ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ตรรกศาสตร์ร์ ร์ เ ร์ เบื้บื้ บื้บื้ บื้ อ บื้ องต้ต้ ต้ น ต้ น ม.4 หนันั นั ง นั งสืสื สื อ สื ออิอิ อิ เ อิ เล็ล็ ล็ ก ล็ กทรอนินิ นินิ กส์ส์ ส์ส์ โรงเรียนสามบ่อวิทยา สำ นักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาสงขลา สตูล ประจำจำจำจำปีปีปีปี การศึศึ ศึศึ กษา2567 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

คำ นำ ก หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-book) เล่มนี้ใช้นำ มาประกอบการ จัดการเรียนการสอนนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เพื่อพัฒนาความรู้ ความเข้าใจเรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษา ปีที่ 4 โดยหนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-book) เล่มนี้ จะเป็นแหล่งข้อมูล ให้กับนักเรียนเพื่อใช้ศึกษาค้นความเรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ผู้จัดทำ หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-book) หวังเป็นอย่างยิ่งว่า หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-book) เล่มนี้ จะเป็นประโยชน์ต่ น์ ต่ อผู้สนใจ ศึกษาเรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เป็นอย่างดี ผู้จัดทำ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสามบ่อวิทยา

สารบัญ ข เรื่อง หน้า น้ ประพจน์ ตัวเชื่อมประพจน์ และค่าความจริงของ ประพจน์ที่ น์ ที่ มีตัวเชื่อม ประพจน์ที่ น์ ที่ สมมูลกัน และประพจน์ที่ น์ ที่ เป็นนิเสธกัน สัจนิรันดร์ ประโยคเปิด และตัวบ่งปริมาณ การอ้างเหตุผล 1 3 6 11 14 17

ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่า หรือ ประโยคปฏิเสธที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง ความเป็น จริง หรือ เท็จ ของประพจน์เ น์ ราเรียกว่า “ค่าความจริงของ ประพจน์”น์ ในที่นี้เราจะใช้ตัวอักษร T และ F แทนค่าความจริงที่เป็นจริง และเป็นเท็จ ตามลำ ดับ ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ คือ ประโยคที่ไม่มีค่าความจริง ซึ่งพอจะแยก ได้เป็น 2 ประเภท คือ ประเภทที่ 1 ได้แก่ประโยคที่ไม่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือ ปฏิเสธ เช่น ประโยคคำ ถาม คำ สั่ง ห้าม ขอร้อง คำ อุทาน หรือ อ้อนวอน เป็นต้น ประเภทที่ 2 ได้แก่ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ แต่ไม่มีค่าความจริง เนื่องมาจากสิ่งที่เราไม่ทราบว่าเป็นอะไรแน่ชัด ซึ่งเรียกว่าตัวแปร จึงบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ ตัวอย่างเช่น น่านเป็นจังหวัดในภาคเหนือ เป็นประพจน์ เนื่องจากเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นจริง -1 ไม่ใช่จำ นวนจำ นวนจริง เป็นประพจน์ เนื่องจากเป็นประโยคปฏิเสธที่เป็นเท็จ ทำ ไมเธอจึงไม่ไปกินข้าว ไม่เป็นประพจน์ เนื่องจากเป็นประโยคคำ ถาม ใหม่สวยที่สุดในประเทศไทย ไม่เป็นประพจน์ เนื่องจากหาค่าความจริงไม่ได้ ประพจน์ 1

2 ประโยคต่อไปนี้ประโยคในข้อใดเป็นประพจน์ห น์ รือไม่ เพราะเหตุใด 1. จังหวัดภูเก็ตเป็นเกาะ 2. มีจำ นวนจริง X ที่ X+2 = 5 3. จำ นวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุด คือ 100,000 4. กรุณาอย่าเดินลัดสนาม 5. โธ่ น่าสงสารจริงๆ 6. ปิดหน้า น้ ต่างให้หน่อย 7. 4+7 = 12 8. เพราะว่า -3 > -4 ดังนั้น (-3) > (-4) แบบฝึกหัด ประพจน์

ตัวเชื่อมประพจน์แ น์ ละ ค่าความจริงของประพจน์ ที่มีตัวเชื่อม 3 1. ตัวเชื่อมประพจน์ “น์ และ” การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “น์ และ” สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ p ^ q ซึ่ง จะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) 2. ตัวเชื่อมประพจน์ “น์ หรือ” การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “น์ หรือ” สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ p v q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริง เป็นจริง (T) 3. ตัวเชื่อมประพจน์ “น์ ถ้า...แล้ว” การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "น์ ถ้า...แล้ว” สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ p -> q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T) 4. ตัวเชื่อมประพจน์ “น์ ก็ต่อเมื่อ” การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “น์ ก็ต่อเมื่อ” สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ p <-> q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และ จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) นอกนั้น มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริง ตรงข้ามกัน 5. นิเสธของประพจน์ นิเสธของประพจน์ใน์ ด ๆ คือ ประพจน์ที่ น์ ที่ มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้ น์ นั้ น ๆ และ สามารถ เขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p กำ หนดให้ P และ Q เป็นประพจน์ใน์ ด ๆ เราสามารถเชื่อมประพจน์ทั้ น์ ทั้ งสองเข้า ด้วยกันได้โดยอาศัยตัวเชื่อมประพจน์ดั น์ ดั งต่อไปนี้

p q p ∧ q p ∨ p p → q p ↔ q ~p ~q T T T T T T F F T F F T F F F T F T F T T F T F F F F F T T T T ตัวเชื่อมประพจน์แ น์ ละ ค่าความจริงของประพจน์ ที่มีตัวเชื่อม 4 ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ที่ น์ ที่ มีตัวเชื่อม ตัวอย่างที่ 1 กำ หนดให้ p, q เป็นประพจน์ที่ น์ ที่ มีค่าความจริงเป็นจริง r, s เป็น ประพจน์ที่ น์ ที่ มีค่าความจริง เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ที่ น์ ที่ กำ หนดให้ ต่อไปนี้ (1) ~(p ∨ s) → (r ↔ ~p) วิธีทำ (2) [(p ↔ r) ∧ ~q] → (~p ∨ ~s)] วิธีทำ T F F T T T F F F T F T T F F F F F F T

5 ตัวอย่างที่ 2 ถ้า 1 + 3 < 5 และ 5 > 9 ดังนั้น 2⁰ = 1 หรือ 1⁻⁵ = 1 วิธีทำ หาค่าความจริงของประพจน์ย่ น์ ย่ อย ให้ p แทนประพจน์ “1 + 3 <5” มีค่าความจริงเป็น T ให้ q แทนประพจน์ “5 > 9” มีค่าความจริงเป็น F ให้ แทนประพจน์ “2⁰ = 1” มีค่าความจริงเป็น T ให้ 5 แทนประพจน์ "1⁻⁵ = 1” มีค่าความจริงเป็น T เปลี่ยนโจทย์ให้เป็นสัญลักษณ์ จะได้ (p ∧ q) → (r ∨ s) มีค่าความจริงเป็น T แบบฝึกหัด จงเปลี่ยนประโยคต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปแบบสัญลักษณ์ 1. 2 เป็นเลขคู่ และ 3 เป็นเลขค่ะ 2. ถ้า 2 + 3 เป็นจำ นวนคี่ แล้ว 5 เป็นจำ นวนคี่ กำ หนดให้ p เป็นเท็จ, q เป็นจริง, r เป็นจริง จงหาค่าความจริงของประพจน์ ต่อไปนี้ 1. ~p ∧ (q ∨ ~r) 2. ~(p → r) → (~q → p) 3. (~q ∧ ~p) ↔ (p ↔ r) ตัวเชื่อมประพจน์แ น์ ละ ค่าความจริงของประพจน์ ที่มีตัวเชื่อม

6 ประพจน์ที่ น์ ที่ สมมูลกัน ประพจน์ 2 ประพจน์จ น์ ะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้ น์ ทั้ งสองมีค่าความจริง เหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่ น์ ย่ อย ใช้สัญลักษณ์ “≡” แทน สมมูล โดยมีสมบัติดังนี้ สมบัติการสมมูล สมบัติการสลับที่ p ∧ q ≡ q ∧ p p ∨ q ≡ q ∨ p p ↔ q ≡ q ↔ p สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r p ↔ ( q ↔ r ) ≡ ( p ↔ q ) ↔ r ≡ p ↔ q ↔ r สมบัติการแจกแจง p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) p → ( q ∨ r ) ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r ) p → ( q ∧ r ) ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r ) ( p ∨ q ) → r ≡ ( p → r ) ∧ ( p → r ) ( p ∧ q ) → r ≡ ( p → r ) ∨ ( p → r ) ประพจน์ที่ น์ ที่ สมมูลกัน และประพจน์ที่ น์ ที่ เป็นนิเสธกัน

7 สมบัติของ “ถ้า..แล้ว.. ” ( → ) p → q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q สมบัติของนิเสธ ( ~ ) ~(~p) ≡ p ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q ~(p → q) ≡ p ∧ ~q ~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~q สมบัติอื่นๆ p ∧ p ≡ p p ∧ T ≡ p p ∧ F ≡ F p ∧ ~p ≡ F p ∨ p ≡ p p ∨ T ≡ T p ∨ F ≡ p p ∨ ~p ≡ T p → F ≡ ~p F → p ≡ T p → T ≡ T T → p ≡ p p ↔ p ≡ T p ↔ p ≡ F ประพจน์ที่ น์ ที่ สมมูลกัน และประพจน์ที่ น์ ที่ เป็นนิเสธกัน สมบัติของ “ก็ต่อเมื่อ” ( ↔ ) p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p )

8 ประพจน์ที่ น์ ที่ สมมูลกัน และประพจน์ที่ น์ ที่ เป็นนิเสธกัน ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า ประพจน์ ~p → q สมมูลกับ ประพจน์ p ∨ q หรือไม่ วิธีทำ สร้างตารางค่าความจริง ได้ 4 กรณี p q ~p ~p→q p∨q T T F T T T F F T T F T T T T F F T F F จากตารางค่าความจริงของประพจน์ ~p → q กับประพจน์ p ∨ q พบว่ามีค่า ความจริงกรณีต่อกรณีเหมือนกันทุกกรณี ดังนั้นประพจน์ ~p → q สมมูลกับ ประพจน์ p ∨ q

9 ประพจน์ที่ น์ ที่ สมมูลกัน และประพจน์ที่ น์ ที่ เป็นนิเสธกัน ประพจน์ที่ น์ ที่ เป็นนิเสธกัน ประพจน์ส น์ องประพจน์จ น์ ะเป็นนิเสธกัน เมื่อประพจน์ทั้ น์ ทั้ งสองมีค่าความจริง ตรงกันข้ามกันทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ “ ~ ” แทนนิเสธ ตัวอย่างที่ 1 จงตรวจสอบว่าประพจน์ ~p → q เป็นนิเสธกับประพจน์ ~p ∧ ~q หรือไม่ วิธีทำ สร้างตารางค่าความจริง ได้ 4 กรณี p q ~p ~q ~p → q ~p ∧ ~q T T F F T F T F F T T F F T T F T F F F T T F T จากตารางค่าความจริงของประพจน์ ~p → q กับ ประพจน์ ~p ∧ ~q พบว่ามี ค่าความจริงกรณีต่อกรณีตรงกันข้ามกันทุกกรณีดังนั้นประพจน์ ~p → q เป็น นิเสธกับประพจน์ ~p ∧ ~q

10 ประพจน์ที่ น์ ที่ สมมูลกัน และประพจน์ที่ น์ ที่ เป็นนิเสธกัน แบบฝึกหัด 1. จงใช้ตารางค่าความจริง เพื่อตรวจสอบว่า p ∧ (q → p) สมมูล หรือเป็น นิเสธกับ (q → p) → ~p หรือไม่ 2. จงตวรจสอบดูว่าข้อความ (ก) กับข้อความ (ข) ในแต่ละข้อต่อไปนี้สมมูลกัน หรือไม่ 1) (ก) ถ้านายแดงขยันเรียนแล้วนายแดงจะสอบได้ (ข) นายแดงไม่ขยันเรียน หรือนายแดงจะสอบได้ 2) (ก) ถ้าดำ ออกกำ ลังกายแล้วดำ จะแข็งแรง (ข) ถ้าดำ ไม่แข็งแรงแล้วดำ ไม่ออกกำ ลังกาย

สัจนิรันดร์ 11 ประพจน์ที่ น์ ที่ เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่ น์ ที่ มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของ ประพจน์ย่ น์ ย่ อย การตรวจสอบว่าประพจน์ใน์ ดเป็นสัจนิรันดร์ ทำ ได้ดังนี้ 1. ใช้ตารางแสดงค่าความจริง ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่ น์ ต่ อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ [(p → q) ∧ p] → q p q p→q (p→q) ∧ p [(p → q) ∧ p] → q T T T T T T F F F T F T T F T F F T F T

T T F T F F F สัจนิรันดร์ 12 2. ใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่ น์ ต่ อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (p ∧ q) → (q ∨ p) วิธีทำ สมมุติว่า (p ∧ q) → (q ∨ p) เป็นเท็จ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) ขัดแย้งกัน จากแผนภาพ จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p และ q เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ แสดงว่าไม่มีกรณีที่ทำ ให้ (p ∧ q) → (q ∨ p) เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ (p ∧ q) → (q ∨ p) เป็นสัจนิรันดร์

สัจนิรันดร์ 13 แบบฝึกหัด จงตรวจสอบรูปแบบประพจน์ต่ น์ ต่ อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ โดยใช้การ สร้างตารางค่าความจริง 1. 1) ~p ∨ (q → p) 2) (p ∧ q) → (p ∨ q) 3) [(p∨q) ∧ ~p] → q 2. จงตรวจสอบรูปแบบประพจน์ต่ น์ ต่ อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ 1) (p ∧ ~p) → (q → r) 2) (p ∧ ~q) ↔ (~p ∨ q)

ประโยคเปิด และตัวบ่งปริมาณ 14 ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่ประกอบด้วยตัวแปร ทำ ให้ไม่เป็นประพจน์ และเมื่อแทนที่ตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วจะได้ประพจน์ เราสามารถเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบไปด้วยตัวแปร x ด้วยสัญลักษณ์ P(x) หรือ Q(x) และเขียน แทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x และ y ด้วยสัญลักษณ์ P (x, y) หรือ Q (x, y) ตัวอย่าง • เขาเป็นคนดี เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “เขา” • × > 3 เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “x” ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำ นวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำ ให้ประโยค เปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ 1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์” ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀x” อ่านว่า “สำ หรับสมาชิก x ทุกตัว” 2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์” ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃x” อ่านว่า “สำ หรับสมาชิก x บางตัว”

ประโยคเปิด และตัวบ่งปริมาณ 15 ค่าความจริงของประพจน์ที่ น์ ที่ มีตัวบ่งปริมาณ 1. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ทำ ให้ P(x) เป็นจริง 2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อ น้ ย 1 ตัว ที่ทำ ให้ P(x) เป็นเท็จ 3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่างน้อ น้ ย 1 ตัว ที่ทำ ให้ P(x) เป็นจริง 4. 3x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใด ๆ ในเอกภพ สัมพัทธ์ที่ทำ ให้ P(x) เป็นจริง ตัวอย่าง ∀x [x < 0] เมื่อ u = เซตของจำ นวนเต็ม มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะเมื่อแทน x เป็นจำ นวนเต็มบวกและศูนย์ จะทำ ให้ x < 0 เป็นเท็จ • 3x [x < 0] เมื่อ u = เซตของจำ นวนเต็ม มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะเมื่อแทน x เป็นจำ นวนเต็มลบ จะทำ ให้ x < 0 เป็นจริง นิเสธของประพจน์ที่ น์ ที่ มีตัวบ่งปริมาณ ~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)] ~∃x[P(x)] สมมูลกับ ∀x[~P(x)] ~∀x[~P(x)] สมมูลกับ ∃x[P(x)] ~∃x[~P(x)] สมมูลกับ ∀x[P(x)]

ประโยคเปิด และตัวบ่งปริมาณ 16 แบบฝึกหัด 1. จงหาค่าความจริงของประพจน์ ∀x∀y[x² + y² ≥ 0] 2. จงหาค่าความจริงของประพจน์ ∃x∀y[y - 2x ≠ 0] 3. จงหาค่าความจริงของประพจน์ ∀x [x > 1 → x > 0]

การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า "สำ หรับเหตุการณ์ P1, P2,..., Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ ตามมา C ได้" การอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ 1. เหตุ หรือสิ่งที่กำ หนดให้ 2. ผล หรือสิ่งที่ตามมา สำ หรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นพิจารณา ได้จากประพจน์ (P1 ∧ P2 ∧ ... Pn) → C ถ้าประพจน์ดั น์ ดั งกล่าวมีค่าความ จริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดัง กล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล ตัวอย่าง เหตุ 1. p → q 2. p ผล q p q p→q (p→q) ∧ p [(p → q) ∧ p] → q T T T T T T F F F T F T T F T F F T F T การอ้างเหตุผล 17 เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้นการอ้างเหตุผลข้างต้น เป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล

การอ้างเหตุผล 18 แบบฝึกหัด การอ้างเหตุผลในข้อใดต่อไปนี้ สมเหตุสมผล 1. เหตุ 1. p → (q ∨ r) 2. ~q ∧ ~r ผล p → r 2. เหตุ 1. ถ้า ฉันสนิทกับเพื่อน แล้ว ฉันจะไม่เกรงใจเพื่อน 2. ฉันไม่เกรงใจเพื่อน ผล ฉันไม่สนิทกับเพื่อน