The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

Brands Summer Camp ครั้งที่ 27 วิชาคณิตศาสตร์

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by BS_Library, 2019-12-01 06:58:01

Brands Summer Camp ครั้งที่ 27 วิชาคณิตศาสตร์

Brands Summer Camp ครั้งที่ 27 วิชาคณิตศาสตร์

Keywords: คณิตศาสตร์

สุดยอดการติวสด

• พเิ ศษ เก็งขอสอบกวา 800 ขอ
• รวมสดุ ยอดตวิ เตอรชอ่ื ดังระดับประเทศ
• ติวเขม 8 วชิ า 6 วันเต็ม 4 ชองทาง วันท่ี 1-6 ตุลาคม 2558
1. ตวิ สด ณ อาคารจักรพนั ธเ พ็ญศริ ิ มหาวทิ ยาลัยเกษตรศาสตร
และสงสญั ญาณผา นเครือขา ยนนทรีเนต็ www.ku.ac.th ไปยงั อีก
3 วิทยาเขต คอื นครปฐม ชลบุรี และสกลนคร
2. ตวิ พรอ มกันผานสัญญาณดาวเทยี ม
- ภาคเหนือ คณะเภสชั ศาสตร ม.เชียงใหม
- ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ คณะเภสัชศาสตร ม.ขอนแกน
- ภาคใต คณะแพทยศาสตร ม.สงขลานครนิ ทร (หาดใหญ)

และมหาวิทยาลัยราชภัฏ จ.ยะลา
3. ตวิ ผา นสญั ญาณดาวเทยี มสามารถเขาดไู ดท ่ีชอ งทางการรับชมสถานีโทรทัศน

ดาวเทียม MCOT 1 (Live)
- กลอง GMM Z ชอ ง 279
- กลอง PSI ชอ ง 227
- กลอง True MPEG 4 ชอ ง 78
- กลอง True MPEG 2 ชอ ง 106
- กลอ ง CTH ชอ ง 180
- กลอง Sun Box ชอ ง 83
- กลอ ง Infosat ชอง 245
4. ตวิ ผานอนิ เตอรเนตท่ี https://www.facebook.com/BRANDSWorldThailand
5. ดยู อ นหลังผานทางสถานีวิทยโุ ทรทัศนก ารศกึ ษาทางไกลผานดาวเทียม สศทท.
วงั ไกลกงั วล ชอ ง สศทท.14 วนั ที่ 15-20 ตุลาคม 2558

รับรหสั เพื่อดาวนโหลดหนังสอื เก็งขอสอบ
แบรนดซ มั เมอรแ คมปไ ดท ี่

สอบครั้งสำคญั ...ทำใหเต็มท่ี สู สู



เซต

1. ความรู้เบื้องตน้ เกย่ี วกบั เซต

1.1 ความหมายของเซต
เซตเป็นอนิยาม เราจะไมใ่ ห้ความหมายของเซตวา่ หมายถงึ อะไร แต่เราจะใชค้ ําวา่ “เซต” เพอ่ื

บ่งบอกถงึ กลมุ่ ของสิ่งตา่ งๆ โดยตอ้ งทราบแนน่ อนวา่ สิง่ ใดอย่ใู นกลุ่ม และสง่ิ ใดไมอ่ ยู่ในกล่มุ ที่กลา่ วถงึ เชน่ เซต
ของสระในภาษาอังกฤษ เซตของจํานวนนับ เซตของจํานวนจรงิ ทสี่ อดคล้องกับสมการ x2 - 5x + 6 = 0
เป็นต้น เราจะเรยี กส่งิ ทอี่ ยูใ่ นเซตว่า สมาชิกของเซต เช่น 4 เป็นสมาชิกของเซตจาํ นวนเต็มบวก เป็นต้น

1.2 การเขยี นเซต
การเขียนเซตนยิ มใชอ้ ักษร A, B, C, ... เขยี นแทนเซต และใชอ้ ักษร a, b, c, ... เขียนแทน

สมาชิกของเซต มีวธิ ีเขยี นเซตได้ 2 แบบ คือ
1.2.1 การเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชิก การเขยี นแบบน้ี จะเขียนสมาชิกทกุ ตัวในเครอ่ื งหมาย

วงเลบ็ ปกี กา “{ }” โดยที่สมาชกิ แต่ละตวั คัน่ ด้วยเคร่ืองหมายจลุ ภาค “ , ”
เชน่ เซตของสระในภาษาอังกฤษ เขียนแบบแจกแจงสมาชิก {a, e, i, o, u}

1.2.2 การเขยี นเซตแบบบอกเง่อื นไข การเขียนแบบนี้ จะเขียนโดยใช้ตวั แปร x, y หรือ z
แทนสมาชิก หลงั จากนัน้ ใช้เสน้ “ | ” (อา่ นวา่ โดยท่)ี และต่อจากเส้นค่ันจะเปน็ ส่วนอธิบายเก่ียวกับลักษณะของ
ตวั แปรนนั้ ว่ามลี ักษณะอยา่ งไร

1.3 สมาชิกของเซต
เราใช้สัญลักษณ์ “∈” แทนคําวา่ “เป็นสมาชิกของ” และใช้สัญลักษณ์ “∉” แทนคําวา่ “ไม่เป็น

สมาชิกของ” เชน่ A = {2, 5, 7, 9} จะพบว่า 2 ∈ A, 5 ∈ A, 6 ∉ A เปน็ ตน้

คณติ ศาสตร์ (2)___________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

1.4 เซตจาํ กัด เซตอนันต์ และเซตวา่ ง
เซตจํากดั คอื เซตทส่ี ามารถบอกได้แน่นอนว่ามจี ํานวนสมาชกิ เทา่ ใด
เซตอนันต์ คือ เซตซึ่งไมใ่ ช่เซตจํากัด หรอื เซตซงึ่ ทีส่ มาชกิ เป็นจาํ นวนอนันต์
เซตวา่ ง คอื เซตที่ไมม่ ีสมาชกิ เขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์ φ หรอื { }

ขอ้ สงั เกต 1. การใชส้ ญั ลกั ษณ์ … ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก จะตอ้ งแนใ่ จว่า
สมาชิกในตัวถดั ไปเปน็ ตัวอะไร เชน่ {3, 5, 7, 9, …} เราสามารถบอกไดว้ ่าสมาชกิ ท่อี ยถู่ ัด
จาก 9 นน้ั เปน็ 11, 13, 15 ไปเรอื่ ยๆ

2. เซตว่างเปน็ เซตจาํ กัด

1.5 เอกภพสมั พัทธ์
เอกภพสมั พัทธ์ คอื เซตท่ีกําหนดขอบเขตสิง่ ท่ีต้องการศึกษา และใช้สัญลกั ษณ์ U
แทนเอกภพสัมพัทธ์

เช่น ถา้ กําหนด U = {-2, -1, 0, 1, 2} แสดงวา่ จํานวนท่เี ราจะนํามาใช้ มี 5 ตัวเท่านัน้ คอื
-2, -1, 0, 1, 2 สาํ หรับตัวอ่ืนเราจะไมใ่ ช้ ถา้ กําหนด U คอื เซตของจาํ นวนนับ แสดงว่าจํานวนทเ่ี ราจะนํามาใช้
คอื จํานวนนับทง้ั หมด

ข้อสังเกต 1. เราจะใชส้ ญั ลักษณ์
I แทนเซตของจํานวนเตม็
N แทนเซตของจํานวนนบั
Q แทนเซตของจาํ นวนตรรกยะ

2. การเขียนเซตใดๆ เราจะต้องกาํ หนดเอกภพสัมพัทธท์ ุกครงั้ ถา้ เซตใดไม่ได้
กําหนดเอกภพสัมพัทธม์ าให้ ให้หมายถึงเซตน้นั มีเอกภพสมั พัทธเ์ ปน็ เซตของจํานวนจริง

3. การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข เราอาจกําหนดเอกภพสัมพัทธ์อยู่ในเซต
เช่น ถ้ากําหนดให้ A = {x | x ∈ R และ x2 - 3x - 4 = 0} จะพบว่าเอกภพสัมพัทธ์เป็น
เซตของจํานวนจริง (R) การเขียนเซต A ดังกล่าวอาจเขียนได้หลายวิธีซ่ึงมีความหมาย
เหมอื นกนั ดงั นี้ {x ∈ R | x2 - 3x - 4 = 0} หรือ {x | x2 - 3x - 4 = 0}

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 __________________________________________ คณติ ศาสตร์ (3)

1.6 การเทา่ กนั ของเซต

เซต A เทา่ กบั เซต B กต็ ่อเมือ่ ทัง้ สองเซตมจี าํ นวนสมาชิกเท่ากนั และเหมือนกันทุกตัว
เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A = B

เช่น กาํ หนดให้ A = {0, 1, -1} และ B = {x | x3 - x = 0}
เราสามารถเขียนเซต B แบบแจกแจงสมาชกิ ได้เป็น B = {0, 1, -1} ∴ A = B
1.7 การเทียบเทา่ กนั ของเซต

เซต A เทียบเท่ากับเซต B ก็ต่อเมื่อ ทงั้ สองเซตมีจาํ นวนสมาชิกเทา่ กนั

เชน่ กําหนดให้ A = {1, 4, 7} และ B = {x, y, z}
จะพบว่าจํานวนสมาชกิ ของเซต A เท่ากบั จาํ นวนสมาชกิ ของ B ∴ เซต A เทียบเท่ากับเซต B

ข้อสังเกต 1. เซตใดทีม่ ีสมาชกิ ในเซตซํา้ กันหรอื เหมือนกันหลายตัว ใหถ้ ือว่าสมาชิกนนั้
เปน็ สมาชกิ ตัวเดยี วกัน และให้นบั เปน็ 1 ตัว

2. ถ้า A = B แลว้ เซต A จะเทียบเท่ากบั เซต B
3. ถ้าเซต A เทยี บเท่ากบั เซต B แลว้ A ไมจ่ ําเป็นต้องเทา่ กับ B

1.8 สบั เซต

A เปน็ สบั เซตของ B กต็ ่อเมอ่ื ทกุ ๆ สมาชิกของ A จะต้องเป็นสมาชิกของ B เขียนแทน
ด้วยสัญลกั ษณ์ A ⊂ B

สาํ หรบั “A ไม่เป็นสับเซตของ B” จะใช้สัญลกั ษณ์ A ⊄ B น่ันคอื A ⊄ B กต็ ่อเมื่อ
มีสมาชิกบางตวั ของ A ไม่เปน็ สมาชิกของ B

การเป็นสับเซตสามารถแยกไดเ้ ป็น
1. เป็นสับเซตแท้ เช่น A เป็นสบั เซตแทข้ อง B จะไดว้ ่า A ⊂ B แต่ B ⊄ A
2. ไม่เป็นสบั เซตแท้ เช่น A ไมเ่ ปน็ สับเซตแทข้ อง B จะไดว้ า่ A ⊂ B แต่ B ⊂ A (A = B)
1) สมบัตพิ ื้นฐานเกี่ยวกบั สับเซต

กาํ หนด A, B เปน็ เซตใดๆ
(1) เซตว่างเปน็ สบั เซตของทกุ ๆ เซต น่ันคอื φ ⊂ A
(2) ทุกๆ เซตจะเปน็ สบั เซตของตวั เองเสมอ นั่นคอื A ⊂ A
(3) A = B กต็ ่อเม่ือ A ⊂ B และ B ⊂ A
(4) ให้ n(A) แทนจาํ นวนสมาชกิ ของ A แลว้ จาํ นวนสบั เซตท้งั หมอของ A จะมี 2n(A) เซต

คณติ ศาสตร์ (4)___________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27

2) การหาสับเซตทัง้ หมดของเซตจํากดั
กาํ หนดให้ A เป็นเซตใดๆ การหาสบั เซตทงั้ หมดทเ่ี ปน็ สับเซตของ A มหี ลักการดงั น้ี
เรมิ่ ตน้ ดว้ ยเซตทีไ่ มม่ ีสมาชิก (เซตวา่ ง) จากนัน้ หาสบั เซตทมี่ ีสมาชกิ 1 ตวั ทน่ี ํามาจากเซต A และ

สบั เซตท่มี สี มาชิก 2 ตวั , 3 ตวั ตามลาํ ดบั ไปเร่ือยๆ จนถงึ จํานวนสมาชิกของสับเซตท่ีเทา่ กับจาํ นวนสมาชิกของ
เซต A

2. การดําเนนิ การบนเซต

2.1 เพาเวอร์เซต
เพาเวอรเ์ ซต (Power Set) ของเซต A คือ เซตทปี่ ระกอบดว้ ยสมาขกิ ทเ่ี ป็นสบั เซต

ทัง้ หมดของเซต A เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ P(A)
นน่ั คือ P(A) = {x | x ⊂ A}
∴ x ∈ P(A) ↔ x ⊂ A

ขอ้ สงั เกต การเขียนเซตแบบบอกเงอื่ นไขในส่วนของการบรรยายลกั ษณะของตวั แปรน้นั
อาจเขียนไดห้ ลายวิธี กลา่ วคอื จะเขยี นเซตแบบบอกเงือ่ นไขในลักษณะอย่างไรกไ็ ด้ เมอ่ื นาํ มา
เขียนเปน็ เซตแบบแจกแจงสมาชิกจะตอ้ งเหมอื นกัน

สมบตั เิ กยี่ วกบั เพาเวอร์เซต
กาํ หนด A, B เป็นเซตใดๆ
(1) φ ∈ P(A)
(2) A ∈ P(A)
(3) P(φ) = {φ}
(4) P(A) ≠ φ
(5) ให้ n(A) แทนจาํ นวนสมาชิกของ A และ

n[P(A)] แทนจาํ นวนสมาชิกของเพาเวอร์ A จะไดว้ า่ n[P(A)] = 2n(A)

(6) A ⊂ B กต็ อ่ เมื่อ P(A) ⊂ P(B)

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 __________________________________________ คณติ ศาสตร์ (5)

2.2 อนิ เตอร์เซกชัน

อินเตอร์เซกชนั ของเซต A และ B หมายถงึ เซตทปี่ ระกอบด้วยสมาชิกทเ่ี ปน็ สมาชิกของ
ทั้ง A และ B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A I B

น่นั คอื A I B = {x | x ∈ A และ x ∈ B}
∴ x ∈ A I B ↔ x ∈ A และ x ∈ B

ข้อสังเกต การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขในสว่ นของการบรรยายลกั ษณะของตัวแปรนั้น
อาจเขียนไดห้ ลายวิธี กล่าวคือ จะเขียนเซตแบบบอกเง่ือนไขในลกั ษณะอย่างไรก็ได้ เมอื่ นํามา
เขยี นเปน็ เซตแบบแจกแจงสมาชกิ จะต้องเหมือนกัน

สมบตั ิของอินเตอร์เซตชนั (2) A I B = B I A
(4) A I φ = φ I A = φ
กําหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ

(1) A I A = A
(3) (A I B) I C = A I (B I C)
(5) A I U = U I A = A

2.3 ยูเนยี น

ยเู นยี นของเซต A และเซต B หมายถงึ เซตทปี่ ระกอบดว้ ยสมาชกิ ของ A หรือ B หรอื ท้งั
สองเซตเขยี นแทนด้วย A U B

นั่นคอื A U B = {x | x ∈ A หรอื x ∈ B}
∴ x ∈ A U B ↔ x ∈ A หรอื x ∈ B

สมบตั ขิ องยูเนยี น
ถ้า A, B และ C เปน็ เซตใดๆ
(1) A U A = A
(2) A U B = B U A
(3) (A U B) U C = A U (B U C)
(4) A U φ = φ U A = A
(5) A U U = U U A = U
(6) A I (B U C) = (A I B) U (A I C)
(7) A U (B I C) = (A U B) I (A U C)
(8) P(A) I P(B) = P(A I B)
(9) P(A) U P(B) ⊂ P(A U B)

คณิตศาสตร์ (6)___________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

2.4 ผลตา่ งของคอมพลเี มนต์

ผลต่างของเซต A และ B หมายถึง เซตที่ประกอบดว้ ยสมาชิกของเซต A ท่ไี ม่เปน็ สมาชิก
ของ B เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A - B

นนั่ คอื A - B = {x | x ∈ A แต่ x ∉ B}
∴ x ∉ A - B ↔ x ∈ A แต่ x ∉ B
คอมพลีเมนต์ของเซต A หมายถงึ เซตที่ประกอบดว้ ยสมาชิกของ U แตไ่ ม่เปน็ สมาชกิ ของ
A หรอื กลา่ วอีกนัยหน่ึงกค็ ือ ผลตา่ งระหว่างเซต U กับ A เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ A′
น่นั คือ A′ = {x | x ∈ U แต่ x ∉ A} = U - A
∴ x ∈ A′ ↔ x ∈ U และ x ∉ A

สมบตั ขิ องคอมพลีเมนต์ (2) φ′ = U

ถา้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ (4) A I A′ = φ
(6) A - B = A I B′
(1) (A′)′ = A

(3) U′ = φ

(5) A U A′ = U
(7) (A U B′) = A′ U B′
(8) (A U B)′ = A′ I B′
(9) ถา้ A ⊂ B แล้ว B′ ⊂ A′

2.5 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ เป็นแผนภาพที่เขียนข้ึนเพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเซต
นยิ ามเขียนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก แทนเอกภพสมั พัทธ์ (U) และใช้รูปวงกลมหรือรูปวงรี แทนเซต
ในเอกภพสมั พทั ธ์

การแรเงาแผนภาพเพอื่ แสดงการยูเนยี น อินเตอรเ์ ซกชัน และผลต่างของเซต A และเซต B
(1) ถา้ A และ B เปน็ เซตท่ีไมม่ ีสมาชิกรว่ มกนั

AB UA B UA B U

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27 __________________________________________ คณิตศาสตร์ (7)

(2) ถ้า A และ B เปน็ เซตทม่ี สี มาชกิ บางตวั รว่ มกนั และ A ⊄ B, B ⊄ A

A BU A BU A BU

(3) ถ้า A ⊂ B และ A ≠ B U U

AB AB

U U

AB AB

(4) ในกรณี A = B สามารถเขียนแผนภาพดงั นี้ U

A
B

(5) การแรเงาแผนภาพแบบ A

A′ U
A

(6) ถ้า A, B และ C เปน็ เซตใดๆ สามารถเขยี นแผนภาพดงั น้ี

U
AB

C

คณติ ศาสตร์ (8)___________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

3. โจทยป์ ัญหาเกีย่ วกับเซต

โจทย์ปัญหาที่ต้องนําเซตมาใช้ ส่วนใหญ่จะเป็นการหาจํานวนสมาชิกของเซต ถ้าเราให้ A เป็น
เซตจํากดั จํานวนเซตสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย n(A) ก่อนอื่นจะต้องทําความเข้าใจ และต้องจําสูตรการหา
จาํ นวนสมาชิกของเซตตอ่ ไปน้ีให้ได้ เพื่อนําไปใชใ้ นการแกป้ ัญหาโจทย์

กําหนด A, B และ C เปน็ เซตจํานวนจํากดั ใดๆ
1. n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A I B)
2. n(A U B) = n(A) + n(B)
3. n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A I B) - n(A I C) - n(A I C) + n(A I B I C)
4. n(A - B) = n(A I B′) = n(A) - n(A I B)
5. n(A′) = n(U) - n(A)
สาํ หรับสูตรข้างตน้ นน้ั สามารถพสิ จู น์ได้โดยใชแ้ ผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ เข้าช่วย

แบบทดสอบ

1. กําหนด U = {a, b, c, d, e, f} , H = {a, b, d} , K = {b, e, f} และ L = {a, c, f}

1. k U L = U 2. H′ I K′ = φ 3. (K I L) ⊂ H 4. (H U K) ⊂ U

2. กําหนด U = {1, 2, 3, 4, 5} , A = {2, 3, 5} , B = {2, 4} , C = {1, 3, 5} และ D = {1, 4} จงหาเซต
เมอื่ แทนค่า X แล้วทําให้ B I X = (C U D)′ เปน็ จรงิ

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 27 __________________________________________ คณติ ศาสตร์ (9)

3. กําหนด P, Q, R เปน็ เซตใดๆ และ U เปน็ เอกภพสมั พทั ธ์ พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู

ก. จากแผนภาพทก่ี าํ หนดให้

PQ ส่วนทแี่ รเงา คือ เซต (P I Q) U (P I R)

R

ข. Q จากแผนภาพท่กี ําหนดให้
สว่ นทแ่ี รเงา คอื เซต (Q - P) U (R′ U P)′
P

R

4. ให้ A = {0, 2, 4, 6, 8} , B = {2, 3, 4, 5} แลว้ จาํ นวนเซต X ซง่ึ X ⊂ A และ X ⊄ B เท่ากบั เท่าใด

5. ถ้า A = {2, a, 3, b, 4, c, 5} และ B = {a, b, c} แล้วจํานวนเซต X ซ่ึง B ⊂ X ⊂ A เทา่ กบั เทา่ ใด

คณติ ศาสตร์ (10)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27

6. กาํ หนด A = {2, x, 5, y, 8, z, 9} : B = {x, y, z} แล้วจํานวนเซต X ซึง่ X ⊂ A และ X I B ≠ φ เทา่ กบั
เทา่ ใด

7. กาํ หนด n(A U B) = 15 , n(A - B) = 5 และ n(B I A′) = 7 แล้ว n[P(A) I P(B)] เท่ากับเท่าใด

8. กาํ หนด A, B เป็นเซตใดๆ n(P(A)) = 32 ; n[P(A) I P(B)] = 4 และ n[P(B I A′)] = 16 แลว้ n(A U B)

เท่ากบั เทา่ ใด

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (11)

ลาํ ดับ และอนกุ รม

1. ลําดบั

1.1 ความหมายของลาํ ดบั
พิจารณาฟังกช์ ัน f : I+ → R โดยกําหนด f(n) = 4n + 1

1 f(1) = 4(1) + 1 = 5 ...
2 f(2) = 4(2) + 1 = 9
3 f(3) = 4(3) + 1 = 13
4 f(4) = 4(4) + 1 = 17
5 f(5) = 4(5) + 1 = 21
MM
I+ R

ถา้ นาํ คา่ ฟังกช์ ันมาเรียงกนั ในลักษณะ ดงั น้ี
f(1) , f(2) , f(3) , f(4) , f(5) ,

5 , 9 , 13 , 17 , 21 , ...

การเรียงลักษณะนเ้ี รยี กว่า ลําดับ จะใชส้ ญั ลักษณ์ an แทน f(n) และเรียก an ว่า พจนท์ ี่ n
ของลําดบั หรอื พจน์ท่วั ไปของลาํ ดับ

นั่นคอื a1 = f(1) = พจน์ท่ี 1 ของลาํ ดบั
a2 = f(2) = พจน์ที่ 2 ของลําดับ
a3 = f(3) = พจน์ที่ 3 ของลาํ ดับ

MM M
an = f(n) = พจนท์ ่ี n ของลาํ ดบั

เรยี กลําดับ a1 , a2 , a3 , ... , an วา่ ลาํ ดบั จาํ กัด และเรียก ลําดับ a1 , a2 , a3 , ... , an , ...

ว่า ลาํ ดับอนันต์ และอาจใช้สัญลักษณ์ {an} แทนลาํ ดับ a1 , a2 , a3 , ... , an , ...

คณิตศาสตร์ (12)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

1.2 ลาํ ดบั คณติ

ลําดบั a1 , a2 , a3 , ... , an , ... เป็นลาํ ดับเลขคณิต ↔ a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 ...
= an - an-1 = ... คา่ คงท่ี เรยี กคา่ คงทวี่ า่ ผลต่างรว่ ม ใช้สญั ลกั ษณ์ d แทนผลต่างร่วม

พจนท์ ั่วไปของลําดับเลขคณิต
กาํ หนดลาํ ดับเลขคณิต มพี จน์ที่ 1 = a1 และผลต่างรว่ ม = d จะได้

ลาํ ดับ a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d , a1 + 4d , ... , a1 + (n - 1) d , ...

(a1) (a2) (a3) (a4) (a5) (an)

กาํ หนด a1 , a2 , a3 , … , an , … เปน็ ลําดบั เลขคณิต

∴ พจน์ทว่ั ไปของลําดบั เลขคณติ คอื an = a1 + (n - 1) d

1.3 ลาํ ดับเรขาคณติ

ลาํ ดับ a1 , a2 , a3 , … , an , … เปน็ ลาํ ดบั เรขาคณติ ↔ a2 = aa32 = aa34 =…
a1
an
= an-1 = ... = ค่าคงท่ี เรียกค่าคงทว่ี า่ อตั ราสว่ นรว่ ม ใชส้ ัญลักษณ์ r แทนอัตราส่วนร่วม

พจนท์ ่วั ไปของลาํ ดับเรขาคณติ
กาํ หนดลาํ ดบั เรขาคณติ มพี จน์ที่ 1 = a1 และอัตราส่วนร่วม = r จะได้

ลาํ ดับ a1 , a1r , a1r2 , a1r3 , a1r4 , ... , a1r(n-1) , ...
(a1) (a2) (a3) (a4) (a5) (an)

กาํ หนด a1 , a2 , a3 , a4 , … , an , … เปน็ ลําดับเรขาคณติ

∴ พจนท์ ว่ั ไปของลําดบั เรขาคณิต คือ an = a1r(n-1)

1.4 ลําดบั ฮาร์มอนกิ

ลําดบั a1 , a2 , a3 , … , an , … เปน็ ลาํ ดบั ฮาร์มอนกิ
1 1 1 a1n
↔ a1 , a2 , a3 ,…, = ... เป็นลาํ ดบั เลขคณิต

หรือ จากนยิ ามสามารถเขียนใหม่ไดด้ ังน้ี

ลําดับ 1 , 1 , 1 , ... , 1 = ... เปน็ ลําดับฮารม์ อนิก
a1 a2 a3 an

↔ a1 , a2 , a3 , ... , an , ... เปน็ ลําดบั เลขคณิต ____(*)

จาก (*) พจน์ท่ี n ของลาํ ดบั เลขคณติ = an = 1a1 + (n - 1)d
∴ พจนท์ ่ี n ของลําดบั ฮารม์ อนิก = a1 + (n - 1)d

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (13)

1.5 ลําดบั อนนั ต์

กําหนดลําดับอนนั ต์ a1 , a2 , a3 , ... , an , ... ____*

1. ถา้ lim an = L (เป็นจํานวนจรงิ ) จะได้วา่ ลาํ ดับ * เปน็ ลาํ ดับคอนเวอร์เจนต์

n→∞

(Convergent) หรอื ลําดบั ล่เู ขา้

2. ถา้ lim an = L หาคา่ ไมไ่ ด้ (มคี า่ เปน็ ∞ หรอื -∞ หรือมีคา่ มากกว่า 1 คา่ )

n→∞

จะไดว้ า่ ลาํ ดบั * เป็นลําดับไดเวอร์เจนต์ (Divergent) หรือลาํ ดบั ลอู่ อก

1.6 การหาลมิ ิตของลาํ ดบั
การหาลมิ ติ ของลําดับ สามารถหาไดโ้ ดยการเขียนกราฟแล้วดแู นวโนม้ วา่ an มคี า่ เขา้ ใกล้ค่าใด

แตถ่ า้ โจทย์กาํ หนดพจน์ที่ n ทีย่ งุ่ ยาก ซง่ึ ยากต่อการเขียนกราฟ เราสามารถหาลิมิตของลาํ ดับโดยใช้ทฤษฎี
การหาลมิ ติ ซึ่งทฤษฎมี ดี งั นี้

ทฤษฎีการหาลิมติ ของลาํ ดบั

กําหนด c เปน็ ค่าคงที่ และ lim an = L (หาคา่ ได้) lim bn = M (หาคา่ ได้)

n→∞ n→∞

1. lim c =c

n→∞

2. lim c an = c lim an = cL.

n→∞ n→∞

3. lim (an + bn) = lim an + lim bn = L+M

n→∞ n→∞ n→∞

4. lim (an - bn) = lim an - lim bn = L-M

n→∞ n→∞ n→∞

5. lim (an ⋅ bn) = lim an ⋅ lim bn = L⋅M

n→∞ n→∞ n→∞

6. lim  bann  = lim an = L ;M 0
  M
n→∞ n→∞ bn ≠
lim

n→∞

7. lim (an)k = ( lim an)k = Lk เมือ่ k เป็นจํานวนจริง และ Lk หาค่าได้

n→∞ n→∞

8. lim 1 = 0 เม่ือ k > 0
nk ∞ เม่ือ k < 0
n→∞

9. lim rn = 0 เมอ่ื |r| > 1
หาคา่ ไมไ่ ด้ เมือ่ |r| < 1
n→∞

คณิตศาสตร์ (14)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27

ลําดบั สลบั (Alternating Sequence)

กําหนดลาํ ดบั

b1 , -b2 , b3 , -b4 , b5 , ... , (-1)n+1 ⋅ bn ...
หรอื -b1 , b2 , -b3 , b4 , -b5 , ... , (-1)n ⋅ bn ...

เรยี กลาํ ดบั ทีม่ แี ต่ละพจน์มเี ครอ่ื งหมายบวกและลบสลับกนั วา่ ลาํ ดับสลับ

ให้ an = (-1)n+1 ⋅ bn หรอื (-1)n ⋅ bn

1. ถ้า lim |an| = 0 แล้วลําดบั * เปน็ ลาํ ดบั คอนเวอร์เจนต์ และมลี มิ ิตของลาํ ดับเทา่ กับ 0

n→∞

( lim an = 0)

n→∞

2. ถ้า lim |an| = L (L ≠ 0) แลว้ ลําดบั * เป็นลําดบั ไดเวอรเ์ จนต์

n→∞

และ lim an หาค่าไม่ได้ (ไมม่ ลี มิ ติ )

n→∞

2. อนุกรม

2.1 สญั ลกั ษณแ์ ทนการบวก และนิยามของอนกุ รม

1) สัญลกั ษณ์แทนการบวก

ใช้ ∑ เปน็ สญั ลักษณ์แทนการบวก อ่านวา่ ซิกมา (Sigma) หรอื Summation

100 จุดสนิ้ สดุ
เชน่ (1) a1 + a2 + a3 + a4 + ... + a100 = ai

i=1 จุดเริม่ ต้น

เริ่มตน้ ท่ี 1 สิน้ สุดท่ี 100

(2) a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an = n ai

(3) ∑
i=1

a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an + ... = ∞ ai


i=1

สมบัติของ ∑

กาํ หนด c เปน็ ค่าคงท่ี

n = nc

1. ∑ c

i=1

n n
2. cai = c∑ ai

i=1 i=1

n nn
3. (ai bi) = ai + bi
∑ + ∑ ∑
i=1 i=1 i=1

n nn
4. (ai bi ) = ai - bi
∑ - ∑ ∑
i=1 i=1 i=1

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (15)

ขอ้ ควรจํา

n = 1+2+3+…+n = n(n + 1)
2
1. ∑ i = ∑n

i=1

2. n i2 = ∑n2 = 12 + 22 + 32 + 42 +… + n2 = n(n + 1)(2n + 1)
∑ 6
i=1

3. n i3 = ∑n3 = 13 + 23 + 33 + 43 +… + n3 = n(n2+ 1) 2

i=1 

2) นยิ ามของอนกุ รม เป็นลําดับจาํ กดั
ว่าอนกุ รมจํากดั
1. กําหนด a1 , a2 , a3 , ... , an เปน็ ลําดบั อนนั ต์
เรยี ก a1 + a2 + a3 + ... + an วา่ อนกุ รมอนนั ต์

2. กาํ หนด a1 , a2 , a3 , ... , an , ...
เรียก a1 + a2 + a3 + ... + an , ...

ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รม
กาํ หนดอนกุ รม a1 + a2 + a3 + ... + an , ... ใช้สัญลักษณ์ sn แทน ผลบวก n พจนแ์ รก

ของอนุกรม

น่นั คอื s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
s4 = a1 + a2 + a3 + a4

M = a1 + a2 + a3 + ... + an = n ai

sn ∑
i=1

คณิตศาสตร์ (16)__________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

2.2 อนกุ รมเลขคณติ

อนุกรมเลขคณิต เกิดจากการนาํ ลําดับเลขคณิตมาบวกกนั นน่ั คือ

ถา้ a1 , a2 , a3 , a4 , ... , an , ... เปน็ ลําดบั เลขคณิต

เรียก a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an + ... วา่ อนกุ รมเลขคณติ

การหาผลอนุกรมเลขคณิตให้เขียนอนุกรมเลขคณิตของโจทย์ในบรรทัดแรก แล้วเขียนอนุกรม
เลขคณิตเดิมโดยการเขียนกลับจากข้างหลังไปข้างหน้าในบรรทัดสอง โดยเรียงพจน์ให้ตรงกันท้ังสองบรรทัด
แลว้ นาํ อนกุ รมทั้งสองบวกกนั จะพบว่าแตล่ ะพจนจ์ ะมีคา่ เทา่ กัน ซึ่งจะสะดวกต่อการหาผลบวก

ให้ (1) s = 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41
(2) s = 41 37 33 29 25 21 17 13 9 5

(1) + (2) ; 2s = 46 + 46 + 46 + 46 + 46 + 46 + 46 + 46 + 46 + 46

มี 10 พจน์

2s = 10 × 46
s = 10 ×9 46 = 230
ผลบวกอนกุ รมนีม้ คี า่ เทา่ กับ 230

สูตรอนกุ รมเลขคณติ

กาํ หนด a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an + ... เป็นอนกุ รมเลขคณิตจะได้วา่
1. พจนท์ ี่ n ของอนกุ รมเลขคณิต คือ an = a1 + (n - 1) d
2. ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต คือ sn โดยที่

sn = n2 [2a1 + (n - 1) d] หรือ
sn = n2 [a1 + an]

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (17)

2.3 อนุกรมเรขาคณติ เป็นลาํ ดับเรขาคณิต
วา่ อนกุ รมเรขาคณติ
ถา้ a1 , a2 , a3 , a4 , ... , an , ...
เรียก a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an + ...

1) การหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ

กําหนด a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an + ... เปน็ อนกุ รมเรขาคณิต ____*
an = a1rn-1 ____(1)
จากสตู ร ดังนน้ั จาก * จะได้วา่
(1) × r ;
sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn-1

rsn = a1r + a1r2 + a1r3 + a1r4 + ... + a1rn-1 a1rn ____(2)

(1) - (2) ; (1 - r)sn = a1 + 0 - a1rn
a1(1 - rn)
sn = (1 - r) ; r ≠ 1

ในกรณี ท่ี r = 1 จาก (1) จะไดว้ า่ sn = a1 + a1 + a1 + a1 + ... + a1

n พจน์

sn = na1

2) สตู รอนกุ รมเรขาคณติ

กําหนด a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an + ... เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ
(1) พจนท์ ่ี n ของลาํ ดับเรขาคณิต คอื an = a1rn-1
(2) ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต คอื sn = โดยท่ี

sn = a1(1 - rn) = a1(rn - 1) ;r≠1
(1 - r) (r - 1)

sn = na1 ; r = 1

คณติ ศาสตร์ (18)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

2.4 อนกุ รมฮารม์ อนิก
อนุกรมฮาร์มอนิก คอื การนาํ ลําดบั ฮารม์ อนกิ มาบวกกนั และการหาผลบวก n พจนแ์ รกของ

อนุกรมฮาร์มอนกิ ไม่มีสตู รในการหา แต่ถา้ ต้องการหาผลบวกของอนกุ รม เราสามารถกระทําไดโ้ ดย การบวก
เลขธรรมดาเทา่ นน้ั

2.5 อนกุ รมอนันต์

กาํ หนดอนกุ รมอนันต์ a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an + ... ____*

ใชส้ ัญลักษณ์ sn แทนผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รกของอนุกรมอนันต์ * เราจะเรียกลําดบั s1 , s2 ,

s3 , ... , sn , ... ว่า ลาํ ดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรมอนนั ต์ *

ขั้นตอนการหาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์

1. หา sn = n ai


i=1

2. หา lim sn แล้วดคู า่ ลิมติ

n→∞

(1) ถ้า lim sn = s (หาคา่ ได)้ จะได้วา่ อนุกรม * เปน็ อนกุ รมคอนเวอร์เจนต์และมี

n→∞

ผลบวกของอนกุ รมอนันตเ์ ท่ากับ s

(2) ถา้ lim sn หาค่าไมไ่ ด้ (∞ หรือ -∞ หรือมคี ่ามากกว่า 1 ค่า) จะไดว้ ่า

n→∞

อนุกรมอนันต์ * เป็นอนกุ รมไดเวอรเ์ จนตแ์ ละไม่สามารถหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ได้

2.6 อนกุ รมเลขคณิตอนันต์และอนุกรมเรขาคณติ อนนั ต์

1) อนกุ รมเลขคณติ อนนั ต์

กําหนดอนกุ รม n2a1[2+a1a+2 +(na3- + ... + an + ... เปน็ อนุกรมเลขคณติ อนันต์
จากสตู ร sn =
1)d]

จะได้วา่ lim sn = lim n2 [2a1 + (n - 1)d]

n→∞ n→∞

0 เม่ือ a1 = 0 และ d = 0



หาค่าไมไ่ ด้ เมอ่ื a1 ≠ 0 หรือ d ≠ 0
สรุปได้วา่ อนุกรมเลขคณติ อนนั ต์สว่ นใหญเ่ ป็นอนุกรมไดเวอรเ์ จนต์ ยกเวน้ อนกุ รมเลขคณิต

ท่ี a1 = 0 และ d = 0 [0 + 0 + 0 + ... = 0]

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (19)

2) อนุกรมเรขาคณติ อนนั ต์

กาํ หนดอนกุ รม a1 + a2 + a3 + ... + an + ... เป็นอนุกรมเรขาคณติ อนนั ต์ ____*
เนอ่ื งจาก an = a1rn-1 จาก * สามารถเขียนใหมไ่ ดเ้ ป็น
a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + … + a1r n-1 + ...
____**

จากสตู ร sn = a1(1 - rn) ; r ≠ 1
(1 - r)

sn = na1 ; r=1

เนื่องจาก lim rn = 0 เมอื่ | r | < 1
หาคา่ ไม่ได้ เมื่อ | r | > 1
n→∞

∴ lim sn = หา1คa-่าiไrมไ่ ด้ เมือ่ | r | < 1
เมือ่ | r | ≥ 1
n→∞

สรุปเป็นสูตรไดด้ งั นี้

กําหนดอนุกรมเรขาคณติ อนันต์ a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + a1r4 + ... + a1rn-1 + ...
1. ถ้า |r| ≥ 1 จะได้อนุกรมเรขาคณิตอนันตน์ ้ีเป็นอนกุ รมไดเวอร์เจนต์ [หาผลบวกอนกุ รมไมไ่ ด]้

2. ถา้ |r| < 1 จะไดอ้ นกุ รมเรขาคณิตอนันตน์ ี้เปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนต์ และมผี ลบวกของ
อนุกรมเรขาคณติ อนันต์ เขยี นแทนด้วย s โดยท่ี S∞ = 1a-1r

2.7 อนกุ รมผสมเลขคณิตและเรขาคณิตอนันต์

กาํ หนด (1) a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an + ... เปน็ อนกุ รมเลขคณติ อนนั ต์
และ (2) b1 + b2 + b3 + b4 + ... + bn + ... เป็นอนกุ รมเรขาคณติ อนันต์

จะเรยี กอนกุ รม a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4 + ... + anbn + ... วา่ ____*

อนกุ รมผสมเลขคณติ และเรขาคณิตอนันต์
อนกุ รม * เปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนต์ และหาผลบวกอนกุ รม * ได้ เมือ่ อนุกรมเรขาคณติ อนันต์
(2) มี |r| < 1 เทา่ น้นั สําหรับการหาผลบวกอนกุ รม * ใหน้ าํ r คณู ในสมการ * ไดส้ มการเป็น ** แลว้ นํา
สมการทง้ั สองมาลบกนั

คณติ ศาสตร์ (20)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

2.8 ทฤษฎีการตรวจสอบอนกุ รมอนันต์ เปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนตห์ รืออนกุ รมไดเวอรเ์ จนต์
1) อนกุ รมพี

กําหนดอนุกรม ∞ 1 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... ____*
∑ np 1p 2p 3p np
n=1

และเรยี ก * วา่ อนุกรมพี (P-series)

1. ถ้า P > 1 จะไดว้ ่าอนุกรม * เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์

2. ถา้ P ≤ 1 จะไดว้ ่าอนุกรม * เปน็ อนุกรมไดเวอร์เจนต์

2) การทดสอบอนุกรมไดเวอร์เจนต์

ทฤษฎี : ถา้ อนุกรม ∞ an เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ แล้ว lim an =0

∑ n→∞
n=1

การนําทฤษฎีน้ไี ปใช้ เราจะนําสว่ นกลับไปใช้โดยใช้หลักการท่ีว่า P → Q ≡ ∼Q → ∼P

ถา้ lim an ≠ 0 แล้ว อนกุ รม ∞ an เปน็ อนุกรมไดเวอรเ์ จนต์

n→∞ ∑
n=1

ขอ้ ควรระวงั

ถ้า lim an = 0 แลว้ อนกุ รม ∞ an ยงั สรปุ ไม่ได้วา่ เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์

n→∞ ∑
n=1

หรือเป็นอนุกรมไดเวอรเ์ จนต์ ตอ้ งใชว้ ิธีอ่ืนตรวจสอบ

3) การทดสอบโดยใชอ้ ตั ราส่วน

กาํ หนดอนุกรมอนันต์ ∞ an และ lim aann+1 =L

∑ n→∞
n=1

1. ถา้ L < 1 จะไดว้ า่ ∞ an เป็นอนกุ รมคอนเวอร์เจนต์


n=1

2. ถา้ L > 1 จะไดว้ ่า ∞ an เปน็ อนุกรมไดเวอร์เจนต์


n=1

3. ถ้า L = 1 จะไดว้ ่า ∞ an ยังไมส่ ามารถบอกได้ว่าเป็นอนุกรมคอนเวอรเ์ จนต์


n=1

หรือไดเวอร์เจนต์ ต้องใชว้ ธิ อี น่ื ตรวจสอบ

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (21)

แบบทดสอบ

1. ถ้าพจนท์ ี่ 3 พจนท์ ่ี 4 และพจน์ท่ี 5 ของลําดับเลขคณติ ลาํ ดบั หน่ึงเป็น 164, 146, 128 ตามลําดับ ถา้ พจน์

สุดทา้ ยของลาํ ดบั นีเ้ ปน็ -322 จงหาวา่ ลําดับน้มี กี ่ีพจน์

1) 20 พจน์ 2) 25 พจน์ 3) 30 พจน์ 4) 35 พจน์

2. ถ้า a - 1, a + 1, a + 5 เปน็ 3 พจนแ์ รกของลาํ ดับเรขาคณติ ลาํ ดับหนึ่ง ถ้าพจน์สดุ ท้ายของลาํ ดบั น้เี ป็น

1024 จงหาวา่ ลําดับน้มี ีกพ่ี จน์

1) 8 พจน์ 2) 9 พจน์ 3) 10 พจน์ 4) 11 พจน์

3. ถ้าผลบวกของ 3 พจนแ์ รกของลําดบั เรขาคณติ ซ่ึงเรยี งจากนอ้ ยไปหามากเปน็ 117 และมผี ลคูณเป็น

19,683 จงหาพจน์ที่ 5 ของลาํ ดับนี้

1) 243 2) 343 3) 572 4) 729

4. ลําดบั เลขคณิตลําดบั หนง่ึ ผลตา่ งของพจนท์ ี่ 19 และพจนท์ ี่ 20 เป็น 8 ถ้าพจนท์ ี่ 5 ของลําดบั นี้เป็น 48

จงหาผลบวก 3 พจนแ์ รกของลําดบั นี้

1) 106 2) 116 3) 216 4) 316

คณติ ศาสตร์ (22)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

5. กาํ หนด a, b และ c เปน็ จํานวนจริง ถา้ 25, a, b, c, 37 เรยี งกันเป็นลําดับเลขคณติ จงหา a + b + c
1) 90 2) 91 3) 92 4) 93

6. กําหนด an = n+1 จงหา lim an
n+1+ n+1
n→∞

1) -1 2) 1 3) -2 4) 2

7. จงหาลิมติ ของลําดบั 21 , 32 , 34 , 54 , ... 3) 1 4) 2
1) 0 2) 21

8. กาํ หนด n ∈ I+ และ 1 + log 2 2 + log3 2 2 + log 4 2 2 +…+ logn 2 2 = n2 - 28 แล้ว
จงหา n2 + 1
1) 26 2) 37 3) 50 4) 65

9. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนกุ รม 3log3 1 + 3log3 2 + 32 log3 2 + 33 log3 2 + …

1) 1024 2) 1023 3) 1022 4) 1021

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีที่ 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (23)

10. ลําดบั หนึง่ มี an =  n เมื่อ n เป็นจาํ นวนเตม็ ค่ี จงหา 101 an
2-n/2 เม่อื n เปน็ จํานวนเตม็ คู่

n=1

1) (50)2 + 250 - 1 2) (50)2 - 2502- 1

3) (51)2 + 2502- 1 4) (51)2 + 250 - 1
250

11. lim 1 + 2 + 3 + ... + n มคี ่าตรงกบั ขอ้ ใด
12 + 22 + 32 + ... + n2
n→∞

1) 0 2) 1 3) 2 4) 3

12. พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

ก. ถา้ a1, a2, a3, ..., an, ... เปน็ ลําดบั คอนเวอรเ์ จนต์ แลว้ อนุกรม a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
เปน็ อนุกรมคอนเวอรเ์ จนต์

ข. ถา้ อนกุ รม a1 + a2 + a3 + ... + an + ... เป็นอนุกรมคอนเวอรเ์ จนต์ แล้ว a1, a2, a3, ..., an, ...
เป็นลําดบั คอนเวอรเ์ จนต์

ข้อใดต่อไปน้จี รงิ

1) ขอ้ ก. และข้อ ข. จริง 2) ข้อ ก. และขอ้ ข. ไม่จรงิ

3) ขอ้ ก. จริงขอ้ เดยี ว 4) ขอ้ ข. จรงิ ขอ้ เดยี ว

13. ลาํ ดับในขอ้ ใดต่อไปนีเ้ ปน็ ลาํ ดบั ไดเวอรเ์ จนต์
31 , 51 , 17 , ..., 1
1) 2n + 1 , ... 2) 5, 5, 5, ..., 5, ...
4) 2, 32 , 34 , 54 , ..., n n+ 1 , ...
3) 2, -2, 2, -2, 2, ...

คณติ ศาสตร์ (24)__________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27

14. กาํ หนด f(x) = x - 2 และ g(x) = 3x + 1 ถา้ F(x) = (gof)(x) และ F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(n)
= 530 จงหา n
1) 10 2) 15 3) 20 4) 25

15. จงหาผลบวกของอนุกรม 0 + 7 + 26 + 63 + ... + 999

1) 3015 2) 3020 3) 3025 4) 3030

16. ผลบวกตัง้ แต่พจนท์ ี่ 5 ถงึ พจน์ที่ 20 ของอนุกรม 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 6 + 7 ⋅ 8 + ... + (2n - 1)(2n) + ...

1) 10,960 2) 11,060 3) 11,160 4) 11,260

17. กําหนดให้ S = {51, 52, 53, …, 150} จงหาผลบวกของสมาชกิ ของ S ท่ี 2 หารลงตัวแต่ 3 หารไมล่ งตวั

1) 3316 2) 3317 3) 3318 4) 3319

18. จงหาลิมิตของลาํ ดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรม 1 + 35 + 265 + 11205 + 61255 + ...
1) 16245 2) 16245 3) 11265 4) 11265

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (25)

19. กาํ หนดให้ A = 2 1 ถ้าลาํ ดบั หนึง่ มี an = det   21 A n  แลว้ lim an มีคา่ ตรงกับข้อใด
3 3
n→∞

1) 0 2) 1 3) 2 4) 3

20. คา่ ของ 1 + 9 ×110 + 10 1 11 + ... + 119 1 120 ตรงกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
8×9
× ×
1) 578 2) 579 3) 670 4) 671

21. จงหาผลบวกของอนุกรม 1 + 0.2 + 0.034 + 0.00034 + 0.0000034 + …
1) 1 411965 2) 1 919160 3) 1 929329 4) 429325

22. กาํ หนด an เป็นพจนท์ ่ี n ของลาํ ดบั หนง่ึ เมือ่ n = 1, 2, 3, … ถา้ a1 = 32 และ an+1 = 32 an แลว้

∞ ai มคี ่าตรงกับขอ้ ใดต่อไปนี้

∑ 2) 32
i=1
1) 32
3) 2 4) เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์

คณิตศาสตร์ (26)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27

23. กําหนด an เปน็ พจนท์ ่ี n ของลําดบั เรขาคณิตโดยมี r เป็นอัตราสว่ นรว่ ม ถา้ a1 + a2 a2 a3 +
a1 + a2
+

a3 a3 a4 + ... + an +anan+1 = 2n แลว้ r มคี า่ ตรงกับขอ้ ใดต่อไปนี้

+

1) - 21 2) 21 3) -2 4) 2

24. ถ้า a และ b เปน็ จาํ นวนจริง และ a = 3 3 3 ... และ b = 5 5 5 ... และถ้า a, b, c เรียงเปน็
ลําดับเลขคณติ แลว้ จงหา c2 + 1
1) 37 2) 50 3) 65 4) 82

25. ถา้ อนกุ รม 1 + 2x + 22x + 23x + ... = 9 จงหาคา่ x2 + 1
1 + 2x (1 + 2x )2 (1 + 2x )3

1) 7 2) 8 3) 9 4) 10

เฉลยแบบทดสอบลาํ ดบั และอนกุ รม 3. ตอบ 4) 4. ตอบ 3) 5. ตอบ 4)
1. ตอบ 3) 2. ตอบ 3) 8. ตอบ 4) 9. ตอบ 2) 10. ตอบ 4)
6. ตอบ 2) 7. ตอบ 3) 13. ตอบ 3) 14. ตอบ 3) 15. ตอบ 1)
11. ตอบ 1) 12. ตอบ 4) 18. ตอบ 2) 19. ตอบ 1) 20. ตอบ 3)
16. ตอบ 1) 17. ตอบ 1) 23. ตอบ 1) 24. ตอบ 2) 25. ตอบ 4)
21. ตอบ 1) 22. ตอบ 3)

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (27)

สถติ ิ

1. ความหมายของคาํ ศพั ทต์ า่ งๆ ในวิชาสถิติ

1.1 สถติ ิ มคี วามหมายกวา้ งๆ อยู่ 2 ประการ คือ
ประการ 1 สถิติ หมายถงึ ข้อเท็จจริงที่เปน็ ตัวเลข หรือตัวอักษรทีเ่ กบ็ รวบรวมมาได้ เชน่ สถติ ิ

ปริมาณนํา้ ฝน สถติ ิจํานวนอุบัติเหตุ สถิติผู้ป่วยโรคมะเรง็ เป็นต้น
ประการ 2 สถติ ิ หมายถึง ศาสตร์แขนงหนึ่งท่ีเป็นทั้งวิทยาศาสตร์และศิลปะ ว่าด้วยการศึกษา

ท่ีเก่ียวกับข้อมูล ซึ่งประกอบด้วย การเก็บรวบรวมข้อมูล การนําเสนอข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล และการ
ตคี วามหมายของขอ้ มลู

1.2 ประชากร หมายถึง เซตของสิง่ ตา่ งๆ ทตี่ อ้ งการศกึ ษาทั้งหมด คาํ ว่า ประชากรเปรยี บเสมือนกับ
เอกภพสมั พทั ธ์ในเร่อื งเซตน่ันเอง

1.3 ตัวอย่าง หมายถงึ สว่ นหนง่ึ ของประชากร และเปน็ สว่ นทน่ี ํามาหาขอ้ มลู
1.4 พารามิเตอร์ หมายถึง ค่าตัวเลขที่คํานวณได้จากประชากร เช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (µ)
สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน (σ) สัดส่วน (p) เป็นต้น
1.5 ค่าสถติ ิ หมายถึง ค่าตัวเลขท่ีคาํ นวณได้จากตัวอยา่ ง เชน่ ค่าเฉล่ียเลขคณติ ( x ) ส่วนเบีย่ งเบน
มาตรฐาน (S.D.) สดั สว่ น ( pˆ ) ในทางปฏิบัตกิ ารหาค่าสถิติเพื่อนําคา่ สถิตนิ ี้ไปทดสอบดว้ ยวิธกี ารทางสถติ ิแลว้
นาํ ไปสรุปผลเปน็ พารามเิ ตอร์
1.6 ข้อมูลสถิติ หมายถึง ตัวเลขหรือข้อความ แสดงให้เห็นข้อเท็จจริงเกี่ยวกับเรื่องที่จะศึกษา
“สาํ หรบั ข้อมูลเพยี งหน่วยเดยี วไม่ถือว่าเป็นสถิติ”
1.7 ค่าจากการสงั เกต คอื ค่าแตล่ ะคา่ ทไ่ี ด้จากการเกบ็ รวบรวมข้อมูล เช่น ถา้ ขอ้ มลู ทเ่ี กบ็ รวบรวม
มาได้ประกอบดว้ ย 3, 5, 6, 8, 9, 11 ตวั เลขแตล่ ะตวั เรียกว่า ค่าจากการสงั เกต กลา่ วคือ ตวั เลข 5 เรยี กว่า
ค่าจากการสงั เกตตัวหนง่ึ ของข้อมลู

2. การเก็บรวบรวมข้อมูล

2.1 แหลง่ ทม่ี าของข้อมลู
2.1.1 แหลง่ ปฐมภมู ิ เปน็ แหลง่ ทเี่ กดิ ขอ้ มลู โดยตรง กล่าวคอื ข้อมูลทผ่ี ้ใู ช้จะตอ้ งเก็บรวบรวม

ข้อมูลจากผ้ใู ห้ข้อมูล เรียกข้อมูลทเ่ี กบ็ รวบรวมได้จากแหลง่ นว้ี ่า ขอ้ มลู ปฐมภมู ิ
2.1.2 แหลง่ ทตุ ยิ ภมู ิ เปน็ แหลง่ ทีม่ ีผูร้ วบรวมไว้แลว้ ไมใ่ ชจ้ ากกาํ เนิดขอ้ มูลโดยตรง ผู้เกบ็

รวบรวมข้อมลู เพียงแตไ่ ปทาํ การคดั ลอกข้อมลู ทต่ี ้องการมาจากแหล่งนีเ้ ทา่ น้ัน ข้อมูลทเี่ กบ็ รวบรวมไดเ้ รยี กว่า
ขอ้ มลู ทตุ ยิ ภมู ิ

คณติ ศาสตร์ (28)__________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27

2.2 ชนิดของข้อมลู
2.2.1 จําแนกตามปรมิ าณ ได้แก่ ข้อมลู ทแ่ี สดงถงึ ข้อเทจ็ จรงิ ของหนว่ ยตัวอยา่ ง ตามปรมิ าณ

ท่ีวัดได้เป็นตวั เลข และมหี นว่ ยแน่นอน เชน่ สถิตจิ าํ นวนการตายจากอุบัติเหตทุ างรถยนตจ์ ําแนกตามอายุ สถติ ิ
จํานวนนักเรียนของโรงเรียนศริ ิชานนท์ แยกตามอายุ หรอื ความสูง เปน็ ต้น

2.2.2 จําแนกตามคุณภาพ ได้แก่ ข้อมูลที่แสดงถึงข้อเท็จจริงของหน่วยตัวอย่าง ตาม
ลักษณะคุณสมบัติฐานะท่ีไม่อาจวัดเป็นตัวเลขได้ หรือถ้าข้อมูลเป็นตัวเลข ตัวเลขน้ันจะไม่ให้ความหมายในเชิง
ปริมาณ เชน่ สถติ ิผปู้ ว่ ยในโรงพยาบาลแหง่ หนง่ึ จาํ แนกตามโรคต่างๆ เปน็ ตน้

2.2.3 จําแนกตามกาลเวลา ได้แก่ ข้อมูลท่ีแสดงถึงข้อเท็จจริงของหน่วยตัวอย่าง ตามเวลา
ท่ีเปลี่ยนไปซ่ึงเรียกข้อมูลประเภทน้ีว่า ข้อมูลอนุกรมเวลา เช่น สถิติมูลค่าการขายสินค้าของบริษัทแห่งหนึ่งใน
แต่ละปี เปน็ ตน้

2.2.4 จําแนกตามสภาพภมู ศิ าสตร์ หรอื ภมู ภิ าค ได้แก่ ขอ้ มูลท่ีแสดงข้อเทจ็ จริงของหน่วย
ตวั อยา่ ง โดยยดึ ถือลักษณะทางภมู ศิ าสตรเ์ ป็นเกณฑ์ เชน่ สถิติเก่ยี วกบั ปรมิ าณการผลิตขา้ วแยกตามภาคตา่ งๆ
ในประเทศไทย เป็นต้น

2.3 วิธีการเกบ็ รวบรวมขอ้ มูล
วธิ ีการเก็บรวบรวมข้อมลู คือ กระบวนการท่จี ะให้ได้ข้อมูลมาเพื่อตอบสนองวัตถปุ ระสงคข์ อง

การศกึ ษาข้อมูลเร่อื งหนงึ่ เรอื่ งใด ผศู้ กึ ษาข้อมูลต้องการซึง่ ข้อมูลนัน้ อาจจะเปน็ ตวั เลขหรอื ไม่เป็นตวั เลขก็ได้
แล้วแต่ลักษณะของขอ้ มลู น้นั

3. การนําเสนอข้อมลู

การนําเสนอข้อมูล คือ การแสดงข้อมลู ท่ีรวบรวมมาได้ให้เขา้ ใจโดยง่าย และเพอื่ นําไปวเิ คราะหท์ าง
สถิติ การนาํ เสนอข้อมลู นิยมใช้กันท่วั ไปมี 2 แบบ คือ

3.1 การนําเสนอข้อมลู อย่างไม่เปน็ แบบแผน
การนําเสนอข้อมูลอย่างไม่เป็นแบบแผน เป็นการนําเสนอข้อมูลที่ไม่จําเป็นต้องระวังให้ถูก

กฎเกณฑ์มากนกั ทใี่ ช้กันมากมี 2 วธิ ี
3.1.1 การนําเสนอขอ้ มลู ในรูปของบทความ หรอื ขอ้ ความ
3.1.2 การนาํ เสนอขอ้ มูลในรปู ของความกงึ่ ตาราง

3.2 การนาํ เสนอขอ้ มลู อยา่ งเปน็ แบบแผน
การนําเสนอข้อมูลอยา่ งเปน็ แบบแผน เป็นการนาํ เสนอขอ้ มลู ท่มี ีกฎเกณฑ์ ซงึ่ จะตอ้ งปฏบิ ตั ิ

ตามมาตรฐานทีก่ ําหนดไวเ้ ป็นแบบอยา่ งการนาํ เสนอข้อมลู โดยวิธีทสี่ าํ คัญ ไดแ้ ก่ การนําเสนอข้อมูลในรูปตาราง
การนําเสนอข้อมลู ในรูปแผนภมู ิและแผนภาพ และการนําเสนอขอ้ มูลในรปู กราฟเส้น

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (29)

3.2.1 การนําเสนอข้อมูลในรูปตาราง มีกฎเกณฑ์ท่ีต้องปฏิบัติตามโดยตารางท่ีจัดทําต้องมี
ส่วนประกอบท่ีสําคัญ ได้แก่ หมายเลขตาราง ช่ือตาราง หัวเรื่อง ตัวเรื่อง ต้นขั้ว และแหล่งข้อมูล นอกจากน้ี
อาจมีหมายเหตุโดยเขียนเป็นข้อความอยู่ใต้ชื่อเรื่องลักษณะท่ีง่ายต่อการเข้าใจมากที่สุด โดยท่ัวไปตารางสถิติ
แบ่งออกได้เป็น 4 ชนดิ

3.2.1.1 ตารางแสดงความถี่ หรือตารางแจกแจงความถี่เป็นตารางท่ีมีตัวเรื่องแสดง
ความถี่ของข้อมูล

3.2.1.2 ตารางทางเดยี ว เปน็ ตารางท่ีมีการจําแนกรายการบนหัวเรอ่ื ง หรือต้นขว้ั เพยี ง
ดา้ นเดยี ว

3.2.1.3 ตารางสองทาง เปน็ ตารางทม่ี กี ารจาํ แนกรายการบนหัวเรือ่ ง และต้นขวั้ ทงั้
สองด้าน

3.2.1.4 ตารางหลายทาง เปน็ รายการทีม่ กี ารจาํ แนกรายการบนหัวเร่ือง และต้นขัว้ ให้
ยอ่ ยไปอกี จากตารางสองทาง

3.2.2 การนําเสนอขอ้ มลู โดยใช้แผนภูมิ และแผนภาพ
3.2.2.1 แผนภูมิแท่ง (Bar Chart) เป็นแผนภมู ิทป่ี ระกอบดว้ ยแทง่ รปู สี่เหลยี่ มผนื ผ้าท่ี

มคี วามยาวแตล่ ะรปู แปรตามขนาดของขอ้ มูล เมอ่ื ความกวา้ งของทกุ รูปเท่ากนั หมด นยิ ามเรยี กรปู สี่เหลยี่ มผนื ผา้
ชนิดน้วี า่ แท่ง (Bar) การนําเสนอข้อมลู ชนิดน้ี อาจเรียงตามแนวนอน หรือแนวตั้งกไ็ ด้ แผนภูมิแท่งออกเป็น
6 ชนิดท่ีสําคัญ คือ

3.2.2.1.1 แผนภูมิแท่งเชิงเด่ียว คือ แผนภูมิแท่งท่ีแสดงการเปรียบเทียบ
ลักษณะของข้อมูลทีน่ ่าสนใจ ศึกษาเพยี งชุดเดยี ว

3.2.2.1.2 แผนภูมิแท่งเชิงซ้อน คือ แผนภูมิแท่งท่ีแสดงการเปรียบเทียบ
ลักษณะของขอ้ มลู ทสี่ นใจ ศกึ ษาตั้งแต่งลกั ษณะหรอื 2 ชว่ งเวลาขน้ึ ไป

3.2.2.1.3 แผนภูมิแท่งเชิงประกอบ คือ แผนภูมิแท่งที่ใช้แสดงรายละเอียด
สว่ นยอ่ ยของข้อมลู ทน่ี ําเสนอ

3.2.2.1.4 แผนภมู ิแท่งบวก-ลบ คือ แผนภมู ิแทง่ ทใี่ ชแ้ สดงการเปรยี บเทยี บ
ขอ้ มลู ทม่ี คี า่ เปน็ ไปได้ ทั้งค่าบวกและคา่ ลบ

3.2.2.1.5 แผนภมู แิ ท่งซ้อนกัน คือ แผนภูมแิ ทง่ เชิงซ้อน เพยี งแตใ่ หแ้ ท่งซอ้ น
เหล่ือมกัน ท้ังนเ้ี พ่อื ประหยัดเนื้อท่ีในการนําเสนอดว้ ย

3.2.2.1.6 แผนภูมิแท่งพีรามิด คือ แผนภูมิแท่งที่เรียงซ้อนกันเป็นรูป
สามเหลี่ยม

3.2.2.2 แผนภูมิรูปวงกลม (Pie Chart) แผนภูมิที่แสดงด้วยรูปวงกลม โดยแสดง
ข้อมูลที่เราสนใจศึกษา นิยมแสดงในรูปร้อยละหรือเปอร์เซ็นต์ กล่าวคือ ให้พ้ืนท่ีของรูปวงกลมแทนจํานวน
ข้อมูลทั้งหมด หลังจากนั้นแบ่งพื้นท่ีออกตามสัดส่วนของลักษณะของข้อมูลแต่ละประเภท โดยแบ่งมุมท่ี
จดุ ศนู ยก์ ลางของรปู วงกลม ซึง่ ผลรวมของมุมเหลา่ นต้ี อ้ งเท่ากับ 360 องศา บางคร้ังเรียกแผนภูมิรูปวงกลมว่า
แผนภูมกิ ง ก็ได้

คณิตศาสตร์ (30)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

3.2.2.3 แผนภูมิรูปภาพ (Pictogram) คือ แผนภูมิที่แสดงข้อมูลโดยใช้รูปภาพ
รปู ภาพที่นาํ เสนออาจเปน็ รปู ท่ีสมบูรณ์หรือไม่ก็ได้ โดยรูปท่ีไม่สมบูรณ์จะแสดงปริมาณเป็นสัดส่วนของปริมาณ
เมื่อเปรียบเทียบรูปที่สมบูรณ์ เช่น รูปภาพรถยนต์ 1 คัน แทนรถยนต์ที่นําเสนอ 1 พันคัน และรูปรถยนต์
คร่ึงคัน แทนรถยนต์ 500 คนั เป็นต้น

3.2.3 การนาํ เสนอขอ้ มลู โดยใช้กราฟเสน้ นิยมใช้กบั ข้อมลู อนุกรมเวลา ซ่ึงเป็นขอ้ มูลทีม่ ีการ
เปล่ียนแปลงตามเวลาที่ข้อมลู นนั้ เกิดขนึ้ และสามารถนํามาใชป้ ระโยชนใ์ นการพยากรณข์ ้อมูลในอนาคตได้อกี
ดว้ ย การนาํ เสนอข้อมลู โดยใช้กราฟเส้นมี 5 ชนดิ คอื

3.2.3.1 กราฟเสน้ เชงิ เดย่ี ว คือ กราฟทแี่ สดงการเปรียบเทียบข้อมูลเพียงลักษณะเดยี ว
3.2.3.2 กราฟเส้นเชิงซอ้ น คอื กราฟท่ีแสดงการเปรียบเทยี บขอ้ มลู ต้งั แต่ 2 ลกั ษณะ
ขน้ึ ไป
3.2.3.3 กราฟเสน้ เชงิ ประกอบ คือ กราฟท่แี สดงรายละเอียดสว่ นยอ่ ยของข้อมูลใน
ช่วงเวลาต่างๆ กนั ท่ีตอ้ งการเปรยี บเทียบ
3.2.3.4 กราฟดลุ คอื กราฟท่ีแสดงให้เหน็ ถึงความแตกตา่ งระหว่างลกั ษณะของข้อมลู
สองลกั ษณะหรอื มากกวา่ ทมี่ คี วามสัมพันธ์กัน
3.2.3.5 กราฟก่ึงลอการิทมึ เป็นกราฟทม่ี มี าตราส่วนบนแกน x และแกน y ไมเ่ ทา่ กนั
กล่าวคือ มาตราสว่ นบนแกน x เป็นมาตราสว่ นเลขคณติ มาตราสว่ นบนแกน y เป็นมาตราส่วนลอการทิ ึม กราฟ
ลกั ษณะน้ีไม่ค่อยนิยมกัน

4. การแจกแจงความถ่ีของข้อมลู

4.1 ความหมายการแจกแจงความถ่ีของข้อมูล
การแจกแจงความถ่ีของขอ้ มลู คอื การจดั ขอ้ มูลท่ีมีจาํ นวนมาก และยังไมเ่ ป็นระเบียบแบบแผน

เพ่อื ความสะดวกในการวเิ คราะห์ขอ้ มลู การแจกแจงความถี่ของข้อมูล สามารถแบ่งได้ 2 ลกั ษณะ คอื
4.1.1 การแจกแจงความถีข่ องขอ้ มูลทีไ่ ม่ได้จดั เป็นหมวดหมู่
4.1.2 การแจงแจงความถ่ขี องขอ้ มูลท่ีจดั เป็นหมวดหมู่ (เป็นอันตรภาคชัน้ )
ในหัวข้อการแจกแจงความถ่ขี องขอ้ มูล ตอ้ งรู้จักคาํ ศพั ทต์ า่ งๆ ดังตอ่ ไปนี้
1) ความถ่ี คือ จาํ นวนของขอ้ มูลนั้น หรือคา่ ท่บี ่งบอกประมาณนัน้ ใช้สญั ลกั ษณ์ f แทน

ความถ่ี
2) ความถส่ี ะสมของข้อมลู ใด คือ ผลรวมของความถข่ี องขอ้ มูลนนั้ กับความถีข่ องข้อมลู ท่ี

น้อยกว่าท้ังหมด (หรือความถ่ขี องข้อมลู ท่มี ากกว่าทัง้ หมด)
3) ความถี่สัมพัทธ์ คอื ความถ่ีของข้อมลู นน้ั หารด้วยผลรวมของความถ่ที ง้ั หมด
4) อันตรภาคชั้น คือ การแบ่งค่าสังเกตออกเปน็ ช่วงๆ
5) ขดี จํากดั ล่าง คอื ค่าตํ่าสดุ ของอนั ตรภาคชั้นนั้น
6) ขดี จาํ กดั บน คอื ค่าสูงสดุ ของอันตรภาคชั้นนนั้
7) ขอบเขตล่างของอันตรภาค คือ ค่าก่งึ กลางระหวา่ งขีดจํากดั ล่างของอันตรภาคช้ันนน้ั กับ

ขีดจาํ กดั บนของอนั ตรภาคช้นั ท่มี ีคะแนนตํา่ กว่าทอี่ ยถู่ ัดไป

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (31)

8) ขอบเขตบนของอนั ตรภาค คือ คา่ กง่ึ กลางระหว่างขดี จาํ กัดบนของอนั ตรภาคชัน้ นัน้ กบั

ขดี จาํ กดั ล่างของอนั ตรภาคช้ันทม่ี ีคะแนนสงู กวา่ ที่อย่ถู ดั ไป

9) ความกวา้ งของอนั ตรภาคชัน้ คอื ผลตา่ งระหว่างขอบเขตบน และขอบเขตลา่ งของช้ัน

นั้น หรือผลตา่ งระหว่างขีดจาํ กดั ล่างของชน้ั ทอี่ ยตู่ ดิ กัน หรอื ผลตา่ งระหว่างขีดจํากัดบนของช้นั ทอ่ี ยตู่ ดิ กัน

10) คา่ ก่งึ กลางของอันตรภาคชัน้ หรอื จุดกง่ึ กลางช้นั

จดุ กึ่งกลางช้ันของอันตรภาคชั้น (จดุ กึ่งกลางช้ัน)

คอื ผลบวกของขดี จาํ กดั ล่างและขีดจํากดั บนของอนั ตรภาคช้นั น้ัน
2

หรอื ผลบวกของขีดจํากดั ล่างและขอบเขตบนของอันตรภาคชนั้ นั้น
2

ขอ้ สงั เกต
การหาขอบเขตช้นั จากตารางแจกแจงความถ่ี ให้รวดเรว็ มีข้อสังเกตดงั น้ี
1. ถา้ ข้อมูลเป็นจาํ นวนเตม็

ขอบเขตลา่ ง = ขีดจํากดั ลา่ ง - 0.5 ; ขอบเขตบน = ขีดจํากดั บน + 0.5
2. ถ้าข้อมลู เป็นทศนยิ ม 1 ตาํ แหนง่

ขอบเขตลา่ ง = ขดี จาํ กดั ล่าง - 0.05 ; ขอบเขตบน = ขดี จํากดั บน + 0.05
3. ถา้ ขอ้ มลู เป็นทศนยิ ม 2 ตาํ แหนง่

ขอบเขตล่าง = ขีดจํากดั ลา่ ง - 0.005 ; ขอบเขตบน = ขดี จาํ กดั บน + 0.005
การหาจุดกึง่ กลางจากตารางแจกแจงความถีใ่ ห้รวดเร็ว มีดังน้ี
1. หาจดุ ก่ึงกลางของชัน้ แรก
2. นาํ ความกว้างของอนั ตรภาคช้นั + จุดก่ึงกลางช้ันแรก จะได้จุดกึ่งกลางชน้ั ถัดไป

4.2 การแจกแจงความถ่ขี ้อมูลโดยใชก้ ราฟ
4.2.1 กราฟฮสิ โตแกรม จะเป็นกราฟแท่ง โดยแต่ละแท่งนําขอบเขตชั้นมาเป็นความกว้างของ

แท่งกราฟและความถขี่ องช้ันนัน้ เป็นความสูงของแท่งกราฟ
4.2.2 กราฟรูปหลายเหลี่ยมของความถี่ จะเขยี นจากกราฟฮิสโตแกรม โดยหาจดุ ก่ึงกลาง

ของยอดแตล่ ะแทง่ แลว้ ลากเส้นเชื่อมระหว่างจดุ ยอดของแตล่ ะแท่งนั้น กราฟทไ่ี ดจ้ ะเปน็ กราฟรปู หลายเหลย่ี ม
ของความถี่

4.2.3 กราฟเส้นโคง้ ของความถ่ี จากกราฟรปู หลายเหล่ยี มของความถ่ี จะต้องปรบั รูปเหลี่ยม
เป็นเสน้ โคง้ โดยให้พน้ื ทีเ่ ส้นโคง้ ทีป่ รับใหใ้ กล้เคียงกบั พื้นท่ีใต้รปู หลายเหล่ียมของความถ่ีใหม้ ากท่สี ุด

คณิตศาสตร์ (32)__________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27

ลกั ษณะกราฟทัง้ 3 แบบ แสดงดงั รูป (ขอ้ มลู จากตัวอย่าง 1 ข้อ 4.2.2)

f (ความถ่)ี

8 รปู หลายเหลี่ยมความถี่
6 เสน้ โคง้ แห่งความถ่ี

4 ฮสิ โตแกรม
2

4.5 10.5 16.5 22.5 28.5 34.5 40.5 x (คะแนน)

1.5 7.5 13.5 19.5 25.5 31.5 37.5 43.5

4.2.4 กราฟเสน้ โค้งของความถี่สะสม นิยมใหร้ ะยะบนแกน x แทนคา่ ของตัวแปร และระยะ
บนแกน y แทนความถ่ีสะสมแล้วลงจดุ แทนด้วยคู่อนั ดับ (ขอบบน, ความถส่ี ะสม) ของอันตรภาคชัน้ เดียวกนั โยง
จดุ คู่อนั ดับแล้วปรับใหเ้ ป็นเส้นโค้งเรียบ

จากขอ้ มลู ตวั อยา่ ง 1 (2) สามารถเขียนกราฟเสน้ โคง้ ความถี่สะสมได้ดงั รปู

f (ความถ)ี่

24 (40.5, 22)
20 (34.5, 20)

16 (28.5, 16)

12 (25.5, 10)
8 (16.5, 5)
4 (10.5, 2)

4.5 10.5 16.5 22.5 28.5 34.5 40.5 x (คะแนน)

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (33)

หมายเหตุ

สมมตุ ิว่าคา่ สงั เกตของข้อมลู ชุดหน่ึงมจี ํานวนมากๆ เรียกขอ้ มูลนั้นวา่ ข้อมูลดบิ ถา้ เราต้องการ

สร้างตารางแจกแจงความถ่ขี องขอ้ มูลเปน็ อันตรภาคช้นั โดยกาํ หนดจํานวนอันตรภาคชน้ั โดยมี

หลกั เกณฑ์ว่าค่าตํ่าสดุ ของข้อมลู จะต้องอยูใ่ นอนั ตรภาคชนั้ ชนั้ แรก และค่าสูงสดุ ของข้อมลู ตอ้ งอยใู่ น

อันตรภาคชั้นสดุ ท้าย เรามีสูตรการหาความกว้างของอนั ตรภาคชน้ั ดงั น้ี

1. พสิ ัย = คา่ สงู สุดของขอ้ มลู - ค่าตาํ่ สดุ ของขอ้ มลู = xmax - xmin
พสิ ัย
2. ความกว้างของอันตรภาคชนั้ =
จํานวนอันตรภาคชัน้

= ผลลัพธท์ ไี่ ดป้ ัดขึน้ เป็นจาํ นวนเต็ม

ข้อตกลงสัญลักษณแ์ ทนการบวก

เราจะใช้ ∑ เป็นสัญลกั ษณ์แทนการบวก อา่ นว่า ซิกมา (Sigma) หรือ Summation

กําหนด x1, x2, x3, ... , xn แทนคา่ จากการสงั เกตแตล่ ะตัวของข้อมูลชดุ หนึ่ง ถ้านําคา่ จากการสงั เกต

ทุกตัวมาบวกกนั เขยี นแทนด้วย nn = x1 + x2 + x3 + ... + xn
xi นั่นคือ xi
∑ ∑
i=1 i=1

เพือ่ ความสะดวกจงึ นิยมใช้ ∑x แทน n xi


i=1

∴ ∑x = ผลบวกของคา่ จากการสังเกตทุกตวั ในข้อมูลชุดนั้น หรอื เขียนสัน้ ๆ ว่า “ผลรวมของข้อมลู

ทั้งหมด”

สมบตั ขิ อง ∑

กาํ หนด c เปน็ ค่าคงท่ี และ xi และ yi เป็นข้อมลู
nn
1. cxi = c∑ xi

i=1 i=1

n nn
2. (xi yi) = xi + yi
∑ + ∑ ∑
i=1 i=1 i=1

n nn
3. (xi yi) = xi yi
∑ - ∑ - ∑
i=1 i=1 i=1

4. n ci = nc


i=1

คณิตศาสตร์ (34)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

5. การวัดคา่ กลางของข้อมลู

5.1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean : x , A.M., Mean)

5.1.1 คา่ เฉล่ียเลขคณติ ของขอ้ มูลที่ไม่มีการแจกแจงความถี่

กาํ หนดขอ้ มลู (xi) : x1, x2, x3, ... , xn มีจาํ นวนขอ้ มูล n จาํ นวน

คา่ เฉลยี่ เลขคณิต = ผลบวกของข้อมลู ทงั้ หมด
จาํ นวนท้งั หมด
∴ x = x1 + x2 + xn3 + ... + xn

n

x = i∑=1nxi หรือ x = Σnx

5.1.2 ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของขอ้ มูลท่ีมีการแจกแจงความถ่ี
พิจารณาตารางแจกแจงความถี่ ต่อไปน้ี

อนั ตรภาคชน้ั ความถี่ (fi) จุดกงึ่ กลางช้นั (xi) fixi

f1 x1 f1x1
f2 x2 f2x2
f3 x3 f3x3
M M
xk M
fk fkxk

N = k fi k fixi

∑ ∑
i=1 i=1

จากตารางแจกแจงความถ่ี สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณติ ( x ) ได้จากสตู ร

k fixi k

x= ∑ = i∑=1Nfixi หรอื เขยี นสั้นๆ ได้เปน็ x = ΣNfx
i=1
k
fi

i=1

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (35)

5.1.3 คา่ เฉลย่ี เลขคณติ แบบถว่ งน้ําหนัก

ขอ้ มลู นํ้าหนกั การหาค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของข้อมลู แบบถว่ งน้ําหนกั มีสูตรดงั น้ี

x1 w1 x= w1x1 + w2x2 + w3x3 + ... + wnxn
x2 w2 w1 + w2 + w3 + ... + wn
x3 w3
MM x = ΣΣwwx
xn wn

∑w

ข้อมลู ท่นี ํามาใช้คํานวณค่าเฉลย่ี เลขคณิตแบบถ่วงนํา้ หนัก เชน่ การหาเกรดเฉลีย่ ของ
นักเรยี น การหาราคาเฉล่ียของสนิ คา้ เปน็ ต้น

5.1.4 ค่าเฉลีย่ เลขคณติ รวม

ถ้ามีขอ้ มูลท้ังหมด k กล่มุ โดยท่ี
กลมุ่ ที่ 1 มขี อ้ มูลจาํ นวน n1 จาํ นวน และมคี า่ เฉล่ยี เลขคณติ เท่ากับ x1
กลมุ่ ท่ี 2 มีขอ้ มูลจาํ นวน n2 จาํ นวน และมคี า่ เฉลีย่ เลขคณิตเท่ากับ x2
กลุ่มท่ี 3 มขี ้อมูลจํานวน n3 จํานวน และมีคา่ เฉลีย่ เลขคณติ เท่ากบั x3

MM M
กลมุ่ ที่ k มีข้อมลู จํานวน nk จํานวน และมคี า่ เฉลีย่ เลขคณิตเทา่ กับ xk

ถา้ นําข้อมลู ดงั กลา่ วทัง้ k กลุ่มมารวมกัน แล้วหาคา่ เฉล่ยี เลขคณติ ซึ่งหาได้จากสตู ร

xรวม = n1x1 + n2x2 + n3x3 + ... + nkxk
n1 + n2 + n3 + ... + nk

5.2 มัธยฐาน (Median : Med)
มธั ยฐาน คอื คา่ ของข้อมูลทีอ่ ยตู่ รงกลาง ซึ่งเรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามาก หรอื จากมากไปหาน้อย
5.2.1 มธั ยฐานของขอ้ มูลที่ไมม่ กี ารแจกแจงความถ่ี
สมมุตขิ ้อมลู ชุดหนึ่งเรียงข้อมลู จากน้อยไปหามาก มีจาํ นวนขอ้ มูล n จํานวน

ตาํ แหนง่ ของมธั ยฐาน = n 2+ 1

คณิตศาสตร์ (36)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27

5.2.2 มัธยฐานของขอ้ มลู ที่มีการแจกแจงความถี่ มลี าํ ดบั ขน้ั ตอนการหามัธยฐานดงั นี้
5.2.2.1 เรยี งข้อมูลจากน้อยไปหามาก และสร้างตารางเพ่มิ อีก 1 ช่อง เปน็ ชอ่ งความถี่

สะสม
5.2.2.2 หาตาํ แหน่งของมธั ยฐาน = N2

อันตรภาคช้ัน ความถี่ (fi) ความถี่สะสม (cf) N
L = ขอบเขตล่าง 2
Σ fL มคี ่าน้อยกวา่

*

มีค่ามากกวา่ หรอื
∆ N
เท่ากับ 2

สมมตุ ชิ ัน้ นเี้ ป็น

I = ความกวา้ ง fme ชนั้ ท่มี ี Med อยู่

N=Σf

5.2.2.3 สูตรทีใ่ ช้ในการหามธั ยฐาน

Med = L + I  N2 -Σ fL 
 fme 

โดยท่ี Σ fL = ผลรวมของความถ่ีของชน้ั ทต่ี าํ่ กว่าช้นั ที่มีมธั ยฐานอยู่
fme = ความถ่ีของช้ันทมี่ มี ธั ยฐานอยู่
L = ขอบเขตล่างของอนั ตรภาคช้ันทม่ี มี ัธยฐานอยู่

I = ความกว้างของอันตรภาคชนั้

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (37)

5.3 ฐานนิยม (Mode : Mod)
ฐานนิยม คือ คา่ ของข้อมูลที่มีความถส่ี ูงสดุ กล่าวคือ ข้อมูลใดทีม่ คี วามถ่สี งู สุด ขอ้ มลู นน้ั เป็น

ฐานนยิ ม และฐานนิยมมีมากทสี่ ุดเพยี ง 2 ค่าเท่าน้ัน
5.3.1 ฐานนยิ มของขอ้ มลู ที่ไมม่ กี ารแจกแจงความถี่
5.3.2 ฐานนยิ มของข้อมูลที่มกี ารแจกแจงความถ่ี ลาํ ดบั ขน้ั ตอนการหาฐานนิยมมดี ังนี้
5.3.2.1 เลือกอันตรภาคชน้ั ท่มี คี วามถ่มี ากท่ีสุด ซึ่งชัน้ นั้นจะเปน็ ชั้นท่ีมีฐานนยิ มอยู่

อนั ตรภาคช้นั ความถี่

L = ขอบเขตลา่ ง d1 d1 = * -
I = ความกวา้ ง d2 = * - ∆
*
สมมตุ ิชน้ั นมี้ ีความถี่
∆ d2 มากที่สุด จะไดช้ น้ั นเี้ ปน็
ชั้นที่มฐี านนิยมอยู่

N=Σf

5.3.2.2 สตู รทใี่ ช้ในการหาฐานนิยม

Mod = L + I  d1 d+1d2 

โดยที่ L = ขอบเขตล่างของอันตรภาคชน้ั ที่มีฐานนยิ มอยู่
I = ความกวา้ งของอันตรภาคชั้น
d1 = ผลตา่ งของความถข่ี องอนั ตรภาคชั้นทีม่ ีฐานนยิ มอยู่กับ
ความถีข่ องอันตรภาคชัน้ ที่ตา่ํ กวา่ ท่ีอยู่ติดกัน
d2 = ผลตา่ งของความถข่ี องอันตรภาคชั้นท่ีมีฐานนิยมอยู่กับ
ความถีข่ องอนั ตรภาคช้ันที่สงู กว่าทีอ่ ยู่ติดกัน

คณิตศาสตร์ (38)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

5.4 ค่าเฉลย่ี เรขาคณิต (Geometric Mean : G.M.)
5.4.1 ค่าเฉลีย่ เรขาคณติ ของขอ้ มูลท่ไี มม่ กี ารแจกแจงความถี่
กําหนดขอ้ มลู (xi) : x1, x2, x3, ... , xn มีจาํ นวนขอ้ มลู n จํานวน
สตู ร

G.M. = n x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ ... ⋅ xn

5.4.2 คา่ เฉล่ยี เรขาคณติ ของขอ้ มลู ที่มกี ารแจกแจงความถ่ี

อนั ตรภาคชน้ั ความถี่ (fi) จุดกึง่ กลางช้นั (xi)

f1 x1
f2 x2
f3 x3
M M
fk xk
N=∑f

สตู ร

G.M. = n x1f1 ⋅ x2f2 ⋅ x3f3 ⋅ ... ⋅ xkfk

เป็นตน้ 5.5 คา่ เฉลี่ยฮาร์มอนกิ (Harmonic Mean : H.M.)
การหาคา่ เฉล่ียฮารม์ อนิกส่วนใหญ่ ใช้กบั ขอ้ มูลท่เี ปน็ อตั ราสว่ น เช่น ความเร็ว ความเรง่

5.5.1 ค่าเฉล่ยี ฮาร์มอนกิ ของข้อมูลท่ไี ม่มกี ารแจกแจงความถ่ี
กาํ หนดขอ้ มูล (xi) : x1, x2, x3, ..., xk มจี ํานวนข้อมูล n จํานวน
สูตร

H.M. = 1 1 n
x1 x2 1 1
+ + x3 + ... + xn

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (39)

5.5.2 ค่าเฉลย่ี ฮาร์มอนิกของข้อมูลท่มี กี ารแจกแจงความถี่
สตู ร

H.M. = f1 + f2 + f3 + ... + fk หรือ H.M. = N
xf11 + xf22 + xf33 + ... + xfkk xf11 + xf22 + xf33 + ... + xfkk

5.5.3 อตั ราเร็วเฉล่ยี

ระยะทาง d1 d2 d3 ... dk

อตั ราเรว็ v1 v2 v3 ... vk

เวลา t1 t2 t3 ... tk

สูตร อตั ราเร็ว = ระเยวะลทาาง → เวลา = ระยะทาง
อัตราเรว็

ถ้ามรี ะยะทาง k ช่วง แตล่ ะชว่ งใช้อัตราเร็ว และเวลาดงั แผนภาพ

∴ อัตราเร็วเฉลีย่ = ระยะทางท้ังหมด
= เวลาท้งั หมด

d1 + d2 + d3 + ... + dk
t1 + t2 + t3 + ... + tk

Vเฉลีย่ = d1 + d2 + d3 + ... + dk
d1 d2 d3 dn
v1 + v2 + v3 + ... + vn

จะสังเกตวา่ สูตรอตั ราเร็วเฉลี่ย กค็ ือสูตรค่าเฉลีย่ ฮารม์ อนกิ น่นั เอง

คณติ ศาสตร์ (40)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีที่ 27

5.6 ค่ากงึ่ กลางพิสัย (Mid-Range)
5.6.1 คา่ ก่ึงกลางพสิ ัย ของขอ้ มลู ทไ่ี มม่ ีการแจกแจงความถี่
สตู ร

กง่ึ กลางพิสัย = คา่ สูงสดุ ของขอ้ มลู + ค่าตาํ่ สุดของข้อมลู
2
xmax xmin
= +

2

5.6.2 ค่าก่งึ กลางพิสัยของข้อมูลทม่ี กี ารแจกแจงความถี่
สตู ร

คา่ กึ่งกลางพสิ ัย = ขอบเขตบนของอัตราภาคช้นั สูงสดุ + ขอบเขตลา่ งของอนั ตรภาคชั้นตาํ่ สุด
2

สมบัตขิ องคา่ เฉล่ียเลขคณิต, มธั ยฐาน, ฐานนิยม, ค่าเฉลี่ยเรขาคณติ และคา่ เฉลี่ยฮารม์ อนกิ
1. ∑ x = n x
2. ∑ (x - x ) = 0
3. ∑ (x - a)2 มคี า่ น้อยท่ีสุด เมอ่ื a = x
4. ∑ |x - a| มคี า่ น้อยทส่ี ดุ เมื่อ a = Med

5. ถา้ ข้อมลู มคี วามแตกต่างกนั มากๆ การวัดคา่ กลางของข้อมูลควรใช้ มธั ยฐาน
6. ถา้ ข้อมูลเป็นขอ้ มูลจาํ แนกตามคณุ ภาพ การวัดคา่ กลางของข้อมูลควรใช้ ฐานนิยม
7. ถา้ ขอ้ มลู มี 2 ขอ้ มลู ข้อมลู หนึง่ เป็น x อีกข้อมูลหน่งึ เป็น y มคี วามสมั พนั ธแ์ บบ

เชิงเส้น

ข้อมูล (xi) : x1 , x2 , x3 , ... , xn มีคา่ เฉลย่ี เลขคณติ = x

ข้อมูล (yi) : ax1 + b , ax2 + b , ax3 + b , ... , axn + b มีคา่ เฉลี่ยเลขคณติ = y

ความสมั พนั ธ์ระหว่างข้อมูล xi กับข้อมลู yi แบบเชิงเส้น yi = axi + b จะได้ y = a x + b
8. x > G.M. > H.M.

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (41)

9. (9.1) ถ้าขอ้ มลู ชุดหนง่ึ มี Mod = Med = x จะไดว้ ่า
ข้อมูลดังกลา่ วจะมลี ักษณะ การแจกแจงปกติ

x = Med = Mod
ถา้ กําหนดข้อมลู เป็นการแจกแจงปกติ หรือข้อมูลใกลเ้ คยี งกบั การแจกแจงแบบปกติ
จะได้ความสัมพันธร์ ะหว่าง Mod, Med และ x เปน็ ( x - Mod) = 3( x - Med)
(9.2) ถ้าข้อมลู ชุดหนง่ึ มี Mod < Med < x จะไดข้ อ้ มลู ดังกลา่ วมลี กั ษณะเบข้ วา

Mod Med x
(9.3) ถา้ ข้อมลู ชุดหนงึ่ มี x < Med < Mod จะไดข้ ้อมลู ดังกล่าวมลี ักษณะเบซ้ า้ ย

x Med Mod

คณิตศาสตร์ (42)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีที่ 27

6. การวัดตาํ แหนง่ ของขอ้ มูล
6.1 รปู แบบการวัดตาํ แหนง่ ขอ้ มูล
6.1.1 ควอรไ์ ทล์ (Quartile) เป็นการแบ่งข้อมลู ออกเป็น 4 สว่ นเทา่ ๆ กนั เมื่อเรยี งขอ้ มลู จาก

น้อยไปหามาก ใชส้ ญั ลกั ษณ์ Qr แทน ควอร์ไทลท์ ี่ r

Xmin Q1 Q2 Q3 Xmax

Q1 คอื คา่ ของข้อมลู ท่ีมจี ํานวนข้อมลู มคี า่ นอ้ ยกวา่ ค่านอี้ ยู่ 1 ใน 4 ของจํานวนท้ังหมด
Q2 คอื คา่ ของขอ้ มูลที่มีจํานวนข้อมูลมีค่านอ้ ยกว่าคา่ น้ีอยู่ 2 ใน 4 ของจาํ นวนทั้งหมด
Q3 คอื ค่าของขอ้ มูลทมี่ ีจาํ นวนขอ้ มูลมคี ่าน้อยกวา่ ค่านอ้ี ยู่ 3 ใน 4 ของจํานวนทัง้ หมด
6.1.2 เดไซล์ (Decile) เปน็ การแบง่ ข้อมลู ออกเปน็ 10 สว่ นเท่าๆ กัน เมอื่ เรยี งขอ้ มลู จากนอ้ ย
ไปหามาก ใช้สัญลกั ษณ์ Dr แทน เดไซลท์ ่ี r

Xmin D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Xmax

D1 คือ ค่าของข้อมลู ท่ีมจี ํานวนขอ้ มูลมีคา่ น้อยกวา่ คา่ น้อี ยู่ 1 ใน 10 ของจํานวนทง้ั หมด
D2 คือ ค่าของขอ้ มูลทม่ี จี าํ นวนข้อมลู มคี ่านอ้ ยกวา่ คา่ นอี้ ยู่ 2 ใน 10 ของจาํ นวนทัง้ หมด
M MM
D9 คือ คา่ ของขอ้ มลู ทมี่ ีจาํ นวนขอ้ มูลมีค่านอ้ ยกว่าค่านอ้ี ยู่ 9 ใน 10 ของจาํ นวนท้งั หมด
6.1.3 เปอรเ์ ซ็นไทล์ (Percentile) เปน็ การแบ่งขอ้ มูลออกเปน็ 100 ส่วนเท่าๆ กัน เม่อื เรียง
ขอ้ มลู จากน้อยไปหามาก ใช้สญั ลักษณ์ Pr แทน เปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ่ี r

Xmin P1 P2 P3 L P98 P99 Xmax

P1 คือ ค่าของขอ้ มูลท่มี จี ํานวนข้อมูลมคี า่ นอ้ ยกวา่ คา่ น้ีอยู่ 1 ใน 100 ของจาํ นวนท้ังหมด
P2 คอื คา่ ของขอ้ มูลที่มจี าํ นวนข้อมูลมีคา่ นอ้ ยกวา่ ค่าน้ีอยู่ 2 ใน 100 ของจาํ นวนท้งั หมด
MM
P99 คอื ค่าของขอ้ มูลทม่ี ีจํานวนขอ้ มูลมคี ่านอ้ ยกวา่ ค่านอี้ ยู่ 99 ใน 100 ของจํานวนทัง้ หมด

หมายเหตุ
ควอรไ์ ทล์ เดไซล์ และเปอรเ์ ซ็นไทล์ จะมีหลกั การคํานวณเหมอื นกบั มัธยฐาน ซึ่งมธั ยฐานจะเป็น

การแบง่ ข้อมูลออกเป็น 2 สว่ น เท่าๆ กนั เมื่อเรยี งขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก ข้อมลู ทีอ่ ยตู่ รงกลางจะเป็น
มัธยฐาน ดังนน้ั สูตรการหาควอรไ์ ทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ จึงมีหลกั การคํานวณโดยการเลียนแบบ
จากการหามธั ยฐาน

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (43)

6.2 การหาควอรไ์ ทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์

6.2.1 การหาควอรไ์ ทล์ เดไซล์ และเปอรเ์ ซน็ ไทล์ ของข้อมลู ทไ่ี ม่มีการแจกแจงความถี่ กําหนด

ข้อมลู จํานวน n ตัว เมอ่ื เรียงค่าสงั เกตจากนอ้ ยไปหามาก มี x1, x=2,nx2+3,1... , xn
6.2.1.1 ตาํ แหน่งของมธั ยฐาน (Med)

6.2.1.2 ตาํ แหนง่ ของ Qr = r(n4+ 1)
6.2.1.3 ตาํ แหน่งของ Dr = r(n10+ 1)
6.2.1.4 ตาํ แหน่งของ Pr = r(n10+01)

6.2.2 การหาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ ของข้อมลู ทกี่ ารแจกแจงความถ่ี

การหา Qr, Dr และ Pr ใช้หลักการเดียวกบั การหามัธยฐาน และมีวิธีการหาดงั น้ี
6.2.2.1 จากตารางแจกแจงความถ่ี เรียงขอ้ มูลจากน้อยไปหามาก และสร้างตาราง

เพิ่มอีก 1 ช่องเปน็ ช่องความถ่สี ะสม

6.2.2.2 หาตาํ แหนง่ ของข้อมูล
ตาํ แหนง่ Qr = r4N
ตําแหน่ง Dr = 1rN0
ตาํ แหน่ง Pr = 1r0N0

อันตรภาคชน้ั ความถ่ี (f) ความถสี่ ะสม (cf) มคี ่าน้อยกว่า
L = ขอบเขตลา่ ง
Σ fL rN , rN หรือ rN
4 10 100
*

มีค่ามากกว่า หรือเทา่ กับ
rN rN rN
∆ 4 , 10 หรือ 100

I = ความกวา้ ง fQr fDr หรอื fPr สมมตุ ชิ ัน้ น้ีเป็นชั้นทมี่ ี Qr
หรอื Dr หรือ Pr อยู่

N=Σf

คณิตศาสตร์ (44)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

6.2.3 สตู รทใ่ี ช้ในการหา Med, Qr, Dr และ Pr

1. Med = L + I  N2 -Σ fL 
 fme 

2. Qr = L + I  r4N -Σ fL 
 fQr 

3. Dr = L + I  1rN0 -Σ fL 
 fDr 

4. Pr = L + I  1r0N0 - Σ fL 
 fPr 

โดยท่ี ∑ fL = ผลรวมของความถขี่ องชน้ั ทีต่ ่ํากว่าช้นั ที่มี Med หรอื Qr หรอื Dr หรือ Pr อยู่
fme, fQr, fDr, fPr = ความถีข่ องชนั้ ที่มี Med หรือ Qr หรอื Dr หรือ Pr อยู่ (ตามลําดับ)

L = ขอบเขตล่างของอนั ตรภาคชัน้ ทีม่ ี Med หรอื Qr หรอื Dr หรือ Pr อยู่

I = ความกว้างของอันตรภาคชน้ั

7. การวัดการกระจายของขอ้ มลู

7.1 การวดั การกระจายสมั บูรณ์
7.1.1 พสิ ัย (Range)
7.1.1.1 พิสยั ของขอ้ มูลทีไ่ มม่ ีการแจกแจงความถี่

สูตร พสิ ัย = คา่ สูงสุดของข้อมูล - ค่าตา่ํ สดุ ของข้อมูล

∴ พิสัย = xmax - xmin
7.1.1.2 พสิ ัยของขอ้ มูลท่ีมกี ารแจกแจงความถี่

สูตร
พิสยั = ขอบเขตบนของอันตรภาคชั้นทสี่ งู สุด - ขอบเขตลา่ งของอันตรภาคชนั้ ตํ่าสดุ

7.1.2 ส่วนเบยี่ งเบนควอรไ์ ทล์ (Quartile Deviation : Q.D.)
Q3 - Q1
สูตร Q.D. = 2

โดยที่ Q1 แทนควอรไ์ ทลท์ ี่ 1

Q3 แทนควอรไ์ ทล์ท่ี 3

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (45)

7.1.3 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลย่ี (Mean Deviation : M.D.)

7.1.3.1 การหาส่วนเบ่ียงเบนเฉลย่ี ของขอ้ มลู ที่ไม่มีการแจกแจงความถี่

กาํ หนดขอ้ มลู (xi) : x1, x2, x3, ..., xn
n
| xi x |
∑ n -
i=1
สตู ร M.D. = เมอื่ x แทนค่าเฉลีย่ เลขคณิต

หรือ M.D. = Σ |xni - x| ; x = Σnx

7.1.3.2 การหาส่วนเบย่ี งเบนเฉลี่ยของข้อมลู ทีม่ ีการแจกแจงความถ่ี

อนั ตรภาคชนั้ ความถี่ (fi) จดุ กึ่งกลางชั้น (xi)

f1 x1
f2 x2
f3 x3
M M
fk xk
N=∑f

k fi | xi x |
N
∑ -
i=1
สตู ร M.D. =

หรือ M.D. = Σ f|xN- x|

คณติ ศาสตร์ (46)__________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

7.1.4 สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : S.D.)

7.1.4.1 การหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลีย่ ของขอ้ มลู ท่ีไม่มีการแจกแจงความถี่

กาํ หนดขอ้ มูล (xi) : x1, x2, x3, ..., xn
ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของข้อมูล = x = Σnx

n (xi + x)2
∑ n
สตู ร (1) S.D. = i=1

หรอื S.D. = Σ (xn- x)2

สูตร (1) น้ีเหมาะสาํ หรับ x เป็นจํานวนเตม็

สูตร (2) S.D. = Σnx2 - (x)2 สูตร (2) สามารถหาได้

โดยการกระจายจากสูตร (1) ซ่ึงสูตร (2) น้ี เหมาะสําหรับ x เปน็ ทศนิยม

หรือเศษสว่ น

7.1.4.2 การหาสว่ นเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลท่มี กี ารแจกแจงความถ่ี

อนั ตรภาคชนั้ ความถี่ (fi) จดุ กงึ่ กลางชนั้ (xi) fixi fixi2
∑ fx ∑ fx2
f1 x1
f2 x2
f3 x3
M M
fk xk
N=∑f

สูตร (3) S.D. = Σ f(xN+ x)2 ; x = ΣNfx

สูตร (3) ถา้ กระจายสูตร แล้วใช้สมบัติ ∑ จะใชส้ ูตร (4) ดงั นี้

สูตร (4) S.D. = ΣNfx2 - (x)2 ; x = ΣNfx

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (47)

การใช้สตู ร (3) และ (4) จะพบวา่ ไม่สะดวกในการคาํ นวณเนือ่ งจากตัวเลขค่อนขา้ งจะมาก เราจะใช้วิธี
ลดทอนขอ้ มูล เพอื่ งา่ ยในการคดิ คาํ นวณตัวเลขซ่งึ ขั้นตอนการสมมตุ ิ d เหมอื นกบั การหาคา่ เฉลยี่ เลขคณติ โดย
วธิ ีลดทอนขอ้ มูลทกุ ประการ

อันตรภาคชนั้ ความถ่ี (f) d fd fd2 เลือกชน้ั ใดชนั้ หนึง่
สมมุตใิ หช้ ้นั นั้นมี
I = ความกวา้ ง M d = 0 การเลอื กควร
N=Σf เลอื กชั้นทีม่ ีความถ่ี
-2
-1 มากท่ีสุด

0

1
2
3

M

Σ fd Σ fd2

สตู ร (5) S.D. = I ⋅ Σ Nfd2 - (d)2 เม่ือ d = ΣNfd

∴ S.D. = I ⋅ Σ Nfd2 -  ΣNfd 2
สูตร (4) จะหาสูตร (5) โดยการเปล่ียน x ในสูตร (4) เปน็ d และนาํ I คณู หนา้ เครอื่ งหมายกรณฑ์

7.1.5 ความแปรปรวน (Variance) คอื ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน ยกกาํ ลัง 2 น่ันคอื
ความแปรปรวน = (S.D.)2 = S2

คณติ ศาสตร์ (48)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27


Click to View FlipBook Version