หน่วยที่ 7 การวัดการกระจายของข้อมูล

การวดั การกระจายของขอ้ มลู

การวดั การกระจายสมั บรู ณ์

การวดั การกระจายสัมบูรณ์ เปน็ การวัดการกระจายของขอ้ มลู เพียง
ชุดเดยี ว ทาได้ 4 วิธี คอื
1. พสิ ยั (Range)
2. ส่วนเบีย่ งเบนควอร์ไทล์ (Quartile Deviation)
3. ส่วนเบีย่ งเบนเฉลยี่ (Mean Deviation)
4. สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

ในหน่วยนี้จะศึกษาเพยี ง 2 วธิ ี พสิ ยั และสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน

พสิ ยั

พิสยั (Range) คอื ค่าทใ่ี ชว้ ดั การกระจายของขอ้ มูลไดจ้ ากผลต่างระหวา่ งข้อมูล
ที่มคี ่าสงู สดุ กบั ขอ้ มูลท่ีมคี ่าต่าสุด
1. การหาพิสัยของข้อมลู ท่ีไมไ่ ด้แจกแจงความถี่

พสิ ยั = ค่าสงู สุด – ค่าตา่ สุด หรือ Range = x − x

ตัวอย่างที่ 1 จงหาพสิ ยั ของอายุ(หน่วยเปน็ ปี) ของนกั เรียนกลุม่ หนึ่งท่ีมีข้อมลู ดังนี้
17 15 22 15 16 17 21 23 19 20

วิธที า Range = x − x
= 23 – 15 = 8

ดงั นน้ั พสิ ยั ของอายขุ องนักเรยี นกลมุ่ นี้ คอื 8 ปี

2. การหาพสิ ยั ของข้อมลู ทแี่ จกแจงความถ่ี
พิสยั = ขอบบนของอันตรภาคชน้ั ทมี่ ขี ้อมลู มคี ่าสูงสุด – ขอบลา่ งของอนั ตรภาคชั้นทมี่ ี

ข้อมลู มีคา่ ตา่ สุด

ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาพิสัยของนา้ หนกั ของพนักงาน 70 คนของบรษิ ัทแหง่ หน่งึ

นา้ หนกั (กก.) 60 - 64 65 - 69 70 - 74 75 - 79 80 - 84 85 - 89
จานวนพนักงาน 4 10 16 15 14 11

วิธที า พสิ ัย = ขอบบนของอนั ตรภาคช้ันทมี่ ขี อ้ มูลมีค่าสงู สุด – ขอบล่างของอันตรภาคชัน้ ท่ีมีขอ้ มลู มคี า่ ตา่ สดุ
= 89.5 – 59.5
= 30

ดงั น้ัน พิสยั นา้ หนักของพนักงานของบรษิ ทั แหง่ นคี้ อื 30 กิโลกรัม

สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) คอื ค่าทใ่ี ช้วดั
การกระจายของขอ้ มลู ที่ไดจ้ ากการหารากทส่ี องของคา่ เฉลยี่ ของกาลังสองของ
ผลตา่ งระหวา่ งค่าของขอ้ มูลแต่ละคา่ จากค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของข้อมูลชุดนัน้
ใชส้ ญั ลกั ษณ์ S หรือ S.D.

1. การหาสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของข้อมลู ท่ไี ม่ไดแ้ จกแจงความถี่

สตู รท่ี 1 S= −x 2
สูตรที่ 2 =1



S= − 2 x2

=1


ตัวอย่างท่ี 3 จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของนกั เรยี น 5 คน เป็นดงั นี้

23, 28, 32, 30, 37

วิธีทา x =
= =1

23+ 2 8+32+30+37 = 150 = 30
5
5
5

= + + + + =1
−x 2 23 − 30 2 28 − 30 2 32 − 30 2 30 − 30 2 37 − 30 2

= 49 + 4 + 4 + 0 + 49

= 106

จากสูตรที่ 1S = −x 2 = 106 = = 4.6
=1 5
21.2


จากสตู รที่ 2 S= − 2 x2

=1

2
=1 =232 + 282 + 322 + 302 + 372 = 529+784+1,024+900+1,369 = 4,606

แทนค่า S = = =4,606 = 4.6
5
− 30 2 921.2 − 900 21.2

ดงั นั้น ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของนกั เรยี นกลุ่มน้ี คือ 4.6 คะแนน

2. การหาส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ที่แจกแจงความถี่
2.1 การหาคา่ สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานโดยวธิ ีตรง

สตู รท่ี 1 S= −x 2
เมอื่ =1

i และ N =
=1
เปน็ จุดกึง่ กลางของอนั ตรภาคชัน้ ท่ี

สตู รท่ี 2 S = − 2 x2

=1


ตัวอย่างที่ 4 ตารางตอ่ ไปน้เี ป็นคะแนนสอบวิชาสถิติของนักเรยี น 30 คน
จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

คะแนนสอบ 21 - 25 26 - 30 31 - 35 36 - 40 41 - 45

จานวนคน 4 6 10 6 4

วธิ ที า ใชส้ ูตรที่ 1

คะแนน ความถี่ ( ) − x − x 2 − x 2
4
21 – 25 6 23 92 -10 100 400
26 – 30 10 28 168 -5 25 150
31 – 35 6 33 330 0 0 0
36 – 40 4 38 228 5 25 150
41 - 45 43 172 10 100 400
N = 30
5 = 990 5 − x 2=1,100
=1 =1

x = 990 = 33
30

S= −x 2 = 1,100 = 36.67 = 6.06
=1 30



ดังนั้น ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานคือ 6.06 คะแนน

ใชส้ ูตรที่ 2 2 2
529 2,116
คะแนน 4 23 784 4,704
6 28 1,089 10,890
21 – 25 10 33 1,444 8,664
26 – 30 6 38 1,849 7,396
31 – 35 4 43
36 – 40
41 - 45 N = 30

= 33,7705

=1
2

2
S= − x2 = =33,770
30
=1 − 33 2 1,125.67 − 1,089


= 36.67 = 6.06

ดังน้นั สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานคือ 6.06 คะแนน

2.2 การหาคา่ ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานโดยวิธีลัด (วธิ ที อนค่า)

สตู รท่ี 3 S = I − ′ 2 x′ 2

=1

′
โดยที่ ′ = − และ ′ = =1
I

เมื่อ แทน จุดกง่ึ กลางของอันตรภาคช้ันท่ี i

แทน จดุ ก่ึงกลางสมมตุ ขิ องอันตรภาคชั้นใดอันตรภาคช้นั หน่งึ

แทน ความถข่ี องอนั ตรภาคช้ันท่ี i

I แทน ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั

N แทน จานวนข้อมลู ทัง้ หมด

ตัวอย่างที่ 5 จงหาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์
พนื้ ฐานอาชีพของนักเรยี น ปวช.1 ดังตารางแจกแจงความถ่ตี ่อไปนี้

คะแนน 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100

จานวน(คน) 2 5 10 13 9 6 5

วธิ ที า ความถ่ี ( ) จุกกึ่งกลาง ′ = − ′ ′ 2
I
คะแนน 2 35.5
5 45.5 -3 -6 18
31 – 40 10 55.5
41 – 50 13 65.5 = a -2 -10 20
51 – 60 9 75.5
61 – 70 6 85.5 -1 -10 10
71 – 80 5 95.5
81 – 90 0 0 0
91 - 100 N = 50
1 9 9

2 12 24

3 15 45

7 ′ = 10 7 ′ 2 = 126
=1 =1

อันตรภาคช้นั 61 – 70 มีความถีส่ งู สดุ

a = 61+70 = 65.5
2

−

=1
สตู ร S = I ′ 2 x′ 2


=1 ′
x′ = = 10 = 0.2
50

แทนค่า S = 10 126 − 0.2 2
50

= 10 2.52 − 0.04

= 10 2.48 = 10(1.575)

= 15.75

ดงั นัน้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คอื 15.75 คะแนน

ความแปรปรวน

ใช้สัญลักษณค์ ว า2มแหปรรอื ปร .ว น .2(Variance) คือ ค่าของสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานยกกาลงั สอง

1. ข้อมูลทีไ่ ม่ได้แจกแจงความถ่ี

2 = −x 2 หรอื 2 = 2 − x2
=1 =1



ตวั อยา่ งที่ 6 จงหาความแปรปรวนของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้ 10, 12, 13, 17, 18

วธิ ที า x = 10+12+13+17+18 = 70 = 14
5 5

5 −x 2 = 10 − 14 2 + 12 − 14 2 + 13 − 14 2 + 17 − 14 2 + 18 − 14 2
=1

= 16 + 4 + 1 + 9 + 16 = 46

จากสูตร 2 = −x 2 = 46 = 9.2
=1 5


ดังนั้น ความแปรปรวนเทา่ กับ 9.2

2. ขอ้ มลู ท่ีแจกแจงความถ่ี

2 = −x 2 หรือ 2 = − 2 x2
=1
=1


การหาความแปรปรวนโดยวิธที อนค่าข้อมูล

−

=1
2 = 2 ′ 2 x′ 2



ตัวอย่างท่ี 7 จากตารางแสดงจานวนโทรทศั น์ทข่ี ายไดต้ อ่ เดือนของพนกั งานขาย
10 คน ของบรษิ ทั แห่งหนึง่ จงหาความแปรปรวนของจานวนโทรทศั น์ทขี่ ายได้
ต่อเดือน

จานวนโทรทศั น์ 0 - 2 3 - 5 6 - 8 9 - 11 12 - 14
4
จานวนพนักงานขาย (คน) 1 2 3 0

วธิ ที า

จานวนโทรทศั น์ จานวนพนกั งาน ( ) จกุ กึ่งกลาง ( ) 2
1
0 -2 1 1 1 32
8 147
3–5 2 4 21 0
0 676
6–8 3 7 52

9 – 11 0 10

12 - 14 4 13

N = 10 5 = 82 5 2 = 856
=1 =1

x= = 82 = 8.2
=1 10

2
−
2 = x2
=1


= 856 − 8.2 2 = 85.6 – 67.24
10

= 18.36

การวดั การกระจายสมั พัทธ์

การวัดการกระจายสัมพัทธ์ เปน็ การวัดการกระจายของขอ้ มูลตง้ั แต่
สองชุดข้นึ ไป นาไปใช้เปรยี บเทียบกับการกระจายของข้อมลู แตล่ ะกลมุ่ ว่ากลุ่มใด
มีการกระจายมากนอ้ ยกว่ากัน

การวดั การกระจายสมั พทั ธ์ ได้แก่
1. สัมประสิทธ์ขิ องพิสัย
2. สัมประสิทธิข์ องส่วนเบยี่ งเบนควอร์ไทล์
3. สัมประสทิ ธิ์ของสว่ นเบ่ียงเบนเฉลย่ี
4. สมั ประสทิ ธขิ์ องการแปรผัน
ในหน่วยนี้จะศกึ ษา 2 วธิ ี สมั ประสิทธขิ์ องพิสัย และสมั ประสทิ ธ์ขิ อง
การแปรผัน

สัมประสทิ ธิ์ของพสิ ยั

สมั ประสทิ ธิ์ของพิสยั = คา่ สูงสดุ ของข้อมูล −ค่าตา่ สดุ ของขอ้ มลู
ค่าสูงสดุ ของข้อมลู +คา่ ตา่ สดุ ของข้อมลู
−
หรือ สมั ประสทิ ธิ์ของพิสยั = +

ตวั อยา่ งที่ 8 จงเปรียบเทยี บการกระจายของรายได้ของครอบครัว (บาทต่อเดอื น)
ในสองทอ้ งท่ีเปน็ ดังนี้

รายไดค้ รอบครวั ท้องท่ีท่ีหนง่ึ 6,400 3,500 4,200 2,400
5,100

รายได้ครอบครวั ทอ้ งทท่ี ี่สอง 2,100 1,750 3,080 3,200
2,000 2,600 2,300

วธิ ีทา สัมประสิทธิ์ของพสิ ัย = −

+

สัมประสทิ ธิ์ของพสิ ยั ของรายไดค้ รอบครวั ทอ้ งทที่ หี่ นึ่ง = 6,400−2,400 = 4,000 = 151= 0.4545
6,400+2,400 8,000

สัมประสทิ ธิ์ของพสิ ัยของรายไดค้ รอบครวั ทอ้ งทท่ี ส่ี อง = 3,200−1,750 = 1,450 = 2999= 0.2929
3,200+1,750 4,950

ดงั น้นั สมั ประสิทธ์ิของพสิ ัยของรายได้ครอบครัวทอ้ งท่ีทห่ี น่งึ สูงกวา่ ท้องที่ทส่ี อง
ครอบครวั ทอ้ งทีท่ ี่หนง่ึ มกี ารกระจายรายได้มากกว่าครอบครัวทอ้ งทีท่ ส่ี อง

สัมประสิทธข์ิ องการแปรผนั

สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน เป็นการวดั การกระจายสัมพัทธ์ที่นิยมใช้
มากท่ีสุด ใชส้ ัญลกั ษณ์ C.V.

สตู รการคานวณ สมั ประสทิ ธิ์ของการแปรผนั = สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

หรือ C.V. = x

ตวั อยา่ งที่ 9 จงหาสมั ประสทิ ธข์ิ องการแปรผนั ของการสอบของนักเรยี นท้งั สอง

ครั้ง

คะแนนเฉล่ีย สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน วิธที า สมั ประสทิ ธข์ิ องการแปรผัน =
x
สอบคร้งั ทห่ี น่ึง 60 6 7667000==111010=0
C.V. ของการสอบคร้งั ทีห่ น่งึ = 0.1
สอบครง้ั ที่สอง 700 7 C.V. ของการสอบคร้งั ทีส่ อง = = 0.01

ดังนน้ั สัมประสทิ ธขิ์ องการแปรผนั ของการสอบคร้งั ทห่ี น่งึ สงู

กว่าคร้งั ทสี่ อง น่นั คอื คะแนนสอบครง้ั ท่สี องดีกวา่ ครั้งท่หี น่งึ