้ ่า

ถา้ เซต A มสี มาชกิ n ตวั แลว้ จะไดว้ า่ P(A) มสี มาชกิ 2n ตวั

หรอื อาจเขียนได้อกี แบบวา่ n(P(A)) = 2n(A)

3

เรียกแผนภาพแสดงเซตว่า “แผนภาพเวนน์” การเขียนแผนภาพมักจะแทนเอกภพสัมพัทธ์ U
ดว้ ยรูปสี่เหลี่ยมผนื ผ้า ส่วนเซตอ่ืน ๆ ซง่ึ เป็นสบั เซตของ U อาจเขยี นแทนด้วยวงกลม วงรี หรอื รูปปิดใด ๆ

บทนิยาม 1.3 1) อินเตอรเ์ ซกชนั ของเซต A และเซต B เขียนแทนดว้ ย A B
โดยท่ี A B = {x | x  A และ x  B}

2) ยูเนยี นของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A B
โดยท่ี A B = {x | x  A หรอื x  B}

ว

3) คอมพลีเมนต์ของเซต A เมื่อเทียบกับ U หรือคอมพลีเมนต์ของเซต A เขียนแทนด้วย
A โดยที่ A = {x | x U และ x  A}

4) ผลต่างระหว่างเซต A และ B หมายถึง เซตที่มีสมาชิกอยู่ในเซต A แต่ไม่อยู่ในเซต
B เขียนแทนดว้ ย A − B โดยที่ A − B = {x | x  A และ x  B}

ให้ A, B และ C เป็นสับเซตของ U จะมสี มบัติหลกั ๆ ตามทฤษฎีบทต่อไปน้ี

ทฤษฎบี ท 1.4 1) A  B = B  A 10) A = U − A

2) A  B = B  A 11) (A) = A

3) (A  B)  C = A  (B  C) 12) A − (B  C) = (A − B)  (A − C)

4) (A  B)  C = A  (B  C) 13) A − (B  C) = (A − B)  (A − C)

5) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 14) (A  B) − C = (A − C)  (B − C)

6) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 15) (A  B) − C = (A − C)  (B − C)

7) (A  B) = A  B 16)  = U และ U  = 

8) (A  B) = A  B 17) A − B = B − A
9) A − B = A  B
18) A  B ก็ต่อเม่ือ B  A

ความรู้ทีต่ อ้ งมกี ่อนอ่านการพสิ จู น์ : บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ = สมบตั ิทใี่ ช้

พิสูจน์ : สมบัติทั้งหมดนี้สามารถพิสูจน์แบบคร่าว ๆ ได้ด้วยแผนภาพเวนน์ แต่ในที่นี้จะพิสูจน์โดยใช้

ตรรกศาสตรม์ าชว่ ย (ถ้าพอจะเข้าใจ concept แลว้ ลองพสิ ูจนด์ ว้ ยตนเองดูกอ่ นไดน้ ะครบั )

1.4.1) จาก A B = {x | x  A x  B} เนื่องจากประโยคเปิด x  A x  B  x  B  x  A นั่นคือ

A  B = {x | x  B  x  A} = B  A P(x)  Q(x)  Q(x)  P(x) จงึ สรุปไดว้ า่ A  B = B  A

1.4.2) จาก A B = {x | x  A  x  B} เนื่องจากประโยคเปิด x  A  x  B  x  B  x  A นั่นคือ
A  B = {x | x  B  x  A} = B  A P(x)  Q(x)  Q(x)  P(x) จงึ สรปุ ไดว้ ่า A  B = B  A

1.4.3) จาก (A B) C = {x | (x  A x  B)  x C} เนอ่ื งจากประโยคเปดิ

(x  A  x  B)  x C  x  A  (x  B  x C) [P(x)  Q(x)]  R(x)  P(x)  [Q(x)  R(x)]

นั่นคือ (A B) C = {x | x  A (x  B  x C)} จงึ สรุปได้วา่ (A B) C = A (B C)

1.4.4) จาก (A B) C = {x | (x  A  x  B)  x C} เนอ่ื งจากประโยคเปิด

(x  A  x  B)  x C  x  A  (x  B  x C) [P(x)  Q(x)]  R(x)  P(x) [Q(x)  R(x)]

น่ันคือ (A B) C = {x | x  A  (x  B  x C)} จงึ สรปุ ได้ว่า (A B) C = A (B C)

4

1.4.5) จาก A (B C) = {x | x  A (x  B  x C)} เนือ่ งจากประโยคเปิด
x  A (x  B  x C)  (x  A x  B)  (x  A x C) ห
P(x)  [Q(x)  R(x)]  [P(x)  Q(x)]  [P(x)  R(x)] s
นน่ั คือ A  (B C) = {x | (x  A  x  B)  (x  A  x C)} = (A  B)  (A C) k
จงึ สรปุ ได้วา่ A (B C) = (A B)  (AC)

1.4.6) จาก A (B C) = {x | x  A  (x  B  x C)} เน่ืองจากประโยคเปดิ
x  A  (x  B  x C)  (x  A  x  B)  (x  A  x C) ห
P(x)  [Q(x)  R(x)]  [P(x)  Q(x)]  [P(x)  R(x)] s
นน่ั คือ A  (B C) = {x | (x  A  x  B)  (x  A  x C)} = (A  B)  (A C) ไ
จึงสรปุ ได้วา่ A (B C) = (A B)  (AC)

1.4.7) สัทพจนท์ ต่ี ้องรู้ก่อนพสิ จู น์ : x  A ก็ต่อเม่อื x  A
จาก A B = {x | x  A x  B} จะได้ (A B) = {x | (x  A x  B)} เนื่องจากประโยคเปิด

(x  A  x  B)  x  A  x  B  x  A  x  B [P(x)  Q(x)]  [ P(x) Q(x)] d
นนั่ คอื (A B) = {x | x  A  x  B} = A  B จงึ สรปุ ไดว้ า่ (A B) = A  B

1.4.8) สทั พจนท์ ี่ต้องรู้ก่อนพิสจู น์ : x  A กต็ ่อเมือ่ x  A
จาก A B = {x | x  A  x  B} จะได้ (A B) = {x | (x  A  x  B)} เนื่องจากประโยคเปิด

(x  A  x  B)  x  A  x  B  x  A  x  B [P(x)  Q(x)]  [ P(x) Q(x)] d
นัน่ คือ (A B) = {x | x  A  x  B} = A  B จงึ สรุปไดว้ า่ (A B) = A  B

1.4.9) จาก A − B = {x | x  A  x  B} เนื่องจากประโยคเปิด x  A  x  B  x  A  x  B
x  B ก็ต่อเมื่อ x  B น่นั คอื A − B = {x | x  A  x  B} = A B จึงสรุปไดว้ ่า A − B = A B

1.4.10) จาก A = {x | x U  x  A} และจาก บทนยิ าม 1.3.4 จงึ สรุปไดว้ า่ A = U − A

1.4.11) สัทพจน์ทต่ี อ้ งรู้ก่อนพสิ ูจน์ : x  A กต็ ่อเมื่อ x  A
จาก (A) = {x | x U  x  A} สมมูลกบั (A) = {x | x U  x  A}
ซึง่ เท่ากับ U  A = A จงึ สรุปได้ว่า (A) = A

ตั้งแต่ 1.4.12) จนถึง 1.4.15) สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้สมบัติเกี่ยวกับเซตที่เคยพิสูจน์ไว้แล้ว และต้องใช้
สมบัตอิ กี 2 อยา่ ง คอื A (B C) = (A B)  (AC) และ A (B C) = (A B)  (AC)
(ขอไม่พิสจู น์นะครบั แต่ลองพิสูจนเ์ องได้โดยอาจจะใชส้ มบตั ิเซตเดมิ หรือใช้ตรรกศาสตร์ก็ได้ครับ)

1.4.12) A − (B  C) = A  (B C) ทฤษฎบี ท 1.4.9
= A  (B  C) ทฤษฎบี ท 1.4.7
= (A  B)  (A  C) A (B C) = (A B)  (AC)
= (A − B)  (A − C) ทฤษฎีบท 1.4.9

 A − (B C) = (A − B)  (A − C)

5

1.4.13) A − (B  C) = A  (B C) ทฤษฎบี ท 1.4.9
= A  (B  C) ทฤษฎีบท 1.4.8
= (A  B)  (A  C) ทฤษฎีบท 1.4.6
= (A − B)  (A − C) ทฤษฎบี ท 1.4.9

 A − (B C) = (A − B)  (A − C)

1.4.14) (A  B) − C = (A  B) C ทฤษฎบี ท 1.4.9
= C  (A B) ทฤษฎีบท 1.4.2
= (C  A)  (C  B) ทฤษฎีบท 1.4.6
= (A  C)  (B  C) ทฤษฎบี ท 1.4.2
= (A−C)(B −C) ทฤษฎีบท 1.4.9

 (A B) − C = (A − C)  (B − C)

1.4.15) (A  B) − C = (A  B) C ทฤษฎบี ท 1.4.9

= C  (A B) ทฤษฎีบท 1.4.2

= (C  A)  (C  B) A (B C) = (A B)  (AC)

= (A  C)  (B  C) ทฤษฎีบท 1.4.2

= (A−C)(B −C) ทฤษฎบี ท 1.4.9

 (A B) − C = (A − C)  (B − C)

1.4.16) จาก  = {x | x U  x } ซงึ่ เท่ากับ U −  = U บทนิยาม 1.3.4
และจาก U = {x | x U  x U} ซงึ่ เท่ากับ U −U =  บทนยิ าม 1.3.4
จึงสรุปได้ว่า  = U และ U = 

1.4.17) A − B = A  B ทฤษฎบี ท 1.4.9
= (A)  B ทฤษฎีบท 1.4.11
= B  (A) ทฤษฎีบท 1.4.2
= B − A ทฤษฎบี ท 1.4.9

 A − B = B − A

1.4.18) ถ้า A  B หมายความวา่ xx  A → x  B จาก P(x) → Q(x)  Q(x) → P(x)
จะได้วา่ xx  A → x  B  xx  B → x  A  xx  B → x  A x  A ก็ตอ่ เมื่อ x  A
น่ันคือ B  A ในทำนองเดียวกันหากกำหนดให้ B  A กส็ ามารถพสิ จู น์ได้ว่า A  B เชน่ กนั
จงึ สรุปไดว้ า่ A  B ก็ต่อเมื่อ B  A

6

ถ้าเซต A, B และ C เป็นเซตจำกัดใด ๆ ที่มีจำนวนสมาชิกเป็น n( A), n(B) และ n(C)
ตามลำดับ แลว้ จะมีทฤษฎีบทดงั ต่อไปน้ี

ทฤษฎบี ท 1.5

1) n ( A  B) = n ( A) + n ( B) − n ( A  B)
2) n( A  B  C ) = n ( A) + n ( B) + n (C ) − n ( A  B) − n ( A  C ) − n (B  C ) + n ( A  B  C )
พสิ จู น์ : สามารถพิสูจนท์ ฤษฎบี ท 1.5.1) ไดโ้ ดยใชแ้ ผนภาพเวนน์ ดงั น้ี

U

AB

จากแผนภาพ n( A  B) = n( ) + n( ) + n( )

s = n( ) + n( ) + n( ) + n( ) − n( ) (บวก เขา้ ลบออก)

ฟ = [ n( ) + n( ) ] + [ n( ) + n( ) ] − n( ) (จดั กลุม่ )

S = n( A) + n(B) − n( A B)

 n( A B) = n( A) + n(B) − n( A B)

1.5.2) เนือ่ งจาก n( A  B C ) = n( A  (B C )) (จดั กลุ่มเพื่อให้สามารถใช้ทฤษฎบี ท 1.5.1 ได)้

= n( A) + n(B C) − n( A(B C)) 1.5.1

= n( A) + n(B) + n(C) − n(B C) − n(A(B C)) 1.5.1

= n( A) + n(B) + n(C) − n(B C) − n(( A B)( AC)) 1.4.6

= n( A) + n ( B) + n (C ) − n (B  C ) − n ( A  B) + n ( A C ) − n (( A  B)  ( A C )) 1.5.1

= n ( A) + n ( B) + n (C ) − n ( B  C ) − n ( A  B) + n ( A  C ) − n ( A  B  C ) A  A = A
= n( A) + n(B) + n(C) − n(B C) − n( A B) − n( AC) + n( A B C)

= n( A) + n(B) + n(C) − n( A B) − n( AC) − n(B C) + n( A B C)

 n( A B C) = n( A) + n(B) + n(C) − n( A B) − n( AC) − n(B C)+ n(A B C)

7

บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์

ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่เป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ซึ่งประโยค
หรือข้อความดังกล่าวจะอยู่ในรูปบอกเล่าหรือปฏิเสธก็ได้ ในตรรกศาสตร์เรียกการเป็น “จริง (T) ” หรือ
“เท็จ (F) ” ของแตล่ ะประพจน์ว่า “คา่ ความจรงิ ของประพจน์”

บทนยิ าม 2.1

ให้ p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ เมื่อเชื่อมด้วยตัวเชื่อม “และ () ” “หรือ () ” “ถ้า...แล้ว...
(→) ” “ก็ต่อเมื่อ () ” และ “นิเสธ ( ) ” จะมีข้อตกลงเกี่ยวกับค่าความจริงของประพจน์ที่ได้จากการ
เชอื่ มประพจน์ p และ q โดยให้ T และ F แทนจรงิ และเทจ็ ตามลำดบั ดังน้ี

p q pq pq p→q pq

TT T T T T pp

TF F T F F TF
FT
FT F T T F

FF F F T T

ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ซึ่งยังไม่กําหนดค่าความจริง จะเรียก p, q และ r ว่าเป็น ตัว
แปรแทนประพจน์ใด ๆ และเรียกประพจน์ที่มีตัวเชื่อม เช่น p, p  q, p  q, p → q, p  q ว่า
“รปู แบบของประพจน”์

ถ้ารูปแบบของประพจน์สองรปู แบบใดมีค่าความจริงตรงกันกรณีต่อกรณี แล้วจะสามารถนําไปใช้
แทนกนั ได้ เรียกสองรูปแบบของประพจน์ดงั กล่าวว่าเป็น รปู แบบของประพจน์ท่สี มมลู () กนั

ทฤษฎบี ท 2.1 รปู แบบของประพจนท์ สี่ มมูลกนั ทค่ี วรทราบมดี งั น้ี

1) p  ( p) 14) p → q  p  q
2) p  q  q  p a 15) p → q  q → p
3) p  q  q  p a
16) ( p → q)  p q

4) ( p  q)  p q 17) p  q  ( p → q)  (q → p)

5) ( p  q)  p q 18) p  q  p  q

6) p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r ) 19) p  q  q  p

7) p  (q  r)  ( p  q)  ( p  r) 20) ( p  q)  p  q

8) ( p  q)  r  ( p  r )  (q  r ) 21) ( p  q)  p  q

9) ( p  q)  r  ( p  r )  (q  r ) 22) p → (q  r )  ( p → q)  ( p → r )

10) p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r ) 23) p → (q  r )  ( p → q)  ( p → r )

11) p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r ) 24) ( p  q) → r  ( p → r )  (q → r )

12) ( p  q)  r  ( p  r )  (q  r ) 25) ( p  q) → r  ( p → r )  (q → r )

13) ( p  q)  r  ( p  r )  (q  r ) 26) p  p  p  p  p

8

พิสูจน์ : สมบัติทั้งหมดนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ตารางค่าความจริง ซึ่งก็จะเห็นวา่ ค่าความจริงตรงกนั ทกุ กรณี
หรือหากมีสมบัติมากเพียงพอ กอ็ าจจะนำสมบตั เิ ดิมท่ไี ดพ้ ิสูจน์ไวไ้ ปพิสูจนห์ าสมบตั ิใหม่ไดเ้ ชน่ กนั

2.1.1) pp ( p)
T  p  ( p)
TF
FT F

2.1.2) p q p  q q  p

TT T T
TF F F pqq p
FT F F
FF F F

2.1.3) p q p  q q  p

TT T T
TF T
FT T T pqq p
FF F T
F

2.1.4) p q p  q ( pq) p q p q

TT T F FF F  ( pq)  p q
TF F T FT T
FT F T TF T
FF F T TT T

2.1.5) p q p  q ( p q) p q p q

TT T F FF F  ( p q)  p q
TF T F FT F
FT T F TF F
FF F T TT T

2.1.6) p q r q  r p  q pr p  (q  r) ( pq)( pr)

TT T T T T T T
TT F T T F T T
TF T T F T T T
TF F F F F F F
FT T T F F F F
FT F T F F F F
FF T T F F F F
FF F F F F F F

 p(qr)  ( pq)( pr)

9

2.1.7) p q r qr pq pr p  (q  r) ( pq)( pr)

TT T T T T T T
TT F F T T T T
TF T F T T T T
TF F F T T T T
FT T T T T T T
FT F F T F F F
FF T F F T F F
FF F F F F F F

 p(qr)  ( pq)( pr)

2.1.8) ( p  q)  r  r ( pq) ทฤษฎบี ท 2.1.3
 (r  p)(r q) ทฤษฎีบท 2.1.7
 ( pr)(qr) ทฤษฎบี ท 2.1.3

( p  q) r  ( p  r)(q  r)

2.1.9) ( p  q)  r  r ( pq) ทฤษฎบี ท 2.1.2
 (r  p)(r q) ทฤษฎบี ท 2.1.6
 ( pr)(qr) ทฤษฎีบท 2.1.2

( p  q) r  ( p  r)(q  r)

2.1.10) p q r qr pq pr p(qr) ( pq)( pr)

TTT T T T T T
TTF F T F F F
TFT F F T F F
TFF F F F F F
FTT T F F F F
FTF F F F F F
FFT F F F F F
FFF F F F F F

หรืออาจใช้ ทฤษฎบี ท 2.1.26 มาช่วยก็ไดเ้ ชน่ กัน โดยทำดงั นี้
p(qr)  ( p p)(qr) p  p p
 ( p  q)  ( p  r ) ทฤษฎบี ท 2.1.2

 p(qr)  ( pq)( pr)

2.1.11) p  (q  r )  ( p  p)  (q  r ) ทฤษฎบี ท 2.1.26
 ( pq)( pr) ทฤษฎีบท 2.1.3

 p(q r)  ( p q)( p r)

10

2.1.12) ( p  q)  r  ( p  q)  (r  r ) ทฤษฎีบท 2.1.26
 ( pr)(qr) ทฤษฎบี ท 2.1.2

( p  q) r  ( p  r)(q  r) ทฤษฎบี ท 2.1.26
ทฤษฎีบท 2.1.3
2.1.13) ( p  q)  r  ( p  q)  (r  r )
 ( pr)(qr)

( p  q) r  ( p  r)(q  r)

2.1.14) p q p p→q pq

TT F T T p→q pq
TF F F F
FT T T T
FF T T T

2.1.15) p → q  pq ทฤษฎีบท 2.1.14
p→q ทฤษฎบี ท 2.1.3
 q p s ทฤษฎบี ท 2.1.1
 ( q) ps ทฤษฎีบท 2.1.14
 q→ pด

q→ p

2.1.16) ( p → q)  ( p  q) ทฤษฎีบท 2.1.14

 ( p)  q h ทฤษฎีบท 2.1.5

 p q h ทฤษฎีบท 2.1.1

 ( p → q)  p q

2.1.17) p q p → q q → p pq ( p → q)(q → p)

TT T T T T
F F
TF F T F F
T T
FT T F

FF T T

 p  q  ( p → q)(q → p)

2.1.18) p  q  ( p → q)(q → p) s ทฤษฎบี ท 2.1.17
ทฤษฎบี ท 2.1.14
 ( q → p)( p → q) ทฤษฎบี ท 2.1.2
ทฤษฎบี ท 2.1.17
 ( p → q)( q → p)

 p q s

pq p q

11

2.1.19) p  q  ( p → q)(q → p) ทฤษฎบี ท 2.1.17
 (q → p)( p → q) ทฤษฎีบท 2.1.2
ทฤษฎบี ท 2.1.17
 q p
pqq p

2.1.20) pq p q pq ( p  q) pq p q

และ TT FF T F F F
TF FT F T T T
2.1.21) FT TF F T T T
FF TT T F F F

หรอื ถา้ การพสิ ูจนด์ ้วยตารางมันไมเ่ ร้าใจเอาซะเลย ก็สามารถพิสจู นโ์ ดยใชส้ มบตั ิเดิมได้ครับ แต่ตอ้ งรู้สมบัติเพ่ิม
อีก 2 ขอ้ คอื p p  F (ต้องมีซักตวั เป็นเทจ็ แน่ ๆ พอไปเจอตวั เช่อื ม  กเ็ ลยเป็น F ครับ)

p  F  p (ลองแทนดกู ไ็ ด้ครบั จะพบว่าเปน็ ประพจน์ p  F มีค่าความจรงิ ตาม p เลยครบั )

( p  q)  ( p → q)  (q → p) s ทฤษฎบี ท 2.1.17
 ( p  q)  ( q  p) s ทฤษฎบี ท 2.1.14
 ทฤษฎีบท 2.1.6
(( p  q)  q  ( p  q)  p) s

( ) ( p q)  (q q)  ( p  p)  (q  p) ทฤษฎบี ท 2.1.8

( p q)  F   F  (q  p) s
( ) p p  F

 ( p qq  p) s pF  p

 ( p q) (q  p) s ทฤษฎีบท 2.1.5

  ( p) ( q)   q p s ทฤษฎีบท 2.1.4
  ( p)  q   q p s ทฤษฎีบท 2.1.1
 ( p → q)(q → p)s ทฤษฎีบท 2.1.14

 pq s ทฤษฎีบท 2.1.17

 ( p → q)(q → p)s ทฤษฎบี ท 2.1.17

  ( p)  q   q p s ทฤษฎีบท 2.1.14
  p  q q p s ทฤษฎบี ท 2.1.1

  p ( q)   q p s ทฤษฎีบท 2.1.1
  ( q)  p   p q s ทฤษฎบี ท 2.1.3
 ( q → p)( p → q)s ทฤษฎบี ท 2.1.14

 q p s ทฤษฎบี ท 2.1.17

 p q s ทฤษฎบี ท 2.1.19

 ( p  q)  p  q และ ( p  q)  p  q

12

2.1.22) p → (q  r )  p  (q  r) ทฤษฎบี ท 2.1.14
ทฤษฎบี ท 2.1.7
 ( pq)( pr) ทฤษฎบี ท 2.1.14

 ( p → q)( p → r)

 p →(qr)  ( p → q)( p → r)

2.1.23) p → (q  r )  p  (q  r) ทฤษฎีบท 2.1.14
ทฤษฎีบท 2.1.11
 ( pq)( pr) ทฤษฎบี ท 2.1.14

 ( p → q)( p → r)

 p →(q r)  ( p → q)( p → r)

2.1.24) ( p  q) → r  ( p  q)  r ทฤษฎีบท 2.1.14
 ( p q)  r ทฤษฎีบท 2.1.4
 ( pr)( qr) ทฤษฎีบท 2.1.13
 ( p → r)(q → r) ทฤษฎีบท 2.1.14

( p  q) → r  ( p → r)(q → r)

2.1.25) ( p  q) → r  ( p  q)  r ทฤษฎีบท 2.1.14
 ( p q) r ทฤษฎีบท 2.1.5
 ( pr)( qr) ทฤษฎบี ท 2.1.9
 ( p → r)(q → r) ทฤษฎีบท 2.1.14

( p  q) → r  ( p → r)(q → r)

2.1.26) p p p p p

TT T p p p p p

FF F

รปู แบบของประพจนท์ ีม่ ีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ ทกุ กรณี เรยี กว่า สัจนิรันดร์

การอ้างเหตุผลคือ การอ้างว่า เมื่อมีประพจน์ p1, p2, ... , pn ชุดหนึ่ง แล้วสามารถสรุป
ประพจน์ C ประพจน์หนึ่งได้ การอ้างเหตุผลประกอบด้วยส่วนสำคัญสองส่วนคือ เหตุ หรือสิ่งที่กำหนดให้
ได้แก่ ประพจน์ p1, p2, ... , pn และ ผลหรือข้อสรุป คือ ประพจน์ C โดยใช้ตัวเชื่อม  เชื่อมเหตุทั้งหมด
เขา้ ด้วยกนั และใช้ตวั เช่ือม → เช่ือมส่วนท่เี ป็นเหตกุ ับผลดังนี้

( p1  p2  ...  pn ) → C
โดยการอา้ งเหตผุ ลน้ีจะสมเหตสุ มผลก็ตอ่ เม่อื รปู แบบของประพจน์ ( p1  p2 ... pn ) → C เปน็ สัจนริ นั ดร์

ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร และเมื่อแทนตัวแปรด้วย
สมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ โดยการสมมูลกันของประโยคเปิด ใช้หลักการเดยี วกันกับประพจน์
เชน่ P(x)  Q(x)  P(x)  Q(x) , P(x) → Q(x)  P(x) Q(x) ฯลฯ

13

เรยี ก “สำหรบั ...ทุกตวั ” และ “สำหรบั ...บางตัว” ว่า ตัวบ่งปรมิ าณ แทนด้วยสัญลักษณ์  และ

 ตามลำดับ โดยใชส้ ญั ลักษณ์ x แทน สำหรบั x ทกุ ตวั และ x แทน สำหรบั x บางตวั

ถ้า P(x) เปน็ ประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร ค่าความจริงของ P(x) ทีม่ ีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว
เปน็ ไปตามบทนิยาม 2.2 ดงั นี้

บทนิยาม 2.2

1) x P( x) มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน
เอกภพสมั พัทธ์ แล้วได้ประพจน์ทม่ี คี ่าความจรงิ เป็นจริงทง้ั หมด

2) x P( x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อย
หนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แลว้ ได้ประพจน์ท่ีมคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็

3) x P( x) มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อย
หนึ่งตวั ในเอกภพสัมพทั ธ์ แลว้ ได้ประพจนท์ ่มี ีคา่ ความจริงเปน็ จริง

4) x P( x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน
เอกภพสัมพัทธ์ แลว้ ไดป้ ระพจนท์ ่ีมีคา่ ความจริงเปน็ เท็จท้งั หมด

ทฤษฎบี ท 2.2 3) x  P ( x)  x P ( x)
4) x  P ( x)  x P ( x)
1) x P ( x)  x  P ( x)
2) x P ( x)  x  P ( x)

2.2.1) x P ( x)  x  P ( x)
พสิ จู น์ : กรณที ่ี 1 สมมตวิ า่ x P ( x) เปน็ จรงิ จะได้ x P ( x) เปน็ เทจ็ จาก บทนิยาม 2.2.2
จะได้วา่ มีสมาชกิ บางตัวใน U ทนี่ ำไปแทน x ใน P(x) แล้วไดป้ ระพจน์ท่ีเป็นเท็จ

หรืออาจเขียนไดอ้ กี แบบวา่ มีสมาชิกบางตัวใน U ท่ีนำไปแทน x ใน P( x) แล้วได้ประพจน์ที่เป็นจรงิ

ดงั น้ันจาก บทนยิ าม 2.2.3 ทำให้ได้ว่า x  P ( x) เปน็ จรงิ
กรณีท่ี 2 สมมตวิ ่า x P ( x) เปน็ เท็จ จะได้ x P ( x) เปน็ จรงิ จาก บทนิยาม 2.2.1

จะได้วา่ เมอื่ นำสมาชิกแต่ละตัวใน U ไปแทน x ใน P(x) แลว้ ไดป้ ระพจน์ที่เป็นจริง

หรืออาจเขยี นได้อีกแบบวา่ เมอ่ื นำสมาชกิ แตล่ ะตวั ใน U ไปแทน x ใน P( x) แลว้ ไดป้ ระพจน์ทีเ่ ปน็ เท็จ

ดังนัน้ จาก บทนิยาม 2.2.4 ทำใหไ้ ด้วา่ x  P ( x) เปน็ เท็จ
จากทง้ั สองกรณจี ะพบว่า เม่ือ x P( x) เปน็ จรงิ แลว้ x  P ( x) เป็นจรงิ ตาม

และเม่ือ x P( x) เป็นเท็จ แล้ว x  P ( x) เปน็ เท็จตาม
จึงสรุปไดว้ ่า x P ( x)  x  P ( x)

14

2.2.2) x P ( x)  x  P ( x)
พิสูจน์ : กรณีที่ 1 สมมติว่า x P ( x) เปน็ จริง จะได้ x P ( x) เป็นเทจ็ จาก บทนิยาม 2.2.4
จะได้ว่า เมอื่ นำสมาชิกแต่ละตัวใน U ไปแทน x ใน P(x) แล้วไดป้ ระพจนท์ เี่ ป็นเท็จ

หรืออาจเขียนได้อกี แบบว่า เมือ่ นำสมาชิกแตล่ ะตวั ใน U ไปแทน x ใน P( x) แล้วไดป้ ระพจนท์ ่ีเป็นจริง

ดังน้ันจาก บทนิยาม 2.2.1 ทำใหไ้ ดว้ ่า x  P ( x) เป็นจรงิ
กรณีที่ 2 สมมติว่า x P ( x) เป็นเท็จ จะได้ x P ( x) เป็นจริง จาก บทนยิ าม 2.2.3

จะไดว้ า่ มีสมาชกิ บางตวั ใน U ที่นำไปแทน x ใน P(x) แลว้ ได้ประพจนท์ ี่เป็นจรงิ

หรอื อาจเขียนไดอ้ กี แบบว่ามสี มาชกิ บางตัวใน U ทีน่ ำไปแทน x ใน P( x) แล้วได้ประพจนท์ ีเ่ ป็นเทจ็

ดงั นั้นจาก บทนยิ าม 2.2.2 ทำใหไ้ ดว้ ่า x  P ( x) เปน็ เทจ็
จากทัง้ สองกรณีจะพบวา่ เม่ือ x P( x) เป็นจริง แลว้ x  P( x) เปน็ จริงตาม

และเม่ือ x P ( x) เปน็ เทจ็ แล้ว x  P( x) เปน็ เท็จตาม
จงึ สรปุ ไดว้ ่า x P ( x)  x  P ( x)

2.2.3) x  P ( x)  x P ( x) ทฤษฎีบท 2.2.1
ทฤษฎีบท 2.1.1
พิสูจน์ : x  P ( x)  x  ( P ( x))

 x P ( x)
 x  P ( x)  x P ( x)

2.2.4) x  P ( x)  x P ( x) ทฤษฎีบท 2.2.2
ทฤษฎีบท 2.1.1
พสิ จู น์ : x  P ( x)  x  ( P ( x))

 x P ( x)
 x  P ( x)  x P ( x)

15

บทท่ี 3 จำนวนจรงิ

แผนผงั แสดงความสมั พันธ์ของจำนวนชนิดตา่ ง ๆ เป็นดังนี้

แผนผังแสดงจำนวนชนิดต่ำง ๆ จำนวนเชงิ ซอ้ น ( )
จำนวนจรงิ ( ) จำนวนเชงิ ซ้อนทไี่ ม่ใช่จำนวนจรงิ

จำนวนอตรรกยะ ( ') จำนวนตรรกยะ ( )

จำนวนเต็ม ( ) จำนวนตรรกยะที่ไม่ใชจ่ ำนวนเต็ม

จำนวนเตม็ บวก/จำนวนนับ ( + / ) จำนวนเตม็ ศนู ย์ (0) จำนวนเต็มลบ ( − )

ระบบจำนวนจริงประกอบด้วย และการดำเนินการ ไดแ้ ก่ การบวก และการคูณ ( ,+,)

สัทพจน์ 3.1 : กำรเทำ่ กันของระบบจำนวนจรงิ

1) กฎการสะทอ้ น (reflexive law) สำหรับจำนวนจรงิ a จะได้วา่ a = a
2) กฎการสมมาตร (symmeric law) สำหรับจำนวนจรงิ a และ b ถ้า a = b แลว้ b = a
3) กฎการถา่ ยทอด (transitive law) สำหรบั จำนวนจริง a, b และ c ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

สทั พจน์ 3.2 : สัทพจนเ์ ชงิ พชี คณิต

ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริง จะได้วา่

สมบตั ิ การบวก การคณู

สมบัติปดิ a+b ab 
สมบัตกิ ารสลบั ท่ี a+b = b+a ab = ba
สมบัติการเปล่ียนหมู่
(a +b)+ c = a +(b + c) (ab) c = a (bc)

สมบัติการมีเอกลักษณ์ a+0 = a = 0+a a 1 = a = 1 a

(เรียก 0 วา่ “เอกลักษณก์ ารบวก”) (เรียก 1 ว่า “เอกลักษณก์ ารคณู ”)a

สมบตั กิ ารมีตัวผกผนั a + (−a) = 0 = (−a) + a ถ้า a  0 แล้ว a  a−1 = 1 = a−1  a

(เรยี ก −a วา่ “อินเวอร์สการบวก”) (เรียก a−1 วา่ “อินเวอรส์ การคูณ”)

สมบัตกิ ารแจกแจง a (b + c) = ab + ac และ (a + b)c = ac + bc

*สัจพจน์ (axiom) ในทางคณิตศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ หมายถึงข้อความที่ยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้อง
พิสูจน์ ซึ่งตรงข้ามกับคำว่า "ทฤษฎีบท" ซึ่งจะถูกยอมรับว่าเป็นจรงิ ได้ก็ต่อเมื่อมีการพิสูจน์ (ซึ่งนี่ก็เป็นเหตุผลที่
ไฟล์นี้ไม่ได้แสดงการพิสูจน์ให้เหมือนกับทฤษฎีบทครับ แต่สัจพจน์จะถูกใช้เป็นจุดเริ่มต้นในการพิสูจน์ทาง
คณติ ศาสตร์ และทฤษฎบี ททุกอันต่อ ๆ ไปครับ)

16

สทั พจน์ 3.3 : สัทพจน์เชิงอนั ดับ

มสี ับเซต + ของ ซง่ึ สอดคล้องกบั เงอ่ื นไขทุกข้อต่อไปนี้
1) ถ้า a, b + แลว้ a + b + (สมบัติปดิ การบวก)
2) ถา้ a, b + แล้ว ab + (สมบัตปิ ิดการคูณ)
3) สำหรับจำนวนจรงิ a ใด ๆ a  + หรอื a = 0 หรือ −a  + จเพยี งอย่างใดอยา่ งหนึ่ง (สมบตั ิไตรวภิ าค)

จากสัทพจน์ของระบบจำนวนจริงทีก่ ล่าวมา เพยี งพอที่จะพสิ ูจนท์ ฤษฎบี ทตอ่ ไปนี้

g

ทฤษฎีบท 3.1 กฎกำรตดั ออกสำหรับกำรบวก

ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริง จะได้วา่
1) ถา้ a + c = b + c แล้ว a = b
2) ถา้ a + b = a + c แลว้ b = c

พสิ ูจน์ : 3.1.1) ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ โดยที่ a + c = b + c

จะได้ (a + c) + (−c) = (b + c) + (−c) (การบวกด้วยจำนวนท่เี ท่ากัน ทง้ั สองข้างกย็ ังเท่ากันอยู่)

a + (c + (−c)) = b + (c + (−c)) (สมบตั ิการเปลย่ี นหมูข่ องการบวก)

a+0 = b+0 (สมบัตกิ ารมี inverse การบวก)

a= b (สมบัติการมีเอกลักษณก์ ารบวก)

 ถา้ a + c = b + c แลว้ a = b

3.1.2) ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ โดยท่ี a + b = a + c

จะได้ b + a = c + a (สมบตั กิ ารสลบั ทีก่ ารบวก)

b=c ทฤษฎีบท 3.1.1

 ถา้ a + b = a + c แลว้ b = c

ทฤษฎีบท 3.2 กฎกำรตัดออกสำหรับกำรคูณ

ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริง จะไดว้ ่า
1) ถ้า ac = bc และ c  0 แลว้ a = b
2) ถ้า ab = ac และ a  0 แลว้ b = c

พสิ ูจน์ : 3.2.1) ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ โดยที่ ac = bc และ c  0

จะได้ (ac)c−1 = (bc)c−1 (การคูณดว้ ยจำนวนทเ่ี ทา่ กนั ท้ังสองข้างก็ยงั เท่ากนั อย)ู่

( )a cc−1 = ( )b cc−1 (สมบตั ิการเปลย่ี นหมู่ของการคูณ)

a 1 = b1 (สมบัตกิ ารมี inverse การคูณ)

a= b (สมบัติการมเี อกลักษณก์ ารคณู )

 ถ้า ac = bc และ c  0 แลว้ a = b

17

3.2.2) ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ โดยท่ี ab = ac และ a  0

จะได้ ba = ca (สมบตั ิการสลบั ท่ีการคณู )

b=c ทฤษฎีบท 3.2.1

 ถ้า ab = ac และ a  0 แลว้ b = c

ทฤษฎีบท 3.3

ให้ a เปน็ จำนวนจรงิ จะไดว้ า่ a 0 = 0

พิสจู น์ : ให้ a เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ

จาก 0 + 0 = 0

a(0 + 0) = a 0 (การคณู ดว้ ยจำนวนที่เทา่ กนั ทงั้ สองข้างกย็ ังเท่ากนั อย)ู่

a 0 + a 0 = a 0 (สมบตั ิการแจกแจง)

a 0 + a 0 = a 0 + 0 (สมบตั กิ ารมีเอกลักษณ์การบวก)

a0 = 0 ทฤษฎบี ท 3.1.2

 ให้ a เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า a 0 = 0

ทฤษฎบี ท 3.4

ให้ a เป็นจำนวนจริง จะไดว้ ่า (−1) a = −a

พิสจู น์ : ให้ a เปน็ จำนวนจริงใด ๆ (สมบตั กิ ารมีเอกลกั ษณ์การคณู )
จาก a + (−1) a = 1a + (−1) a (สมบตั ิการแจกแจง)
(สมบัติการมี inverse การบวก)
a + (−1) a = (1+ (−1)) a (สมบัตกิ ารสลบั ทก่ี ารคูณ)
ทฤษฎบี ท 3.3
a + (−1) a = 0 a (สมบตั ิการมี inverse การบวก)
a + (−1) a = a 0 ทฤษฎีบท 3.1.2
a + (−1) a = 0
a + (−1) a = a + (−a)

(−1) a = (−a)
 ให้ a เป็นจำนวนจริง จะได้วา่ (−1) a = −a

ทฤษฎบี ท 3.5

ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง จะได้วา่

1) a (−b) = −ab
2) (−a)b = −ab
3) (−a)(−b) = ab

18

พิสจู น์ : ให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ

3.5.1) จาก a0 = 0 ทฤษฎีบท 3.3

a (b + (−b)) = 0 (สมบตั กิ ารมี inverse การบวก)

ab + a (−b) = 0 (สมบัตกิ ารแจกแจง)

ab + a (−b) + (−ab) = 0 + (−ab) (การบวกดว้ ยจำนวนทีเ่ ท่ากนั )
(−ab) + ab + a (−b) = 0 + (−ab) (สมบัตกิ ารสลับทีก่ ารบวก)
(−ab) + ab + a (−b) = 0 + (−ab) (สมบตั ิการเปลยี่ นหมกู่ ารบวก)
(สมบัตกิ ารมี inverse การบวก)
0 + a (−b) = 0 + (−ab)

0 a (−b) = −ab (สมบตั กิ ารมีเอกลกั ษณ์การบวก)

 ให้ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ จะได้วา่ a(−b) = −ab

3.5.2) จาก (−a)b = b(−a) (สมบตั ิการสลบั ท่กี ารคูณ)

= −ba ทฤษฎบี ท 3.5.1

= −ab (สมบัตกิ ารสลับทีก่ ารคูณ)

 ให้ a และ b เปน็ จำนวนจริง จะไดว้ ่า (−a)b = −ab

3.5.3) จาก (−a)0 = 0 ทฤษฎบี ท 3.3

(−a) b + (−b) = 0 (สมบตั กิ ารมี inverse การบวก)
(−a)b + (−a)(−b) = 0 (สมบตั กิ ารแจกแจง)

−ab + (−a)(−b) = 0 ทฤษฎบี ท 3.5.2

−ab + (−a)(−b) + ab = 0 + ab (การบวกด้วยจำนวนที่เทา่ กัน)
ab + −ab + (−a)(−b) = 0 + ab (สมบัติการสลบั ทก่ี ารบวก)
ab + (−ab) + (−a)(−b) = 0 + ab (สมบัติการเปลย่ี นหมู่การบวก)
(สมบตั กิ ารมี inverse การบวก)
0 + (−a)(−b) = 0 + ab

0 (−a)(−b) = ab (สมบัตกิ ารมเี อกลักษณ์การบวก)

 ให้ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ จะได้วา่ (−a)(−b) = ab

ทฤษฎบี ท 3.6

ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง จะไดว้ ่า ab = 0 กต็ ่อเม่อื a = 0 หรอื b = 0

พิสูจน์ : ถ้า a  0 และ b  0 จาก สัทพจน์ 3.3.3 จะได้ว่า a  + หรือ −a  + และ b + หรือ
−b + ดังนั้นจาก ทฤษฎีบท 3.5 จะพบว่าเป็นไปได้ 2 กรณีเท่านั้นคือ ab + หรือ −ab + น่ัน
คอื ab  0 สรุปไดว้ ่า ถ้า a  0 และ b  0 แลว้ ab  0 ซงึ่ จาก ทฤษฎีบท 2.1.15 ประโยคเปิดน้ีสมมูล
กับ ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 ในทำนองเดียวกันถ้า a = 0 หรือ b = 0 จาก ทฤษฎีบท 3.3
สามารถสรปุ ไดว้ ่า ab = 0 เช่นกัน จงึ สรุปได้ว่า ab = 0 กต็ ่อเมื่อ a = 0 หรอื b = 0

19

ที่ผ่านมา ในระบบจำนวนจริงกล่าวถึงการดำเนินการเฉพาะการบวกและการคูณ แต่จะสามารถ
นยิ ามการลบการหารระหวา่ งจำนวนจริง โดยใช้ตัวผกผนั การบวกและตัวผกผันการคูณตามลำดับ ได้ดังน้ี

บทนิยำม 3.1

ให้ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ a ลบดว้ ย b เขียนแทนดว้ ย a − b โดยท่ี a − b = a + (−b)

บทนิยำม 3.2

ให้ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ โดยท่ี b  0 , a หารด้วย b เขยี นแทนดว้ ย a โดยที่ a = a b−1

bb

จากบทนยิ าม จะได้ 1 = 1b−1 = b−1 ดงั นน้ั a = a b−1 = a  1

b bb

จากบทนยิ าม ทฤษฎีบท และสทั พจน์ต่าง ๆ สามารถนำไปพสิ จู นท์ ฤษฎบี ทต่อไปน้ี

ทฤษฎบี ท 3.7

ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า

1) a (b − c) = ab − ac
2) (a − b) c = ac − bc

พิสูจน์ : ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ

3.7.1) จาก a (b − c) = a b + (−c) บทนยิ ำม 3.1
= ab + a (−c)
(สมบัตกิ ารแจกแจง)

= ab + (−ac) ทฤษฎีบท 3.5.1

= ab − ac บทนิยำม 3.1 d

 ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริง จะไดว้ ่า a (b − c) = ab − ac

3.7.2) จาก (a − b)c = c (a − b) (สมบัติการสลบั ทก่ี ารคูณ)
ทฤษฎบี ท 3.7.1
= ca − cb

= ac − bc (สมบัตกิ ารสลบั ท่ีการคูณ)

 ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริง จะไดว้ ่า (a − b)c = ac − bc

ทฤษฎีบท 3.8

ให้ a เป็นจำนวนจริง ถ้า a  0 แลว้ a−1  0 และ ถา้ a  0 แล้ว a−1  0

ทฤษฎีบททีใ่ ช้พิสจู น์ : ทฤษฎบี ท 3.15.3 หน้า 28 และสมบัตติ า่ ง ๆ เก่ียวกบั การไมเ่ ท่ากันของจำนวนจรงิ

พิสูจน์ : สำหรับกรณที ่ี a  0 สมมตใิ ห้ a−1  0 หรือ a−1 = 0 จะได้ ( )a a−1  0 พบว่า 1 0 ซึ่งเป็นเท็จ
และจะได้ ( )a a−1 = 0 พบวา่ 1 = 0 ซึง่ เปน็ เท็จ ดังนั้นจงึ เป็นไปไม่ไดท้ ี่ a−1  0 จึงทำให้ไดว้ า่ a−1  0
ส่วนกรณีที่ a  0 สมมติให้ a−1  0 หรือ a−1 = 0 จะได้ ( )a a−1  0 พบว่า 1 0 ซึ่งเป็นเท็จ และ
จะได้ ( )a a−1 = 0 พบวา่ 1 = 0 ซง่ึ เป็นเท็จ ดังน้ันจงึ เปน็ ไปไมไ่ ดท้ ่ี a−1  0 จึงทำให้ไดว้ า่ a−1  0

จงึ สรปุ ไดว้ า่ ถ้า a  0 แลว้ a−1  0 และ ถ้า a  0 แล้ว a−1  0
จากทฤษฎบี ทนจ้ี ะทำใหไ้ ดว้ า่ ถ้า a  0 แล้ว a−1  0 อกี ด้วย

20

ทฤษฎีบท 3.9

ให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง จะได้วา่

a เมอื่ b  0 และ c  0
1)  b  = a เมอื่ b  0 และ c  0
เมอื่ b  0 และ d  0
c bc เมอ่ื b  0 และ d  0
เมื่อ a  0 และ b  0
2) a = ac
b bc เมอ่ื b  0, c  0 และ d  0

3) a + c = ad + bc
b d bd

4)  a   c  = ac
 b   d  bd

5)  a −1 = b
 b  a

a
6)  b  = ad

 c  bc
 d 

พสิ ูจน์ : 3.9.1) ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยที่ b  0 และ c  0

จะได้ a ( )= a b−1c−1 บทนยิ ำม 3.2
( )= ab−1 c−1
bc (สมบัติการเปลยี่ นหมูก่ ารคูณ)

( )ab−1 บทนิยำม 3.2
บทนิยำม 3.2
=
c

a
=  b 

c

a

  b  = a เมอื่ b  0 และ c  0

c bc

3.9.2) ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ โดยท่ี b  0 และ c  0

จะได้ ac ( )= ac b−1c−1 บทนิยำม 3.2

bc ( )= ac c b−1 −1 (สมบัติการสลบั ทกี่ ารคณู )
( )= a cc−1 b−1 (สมบัตกิ ารเปลย่ี นหมกู่ ารคูณ)
(สมบตั กิ ารมี inverse การคูณ)
= a 1b−1 (สมบตั ิการมเี อกลักษณ์การคณู )

= a  b−1

=a บทนยิ ำม 3.2
b

 a = ac เมอื่ b  0 และ c  0

b bc

21

3.9.3) ให้ a, b, c และ d เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ โดยที่ b  0 และ d  0

จะได้ ( )ad + bc = (ad + bc) b−1d −1 บทนิยำม 3.2
bd
( ) ( )= ad b−1d −1 + bc b−1d −1 (สมบตั ิการแจกแจง)

( ) ( )= ad d b−1 −1 + cb b−1d −1 (สมบตั กิ ารสลบั ทก่ี ารคูณ)

( ) ( )= a dd −1 b−1 + c bb−1 d −1 (สมบัตกิ ารเปลย่ี นหม่กู ารคณู )

= a 1 b−1 + c 1 d −1 (สมบัติการมี inverse การคูณ)

= a  b−1 + c  d −1 (สมบัติการมเี อกลักษณ์การคณู )

= a+c บทนิยำม 3.2
bd

 a + c = ad + bc เมื่อ b  0 และ d  0

b d bd

3.9.4) ให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยท่ี b  0 และ d  0

จะได้  a  c  = ( )( )ab−1 cd −1 บทนิยำม 3.2
 b   d 
(สมบัติการเปลยี่ นหมกู่ ารคณู )
= ab−1cd −1 (สมบัตกิ ารสลบั ทีก่ ารคูณ)
(สมบัตกิ ารเปลย่ี นหมูก่ ารคณู )
= acb−1d −1

( )= ac b−1d −1

= ac บทนิยำม 3.2
bd

  a   c  = ac เมื่อ b0 และ d 0
 b   d  bd

3.9.5) ให้ a และ b เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ โดยที่ a  0 และ b  0

 a −1 ab−1 −1
 b 
( )จะได้ = บทนิยำม 3.2

=1 บทนิยำม 3.2
ab−1
ทฤษฎบี ท 3.9.2
= 1b (สมบตั กิ ารเปลยี่ นหมู่การคณู )
ab−1  b (สมบัตกิ ารมี inverse การคูณ)
(สมบตั ิการมเี อกลักษณ์การคณู )
( )= 1b
a b−1  b

= 1b
a 1

=b
a

  a −1 = b เม่อื a0 และ b0
 b  a

เสรมิ สูตรทีใ่ ชบ้ ่อย : − a = − ((a) b−1) = (−a)(b−1 ) = −a = a (−b−1 ) = a ดงั นั้น − a = −a = a
b b −b b b −b

22

3.9.6) ให้ a, b, c และ d เปน็ จำนวนจริงใด ๆ โดยที่ b  0, c  0 และ d  0

 a   a   c −1
จะได้  b  =  b  d 
c  c   c −1 ทฤษฎบี ท 3.9.2
 d   d  d 

 a   c −1 (สมบัตกิ ารมี inverse การคูณ)
=  b  d 

1

=  a  c −1 1−1 บทนิยำม 3.2
 b   d 

=  a   c −1 1 (1−1 = 1 = 1)
 b   d 
1

=  a   c −1 (สมบตั ิการมเี อกลกั ษณ์การคณู )
 b   d 

=  a  d  ทฤษฎีบท 3.9.5
 b   c 

= ad ทฤษฎบี ท 3.9.4
bc

a

  b  = ad เม่อื b  0, c  0 และ d  0

 c  bc
 d 

ต่อไปจะเป็นการกล่าวถึงสัทพจน์ และพิสูจน์ทฤษฎีบทในเนื้อหาของทฤษฎีจำนวนบางส่วนท่ี
จำเป็นต้องใชใ้ นการพสิ ูจน์ทฤษฎีบทขนั้ ตอนวิธีการหารสำหรบั พหุนาม

สัทพจน์ 3.4 : หลักกำรจัดอันดับดี (Well ordering principle)

ให้ S  และ S   จะไดว้ า่ มี x  S ซ่งึ x  a สำหรบั ทกุ a  S
(สทั พจน์น้ีต้องการสือ่ วา่ ถา้ S เป็นสบั เซตของจำนวนนับ และไมเ่ ป็นเซตว่าง S จะมสี มาชกิ ท่ีมีค่านอ้ ยทสี่ ดุ )

ทฤษฎบี ท 3.10 : ข้นั ตอนวธิ กี ำรหำร (The division algorithm)

ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยท่ี b  0 แล้วจะมีจำนวนเต็ม q และ r เพยี งค่เู ดยี วเทา่ นน้ั ทท่ี ำให้

a = bq + r โดยท่ี 0  r  b จะเรยี ก a ว่า ตัวตั้ง, เรียก b วา่ ตวั หาร
เรียก q วา่ ผลหาร (quotient) และเรียก r วา่ เศษ (remainder)

ควำมรู้ที่ต้องมกี อ่ นอ่ำนบทพิสูจน์ : ทฤษฎบี ทเก่ยี วกับอสมการและค่าสมั บูรณ์ ตัง้ แตห่ นา้ 28 เป็นต้นไป
คำแนะนำ : บทพิสจู นข์ องทฤษฎีบทน้ี บอกตามตรงเลยครบั ว่าอ่านยากมาก ๆ ไม่แปลกที่จะงงในหลาย ๆ สว่ น
ดงั นัน้ สามารถเขา้ ไปคลปิ นปี้ ระกอบการพิสจู นเ์ พ่ือความเข้าใจมากข้ึนไดค้ รับ https://youtu.be/p9lJqI6xf-I

ต้งั สติก่อนอำ่ น แล้วเร่มิ กันเลยครับ

23

บทพสิ จู นท์ ฤษฎีบทข้ันตอนวธิ กี ำรหำร

ตอนท่ี 1 พสิ ูจนว์ ่ามี q, r  ทท่ี ำให้ a = bq + r โดยที่ 0  r  b โดยจะแบง่ การพิสูจน์เปน็ 2 กรณี คือ

b  0 และ b  0 (สำหรบั กรณที ่ี b = 0 ไม่ตอ้ งกลา่ วถงึ เนื่องจากไดก้ ำหนดให้ b  0 เอาไว้ สว่ นสาเหตทุ ี่

b  0 นน่ั กเ็ พราะ b เป็นตวั หาร หาก b = 0 กจ็ ะทำให้การหารนั้นไม่มนี ิยาม b จงึ ไม่เทา่ กับ 0 )

กรณที ่ี 1 ถา้ b  0 แลว้ b = b

ให้ S = a − bx | x   a − bx  0 (สรา้ งข้ึนมาเพือ่ พิสจู น์วา่ เซตนมี้ ีสมาชิก)

เนื่องจาก b  0 และ b จะได้ b 1 (b ไมเ่ ป็น 0 จึงมีค่าตำ่ สดุ คอื 1)

และเน่ืองจาก a  0 (ค่าสมั บรู ณข์ องจำนวนใด ๆ  0 เสมอ)

จะไดว้ า่ a b  a (คณู a ท้งั สองขา้ งของ b 1)

และจะได้ a + a b  a + a (บวก a ทัง้ สองข้างของ a b  a )

เน่อื งจากถ้า a  0 สามารถพสิ จู นไ์ ดว้ า่ a + a  0 โดยแบ่งเป็น 2 กรณี ดงั นี้
กรณีท่ี 1 a  0 จะได้ a + a = a + a = 2a  0
กรณีที่ 2 a  0 จะได้ a + a = a + (−a) = 0
จะพบวา่ ไม่ว่า a เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ a + a  0 เสมอ

จาก a + a b = a − (− a b) = a − b (− a )

ทำใหไ้ ด้ว่า a − b(− a )  0 ( a + a b  a + a จึงต้อง  0 ไปดว้ ย)

สงั เกตวา่ a − b(− a ) อยูใ่ นรูป a − bx ( x = − a ซึง่ เปน็ จำนวนเตม็ )

ดังนัน้ S   แสดงวา่ มี s  S ซ่ึง s  0

ถา้ s = 0 จะไดว้ า่ มี q  ซงึ่ s = a − bq

นน่ั คือ a = bq + s เม่อื s = 0

ถา้ s  0 โดย สัทพจน์ 3.4 จะมี r  S ซง่ึ r  s

แสดงว่าจะมี q  ซ่ึง r = a − bq ดังน้ัน a = bq + r โดยท่ี r  0

ตอ่ ไปจะแสดงวา่ r  b โดยสมมติวา่ r  b จะได้ r − b  0

เนื่องจาก r − b = (a − bq) − b = a − b(q +1) ซง่ึ อยใู่ นรูป a − bx โดยท่ี q +1

แสดงว่า r − b S แต่ r − b  r (เพราะ b  0  −b  0  r − b  r )

ซึ่งขัดแยง้ กบั ทว่ี า่ r เปน็ จำนวนเต็มบวกทีน่ ้อยท่ีสุดใน S ดงั นัน้ r  b = b

เพราะฉะน้นั จะมี q, r  ทีท่ ำให้ a = bq + r โดยท่ี 0  r  b

กรณที ี่ 2 ถา้ b  0 แลว้ b = −b

ให้ S = a − bx | x   a − bx  0 (สรา้ งข้นึ มาเพ่ือพสิ ูจน์ว่าเซตนม้ี สี มาชิก)

เน่อื งจาก b  0 dและ b จะได้ b  −1(b ไมเ่ ป็น 0 จึงมีค่ามากสุดคอื −1)

และเนอื่ งจาก a  0 ทำให้ − a  0 (คา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนจริงใด ๆ  0 เสมอ)

จะได้วา่ − a b  a จ (คณู − a ทัง้ สองขา้ งของ b  −1)

และจะได้ a − b a  a + a (บวก a ท้ังสองข้างของ − a b  a )

24

เนื่องจาก a + a  0 (ไดพ้ สิ จู น์ไวแ้ ล้วในกรณที ่ี 1)

ทำใหไ้ ด้วา่ a − b a  0 ( a − b a  a + a จงึ ต้อง  0 ไปด้วย)

สังเกตว่า a − b a อยูใ่ นรูป a −bx ( x = a ซ่ึงเปน็ จำนวนเตม็ )

ดังน้นั S   แสดงว่ามี s  S ซ่งึ s  0

ถา้ s = 0 จะไดว้ ่ามี q  ซึ่ง s = a − bq

นัน่ คอื a = bq + s เม่อื s = 0

ถา้ s  0 โดย สทั พจน์ 3.4 จะมี r  S ซง่ึ r  s

แสดงวา่ จะมี q  ซ่ึง r = a − bq ดังน้ัน a = bq + r โดยท่ี r  0

ต่อไปจะแสดงว่า r  −b โดยสมมติว่า r  −b จะได้ r + b  0

เนอื่ งจาก r + b = (a − bq) + b = a − b(q −1) ซึ่งอย่ใู นรปู a − bx โดยที่ q −1

แสดงว่า r + b S แต่ r + b  r (เพราะ b  0  r + b  r )

ซง่ึ ขดั แย้งกบั ท่ีวา่ r เปน็ จำนวนเต็มบวกทน่ี ้อยที่สดุ ใน S ดงั นน้ั r  −b = b

เพราะฉะนั้น มี q, r  ท่ีทำให้ a = bq + r โดยท่ี 0  r  b

ตอนที่ 2 พิสูจน์วา่ มี q, r  เพียงคู่เดียวเทา่ นัน้ ที่ทำให้ a = bq + r โดยท่ี 0  r  b

สมมติวา่ มี q, r, q, r  ทท่ี ำให้

จ a = bq + r ---------- (1) โดยท่ี 0  r  b (อาจเขยี นแยกเป็น 0  r และ r  b )

และ a = bq + r ---------- (2) โดยท่ี 0  r  b (อาจเขยี นแยกเป็น 0  r และ r  b )

การจะพสิ จู นว์ ่า มี q, r  เพียงคูเ่ ดียว ทำไดโ้ ดยการพิสจู น์วา่ q = q และ r = r

นำ (1) − (2); 0 = bq + r − bq − r

r − r = b(q − q) (ย้ายขา้ งแลว้ ดึงตวั รว่ ม)

r − r = b(q − q) (ใสค่ ่าสมั บรู ณท์ งั้ สองขา้ งของสมการ)

r − r = b q − q ทฤษฎบี ท 3.17.2 และ ทฤษฎีบท 3.17.4

จะแบ่งคา่ ของ r − r ออกเป็น 2 กรณี คอื r − r  0 และ r − r  0

กรณที ่ี 1 r − r  0 จะได้ r − r = r − r จาก r  b และ 0  r จัดรปู ใหม่ได้ b  r และ

0  −r โดย ทฤษฎบี ท 3.16.3 จะได้ b + 0  r − r จดั รูปใหมไ่ ด้จะได้ r − r  b นั่นคอื r − r  b

กรณที ี่ 2 r − r  0 หรอื กค็ อื r − r  0 จะได้ r − r = r − r จาก r  b และ 0  r จดั รปู

ใหมไ่ ด้ b  r และ 0  −r โดย ทฤษฎีบท 3.16.3 จะได้ b + 0  r − r จดั รปู ใหมไ่ ด้จะได้ r − r  b

นัน่ คอื r − r  b โดย ทฤษฎบี ท 3.17.4 จะได้ r − r = r − r ดงั น้ัน r − r  b

จากท้ังสองกรณีจะได้ r − r  b และจาก 0  r − r (ค่าสัมบรู ณ์ของจำนวนจรงิ ใด ๆ  0 เสมอ)

จงึ ได้วา่ 0  r − r  b จาก r − r = b q − q จะได้ 0  b q − q  b เมอ่ื หาร b ตลอดทั้งอสมการ

จะได้ 0  q − q 1 เนอื่ งจาก q − q เปน็ จำนวนเต็ม จะไดว้ า่ q − q = 0 ทำให้ r − r = b 0 ทำให้

r − r = 0 ด้วย โดย ทฤษฎีบท 3.18 จะได้ q − q = 0 = 0 และ r − r = 0 = 0 น่ันคอื q = q และ

r = r จงึ สรุปได้ว่า มี q, r  เพยี งคู่เดียวเทา่ น้นั ทที่ ำให้ a = bq + r โดยที่ 0  r  b

25

ทฤษฎีบท 3.11 : ขนั้ ตอนวธิ กี ำรหำรสำหรับพหุนำม (Division Algorithm for Polynomials)

ถ้า a ( x) และ b( x) เป็นพหุนาม โดยท่ี b( x)  0 แล้วจะมีพหุนาม q ( x) และ r ( x) เพยี งคเู่ ดยี วเท่านั้น

ทท่ี ำให้ a ( x) = b( x) q ( x) + r ( x) เม่อื r ( x) = 0 หรือ deg (r ( x))  deg (b( x))

(หมายความว่าดกี รขี องเศษตอ้ งนอ้ ยกวา่ ดีกรีของตัวหาร หรอื เศษต้องเป็น 0 โดยสาเหตทุ ี่ต้องเขียนแยกเพราะ
0 เป็นพหุนามที่ไม่นิยามดีกรี เพราะ 0 สามารถเขียนอยู่ในรูป 0xn เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ทำให้มันมี
ดกี รีใดกไ็ ด้ 0 จงึ ไมม่ ีนยิ ามดกี ร)ี

พิสจู น์ : ให้ a ( x) และ b( x) เปน็ พหนุ าม โดยท่ี b( x)  0 โดย ทฤษฎบี ท 3.10 (ขนั้ ตอนวิธีการหาร)

จะได้ว่ามพี หุนาม q ( x) และ r ( x) โดยท่ี r ( x) = 0 หรอื deg (r ( x))  deg (b( x))

ซงึ่ ทำให้ a ( x) = b( x) q ( x) + r ( x) ---------- (1)

เหลือเพียงแสดงวา่ มพี หนุ าม q ( x) และ r ( x) ไดเ้ พียงชดุ เดยี ว

สมมตวิ า่ มี q1 ( x) และ r1 ( x) เปน็ พหนุ ามอีกชดุ หนง่ึ โดยที่ r1 ( x) = 0 หรอื deg (r1 ( x))  deg (b( x))

ซง่ึ ทำให้ a ( x) = b( x) q1 ( x) + r1 ( x) ---------- (2) เมื่อนำ (1) − (2); จะได้

a ( x) − a ( x) = b( x) q ( x) + r ( x) − b ( x) q1 ( x) + r1 ( x)

( )0 = b( x) q ( x) + r ( x) + − b ( x) q1 ( x) + r1 ( x) บทนิยำม 3.2

0 = b( x) q ( x) + r ( x) + ((−1) b( x) q1 ( x) + r1 ( x)) ทฤษฎบี ท 3.4

0 = b( x) q ( x) + r ( x) + (−1)b( x) q1 ( x) + (−1) r1 ( x) (สมบัตกิ ารแจกแจง)

0 = b( x) q ( x) + r ( x) + −b ( x) q1 ( x) + (−r1 ( x)) ทฤษฎีบท 3.4

0 = b ( x) q ( x) + r ( x) − b ( x) q1 ( x) − r1 ( x) บทนิยำม 3.2

0 = b( x) q ( x) − b( x)q1 ( x) + r ( x) − r1 ( x) 0(สมบตั ิการสลบั ที่และเปลี่ยนหม)ู่

0 = b ( x) q ( x) − q1 ( x) + r ( x) − r1 ( x) (สมบัติการแจกแจง)

จะไดว้ า่ −b( x) q ( x) − q1 ( x) = r ( x) − r1 ( x)
สมมตวิ า่ q ( x)  q1 ( x) หรอื ก็คอื q ( x) − q1 ( x)  0 เนอื่ งจาก b( x)  0 จะได้ −b( x)  0 ทำให้

−b( x) q ( x) − q1 ( x)  0 และจาก −b( x) q ( x) − q1 ( x) = r ( x) − r1 ( x) จะได้
r ( x) − r1 ( x)  0 และจะได้ r ( x)  r1 ( x) ตามมาดว้ ย ทำให้ไดว้ ่า r1 ( x) − r ( x)  0

นัน่ คอื q ( x) − q1 ( x) และ r1 ( x) − r ( x) มนี ิยามดกี รี จาก −b( x) q ( x) − q1 ( x) = r ( x) − r1 ( x)

จะได้ b( x) q ( x) − q1 ( x) = r1 ( x) − r ( x) (คณู −1 ทง้ั สองข้างของสมการ)

ทำให้ deg (r1 ( x) − r ( x)) = deg (b( x) q ( x) − q1 ( x))

รู้กอ่ นพิสูจนต์ ่อ : ถา้ a ( x)  0 และ b( x)  0 แล้ว deg (a ( x)b( x)) = deg (a ( x)) + deg (b ( x))

เชน่ ( (deg x2 x3 +1)) = deg ( x2 ) + deg ( x3 +1) = 2 + 3 = 5 จากสมบตั นิ ีท้ ำให้ได้ว่า

deg (b( x) q ( x) − q1 ( x)) = deg (b( x)) + deg (q ( x) − q1 ( x)) = deg (r1 ( x) − r ( x))

เน่ืองจากพหนุ ามถกู นิยามใหม้ ีดกี รเี ป็นจำนวนเต็มทม่ี ากกวา่ หรอื เทา่ กบั 0 เสมอ ดังน้นั

deg (q ( x) − q1 ( x))  0 จะได้ deg (b( x)) + deg (q ( x) − q1 ( x))  deg (b ( x))
ทำให้ไดว้ ่า deg (r1 ( x) − r ( x))  deg (b( x)) ---------- (3)

26

จาก r ( x) = 0 หรือ deg (r ( x))  deg (b( x)) และ r1 ( x) = 0 หรอื deg (r1 ( x))  deg (b( x))

สามารถแบง่ ออกได้เป็น 4 กรณดี งั น้ี
กรณีที่ 1 r ( x) = 0 และ r1 ( x) = 0 จะได้ว่า r ( x) = r1 ( x) ซงึ่ ขัดแย้งกบั ทเ่ี คยพิสจู นไ์ วว้ ่า r ( x)  r1 ( x)

กรณีท่ี 2 r ( x) = 0 และ deg (r1 ( x))  deg (b( x))
จะไดว้ ่า deg (r1 ( x) − r ( x)) = deg (r1 ( x) − 0) = deg (r1 ( x)) เนื่องจาก deg (r1 ( x))  deg (b( x))
ดังน้นั deg (r1 ( x) − r ( x))  deg (b( x)) ซ่ึงขดั แย้งกับ (3)

กรณที ี่ 3 deg (r ( x))  deg (b( x)) และ r1 ( x) = 0
จะไดว้ า่ deg (r1 ( x) − r ( x)) = deg (0 − r ( x)) = deg (−r ( x)) = deg (r ( x))
เนอ่ื งจาก deg (r ( x))  deg (b( x)) ดงั น้นั deg (r1 ( x) − r ( x))  deg (b( x)) ซึง่ ขดั แย้งกับ (3)

กรณีที่ 4 deg (r ( x))  deg (b( x)) และ deg (r1 ( x))  deg (b( x))
จะได้วา่ deg (r1 ( x) − r ( x))  deg (b( x)) ซ่ึงขดั แยง้ กบั (3)

จะเห็นวา่ ถา้ q( x)  q1 ( x) จะทำให้เกดิ ข้อขัดแย้งในทกุ ๆ กรณี ดังนัน้ เป็นไปไมไ่ ดท้ ี่ q( x)  q1 ( x) ดงั น้ัน
จึงได้ว่า q ( x) = q1 ( x) ทำให้ q ( x) − q1 ( x) = 0 จาก b( x) q ( x) − q1 ( x) = r1 ( x) − r ( x) จะได้
b( x)0 = r1 ( x) − r ( x) ดงั นัน้ r ( x) = r1 ( x) จะเหน็ ว่าเมอ่ื สมมตใิ ห้มี q1 ( x) และ r1 ( x) เปน็ พหุนาม
อกี ชุดหนง่ึ สามารถพิสจู น์ไดว้ า่ พหนุ ามชุดน้กี ็มคี ่าเท่ากับพหนุ ามชดุ เดิม จากทงั้ หมดทพี่ ิสจู น์มาจึงสรุปได้ว่า
ถ้า a ( x) และ b( x) เป็นพหุนาม โดยท่ี b( x)  0 แลว้ จะมีพหุนาม q ( x) และ r ( x) เพยี งค่เู ดียวเท่านั้น

ท่ที ำให้ a ( x) = b( x) q ( x) + r ( x) เมอื่ r ( x) = 0 หรอื deg (r ( x))  deg (b( x))

ตอ่ จากนจี้ ะขอละการอา้ งถึงทฤษฎีบทเกย่ี วกับการดำเนินการต่าง ๆ บางทฤษฎีบททไ่ี ดเ้ คยพสิ จู นไ์ ว้แลว้

ทฤษฎีบท 3.12 : ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem)

ให้ p ( x) เป็นพหุนาม anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ...+ a1x + a0 โดยที่ n เปน็ จำนวนเต็ม และ
an, an−1, an−2,..., a1, a0 เปน็ จำนวนจริง ซงึ่ an  0 ถา้ หารพหุนาม p ( x) ดว้ ยพหุนาม x − c
เมอ่ื c เป็นจำนวนจรงิ แล้วเศษเหลือจะเท่ากับ p(c)

พิสูจน์ : จาก ทฤษฎีบท 3.11 (ขั้นตอนวิธีการหารสำหรับพหุนาม) จะได้ว่าเมื่อหาร p( x) ด้วย x − c
จะมีผลหาร q ( x) และเศษเหลอื r ( x) ซงึ่ p ( x) = ( x − c) q ( x) + r ( x) ---------- (1)

โดยที่ r ( x) = 0 หรือ 0  deg (r ( x))  deg ( x − c) เนอ่ื งจาก deg ( x − c) = 1
จะได้ 0  deg (r ( x)) 1 พบว่ามกี รณีทีเ่ ป็นไปได้คือ deg (r ( x)) = 0 หรือ r ( x) = 0

น่ันคอื r ( x) เป็นค่าคงตัว ให้ r ( x) = d เมื่อ d เป็นค่าคงตัว จะสามารถเขยี น (1) ใหม่ได้เปน็
p ( x) = ( x − c) q ( x) + d เม่อื แทน x ดว้ ย c จะได้ p (c) = (c − c) q ( x) + d
p(c) = 0q ( x) + d นั่นคือ p(c) = d ดังน้นั เศษเหลอื เทา่ กับ p(c) จงึ สรุปไดว้ า่
ถ้าหารพหนุ าม p( x) ด้วยพหุนาม x − c เม่ือ c เป็นจำนวนจรงิ แลว้ เศษเหลือจะเท่ากับ p(c)

27

ทฤษฎีบท 3.13 : ทฤษฎีบทตวั ประกอบ ( Factor Theorem)
ให้ p ( x) เปน็ พหุนาม anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ...+ a1x + a0 โดยท่ี n เป็นจำนวนเต็มบวก
และ an, an−1, an−2,..., a1, a0 เปน็ จำนวนจริง ซึ่ง an  0

พหุนาม p( x) มี x − c เปน็ ตวั ประกอบ กต็ อ่ เมือ่ p (c) = 0

พิสูจน์ : (→) สมมติ x − c เป็นตวั ประกอบของ p( x) ดังน้นั x − c หาร p( x) ลงตัว

น่ันคือ x − c หาร p( x) แล้วได้เศษเหลอื เทา่ กับ 0 จาก ทฤษฎีบท 3.12 เม่ือหารพหุนาม p( x)

ดว้ ยพหุนาม x − c จะได้เศษเหลอื เท่ากับ p(c) ดงั นน้ั p(c) = 0

() สมมติ p (c) = 0 ให้ p ( x) = ( x − c) q ( x) + d จาก ทฤษฎีบท 3.12 จะได้ d = p (c)

ดงั นั้น d = 0 จะได้ p ( x) = ( x − c)q ( x) ดงั น้นั x − c เปน็ ตัวประกอบของ p( x)

จึงสรุปไดว้ ่า พหนุ าม p( x) มี x − c เปน็ ตัวประกอบ กต็ ่อเมอื่ p(c) = 0

ข้อสังเกต : จากทฤษฎบี ทน้ีจะได้วา่ ถ้า x − c เปน็ ตวั ประกอบของ p( x)

จะได้ ( )p c = ancn + an−1cn−1 + an−2cn−2 + ... + a1c + a0 = 0

ancn + an−1cn−1 + an−2cn−2 + ... + a1c = −a0

( )( )−1 (คณู −1 ทง้ั สองขา้ งของสมการ)
ancn + an −1c n −1 + an cn−2 + ... + a1c = a0

−2

( )( )c −1 ancn−1 + an−1cn−2 + an−2cn−3 + ... + a1 = a0 (สมบัติการแจกแจง)

พบว่า c เป็นตัวประกอบของ a0 ดังนั้นการหาพหุนาม x − c ที่เป็นตัวประกอบของ p( x) สามารถทำได้

โดยการหาตวั ประกอบ c ของ a0 ท่ีทำใหเ้ มอ่ื แทน x ใน p( x) ด้วย c แลว้ ได้ p(c) = 0

ทฤษฎีบท 3.14 : ทฤษฎีบทตวั ประกอบตรรกยะ

ให้ p ( x) เปน็ พหนุ าม anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ...+ a1x + a0 โดยท่ี n เปน็ จำนวนเตม็ บวก

และ an , an−1, an−2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนเตม็ ซงึ่ an 0 ถ้า x− k เปน็ ตวั ประกอบของพหุนาม
m
p( x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง m  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากบั 1 แลว้

จะไดว้ า่ m หาร an ลงตัว และ k หาร a0 ลงตวั

รู้ก่อนพิสูจน์ : บทนิยามการหารลงตัว → กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b  0 a หาร b
ลงตัว กต็ อ่ เม่อื มจี ำนวนเต็ม n ที่ทำให้ b = an และเขียนแทน “ a หาร b ลงตัว” ไดด้ ้วยสัญลักษณ์ a | b

พิสูจน์ : ให้ m และ k เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง m  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 ซึ่งทำให้ x − k

m

เป็นตัวประกอบของพหุนาม ( )p x = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ...+ a1x + a0 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม

บวก และ an , an−1, an−2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง an  0 โดย ทฤษฎีบท 3.13 จะได้ว่า p  k  = 0
 m 

น่ันคือ an  k n + an−1  k n−1 + an −2  k n−2 + ... + a1  k  + a0 = 0 เมื่อคูณทัง้ สองขา้ งด้วย mn
 m   m   m   m 

จะได้ ank n + an−1k n−1m + an−2k mn−2 2 + ... + a1kmn−1 + a0mn = 0 ---------- (1)

28

1) จะแสดงวา่ m | an
จาก (1) จะได้ว่า an−1k n−1m + an−2k n−2m2 + ... + a1kmn−1 + a0mn = −ank n

( ) ( )−1 an−1k n−1m + an−2k mn−2 2 + ... + a1kmn−1 + a0mn = ank n

( ) ( )0 m −1 an−1k n−1 + an−2k n−2m + ... + a1kmn−2 + a0mn−1 = ank n
เนื่องจาก ( )(−1 an−1k n−1 + an−2k n−2m + ...+ a1kmn−2 )+ a0mn−1 เป็นจำนวนเต็ม จากบทนิยามการหารลง

ตัวจะได้ m | ank n และจาก ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 หมายความว่า k เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ น่ัน
m
คือไม่สามารถนำ m ไปตัดทอน k ได้อีก จะได้ว่า m ก็ไม่สามารถนำไปตัดทอน kn ได้เช่นกัน นั่นคือ

m | ankn ไดก้ ต็ อ่ เมือ่ สามารถนำ m ไปตดั ทอน an ได้เทา่ น้ัน ดังน้ัน m | an
2) จะแสดงว่า k | a0
จาก (1) จะได้วา่ ank n + an−1k n−1m + an−2k mn−2 2 + ... + a1kmn−1 = −a0mn

( ) ( )−1 ank n + an−1k n−1m + an−2k n−2m2 + ... + a1kmn−1 = a0mn

( ) ( )0 k −1 ank n−1 + an−1k n−2m + an−2k mn−3 2 + ... + a1mn−1 = a0mn
เนื่องจาก ( )( )−1 ank n−1 + an−1k n−2m + an−2k mn−3 2 + ... + a1mn−1 เป็นจำนวนเต็ม จากบทนิยามการหารลง

ตัวจะได้ k | a0mn และจาก ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 หมายความว่า m เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ น่ัน
k
คือไม่สามารถนำ k ไปตัดทอน m ได้อีก จะได้ว่า k ก็ไม่สามารถนำไปตัดทอน mn ได้เช่นกัน นั่นคือ

k | a0mn ได้กต็ อ่ เมือ่ สามารถนำ k ไปตดั ทอน an ไดเ้ ท่าน้นั ดงั นน้ั k | a0
 m หาร an ลงตัว และ k หาร a0 ลงตัว

สมการกำลังสอง คือ สมการที่เขียนได้ในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวน
จริง โดยที่ a  0 ถ้า b2 − 4ac  0 แล้วจะมีจำนวนจริงที่เป็นคําตอบของสมการกําลังสองนี้ โดยคําตอบคือ

−b  b2 − 4ac ถ้า b2 − 4ac  0 แล้ว จะไม่มจี ำนวนจริงท่ีเป็นคาํ ตอบของสมการกําลงั สองนี้

2a

(สำมำรถหำกำรพิสจู น์ได้จำก Google หรอื หนังสอื เรยี นคณติ ศำสตร์ ม.3)

สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว คอื สมการท่เี ขยี นได้ในรปู

anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ...+ a1x + a0 = 0 เม่อื n เปน็ จำนวนเต็มท่ไี ม่เป็นลบ

และ an, an−1, an−2,..., a1, a0 เป็นจำนวนจรงิ ทเ่ี ปน็ สมั ประสิทธข์ิ องพหนุ าม

ให้ p(x) และ q(x) เป็นพหุนาม โดยที่ q(x)  0 จะเรียก p(x) ว่า “เศษส่วนของพหุ-
q(x)
นาม” ทม่ี ี p( x) เปน็ ตัวเศษ และ q ( x) เป็นตวั ส่วน

การบวกลบคูณหารเศษสว่ นของพหนุ าม ใชห้ ลกั เกณฑเ์ ดยี วกบั เศษส่วนของจำนวนจรงิ

สมการเศษส่วนของพหุนาม คือ สมการที่สามารถจัดให้อยู่ในรูป p(x) เมื่อ p(x) และ
q(x) = 0
q ( x) เป็นพหุนาม โดยที่ q ( x)  0

29

ถ้ากำหนดสัญลักษณ์ a  0 หมายถึง a  + และ a  0 หมายถึง −a  + จะทำให้
สามารถเขยี นสัทพจนเ์ ชงิ อันดบั ได้อีกแบบหนง่ึ ดังน้ี

สัทพจน์ 3.3 : สัทพจนเ์ ชิงอันดบั

สำหรบั a  และ b จะได้วา่
1) ถ้า a  0 และ b  0 แลว้ a + b  0 (สมบตั ปิ ดิ การบวก)
2) ถ้า a  0 และ b  0 แลว้ ab  0 (สมบัตปิ ิดการคณู )
3) สำหรับจำนวนจริง a ใด ๆ a  0 หรอื a = 0 หรอื a  0 จ เพยี งอยา่ งใดอย่างหนึง่ (สมบตั ไิ ตรวิภาค)

บทนยิ ำม 3.3 3) a  b หมายถึง a  b หรือ a = b
4) a  b หมายถงึ a  b หรอื a = b
ให้ a และ b เป็นจำนวนจรงิ
1) a  b หมายถงึ a − b  0
2) a  b หมายถงึ a − b  0 (หรอื b − a  0 หรอื b  a )

ทฤษฎีบท 3.15

ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ จะมสี มบตั กิ ารไมเ่ ทา่ กนั ดังน้ี
1) สมบตั กิ ารถา่ ยทอด
ถ้า a  b และ b  c แล้ว a  c และ ถ้า a  b และ b  c แล้ว a  c

2) สมบตั กิ ารบวกดว้ ยจำนวนทเ่ี ทา่ กนั
ถ้า a  b แลว้ a + c  b + c และ ถ้า a  b แลว้ a + c  b + c

3) สมบตั กิ ารคูณดว้ ยจำนวนทเ่ี ท่ากนั ทไี่ มเ่ ปน็ ศูนย์
กรณีที่ 1 ถ้า a  b และ c  0 แลว้ ac  bc และ ถ้า a  b และ c  0 แลว้ ac  bc
กรณที ่ี 2 ถา้ a  b และ c  0 แลว้ ac  bc และ ถ้า a  b และ c  0 แลว้ ac  bc

4) สมบัตกิ ารตดั ออกสำหรบั การบวก
ถา้ a + c  b + c แลว้ a  b และ ถ้า a + c  b + c แล้ว a  b

5) สมบัติการตัดออกสำหรบั การคณู
กรณที ี่ 1 ถา้ ac  bc และ c  0 แล้ว a  b และ ถา้ ac  bc และ c  0 แลว้ a  b
กรณที ี่ 2 ถา้ ac  bc และ c  0 แล้ว a  b และ ถ้า ac  bc และ c  0 แลว้ a  b

พสิ จู น์ : 3.15.1) จะแบง่ การพสิ ูจนอ์ อกเปน็ 2 ขั้นตอน ดังน้ี
ข้ันตอนท่ี 1 : พิสจู นว์ ่า ถ้า a  b และ b  c แลว้ a  c
ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ โดยท่ี a  b และ b  c
จาก บทนยิ ำม 3.3 จะได้ a − b  0 และ b − c  0 และจาก สทั พจน์ 3.3 จะได้ (a − b) + (b − c)  0
ทำให้ไดว้ ่า a − c  0 ดงั น้ันจาก บทนิยำม 3.3 จึงได้ a  c

30

ขัน้ ตอนที่ 2 : พสิ จู นว์ า่ ถา้ a  b และ b  c แล้ว a  c
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ โดยที่ a  b และ b  c จาก บทนยิ ำม 3.3 จะได้
a − b  0 หรือ a = b และ b − c  0 หรอื b = c ซง่ึ สามารถแบ่งไดเ้ ป็น 4 กรณี ดังตอ่ ไปนี้
กรณีที่ 1 a − b  0 และ b − c  0 จากการพิสูจน์ในขนั้ ตอนท่ี 1 จะได้วา่ a  c
กรณีที่ 2 a − b  0 และ b = c จะได้ a − c  0 (แทน b ดว้ ย c ) ดงั นน้ั a  c
กรณที ี่ 3 a = b และ b − c  0 จะได้ a − c  0 (แทน b ดว้ ย a ) ดังน้นั a  c
กรณีท่ี 4 a = b และ b = c จาก สทั พจน์ 3.1.3 จะได้ a = c
จากทั้ง 4 กรณีจะไดว้ ่า a  c หรือ a = c ดังนน้ั จาก บทนิยำม 3.3 จึงได้ a  c
 ถา้ a  b และ b  c แล้ว a  c และ ถ้า a  b และ b  c แลว้ a  c

3.15.2) จะแบง่ การพสิ จู น์ออกเปน็ 2 ขัน้ ตอน ดังน้ี
ข้ันตอนที่ 1 : พสิ จู น์วา่ ถ้า a  b แล้ว a + c  b + c
ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ โดยที่ a  b จาก บทนิยำม 3.3 จะได้ a − b  0
เน่ืองจาก (a + c) − (b + c) = a − b จะได้ (a + c) − (b + c)  0 ดงั นน้ั a + c  b + c (บทนิยำม 3.3)

ขั้นตอนที่ 2 : พสิ ูจน์ว่า ถ้า a  b แลว้ a + c  b + c
ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ โดยที่ a  b จาก บทนิยำม 3.3 จะได้ a − b  0 หรือ a = b
กรณที ี่ 1 a − b  0 จากการพิสจู น์ในขั้นตอนท่ี 1 จะได้วา่ a + c  b + c
กรณที ี่ 2 a = b บวกทงั้ สองข้างของสมการดว้ ยจำนวนทเ่ี ทา่ กนั จะไดว้ า่ a + c = b + c
จากทั้ง 2 กรณีจะได้วา่ a + c  b + c หรอื a + c = b + c ดงั นัน้ จาก บทนิยำม 3.3 จึงได้ a + c  b + c
 ถา้ a  b แลว้ a + c  b + c และ ถา้ a  b แล้ว a + c  b + c

3.15.3) จะแบ่งการพสิ จู นอ์ อกเป็น 2 กรณี ดงั นี้
กรณที ี่ 1 : c  0 จะแบ่งการพิสูจนเ์ ป็น 2 ข้ันตอนคอื
ข้นั ตอนท่ี 1 พสิ ูจน์ว่า ถา้ a  b และ c  0 แล้ว ac  bc
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ โดยท่ี a  b จาก บทนิยำม 3.3 จะได้ a − b  0
และจาก สัทพจน์ 3.3.2 จะได้ (a − b)c  0 ทำให้ ac − bc  0 ดังนน้ั ac  bc
ขนั้ ตอนท่ี 2 พสิ ูจนว์ า่ ถ้า a  b และ c  0 แลว้ ac  bc
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ โดยที่ a  b จาก บทนยิ ำม 3.3 จะได้ a − b  0 หรือ a = b
สำหรับกรณที ี่ a − b  0 จาก สัทพจน์ 3.3.2 จะได้ (a − b)c  0 ทำให้ ac − bc  0 ดังนั้น ac  bc
ส่วนกรณที ี่ a = b หรอื กค็ อื a − b = 0 จะได้ (a − b)c = 0 ดงั น้ัน ac = bc จากท้งั สองกรณีนจ้ี ะได้ว่า
ac  bc หรอื ac = bc จาก บทนิยำม 3.3 จงึ สรุปได้ว่า ac  bc
 ถ้า a  b และ c  0 แลว้ ac  bc และ ถา้ a  b และ c  0 แลว้ ac  bc

31

กรณที ี่ 2 : c  0 จะแบง่ การพิสูจนเ์ ป็น 2 ข้ันตอนคือ
ขั้นตอนที่ 1 พสิ จู นว์ ่า ถ้า a  b และ c  0 แล้ว ac  bc
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ โดยท่ี a  b จาก บทนิยำม 3.3 จะได้ a − b  0
และจะได้ (a − b)c  0 (จำนวนบวกคูณกับจำนวนลบจะได้จำนวนลบ) ทำให้ ac −bc  0 ดงั นน้ั ac  bc

ขน้ั ตอนที่ 2 พสิ ูจน์ว่า ถา้ a  b และ c  0 แล้ว ac  bc
ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ โดยท่ี a  b จาก บทนยิ ำม 3.3 จะได้ a − b  0 หรอื a = b
สำหรบั กรณีที่ a −b  0 ได้พสิ จู น์ไวแ้ ลว้ ในขั้นตอนท่ี 1 วา่ ac  bc
สว่ นกรณที ่ี a = b หรอื ก็คอื a − b = 0 จะได้ (a − b)c = 0 ดังนนั้ ac = bc จากท้งั สองกรณนี ้ีจะได้ว่า
ac  bc หรอื ac = bc จาก บทนิยำม 3.3 จึงสรปุ ไดว้ ่า ac  bc
 ถ้า a  b และ c  0 แลว้ ac  bc และ ถ้า a  b และ c  0 แล้ว ac  bc

3.15.4) จะแบง่ การพิสูจนเ์ ปน็ 2 ขั้นตอนคือ

ข้ันตอนท่ี 1 พิสูจนว์ า่ ถ้า a + c  b + c แลว้ a  b

ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ โดยที่ a + c  b + c

จะได้ a + c + (−c)  b + c + (−c) ทฤษฎบี ท 3.15.2

ดังนน้ั a  b (สมบัตกิ ารมี inverse การบวก)

ขน้ั ตอนที่ 2 พสิ จู น์วา่ ถา้ a + c  b + c แลว้ a  b

ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยท่ี a + c  b + c

จะได้ a + c + (−c)  b + c + (−c) ทฤษฎีบท 3.15.2

ดงั นน้ั a  b (สมบตั กิ ารมี inverse การบวก)

 ถา้ a + c  b + c แลว้ a  b และ ถ้า a + c  b + c แลว้ a  b

3.15.5) ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ จะแบ่งการพิสจู นอ์ อกเปน็ 2 กรณี ดงั นี้
กรณที ี่ 1 : c  0 จะแบง่ การพิสจู นเ์ ปน็ 2 ข้นั ตอนคอื
ขน้ั ตอนที่ 1 พสิ จู นว์ ่า ถ้า ac  bc และ c  0 แลว้ a  b
เน่อื งจาก c  0 จาก ทฤษฎบี ท 3.8 จะได้ c−1  0 และจาก ทฤษฎีบท 3.15.3 คูณ c−1 ท้งั สองข้างของ

อสมการ ac  bc จะทำให้ได้วา่ ( ) ( )ac c−1  bc c−1 ดังนัน้ a  b

ขน้ั ตอนท่ี 2 พสิ จู น์วา่ ถา้ ac  bc และ c  0 แลว้ a  b
เนือ่ งจาก c  0 จาก ทฤษฎีบท 3.8 จะได้ c−1  0 และจาก ทฤษฎบี ท 3.15.3 คูณ c−1 ท้ังสองข้างของ

อสมการ ac  bc จะทำใหไ้ ด้ว่า ( ) ( )ac c−1  bc c−1 ดงั น้นั a  b

 ถ้า a  b และ c  0 แลว้ ac  bc และ ถ้า a  b และ c  0 แลว้ ac  bc

32

กรณที ี่ 2 : c  0 จะแบง่ การพสิ ูจน์เปน็ 2 ข้นั ตอนคอื
ขน้ั ตอนที่ 1 พสิ ูจนว์ า่ ถ้า ac  bc และ c  0 แลว้ a  b
เนือ่ งจาก c  0 จาก ทฤษฎบี ท 3.8 จะได้ c−1  0 และจาก ทฤษฎบี ท 3.15.3 คูณ c−1 ท้งั สองข้างของ

อสมการ ac  bc จะทำใหไ้ ด้ว่า ( ) ( )ac c−1  bc c−1 ดงั นนั้ a  b

ขน้ั ตอนที่ 2 พสิ ูจน์ว่า ถ้า ac  bc และ c  0 แล้ว a  b
เนื่องจาก c  0 จาก ทฤษฎบี ท 3.8 จะได้ c−1  0 และจาก ทฤษฎีบท 3.15.3 คูณ c−1 ทง้ั สองข้างของ

อสมการ ac  bc จะทำใหไ้ ดว้ ่า ( ) ( )ac c−1  bc c−1 ดังนน้ั a  b

 ถ้า ac  bc และ c  0 แลว้ a  b และ ถา้ ac  bc และ c  0 แลว้ a  b

ทฤษฎีบท 3.16

ให้ a, b, c และ d เปน็ จำนวนจริง จะมสี มบัตดิ งั ต่อไปน้ี
1) ถ้า a  b และ c  d แลว้ a + c  b + d
2) ถา้ a  b และ c  d แล้ว a + c  b + d
3) ถา้ a  b และ c  d แลว้ a + c  b + d

พิสูจน์ : 3.16.1) ให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงใด ๆ ซึ่ง a  b และ c  d โดย ทฤษฎีบท 3.15.2
จะได้ a + c  b + c และ b + c  b + d จาก ทฤษฎีบท 3.15.1 จึงได้วา่ a + c  b + d

3.16.2) ให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงใด ๆ ซึ่ง a  b และ c  d โดย ทฤษฎีบท 3.15.2 จะได้
a + c  b + c และ b + c  b + d จาก ทฤษฎีบท 3.15.1 จึงได้วา่ a + c  b + d

3.16.3) ให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงใด ๆ ซึ่ง a  b และ c  d จาก บทนิยำม 3.3 จะได้
a  b หรือ a = b และ c  d ดงั นั้นจะสามารถแบง่ การพิสูจน์ออกเปน็ 2 กรณี ดังนี้
กรณีที่ 1 a  b และ c  d โดย ทฤษฎบี ท 3.16.1 จะได้ว่า a + c  b + d
กรณีที่ 2 a = b และ c  d โดย ทฤษฎีบท 3.15.2 บวก a ทั้งสองข้างของอสมการ c  d จะได้
a + c  a + d แตเ่ น่อื งจาก a = b ดงั นั้น a + c  b + d (แทน a ด้วย b )
จากทง้ั 2 กรณีสามารถสรุปได้ว่า ถ้า a  b และ c  d แลว้ a + c  b + d

ข้อควรระวัง :
1. ไมม่ ที ฤษฎบี ททกี่ ลา่ ววา่ ถา้ a  b และ c  d แลว้ a − c  b − d เพราะอาจเป็นเท็จ ตัวอย่างเช่น
ถ้า 2  1 และ 6  4 แลว้ 2 − 6 1− 4 (−4  −3) ซึง่ เป็นเท็จ
2. ไมม่ ีทฤษฎีบทท่ีกลา่ วว่า ถ้า a  b และ c  d แลว้ a − c  b − d เพราะอาจเปน็ เท็จ ตวั อยา่ งเช่น
ถ้า 2  1 และ 6  4 แลว้ 2 − 6 1− 4 (−4  −3) ซงึ่ เป็นเทจ็
3. จาก ทฤษฎีบท 3.16.3 อาจทำใหส้ งสัยวา่ เหตุใดจึงไมใ่ ชเ้ ครื่องหมาย  ในอสมการ a + c  b + d
ทั้งนี้ก็เพราะ a + c = b + d ได้ก็ต่อเมื่อ a = b และ c = d แต่จาก c  d หมายความว่า c  d
จงึ เปน็ ไปไม่ได้ที่ a + c = b + d ดังน้ันจงึ เหลือเพยี งแค่ a + c  b + d

33

ทฤษฎีบท 3.15 และ 3.16 ยังคงใช้ได้กับอสมการที่มีเครื่องหมาย  และ  เพราะอสมการ
สามารถสลับขา้ งแล้วพลิกเครื่องหมายได้ เช่น a  b มีความหมายเดียวกบั b  a

บทนิยำม 3.4 3) a  b  c หมายถึง a  b และ b  c
4) a  b  c หมายถึง a  b และ b  c
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ
1) a  b  c หมายถงึ a  b และ b  c
2) a  b  c หมายถึง a  b และ b  c

บทนยิ ำม 3.5

ให้ a และ b เปน็ จำนวนจริง ซ่งึ a  b

1) ชว่ งเปดิ (a,b) หมายถึง x | a  x  b

2) ช่วงปิด a,b หมายถึง x | a  x  b

3) ช่วงครึ่งเปิดหรอื ชว่ งครง่ึ ปิด (a,b หมายถงึ x | a  x  b

4) ชว่ งครง่ึ เปิดหรือช่วงครึง่ ปิด a,b) หมายถงึ x | a  x  b

5) ช่วงเปดิ อนันต์ (a,) หมายถงึ x | x  a

6) ชว่ งเปิดอนันต์ (−,a) หมายถงึ x | x  a

7) ช่วงปดิ อนันต์ a,) หมายถงึ x | x  a

8) ช่วงปิดอนันต์ (−, a หมายถงึ x | x  a

บทนยิ ำม 3.6

ให้ a เป็นจำนวนจริง ค่าสัมบูรณ์ของ a เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ a โดยท่ี

a เมอ่ื a  0
 เมือ่ a  0
a = 

 −a

ขอ้ สังเกต :
1. จากบทนิยาม 3.6 ในกรณที ี่ a  0 จะได้ −a  0 ดังนน้ั a  0 เสมอเมื่อ a เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ
2. จากขอ้ 1 ทำใหไ้ ด้ว่า a = a เพราะ a  0 เสมอ
3. a สามารถพิจารณาจากระยะจากจดุ ทแี่ ทน 0 ถึงจดุ ท่แี ทน a บนเสน้ จำนวน

ทฤษฎีบท 3.17

ให้ x และ y เป็นจำนวนจรงิ จะไดว้ า่

1) x = −x 4) x − y = y − x

2) xy = x y 5) x 2 = x2

3) x = x เม่อื y  0 6) x + y  x + y

yy

34

พิสูจน์ : 3.17.1) ให้ x เปน็ จำนวนจริงใด ๆ จะแบ่งการพิสจู น์ออกเป็น 3 กรณี ตามสมบตั ไิ ตรวภิ าคดงั นี้
กรณีที่ 1 เม่ือ x  0 ทำให้ −x  0 จะได้ x = x และ −x = −(−x) = x ดงั นนั้ x = −x
กรณที ่ี 2 เม่ือ x = 0 จะได้ x = 0 = 0 = −0 = −x ดงั นนั้ x = −x
กรณที ี่ 3 เมือ่ x  0 ทำให้ −x  0 จะได้ x = −x และ −x = −x ดงั นัน้ x = −x
จากทง้ั 3 กรณสี ามารถสรปุ ได้วา่ x = −x

3.17.2) ให้ x และ y เปน็ จำนวนจริงใด ๆ จะแบง่ การพิสจู น์ออกเป็น 4 กรณี ดงั น้ี
กรณีที่ 1 เมื่อ x  0 และ y  0 ทำให้ xy  0 จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า x = x , y = y ,
xy = xy และ x y = xy ดงั นน้ั xy = x y
กรณีที่ 2 เมื่อ x  0 และ y  0 ทำให้ xy  0 จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า x = x , y = −y ,
xy = −xy และ x y = x (− y) = −xy ดังนนั้ xy = x y
กรณีที่ 3 เมื่อ x  0 และ y  0 ทำให้ xy  0 จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า x = −x , y = y ,
xy = −xy และ x y = (−x) y = −xy ดังน้นั xy = x y
กรณีที่ 4 เมื่อ x  0 และ y  0 ทำให้ xy  0 จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า x = −x , y = −y ,
xy = xy และ x y = (−x)(− y) = xy ดงั นั้น xy = x y
จากท้ัง 4 กรณสี ามารถสรปุ ได้ว่า xy = x y

3.17.3) ให้ x และ y เป็นจำนวนจริงใด ๆ ซง่ึ y  0 จะแบง่ การพสิ ูจนอ์ อกเปน็ 4 กรณี ดงั น้ี

กรณีที่ 1 เมื่อ x  0 และ y  0 ทำให้ x  0 จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า x = x , y = y ,

y

x = x และ x = x ดงั นน้ั x = x
yy yy yy

กรณีที่ 2 เมื่อ x  0 และ y  0 ทำให้ x  0 จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า x = x , y = −y ,

y

x = − x และ x = x = − x ดังน้นั x = x
yy y −y y yy

กรณีที่ 3 เมื่อ x  0 และ y  0 ทำให้ x  0 จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า x = −x , y = y ,

y

x = − x และ x = −x = − x ดังนน้ั x = x
yy yy y yy

กรณีที่ 4 เมื่อ x  0 และ y  0 ทำให้ x  0 จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า x = −x , y = −y ,

y

x =x และ x = −x = −  −x  = −  − x  = x ดังนนั้ x= x
yy y −y  y   y  y y y
   

จากทง้ั 4 กรณสี ามารถสรปุ ได้ว่า x = x

yy

3.17.4) ให้ x และ y เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดย ทฤษฎีบท 3.17.1 จะได้ว่า x − y = −( x − y)
เน่ืองจาก −( x − y) = −x + y = y − x ดงั นัน้ x − y = y − x

35

3.17.5) ให้ x เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะแบง่ การพิสจู นอ์ อกเปน็ 2 กรณี ดังนี้
กรณีที่ 1 เมอ่ื x  0 ทำให้ x = x จะได้ x 2 = x  x = x  x = x2 ดงั นน้ั x 2 = x2
กรณีท่ี 2 เม่ือ x  0 ทำให้ x = −x จะได้ x 2 = x  x = (−x)(−x) = x2 ดังนนั้ x 2 = x2
จากทงั้ 2 กรณสี ามารถสรุปไดว้ ่า x 2 = x2

3.17.6) ให้ x และ y เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ จะแบ่งการพสิ ูจน์ออกเปน็ 4 กรณี ดังน้ี
กรณีที่ 1 เมื่อ x  0 และ y  0 ทำให้ x + y  0 จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า x = x , y = y ,
x + y = x + y และ x + y = x + y ดังนนั้ x + y = x + y
กรณีที่ 2 เม่อื x  0 และ y  0 ทำให้ x + y  0 หรือ x + y  0 ดงั นัน้ จะแบ่งการพสิ ูจน์ออกอกี 2 กรณี

กรณีที่ 2.1 x + y  0 จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า x = x , y = −y , x + y = x + y
และ x + y = x − y เนื่องจาก y  0 ทำให้ −y  0 จะได้ y  −y และจะได้ x + y  x − y
ดังนน้ั จงึ ไดว้ า่ x + y  x + y
กรณีที่ 2.2 x + y  0 จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า x = x , y = −y , x + y = −x − y
และ x + y = x − y เนื่องจาก x  0 ทำให้ −x  0 จะได้ −x  x และจะได้ −x − y  x − y
ดงั นน้ั จึงได้ว่า x + y  x + y

เมอ่ื รวมส่ิงทไ่ี ด้จากกรณีที่ 2.1 และ 2.2 จะได้ประโยคเปิด ( x + y  x + y )  ( x + y  x + y )
 ( x + y  x + y )  ( x + y  x + y )  ( x + y = x + y )
 ( x + y  x + y )  ( x + y  x + y )  ( x + y = x + y )
 ( x+ y  x + y )( x+ y = x + y )

ดังนน้ั ในกรณีที่ 2 จงึ ได้วา่ x + y  x + y
กรณที ี่ 3 เมอ่ื x  0 และ y  0 ทำให้ x + y  0 หรือ x + y  0 ดงั น้นั จะแบง่ การพิสูจนอ์ อกอีก 2 กรณี

กรณีที่ 3.1 x + y  0 จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า x = −x , y = y , x + y = x + y
และ x + y = −x + y เนื่องจาก x  0 ทำให้ −x  0 จะได้ x  −x และจะได้ x + y  −x + y
ดงั นั้นจงึ ได้วา่ x + y  x + y
กรณีที่ 3.2 x + y  0 จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า x = −x , y = y , x + y = −x − y
และ x + y = −x + y เนื่องจาก y  0 ทำให้ −y  0 จะได้ −y  y และจะได้ −x − y  −x + y
ดังนั้นจึงได้วา่ x + y  x + y

เมอื่ รวมสงิ่ ทไ่ี ด้จากกรณที ่ี 2.1 และ 2.2 จะไดป้ ระโยคเปดิ ( x + y  x + y )  ( x + y  x + y )
 ( x + y  x + y )  ( x + y  x + y )  ( x + y = x + y )
 ( x + y  x + y )  ( x + y  x + y )  ( x + y = x + y )
 ( x+ y  x + y )( x+ y = x + y )

ดงั นนั้ ในกรณีท่ี 3 จงึ ได้วา่ x + y  x + y
กรณีที่ 4 เมื่อ x  0 และ y  0 ทำให้ x + y  0 จากบทนิยามค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า x = −x , y = −y ,
x + y = −( x + y) = −x − y และ x + y = −x − y ดงั นนั้ x + y = x + y

36

เม่อื รวมสิง่ ทไ่ี ด้จากการพสิ ูจนท์ ั้ง 4 กรณี จะไดป้ ระโยคเปิด ( x = a)

( x+ y = x + y )( x+ y  x + y )( x+ y  x + y )( x+ y = x + y )
 ( x+ y = x + y )( x+ y  x + y )
 ( x+ y = x + y )( x+ y  x + y )( x+ y = x + y )
 ( x + y  x + y )  ( x + y = x + y ) จงึ สรปุ ได้ว่า x + y  x + y

f

ทฤษฎีบท 3.18

ให้ x เป็นจำนวนจริง และ a เปน็ จำนวนจริงบวก ถ้า x = a แลว้ x = a หรือ x = −a

พิสูจน์ : ให้ x เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะแบง่ การพิสจู นอ์ อกเปน็ 2 กรณี ดังน้ี

กรณีที่ 1 เมือ่ x  0 ทำให้ x = x จาก x = a จะได้ x = a

กรณีที่ 2 เมื่อ x  0 ทำให้ x = −x จาก x = a จะได้ −x = a นั่นคือ −(−x) = −a ดังนั้น x = −a

จากท้ัง 2 กรณี สามารถสรปุ ได้วา่ x = a หรือ x = −a (สามารถนยิ ามให้เขียนไดอ้ ีกแบบว่า x = a )

d

ทฤษฎีบท 3.19

ให้ x เปน็ จำนวนจริง และ a เป็นจำนวนจริงบวก

1) ถ้า x  a แล้ว −a  x  a 3) ถ้า x  a แลว้ x  −a หรือ x  a

2) ถา้ x  a แล้ว −a  x  a 4) ถา้ x  a แล้ว x  −a หรอื x  a

พสิ ูจน์ : แนวคดิ → คา่ ของ x สามารถพจิ ารณาจากระยะจากจดุ ทแ่ี ทน 0 ถงึ จดุ ที่แทน x บนเสน้ จำนวน
3.19.1) x  a หมายความว่า ระยะจากจุดทแี่ ทน 0 ถึงจุดท่ีแทน x บนเสน้ จำนวน มคี า่ นอ้ ยกวา่ a ดังน้ี

 ถ้า x  a แล้ว −a  x  a
3.19.2) x  a หมายความวา่ ระยะจากจุดทแ่ี ทน 0 ถงึ จดุ ที่แทน x บนเส้นจำนวน มคี า่  a ดงั น้ี

 ถ้า x  a แล้ว −a  x  a
3.19.3) x  a หมายความว่า ระยะจากจดุ ที่แทน 0 ถึงจุดทแ่ี ทน x บนเสน้ จำนวน มีค่ามากกว่า a ดงั นี้

 ถา้ x  a แลว้ x  −a หรอื x  a
3.19.3) x  a หมายความว่า ระยะจากจดุ ที่แทน 0 ถงึ จดุ ที่แทน x บนเสน้ จำนวน มคี ่า  a ดงั นี้

 ถ้า x  a แล้ว x  −a หรือ x  a

บรรณานุกรม

ณรงค์ ป้นั นิม่ , นติ ตยิ า ปภาพจน.์ (2548). บทท่ี 2 การหารลงตัว, ทฤษฎจี ำนวน (พมิ พค์ รัง้ ที่ 2) (น. 29-30).
กรุงเทพฯ: บรษิ ัทด่านสุทธาการพิมพ์ จาํ กดั .

สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2561). คมู่ อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ช้ัน
มัธยมศึกษาปีที่ 4 ตามผลการเรียนรกู้ ล่มุ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ (ฉบับปรับปรงุ พ.ศ. 2560) ตาม
หลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขน้ั พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2561). หนังสือเรยี นรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร์ ชัน้
มธั ยมศึกษาปที ่ี 4 เลม่ 1 ตามผลการเรียนร้กู ลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์
(ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551.
กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

โปรแกรมทีใ่ ช้

พมิ พ์และออกแบบดว้ ย Microsoft Word
รปู ภาพเรขาคณติ สร้างดว้ ย GeoGebra Geometry
พมิ พส์ ูตรทางคณติ ศาสตรด์ ้วย MathType
ฟอนต์ทีใ่ ชค้ ือ TH SarabunPSK และ Pridi

สที ใ่ี ช้ 6 สี คอื และ สีพนื้ หลงั

#44E3FF #6F88FE #A162F7 #2B3A51

#FFFFF2 #F14A9A

AB
T
F

C

หนังสือราคาเป็นกันเอง (200,000 บาท)