ความน่าจะเป็นสตาร์แอนบาร์

การแจกแจงสง่ิ ของ
ท่เี หมอื นกนั ออกเปน็ กลมุ่

กรณกี ลมุ่
ไม่มคี วามแตกตา่ งกนั

นิชาภา สวุ รตั น์ 6/3 เลขท่ี 15

ในการแจกของท่ีเหมือนกันน้ันโดยท่ัวไปแล้วการแจกของจะมาพร้อมกับ
เงื่อนไขของการแจกคือ ทุกคนต้อง ได้อย่างน้อยหน่ึงชิ้น หรืออาจไม่มีเง่ือนไขเพ่ิม
กล่าวคือ อาจจะมีคนที่ไม่ได้ของเลยในการแจกของคร้ังนั้น ก่อนที่จะทาการศึกษาขอให้
ลองพจิ ารณาการแจกของดงั นกี้ ่อน

เช่น ต้องการแจกเหรียญบาทจานวน 7 เหรียญใหก้ บั เดก็ 4 คน โดยที่แตล่ ะคนต้องได้
อย่างน้อย 1 เหรยี ญ เราอาจแบ่งข้นั ตอนการทางาน หรือการแจกของออกเปน็

ขน้ั 1 แจกเหรยี ญใหเ้ ด็กท้ัง 4 คน คนละหน่งึ เหรียญก่อน เพ่อื ทจ่ี ะใหเ้ งือ่ นไขเป็นจรงิ
ช้นั 2 แจกเหรยี ญทเ่ี หลือ 3 เหรยี ญให้เดก็ ทัง้ ส่ีคนโดยแบง่ ออกเปน็ งานย่อยคือ

แจกเหรียญแรก แจกได้ 4 วิธีคือให้เด็กคนไหนกไ็ ด้
แจกเหรียญท่สี อง แจกได้ 4 วิธี
แจกเหรียญทส่ี าม แจกได้ 4 วิธี
ดงั นั้นจานวนวธิ ใี นการแจกทั้งหมดเป็น 4 = 64 วิธี แต่เมื่อพิจารณาการแบ่งเหรียญ
ออกเปน็ 1,1,5และ 1,2,4 โดย

กรณี 1,1,5 จะมี 2 คนได้หน่ึงเหรยี ญและ หนึง่ คนได้ 5 เหรียญ ซง่ึ กรณนี จี้ ะถูกเรยี ง
สลบั 3 คร้งั ในการนับ 64 วิธกี ล่าวคอื 1,1,5 1,5,1 และ 5,1,1 ดังนัน้ จานวนวิธกี าร
แจก 64 แบบ จงึ เป็นการนบั ซ้า

สว่ นกรณี 1,24 จะมี หน่ึงคนทไ่ี ด้ 1 เหรียญ หน่ึงคนทไี่ ด้ 2 เหรยี ญ และ หนง่ึ
คนทไี่ ด้ 4 เหรยี ญ
ซ่ึงมเี พยี ง 1 วธิ เี ท่านนั้ แตพ่ ิจารณาจากการคานวณ 64 วธิ ี เกิดการนับซ้าขน้ึ 6 ครั้ง

เมื่อพจิ ารณาจากทงั้ สองกรณีแลว้ พบว่าการแจกเช่นนจ้ี ะมีความยงุ่ ยากมากใน
การพิจารณาการนบั ซา้ แตห่ ากเราเปลี่ยนมุมมองของการนับโดยการประยกุ ตก์ ารเรยี ง
สบั เปลยี่ นของซ้ากลา่ วคือ เปล่ยี นปัญหา ดังกล่าวเป็นการเรยี งของซา้ 2 ชนดิ ชนดิ แรกคอื
เหรยี ญมีจานวน 7 เหรยี ญและชนิดท่ี 2 คือ เดก็ จานวน 4
ถา้ ให้เหรยี ญแทนดว้ ย * และ เด็กแทนด้วย โดยที่การเรียง ** * * ***
จะถูกตีความว่ามีเด็กหนึ่งคนได้ 2 เหรยี ญ เดก็ สองคนได้ 1 เหรียญ และเดก็ หนง่ึ คนได้
3 เหรยี ญ การเปลีย่ นมมุ มองเช่นนี้เรียกว่าหลกั การ สตาร์แอนบาร์(Star and Bar)

เมื่อกลบั มาพิจารณาปญั หาการแจกเหรยี ญใหมอ่ ีกคร้ังโดยใหเ้ หรยี ญแทน
ด้วย * (สตาร์) และ เด็กแทนด้วย (บาร์) จากโจทยท์ ตี่ อ้ การใหเ้ ด็กทุกคนไดอ้ ย่างน้อย
คนละ 1 เหรยี ญ งานอันดบั แรกในการแจกเหรยี ญคืน แจกเหรียญใหเ้ ด็กทุกคน
คนละ 1 เหรียญก่อน จกน้นั งานอนั ดบั ทีส่ องคือ การจดั เรียงเหรียญทเ่ี หลอื 3 เหรยี ญก้
เด็ก 4 คนซ่ึงจะแทนด้วยบารจ์ านวน 3 บาร์ ดังน้นั จานวนวธิ ีการแจกจงึ เป็นการเรียง
สบั เปลีย่ นซองซา้ ทาได้ (3+3)! = 20 วธิ ี

3!3!

หลักการสตาร์แอนบาร์ (star and bar)

จานวนวธิ ีการแบ่งของเหมอื นกนั n ส่ิง ออกเปน็ r กลมุ่ โดย
( )แตล่ ะกลุ่มไดร้ ับแบ่งอย่างน้อย 1 ส่ิง เท่ากบั n–1
r–1 วธิ ี

( )มีบางกล่มุ ไมไ่ ดร้ บั แบ่งเลย เทา่ กบั
n+r-1 วิธี
r-1

ตัวอย่าง จงหาจานวนวธิ ใี นการแจกลกู อมเหมอื นกัน 20 เม็ด ใหเ้ ด็ก 5 คน เมื่อ

1. แต่ละคนไดร้ บั แจกอยา่ ง นอ้ ย 1 เม็ด 2. อาจจะมีบางคนไมไ่ ดร้ ับเลย

1) แต่ละคนไดร้ บั แจกอย่างน้อย 1 เม็ด

วธิ ีทา ในท่ีน้ี n = 20 และ r = 5

จาก stars and bar จะได้จานวนวิธีการแจกลูกออมให้เด็กโดยท่แี ตล่ ะคนไดร้ บั อย่าง

( ) ( ) ( )นอ้ ย 1 เมด็ ได้n-1 = 20 - 1 = 19 = 3,876
r-1 5-1 4

2) อาจจะมีบางคนไม่ไดร้ บั เลย

วิธีทา จาก stars and bars จะไดจ้ านวนวิธกี ารแจกลูกออมให้เดก็ ได้
n+r–1

( ) ( ) ( )r – 1
= 20 + 5 – 1 = 24 = 10,626
5-1 4

Thank you