หน่วยที่ 2 ฟังก์ชันตรรกยะ

หน่วยที่ 2 ฟงั กช์ ันตรรกยะ
(Rational Function)

ครูผู้สอน อรสิ ยาภรณ์ เชยี งไตร

หน่วยที่ 2 ฟงั ก์ชันตรรกยะ
(Rational Function)

สาระการเรียนรู้
1. ความหมายของฟงั ก์ชันตรรกยะ
2. เศษสว่ นยอ่ ย

ความหมายของฟงั กช์ ันตรรกยะ

บทนยิ าม

ฟังกช์ นั ตรรกยะ หมายถงึ ฟงั กช์ นั ที่เขียนอย่ใู นรปู ของ


=

โดยที่ P(x) และ Q(x) เปน็ พหนุ ามของตวั แปร x

ฟังก์ชนั ตรรกยะมี 2 ชนิดคอื

1. ฟงั ก์ชันตรรกยะที่เปน็ เศษส่วนแท้ หมายถงึ ฟังกช์ นั ตรรกยะในรูป ( ) โดยท่ี
( )
3 +5
กาลังของ P(x) นอ้ ยกวา่ กาลงั ของ Q(x) เชน่ 2−3 +4

2. ฟังก์ชนั ตรรกยะทไ่ี มเ่ ป็นเศษส่วนแท้ หมายถึง ฟังก์ชนั ตรรกยะในรปู ( ) โดยมี
( )
3+3 2−5 +4
กาลงั ของ P(x) มากกวา่ หรอื เท่ากบั กาลังของ Q(x) เชน่ 2 3+5

เขยี นฟังก์ชันตรรกยะไมแ่ ทใ้ ห้อยใู่ นรปู ของฟงั กช์ นั ตรรกยะแท้รวมกบั

ผลหารได้ โดยมีวธิ กี ารเหมอื นกับทาเศษสว่ นเกินใหเ้ ปน็ เศษสว่ นคละ ดงั นี้

( ) ( )
( ) = + ( )

เมอ่ื ( ) คือ ฟงั ก์ชันตรรกยะท่ีไม่เปน็ เศษส่วนแท้
( )

คอื ผลหารที่เปน็ ฟงั ก์ชันพหนุ าม

( ) คือ เศษเหลอื ซ่ึงเปน็ ฟงั กช์ นั พหุนามท่ีมีกาลงั น้อย
กวา่ ( )

( ) คอื ฟงั กช์ นั ตรรกยะท่เี ป็นเศษส่วนแท้

( )

เศษสว่ นยอ่ ย
การแยกฟังกช์ ันตรรกยะใหเ้ ป็นเศษสว่ นยอ่ ย
มีข้ันตอน ดงั น้ี

ข้นั ท่ี 1 การแยกตวั ของ Q(x) จะได้

= 1 ∙ 2 ∙ … ∙ ( )

ถ้า ( ) เปน็ ตัวประกอบใดๆ และ i เปน็ จานวนเตม็ บวก

เรียก ( ) = ax + b วา่ ตัวประกอบเชิงเส้น
= + ว่า ตัวประกอบเชิงเสน้ ซ้า

= 2 + + ว่า ตวั ประกอบกาลงั สอง

= 2 + + ว่าตัวประกอบกาลังสองซา้

ขนั้ ที่ 2 เขียน ( ) เป็นเศษสว่ นย่อย
( )

( ) = 1( ) + 2( ) + ⋯
( ) 1( ) 2( )

เศษส่วนยอ่ ย แต่ละตัวจะเขียนอยู่ในรปู หรือ +
+ 2+ +

เมือ่ n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ A, B, … เปน็ ค่าคงตัว

ตัวเศษสว่ นย่อยจะเป็น A หรอื Ax+B ข้นึ อยู่กับตวั สว่ นว่าเป็นตัวประกอบเชงิ
เส้นหรือเปน็ ตวั ประกอบกาลังสอง และจานวนของเศษสว่ นย่อย จะเทา่ กบั จานวนตัว
ประกอบของตวั ส่วน ดังน้ี

กรณตี วั สว่ น Q(x) แยกได้เปน็ ตวั ประกอบเชงิ เส้น

เชน่ 3 −5 = +

( +1)( −2) +1 −2

กรณีตวั ส่วน Q(x) แยกได้เป็นตัวประกอบเชิงเส้นซา้

เช่น 2+3 −5 = + 2 +
+1 3 +1 +1 3
+1

กรณตี ัวสว่ น Q(x) แยกไดเ้ ป็นตวั ประกอบกาลงั สอง

เช่น 2+2 +7 = + + +
( 2+2)( 2+2 +3) 2+2 ( 2+2 +3)

กรณตี วั สว่ น Q(x) แยกไดเ้ ปน็ ตวั ประกอบกาลงั สองซา้

เชน่ 2−3 +3 = + + + + +
( 2+2 −2)3 2+2 −2 ( 2+2 −2)2 ( 2+2 −2)3

กรณีตัวส่วน Q(x) แยกไดเ้ ป็นตัวประกอบหลายแบบปนกัน การ
กาหนดตวั เศษสว่ นย่อยจะกาหนดให้สอดคลอ้ งกบั ตัวส่วนของเศษสว่ นยอ่ ยแต่ละ
รปู แบบ

ขน้ั ท่ี 3 หาผลบวกของเศษสว่ นยอ่ ย โดยใชห้ ลกั การบวก-ลบเศษส่วน

ขน้ั ที่ 4 หาคา่ คงตวั A, B, C, … ซึ่งมี 2 วิธี คอื

วิธีเทยี บสมั ประสทิ ธ์ิ และวิธกี าหนดคา่ ตัวแปร

ขั้นท่ี 5 แทนค่าคงตวั A, B, C ทีไ่ ดใ้ นเศษสว่ นย่อยแตล่ ะตัว

ตัวอย่างท่ี 1 จงแยก R(x) = 3 +5 ออกเป็นเศษสว่ นยอ่ ย
2+2 −3
วิธที า วธิ ีท่ี 1 หาค่าคงตวั A, B, … โดยการเทยี บสมั ประสทิ ธิ์มีขน้ั ตอน ดงั น้ี

ข้ันที่ 1 แยกตัวประกอบของตวั ส่วน 2 + 2 − 3 ได้ (x+3)(x-1)

ขนั้ ท่ี 2 เขยี น 3 +5 เปน็ เศษสว่ นยอ่ ย
2+2 −3
ขั้นที่ 3 หาผลบวกของเศษสว่ นย่อย

3 +5 = ( −1) + ( +3)
2+2 −3 ( +3)( −1) ( −1)( +3)

= −1 + ( +3)

( +3)( −1)

จะได้ 3x + 5 = A(x-1) + B(x+3)

= Ax-A + Bx + 3B

= (A+B)x + (-A+3B)

ขัน้ ท่ี 4 หาค่าคงตวั A, B, … โดยการเทยี บสัมประสทิ ธิ์จะได้

เทียบสมั ประสทิ ธ์ขิ อง 1 ได้ A + B = 3 …………. (1)

เทยี บสัมประสิทธข์ิ อง 0 ได้ –A + 3B = 5 ……… (2)

นา (1)+ (2) ; 4B = 8

B=2

แทน B = 2 ใน (2) จะได้ A + 2 = 3

A=1

ขัน้ ที่ 5 หาคา่ คงตัว A, B, … ในเศษสว่ นยอ่ ย

แทนคา่ A = 1, B = 2

ดงั น้นั 3 +5 = 1 + 2
2+2 −3 +3 −1

วธิ ที ่ี 2 หาคา่ คงตวั A, B, … โดยการกาหนดค่าตัวแปร มขี ั้นตอนดงั น้ี

ขัน้ ท่ี 1, 2, และ 3 เหมอื นวิธีที่ 1 จะได้

3 +5 = + ……………………. (1)
2+2 −3 +3 −1
3 +5 −1 + ( +3)
2+2 −3 = ( +3)( −1)

จะได้ 3x + 5 = A(x – 1) + B(x + 3) …………… (2)

ขน้ั ท่ี 4 หาค่าคงตวั A, B โดยการกาหนด x = 1 และ -3

แทนคา่ x = 1 ใน (2) ; 3(1) + 5 = B(1+3)

B=8=2

4

แทนคา่ x = -3 ใน (2) ; 3(-3) + 5 = A(-3-1)

A = −4 = 1

−4

ข้ันท่ี 5 แทนคา่ A, B, … ใน (1) ในเศษสว่ นย่อย

ดังนั้น 3 +5 = 1 + 2
2+2 −3 +3 −1

ตวั อยา่ งที่ 2 จงแยก 2 2−5 +1 ออกเปน็ เศษสว่ นย่อย
−2 3
2 2−5 +1
วิธีทา −2 3 = + 2 + 3 …………. (1)
−2 −2
−2
−2 2+ −2 +
= −2 3

2 2 − 5 + 1 = 2 − 4 + 4 + − 2 +

= 2 − 4 − + 4 − 2 +

เทยี บสมั ประสิทธิ์ 2 ได้ A = 2 …………………………….. (2)

เทียบสัมประสิทธิ์ ได้ 4A – B = 5 ………………………… (3)
เทยี บสมั ประสิทธิ์ 0 ได้ 4A – 2B + C = 1 ……………….. (4)

แทนคา่ A = 2 ใน (3) ; 4(2) – B = 5

B=3

แทนค่า A = 2, B = 3 ใน (4) ; 4(2) – 2(3) + C = 1

C = -1

แทนค่า A=2, B=3, C=-1 ใน (1) ; 2 2−5 +1 = 2 + 3 2 − 1
−2 3 −2 −2 −2 3

การแยกเศษส่วนยอ่ ยของฟงั กช์ ันตรรกยะไมแ่ ท้

การแยกฟงั ก์ชันตรรกยะไม่แทอ้ อกเปน็ เศษส่วนยอ่ ย จะทาไดโ้ ดยการทาให้
เป็นฟังกช์ นั เศษส่วนคละก่อน แล้วจงึ นาฟังก์ชันตรรกยะแทไ้ ปแยกออกเป็นเศษสว่ นยอ่ ย
ตอ่ ไป

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงแยก 3 3−2 2−6 −9 ออกเปน็ เศษส่วนย่อย
2− −2
วิธีทา นาตัวสว่ นไปหารเศษ

3x + 1

2 − − 2 3 3 − 2 2 − 6 −9

3 3 − 3 2 − 6

2 - 9

2 − − 2

x – 7 ← เศษ

ดงั นนั้ 3 3−2 2−6 −9 = 3x + 1 + −7 …………… (1)
2− −2 2− −2

นา −7 ไปแยกออกเปน็ เศษส่วนย่อยไดด้ ังน้ี
2− −2
แยกตัวประกอบ 2 − − 2 ได้เปน็ (x – 2)(x + 1)

จะได้ −7 = + …………… (2)
2− −2
−2 +1
ได้ x – 7
= +1 + ( −2)

( −2)( +1)

= A(x + 1) + B(x – 2) ……… (3)

หา A และ B โดยกาหนด x = -1 และ 2

แทน x = -1 ใน (3) ; -1-7 = A(-1+1) +B(-1-2)

-8 = -3B

B=8

3

แทน x = 2 ใน (3) ; 2-7 = A(2+1) + B(2-2)

-5 = 3A

A = −5

3

แทนค่า A = − 5 และ B = 8 ใน (2) ;

33

−7 = −35 + 8
2− −2 3

−2 +1

= − 5 + 8 ……………… (4)

3( −2) 3( +1)

แทนคา่ (4) ใน (1) ;

3 3−2 2−6 −9 = 3x + 1 − 5 + 8
2− −2
3( −2) 3( +1)

อา้ งองิ

สรุ พล เสียงสนั่น. (2563). แคลคูลัส 1. (ครัง้ ท่ี 1). นนทบุรี :
สานกั พิมพเ์ อมพนั ธ.์