หน่วยที่ 6 อนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย

หนว่ ยท่ี 6 อนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั อดศิ ัย

ครูผู้สอน อริสยาภรณ์ เชียงไตร

หนว่ ยท่ี 6 อนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชนั อดิศยั

สาระการเรียนรู้
1. ความหมายของฟังก์ชันอดิศัย
2. ชนิดของฟังก์ชันอดศิ ยั
3. การหาอนุพันธข์ องฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ
4. การหาอนพุ นั ธข์ องฟังก์ชันตรโี กณมติ ิผกผนั
5. การหาอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันลอการิทึม
6. การหาอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันเลขช้กี าลงั

ความหมายของฟงั กช์ นั อดศิ ยั

ฟังกช์ นั อดิศยั หมายถงึ ฟังกช์ นั ทีไ่ มใ่ ช่ฟังกช์ นั พีชคณติ มีรูปแบบเฉพาะตามแต่
ลกั ษณะของแต่ละฟังกช์ ัน
ชนดิ ของฟงั ก์ชนั อดศิ ัย
1. ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ เปน็ ฟงั ก์ชนั ท่มี ลี กั ษณะของความสมั พันธ์ฟงั กช์ ันกบั ตวั แปรอิสระ

เป็นไปในลกั ษณะของคาบเวลา เชน่ y = sin x, y = cos x
2. ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตผิ กผนั เป็นฟงั ก์ชันทผี่ นั กลับกับฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติในแต่ละชนดิ

เช่น ถ้า x = sin y เป็นฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิ y = arcsin x เปน็ ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ
ผกผนั
3. ฟังกช์ นั ช้ีกาลัง คือฟังกช์ นั ทเ่ี ขียนอยู่ในรูปเลขช้ีกาลงั โดยมีเลขชี้กาลงั เปน็ ตัวแปร
ของฟังก์ชันในรปู y = เมอ่ื x เป็นตัวแปรอสิ ระ y เปน็ ตวั แปรตาม a เปน็ คา่
คงตัว
4. ฟังกช์ นั ลอการิทมึ เป็นฟงั ก์ชนั ทีผ่ นั กลับกบั ฟังก์ชนั ชี้กาลงั ถ้า x = เปน็ เลขชี้
กาลงั สามารถเขยี น y ในรปู ของ y = log

การหาอนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ

สตู รการหาอนุพันธ์ของฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิ

1. sin = cos


2. cos = −sin


3. tan = 2


4. cot = − 2


5. sec = sec tan


6. = − cot


ตวั อยา่ งท่ี 1 กาหนดให้ y = sin 3x จงหา


วธิ ีทา จาก y = sin 3x

= sin 3



= cos 3 3

= 3 cos 3x

ตวั อยา่ งที่ 2 กาหนดให้ y = tan (2x + 5) จงหา



วธิ ที า จาก y = tan (2x+5)

= tan(2 + 5)


= 2(2 + 5) (2 + 5)


= 2 2(2 + 5)

ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ = tan 2 + cot( 2 + 2 ) จงหา

วธิ ที า จาก = tan 2 + cot( 2 + 2 )

= tan 2 + cot( 2 + 2 )


= 2 2 2 + (− 2 2 + 2 ) 2 + 2



= 2 2 2 − (2 + 2)( 2 2 + 2 )

ตวั อย่างท่ี 4 กาหนดให้ = sec( + 2) จงหา


วิธีทา จาก = sec( + 2)

= (sec +2 1

)2

= 1 sec + 2 21−1 ( + 2)

2
= 1 1 sec + 2 tan + 2
( + 2)
2 sec +2 2

= sec +2 tan( +2) = 1 sec( + 2)tan( + 2)
2
1

2sec( +2)2

ตวั อยา่ งที่ 5 กาหนดให้ = sec tan จงหา


วธิ ที า จาก = sec tan

= sec tan + tan sec


= sec 2 + tan sec tan


= sec 2 + sec 2

= sec ( 2 + 2 )

ตัวอย่างท่ี 6 กาหนดให้ = cos 2 จงหา
sin 2

วิธีทา จาก = cos 2
1 sin 2

= 22 sin 2 cos 2 − cos 2 2

=1 sin 2 (− sin 2 ) 2 − cos 2 cos 2 2
22

=1 −2 22 − 2 22
22

= −2 − 2 22 (เนื่องจาก = )



ในกรณฟี งั กช์ นั ตรีโกณมติ อิ ยใู่ นรปู ฟังกช์ ันปริยาย สามารถหาคา่
อนพุ ันธไ์ ด้

ตัวอยา่ งท่ี 7 กาหนดให้ = sec tan จงหา


วิธที า จาก = sec tan

= sec tan + tan sec


= sec 2 + tan sec tan


− sec 2 = tan sec tan



(1 − sec 2 ) = tan sec tan


= tan sec tan
1−sec 2


การหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั ตรโี กณมิติผกผัน

สูตรการหาอนพุ นั ธ์ฟังก์ชนั ตรโี กณมิติผกผนั

1. arcsin = 1
1− 2

2. arccos = −1
1− 2

3. arctan = 1
1+ 2

4. arccot = −1
1+ 2

5. arcsec = 1
2−1

6. = −1
2−1


ตวั อย่างท่ี 8 กาหนดให้ = arcsin 3 จงหา

วิธีทา จาก = arcsin 3

= arcsin 3


= 1 3
1−(3 )2

= 3
1−9 2

ตัวอย่างที่ 9 กาหนดให้ = arctan 3 จงหา



วิธที า จาก = arctan 3



= 3

1
= −1+3 3− 22 3 −1
= 1+ 92
= −3 = −3
2+9
2+9 2
2

การหาอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ ันลอการิทึม

สูตรการหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั ลอการทิ มึ

1. log = 1 log (เมือ่ > 0, ≠ 1)


อาจเขียนไดเ้ ปน็ log = 1
ln

2. ln = 1


ตวั อย่างที่ 10 กาหนดให้ y = log5 3 2 + 4 + 12 จงหา



วิธีทา จาก y = log5 3 2 + 4 + 12

= 1 3 2 + 4 + 12
3 2+4 +12 ln 5


= 1 ln 5 6 + 4
3 2+4 +12

= 6 +4
3 2+4 +12 ln 5

ตัวอยา่ งท่ี 11 กาหนดให้ = ln 2 + 1 3 3 + 4 2 จงหา


วิธที า จาก = ln 2 + 1 3 3 + 4 2

= 2 + 1 3 + 3 + 4 2

= 3 ln 2 + 1 + 2ln(3 + 4)

= 3 ln 2 + 1 + 2ln(3 + 4)


=3 1 (2 + 1) +2 1 (3 + 4)
2 +1 3 +4

=6+6

2 +1 3 +4

การหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั เลขชก้ี าลัง

สตู รการหาอนุพันธข์ องฟังกช์ นั เลขช้กี าลัง
1. = ln



2. =


ตัวอย่างที่ 12 กาหนดให้ = 32 +7 จงหา

วิธีทา จาก = 32 +7

= 32 +7



= 32 +7 ln 3 (2 + 7)


= (2 ln 3) 32 +7

ตัวอยา่ งที่ 13 กาหนดให้ = 2 +5 จงหา



วธิ ีทา จาก = 2 +5

= 2 +5

= 2 +5 (2 + 5)

= 2 2 +5

ตัวอยา่ งท่ี 14 กาหนดให้ = ( + 2)sin จงหา

วธิ ีทา จาก = ( + 2)sin

ใส่ลอการทิ ึมธรรมชาตทิ ัง้ สองข้าง

ln = ln( + 2)sin = sin ln( + 2)

หาอนพุ นั ธ์เทยี บกบั x ทั้งสองขา้ ง

ln = sin ln( + 2)


1 = sin ln + 2 + ln + 2 sin


1 = sin 1 + ln + 2 cos
+2

1 = sin + cos ln( + 2)
+2

= sin + cos ln( + 2)

+2

= ( + 2)sin sin + cos ln( + 2)
+2

ข้อสงั เกต

ในรปู ของ = ( ) ( ) สร้างสูตรขึน้ มาใชเ้ องได้โดยใช้ความรู้
เร่อื งลอการทิ มึ และอนพุ ันธผ์ ลคูณของฟังก์ชนั

= −1 + ln


อ้างอิง

สรุ พล เสยี งสน่ัน. (2563). แคลคูลัส 1. (คร้งั ที่ 1). นนทบรุ ี : สานักพมิ พ์เอมพนั ธ.์