persamaan diferensial orde satu -2

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU

Definisi:
Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel
independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap x.
Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam
persamaan tersebut.
Contoh:

− = PD order satu

− = PD order dua

− = PD order tiga

Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Contoh: − A, B =konstanta sembarang

−

−

−= − PD order 2)

Contoh:

Bentuk sebuah persamaan diferensial dari fungsi −

Solusi: − −

−−
dari persamaan diatas

1

− =−

− −−− −
− = PD order 1
Contoh: Bentuklah persamaan direfensial untuk
Solusi:
−
−

− =−
Substitusi = −

−

−

−

−

Catatan:
Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu
Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua

Penyelesaian Persamaan Diferensial

Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh
turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y.

2

Metode 1 : Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk y’=f(x), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan
dengan integrasi sederhana

Catatan selanjutnya ditulis y ’

ditulis y “

Contoh:
−

−−

−
Contoh:

−

− =−

−

Contoh: Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan − =−

− −−

Masukkan nilai − = −

− =−

−

Metode 2: Dengan pemisahan variabel

Bila persamaan yang diberikan berbentuk − variabel di sisi kanan

menyebabkan persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.

Contoh: − = −

3

−

−

Contoh:
−

−

−= −

Contoh: − =−

− =−

− = −
− −

−

Contoh: − =

−

−

Contoh: −

−= −

=−

4

Contoh: − −
− =

−

PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI −

Contoh: −

Persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan sisi kanan dan sisi kiri dalam bentuk “factor
x” dan “factor y”. Dalam kasus ini kita menggunakan substitu − si , dimana v
adalah fungsi dari x.

Bila − didefinisikan, maka

− =−
Sehingga

−− →

− =− − −

−= −
− −

− − =−

−= −

Catatan: − →

Substitusi − = −

5

−−

− =− − −
−= −= −

− =−
− →
Catatan: −

Substitusi − = −

−−

− =−

− −
−
−= −
−

−
Karena

− =−

− = −
Contoh: − −

−

6

− =−
−−

− =− −

−= −

− = −
− −
− =−
−= −
−=

Keujudan dan Ketunggalan

Dibagian sebelumnya kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu terjadi dalam

banyak model. Tentu saja model itu berguna bila persamaan diferensial yang dihasilkan

dapat diselesaikan secara eksplisit, atau paling sedikit jika kita dapat menemukan teknik

yang beraneka ragam untuk menyelesaikan suatu PD, akan sangat bermanfaat

mengetahui apakah PD itu mempunyai penyelesaian atau tidak. Yaitu, apakah PD itu

ujud? Sebagai contoh PD, − tidak mempunyai penyelesaikan real,

karena ruas kiri selalu positif,

Bentuk umum persamaan diferensial orde satu adalah

−

Bila kita ketahui nilai pada saat , atau

−

Maka kita akan dapat mengetahui kedudukan/nilai y pada x berikutnya dan y akan
bergerak pada lintasan tunggal. Ini berarti, PD pada pers (1) mempunyai penyelesaian
yang memenuhi syarat (2), dan PD itu mempunyai hanya satu penyelesaian.

7

Syarat (2) disebut syarat awal; dan pers (1) dan syarat (2) disebut MASALAH NILAI AWAL
(MNA) atau Initial Value Problem.

PERSAMAAN LINEAR – Penggunaan Faktor Integrasi

Tinjau persamaan −

Metode sebelumnya tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini.

= kalikan kedua sisi dengan

−−

Merupakan turunan dari

− =− −

−

Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk − persamaan ini disebut
persamaan linear orde pertama.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kalikan kedua sisi dengan sebuah factor integrasi

yang selalu berbentuk . Hal ini akan mengubah sisi kiri menjadi turunan dari hasil

kali.

Dari contoh sebelumnya − P=5

− = faktor integrasinya adalah .

Contoh: −= − (P=-1; Q=x)

Factor integrasi =− −

Jadi factor integrasi =

Kalikan kedua sisi dengan −
=−

−=

8

Integral disisi kanan dapat diselesaikan dengan integrasi perbagian.
−

−−

− − ; dimana P&Q fungsi dari x
Tinjau

Faktor integral − −

−

Turunan dari

− = diintegralkan terhadap x

−

−−

Definisi Dasar Logaritma

− − −
− − −

− − −−

Contoh: −

Solusi: bagi kedua sisi dengan x

−= −

−− −
Gunakan rumus

9

− − − − −−

− −−

Contoh: −

Selesaikan persamaan diferensial tersebut

− =−

−−

−− − −−

− =−

− =−

−

Contoh: Selesaikan PD berikut −
−

Solusi: Bagi kedua sisi dengan

− =−

−− − −
− = −

−−

−
Contoh: selesaikan persamaan diferensial berikut

10

− = −
Solusi: =−

−

−

−−

−− − −−
−
=− −

− =−

Contoh: carilah penyelesaian masalah nilai awal (MNA) atau Initial Value Problem

−−

Solusi: − =− −

−− −

−−

−−

− =−

− =− =−

−

Contoh: selesaikan PD berikut:
−

Solusi: kita bagi kedua sisi

11

− =− −
− −

− −− −
− =− jika diketahui −

−

Contoh: selesaikan persamaan −
untuk −

Solusi: − bagi kedua sisi

− −−

−−

−− − −

− −−

=−

−− =− =−
−

PERSAMAAN BERNOULLI
Persamaan Bernoulli:

− P & Q fungsi dari x
Bagi kedua sisi dengan

12

−

Masukkan − =−

Jika persamaan (1) dikalikan dengan menjadi
−

− ; dimana adalah fungsi dari x. selanjutnya dapat

diselesaikan dengan menggunakan sebuah factor integrasi.

Contoh:

Selesaikan −

Solusi: bagi kedua sisi dengan didapat −

Bila − −−

− =− −

−

Maka persamaan (*) menjadi

−= −

− = − →
−− = →
−− −
−
− =

−− →− −

=−
Bila kita cek kembali untuk melihat apakah y menyelesaikan persamaan asal

13

−= → −−
−
−

−

−−

− = sesuai dengan soal
Contoh: selesaikan persamaan berikut

−

Solusi: = solusi dasar −

Bagi kedua sisi dengan menghasilkan −
Bagi kedua sisi dengan −

−

Misal − − =− −

Kalikan persamaan (*) dengan -3; maka

−= −

Selesaikan persamaan dengan metode −

−− −−−
− =−

− − −
Karena − maka

14

− =−

−

Contoh: selesaikan −

Solusi: bagi kedua sisi dengan −
− merupakan bentuk dasar −

Bagi kedua sisi dengan

−−

−−

Kalikan dengan =

− =−

Selesaikan dengan factor integral; − −

−− −− −
− =−

− karena −

− =− −

−

15

Aplikasi PDB Order Satu

3.1 Masalah Dalam Mekanik

Misal 4x adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda bergerak selama
waktu 4t maka kecepatan rata-rata dide nisikan

vr = 4x = xB ; xA :
4t tB ; tA

Selanjutnya kecepatan sesaat adalah

v = 4li!m0 vr = 4litm!0 4x
4t
dx
v = dt (m=dt):

v = dv (m=dt2)
dt

Hukum 3.1.1 (Hukum Newton I) Hukum ini juga disebut hukum Kelemba-

man Newton yang berbunyi ' setiap benda akan tetap berada pada keadaan diam
atau bergerak lurus beraturan kecuali jika benda itu dipaksa oleh gaya-gaya yang
bekerja pada benda itu'.

16





sehingga model PDB sekarang adalalah

dx = ;4 2e; 5 t
dt 2

x(0) = 0

Dengan cara yang sama untuk solusi PDB ini maka ekspresi jarak terhadap waktu
adalah

x(t) = 4t ; 4 e 5 t + 4
5 2 5

3.2 Pertumbuhan dan Peluruhan

Jika Q menunjukkan jumlah, kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu t,

maka perubahan (bertambah=pertumbuhan atau berkurang=peluruhan) yang

disimbulkan dengan dQ berbanding lurus dengan kuantitas Q, dengan kata lain
dt

dQ = rQ pertumbuhan
dt
dQ
dt = ;rQ peluruhan

3.2.1 Pertumbuhan Populasi

Jika y adalah jumlah populasi dalam waktu t, k adalah konstanta proportionalitas
atau tingkat pertumbuhan maka model PDB pertumbuhan populasi adalah

dy = ky
dt

y(t0) = y0

19

Selanjutnya bila k berubah-ubah maka dapat kita ganti dengan h(y) yang dapat

dipilih h(y) = r ; ay maka model pertumbuhan menjadi dy = (r ; ay)y
dt

dy = r(1 ; y )y dimana K = r
dt K a

y(t0) = y0

PDB ini dikenal dengan persamaan Verhulst atau persamaan Logistik. Solusi

kualitatif persamaan ini untuk r dan K positip adalah tertera dalam Gambar
3.1.

Asymptotic solution 0.5 1 1.5 2 2.5
x

3 -0.5 0 -2 -3
2 -1
y(x)
1

-1

Gambar 3.1: Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi.

Contoh 3.2.1 Pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut

dx = 1010x ; 1 x2
dt (10)8

Bila tahun 1980 jumlah populasinya 100,000 maka

1. berapa besar populasi tahaun 2000

2. tahun berapa jumlah populasi akan menjadi 2 tahun 1980

3. berapa jumlah populasi terbesar untuk t > 1980

20