GET 100 ม.ปลาย คณิตศาสตร์

แบบฝึกหดั ท่ี 2 บริษัทแห่งหนึ่งจ่ายค่าจ้างให้พนักงานโดยคิดจากการขาย ซ่ึงเป็นร้อยละจากยอดขายที่พนักงานแต่ละคนขายได้

ปรากฏว่าเดือนทแี่ ลว้ นายเอไดร้ บั เงนิ จากบรษิ ัท 31,000 บาท โดยเขามยี อดขาย 300,000 บาท และนายบไี ด้รบั เงนิ จากบริษัท 32,500
บาท โดยเขามยี อดขาย 350,000 บาท จงเขียนฟังก์ชันแทนรายไดท้ ีพ่ นักงานได้รบั ในแต่ละเดอื นในรูปแบบสมการ และจงหาวา่ นายซี
จะไดร้ ับเงนิ จากบริษทั เท่าไร เม่อื ท�ำยอดขายได้ 400,000 บาท

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. ฟังกช์ ันกำ� ลงั สอง

กราฟของฟงั ก์ชันก�ำลงั สอง y = ax2 + bx + c เมือ่ a ≠ 0 (ม.3) แลyะ− yky−== kaa(=xx2a−(+xhb)−xy2 h+−)ck2 =(มa.4()xเ−ป็นhก)2ราฟพาราโบลา
แบง่ เป็น 2 ชนดิ คือ
1. a < 0 จะเปน็ กราฟพาราโบลาคว่ำ� ให้คา่ สงู สดุ

2. a > 0 จะเป็นกราฟพาราโบลาหงาย ใหค้ ่าตำ�่ สุด

สมบตั ขิ องพาราโบลา y
x

50 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

1. จดุ ยอด (vertex) หรอื จดุ วกกลับ (turning point) หาไดจ้ าก V = (− b , 4ac − b2 )
2a 4a
2. สมการแกนสมมาตรของกราฟ คือ x = − b 4ac − b2
และ คา่ สูงสุดหรือต�ำ่ สดุ ของฟังก์ชนั คอื y =
2a 4a

3. เมอ่ื y = ax2 + bx + c จะได้ x = K เปน็ แกนสมมาตร แล้ว f (k + Δ) = f (k − Δ) กลา่ วคอื ค่าของฟังกช์ ันท่อี ย่หู า่ ง

จากแกนสมมาตรเท่ากนั จะมีค่าเท่ากนั

4. จดุ ตดั แกน x หาไดจ้ าก ให้ y = 0 และ จดุ ตดั แกน y ให้ x = 0

7. ฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชยี ล

คือ ฟงั ก์ชนั ท่ีอย่ใู นรปู

กรณีที่ 1 ถา้ 0 < a < 1 แล้ว f( x ) จะเปน็ ฟงั กช์ ันลด
กรณที ี่ 2 ถา้ a > 1 แล้ว f ( x ) จะเป็นฟังกช์ นั เพิม่

y y

(0, 1) y = ax ; 0 < a < 1 y = ax ; a > 1 (0, 1) x
0 ฟงั ก์ช่ันลด ฟงั ก์ช่ันเพิ่ม

x 0

การหาค่าของรากทีส่ องของ x 2 และ

จาก




ก็ตอ่ เมื่อ

ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 51

8. ฟงั ก์ชนั ค่าสัมบูรณ์

คอื ฟังก์ชันท่ีอยใู่ นรปู y = x − h + k เมื่อ a, c เป็นจำ� นวนจริง โดยมี (h, k) เปน็ จดุ ยอด

กรณที ี่ 1. a > 0 จะไดก้ ราฟหงาย กรณีที่ 2. a < 0 จะไดก้ ราฟควำ่�

y y

xx

แบบฝึกหดั ท่ี 3 ก�ำหนดให้ f (x) = x2 − 2x −15 ขอ้ ใดต่อไปนีผ้ ดิ

1. f (x) ≥ −17 ทุกจำ� นวนจริง x ………………………………………………………………………………………………
2. f (−3− 2 − 3) > 0 ………………………………………………………………………………………………………
3. f (1+ 3 + 5) = f (1− 3 − 5) ………………………………………………………………………………………
4. f (−1+ 3 + 5) > f (−1− 3 − 5) …………………………………………………………………………………

แบบฝึกหดั ที่ 4 ถา้ f (x) = −x2 + x + 2 แลว้ ข้อใดสรุปถูกตอ้ ง

1. f (x) ≥ 0 เม่ือ −1≤ x ≤ 2
2. จดุ วกกลบั ของกราฟของฟังก์ชัน f อยูใ่ นจตภุ าคที่ 2
3. ฟงั ก์ชนั f มคี ่าสงู สุดเทา่ กบั 2
4. ฟงั กช์ ัน f มคี ่าต�ำ่ สุดเท่ากบั 2

แบบฝกึ หดั ท่ี 5 กำ� หนดให้ a และ b เป็นจำ� นวนจรงิ บวก

ถ้ากราฟของฟังก์ชนั y1 = 1+ ax และ y2 = 1+ bx มีลกั ษณะดังแสดงภาพต่อไปน้แี ล้ว

y2 = 1+ bx y1 = 1+ ax

52 ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

ข้อใดตอ่ ไปนี้เปน็ จริง 2. a < 1 < b
1. 1 < a < b 4. b < a < 1
3. b < 1 < a
1. f (x) = 1− x
แบบฝกึ หดั ที่ 6 ฟังก์ชัน f (x) ในขอ้ ใดมีกราฟดงั รูปต่อไปนี้ 2. f (x) = 1+ x
3. f (x) = 1− x
y 4. f (x) = 1+ x

x

เฉลยแบบฝกึ หดั

แบบฝกึ หดั ที่ 1 กำ� หนดให้ A = {1, 2, 3}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 5, 7} และ D = {{2}, 7} จงหา

1. A X B = {(1, 2), (1,3), (2, 2), (2,3), (3, 2), (3,3)}
2. B X C = {(2,1), (2,3), (2,5), (2, 7), (3,1), (3,3), (3,5), (3, 7)}
3. C X B = {(1, 2), (1,3), (3, 2), (3,3), (5, 2), (5,3), (7, 2), (7,3)}
4. D X D = {({2},{2}), ({2}, 7), (7,{2}), (7, 7)}
5. C × (A∩ B) = {(1, 2), (1,3), (3, 2), (3,3), (5, 2), (5,3), (7, 2), (7,3)}
(A∩ B) คือเอาตัวท่ีซ้ำ� กันจากเซต A และ เซต B จะได้ {2, 3}
6. (A∩ B) × (C ∩ D) = { 2 , 3 } X { 7 } ={(2, 7), (3, 7)}
(A∩ B) คือเอาตัวที่ซำ�้ กนั จากเซต A และ เซต B จะได้ { 2 , 3 }
(C ∩ D) คอื เอาตวั ทซ่ี ้ำ� กันจากเซต C และ เซต D จะได้ { 7 }
7. P(D) × (A∪ B)
P(D) คอื เซตของสับเซต คือ { {{2},7 }, {{2}}, { 7 }, }
(A∪ B) คอื เอาเซต A รวมกับ เซต B จะได้ {1, 2,3}
จะได้ { {{2},7 }, {{2}},{ 7 }, } X{1, 2,3} = {({{2}, 7}, 1), ({{2}, 7}, 2), ({{2}, 7}, 3), ({{2}}, 1), ({{2}}, 2), ({{2}}, 3), ({7}, 1),
({7}, 2), ({7}, 3), ( , 1), ( , 2), ( , 3)}
8. (C − A) × P(B)
(C − A) คอื อยู่ในเซต C หา้ มอยู่ใน เซต A จะได้ {5,7}
P(B) คอื เซตของสบั เซต คอื { {2},{3},{2,3}, }
= จะได้ {5,7} X { {2},{3},{2,3}, }
= {(5,{2}),(5,{3}),(5,{2,3}),(5, ),(7,{2}),(7,{3}),(7,{2,3}),(7, )}
9. {(x, y) ∈ A× B x + y เป็นเลขคู}่
A คือ {1, 2, 3} และ B คือ {2, 3} จะได้ A x B = {(1, 2),(1,3),(2, 2),(2,3),(3, 2),(3,3)}
X +Y เป็นเลขคู่ จะได้ {(1,3), (2, 2), (3,3)}

ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 53

10. {(x, y) ∈ A× B x + y ≥ 7}
A คอื {1,2,3} และ B คือ {2,3}, A x B = {(1, 2), (1,3), (2, 2), (2,3), (3, 2), (3,3)}
X + Y 7 จะได้

แบบฝึกหัดที่ 2 บริษทั แหง่ หนง่ึ จ่ายคา่ จ้างให้พนักงานโดยคดิ จากการขาย ซ่ึงเป็นร้อยละจากยอดขายท่ีพนกั งานแต่ละคนขายได้

ปรากฏว่าเดอื นทแ่ี ลว้ นายเอได้รับเงนิ จากบริษทั 31,000 บาท โดยเขามียอดขาย 300,000 บาท และนายบไี ด้รบั เงินจากบรษิ ัท 32,500
บาท โดยเขามยี อดขาย 350,000 บาท จงเขยี นฟังกช์ ันแทนรายไดท้ พี่ นักงานได้รบั ในแต่ละเดอื นในรปู แบบสมการ และจงหาว่านายซี
จะได้รบั เงินจากบรษิ ทั เทา่ ไรเมอ่ื ทำ� ยอดขายได้ 400,000 บาท

วธิ ที �ำ y แทนรายไดพ้ นักงาน (บาท)

X แทนยอดขาย (บาท)

จะได้สมการเชงิ เส้นคอื y = ax + b

นายเอ ได้รบั เงนิ จากบรษิ ทั 31,000 บาท โดยเขามยี อดขาย 300,000 บาท

จะได้ สมการคือ 31,000 = 300,000a + b → 1 สมการที่ 1

นายบี ได้รับเงนิ จากบรษิ ทั 32,500 บาท โดยเขามยี อดขาย 350,000 บาท
จะไดส้ มการคอื 32,500 = 350,000a + b → 2 สมการท่ี 2

2 − 1 ; 32,500 − 31,000 = (350,000a + b) − (300,000a + b)

1,510,500=05=055000, ,0000,0000a0a

a = 1,500
50,000

a= 3
100

a = 0.03

แทน a = 3 ในสมการท่ี 1
จะได้ 100
300, 000( 3
=31, 000 100 ) + b

31=, 000 9, 000 + b

b = 22, 000

นายซี ท�ำยอดขายได้ 400,000 บาท

เขาจะได้รับเง=นิ จากบริษทั yx 400, 000( 3 ) + 22, 000
100
yx = 34, 000

ตอบ นายซจี ะไดร้ บั เงนิ จากบรษิ ทั 34,000 บาท เม่ือเขาท�ำยอดขายได้ 400,000 บาท

54 ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

แบบฝึกหัดที่ 3 กำ� หนดให้ f (x) = x2 − 2x −15 ข้อใดต่อไปน้ผี ดิ

1. f (x) ≥ −17 ทุกจ�ำนวนจรงิ x
2. f (−3− 2 − 3) > 0
3. f (1+ 3 + 5) = f (1− 3 − 5)
4. f (−1+ 3 + 5) > f (−1− 3 − 5)

วิธีทำ� จากโจทย์ f (x) = x2 − 2x −15 จะไดก้ ราฟพาราโบลาหงาย ( a > 0 )

หาจุดยอดไดโ้ ดย V = (− b , 4ac − b2 )

2a 4a

จะไดจ้ ดุ ยอดคือ (− −2 , 4(1)(−15) − (−2)2 ) = (1, −16)
2(1) 4(1)


วาดกราฟไดด้ งั น้ี

y

x

(1,-16)

หาจดุ ตดั แกน x ให้ y = 0 จะได้จุดตัดแกน x คอื (-3, 0) และ (5, 0) พจิ ารณาตัวเลอื ก
1. f (x) ≥ −17 ทกุ จำ� นวนจรงิ x → คา่ ต่ำ� สดุ ของฟงั ก์ชนั คือ คา่ ของ f ( x ) และคา่ ตำ�่ สดุ ของกราฟน้ี คอื -16 ดงั น้ันจะได้
วา่ f (x) ≥ −17 เป็นจริงส�ำหรบั ทกุ จ�ำนวนจริง

ตอบ ถกู

2. f (−3− 2 − 3) > 0 → จากกราฟจะเหน็ วา่ f ( -3 ) จะได้คา่ y = 0 และ เมอื่ x < 3 จะเหน็ วา่ กราฟจะอยู่เหนือแกน
x นั้นคือ y > 0 และเนอื่ งจาก −3− 2 − 3 < −3 ดงั นัน้ f (−3− 2 − 3) > 0

ตอบ ถกู

3. f (1+ 3 + 5) = f (1− 3 − 5) → f (1+ 3 + 5) และ f (1− 3 − 5) อยหู่ า่ งจากแกนสมมาตร เปน็ ระยะ
3 + 5 เท่าๆ กัน ดงั น้ันค่าฟังก์ชันของทงั้ สองจดุ มคี า่ เทา่ ๆ กัน ดว้ ยสมบัติความสมมาตรของพาราโบลา

ตอบ ถูก

4. f (−1+ 3 + 5) > f (−1− 3 − 5) → เน่ืองจาก f (– 1) อยู่ทางซ้ายของแกนสมมาตร และเมื่อเทียบแล้ว
f (−1+ 3 + 5) จะอยู่สูงกว่า f (−1− 3 − 5)

ตอบ ผดิ

ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 55

แบบฝกึ หดั ที่ 4 ถา้ f (x) = −x2 + x + 2 แล้วข้อใดสรปุ ถูกตอ้ ง

1. f (x) ≥ 0 เมื่อ −1≤ x ≤ 2

2. จุดวกกลับของกราฟของฟงั กช์ นั f อยูใ่ นจตภุ าคท่ี 2

3. ฟงั กช์ ัน f มีค่าสูงสดุ เทา่ กบั 2

4. ฟงั กช์ นั f มีค่าต�่ำสดุ เท่ากับ 2

วิธีท�ำ จากโจทย์ f (x) = −x2 + x + 2 จะได้กราฟพาราโบลาควำ่� ( a < 0 )

หาจดุ ยอดไดโ้ ดย V = (− b , 4ac − b2 )

2a 4a

จะได้จดุ ยอดคือ (− 1 , 4(−1)(2) − (1)2 ) = (1 , 9)
2(−1) 4(−1) 24

หาจดุ ตดั แกน x ให้ y = 0 จะได้จดุ ตดั แกน x คอื (-1, 0) และ (2, 0)

พจิ ารณาตัวเลือก

1. f (x) ≥ 0 เม่ือ −1≤ x ≤ 2 → จากกราฟจะเห็นวา่ y > 0 บนชว่ ง -1 < x < 2 แสดงว่า f (x) ≥ 0

เม่ือ −1≤ x ≤ 2 จริง
ตอบ ถกู

2. จดุ วกกลบั ของกราฟของฟงั กช์ นั f อย่ใู นจตุภาคท่ี 2 → จุดวกกลบั หรอื จดุ ยอด คือ ( 1 , 9 ) ซึง่ อยู่จตภุ าคที่ 1
2 4
ตอบ ผิด

3. ฟงั กช์ ัน f มีคา่ สงู สุดเท่ากับ 2 → คา่ สูงสดุ ของ f คือ 9
4
ตอบ ผิด

4. ฟงั ก์ชัน f มคี ่าต่ำ� สดุ เท่ากบั 2 → พาราโบลาคว่ำ� หาคา่ ต�ำ่ สุดไมไ่ ด้

ตอบ ผิด

แบบฝกึ หัดที่ 5 กำ� หนดให้ a และ b เป็นจำ� นวนจริงบวก

ถ้ากราฟของฟงั กช์ ัน y1 = 1+ ax และ y2 = 1+ bx มีลกั ษณะดังแสดงภาพต่อไปนี้แลว้

y2 = 1+ bx y1 = 1+ ax

56 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้เปน็ จรงิ
1. 1 < a < b 2. a < 1 < b
3. b < 1 < a 4. b < a < 1


วธิ ที ำ� จากกราฟจะเหน็ วา่ y1 = 1+ ax เปน็ ฟงั ก์ชนั เพม่ิ ฉะนนั้ a > 1

และจะเห็นวา่ y2 = 1+ bx เป็นฟงั ก์ชนั ลด ฉะนัน้ 0 < b < 1
จะไดว้ า่ a > 1 และ b < 1 น้นั คือ b < 1 < a

ตอบ 3

แบบฝึกหดั ท่ี 6 ฟังก์ชนั f (x) ในข้อใดมกี ราฟดังรปู ต่อไปนี้

y
1. f (x) = 1− x
2. f (x) = 1+ x

x 3. f (x) = 1− x
4. f (x) = 1+ x

ฟังกช์ นั คา่ สมั บรู ณ์คอื คือ ฟังก์ชันทอ่ี ยู่ในรูป y = x − h + k เมือ่ a, c เปน็ จำ� นวนจริง โดยมี (h, k) เปน็ จดุ ยอด
y

x

จะได้ (h, k) = (0, 1) ดังน้นั สมการของกราฟคือ f (x) = x − 0 +1= x +1

ตอบ 2

ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 57

นอ้ งๆ สามารถศกึ ษาเพม่ิ เติมได้ที่

Tag : สอนศาสตร,์ คณิตศาสตร,์ ฟงั กช์ นั , ความสัมพนั ธ์, ลอการิทึม, ภาคตดั กรวย, สตู รเตรยี มสอบ

• สอนศาสตร์ : ม.ปลาย : คณิตศาสตร์ > 04 :
ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชนั 1

http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch5-1

• สอนศาสตร์ : ม.ปลาย : คณติ ศาสตร์ > 05 :
ความสัมพนั ธ์และฟงั กช์ นั 2

http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch5-2

• สอนศาสตร์ : ม.ปลาย : คณติ ศาสตร์ > 06 :
ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน 3

http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch5-3

• สอนศาสตร์ : ม.ปลาย : คณติ ศาสตร์ > 07 :
ความสัมพนั ธแ์ ละฟังก์ชัน 4

http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch5-4

• สอนศาสตร์ คณติ ศาสตร์ ม.6 : ภาคตดั กรวยและ
ฟงั ก์ชัน

http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch5-5

• สรปุ สูตรคณิตศาสตรส์ ำ�หรับเตรยี มสอบ -
เรอื่ ง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชยี ลและลอการทิ ึม

http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch5-6

• สรปุ สตู รคณติ ศาสตร์สำ�หรับเตรียมสอบ -
เร่อื ง ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ นั

http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch5-7

58 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

บทท6่ี

อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ

สำ� หรบั เรื่องอัตราสว่ นตรีโกณมติ นิ ้ันถือเปน็ เรอ่ื งที่ไมไ่ ดย้ ากอะไรมาก สงิ่ ที่ส�ำคัญท่ีสุดคอื นอ้ งๆ ต้องทอ่ งมุม sin cos tan ให้
ได้ และมมุ หลกั ๆ ท่ีเราจะเจอ คอื มุม และโจทย์ในหวั ข้อนีจ้ ะนำ� ไปประยกุ ตอ์ อกกับรปู เรขาคณิตตา่ งๆ ทุกครงั้ สิง่ ท่สี �ำคญั ในการทำ�
โจทย์คือการวาดรปู เพือ่ ท�ำให้น้องๆ มองโจทยง์ า่ ยขน้ึ

1. อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ

อัตราส่วนตรีโกณมิติของรูปภายในเป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก หมายถึง ความสัมพันธ์ระหวา่ งด้านและมุมภายในของรูป
สามเหลย่ี มมุมฉาก

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC

B

c
a

Cb A

จากรูป ABC เปน็ รปู สามเหล่ยี มทมี่ มี มุ C เป็นมมุ ฉากและดา้ นตรงขา้ มมุม A, B และ C ยาว a, b และ c ตามลำ� ดับ โดยยึด
มุม B เปน็ มมุ หลกั จะได้

a เป็นความยาวของด้านตรงขา้ มมุม A หรือเรยี กวา่ “ข้าม”

b เป็นความยาวด้านประชดิ มมุ A หรอื เรียกว่า “ชดิ ”

c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือเรียกวา่ “ฉาก”

ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 59

อตั ราส่วนของความยาวดา้ นต่างๆ มดี งั นี้

sin A = cos A = tan A =

cosec A = sec A = cot A =

ขอ้ สังเกต!!!!!!!!!

1. tan A = csoinsAA และ cot A = csoinsAA
2. (sin A)(cosec A) = 1, (cos A)(sec A) = 1, (tan A)(cot A) = 1

3.

4.

5.

Ex1. จงเติมอตั ราส่วนฟงั ก์ชนั ตรโี กณตอ่ ไปน้ี sec Y = ………………………
cot X = ………………………
ZpX cos X tan Y = ………………………
tan Y + cot X = ………………………
r sin2Y + cos2Y = ………………………
q sin2X + cos2Y = ………………………

Y

การยบุ มมุ ท่ตี ดิ ลบ -sin เพิม่ เติม
cos
sin (- ) = -tan มมุ กม้ เปน็ มมุ ทเ่ี กดิ จากแนวเสน้ ระดบั สายตา
cos (- ) = และแนวเสน้ จากตาไปยงั วตั ถุ โดยวตั ถจุ ะอยใู่ ตแ้ นวเสน้
tan (- ) = ระดบั สายตา
มมุ เงย เปน็ มมุ ทเ่ี กดิ จากแนวเสน้ ระดบั สายตา
และแนวเส้นจากตาไปยังวัตถุ โดยวัตถุจะอยู่สูงกว่า
แนวเส้นระดับสายตา



60 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

ทบทวนทฤษฏบี ทพธี าโกรสั ให้ ABC เป็นสามเหลย่ี มมมุ ฉาก และ A,B,C
เปน็ ความยาวด้านแต่ละด้านดงั รูป
B
c=2 a2 + b2
c
a

Cb A

“ด้านตรงขา้ มมุมฉาก = ผลบวกกำ� ลงั สองของด้านประกอบมุมฉาก”

Co-Function

จากรปู สามเหลี่ยมมุมฉากดา้ นบนจะได้วา่ A! + B! = 90° จะได้
1. sin A = cos B จะไดว้ ่า sin A = cos (90°- A)

กล่าวคอื sin เป็น co-function กบั cos (cosine)
2. tan A = cot B จะไดว้ ่า tan A = cot (90°- A)

กลา่ วคือ tan เปน็ co-function กับ cot (cotangent)
3. sec A = cosec B จะได้วา่ sec A = cosec (90°- A)

กลา่ วคือ sec เปน็ co-function กับ cosec (cosecant)
เชน่ sin 43° = cos 47° เพราะ 43° + 47° = 90°
cot 63° = tan 27° เพราะ 63° + 27° = 90°
cosec 19° = sec 71° เพราะ 19° + 71° = 90°



อัตราสว่ นตรีโกณมิตทิ ี่ควรทราบ

(0,1) 90°

(-1,0) 180° (1,0) 0° cos = X
sin = Y

(0,-1) 270°

ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 61

30° 45°

60° 45°

หมายเหตุ

ข้อสอบ O-net มกั จะนำ� ตรีโกณไปออกในรูปสามเหลี่ยม สีเ่ หลยี่ มและวงกลม

อตั ราส่วนตรีโกณ 0 30 45 60 90

sin 0 1 1 3 1
cos 1 2 2 2
tan 0
31 1 0

2 22

1 1 3-
3

Ex2. สามเหล่ียมหนา้ จัว่ มุมฉาก ABC มพี ้ืนทีเ่ ท่ากบั 27 ตารางน้วิ ดา้ นทีย่ าวท่ีสุดของสามเหลย่ี ม ABC ยาวเท่ากับเท่าไร

1. 3 2. 6 3. 3 6 4. 6 3

Ex3. สามเหลย่ี ม ABC เปน็ สามเหลย่ี มทีม่ มี มุ C เปน็ มุมฉาก มมุ B ท�ำมมุ 30° และมพี ืน้ ท ่ี 24 3 ตารางนวิ้

อยากทราบว่า BC ยาวเทา่ กบั ขอ้ ใด
1. 12 น้ิว 2. 14 นิ้ว 3. 16 นิ้ว 4. 18 น้วิ

Ex 4. นายเออยู่บนเรือลำ� หนง่ึ มองเห็นยอดตกึ ทีส่ ูง 25 เมตร เปน็ มมุ เงย 40๐ แสดงวา่ เรือลำ� นีอ้ ยหู่ า่ งจากตึกเป็นระยะทางประมาณ

เท่าใด

1. 14.43 เมตร θ sinθ cosθ tanθ
2. 20.98 เมตร
3. 29.79 เมตร 40 0.6428 0.7660 0.8391
4. 32.64 เมตร 50 0.7660 0.6428 1.1918
5. 38.89 เมตร 60 0.8660 0.5000 1.7321

62 ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

Ex 5. รูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้าสองรูป มีขนาดเท่ากัน โดยมีเส้นทแยงมุมยาวเป็นสองเท่าของด้านกว้าง ถ้าน�ำรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้ามาวาง

ต่อกนั ดงั รูปจุด A และจุด B อยหู่ า่ งกนั เป็นกเ่ี ทา่ ของด้านกวา้ ง
A
B

1. 1.5 2. 3 3. 2 4. 2 2

Ex 6. กำ� หนดให้ ABCD เปน็ รปู สี่เหล่ียมผืนผา้ ซึ่งมีพื้นท่เี ทา่ กับ 12 ตารางนิ้ว และ tan AB!D = 1 ถ้า AE ต้ังฉากกับ BD ที่จุด3
E แล้ว AE ยาวเทา่ กบั ข้อใด

1. 10 นวิ้ 2. 2 10 นว้ิ 3. 10 น้วิ 4. 3 10 นิ้ว
3 5 25

Ex 7. นาย ก และนาย ข ยืนอย่บู นพ้นื ราบซึง่ ห่างจากก�ำแพงเปน็ ระยะ 10 เมตร และ 40 เมตร ตามล�ำดับ ถ้านาย ก มองหลอดไฟ

บนกำ� แพงดว้ ยมุมเงย องศา ในขณะท่ีนาย ข มองหลอดไฟดวงเดยี วกันด้วยมมุ เงย 90ํ – องศา ถา้ ไม่คิดความสงู ของ
นาย ก และ นาย ข แลว้ หลอดไฟอยู่หา่ งจากพ้ืนกี่เมตร

1. 10 เมตร 2. 10 2 เมตร 3. 10 3 เมตร 4. 20 เมตร

Ex 8. วงกลมหน่งึ มีรศั มี 6 หนว่ ย และ A,B,C เป็นจุดบนเสน้ รอบวง ถา้ AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ AB!C = 60!

แลว้ พืน้ ทรี่ ปู สามเหลย่ี ม ABC เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 15 3 ตารางหน่วย 2. 165 3 ตารางหนว่ ย

3. 17 3 ตารางหน่วย 4. 18 3 ตารางหน่วย

ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 63

เฉลยแบบฝกึ หดั sec Y =

EX1. จงเตมิ อัตราส่วนฟังก์ชันตรโี กณต่อไปน้ี cot X =

ZpX cos X tan Y =

r tan Y + cot X = 2rp
q sin2Y + cos2Y =1

Y sin2X + cos2Y =

โจทยป์ ญั หา

Ex2. สามเหลย่ี มหนา้ จัว่ มมุ ฉาก ABC มพี ้ืนทีเ่ ทา่ กบั 27 ตารางนว้ิ ด้านท่ียาวท่สี ดุ ของสามเหลีย่ ม ABC ยาวเท่ากบั เทา่ ไร

1. 3 2. 6 3. 3 6 4. 6 3

ให้ ด้านประกอบมมุ ฉาก ยาว X X
จากพื้นท ี่ 1ixix = 27 X

2

x2 = 27× 2
x2 = 54

จากทฤษฎีบทปีทาโกรสั ผลรวมก�ำลังสองของด้านทส่ี ั้นท่สี ดุ บวกกันจะไดด้ า้ นท่ียาวที่สุดก�ำลงั สอง

x2 + x2 =c2

54 + 54 =c2

c = 6 3

ตอบ 4

Ex3. สามเหล่ียม ABC เปน็ สามเหลี่ยมท่มี ีมุม C เปน็ มุมฉาก มุม B ท�ำมุม 30° และมพี น้ื ที่ 24 3 ตารางนวิ้

อยากทราบวา่ BC ยาวเทา่ กบั ข้อใด
1. 12 นว้ิ 2. 14 น้ิว 3. 16 น้ิว 4. 18 น้วิ

64 ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

วธิ ที ำ� tan 30 = 1 A
3 C

BACCBACC=BACC=x3=x xx
33xx

พ224น้ื4BAทCC33ี่ ==BA==CC121212xi3=i×xฐ33าxx3xiนxi11x×x สูง

x2 = 48 30ํ
B
x = 4 3
จะได้ BCBACCย=BA=าCCวx3=x 3x3xx =3(4 3) 12

ตอบ 1

Ex 4. นายเออยู่บนเรือลำ� หน่งึ มองเห็นยอดตกึ ที่สงู 25 เมตร เป็นมมุ เงย 40๐ แสดงวา่ เรือลำ� นี้อย่หู ่างจากตึกเปน็ ระยะทางประมาณ

เท่าใด

1. 14.43 เมตร θ sinθ cosθ tan
2. 20.98 เมตร
3. 29.79 เมตร 40 0.6428 0.7660 0.8391
4. 32.64 เมตร 50 0.7660 0.6428 1.1918
5. 38.89 เมตร 60 0.8660 0.5000 1.7321

วิธีทำ� ให้ระยะหา่ งระหว่างเรอื กับตึก เป็น x

tan 40 = 25 25
x

0.8391 = 25
x
40ํ
x = 29.79

ตอบ 3 ตึก x เรอื

Ex 5. รูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้าสองรูป มีขนาดเท่ากัน โดยมีเส้นทแยงมุมยาวเป็นสองเท่าของด้านกว้าง ถ้าน�ำรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้ามาวาง

ต่อกนั ดงั รูปจุด A และจดุ B อยู่หา่ งกนั เป็นก่เี ท่าของด้านกว้าง
A
B

1. 1.5 2. 3 3. 2 4. 2 2

ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 65

วิธีทำ� A C = 8x

B

C

ให้ดา้ นกว้างของ ส่ีเหลย่ี มผืนผ้ายาว x เมตร
จะเหน็ ว่า สามเหลีย่ มทไ่ี ด้ มดี า้ นสองด้านยาวเทา่ กันแสดงวา่ สามเหลี่ยมรปู น้ี มี Aˆ= Bˆ= 45
จากทฤษฎีบทปที าโกรัส ผลรวมกำ� ลังสองของด้านท่สี ้นั ท่สี ุดบวกกนั จะไดด้ า้ นท่ียาวท่สี ุดก�ำลังสอง
(2x)2 + (2x)2 =C2
C2 = 8x2
CC==(2 88x2x) x
CCC==(=22222x2x)x
เนอ่ื งจาก ดา้ นกว้างยาว x ดงั นนั้ จดุ A และจดุ B อย่หู ่างเปน็ ระยะ 2 2 เท่าของดา้ นกวา้ ง

ตอบ 4

Ex 6. ก�ำหนดให้ ABCD เปน็ รูปส่ีเหล่ยี มผนื ผา้ ซึง่ มพี ้ืนทเี่ ทา่ กับ 12 ตารางนิว้ และ tan AB!D = 1 ถ้า AE ตั้งฉากกับ BD ที่จุด3
E แลว้ AE ยาวเทา่ กบั ขอ้ ใด

1. 10 นว้ิ 2. 2 10 น้วิ 3. 10 นิ้ว 4. 3 10 น้วิ
3 5 25

วิธที �ำ

A 3x B

x C
E

D

จาก tan AB!D = 1 สมมติให้ AD และ AB ยาว X และ 3X ตามลำ� ดับ
3
พ้นื ท่ี = กวา้ ง x ยาว

12 = X (3X)

X = 2

66 ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

h
y

จากทฤษฎบี ทปีทาโกรัส จะทำ� ให้ได้ด้าน BD = =62 + 22 2 10

เน่อื งจากสามเหล่ียม ABD มพี ื้นทีเ่ ปน็ คร่งึ หน่ึงของส่เี หล่ยี ม ABCD

จะไดว้ า่ พ้ืนท่ีสามเหล่ยี ม ABD = 1 × BD× AE
2

6 = 1 × 2 10 × AE
2

AE = 6 6116A00AEAEAE=E====616106101600
10AE =
( ) ( ) 6AE =
AE== 10

AE = 3 10
5

ตอบ 4

Ex 7. นาย ก และนาย ข ยืนอยบู่ นพน้ื ราบซง่ึ ห่างจากก�ำแพงเปน็ ระยะ 10 เมตร และ 40 เมตร ตามล�ำดบั ถ้านาย ก มองหลอดไฟ

บนกำ� แพงดว้ ยมมุ เงย องศา ในขณะทนี่ าย ข มองหลอดไฟดวงเดยี วกันดว้ ยมมุ เงย 90ํ – องศา ถา้ ไม่คิดความสงู ของ
นาย ก และ นาย ข แล้วหลอดไฟอยูห่ า่ งจากพื้นกเี่ มตร

1. 10 เมตร 2. 10 2 เมตร 3. 10 3 เมตร 4. 20 เมตร

วธิ ที �ำ

สมการที่ 1

h สมการท่ี 2
y
น�ำสมการที่ 2 ÷ 1 จะได้ ;

ก 90ํ - ข
40
10

คอื





ตอบ 4

Ex 8. วงกลมหน่งึ มรี ศั มี 6 หน่วย และ A,B,C เปน็ จุดบนเสน้ รอบวง ถ้า AC เป็นเสน้ ผ่านศนู ย์กลางของวงกลม และ AB!C = 60!

แล้วพ้นื ทร่ี ูปสามเหลยี่ ม ABC เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 15 3 ตารางหน่วย 2. 15 3 ตารางหนว่ ย

3. 17 3 ตารางหนว่ ย 4. 18 3 ตารางหนว่ ย

ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 67

วธิ ที �ำ B จากทฤษฎวี งกลมมมุ ในครง่ึ วงกลมเป็นมุมฉาก จะได้ มุม Bˆ = 90

A 90ํ จากรปู จะไดว้ ่า cos 60 = BC และ sin 60 = AB
12 12
60ํ
C จะได้ พืน้ ท่ีสามเหล่ียม ABC = 1 (12cos60)(12sin 60)
2

= 18 3 ตารางหนว่ ย

ตอบ 4

นอ้ งๆ สามารถศึกษาเพิ่มเติมได้ที่
Tag : สอนศาสตร์, คณิตศาสตร์, อัตราสว่ นตรีโกณมิติ

• สอนศาสตร์ คณติ ศาสตร์ ม.6 : ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch6-1

• อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ ตอนท่ี 1
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch6-2

• อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ ตอนท่ี 2
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch6-3

• อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ ตอนที่ 3
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch6-4

• อตั ราส่วนตรโี กณมิติ ตอนท่ี 4
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch6-5

• สรุปสูตรคณิตศาสตร์สำ�หรบั เตรยี มสอบ -
เร่ือง ฟงั กช์ น่ั ตรโี กณมติ ิ
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch6-6

68 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

บทที7่

ลำ� ดับและอนุกรม

เรอ่ื งของลำ� ดบั และอนกุ รม ความยากอยใู่ นระดบั ปานกลาง เรอ่ื งนจ้ี ดั เปน็ หนง่ึ ในเรอ่ื งทใี่ ชท้ กั ษะในการคำ� นวณและสตู รตา่ งๆ
ในหัวข้อนี้ถือเป็นสิ่งส�ำคัญในการสร้างสมการจากโจทย์ต่างๆ อย่างไรก็ตามน้องๆ ต้องอ่านโจทย์และท�ำความเข้าใจว่าโจทย์ให้อะไร
มา และต้องการหาอะไร ทส่ี �ำคญั ที่สดุ คือ ความรอบคอบในการแกร้ ะบบสมการ

ล�ำดับ (Sequence)

บทนิยาม : ฟังก์ชันทมี่ โี ดเมนเป็นสับเซตของจำ� นวนเตม็ บวก และมีเรนจ์เป็นสบั เซตของจำ� นวนจรงิ

ถ้า f เป็นฟงั กช์ ันลำ� ดับจ�ำกัดทม่ี ีโดเมนเทา่ กับ {1, 2, 3, …, n} แล้ว สมาชิกของ f จะได้ f(1), f(2), f(3), … , f(n) หรอื a1, a2,
a3, … , anเรยี กวา่ ลำ� ดับจำ� กัด
ถา้ f เป็นฟงั กช์ นั ล�ำดบั อนันต์ ท่ีมีโดเมนเทา่ กบั {1, 2, 3, …, n, …} แลว้ สมาชกิ ของ f จะได้ f(1), f(2), f(3), … , f(n), … หรอื
a1, a2, a3, … , an, … เรียกว่า ล�ำดับอนันต์

ล�ำดบั เลขคณติ (Arithmetic Sequence)

บทนิยาม : ล�ำดับเลขคณิต คือ ลำ� ดบั ทีม่ ีผลต่างของพจน์สองพจนท์ อ่ี ยู่ตดิ กัน มผี ลตา่ งทีเ่ ทา่ กันเสมอ เรียกว่า ผลตา่ งร่วม (common

different)
เมื่อ a1, a2, a3, … , an, an+1, … เปน็ ล�ำดบั เลขคณิต แลว้ ผลต่างร่วม(d) โดย d = an+1 – an ทกุ จำ� นวนเตม็ บวกท่ี n = 1, 2, 3,
… พจน์ที่ n ของล�ำดับเลขคณิต คอื an = a1 + (n-1)d

แบบฝึกหัดท่ี 1

1. ถ้าพจนแ์ รกมีค่าเทา่ กับ 8 และพจน์ที่ 3 เทา่ กับ 16 จงหาพจนท์ ่ี 15 ของลำ� ดับเลขคณติ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 69

2. ผลตา่ งร่วมของล�ำดับเลขคณิตจะมีค่าเทา่ ไร เมอ่ื a25 – a15 = 20
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ถ้า k, 3k, 6k+2 เปน็ สามพจน์ที่เรยี งกันในล�ำดับเลขคณติ มพี จน์แรกเปน็ -7k จงหาพจนท์ ี่ 50 มคี ่าเทา่ ไร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลำ� ดบั เรขาคณติ (Geometric Sequence)

บทนยิ าม : ล�ำดับเรขาคณิต คอื ล�ำดบั ทม่ี อี ัตราสว่ นของพจนส์ องพจน์ที่อยตู่ ดิ กัน มีค่าเทา่ กันเสมอ อตั ราส่วนที่เทา่ กันเสมอนีเ้ รียกวา่
อตั ราส่วนรว่ ม (common ratio)

เมอื่ a1 , a1r , a1r2 , ... เปน็ ล�ำดบั เรขาคณิต แล้วอัตราสว่ นรว่ ม (r) โดย r = ทุกจำ� นวนเตม็ บวกท่ี n = 1, 2, 3, … พจน์
ที่ n ของลำ� ดับเลขคณิต คอื an = a1 rn-1

4. จงหาพจนท์ ี่ 8 ของลำ� ดบั

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

70 ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

5. จงหาพจนท์ ่ัวไปของล�ำดับ -27 , 9 , - 3 , 1 , …
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. ถา้ a-3, a และ a+2 เปน็ สามพจนแ์ รกของลำ� ดับเรขาคณิต ใหห้ าอัตราสว่ นร่วมของล�ำดับน้ี
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การแกโ้ จทย์ลำ� ดบั บางครั้งตอ้ งใช้สมมติล�ำดบั เพื่อจะท�ำใหส้ ามารถแก้โจทยป์ ญั หาได้งา่ ยและรวดเรว็ ยง่ิ ข้ึน

1. ล�ำดับเลขคณิต

ถา้ จ�ำนวนพจน์ที่เรียงกนั เป็นจำ� นวนคี่ รูปล�ำดับเลขคณติ ท่สี มมาตรจะได้ดังน้ี
เมือ่ มี 3 พจน์ : a – d , a , a + d
เมื่อมี 5 พจน์ : a – 2d , a – d , a , a + d , a + 2d
เม่ือมี 7 พจน์ : a – 3d , a – 2d , a – d , a , a + d , a + 2d, a + 3d
ถา้ จำ� นวนพจน์ทเี่ รยี งกันเปน็ จำ� นวนคู่ รูปลำ� ดับเลขคณติ ทส่ี มมาตรจะไดด้ งั น้ี
เมื่อมี 4 พจน์ : a – 3d , a – d , a + d , a + 3d
เมอ่ื มี 6 พจน์ : a – 5d , a – 3d , a – d , a + d , a + 3d , a + 5d

2. ล�ำดบั เรขาคณิต

ถา้ จำ� นวนพจนท์ เี่ รียงกนั เป็นจ�ำนวนค่ี รูปล�ำดับเรขาคณติ ทส่ี มมาตรจะได้ดังนี้
เมื่อมี 3 พจน์ : , a , ar
เมอ่ื มี 5 พจน์ : , , a , ar , ar2
ถา้ จำ� นวนพจนท์ เ่ี รยี งกันเปน็ จำ� นวนคู่ รปู ลำ� ดบั เรขาคณิตทสี่ มมาตรจะได้ดังน้ี
เมื่อมี 4 พจน์ : , , ar , ar3
เมอื่ มี 6 พจน์ : , , , ar , ar3 , ar5

ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 71

7. ลำ� ดับเลขคณิตชดุ หน่งึ มี 5 พจน์และผลบวกของทุกพจน์เทา่ กับ 30 หาพจน์ท่ี 3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

อนุกรม (Series)

อนุกรม คอื ผลรวมของลำ� ดบั โดยจำ� นวนในอนกุ รมเรยี กว่า พจน์ (เหมือนกบั ของล�ำดบั )
บทนยิ าม : เม่อื a1, a2, a3 , … , anเปน็ ลำ� ดับจำ� กัด ทีม่ ี n พจน์ จะสามารถเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของลำ� ดับในรปู

a1 + a2 + a3 + … + anเรียกวา่ “อนกุ รมจำ� กัด”
เมอ่ื a1 , a2 , a3 , … , an , … เปน็ ล�ำดบั อนนั ต์ จะสามารถเขียนแสดงผลบวกในรูป a1 + a2 + a3 + … + an + … เรยี ก
ว่า “อนกุ รมอนนั ต”์

สัญลกั ษณแ์ ทนการบวก

ซิกมา ( sigma : ) คอื สญั ลักษณ์แทนการบวก โดยมีรปู แบบการบวกด้วยซิกมาจะเป็นดงั นี้



สมบตั ขิ องซกิ มา

1. เมือ่ c เป็นค่าคงตวั

2.

3.

4.

สตู รผลบวกทีส่ �ำคัญ

1.

2.

3.

เชน่ = 3( n )(n +1) − 2n
= 2
= 3( 5 )(5 + 1) − 2(5)

== 35 2

72 ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

8. หาคา่ k ซ่ึงเปน็ จำ� นวนจรงิ ใดๆ ท่ีทำ� ให้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรม
n

a เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = i = 1 i

บทนิยาม : ถ้าอนกุ รมนัน้ เป็นล�ำดบั เลขคณิต เรียกวา่ “อนกุ รมเลขคณิต” และผลต่างรว่ มของล�ำดบั เลขคณติ เปน็ ผลต่างรว่ มของ

อนกุ รมเลขคณติ ดว้ ย
ถา้ อนกุ รมนั้นเป็นลำ� ดับเรขาคณติ เรียกว่า “อนุกรมเรขาคณติ ” และอัตราส่วนรว่ มของลำ� ดับเรขาคณติ จะเป็นอตั ราส่วนร่วม
ของอนุกรมเรขาคณิตดว้ ย

อนกุ รมเลขคณติ

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ สามารถหาได้จากสมการ

หรอื

** หมายเหตุ ในกรณีที่เรารู้ Sn ต้องการจะหา an ได้จากสมการน้ี an = Sn – Sn-1 เมอื่ n ≠ 1 และ Sn = n ai
i=1

9. จงหาผลบวกของอนกุ รมเลขคณิต 1 + 5 + 9 + … + 117
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 73

10. ผลบวกย่อย 18 พจน์แรก ของอนกุ รม 2 + 6 + 10 +…
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11. ถ้าผลบวกและผลคณู ของ 3 พจน์แรกของล�ำดบั เลขคณิตที่มีผลต่างรว่ ม d มคี า่ เปน็ 15 และ 80 ตามลำ� ดบั แลว้ d2
มีคา่ เทา่ กบั เท่าไร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

12. หาคา่ ของ 1 + 3 + 5 + … +101
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

อนกุ รมเรขาคณิต

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต สามารถหาไดจ้ ากสมการ

หรือ เมือ่ r ≠ 1

หรือจะใช้สมการ หรอื เมือ่ r ≠ 1 ใช้ในกรณที ่ี r < 1

74 ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

13. อนกุ รมเรขาคณิต 3 + 6 + 12 + … จะตอ้ งบวกกนั กีพ่ จน์จงึ จะได้ผลบวกเป็น 765
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

14. อนกุ รมเรขาคณติ อนกุ รมหนง่ึ มพี จนแ์ รกเทา่ กบั 3 และพจนท์ ี่ n เทา่ กบั 96 และผลบวก n พจนแ์ รก เทา่ กบั 189 จงหา
ผลบวกของ 10 พจน์แรกของอนุกรมน้ี
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

15. ถ้าผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมหน่งึ คอื Sn= 3n2+2 แลว้ พจนท์ ี่ 10 ของอนกุ รมนมี้ คี ่าเทา่ กบั เทา่ ไร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
16. ปา้ แจ่มขายน้�ำเต้าหใู้ นวนั ท่ี 3 มกราคม ในวนั แรกขายไดก้ ำ� ไร 100 บาท และในวันต่อๆ ไป ขายได้ก�ำไรเพ่มิ ขึ้นจากวัน
ก่อนหน้า วนั ละ 10 บาท ทกุ วัน วนั ท่เี ทา่ ไรของเดอื นมกราคมท่ปี ้าแจม่ ขายไดก้ �ำไรเฉพาะวันนัน้ 340 บาท
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 75

เฉลยแบบฝึกหดั

1. ถา้ พจนแ์ รกมคี ่าเทา่ กับ 8 และพจนท์ ่ี 3 เทา่ กบั 16 จงหาพจน์ที่ 15 ของลำ� เลขคณิต

วธิ ที �ำ เนือ่ งจาก a1 = 8 , a3 = 16 หา d = ? หา a15 = ?
จาก an = a1 + (n-1)d
a3 = a1 + 2d
16 = 8 + 2d


2d = 8

จะได้ d = 4

จาก an = a1 + (n-1)d

a15 = 8 + 14(4)

a15 = 64

2. ผลตา่ งร่วมของล�ำดับเลขคณติ จะมคี า่ เท่าไร เม่ือ a25 – a15 = 20

วิธีท�ำ เนอื่ งจาก a25 – a15 = 20 หา d = ?

จะไดว้ ่า ( a1 + 24d ) – ( a1 + 14d ) = 20

24d – 14d = 20

d = 2

3. ถา้ k, 3k, 6k+2 เปน็ สามพจนท์ ่ีเรยี งกันในลำ� ดบั เลขคณิต มพี จนแ์ รกเป็น -7k จงหาพจนท์ ี่ 50 มคี ่าเท่าไร

วธิ ที �ำ จากโจทยจ์ ะได้วา่ 3k-k = (6k+2)-3k
2k = 3k+2
k = -2


d = 3k – k
= 2k
= -4
โจทย์บอกพจนแ์ รกเปน็ -7k a1 = 14
จากสมการ an = a1 + (n-1)d
a50 = a1 + 49d
= 14 + 49(-4) = -182

4. จงหาพจนท์ ี่ 8 ของล�ำดบั a1 = , r = =
an = a1 rn-1
วธิ ีทำ� เน่อื งจาก a8 =

จาก


76 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

=
a8 =

5. จงหาพจน์ทัว่ ไปของล�ำดับ -27, 9, - 3, 1, ...

วธิ ีท�ำ เนือ่ งจาก a1 = -27 , r = -
จาก an = a1 rn-1
an= ( -27)
an = ( 81 )




6. ถ้า a+3, a และ a-2 เป็นสามพจนแ์ รกของล�ำดับเรขาคณติ ใหห้ าอัตราสว่ นร่วมของล�ำดบั นี้

วธิ ที ำ� จากโจทยห์ าอตั ราส่วนร่วม

a2 = (a–2)(a+3)

a2 = a2 + a – 6

a – 6 = 0

a = 6

ลำ� ดับเรขาคณติ คอื 9, 6, 4

7. ลำ� ดับเลขคณิตชดุ หน่ึงมี 5 พจน์และผลบวกของทุกพจน์เทา่ กบั 30 จงหาพจน์ที่ 3

วธิ ีท�ำ เนอ่ื งจาก 5 พจน์น้ี คือ a – 2d, a – d, a, a + d, a + 2d

จากโจทยจ์ ะได้ว่า a – 2d + a – d + a + a + d + a + 2d = 30

5a = 30

a = 6

10

8ว.ิธหีทาำ� ค ่า k ซ ง่ึ จเปากน็ จ ำ�n1น=0ว1นจริงใดๆ ที่ท�ำให ้ n = 1









3,025k + 1155k + 55 = 4,235
4,180k = 4180
k = 1

ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 77

9. จงหาผลบวกของอนกุ รมเลขคณิต 1 + 5 + 9 + … + 117

วิธีท�ำ เน่อื งจาก 1 + 5 + 9 + … + 117 เป็นอนุกรมเลขคณติ

จะได้ a1 = 1 d = 5 – 1 = 4 และ an = 117
ใช้สมการ an = a1 + (n-1)d
117 = 1 + (n-1) 4
117 – 1 = 4n – 4
4n = 116 + 4
4n = 120
n = 30
จะไดว้ ่า

S30 = 15 (2 + 116)
S30 = 15 (118) = 1770

10. ผลบวกย่อย 18 พจน์แรก ของอนกุ รม 2 + 6 + 10 +…

วธิ ที �ำ หา a18 ก่อน จากสมการ an = a1 + (n-1)d

a18 = 2 + (17)4 = 70

จากสมการ )

S18 =
S18 = 648

11. ถ้าผลบวกและผลคณู ของ 3 พจนแ์ รกของล�ำดบั เลขคณติ ทีม่ ีผลต่างรว่ ม d มคี ่าเปน็ 15 และ 80 ตามลำ� ดบั แลว้ d2 มคี ่าเทา่ กบั
เท่าไร

วธิ ีทำ� เนือ่ งจาก ลำ� ดบั 3 พจน์แรก คอื a , a + d , a + 2d ………… (1)

และ a + a + d + a + 2d = 15

3a + 3d = 15

จะได ้ a + d = 5 แทนใน (1) ; ลำ� ดับคือ 5 – d , 5 , 5 + d

ผลคูณของ 3 พจน์แรก = (5 - d)(5)(5 + d) = 80

25 – d2 = 16

d2 = 9

12. หาคา่ ของ 1 + 3 + 5 +…+101

วธิ ีท�ำ จากสมการ an = a1 + (n-1) d

จะได้ 101 = 1 + (n-1) 2
101 = 1 + 2n -2

78 ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

2n = 102
n = 51
จากสมการ

=
Sn= 2601

13. อนกุ รมเรขาคณิต 3 + 6 + 12 + … จะต้องบวกกนั กพี่ จนจ์ งึ จะไดผ้ ลบวกเป็น 765

วธิ ีทำ� จากโจทย์ จะได้วา่ a1 = 3 , r = 2 , Sn = 765
ใชส้ มการ



3(2n) – 3 = 765

3(2n) = 768

2n = 256

n = 8
ดงั นั้นต้องบวก 8 พจน์ จงึ จะได้ผลบวกเปน็ 765

14. อนกุ รมเรขาคณติ อนกุ รมหน่งึ มีพจน์แรกเทา่ กับ 3 และพจนท์ ่ี n เท่ากบั 96 และผลบวก n พจนแ์ รก เทา่ กับ 189 จงหาผลบวก
ของ 10 พจน์แรกของอนุกรมนี้

วิธที ำ� ใชส้ มการ เพือ่ อตั ราสว่ นร่วมกอ่ น



189r – 189 = 96r – 3

93r = 186
r = 2

จากสมการ



S10 = 3 (1024 – 1)
S10 = 3 (1023) = 3069

15. ถา้ ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมหนง่ึ คือ Sn = 3n2+2 แลว้ พจนท์ ่ี 10 ของอนกุ รมนมี้ คี ่าเท่ากับเทา่ ไร

วธิ ีทำ� ต้องการหาพจนท์ ี่ 10 จากสมการ an = Sn – sn-1

a10 = S10 – S9
= ( 3(102) + 2 ) – ( 3(92) + 2 )
= 3(102) - 3(92)
= 3(102 - 92)
= 57

ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 79

16. ปา้ แจ่มขายน้�ำเต้าหู้ในวันท่ี 3 มกราคม ในวันแรกขายไดก้ �ำไร 100 บาท และในวันต่อๆ ไป ขายไดก้ ำ� ไรเพ่มิ ขึน้ จากวนั กอ่ นหน้า
วันละ 10 บาท ทกุ วนั วนั ท่เี ทา่ ไรของเดือนมกราคมที่ป้าแจม่ ขายไดก้ ำ� ไรเฉพาะวันน้นั 340 บาท

วธิ ีท�ำ จากโจทยเ์ รยี งเป็นลำ� ดับเลขคณิต 100 , 110 , 120 , 130 , …

หาพจนท์ ่วั ไปจากสมการ an = a1 + (n-1)d
= 100 + (n-1)10
an = 10n + 90
ตอ้ งการรวู้ ันที่ไดก้ ำ� ไร 340 บาท : 10n + 90 = 340
n + 9 = 34
n = 25
ปา้ แจ่มเร่มิ ขายวนั ที่ 3 มกราคม วนั ท่ีไดก้ ำ� ไร 340 วนั ที่ 27 มกราคม

นอ้ งๆ สามารถศึกษาเพม่ิ เตมิ ได้ท่ี
Tag : สอนศาสตร,์ คณิตศาสตร,์ ลำ�ดบั , อนกุ รม, สูตรเตรยี มสอบ

• สอนศาสตร์ คณิตศาสตร์ ม.6 : ลำ�ดบั และอนุกรม
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch7-1

• ลำ�ดบั และอนุกรม ตอนที่ 1
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch7-2

• ลำ�ดบั และอนกุ รม ตอนที่ 2
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch7-3

• ลำ�ดับและอนุกรม ตอนที่ 3
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch7-4

• สรุปสตู รคณติ ศาสตร์สำ�หรับเตรยี มสอบ -
เร่ือง ลำ�ดบั และอนกุ รม
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch7-5

80 ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

บทท่ี8

ความนา่ จะเปน็

สำ� หรบั ในเรอ่ื งความนา่ จะเปน็ เรอ่ื งนจี้ ดั เปน็ หนงึ่ ในเรอื่ งทใี่ ชท้ กั ษะในการคำ� นวณและจำ� สตู รนอ้ ยมากๆ เมอ่ื เทยี บกบั เรอ่ื งอนื่ ๆ
แตก่ ารทีน่ อ้ งๆ จะสามารถทำ� ข้อสอบในเร่อื งนีไ้ ด้ นอ้ งๆ จะต้องมีความเข้าใจในข้อแตกตา่ งระหว่างกฎการคูณและกฎการบวก ซง่ึ จะ
เปน็ ตวั กำ� หนดวา่ นอ้ งๆ จะตอ้ งแกโ้ จทยป์ ญั หาภายใตเ้ งอ่ื นไขทแ่ี ตกตา่ งกนั ตามลำ� ดบั ขนั้ ตอนใดกอ่ นหรอื หลงั และสง่ิ ทสี่ ำ� คญั ทส่ี ดุ คอื
การแยกแยะว่าสิ่งทีโ่ จทย์กำ� หนดให้ อยภู่ ายใต้เหตกุ ารณห์ ลักหรือเหตุการณย์ ่อย และน�ำมาประยุกตใ์ ช้กบั กฎการคูณและกฎการบวก
นัน่ เอง

1. กฎการนบั เบ้ืองต้น (Fundamental Counting Principle)
1.1) กฎการคูณ
ถ้ามีเหตุการณ์ยอ่ ยเกดิ ข้ึน k เหตกุ ารณ์ (n1, n2, …, nk) และแต่ละเหตกุ ารณ์เกดิ ขึน้ ภายใตเ้ งือ่ นไขหลักและเง่อื นไขยอ่ ย
เดยี วกนั

จำ� นวนเหตกุ ารณ์ทงั้ หมด = n1 × n2 × n3 × … × nk

1.2) กฎการบวก
ถ้ามีเหตกุ ารณ์ยอ่ ยเกิดข้ึน k เหตกุ ารณ์ (n1, n2, …, nk) และแต่ละเหตุการณ์เกดิ ขนึ้ ภายใตเ้ งอ่ื นไขหลักเดยี วกนั แตม่ ี
เงอ่ื นไขย่อยทต่ี า่ งกัน

จ�ำนวนเหตุการณ์ทงั้ หมด = n1 + n2 + n3 + … + nk

ตัวอย่าง 1 กำ� หนดให้ n ∈ Ι{1,2,3,4,5,6,7,8,9} จงสรา้ งจ�ำนวนสามหลกั จากสมาชิกของ n ตามเงื่อนไขดังต่อไปน้ี
1) จำ� นวนมีคา่ นอ้ ยกว่า 300

เงือ่ นไขหลักและเงือ่ นไขย่อย คือ “จำ� นวนมคี ่าน้อยกวา่ 300”
ตัวเลขหลักรอ้ ยทสี่ ามารถเป็นได ้ ไดแ้ ก่ 1 และ 2 = 2 เหตกุ ารณ์
ตัวเลขหลักสบิ ทส่ี ามารถเป็นได้ ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 = 9 เหตกุ ารณ์
ตัวเลขหลกั หนว่ ยที่สามารถเป็นได้ ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 = 9 เหตุการณ์
ดงั นน้ั จ�ำนวนทส่ี ามารถสรา้ งได้ = 2 × 9 × 9 = 162 จำ� นวน

2) จ�ำนวนขนึ้ ต้นด้วยเลข 5 หรอื เลข 6 และลงทา้ ยดว้ ยเลข 2

เงื่อนไขหลัก คือ “จ�ำนวนข้นึ ต้นด้วยเลข 5 หรือเลข 6 และลงทา้ ยดว้ ยเลข 2”
เง่ือนไขยอ่ ย คือ “จ�ำนวนข้ึนต้นดว้ ยเลข 5 และลงทา้ ยดว้ ยเลข 2”
หรือ “จ�ำนวนขน้ึ ตน้ ด้วยเลข 6 และลงท้ายดว้ ยเลข 2”
พิจารณาเง่อื นไขยอ่ ยท่ี 1 “จำ� นวนขน้ึ ตน้ ดว้ ยเลข 5 และลงท้ายดว้ ยเลข 2”
ตวั เลขหลกั ร้อยที่สามารถเปน็ ได้ ได้แก่ 5 = 1 เหตกุ ารณ์
ตวั เลขหลักสบิ ท่ีสามารถเป็นได้ ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 = 9 เหตุการณ์
ตวั เลขหลกั หนว่ ยที่สามารถเปน็ ได้ ได้แก่ 2 = 1 เหตุการณ์
ดงั น้ัน จ�ำนวนท่ีสามารถสรา้ งได้ = 1 × 9 × 1 = 9 จำ� นวน

ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 81

พิจารณาเงอ่ื นไขย่อยท่ี 2 “จำ� นวนขน้ึ ตน้ ดว้ ยเลข 6 และลงทา้ ยด้วยเลข 2”
ตัวเลขหลักรอ้ ยท่ีสามารถเปน็ ได้ ไดแ้ ก่ 6 = 1 เหตกุ ารณ์
ตวั เลขหลักสิบที่สามารถเป็นได้ ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 = 9 เหตุการณ์
ตัวเลขหลักหน่วยท่สี ามารถเปน็ ได้ ไดแ้ ก่ 2 = 1 เหตกุ ารณ์
ดังนนั้ จำ� นวนทีส่ ามารถสรา้ งได้ = 1 × 9 × 1 = 9 จ�ำนวน
จงึ สามารถสรุปไดว้ ่า จำ� นวนทสี่ ามารถสรา้ งไดภ้ ายใต้เงอ่ื นไขหลัก = 9 + 9 = 18 จำ� นวน

2. แฟคทอเรียล (Factorial)

นิยาม ให้ n เป็นสมาชกิ ของจ�ำนวนเตม็ บวก

แฟคทอเรยี ล n หมายถงึ ผลคณู ของจ�ำนวนเต็มบวก ตงั้ แต่ 1 ถงึ n
เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ n! อา่ นวา่ “แฟคทอเรยี ล n” หรอื “n แฟคทอเรียล”
n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1

ค่า n!

0! = 1
1! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5,040
8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40,320
9! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 362,880
*** n! + m! ≠ (n + m)! n! – m! ≠ (n - m)!
n! × m! ≠ (n × m)! n! ÷ m! ≠ (n ÷ m)! ***

เกร็ดความรู้

ทำ� ไม 0 แฟคทอเรียล = 1

เนอ่ื งจากนิยามของ n! คอื ผลคณู ของจ�ำนวนเตม็ บวก ตัง้ แต่ 1 ถึง n แต่บางครัง้ จ�ำเปน็ ต้องใช้ 0! จึงก�ำหนดค่า 0! = 1 เพือ่
ให้สอดคลอ้ งกบั นิยามที่บอกวา่ เปน็ ผลคูณจำ� นวนเต็มบวก (จ�ำนวนนับ)
n! = n (n-1)(n-2)....3.2.1
ดังนนั้ ถา้ 2! = 2.(2-1) = 2.1 = 2
แต่ 1! = 1.(1-1)! = 1.0! = ซ่งึ คำ� ตอบตอ้ งเป็น 1 เทา่ นัน้ จึงจะสอดคลอ้ งกบั สมการ
เนื่องจาก 1! = 1 ดังน้นั มันจงึ บังคับให้ 0! = 1 จา้

82 ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

3. การสับเปลย่ี น (Permutation)

3.1) การสับเปล่ยี นเชงิ เสน้ (Linear Permutation)

เมอื่ มีสิ่งของทมี่ ีลกั ษณะแตกต่างกัน n ชิ้น จำ� นวนวธิ ใี นการสับเปล่ียนเชิงเสน้ จะเท่ากับ n! วธิ ี

ตัวอยา่ ง 2 สวนสตั ว์แห่งหนงึ่ ประกอบดว้ ยลิง สิงโต มา้ และนกเพนกวนิ 2 ตวั (ดำ� และน�ำ้ เงนิ ) ยนื เรยี งแถวถ่ายรูปเปน็ เสน้ ตรง

จงหาจำ� นวนวธิ ใี นการยืนถ่ายรูป ภายใต้เงอื่ นไขดงั นี้
จำ� นวนสมาชกิ ในสวนสัตว์ (n = 5)
1) ไมม่ เี งอ่ื นไข

จำ� นวนวิธีในการยนื ถา่ ยรปู = 5!
=5×4×3×2×1
= 120 วธิ ี
2) นกเพนกวนิ 2 ตวั ยืนติดกัน

ในกรณนี ี้ ให้เราจบั เพนกวนิ ท้ัง 2 ตัวมดั รวมกนั แล้วมองก้อนทเ่ี รามดั เปน็ 1 ก้อน

เพนกวนิ น้�ำเงิน เพนกวนิ ดำ� ลิง สงิ โต มา้

1 2 34

จากนนั้ ใหเ้ ราทำ� การสบั เปลยี่ นเชงิ เสน้ ตามปกติ แตอ่ ยา่ ลมื ทำ� การสบั เปลยี่ นเชงิ เสน้ ระหวา่ งนกเพนกวนิ ทง้ั 2 ตวั ดว้ ย เนอ่ื งจาก
ไมว่ ่าเพนกวนิ นำ้� เงนิ จะอยทู่ างซ้ายหรอื ทางขวาของเพนกวินด�ำ ทั้งสองตวั ยงั คงยืนตดิ กนั อยู่
จ�ำนวนวิธใี นการยนื ถา่ ยรูป = 4! (เพนกวินนบั รวมกัน) × 2! (สบั เปลย่ี นระหว่างเพนกวนิ )
=4×3×2×1×2×1
= 48 วิธี
3) ลงิ สิงโต และม้ายืนตดิ กัน

เพนกวินน้�ำเงิน เพนกวนิ ดำ� ลงิ สงิ โต ม้า

เหมอื นดงั ขอ้ ท่ี 2 ในกรณนี ้ีให้เราจบั ลงิ สงิ โต และม้ามดั รวมกนั แลว้ มองเป็น 1 ก้อน
จำ� นวนวิธีในการยนื ถา่ ยรูป = 3! × 3! (สบั เปล่ยี นภายในระหว่างลงิ สิงโต และม้า)
=3×2×1×3×2×1
= 36 วธิ ี
4) เพนกวนิ 2 ตัว ยืนแยกกนั

ในกรณีนี้ ใหเ้ ราจบั เพนกวินตวั ใดตวั หนง่ึ แยกออกไปก่อน (ยกตัวอยา่ งให้เปน็ เพนกวินน�้ำเงนิ )

เพนกวนิ ดำ� ลงิ สงิ โต มา้

จากนน้ั ให้ทำ� การสบั เปลย่ี นเชิงเสน้ ระหวา่ งสตั วท์ ง้ั 4 ตวั
จำ� นวนวธิ ีในการยืนถา่ ยรปู = 4!
จากน้ัน ใหพ้ จิ ารณาตามเง่อื นไข (เพนกวนิ น้ำ� เงินไมส่ ามารถยืนตดิ เพนกวินดำ� ได)้

ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 83

ดังน้ัน ต�ำแหน่งท่เี พนกวนิ ด�ำสามารถเข้ามายืนถ่ายรปู ได้ จะเปน็ ดงั น้ี

เพนกวินด�ำ ลิง สงิ โต ม้า

XX

จะเหน็ ว่า เพนกวนิ นำ้� เงินไม่สามารถเข้ามายืนในตำ� แหน่งท่ี 1 และ 2 ได้
ดงั นั้น ตวั เลอื กของเพนกวินน้ำ� เงนิ = 3 ตัวเลอื ก
ดังนั้น จ�ำนวนวธิ ใี นการยืนถ่ายรปู = 4! × 3
=4×3×2×1×3
= 72 วิธี
5) สิงโตยืนตรงกลาง

เพนกวินนำ้� เงนิ เพนกวินด�ำ สงิ โต ลิง ม้า

จากรปู จะเหน็ วา่ เราไม่สามารถขยบั ตำ� แหน่งชองสงิ โตได้
การสับเปลยี่ นเชงิ เสน้ จึงเหลอื แค่สัตวเ์ พยี ง 4 ตัว
จำ� นวนวิธใี นการยืนถ่ายรูป = 4!
=4×3×2×1
= 24 วธิ ี
6) มา้ อยู่ระหว่างเพนกวนิ ทั้ง 2 ตวั
กรณีนี้ ใหม้ ดั มา้ และเพนกวนิ เป็นกอ้ นเดียวกัน

เพนกวินน�้ำเงนิ ม้า เพนกวินดำ� สงิ โต ลิง

เหลอื การสบั เปล่ยี นเชิงเส้นเพยี ง 3 กลุ่ม = 3!
จากน้นั สังเกตวา่ เพนกวินท้งั สองตัวสามารถสลับท่กี ันได้ (ยงั คงอยภู่ ายใต้เงอ่ื นไข “มา้ อยู่ระหวา่ งเพนกวินท้ัง 2 ตวั ”)
สบั เปลี่ยนเชงิ เส้นระหว่างเพนกวนิ 2 ตวั = 2!
ดงั นั้น จำ� นวนวธิ ีในการยืนถา่ ยรูป = 3! × 2!
=3×2×1×2×1
= 12 วธิ ี

· การสับเปลีย่ นเชิงเสน้ ของสงิ่ ของทมี่ ีบางสงิ่ ซ�้ำกนั
ในกรณที ีม่ ีสง่ิ ของท่มี ีลักษณะเหมือนกัน

84 ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

ถ้ามีสงิ่ ของทั้งหมด n ชิน้ และมบี างชน้ิ ซำ้� กัน สมมตใิ หม้ ีการซ้ำ� กัน k กลมุ่ ดังนี้
กลมุ่ ที ่ 1 มีส่งิ ของซำ�้ กนั n1 สิง่
กลุ่มที่ 2 มสี ิ่งของซำ้� กนั n2 สิง่
• •
• •
• •
กลมุ่ ท่ี k มีสง่ิ ของซ้�ำกนั nk สิ่ง

จำ� นวนวิธใี นการสับเปลี่ยน = วิธี

ตัวอยา่ ง 3 ก�ำหนดคำ� A D M I S S I O N จงหาจ�ำนวนวธิ ใี นการสบั เปล่ียนตวั อกั ษร (โดยไม่สนใจความหมายของค�ำ) ภายใต้เงือ่ นไข

ตา่ งๆ ดังน้ี
1) ไม่มีเงื่อนไข

กลุ่มตัวอักษรท่ีซ�้ำกันได้แก่ I (2 ตวั ) และ S (2 ตัว)
ดงั นนั้ จ�ำนวนวิธใี นการสับเปลี่ยน = 9 !
2! 2!

= 9x8x7x6x5x4x3x2x1
2x1x2x1

= 90,720 วิธี
2) ตัวอกั ษรที่ไมซ่ ้�ำกนั อยู่ติดกัน

A D M O N I I S S

อนั ดบั แรกจับอกั ษรท่ีไม่ซ้ำ� กนั มดั ตดิ กนั แล้วมองเปน็ 1 ก้อนหลังจากนั้นกเ็ รียงสับเปล่ียนได้เท่ากบั 5! = 120 วธิ ี

อนั ดบั สองอักษรทไี่ มซ่ ำ้� กนั สามารถสลบั ท่กี ันได้อีก 5! = 120 วธิ ี 4 xx 3 x 2 x 11 =
2 1 x 2 x
อนั ดบั สาม ใหน้ ำ� ตวั อกั ษรทซี่ ำ้� กนั มาเรยี งสบั เปลยี่ นแบบการเรยี งสบั เปลยี่ นสง่ิ ของทซี่ ำ�้ กนั ได ้ 4! = 6 วธิ ี
2! 2!
ดงั น้นั วธิ ีเรียงสับเปลี่ยนท้งั หมด = 120 + 120 + 6 = 246 วิธี

แบบฝึกหัด

1. ครอบครวั หน่ึงประกอบด้วยพอ่ แม่ ลูกชาย 2 คน และลูกสาว 3 คน นั่งเรยี งแถวถา่ ยรปู โดยให้พอ่ และแม่นง่ั ติดกนั ลกู ชายน่งั ตดิ
กนั ลกู สาวนง่ั ติดกนั แต่ลูกสาวคนแรกไม่น่งั ตดิ กบั ลกู สาวคนทส่ี อง และให้พ่อแมน่ ่งั อย่รู ะหว่างกลมุ่ ของลกู ชายและลูกสาว จะมี
วิธีการน่ังท้ังหมดกี่วธิ ี

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 85

2. มที ั้งหมดกว่ี ิธีในการจดั เรยี งตัวอักษรค�ำวา่ CASABLANCA โดยให้ตวั B อยูร่ ะหวา่ งตัว C
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.2) การสับเปลีย่ นแบบวงกลม (Circular Permutation)
เมอ่ื สง่ิ ของมลี ักษณะแตกตา่ งกัน n ชน้ิ จ�ำนวนวิธีในการสบั เปล่ยี นแบบวงกลม จะมีคา่ เทา่ กับ (n-1)! วิธี

ตวั อยา่ ง 4 ลกู บอล 6 ลกู ประกอบไปดว้ ยสแี ดง สดี �ำ สีขาว สีน้ำ� เงนิ สีเขียว และสีเหลือง จงหาจ�ำนวนวิธที งั้ หมด เมือ่ น�ำลกู บอล

มาวางเรยี งเป็นวงกลม ตามเงื่อนไขตา่ งๆ ดังน้ี
จำ� นวนลูกบอลที่แตกตา่ งกนั (n) = 6
1) ไม่มีเงื่อนไข

จ�ำนวนวธิ ีในการสับเปล่ียน = (6-1)!
= 120 วิธี
2) สแี ดงและสีเหลอื งวางติดกนั

ขนั้ แรก ให้มดั ลกู บอลสีแดงและสเี หลืองไวด้ ้วยกัน (เหมือนกบั กรณีสบั เปลี่ยนเชิงเสน้ )

แดง ขาว
เหลอื ง นำ�้ เงนิ
ดำ� เขียว

จากน้นั ให้ท�ำการสับเปลย่ี นแบบวงกลมเชน่ เดมิ
***(แต่อยา่ ลืมการสับเปล่ียนเชงิ เส้นระหวา่ งลกู บอลสีแดงและสีเหลอื ง)***
จ�ำนวนวธิ ีในการสบั เปล่ียน = (5-1)! × 2!
= 4! × 2!
= 48 วธิ ี
3) สีแดงตดิ สีเหลือง สีน�้ำเงินตดิ สขี าว และสีดำ� ติดสเี ขียว

แดง ขาว
เหลือง น�้ำเงิน
ด�ำ เขยี ว

จ�ำนวนวิธใี นการสบั เปลี่ยน = (3-1)! × 2! × 2! × 2! (สบั เปลี่ยนเชงิ เส้นของบอล 3 กลมุ่ )
= 2! × 2! × 2! × 2!
= 16 วิธี

86 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

4) สีขาวไมต่ ิดกบั สดี ำ�
เช่นเดียวกับกรณีสับเปล่ยี นเชงิ เส้น ให้เราแยกลูกบอลสขี าวออกมาก่อน

แดง
นำ้� เงิน เหลอื ง
ด�ำ เขยี ว

การสับเปลีย่ นแบบวงกลมสามารถทำ� ได้ (5-1)! = 4! วิธี

แดง
น�้ำเงนิ เหลอื ง
ด�ำ เขียว

จะเห็นว่า ต�ำแหนง่ ทไ่ี ม่สามารถวางลกู บอลสขี าว = 2 ตำ� แหนง่ (สามารถวางได้เพยี ง 3 ตำ� แหนง่ )
ดังนน้ั จ�ำนวนวิธีในการสบั เปลี่ยน = 4! × 3
= 72 วธิ ี
เราสามารถหาจ�ำนวนวิธใี นการสับเปลยี่ นไดอ้ กี วธิ หี นึง่ ดงั นี้
เหตุการณท์ ลี่ กู บอลสขี าวไม่ติดกับสีด�ำ = จ�ำนวนวธิ ีทั้งหมด – เหตกุ ารณ์ท่ีลูกบอลสีขาวตดิ กบั สดี ำ�

กรณที ี่ 1 จำ� นวนวิธใี นการสบั เปลีย่ น ท้ังหมด

แดง ขาว
นำ้� เงิน
เหลือง เขยี ว

ด�ำ = (6-1)!
= 5!
= 120 วธิ ี

จำ� นวนวธิ ีในการสบั เปลีย่ น ทงั้ หมด





กรณีที่ 2 จำ� นวนวิธใี นการสับเปล่ยี น ท่ีลกู บอลสขี าวอยู่ตดิ กบั ลูกบอลสดี ำ�

แดง เขียว

เหลือง นำ�้ เงิน

ดำ� ขาว

จำ� นวนวธิ ใี นการสบั เปลีย่ น = (5-1)! × 2!
= 4! × 2!
= 48 วิธี

ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 87

ดงั นั้น จำ� นวนวธิ ใี นการสบั เปลยี่ นโดยลูกบอลสขี าว ไมต่ ิดกบั ลูกบอลสดี ำ�
= 120 – 48
= 72 วิธี

แบบฝกึ หัด

3. ถ้าจัดลกู แกว้ ทั้งหมด 6 ลกู ซงึ่ มสี ีแดงและสขี าวรวมอยู่ ให้เรยี งแถวเป็น 2 แบบ แบบท่ีหนึ่งให้เรยี งลูกแกว้ ทัง้ หมดเป็นเสน้ ตรง
โดยให้ลกู แก้วสีแดงและสีขาวอยู่ตดิ กัน แบบที่สองใหเ้ รยี งลกู แกว้ เปน็ วงกลม โดยท่ีลูกแกว้ สีแดงและสขี าวอย่ตู รงขา้ มกัน
จำ� นวนวิธขี องการจัดเรยี งแต่ละแบบแตกตา่ งกันก่วี ิธี

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. การจัดหมแู่ ละการเปลย่ี นลำ� ดับ (Combination and Permutation)
4.1) การจดั หมู่ (Combination)
⎛⎝⎜rn ⎞
nCr = (n n! = ⎠⎟
− r)!r!

โดยที่ nCr หมายถงึ จ�ำนวนวิธใี นการจัดกลมุ่ ของส่ิงของจำ� นวน r ชน้ิ จาก n ช้นิ โดยไม่สนใจล�ำดบั

4.2) การเปลีย่ นลำ� ดบั (Permutation)

nPr = nCr x r! = n!

(n − r)!

โดยท่ี nPr หมายถงึ จำ� นวนวิธีในการจดั กลุ่มของส่ิงของจำ� นวน r ชน้ิ จาก n ช้นิ โดยสนใจล�ำดับ

***TIPS การคิด nCr อย่างง่าย***

⎜⎝⎛ rn ⎟⎠⎞ = n! = n(n −1)(n − 2)...(n − r)!
− r)!r! (n − r)!r!
(n

ตวั อย่างเชน่
r=3 ตัว

⎝⎛⎜83⎠⎞⎟ = 8x7x6 = 8x7x6 = 56
3! 3x 2 x1

r=3 เทา่ กัน

r=5 ตัว
และ ⎛⎜⎝85⎞⎠⎟
= 8x7x6x5x4 = 8x7x6x5x4 = 56
5! 5 x 4 x3x 2 x1

r=5
ดงั นนั้ ถ้า r1+r2=n แลว้ nCr1= nCr2

88 ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

สมบตั ขิ องการจัดหมู่

⎝⎜⎛⎛⎛⎜⎝⎛⎝⎝⎜⎜14231nnnn0nn....⎟⎠⎞⎟⎟⎞⎞⎠⎠ − ===1⎟⎠⎞11n⎜⎛⎝⎜⎝⎛⎝⎝⎜⎛⎛⎜1=nn0nnnn⎠⎞⎟⎞⎞⎟⎠⎟⎠−n ===1⎞⎠⎟11n = n

ตวั อยา่ ง 5 ในกลุม่ ตัวอย่าง ประกอบด้วยผใู้ หญ่ 3 คน เด็กผ้ชู าย 2 คน และเดก็ ผูห้ ญงิ 2 คน

1) เลอื กตัวแทน 4 คน

7C4 = 7x6x5x4
= 4x3x2x1

35 วิธี

2) เลือกตวั แทน 4 คน โดยตอ้ งเป็นเดก็ ผู้ชายอย่างน้อย 1 คน จำ� นวนวธิ ีในการเลือกตัวแทน 4 คน โดยมเี ด็กผูช้ ายอยา่ งนอ้ ย
1 คน = จ�ำนวนวิธที งั้ หมด – จ�ำนวนวิธี โดยไม่มเี ด็กผู้ชายเลย

จาก 1) จ�ำนวนวิธีในการเลือกตวั แทน 4 คนแบบไมม่ เี งือ่ นไข = 35 วธิ ี

ต้องการหาจำ� นวนวธิ ีในการเลอื กตวั แทน 4 คนโดยไมม่ เี ดก็ ผูช้ ายอยเู่ ลย

เท่ากบั วา่ คนทส่ี ามารถเป็นตัวแทนได้ มีเพยี งผใู้ หญ่ และเดก็ ผู้หญิงเทา่ น้นั

จ�ำนวนผ้ใู หญ่รวมกบั เดก็ ผู้หญิง = 5 คน

ดังนั้น 35 – 5C4 = 35 - 5x4x3x2x1
4x3x2x1

= 35 - 5 = 30 วธิ ี

3) เลือกตัวแทน 4 คน โดยตอ้ งมีผู้ใหญ่ เด็กผู้ชาย และเดก็ ผู้หญงิ อย่างน้อย 1 คน

จ�ำนวนวธิ ี = 3C1 x 2C1 x 2C1 x 4C1 จากจำ� นวน 3 คน
โดย 3C1 มาจากการเลอื กผใู้ หญ่ 1 คน จากจำ� นวน 2 คน
2C1 มาจากการเลอื กเดก็ ผชู้ าย 1 คน จากจำ� นวน 2 คน
2C1 มาจากการเลอื กเดก็ ผหู้ ญงิ 1 คน จากจำ� นวน 4 คน (คนทเี่ หลอื อย)ู่
4C1 มาจากการเลอื กตวั แทน 1 คน
ดงั นน้ั จำ� นวนวธิ ี = 3 × 2 × 2 × 4

= 48 วธิ ี

4) เลือกตัวแทน 3 คน โดยถา้ มีเด็กผู้ชาย ตอ้ งไมม่ เี ดก็ ผู้หญิงอย่ดู ้วยกนั

กรณีท่ี 1 มีเดก็ ผู้ชาย 1 คน
จำ� นวนวิธี = 3C2 x 2C1 = 6 วิธี

ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 89

กรณีท่ี 2 มีเด็กผชู้ าย 2 คน
จ�ำนวนวธิ ี = 3C1 x 2C2 = 3 วิธี
กรณที ่ี 3 มเี ดก็ ผ้หู ญงิ 1 คน
จ�ำนวนวธิ ี = 3C2 x 2C1 = 6 วิธี
กรณีที่ 4 มเี ดก็ ผหู้ ญิง 2 คน
จ�ำนวนวิธี = 3C1 x 2C2 = 3 วธิ ี
กรณีที่ 5 เป็นผ้ใู หญห่ มดทั้ง 3 คน
จำ� นวนวธิ ี = 3C3 = 1 วธิ ี
ดังน้ัน จำ� นวนวธิ ีท้งั หมด = 6+3+6+3+1 = 19 วิธี

แบบฝกึ หัด

4. ในการทศั นศกึ ษาของนักเรียนกลุ่มหนึ่งซึ่งมจี ำ� นวน 14 คน ซงึ่ รวม A และ B อยดู่ ว้ ย ในการพักแรม มหี อ้ งพกั อยู่ 2 หอ้ ง โดยหอ้ ง
101 จุคนได้ 8 คน และหอ้ ง 102 จคุ นได้ 6 คน จำ� นวนวธิ ีทจ่ี ัดให้ A และ B อยู่หอ้ งเดยี วกัน ต่างจากจำ� นวนวธิ ที ่จี ัดให้ A และ B อยู่
คนละหอ้ งกันกว่ี ิธี

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. ตอ้ งการแตง่ ต้งั คณะผบู้ ริหารบรษิ ัท ประกอบไปด้วยประธานบริษัท รองประธาน เลขานุการ เหรญั ญกิ อย่างละ 1 คน จากกลุม่ ผู้

ถือหนุ้ ทีม่ ีผ้ชู าย 6 คน และผ้หู ญิง 4 คน จงหา
1) จำ� นวนรปู แบบของการแต่งตั้งแบบไม่มีเง่ือนไข และ
2) จำ� นวนรูปแบบของการแต่งตง้ั โดยที่ประธานเปน็ ผ้ชู าย และเลขานกุ ารเป็นผู้หญงิ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

90 ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

5. ความน่าจะเปน็ (Probability)

5.1) การทดลองส่มุ (Random Experiment)

หมายถึง การกระท�ำที่เราไม่รู้ถึงผลลัพธ์แน่นอนที่จะเกิดขึ้นในอนาคต แต่เราสามารถบอกได้ถึงผลลัพธท์ ่ีมีโอกาสจะ
เกดิ ขน้ึ เชน่ การโยนเหรียญ ทีเ่ ราสามารถบอกได้วา่ ผลลพั ธ์สามารถเปน็ “หัว” หรอื “ก้อย” กไ็ ด้ แตเ่ ราไม่สามารถระบไุ ด้
อย่างแน่นอนว่าผลลพั ธ์ทีอ่ อกมาจะเปน็ “หวั ” หรอื “กอ้ ย”

อกี ตวั อยา่ งหนง่ึ คอื การทอยลกู เตา๋ เราสามารถบอกไดว้ า่ ผลลพั ธส์ ามารถเปน็ ตวั เลข 1-6 แตเ่ ราไมส่ ามารถระบไุ ดอ้ ยา่ ง
แนน่ อน ว่าตวั เลขทห่ี งายจะเป็นตัวเลขอะไร

5.2) แซมเป้ิลสเปซ (Sample Space)

หมายถงึ เซตของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่สี ามารถเกิดข้ึนได้ โดยทว่ั ไปใช้ S เปน็ ตัวอักษร

ตัวอย่าง 6 โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ สองครง้ั โดยสนใจหนา้ ของเหรียญทจี่ ะออก จงหาแซมเป้ิลสเปซของการโยนเหรียญ

สองครง้ั

ก�ำหนดให้ H เป็นผลลพั ธท์ ่เี หรียญออก “หวั ”
T เปน็ ผลลัพธท์ ่เี หรียญออก “ก้อย”

โยนเหรียญครั้งท่ี 1 โยนเหรียญคร้งั ที่ 2
H
H
T
H
T
T

ดังนัน้ แซมเป้ิลสเปซ หรอื S = {(HH), (HT), (TH), (TT)}

ตัวอย่าง 7 ทอยลูกเต๋าสแี ดงและลกู เตา๋ สนี �้ำเงินพร้อมกัน 1 ครัง้ จงหาแซมเปิ้ลสเปซของการทอยลกู เต๋าท้งั สองลูก

S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5),
(3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
หรอื กล่าวคอื จ�ำนวนแซมเป้ิลสเปซ หรอื n(S) = 36

5.3) เหตุการณ์ (Event)

หมายถึง ผลลัพธท์ ี่เราสนใจจาการทดลองสุ่ม โดยทวั่ ไปใช้ E เป็นอักษรยอ่
โดยท่ี E จะเปน็ สับเซตของ S เสมอ

ตัวอย่าง 8 ทอยลูกเต๋าสแี ดงและลกู เตา๋ สีน�้ำเงินพรอ้ มกัน 1 ครงั้ จงหาเหตุการณ์ทผ่ี ลรวมของแตม้ บนลกู เต๋าเทา่ กบั 6

E = { (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) }
หรือกลา่ วคอื จ�ำนวนเหตุการณ์ หรือ n(E) = 5

ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 91

5.4) ความน่าจะเป็น (Probability)

ให้ P(E) แทนความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์

P(E) = n(E)
n(S )

5.5) สมบัตขิ องความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์

1. 0 P(E) 1 โดย P(E) = 0 หมายถงึ ไมม่ ีเหตุการณน์ น้ั เกิดขนึ้
2. P(S) = 1 หมายถงึ ความนา่ จะเป็นของแซมเปล้ิ สเปซเทา่ กับ 1 เสมอ
3. ถ้า P(E’) แทนความน่าจะเปน็ ทเ่ี หตกุ ารณ์ E จะไมเ่ กิดขึน้ แล้ว
P(E) = 1 – P(E’)

ตัวอยา่ ง 9 ในการจบั สลากชงิ โชค มสี ลากท้งั หมด 10 ใบ ซึง่ แต่ละใบมมี ลู คา่ ต่างกนั ดงั น้ี

สลากหมายเลข 1 มีมลู คา่ 500 บาท
สลากหมายเลข 2 มมี ลู ค่า 300 บาท
สลากหมายเลข 3 มมี ูลค่า 200 บาท
สลากหมายเลข 4 - 10 มมี ลู ค่า 0 บาท
จงหาความนา่ จะเปน็ ในการหยิบสลาก 2 ใบพรอ้ มกัน แลว้ มีมูลคา่ รวม 500 บาท

กำ� หนดให้ S เปน็ แซมเปล้ิ สเปซ และ E เปน็ เหตุการณท์ ่สี ลากสองใบมีมูลค่ารวม 500 บาท

n(S) = จ�ำนวนแซมเปลิ้ สเปซ (จำ� นวนเหตกุ ารณท์ ่ีเป็นไปไดท้ ้งั หมด)

= จ�ำนวนวิธใี นการหยิบสลาก 2 ใบ จาก 10 ใบ
10 x 9
= 10C2 = 2 x1
= 45 วิธี

n(E) = จ�ำนวนเหตุการณท์ ่ีสนใจ (สลากสองใบมมี ลู คา่ รวม 500 บาท)

= สลากหมายเลข 1 + หมายเลข 4-10 หรือ สลากหมายเลข 2 + หมายเลข 3

= (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8) (1,9) (1,10) (2,3)

= 8 เหตกุ ารณ์ / 8 วิธี

จาก P(E) = n(E)
n(S)

ดงั น้ัน P(E) = 8
45

= 0.1777...

= 17.7777…%

****เราสามารถเขียน P(E) ใหอ้ ยู่ในรปู ของร้อยละได้ โดย

P(E) ×100 = P(E)%***

92 ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

แบบฝกึ หัด
6. จากการส�ำรวจบทความท่ีเป็นท่ีนิยมจากสมาชกิ นิตยสารเลม่ หน่ึง ซง่ึ แตล่ ะคนจะตอ้ งมีบทความทชี่ อบอยา่ งนอ้ ยคนละ 1

บทความ ซง่ึ ผลการสำ� รวจเปน็ ดงั นี้
บทความเกีย่ วกบั สขุ ภาพ 24 คน
บทความเก่ยี วกับรถยนต์ 21 คน
บทความเกย่ี วกบั กฬี า 23 คน
ชอบทง้ั บทความเกีย่ วกบั สุขภาพและรถยนต์ 10 คน
ชอบทงั้ บทความเก่ยี วกับสขุ ภาพและกฬี า 9 คน
ชอบท้งั บทความเก่ียวกบั กฬี าและรถยนต์ 8 คน
ชอบท้ัง 3 บทความ 3 คน
สมุ่ เลอื กสมาชกิ 1 คน จากสมาชกิ ทงั้ หมด จงหาความนา่ จะเปน็ ทจี่ ะไดส้ มาชกิ ทชี่ อบบทความเกยี่ วกบั กฬี าหรอื บทความเกย่ี ว
กับรถยนต์

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เฉลยแบบฝกึ หัด

1. ครอบครัวหน่งึ ประกอบด้วยพ่อ แม่ ลูกชาย 2 คน และลูกสาว 3 คน นงั่ เรยี งแถวถ่ายรปู โดยให้พ่อและแม่น่ังตดิ กัน ลูกชายนงั่ ตดิ
กัน ลกู สาวนง่ั ตดิ กนั แตล่ กู สาวคนแรกไมน่ ัง่ ติดกับลูกสาวคนทีส่ อง และให้พอ่ แมน่ ั่งอย่รู ะหวา่ งกลุ่มของลูกชายและลกู สาว จะมี
วิธกี ารนัง่ ทงั้ หมดกี่วิธี

วธิ ที �ำ

พ่อ แม่ ลูกชาย1 ลูกชาย2 ลกู สาว1 ลูกสาว3 ลกู สาว2
สับเปลี่ยนระหวา่ งคน 3 กลมุ่ = 3!
สบั เปลี่ยนระหวา่ งพอ่ และแม ่ = 2!
สบั เปลีย่ นระหวา่ งลูกชาย 2 คน = 2!
สับเปล่ียนระหว่างลูกสาวคนท่ี 1 และ 2 = 2!
ดงั นน้ั จ�ำนวนวธิ ีในการน่งั = 3! × 2! × 2! × 2!
=3×2×1×2×1×2×1×2×1
= 48 วิธี

ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 93

2. มที ้งั หมดก่ีวิธใี นการจัดเรยี งตวั อักษรคำ� ว่า CASABLANCA โดยให้ตวั B อยรู่ ะหวา่ งตัว C

วิธที �ำ C B C A A A A S L N

สบั เปล่ียนตัวอักษร 8 กลมุ่ (7 ตวั + 1 กลุม่ ) = 8!
สับเปลี่ยนระหวา่ งตวั C ทัง้ สองตัว = 2!
ตัวอักษร A ซ�้ำ 4 ตวั = 4!
ตวั อกั ษร C ซำ้� 2 ตัว = 2!
ดังนั้น จ�ำนวนวธิ ีในการจัดเรียงตวั อักษร = 8!x2! = 8 × 7 × 6 × 5 = 1,680 วิธี

4!x2!

3. ถา้ จัดลูกแกว้ ท้ังหมด 6 ลูก ซ่งึ มีสแี ดงและสีขาวรวมอยู่ ใหเ้ รียงแถวเป็น 2 แบบ แบบที่หนึง่ ให้เรียงลูกแกว้ ทั้งหมดเป็นเส้นตรง
โดยใหล้ ูกแก้วสีแดงและสขี าวอยู่ติดกนั แบบท่สี องให้เรยี งลูกแกว้ เป็นวงกลม โดยท่ลี ูกแกว้ สีแดงและสขี าวไม่อย่ตู ิดกัน จำ� นวนวธิ ี
ของการจดั เรียงแต่ละแบบแตกตา่ งกันกีว่ ธิ ี

วธิ ที ำ� 1 2 3 4 แดง ขาว

สบั เปลี่ยนเชิงเส้น 5 กลุ่ม = 5!
สับเปล่ียนลกู แก้วสแี ดงและสีขาว = 2!
ดงั นน้ั จำ� นวนวิธใี นการสับเปลี่ยนเป็นเส้นตรง = 5! × 2!
=5×4×3×2×1×2×1
= 240 วธิ ี

แดง

1 2

3 4



สบั เปลย่ี นเชงิ วงกลม 5 กล่มุ = (5-1)! = 4!

ตำ� แหน่งทลี่ ูกแก้วสีขาวสามารถเขา้ ไปได ้ = 3

ดังน้นั จำ� นวนวธิ ใี นการสับเปลยี่ นเชิงวงกลม = 4! × 3

=4×3×2×1×3

= 72 วิธี

ดังนั้น จ�ำนวนวธิ ีในการสับเปล่ยี นลกู แก้วของท้ัง 2 แบบแตกต่างกัน 240 – 72 = 168 วธิ ี

4. ในการทัศนศึกษาของนักเรยี นกลมุ่ หนง่ึ ซง่ึ มีจำ� นวน 14 คน ซ่งึ รวม A และ B อยู่ด้วย ในการพกั แรม มหี ้องพักอยู่ 2 ห้อง โดยห้อง
101 จคุ นได้ 8 คน และห้อง 102 จคุ นได้ 6 คน จำ� นวนวิธีท่จี ัดให้ A และ B อยหู่ ้องเดยี วกัน ตา่ งจากจ�ำนวนวธิ ีท่จี ดั ให้ A และ B
อยู่คนละห้องกันกีว่ ธิ ี

วธิ ที �ำ หอ้ ง 101 หอ้ ง 102

จดั ให้ A และ B อยูห่ อ้ งเดียวกนั
กรณที ่ี 1 (A และ B อยูห่ อ้ ง 101) ซง่ึ จุได้ 8 คน เมอื่ A และ B ไปอยู่จงึ เหลอื อกี 6 คน
เลือกคน 6 คน จาก 12 คน = 12C6 = 924

94 ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

กรณที ่ี 2 (A และ B อยหู่ อ้ ง 102) ซึ่งจไุ ด้ 6 คน เมอ่ื A และ B ไปอย่จู งึ เหลืออกี 4 คน
เลอื กคน 4 คน จาก 12 คน = 12C4 = 495
ดังนน้ั จ�ำนวนวิธใี นการจดั ให้ A และ B อยู่ห้องเดียวกนั = 924+495 = 1,419 วธิ ี
จัดให้ A และ B อยคู่ นละห้องกนั
กรณีที่ 1 (A อยู่หอ้ ง 101 และ B อยูห่ ้อง 102) เหลือคนอย่อู ีก 12 คนท่ียังไม่มหี ้อง
หอ้ ง 101 จคุ นได้ 8 คน เม่ือ A เข้าไปอยู่จงึ เหลือที่วา่ ง 7 ท่ี
เลอื กคน 7 คน จาก 12 คนทีเ่ หลืออยใู่ หเ้ ข้าพกั ในห้อง 101 = 12C7 = 792
เหลือคนอยอู่ กี 5 คน ให้เข้าพกั ในห้อง 102 กับ B
กรณที ี่ 2 (A อยหู่ อ้ ง 102 และ B อยู่หอ้ ง 102) เหลือคนอย่อู กี 12 คนท่ียังไม่มีห้อง
ห้อง 102 จุคนได้ 6 คน เมอ่ื A เขา้ ไปอยู่จึงเหลอื ทวี่ ่าง 5 ที่
เลือกคน 5 คน จาก 12 คนท่ีเหลืออยใู่ หเ้ ขา้ พักในหอ้ ง 102 = 12C5 = 792
เหลอื คนอยู่อกี 7 คน ให้เข้าพักในหอ้ ง 101 กบั B
ดังน้ัน จำ� นวนวธิ ใี นการจัดให้ A และ B อยูค่ นละห้องกนั = 792 + 792 = 1,584 วธิ ี
ดงั นนั้ จ�ำนวนวิธที จี่ ัดให้ A และ B อยหู่ ้องเดียวกัน ต่างจากจำ� นวนวิธที จ่ี ดั ให้ A และ B อยคู่ นละห้อง
=1,584 – 1,419 = 165 วิธี

5. ต้องการแต่งตง้ั คณะผู้บรหิ ารบริษัท ประกอบไปดว้ ยประธานบรษิ ัท รองประธาน เลขานกุ าร เหรัญญิก อย่างละ 1 คน จากกลุ่มผู้

ถอื หุน้ ท่มี ีผชู้ าย 6 คน และผหู้ ญงิ 4 คน จงหา

1) จ�ำนวนรูปแบบของการแตง่ ตง้ั แบบไม่มเี งื่อนไข และ

2) จำ� นวนรูปแบบของการแต่งต้ัง โดยทีป่ ระธานเป็นผูช้ าย และเลขานกุ ารเป็นผหู้ ญิง
วธิ ีท�ำ
1) แต่งต้งั แบบไม่มเี งอ่ื นไข

จากคน 10 คน เลอื กคณะผบู้ รหิ ารบรษิ ทั 4 คน โดยที่ต�ำแหนง่ มีความส�ำคญั
10 x 9 x8 x 7
จ�ำนวนวิธี = 10P4 = x4!
= 54,0x430x2วxิธ1ี

ดงั นั้น จ�ำนวนรปู แบบของการแตง่ ตง้ั คณะผบู้ ริหารบรษิ ทั แบบไม่มีเงื่อนไข = 5,040 วธิ ี

2) ประธานเป็นผูช้ าย และเลขานุการเปน็ ผหู้ ญิง

จำ� นวนวธิ ี = 6C1 × 4C1 × 8C1 × 7C1
โดย 6C1 มาจาก การเลือกผชู้ าย 1 คน จาก 6 คนเปน็ ประธาน
4C1 มาจาก การเลือกผหู้ ญงิ 1 คน จาก 4 คนเปน็ เลขานกุ าร
8C1 มาจาก การเลอื กคน 1 คน จากท่ีเหลือ 8 คนเป็นรองประธาน (ไมส่ นเพศ)
7C1 มาจาก การเลือกคน 1 คน จากทเ่ี หลือ 7 คนเปน็ เหรญั ญกิ (ไมส่ นเพศ)
ดังนั้น จ�ำนวนวธิ ี = 6 × 4 × 8 × 7

= 1,344 วธิ ี

ดังนน้ั จ�ำนวนรปู แบบของการแต่งตั้งคณะผ้บู รหิ ารบริษทั โดยทปี่ ระธานเปน็ ผูช้ าย และเลขานกุ ารเป็นผูห้ ญงิ = 1,344 วธิ ี

ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 95

6. จากการสำ� รวจบทความที่เปน็ ทน่ี ยิ มจากสมาชกิ นติ ยสารเลม่ หนง่ึ ซ่ึงแตล่ ะคนจะต้องมบี ทความที่ชอบอย่างนอ้ ยคนละ 1 บทความ
ซึ่งผลการสำ� รวจเปน็ ดังนี้

บทความเก่ยี วกบั สขุ ภาพ 24 คน
บทความเกยี่ วกับรถยนต์ 21 คน
บทความเกยี่ วกับกีฬา 23 คน
ชอบทั้งบทความเก่ียวกับสุขภาพและรถยนต์ 10 คน
ชอบทง้ั บทความเกีย่ วกับสขุ ภาพและกีฬา 9 คน
ชอบทง้ั บทความเกี่ยวกบั กฬี าและรถยนต์ 8 คน
ชอบทงั้ 3 บทความ 3 คน

สุ่มเลือกสมาชิก 1 คน จากสมาชิกทั้งหมด จงหาความน่าจะเป็นท่ีจะได้สมาชิกท่ีชอบบทความเกี่ยวกับกีฬาหรือ
บทความเกย่ี วกบั รถยนต์

วิธที �ำ ขอ้ น้ี ให้เราใชค้ วามรเู้ รือ่ งเซต และแผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์ในการแกป้ ญั หา

จาก n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C)
ก�ำหนดให้ n(A) เปน็ จำ� นวนสมาชิกที่ชอบบทความเกีย่ วกับสุขภาพ
n(B) เป็นจำ� นวนสมาชิกที่ชอบบทความเก่ยี วกับรถยนต์
n(C) เปน็ จ�ำนวนสมาชกิ ทีช่ อบบทความเกี่ยวกับกีฬา
จะได้ n(A)=24, n(B)=21, n(C)=23, n(A∩B)=10, n(A∩C)=9, n(B∩C)=8 และ n(A∩B∩C)=3

AB
8 76

635

9

C

จากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ n(A∪B∪C) = 44 และ n(B∪C) = 36

ดงั นนั้ เมอ่ื สมุ่ เลือกสมาชิก 1 คน จากสมาชกิ ท้งั หมด ความนา่ จะเป็นที่จะไดส้ มาชิกท่ีชอบบทความเกย่ี วกบั กฬี า

หรือบทความเกี่ยวกบั รถยนต์เทา่ กบั 36 หรอื เทา่ กับ 0.82
44

96 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

นอ้ งๆ สามารถศึกษาเพ่ิมเติมไดท้ ี่
Tag : คณิตศาสตร์, ความน่าจะเปน็ , สตู รเตรียมสอบ

• แบบฝกึ หัด 3.1 ข้อ 1 ความนา่ จะเปน็
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/

onet-math/ch8-1
• แบบฝกึ หัด 3.1 ข้อ 2 ความน่าจะเป็น
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/

onet-math/ch8-2
• แบบฝกึ หัด 3.1 ข้อ 3 ความนา่ จะเปน็
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/

onet-math/ch8-3
• แบบฝึกหดั 3.1 ขอ้ 4 ความน่าจะเป็น
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/

onet-math/ch8-4
• แบบฝกึ หัด 3.1 ข้อ 5 ความน่าจะเปน็
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/

onet-math/ch8-5
• สรุปสูตรคณิตศาสตร์สำ�หรบั เตรยี มสอบ -

เรอื่ ง ความน่าจะเป็น
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/

onet-math/ch8-6

ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 97

บทท่9ี

สถติ ิ

ส�ำหรบั ในหวั ขอ้ สถิติ เปน็ หัวขอ้ ทต่ี อ้ งใช้ทกั ษะในการค�ำนวณและจ�ำสตู รค่อนข้างมาก แตใ่ นส่วนของข้อสอบนั้น คอ่ นข้างจะ
ออกแบบตรงตวั ไมม่ กี ารพลกิ แพลงอะไรมากนกั ในการทน่ี อ้ งๆ จะทำ� ขอ้ สอบเรอ่ื งสถติ ไิ ด้ ใหน้ อ้ งๆ หมนั่ ทำ� โจทยป์ ญั หาอยา่ งสมำ�่ เสมอ
และหาจดุ เชื่อมโยงของการหาคา่ กลางข้อมลู การวัดตำ� แหนง่ ขอ้ มลู และการวัดการกระจายขอ้ มลู ให้ได้

สถติ ิ หมายถึง วชิ าทีเ่ กี่ยวกบั การเกบ็ รวบรวม นำ� เสนอ และวิเคราะห์ขอ้ มูล

ขอ้ มูล หมายถงึ ข้อเทจ็ จรงิ ของเร่ืองใดเรอ่ื งหนง่ึ ทเ่ี ราสนใจจะศกึ ษา ซึ่งอาจจะเป็นตัวเลขหรือข้อความกไ็ ด้

ระเบยี บวธิ ีเชิงสถิติ (Statistic Method)

1. การเกบ็ รวบรวมข้อมลู (Collection of Data)
2. การน�ำเสนอขอ้ มูล (Presentation of Data)
3. การวิเคราะหข์ ้อมูล (Analysis of Data)
4. การแปลความหมายขอ้ มูล (Interpretation of Data)

ประเภทของสถติ ิ

1. สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive Statistics) คือ การใช้ข้อมูลที่ตีความออกมา ในการสรุปลักษณะเฉพาะของกลุ่ม
ตวั อยา่ งน้นั ๆ ไมน่ ำ� ไปใชอ้ ้างอิงถงึ ลกั ษณะเฉพาะของประชากร

2. สถิติเชิงอนมุ าน (Inferences Statistical) คือ การใช้ขอ้ มลู ทตี่ คี วามออกมา ในการสรุปถงึ ลักษณะเฉพาะของประชากร

การจำ� แนกข้อมูล

 1. จำ� แนกตามลักษณะของข้อมลู
1.1) ขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณ (Quantitative Data) หมายถงึ ขอ้ มลู ทใ่ี ชแ้ ทนขนาดหรอื ปรมิ าณวดั ออกมาเปน็ คา่ ตวั เลขทสี่ ามารถ
น�ำมาใช้เปรียบเทยี บขนาดไดโ้ ดยตรง
1.2) ขอ้ มลู เชงิ คณุ ภาพ (Qualitative Data) หมายถงึ ขอ้ มลู ทไี่ มส่ ามารถวดั ออกมาเปน็ คา่ ตวั เลขโดยตรงได้ แตว่ ดั ออกมา
ในเชิงคุณภาพได้ เช่น การหาคา่ กลางข้อมูล

2. จำ� แนกตามวิธกี ารเก็บรวบรวมข้อมลู

2.1) ขอ้ มลู ปฐมภูมิ (Primary Data) หมายถงึ ขอ้ มลู ที่ไดจ้ ากการรวบรวมจากผทู้ ี่ใหข้ ้อมลู หรือแหล่งท่ีมาโดยตรง
2.2) ข้อมูลทุตยิ ภูมิ (Secondary Data) หมายถงึ การนำ� ขอ้ มูลท่ีผ้อู ืน่ ไดเ้ กบ็ รวบรวมไวแ้ ล้ว มาใช้เปน็ ขอ้ มลู

ข้อมูลแจกแจงความถ่ี

หมายถงึ จดั ขอ้ มลู ท่มี อี ยู่ให้เป็นกล่มุ ๆ คือ ใหข้ ้อมูลท่มี ีค่าใกล้เคยี งกันอย่ดู ้วยกนั เพือ่ ความสะดวกในการวเิ คราะห์

98 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

ตัวอย่าง

ตารางแสดงคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรยี นระดบั ชนั้ ม.6

คะแนน ความถี่ (f) ความถี่สะสม (fc) ความถสี่ มั พัทธ์ ( Nf ) ความถ่สี ะสมสมั พทั ธ์( f Nc )
450
1-10 5 5 45011-20 9 14 4419005 21440940
21-30 15 29 4400

31-40 11 40 1401

1. อันตรภาคช้นั หมายถงึ แต่ละชว่ งของข้อมูล เช่น 1-10 เรยี กอนั ตรภาคช้นั ท่ี 1

2. ขอบบน = ค่ากง่ึ กลางระหว่าง Max ของอนั ตรภาคชน้ั น้ันๆ และ Min ของอนั ตรภาคชั้นถัดไป

3. ขอบลา่ ง = ค่ากงึ่ กลางระหว่าง Min ของอนั ตรภาคช้นั นั้นๆ และ Max ของอันตรภาคช้นั กอ่ นหนา้

4. ความกว้างของอันตรภาคชนั้ (I) = ขอบบน – ขอบลา่ ง

5. ความถ่ี (f) หมายถงึ จ�ำนวนขอ้ มลู ทอี่ ยใู่ นอันตรภาคชั้นน้ันๆ

6. ความถส่ี ะสม (fc) หมายถงึ ผลรวมของความถ่ขี องอนั ตรภาคช้ันนั้นๆ กับความถ่ีสะสมของอันตรภาคชนั้ กอ่ นหน้า
***ความถส่ี ะสมชั้นสุดทา้ ย = จำ� นวนข้อมูลท้ังหมด (N)***

7. ความถี่สมั พัทธ์ = f
N
8. ความถสี่ ะสมสัมพัทธ์ = fc
N

การวเิ คราะหข์ อ้ มลู

1. การหาคา่ กลางข้อมลู

1.1) ข้อมูลไม่แจกแจงความถ่ี

1.1.1) คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ( )
ขอ้ มลู 1 ชุด = Σfcx
Nn
fc fc fc
fc nN1x1fc+ nN2fcx2 +... +fcnNk xk
n1 x1n1++nขn2nx้อ21x2ม+1n+ูล.1+...+k.n.+ชn+2nxดุ2nk2 +k +x...k..=.++nΣnΣnknxNkxNfcxk=
nN1 + nN2 +... + nNk

1.1.2) มัธยฐาน (Median)

ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 99