GET 100 ม.ปลาย คณิตศาสตร์

ชอ่ งทรูปลูกปัญญา
โทรทศั นค์ วามรดู้ สู นกุ ทางทรวู ชิ น่ั ส์ 6 ทกุ รายการสาระความรู้
สาระบนั เทงิ และการปลูกฝังคุณธรรมจริยธรรมตลอด 24 ชัว่ โมง
พบกบั เร่อื งราวสรา้ งแรงบนั ดาลใจ
• รายการสอนศาสตร์ รายการสอนเสริมแนวใหม่ครบ 8 วชิ า
ม.3 ม.6 ตวิ สดทกุ วนั โดยติวเตอรช์ ่อื ดัง
• รายการ I AM แนะนำ� อาชีพน่าสนใจโดยรุน่ พใี่ นวงการ
• รายการสารสงั เคราะห์ นำ� ข่าวสารมาสงั เคราะหอ์ ัพเดทกัน
ทรปู ลูกปญั ญา แบบไม่ตกเทรนด์

หน่วยงานเพ่ือการศึกษา ภายใต้กลุ่มบริษัท ทรู
คอรป์ อเรช่ัน จ�ำกัด (มหาชน) ท่บี รู ณาการเทคโนโลยแี ละความ
เชี่ยวชาญด้านคอนเทนต์ พัฒนาเป็นส่ือไลฟ์สไตล์เพ่ือส่งเสริม นิตยสารปลูก plook
การศึกษาและคุณธรรม สามารถเชื่อมโยงทุกมิติการเรียนรู้ได้
อยา่ งครบวงจร นิตยสารส่งเสริมความรู้คู่คุณธรรมส�ำหรับเยาวชนฉบับแรก
ในประเทศไทย วางแผงทกุ สปั ดาหแ์ รกของเดอื น หยบิ ฟรไี ดท้ ี่ True
Coffee TrueMove Shop สถานศึกษา แหลง่ การเรยี นรู้ หอ้ งสมดุ
และโรงพยาบาล ทว่ั ประเทศ หรอื อา่ นออนไลน์ใน
www.trueplookpanya.com www.trueplookpanya.com

ทรูปลูกปัญญาดอทคอม คลังความรู้คู่คุณธรรมท่ีใหญ่
ทส่ี ดุ ในประเทศไทย อดั แนน่ ดว้ ยสาระความรใู้ นรปู แบบมลั ตมิ เี ดยี
สนุกกับการเรียนรู้ด้วยตัวเอง ท้ังยังเปิดโอกาสให้ทุกคนสร้าง แอพพลิเคช่ัน Trueplookpanya.com
เนอ้ื หา แบง่ ปันความรู้ร่วมกัน โดยไมม่ ีคา่ ใชจ้ า่ ย
ตอบโจทยไ์ ลฟส์ ไตลก์ ารเรยี นรขู้ องคนรนุ่ ใหม่ ดว้ ยฟรแี อพพลิ
เคชน่ั “Trueplookpanya.com” ให้คุณพร้อมสำ� หรับการเรียนรู้ใน
ทกุ ท่ที กุ เวลา รองรบั การใช้งานบน iOS (iPhone, iPod, iPad) และ
พบกับความเป็นท่ีสุดทงั้ 4 ด้านแหง่ การเรยี นรู้ Android

• คลงั ความรู้ รวบรวมเน้อื หาการเรยี นทุกระดบั ช้นั ครบ 8
กล่มุ สาระการเรียน
• คลังข้อสอบ ขอ้ สอบออนไลนพ์ รอ้ มเฉลยท่ใี หญ่ทสี่ ุดใน : www.trueplookpanya.com
ประเทศไทย พรอ้ มการประเมินผลสอบทางสถิติ : TruePlookpanya

• แนะแนว ข้อมูลการศึกษาตอ่ พร้อมเจาะลกึ ประสบการณ์
การเรยี นและการท�ำงาน
• ศนู ย์ข่าวสอบตรง/Admissions ขา่ วการสอบทกุ สนาม
ทุกสถาบัน พรอ้ มระบบแจง้ เตือนเรยี ลไทม์

หนงั สือชดุ “ติวเข้ม O-NET Get 100”

สรา้ งสรรค์โดย
ทรูปลกู ปัญญา มเี ดยี
โครงการเพ่ือสังคมของบรษิ ัท ทรู คอร์ปอเรชัน่ จ�ำกัด (มหาชน)
เลขที่ 46/8 อาคารรุ่งโรจน์ธนกลุ ตึก B ชน้ั 9 ถนนรัชดาภิเษก
แขวงหว้ ยขวาง เขตห้วยขวาง กรงุ เทพฯ 10310
โทร : 02-647-4511, 02-647- 4555
โทรสาร : 02-647-4501
อเี มล : [email protected]
: www.trueplookpanya.com
: TruePlookpanya



หนงั สือชดุ “ตวิ เข้ม O-NET Get 100” ใช้สัญลักษณ์อนุญาตของครเี อทฟี คอมมอนส์
แบบ แสดงทม่ี า-ไมใ่ ชเ่ พ่ือการค้า-อนญุ าตแบบเดียวกนั 3.0 ประเทศไทย

คำนำ

การสอบ O-NET หรือชื่ออย่างเป็นทางการว่า การจัดการทดสอบทางการศึกษาระดับชาติขั้นพื้นฐาน
(Ordinary National Educational Test) โดย สทศ. ถือเปน็ อีกสนามสอบท่ีส�ำคัญส�ำหรับน้องๆ ในระดับ ป.6, ม.3,
ม.6 เพอ่ื เปน็ การประเมนิ ผลการเรยี นรขู้ องน้องๆ ในระดบั ชาตเิ ลยทีเดียว และยังเปน็ ตวั ชวี้ ดั คณุ ภาพการเรียนการ
สอนของแต่ละโรงเรียนอกี ดว้ ย คะแนน O-NET ก็ยงั เปน็ สว่ นสำ� คญั ในการคิดคะแนนในระบบ Admissions เพื่อ
สมัครเข้าคณะที่ใจปรารถนา ได้คะแนนดกี ็มชี ัยไปกวา่ ครึ่ง
และเพอื่ เปน็ อกี ตวั ชว่ ยหนง่ึ ในการเตรยี มความพรอ้ มใหน้ อ้ งๆ กอ่ นการลงสนามสอบ O-NET ทางทรปู ลกู
ปัญญาจงึ ไดจ้ ดั ท�ำหนังสือชุด “ตวิ เขม้ O-NET Get 100” สุดยอดคมู่ อื เตรยี มตวั สอบ O-NET ส�ำหรบั นอ้ งๆ ในระดับ
ม.3 และ ม.6 ทเ่ี จาะลกึ เนอื้ หาทมี่ กั ออกสอบบอ่ ยๆ โดยเหลา่ รนุ่ พเ่ี ซยี นสนามในวงการตวิ รวบรวมแนวขอ้ สอบตง้ั แต่
อดีตจนถึงปจั จบุ ัน พรอ้ มเฉลยอยา่ งละเอียด และค�ำอธบิ ายที่เขา้ ใจงา่ ย จ�ำได้แม่นย�ำ น�ำนอ้ งๆ Get 100 ทำ� คะแนน
สู่เปา้ หมายในอนาคต
หนังสือชุด “ติวเข้ม O-NET Get 100” โดยทรูปลูกปัญญา ประกอบด้วยวิชาคณิตศาสตร์ ภาษาไทย
สังคมศกึ ษา ภาษาอังกฤษ ทรี่ วบรวมเนอ้ื หาระดับมธั ยมศกึ ษาตอนตน้ และมัธยมศกึ ษาตอนปลาย และวิชาฟสิ ิกส์
เคมี ชวี วทิ ยา ของระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย รวมท้งั หมด 11 เล่ม โดยสามารถศกึ ษาเนอื้ หาหรอื ท�ำข้อสอบ
ออนไลนเ์ พมิ่ เตมิ ได้จาก www.trueplookpanya.com ทีม่ ี link ให้ในทา้ ยบท
สามารถดาวน์โหลดหนังสือไดฟ้ รี ผา่ นเวบ็ ไซตท์ รูปลกู ปัญญา ท่ี www.trueplookpanya.com/onet
ทีมงานทรูปลูกปัญญา

สารบัญ หนา้

เรอื่ ง 5
6
คยุ กอ่ นอา่ น 25
บทที่ 1 เซต : Set 40
บทท่ี 2 จ�ำนวนจรงิ 44
บทท่ี 3 การใหเ้ หตผุ ล 47
บทที่ 4 เลยยกกำ� ลงั 59
บทท่ี 5 ฟังกช์ นั 69
บทท่ี 6 อัตราสว่ นตรีโกณมิติ 81
บทที่ 7 ลำ� ดับและอนุกรม 98
บทที่ 8 ความน่าจะเป็น
บทท่ี 9 สถิต

คุยกอนอาน

หนงั สอื เลม่ นี้ จดั ท�ำขึ้นสำ� หรบั นอ้ งๆ ท่กี �ำลงั ศกึ ษาอยใู่ นระดบั มัธยมปลาย (ม.4-ม.6) ทต่ี อ้ งการจะเตรยี ม
ความพรอ้ มในการสอบ O-NET วิชาคณิตศาสตร์ ซ่งึ เปน็ วชิ าทนี่ ้องๆ หลายคนคดิ วา่ ยาก แตใ่ นความเปน็ จรงิ แล้ว
วชิ าคณติ ศาสตรน์ น้ั เปน็ 1 ในวชิ าทนี่ อ้ งๆ สามารถเกบ็ คะแนนไดม้ ากทส่ี ดุ โดยในปกี ารศกึ ษาหนงึ่ ๆ นนั้ มคี นจำ� นวน
มากท่ีสามารถท�ำข้อสอบวชิ านไี้ ด้ 100 คะแนนเต็ม หมายความว่ามนั ไม่ใชว่ ิชาทย่ี ากเลย สำ� หรับนอ้ งๆ ที่มคี วาม
ต้ังใจและหมน่ั ทำ� แบบฝกึ หดั ทบทวนอยูเ่ สมอ

ในหนังสือเล่มน้ี ได้รวบรวมเนื้อหาทม่ี ักจะออกขอ้ สอบ O-NET พรอ้ มทง้ั แบบฝกึ หดั และเทคนิคตา่ งๆ ท่ี
จะชว่ ยใหน้ อ้ งๆ สามารถทำ� ขอ้ สอบไดเ้ รว็ ยงิ่ ขนึ้ และมปี ระสทิ ธภิ าพมากยง่ิ ขนึ้ พๆี่ หวงั เปน็ อยา่ งยงิ่ วา่ หนงั สอื เลม่
นี้ จะชว่ ยใหน้ อ้ งๆ มีความเขา้ ใจ และสามารถทำ� ข้อสอบ O-NET วิชาคณติ ศาสตร์ไดด้ ้วยความมน่ั ใจยิ่งขึ้น

ทมี งานทรปู ลกู ปญั ญา

บทท1่ี

เซต : Set

ส�ำหรับเนื้อหาในเร่ืองเซต น้องๆ หลายคนจะได้เรียนเป็นเรื่องแรกหลังจากที่น้องๆ ขึ้นม.ปลาย เน่ืองจากเป็นเร่ืองที่เป็น
พน้ื ฐานสำ� หรบั ความเขา้ ใจในการแปลงภาษาเขยี นเปน็ สญั ลกั ษณท์ างคณติ ศาสตร์ ทนี่ อ้ งๆ จะตอ้ งเจอในเรอ่ื งตอ่ ๆ ไป อกี ทง้ั ยงั เปน็ การ
ฝกึ ใหน้ อ้ งๆ เขยี นชว่ งของคำ� ตอบ โดยทน่ี อ้ งๆ สามารถเขยี นใหอ้ ยใู่ นรปู เซตจำ� กดั หรอื เซตอนนั ต์ ซงึ่ สามารถเขา้ ใจไดโ้ ดยสากลมากกวา่
การเขยี นเปน็ ภาษาเขียน ส�ำหรับการท�ำขอ้ สอบเร่ืองเซตนั้น ใหน้ อ้ งๆ ทำ� ความเขา้ ใจในเรื่องของนยิ ามของค�ำวา่ สับเซต เซตว่าง และ
พาวเวอร์เซต เนือ่ งจากเปน็ จุดท่สี ามารถสร้างความสับสนใหเ้ ราไดม้ าก

เซต คือ อนยิ าม (กลุม่ ของส่ิงต่างๆ ในวงเลบ็ ปีกกาและคัน่ ดว้ ยเคร่อื งหมายจุลภาค) ใชส้ ญั ลกั ษณ์ว่า แทนค�ำว่า เป็น

สมาชิกของ

ชนดิ ของเซต

1. เซตจำ� กัด เชน่ {1, 2, 3,… ,100} เปน็ เซตจ�ำกดั
และ
2. เซตอนันต์ เชน่ [0, 1] หรอื {1, 2, 3,...}

3. เซตว่าง เป็นเซตท่ีไม่มสี มาชิกอยูเ่ ลย

4. เอกภพสมั พทั ธ์ ( ) คอื เซตทป่ี ระกอบดว้ ยสมาชิกทงั้ หมดของสิ่งทเี่ ราต้องการ 

การเขยี นเซต

การเขยี นเซตจะแบ่งเปน็ 2 ชนดิ คอื
1. เขยี นแบบแจกแจงสมาชิก
2. เขยี นแบบบอกเงอ่ื นไข

1) วธิ แี จกแจงสมาชกิ (Tubular form) มหี ลักการเขยี น ดงั นี้
1. เขียนสมาชกิ ทั้งหมดในวงเลบ็ ปกี กา

2. สมาชิกแตล่ ะตวั ค่ันดว้ ยเครื่องหมายจุลภาค (,)

3. สมาชกิ ทซ่ี �้ำกนั ใหเ้ ขียนเพยี งตัวเดยี ว

4. ในกรณที ี่จำ� นวนสมาชกิ มากๆ ให้เขียนสมาชกิ อยา่ งนอ้ ย 3 ตวั แรก แล้วใชจ้ ุด 3 จุด (Tripple dot)

แลว้ จึงเขยี นสมาชิกตวั สดุ ท้าย

2) วิธีบอกเงื่อนไขของสมาชิก (Set builder form) หลกั การเขียนมดี ังนี้

1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปกี กา
2. กำ� หนดตัวแปรแทนสมาชกิ ท้งั หมดตามดว้ ยเครอ่ื งหมาย | (| อา่ นวา่ “โดยที่”) แล้วตามดว้ ยเงอื่ นไขของตวั แปรนนั้
ดังรปู แบบ {x | เงอื่ นไขของ x}

6 ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

ตัวอยา่ งเชน่

เซต แบบแจกแจงสมาชิก แบบบอกเงอ่ื นไข

A เปน็ เซตของจำ� นวนเตม็ บวกท่มี ีค่า A = {1, 2, 3, 4} A = {x | x เปน็ จำ� นวนเต็มบวกท่ีมคี า่
นอ้ ยกว่า 5}
น้อยกว่า 5 B = {วนั อาทติ ย,์ วนั จันทร์, วัน
B เซตของวนั ในหนง่ึ สปั ดาห์ องั คาร, วันพุธ, วันพฤหัสบด,ี วนั B = {x | x เปน็ ชอื่ วันในหนึ่งสัปดาห์}
ศุกร์, วนั เสาร์}
C เป็นเซตของตวั อักษรในภาษา C = {y | y เป็นตัวอกั ษรในภาษา
องั กฤษ C = {a, b, c, ... ,z} อังกฤษ}

การกระท�ำของเซต

1. การยูเนยี น ( ) คอื การรวมกนั ของสมาชกิ เชน่ A B จะไดว้ า่

AB

2. การอนิ เตอร์เซคชนั ( ) คือ การซำ้� กันของสมาชิก เชน่ A B จะไดว้ ่า

AB

ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 7

3. ผลตา่ งเซต (-) คือเอาแค่เซตใดเซตหน่ึง ไม่เอาเซตท่ีซำ�้ กัน เชน่ A - B จะได้ว่า

AB

4. การคอมพลีเมนท์ (A’, Ac) คอื ไม่ต้องการเซตนน้ั ๆ เช่น A’ คือไม่เอาเซต A

AB

ตัวอย่าง. 1. ถา้ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} เซต A = {0,2,4,6,8} เซต B = {1,3,5,7} เซต C = {3,4,5,6}
จงเขยี นเซตต่อไปน้ีในรูปแบบแจกแจงสมาชกิ

1. A U B =
………………………………………………………………………………………………………………………….
2. A B =
………………………………………………………………………………………………………………………….
3. A - B =
………………………………………………………………………………………………………………………….
4. C’ B =
………………………………………………………………………………………………………………………….

8 ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

ตวั อย่าง 2

AB

จงแรเงาแผนภาพทก่ี ำ�หนดให้

1. B’ 2. A’ U B 3. A’ B’


ตัวอยา่ ง 3

AB

ในแผนภาพข้างตน้ กำ�หนดให้ , A, B และ A B เป็นเซตท่มี จี ำ�นวนสมาชกิ 100, 40, 25 และ 6 ตามลำ�ดบั

จงเติมจำ�นวนสมาชิกของเซตต่างๆ ลงในตารางตอ่ ไปน้ี

เซต A–B B–A AUB A’ B’ (AUB)’
จ�ำนวนสมาชกิ

ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 9

สบั เซต

สับเซต คือ เซตย่อย เชน่ กต็ ่อเมอ่ื สมาชกิ ทกุ ตวั ของ A เปน็ สมาชกิ ของ B เชน่

A = {1, 2, 3}

สับเซตของ A คือ {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3},

ดังนน้ั จำ�นวนสับเซตของ A =

เป็นสบั เซตทเ่ี ลก็ ทส่ี ดุ ของทุกเซตและ
เซตทกุ เซตเปน็ สบั เซตที่ใหญ่ที่สดุ ของตัวเอง

ตัวอยา่ ง 4 ให้ A = {2, {4, 5}, 4} จงพจิ ารณาว่าข้อความใดถูกต้อง

…………………… {4, 5} A

…………………… {4, 5} A

…………………… {5} A

…………………… {5} A

พาวเวอร์เซตหรือเซตกำ�ลัง

คอื เซตท่รี วมสบั เซตของเซตท้งั หมด
P(A) = {สบั เซตทงั้ หมดของ A}
เชน่ A= {1, 2, 3} ดังน้ัน P(A) = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, }

ข้อสังเกต

1. จำ�นวนสมาชกิ ของ P(A) = n(P(A)) =
2. เม่อื A เปน็ เซตจำ�กัดและ n(A) = K จะได้
2.1 n (P(A)) =
2.2 n (P(P(A))) =
2.3 n (P(P(P(A)))) =

ดงั นัน้ จ�ำนวนสมาชกิ ทีต่ ่ำ� ที่สุดของพาวเวอรเ์ ซตคือ P(A) = = 1 =

10 ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

ตัวอยา่ ง 5 กำ�หนดให้ A = { } จงพิจารณาว่าขอ้ ใดถูกตอ้ ง

…………………… {{ }} P(A)
…………………… {0} P(A)
…………………… {{0, 1}} P(A)
…………………… {{0, 1}} P(A)

คณุ สมบัตขิ องการ Operation AUA=A
AUB=BUA
1. กฎการยบุ (A U B) U C = A U (B U C)
A A = A
2. กฎการสลับที่ (A U B)’ = A’ B’
A B = B A
3. กฎการเปลย่ี นหมู่
(A B) C = A (B C)
4. กฎการแจกแจง
A (B U C) = (A B) U (A C)
A U (B C) = (A U B) (A U C)
5. กฎเดอร์มอแกน
(A B)’ = A’ U B’
A – B = A – (A B) = A B’ = B’ – A’

สูตรลดทอน = จะได้ เซตทีเ่ ลก็ กว่า
A – B = A B’ U จะได้ เซตทีใ่ หญ่กวา่
(A’)’ = A A =A
= A=
A = A U (A B) = A
A = A A U (A’ B) = A U B
A (A U B) = A (A B) U (A B’) = A
A (A’ U B) = A B
(A U B) (A U B’) = A

จำ�นวนสมาชกิ ของเซต

สตู รจำ�นวนสมาชิก

• n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B)
• n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n( A B ) - n(A C) – n(B C) + n(A B C)
• n(A’) = n( ) – n(A)
• n(A-B) = n(A) – n( A B )

ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 11

ตัวอย่าง 5 ในการสอบของนักเรยี นชัน้ ประถมศึกษากลุ่มหน่ึง พบว่า มผี ู้สอบผา่ นวิชาต่างๆ ดงั น้ี

คณิตศาสตร ์ 36 คน

สงั คมศึกษา 50 คน

ภาษาไทย 44 คน

คณิตศาสตร์และสงั คมศกึ ษา 15 คน

ภาษาไทยและสังคมศึกษา 12 คน

คณติ ศาสตร์และภาษาไทย 7 คน

ทงั้ สามวิชา 5 คน

จำ�นวนผสู้ อบผา่ นอยา่ งนอ้ ยหนึ่งวิชามกี คี่ น (o-net 53)

วธิ ที ำ�

ให้ A = วิชาคณิตศาสตร์ B = วิชาสังคมศกึ ษา C = วิชาภาษาไทย
A B = คณติ ศาสตร์และสังคมศกึ ษา B C = ภาษาไทยและสงั คมศึกษา
A C = คณิตศาสตร์และภาษาไทย A B C = ทัง้ สามวิชา
A U B U C = สอบผา่ นอย่างน้อยหนง่ึ วชิ า
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A B) - n(B C) + n(A B C)
n(A U B U C)= 36+50+44-15-12-7+5 = 101 คน

ตัวอยา่ ง 6 ในการลงพ้ืนทข่ี องชมุ ชนแห่งหนึง่ มีประชากร 200 คน พบว่า

120 คน ชอบอา่ นหนังสอื
110 คน ชอบดูภาพยนตร์
130 คน ชอบเลน่ กฬี า
60 คน ชอบอ่านหนงั สอื และชอบดภู าพยนตร์
70 คน ชอบอ่านหนงั สือและชอบเล่นกฬี า
50 คน ชอบดูภาพยนตร์และชอบเล่นกีฬา
ประชากรท่ีชอบเล่นกีฬาอยา่ งเดยี วมีกค่ี น (O-net 54)

12 ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

แผนภาพเวนส์ – ออยเลอร์

A BA B

A U B A B

A

AB

A – B A’

โจทยเ์ รื่องเซต

1. ถา้ A = { , 0, 1, {0}, {0,1}} และ P(A) เปน็ พาวเวอรเ์ ซตของ A แล้วเซต P(A) – A มีสมาชิกกต่ี ัว (Ent’ 41)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ถา้ A = {1,2,3,4,…} และ B ={{1,2},{3,4,5},6,7,8,…} แลว้ (A - B) U (B - A) มสี มาชกิ กตี่ ัว (Ent’ 42)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 13

3. ให้ A และ B เป็นเซต ซึง่ n(A) = 5 , n(B) = 4 , n(A B) = 2 ถา้ C = (A-B)U(B-A) แล้ว n(P(C)) เทา่ กับเท่าไหร่ (O-net 54)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. ใหเ้ ซต A, B, C เปน็ เซตทีก่ ำ�หนดใหด้ งั รูป ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง

AB

C

1. A-(B C) = {1, 2} 2. (AUB)-C = {1, 2, 7}
3. A (BUC) = {3, 4, 6} 4. (C-B) (A-B)= {6}

5. กำ�หนดให้ A, B, C เป็นเซตใดๆ ซึง่ A B พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้ B)
ก. (C-A) (C-B) ข. ( C) (

ขอ้ ใดต่อไปนถี้ กู ต้อง (O-net 54) 2. ก ถูก ข ผดิ
1. ก ถกู ข ถูก 4. ก ผดิ ข ผดิ
3. ก ผดิ ข ถูก

6. กำ�หนดให้ เอกภพสมั พทั ธค์ อื เซตของจำ�นวนเตม็ 3. {3,4} 4. {4}
ถา้ A = {x | |x - 3| 2}

B = {x | (1 + x) (3 – x) 0}
แล้ว A B’ คือข้อใดตอ่ ไปนี้

1. {2} 2. {2,3}

14 ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

7. ถา้ A และ B เปน็ เซตทีม่ จี ำ�นวนสมาชกิ เทา่ กนั โดย n(A B) = 2 และ n(A U B) = 10 แล้วจำ�นวนสมาชิกของ B – A
เท่ากบั เทา่ ใด
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8. พิจารณาการอ้างเหตุผลตอ่ ไปนี้
เหตุ 1. ไม่มคี นเก่งคนใดเปน็ คนสอบตก

2. มีคนสอบตกทเี่ ป็นคนขยนั
3. มคี นเก่งที่ไมเ่ ป็นคนขยัน

ผล ……………………………………………………………
ในขอ้ ใดต่อไปน้ีเปน็ การสรปุ ผลจากเหตุ ข้างต้นทเี่ ปน็ ไปอย่างสมเหตสุ มผล

1. มีคนเก่งทเี่ ป็นคนขยัน 2. มคี นขยนั ที่เปน็ คนสอบตก
3. มคี นขยันท่ีเปน็ คนเก่ง 4. มคี นสอบตกทเ่ี ปน็ คนเก่ง

9. พิจารณาการอ้างเหตุผลตอ่ ไปน้ี
ก. เหตุ 1. ถา้ ฝนไมต่ ก แล้ว นอ้ งเอ๋ไปโรงเรียน

2. ฝนตก
ผล น้องเอ๋ไม่ไปโรงเรยี น

ข. เหตุ 1. แสนแสบขยนั เรียน หรือ แสนแสบสอบชงิ ทุนเรียนต่อต่างประเทศได้
2. แสนแสบไมข่ ยันเรียน

ผล แสนแสบสอบชงิ ทนุ เรยี นตอ่ ต่างประเทศได้
ขอ้ ใดต่อไปนี้ ถูกต้อง

1. ก สมเหตสุ มผล และ ข สมเหตสุ มผล
2. ก สมเหตสุ มผล และ ข ไม่สมเหตุสมผล
3. ก ไม่สมเหตุสมผล และ ข สมเหตุสมผล
4. ก ไมส่ มเหตสุ มผล และ ข ไม่สมเหตสุ มผล

ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 15

เฉลยแบบฝกึ หดั

ตัวอย่างท่ี 1

1. ถา้ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} เซต A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7}, C = {3, 4, 5, 6} จงเขียนเซตตอ่ ไปน้ีในรูปแบบ
แจกแจงสมาชกิ

1. A U B = การรวมกนั ของเซต A และ เซต B
จะได้ว่า A U B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}
2. A B = เอาส่วนที่เหมอื นกนั หรอื ซ�้ำกนั ของเซต A และ เซต B

จะไดว้ า่ A B = { } หรือ
3. A - B = เอาสว่ นท่อี ยู่ในเซต A แล้วไมอ่ ยู่ในเซต B

จะได้วา่ A - B = {0,2,4,6,8}
4. C’ B = ไม่เอาสว่ นของสมาชกิ เซต C คือ {0,1, 2, 7, 8} และมาซ้ำ� กับเซต B คือ {1, 3, 5, 7}

จะไดว้ ่า C’ B = {1,7}

ตัวอย่างที่ 2

AB

จงแรเงาแผนภาพที่กำ�หนดให้
1. B’ 2. A’ U B 3. A’ B’

16 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

ตัวอยา่ งที่ 3

A

B

ในแผนภาพขา้ งตน้ กำ�หนดให้ , A, B และ A B เป็นเซตทีม่ ีจำ�นวนสมาชกิ 100, 40, 25 และ 6 ตามลำ�ดบั
จงเตมิ จำ�นวนสมาชิกของเซตตา่ งๆ ลงในตารางตอ่ ไปนี้

เซต A – B B – A A U B A’ B’ (AUB)’
60 75 41
จ�ำนวนสมาชกิ 34 19 59

• หา n(A-B) จาก n( ) = 100

n(A) = 40

n(B) = 25

n(A B) = 6

จะได้ n(A-B) = n(A) – n(A B)
= 40-6

= 34

• หา n(B – A) = n(B) – n(A B)
= 25 – 6

= 19

• หา n(A U B) = n(A)+n(B)-n(A B)
= 40 + 25 – 6
= 59

• หา n(A’) = n( ) – n(A)
= 100 – 40
= 60

ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 17

• หา n(B’) = n( ) – n(B)
= 100 - 25
= 75

• หา (A U B)’ = n( ) – n(A U B)
= 100 - 59
= 41

ตวั อยา่ งท่ี 4

ให้ A = {2,{4,5},4} จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ความใดถกู ตอ้ ง

ก. {4, 5} A เทคนคิ (ตดั ปีกเตมิ ขา)
ข. {4, 5} A
ค. {5} A ตัดปีกกาออก 1 คู่ จะสามารถเปลี่ยนจาก
ง. {5} A
สบั เซตให้เปน็ สมาชิกของได้ →

สับเซตของเซต A ไดแ้ ก่ {2}, {{4,5}}, {4}, {2,{4,5}}, {2,4}, {{4,5}, 4}, {2,{4,5},4}, มที ัง้ หมด 8 ตวั

• ขอ้ ก. {4, 5} A ผดิ ถ้าจะเขียน {4, 5} เปน็ สับเซตของ A จะต้องเขยี นว่า {{4, 5}} A จงึ จะถกู หรือใชเ้ ทคนิค คอื ตดั

ปกี กา 1 คแู่ ล้วเปลย่ี นจากสบั เซตเปน็ สมาชกิ ของ A จะไดว้ ่า {{4, 5}} A → {4, 5} A และ 4, 5 ก็ไมเ่ ป็นสมาชิก

ของเซต A ดังน้ันจึงผดิ

• ข้อ ข. {4, 5} A เป็นคำ�ตอบทถ่ี กู ต้อง

• ขอ้ ค. {5} A ผิด เพราะเซต A มีสมาชกิ {4, 5} ไม่มี {5} เป็นสมาชิก

• ข้อ ง. {5} A ผดิ เพราะเซต A มีสบั เซต {{4, 5}} ไมม่ ี {5} เปน็ สบั เซต

ตวั อยา่ งที่ 5

กำ�หนดให้ A ={ } จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ใดถูกตอ้ ง

ก. {{ }} P (A) เทคนคิ (ตัดปกี ตดั P)
ข. {0} P (A)

ค. {{0, 1}} P (A) ตดั ปกี กาออก 1 คจู่ ะสามารถตัด P ออกได้ 1 ตัว
ง. {{0, 1}} P (A)

18 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

• ขอ้ ก. {{ }} P(A) เปน็ คำ�ตอบทถ่ี กู ตอ้ ง เพราะถา้ เราใชเ้ ทคนคิ ตดั ปกี ตดั P เราจะไดว้ า่ { } A ซง่ึ เปน็ คำ�ตอบทถ่ี กู ตอ้ ง

• ข้อ ข. {0} P(A) เป็นคำ�ตอบท่ถี กู ต้อง เพราะถา้ เราใช้เทคนิคตดั ปกี ตดั P เราจะได้วา่ 0 A ซง่ึ เป็นคำ�ตอบที่ถกู ตอ้ ง

• ข้อ ค. {{0, 1}} P(A) เปน็ คำ�ตอบท่ถี กู ตอ้ ง เพราะถ้าเราใช้เทคนิคตัดปกี ตัด P เราจะไดว้ ่า{0, 1} A ซ่ึงเป็นคำ�ตอบท่ี
ถูกต้อง

• ขอ้ ง. {{0, 1}} P(A) เปน็ คำ�ตอบทถ่ี ูกตอ้ งเพราะถา้ ใชเ้ ทคนิคตัดปกี เตมิ ขาจะไดว้ ่า {0, 1} P(A)และเราสามารถใช้
เทคนคิ ตดั ปีกตัด P เราจะไดว้ ่า 0, 1 A ซง่ึ เปน็ คำ�ตอบท่ถี ูกตอ้ ง

ตัวอย่างท่ี 6 A B
C
ในการลงพ้นื ท่ีของชมุ ชนแหง่ หน่งึ มีประชากร 200 คน พบว่า
ให้ n(A) = 120 คน ชอบอ่านหนังสอื
ให้ n(B) = 110 คน ชอบดภู าพยนตร์
ให้ n(C) = 130 คน ชอบเล่นกฬี า
ให้ n(A B) = 60 คน ชอบอา่ นหนังสอื และชอบดภู าพยนตร์
ให้ n(A C) = 70 คน ชอบอา่ นหนงั สือและชอบเลน่ กีฬา
ให้ n(B C) = 50 คน ชอบดูภาพยนตร์และชอบเลน่ กฬี า
และ ประชากรที่ชอบเล่นกีฬาอยา่ งเดยี วมกี ่ีคน (O-net54)

จากสตู ร

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A B) - n(A C ) - n(B C) + n(A B C)
โดยให้ n(A B C) = X แทนค่าจะได้
200 = 120 + 110 + 130 - 60 - 70 – 50 + x (เรายังไม่ร้สู ่วนตรงกลาง)

จะได้ X = n(A B C) = 20
พอเรารู้ตรงกลาง จะสามารถหกั ออก
จาก n(A C) = 70 – X = 50 n(B C) = 50 – X = 30

เรากจ็ ะรสู้ มาชกิ ท่ีแทจ้ รงิ ของข้อนี้ คือ
เราจะสามารถหาประชากรอย่างเดยี วได้

โดยให้ ประชากรท่ีชอบเลน่ กีฬาอย่างเดยี ว = Y
คอื n(C) = n(A B C) + n(A C) + n(B C) + Y
130 = 20 + 50 + 30 + Y

จะได้ Y = ประชากรทชี่ อบเล่นกีฬาอย่างเดียวคือ 30 คน

ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 19

โจทยเ์ รื่องเซต

1. ถ้า A = { 0, 1, {0}, {0, 1}} และ P(A) เปน็ พาวเวอร์เซตของ A แล้วเซต P(A) – A มีสมาชกิ กี่ตัว (Ent’ 41)

จาก A = { 0, 1, {0}, {0, 1}} จะทำ�ใหเ้ รารู้ n(A) = 5

จะได้ P(A) มีจำ�นวนสมาชิก = = = 32 สมาชิก และเมอ่ื แจกแจงสมาชิก 32 ตวั ใน P(A) จะมี 3 ตวั ทเี่ ป็นสมาชิก
ของ A ด้วย คือ , {0}, {0, 1}

ดังนั้น จำ�นวนสมาชิกของ P(A) – A = 32 – 3 = 29 สมาชิก

2. ถ้า A = {1, 2, 3, 4,…} และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8,…} แล้ว (A - B) U (B - A) มีสมาชิกกีต่ ัว (Ent’ 42)

จาก A = {1, 2, 3, 4,…} และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8,…}

จะได้ A – B = {1, 2, 3, 4, 5} และ B – A = {{1, 2}, {3, 4, 5}}

และไดส้ มาชกิ ทั้ง A – B = 5 สมาชกิ และ B – A = 2 สมาชิก

เมอื่ นำ�มารวมกนั หรือยูเนยี นกันจะได้ว่า (A - B) U (B - A) = 5 + 2 = 7 สมาชิก

3. ให้ A และ B เป็นเซต ซง่ึ n(A) = 5, n(B) = 4, n(A B) = 2 ถา้ C = (A - B) U (B - A) แล้ว n(P(C)) เท่ากับเท่าไหร่
(O-net 54)

A B จาก n (A B) = 2
จ�ำนวน n(A) = 5 – 2 = 3

แล้ว n(B) = 4 – 2 = 2

แลว้ เซต C = (A - B) U (B - A) = 3 + 2 = 5

หาจำ� นวนสมาชกิ ของพาวเวอรเ์ ซต n(P(C)) = = = 32 สมาชกิ A B
C
4. ให้เซต A,B,C เปน็ เซตทก่ี ำ�หนดให้ดังรูป ขอ้ ใดต่อไปน้ถี ูกตอ้ ง

1. A - (B C) = {1, 2}
2. (A U B) – C = {1, 2, 7}
3. A (B U C) = {3, 4, 6}
4. (C – B) (A – B) = {6}

พิจารณาตวั เลือก

1. จะได ้ A คอื เลข 1, 2, 3, 4, 6 และ B C คอื เลข 6, 5
ดังนัน้ A - (B C) = {1,2,3,4} ขอ้ 1. จงึ ผิด
2. จะได้ A U B คือเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และ C คือเลข 4, 5, 6, 8, 9
ดังน้ัน (A U B) – C = {1, 2, 3, 7} ข้อ 2. จงึ ผิด
3. จะได้ A คือเลข 1, 2, 3, 4, 6 และ B U C คือเลข 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
ดงั นน้ั A (B U C) = {3, 4, 6} ข้อ 3. จงึ ถกู ต้อง
4. จะได้ C – B คือเลข 4, 8, 9 และ A – B คือเลข 1, 2, 4
ดังนัน้ (C – B) (A – B) = {4} ข้อ 4. จงึ ผิด

20 ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

5. กำ�หนดให้ A, B, C เปน็ เซตใดๆ ซึ่ง A B พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

ก. (C-A) (C-B)
ข. ( C) ( B)

ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู ต้อง (O-net 54)

พจิ ารณา ก. (C - A) (C - B) A B
C
จากภาพ C – A = 6, 7 และ C – B = 7
x3
ก. (C - A) (C - B) จงึ ผิด
พิจารณา ข. ( C) ( B) +

= A’ คือไม่เอา A
จากภาพจะได้ ( C) = 6, 7 และ ( B) = 3, 6

ข. ( C) ( B) จึงผดิ
ตอบ ข้อ 4. ก ผดิ ข ผดิ

6. กำ�หนดให้ เอกภพสมั พทั ธ์คอื เซตของจำ�นวนเตม็

ถา้ A = {x | |x - 3| 2}
B = {x | (1 + x) (3 – x) 0}
แล้ว A B’ คือขอ้ ใดตอ่ ไปนี้
พิจารณา A ดังน้ี
|x - 3| 2 x ∈∈ΙΙ
-2 x – 3 2 x ∈∈ΙΙ
1 x 5 x ∈∈ΙΙ
จะได้ A = {2,3,4}
พิจารณา B ดงั น้ี
(1 + x) (3 – x) 0
(x + 1) (x - 3) 0

x -1 -

+

-1 3

(x -1 หรอื x 3) และ x I
จะได้ B’ = {0,1, 2}
พบวา่ A B’ = {2}

A B’ = {2} ตอบขอ้ 1.

ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 21

7. ถา้ A และ B เป็นเซตทม่ี จี �ำนวนสมาชิกเทา่ กัน โดย n(A B) = 2 และ n(A U B) = 10
แล้วจำ� นวนสมาชิกของ B – A เทา่ กบั เทา่ ใด
เราจะสามารถเขยี นแผนภาพเวนส์ – ออยเลอรไ์ ดด้ งั น้ี

AB

1

จากโจทย ์ 1. A และ B เปน็ เซตทีม่ ีจำ� นวนสมาชกิ เทา่ กนั

+ = +

จะได้ = …. (1)
…. (2)
2. n(A B) = 2 …. (3)

จะได้ = 2

3. n(A U B) = 10

จะได้ + + = 10

จากโจทย์ต้องการหาจ�ำนวนสมาชกิ ของ B – A คือ
นำ� มาแทนค่าจากสมการ จะไดว้ ่า + + 2 = 10
= 4 ตอบข้อ 4.

8. เหตุ 1. ไมม่ ีคนเก่งคนใดเปน็ คนสอบตก

2. มคี นสอบตกท่ีเป็นคนขยนั

3. มีคนเก่งที่ไมเ่ ปน็ คนขยนั

ผล ……………………………………………………………

ในขอ้ ใดต่อไปน้ีเปน็ การสรุปผลจากเหตุ ข้างต้นท่เี ปน็ ไปอยา่ งสมเหตสุ มผล

1. มีคนเก่งที่เปน็ คนขยนั 2. มคี นขยนั ที่เป็นคนสอบตก

3. มีคนขยันท่ีเป็นคนเก่ง 4. มีคนสอบตกทีเ่ ปน็ คนเกง่

จากโจทย์ สามารถเขียนแผนภาพใหส้ อดคลอ้ งกับเหตไุ ด้ 2 วธิ ี คอื

1. คนเกง่ คนขยนั คนสอบตก

22 ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

2. คนเก่ง คนขยัน คนสอบตก

จากพนื้ ที่แรเงา ทงั้ แบบที่ 1 และแบบท่ี 2 เป็นสว่ นท่ีมีข้อความเปน็ “มคี นขยนั ทเี่ ป็นคนสอบตก” ดงั นน้ั ผลที่มีขอ้ ความ
“มคี นขยนั ทเี่ ปน็ คนสอบตก” เปน็ การสรปุ ผลจากเหตทุ ่เี ป็นไปได้อย่างสมเหตุสมผล

ตอบขอ้ 2.

9. พจิ ารณาการอา้ งเหตผุ ลตอ่ ไปนี้
ก. เหตุ 1. ถา้ ฝนไมต่ ก แลว้ น้องเอไ๋ ปโรงเรียน
2. ฝนตก

ผล นอ้ งเอไ๋ ม่ไปโรงเรียน
ข. เหตุ 1. แสนแสบขยนั เรียน หรือ แสนแสบสอบชิงทุนเรียนตอ่ ต่างประเทศได้
2. แสนแสบไมข่ ยันเรียน

ผล แสนแสบสอบชงิ ทุนเรียนตอ่ ต่างประเทศได้
ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ ถูกต้อง
พิจารณา ก. ตดั ช่อื นอ้ งเออ๋ อกไปจะได้วา่ ถา้ ฝนไมต่ ก แลว้ ไปโรงเรียน
จะไดแ้ ผนภาพ โดย วงในคอื ฝนไม่ตก วงนอกคือ ไปโรงเรยี น คอื น้องเอ๋

ไปโรงเรียน ไปโรงเรยี น

ฝนตก ฝนตก

เม่ือเราสงั เกตจากแผนภาพ จะเห็นได้วา่ ขอ้ นี้ ไม่สามารถสรปุ ไดว้ ่า น้องเอจ๋ ะไปหรอื ไม่ไปโรงเรียนจึงไม่
ถกู ตอ้ ง ไมส่ มเหตุสมผล
พิจารณา ข. ตัดช่ือ แสนแสบออกไปจะไดว้ ่า ขยันเรยี น หรอื สอบชิงทุนเรียนตอ่ ต่างประเทศได้
จากค�ำว่า หรอื นน้ั หมายถงึ U (ยูเนียน) จะได้แผนภาพ โดย
วงซา้ ย คอื ขยัน
วงขวา คือ ชิงทุน

ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 23

ขยัน ชงิ ทนุ ขยนั ชิงทุน ขยนั ชงิ ทุน

ถ้าไม่ขยันเรยี น กจ็ ะสามารถตดั ภาพที่ 1 และ 2 ได้ ดังนั้น ผลคือ แสนแสบสอบชงิ ทนุ เรียนตอ่ ต่างประเทศได้
จงึ ถูกตอ้ งและสมเหตุสมผล

ข้อทีถ่ ูกคอื ขอ้ 3. ก. ไม่สมเหตสุ มผลและ ข.สมเหตุสมผล

น้องๆ สามารถศึกษาเพมิ่ เตมิ ได้ท่ี
Tag : สอนศาสตร,์ คณิตศาสตร์, เซต, สูตรเตรียมสอบ

• สอนศาสตร์ คณิตศาสตร์ ม.6 : เซต ตรรกศาสตร์
ระบบจำ�นวนจริง

http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch1-1

• คณิตศาสตร์ ม.ปลาย - เซต ตอนท่ี 1
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/

onet-math/ch1-2

• คณิตศาสตร์ ม.ปลาย - เซต ตอนท่ี 2
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/

onet-math/ch1-3

• คณิตศาสตร์ ม.ปลาย - เซต ตอนท่ี 3
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/

onet-math/ch1-4

• สรุปสูตรคณิตศาสตร์สำ�หรับเตรียมสอบ - เรอื่ ง เซต
http://www.trueplookpanya.com/book/m6/

onet-math/ch1-5

24 ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

บทท2่ี

จำ� นวนจริง

ระบบจ�ำ นวนจรงิ

ในสว่ นของจ�ำ นวนจริง เปน็ เร่อื งท่ีกำ�หนดขอบเขตทง้ั หมดของข้อสอบที่น้องๆ จะเจอในการท�ำ ข้อสอบ O-NET เนอื่ งจาก
ข้อสอบ O-NET นั้น จะไม่มกี ารนำ�เอาจ�ำ นวนจนิ ตภาพมาใช้ในการออกขอ้ สอบ จำ�นวนจรงิ จะมคี วามสมั พันธ์กบั เร่ืองเซต โดย
นิยามของจ�ำ นวนประเภทตา่ งๆ ทน่ี กั คณติ ศาสตร์ไดท้ �ำ การจ�ำ แนกไว้ และไมว่ า่ จะเปน็ จำ�นวนตรรกยะ จ�ำ นวนอตรรกยะ จำ�นวนเต็ม
จำ�นวนนับ อกี ทงั้ เร่อื งจ�ำ นวนจรงิ จะเปน็ เรอื่ งทมี่ ีความส�ำ คญั อย่างยิ่งกบั เรื่องความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน ซ่ึงนอ้ งๆ จะไดเ้ จอคำ�ว่า
เซตของจำ�นวนจริง หรือเซตของจำ�นวนเตม็ บวก ซึง่ หมายถึงการกำ�หนดขอบเขตของคำ�ตอบใหก้ บั น้องๆ นั่นเอง

ลักษณะจ�ำนวนจริง

1. จ�ำนวนตรรกยะ (Rational number) คอื จ�ำนวนทส่ี ามารถเขยี นอยใู่ นรปู โดยท ี่ ไดแ้ ก่ จ�ำนวนเตม็ ทศนยิ มซำ้�
เศษส่วน และ square root (√) ทห่ี าค่าได้

2. จ�ำนวนอตรรกยะ (Irrational number) คอื จ�ำนวนทไ่ี ม่สามารถเขียนอยูใ่ นรปู โดยท ่ี ซ่งึ จ�ำนวนอตรรกยะ
สามารถเขยี นอยใู่ นรูปทศนยิ มไม่ซ�้ำ (ทศนิยมไมร่ ู้จบ) และสามารถประมาณค่าได้ คา่ TT และ square root (√) ทห่ี าค่า
ไมไ่ ด้ เช่น √2, √3 เปน็ ตน้

3. จ�ำนวนเตม็ (Integer number) ใช้ แทนเซตของจ�ำนวนเตม็ แบง่ ออกได้ 3 ประเภท
3.1. จ�ำนวนเตม็ ลบ (I-) หรอื I- = {…, -3, -2, -1}
3.2. จ�ำนวนเตม็ ศูนย์ (I0) หรือ I0 = {0}
3.3. จ�ำนวนเต็มบวก (I+) หรือ I+ = {1, 2, 3, …}
4. จ�ำนวนนบั (Natural number) คือ 1, 2, 3, 4, 5, … ซึ่งมนั กเ็ ปน็ พวกเดียวกบั จ�ำนวนเต็มบวกนั่นเอง เพยี งแตจ่ ะใช้

สญั ลักษณ์ที่แตกต่างกนั คือ จ�ำนวนนับ สญั ลักษณก์ ็คือ N

แผนผงั แสดงความสมั พนั ธข์ องระบบจ�ำนวนจริง

จ�ำนวนจรงิ (Real Numbers)

(Raจt�iำoนnวaนl ตNรuรmยกbeะrs) (Irrจa�ำtนioวnนaอl ตNรuรmยbกeะrs)

(Inteจg�eำนrวNนuเmตม็ bers) (Fractเioศnษส&ว่ Dนeหcรiอืmทaศl นNิยuมmbers)

(Negativจe�ำนInวtนeเgตeม็rsลบNumber) (Zศeนู rยo์) (Positiจve�ำนInวtนeเgตeม็ rบNวuกmbers)

ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 25

แบบฝกึ หัดท่ี 1

จงพจิ ารณาวา่ จ�ำนวนตอ่ ไปน้ีเป็นจ�ำนวนชนิดใด

จ�ำนวน จ�ำนวนนับ จ�ำนวนเต็ม ตรรกยะ อตรรกยะ จ�ำนวนจรงิ

0

2.999…
3+ 4

จงพจิ ารณาจ�ำนวนในแต่ละขอ้ ถา้ เป็นจรงิ ใหเ้ ขยี นเครื่องหมาย ถ้าเปน็ เท็จให้เขยี นเครอื่ งหมาย
1. 1 + 3 เป็นจ�ำนวนตรรกยะ ……………………………………………………………………………………………
2. 5.9 เป็นจ�ำนวนคู่ ………………………………………………………………………………………………………
3. มีจ�ำนวนเต็มที่มากที่สุดท่ีน้อยกว่า 1 …………………………………………………………………………………
4. มีจ�ำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด …………………………………………………………………………………………
5. มีจ�ำนวนตรรกยะมากที่สุดที่น้อยกว่า 3 ………………………………………………………………………………
6. มีจ�ำนวนอตรรกยะท่ีน้อยท่ีสุดที่มากกว่า 0 ……………………………………………………………………………

สมบัติของจ�ำนวนจรงิ

ก�ำหนด a, b, c เปน็ จ�ำนวนจรงิ ใดๆ (a, b, c ∈ ΙR)

คณุ สมบตั ิ การบวก การคณู

ปิด a + b ∈ ΙR ab ∈ ΙR
การสลบั ท่ี
การเปล่ียนกล่มุ a +b = b+a ab = ba
การมีเอกลกั ษณ์
(a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc)
การมีอินเวอรส์
มจี �ำนวนจรงิ 0 ซ่งึ มจี1�(ำaน)ว=นaจร=งิ (1a)1ซึง่
การแจกแจง
0+a =a =a+0

สa�ำห+จร�(ับำ-นaจว)�ำนน=จว0รนิง=จร-(aงิ-aซa) ง่ึ +จะaมี ส�ำหรจบั �จำน�ำวนนวจนรจิงริงa-a1 ซง่ึ 0 จะมี
a(a-1) = 1 = (a-1) a

a(b(a++cb) )=c a=ba+c a+cbแcละ

26 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

แบบฝกึ หัดท่ี 2

จงพิจารณาว่าเซตต่อไปนี้ มสี มบัตขิ องการด�ำเนนิ การตามตารางหรอื ไม่

เซต สมบตั ิปิดส�ำหรับ

เซตของจ�ำนวนคู่ การบวก การคณู
เซตของจ�ำนวนคบี่ วก
เซตของจ�ำนวนตรรกยะ
เซตของจ�ำนวนอตรรกยะ

ก�ำหนด A = {-1, 0, 1} ขอ้ ความใดต่อไปนีถ้ กู หรอื ผดิ

1. เซต A มีสมบตั ปิ ิดของการบวก ………………………………………………….

2. เซต A มสี มบัติปิดของการคณู ………………………………………………….

3. เซต A มสี มบัติการแจกแจง ………………………………………………….

4. มีเอกลักษณก์ ารบวกในเซต A ………………………………………………….

5. มีเอกลักษณก์ ารคูณในเซต A ………………………………………………….

6. สมาชกิ ทกุ ตวั ในเซต A มอี ินเวอรส์ การบวก ………………………………………………….

7. สมาชกิ ทกุ ตัวในเซต A มอี ินเวอร์สการคณู ………………………………………………….

การเทา่ กนั ในระบบจ�ำนวนจรงิ

สมบัติของการเท่ากันในระบบจ�ำนวนจรงิ มดี งั น้ี
1. สมบตั กิ ารสะท้อน

2. สมบัตสิ มมาตร
ถ้า แล้ว
3. สมบัตกิ ารถ่ายทอด
ถ้า และ แลว้
4. สมบตั กิ ารบวกด้วยจ�ำนวนทเี่ ทา่ กัน
ถ้า แลว้
5. สมบตั ิการคณู ด้วยจ�ำนวนท่เี ท่ากนั
ถา้ และ แลว้

ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 27

การแก้สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว

การแก้สมการพหุนามเราสามารถน�ำสมบัติการเทา่ กันในระบบจ�ำนวนจรงิ มาใชแ้ ละใช้การแก้สมการทีเ่ ราเคยเรยี นมา

1. การแยกตัวประกอบ (factor)
2. หาจากสูตร x = − b ± b2 − 4ac

2a

3. ทฤษฏีบทเศษเหลือ

3.1. ทฤษฏีบทเศษเหลือ กล่าวว่า “ถ้าหารพหนุ าม P(x) ด้วย x − a เมือ่ a เปน็ จ�ำนวนจริงแลว้ เศษจากการหารจะ
เท่ากบั P(a)”

3.2. ทฤษฏตี วั ประกอบ (factor theorem) ก�ำหนดพหนุ าม P(x) และ a เปน็ จ�ำนวนจรงิ ใดๆ แล้ว

3.2.1 ถา้ x − a เปน็ ตัวประกอบของ P(x) แลว้

3.2.2 ถ้า แลว้ จะเป็นตวั ประกอบของ P(x)

3.2.3 พอได้ a จากข้อ 3.2.2 กน็ �ำไปหารสงั เคราะห์

แบบฝกึ หัดท่ี 3

1. จงหาค�ำตอบของสมการตอ่ ไปนี ้

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ถ้าค�ำตอบของสมการ คือ และเม่อื n เป็นจ�ำนวนจรงิ ค�ำตอบอีกค�ำตอบหนงึ่ ของสมการนี้
คือจ�ำนวนใด

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ถา้ สมการ มคี �ำตอบทเี่ ปน็ จ�ำนวนจริง 1 ค�ำตอบ ค่าของ d คอื จ�ำนวนใด

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

28 ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

การไม่เทา่ กนั ในระบบจ�ำนวนจริง

สมบัตขิ องการไมเ่ ท่ากันในระบบจ�ำนวนจริง มดี งั น้ี

1. ถา้ a, b เปน็ จ�ำนวนจรงิ ใดๆ จะได้ว่า

1.1. ก็ต่อเม่ือ

1.2. กต็ อ่ เม่อื

1.3. ก็ต่อเมอ่ื

2. สมบตั ิการบวกและการคณู ดว้ ยจ�ำนวนทไ่ี ม่เท่ากันดังนี้

2.1. ถ้า และ แลว้

หรอื

2.2. ถา้ และ ; แล้ว

ถา้

ถา้

3. ให ้ a, b, c, d R

3.1. ถา้ a < b และ b < c แล้ว a < c

3.2. ถ้า 0 < a < b แลว้

3.3. ถา้ a < b < 0 แล้ว

3.4. ถา้ a < b และ c < d แล้ว a + c < b + d

3.5. ถ้า a < b และ c < d แล้ว a – d < b – c

3.6. ถ้า 0 < a < b และ 0 < c < d แล้ว 0 < ac < bd

3.7. ถา้ a < b < 0 และ c < b < 0 แล้ว ac > bd > 0

3.8. ถ้า 0 < a < b และ 0 < c < d แล้ว

3.9. ถ้า a < b < 0 และ c < b < 0 แลว้

แบบฝึกหัดท่ี 4

จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ใดถกู ต้องหรอื ข้อใดผดิ

1. ถา้ a < b แล้วจะได้ a2 < b2 ……………………………………………………………………………………………
2. ถ้า a < b < 0 แล้วจะไดว้ า่ ab < b2 …………………………………………………………………………………
3. ถา้ x + y > 0 แลว้ x > 0 แล้ว y > 0 …………………………………………………………………………………
4. ถา้ 0 < a < b และ 0 < c < d แล้ว 0 < ac < bd ………………………………………………………………………
5. ถ้า x < y และ a < b แลว้ x - a < y - b ………………………………………………………………………………
6. ถ้า x < y และ a < b แลว้ x – b < y – a ……………………………………………………………………………

ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 29

การแกอ้ สมการ

1. จัดรปู อสมการใหข้ า้ งหน่งึ เป็นตัวแปร อกี ข้างหนึ่งเป็นศูนย์
***ระวัง!!!! การคูณและการหารจ�ำนวนจริงลบตอ้ งเปลีย่ นเครื่องหมายเสมอ
2. แยกตัวประกอบ
3. พิจารณาตามชว่ ง
3.1 หาจุด x ทีท่ �ำให้ (x – a1)(x – a2)(x – a3)…(x – an) = 0 จะได้ x = a1, a2, a3, …, an
3.2 น�ำคา่ a1, a2, a3, …, an ก�ำหนดลงบนเส้นจ�ำนวนซ่งึ ค่าเหลา่ นจี้ ะแบง่ เส้นจ�ำนวนเปน็ ชว่ งๆ
(ใหเ้ ราเรียงจากนอ้ ยไปหามากบนเสน้ จ�ำนวน)
3.3. ใส่เครื่องหมาย + และ - สลับกนั โดยเรม่ิ ท่บี วกกอ่ นทางด้านชอ่ งขวาสุด
3.4. ถ้าเป็นเครื่องหมาย เราจะเลือกชว่ งที่ลบ ถ้าเป็นเคร่ืองหมาย
เราจะเลือกช่วงทบ่ี วก

แบบฝกึ หดั ที่ 5

1. จงหาช่วงค�ำตอบค�ำตอบของอสมการ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ก�ำหนดให ้ S = และ P = ถ้า (c,d) แล้ว c + d เป็น

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ค่าสมั บรู ณข์ องจ�ำนวนจริง

คา่ สมั บูรณ์ คอื ระยะทางบนเส้นจ�ำนวนจาก 0 ไปถงึ a

เงื่อนไขของคา่ สมั บรู ณ์

30 ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

สมบัตขิ องคา่ สัมบรู ณ์

1.
2.

3.

4.

5.

6.

7.
8. ถ้า แลว้
9.

10.

11. ก็ต่อเมอ่ื

แบบฝกึ หัดที่ 6

จงพิจารณาว่าขอ้ ความต่อไปน้ี ถูกหรอื ผิด

1. ถ้า x และ y เป็นจ�ำนวนจรงิ ซง่ึ |x| < |y| แลว้ x3< y3 ………………………………………………………………..

2. ถ้า a 5 แลว้ ………………………………………………………………………………….…

3. ถ้า |a| < |b| แลว้ a < b ……………………………………………………………………………….…………………

การแกส้ มการคา่ สมั บูรณ์

เราสามารถแก้สมการได้ทง้ั หมด 3 วธิ ี

1. การใชค้ ณุ สมบตั ขิ องคา่ สมบรู ณ์
2. การยกก�ำลังสองทงั้ สองข้าง
3. การพิจารณาตามนิยามคา่ สมบูรณ์

ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 31

แบบฝึกหัดท่ี 7

1. จงหาค�ำตอบของสมการ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงหาผลบวกของค�ำตอบทง้ั หมดของสมการ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การแกอ้ สมการค่าสมบรู ณ์

คุณสมบัติของอสมการค่าสัมบูรณ์

ก�ำหนดให้

1. ถา้ แลว้ หรอื
2. ถ้า แลว้ หรือ
3. ถา้ แล้ว

4. ถา้ แล้ว

5. ถ้า แล้ว ขอ้ นี้เราใชผ้ ลต่างก�ำลังสอง

แบบฝกึ หัดท่ี 8

1. จงหาช่วงค�ำตอบของอสมการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

32 ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

2. จงหาช่วงค�ำตอบของอสมการ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. จงหาช่วงค�ำตอบของอสมการ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สมบัตคิ วามบริบรู ณ์
บทนยิ าม ให้ S R กลา่ ววา่ จ�ำนวนจรงิ a จะเป็นคา่ ขอบเขตบนของ S กต็ ่อเมอื่ a ไมน่ ้อยกวา่ สมาชกิ ใดๆ ของ S ในกรณี

น้เี รากลา่ ววา่ S มขี อบเขตบน (Upper Bound)
จากนิยามสรปุ ได้วา่ S จะมคี า่ ขอบเขตบน ก็ต่อเมื่อมจี �ำนวนจรงิ a ซึ่ง a x ส�ำหรบั x S เรียก a วา่ ขอบเขตบนของ S
และสมาชิกทม่ี คี ่านอ้ ยท่ีสดุ ในเซตของขอบเขตบนเรียกวา่ ขอบเขตบนทมี่ ีค่านอ้ ยทีส่ ดุ (Least upper bound) a จะเปน็ ค่าขอบเขตบน
นอ้ ยสดุ ก็ต่อเมื่อ a เป็นขอบเขตบนของ S และถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S จะได้ว่า a b

บทนยิ าม ให้ S R และ S จะมีขอบเขตล่างกต็ ่อเมือ่ มีจ�ำนวนจรงิ a ซ่งึ a x และ x R เรยี ก a ว่าเป็นขอบเขตล่าง

(bounded below) ของ S
ก�ำหนดให้ S R , S และ S มขี อบเขตลา่ ง แล้ว S จะมีขอบเขตลา่ งค่ามากสุด

แบบฝึกหัดที่ 9
จงพิจารณาเซตตอ่ ไปนว้ี ่ามขี อบเขตบนหรอื ไม่และขอบเขตบนน้อยสดุ คอื จ�ำนวนใด

1. 2. A = {1, 2, 3, …}

……………………………………… ………………………………………

……………………………………… ………………………………………

……………………………………… ………………………………………

ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 33

3. C = {…, -3, -2, -1, 0} 4. [-6,-1]
……………………………………… ………………………………………

……………………………………… ………………………………………
……………………………………… ………………………………………

5. (3, ) 6. E =

……………………………………… ………………………………………

……………………………………… ………………………………………
……………………………………… ………………………………………

เฉลยแบบฝึกหัด

แบบฝึกหดั ท่ี 1

จงพจิ ารณาวา่ จ�ำนวนตอ่ ไปนี้เป็นจ�ำนวนชนิดใด

จ�ำนวน จ�ำนวนนับ จ�ำนวนเตม็ ตรรกยะ อตรรกยะ จ�ำนวนจรงิ
û ü ü û ü
0 û û û ü ü
û û ü û ü
2.999… ü ü ü û ü
3+ 4

จงพจิ ารณาจ�ำนวนในแตล่ ะขอ้ ถ้าเป็นจรงิ ใหเ้ ขยี นเครื่องหมาย ü ถ้าเป็นเทจ็ ให้เขียนเครื่องหมาย û

1. ผดิ 2. ถกู 3. ถูก
4. ถกู 5. ผิด 6. ผิด

34 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

แบบฝึกหัดท่ี 2
จงพจิ ารณาว่าเซตต่อไปน้ี มสี มบัตขิ องการด�ำเนินการตามตารางหรือไม.่

เซต สมบตั ิปิดส�ำหรบั

เซตของจ�ำนวนคู่ การบวก การคณู
เซตของจ�ำนวนคีบ่ วก ü ü
เซตของจ�ำนวนตรรกยะ
เซตของจ�ำนวนอตรรกยะ ûü

üü

ûû

ก�ำหนด ข้อความใดต่อไปนถี้ ูกหรอื ผดิ

1. ผิด 2. ถูก 3. ถูก 4. ถูก

5. ถกู 6. ถูก 7. ผิด

แบบฝึกหดั ที่ 3
1.จงหาค�ำตอบของสมการต่อไปนี้

วิธที �ำ พิจารณา

ดังนน้ั

2. ถ้าค�ำตอบของสมการ คอื และเมอ่ื n เปน็ จ�ำนวนจรงิ ค�ำตอบอีกค�ำตอบหนึ่งของสมการนค้ี ือจ�ำนวนใด

วิธที �ำ แทน ในสมการ







แทน ในสมการ

พจิ ารณา





ดังน้ันค�ำตอบอกี ค�ำตอบหนึง่ ของสมการน ี้ คือ -2

ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 35

3. ถา้ สมการ มคี �ำตอบท่ีเปน็ จ�ำนวนจรงิ 1 ค�ำตอบ ค่าของ d คอื จ�ำนวนใด

วิธีท�ำ จาก

พจิ ารณา

จาก ได้เซตว่างเราจงึ พิจารณา





ดงั นัน้

แบบฝึกหดั ท่ี 4

1. ผดิ 2. ผิด 3. ผิด
4. ถกู 5. ผิด 6. ถูก

แบบฝึกหัดที่ 5 มคี า่ ตดิ ลบเราจึงต้องเปล่ยี นเครอ่ื งหมายดว้ ย

1. จงหาช่วงค�ำตอบค�ำตอบของอสมการ
วิธีท�ำ พจิ ารณา

จากตรงน้เี ราจะน�ำ คูณตลอด แลว้


ดงั นัน้

2. ก�ำหนดให้ S = และ P = ถ้า (c, d) แล้ว c + d เปน็ เทา่ ใด
วธิ ีท�ำ พิจารณา



จะไดว้ า่

พิจารณา
น�ำ -1 คณู ตลอดเคร่อื งหมายเปล่ยี น

36 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

จะได้วา่

จะได้วา่
ดงั นนั้
จาก และ

แบบฝกึ หดั ที่ 6

1. ผิด 2. ผิด 3. ผิด

แบบฝึกหดั ท่ี 7

1. จงหาค�ำตอบของสมการ

วธิ ที �ำ พิจารณา และ

เราจะได ้



จะได ้

2. จงหาผลบวกของค�ำตอบทัง้ หมดของสมการ

วิธีท�ำ พจิ ารณา

เราจะได ้ และ





จะได้

จากที่เราไดค้ �ำตอบแล้วเราจะต้องน�ำค�ำตอบไปแทนในสมการว่าไดจ้ ริงตามสมการหรือไม่ แล้วจงึ น�ำค�ำตอบมาบวกกัน
พจิ ารณาค�ำตอบจะได้ว่าค�ำตอบของสมการคือ
จะได ้ ผลบวกของค�ำตอบของสมการคอื

แบบฝกึ หดั ที่ 8 และ
วา่ ในคา่ สัมบรู ณ์ติดลบหรือไม ่ แล้วท�ำการถอดคา่ สัมบูรณ์
1. จงหาชว่ งค�ำตอบของอสมการ
วีธีท�ำ เราจะน�ำ ไปพิจารณา เป็นบวก และ เปน็ บวกเช่นกนั เราก็จะถอดค่าสมั บรู ณ์ได้เลย
พจิ ารณา เมอื่ แลว้

ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 37

จะได้



ดงั นั้นค�ำตอบของอสมการ คือ ( )

2. จงหาช่วงค�ำตอบของอสมการ

วธิ ที �ำ พจิ ารณา



(2x+7)(2X+7) - (4x-3)(4x-3)

(4x2 + 28x + 49) - (16x2 - 24x + 9)

-12x2 + 52x + 40

3x2 - 13x - 10
(3x + 2) (x - 5)

ดังน้ัน ค�ำตอบของอสมการ คือ [ ]

3. จงหาชว่ งค�ำตอบของอสมการ

วธิ ที �ำ พิจารณา



(2x+7)(2x+7) – (x+2)(x+2)

3x2 + 24x + 45

x2 + 8X +15



กอ่ นทเี่ ราจะตอบเราตอ้ งพจิ ารณาทจ่ี ดุ ปลายของชว่ งทงั้ สองขา้ งกอ่ นวา่ เปน็ จรงิ ตามอสมการหรอื ไม่ ซง่ึ อสมการนที้ จี่ ดุ ปลาย
ของชว่ งไม่เปน็ จริงตามอสมการ

ดงั นนั้ ค�ำตอบของอสมการ คอื [ ]

แบบฝึกหัดที่ 9

จงพจิ ารณาเซตต่อไปน้วี ่ามขี อบเขตบนหรอื ไม่และขอบเขตบนนอ้ ยสุดคือจ�ำนวนใด

1. มีขอบเขตบน แต่ไมม่ ีขอบเขตบนน้อยสุด
2. ไมม่ ขี อบเขตบน
3. มขี อบเขตบนและขอบเขตบนน้อยสุดคอื 0
4. มขี อบเขตบนและขอบเขตบนนอ้ ยสุดคือ -1
5. ไมม่ ขี อบเขตบน
6. มขี อบเขตบนและขอบเขตบนน้อยสดุ คือ 2

38 ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

นอ้ งๆ สามารถศกึ ษาเพมิ่ เติมได้ท่ี
Tag : สอนศาสตร,์ คณติ ศาสตร์, จำ�นวนจรงิ , ระบบจำ�นวนจริง

• สอนศาสตร์ : ม.ปลาย : คณติ ศาสตร์ > 14 :
จ�ำ นวนจริง 1

http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch2-1

• สอนศาสตร์ : ม.ปลาย : คณติ ศาสตร์ > 15 :
จ�ำ นวนจริง 2

http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch2-2

• สอนศาสตร์ คณิตศาสตร์ ม.6 : เซต ตรรกศาสตร์
ระบบจ�ำ นวนจริง

http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch2-3

• สรุปสตู รคณติ ศาสตร์สำ�หรับเตรยี มสอบ -
เรอื่ ง จ�ำ นวนจริง

http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch2-4

• สรปุ สูตรคณติ ศาสตร์สำ�หรบั เตรียมสอบ -
เร่อื ง จำ�นวนเชิงซ้อน

http://www.trueplookpanya.com/book/m6/
onet-math/ch2-5

ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 39

บทท3่ี

การให้เหตผุ ล

เรอื่ งการใหเ้ หตผุ ลเปน็ อกี เรอื่ งหนงึ่ นอกจากเซต ทเี่ ปน็ พนื้ ฐานในการแปลภาษาเขยี นตา่ งๆ เชน่ และ หรอื ถา้ ...แลว้ กต็ อ่ เมอื่
และนเิ สธ ใหอ้ ยใู่ นรปู ของสญั ลกั ษณท์ างคณติ ศาสตรท์ สี่ ามารถเขา้ ใจไดท้ วั่ กนั ขอ้ สอบเรอ่ื งการใหเ้ หตผุ ลนนั้ จดั เปน็ หนง่ึ ในหวั ขอ้ ทงี่ า่ ย
และมกี ารพลกิ แพลงนอ้ ยทสี่ ดุ ในวชิ าคณติ ศาสตร์ ขอเพยี งนอ้ งๆ ไมป่ ระมาทและฝกึ ฝนทำ� โจทย์ กจ็ ะเปน็ อกี เรอ่ื งหนง่ึ ทนี่ อ้ งๆ สามารถ
เกบ็ คะแนนไปไดไ้ ม่ยาก

การใหเ้ หตผุ ล มดี ว้ ยกนั หลกั ๆ 2 แบบ คือ

• การให้เหตผุ ลแบบอุปนัย
• การใหเ้ หตผุ ลแบบนิรนยั

1. การใหเ้ หตผุ ลแบบอปุ นยั

เปน็ การใหเ้ หตผุ ลจากการสงั เกตในชวี ติ ประจำ� วนั ประสบการณ์ การทดลองซำ�้ ไปซำ�้ มา หลายๆ ครง้ั เชน่ การเหน็ พระอาทติ ย์
ข้ึนทางทศิ ตะวันออก และตกทางทศิ ตะวนั ตก เราสังเกตได้อยา่ งนี้มาเป็นเวลานาน เราจงึ สามารถสรปุ ไดเ้ ป็นข้อความใหม่ ซงึ่ ผลสรปุ
เป็นเพียงการคาดคะเน ทอ่ี าจเป็นไปไดเ้ ทา่ น้ัน

ตัวอยา่ ง

ก. มชี ดุ ตัวเลขดงั นี้
3 7 11 15 19 ? ตัวเลขตอ่ ไปจะเปน็ เลขอะไร

 เราสามารถสงั เกตได้จากชดุ ตวั เลข ซึง่ จะเห็นว่ามีการเพิ่มของทกุ จำ� นวน ดว้ ยการ +4 ดงั น้นั เลขตอ่ ไปจากชุดขอ้ มูลการ

คือ 23

ข. มชี ุดตัวเลขดงั น้ี
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = ?
เราสามารถสังเกตได้จากชุดตัวเลข ซ่ึงจะเห็นว่า ค�ำตอบที่ได้ตัวเลขจะเพ่ิมขึ้นเร่ือยๆ ตามจ�ำนวนของ เลข 1 ดังนั้น
ค�ำตอบของข้อมลู ชดุ นี้ คอื 123454321

40 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

2. การให้เหตุผลแบบนริ นัย

เปน็ การใหเ้ หตผุ ลทเี่ กดิ จากความเชอ่ื ของขอ้ มลู จากทฤษฎบี ท ความรเู้ กา่ กฎตา่ งๆ ทไี่ ดม้ กี ารยอมรบั กนั มาวา่ เปน็ ความจรงิ

ตัวอยา่ ง

 ก. เหตุ 1. คสมนชทาุกยคเนปม็นี ค2นข า จ ากตัวอยา่ งจะเหน็ วา่ สมเหตุสมผล
2.

ผล สมชายมี 2 ขา

ข. เหตุ 1. ผลไมท้ ุกชนิดเปน็ อาหารได้ จากตวั อยา่ งจะเหน็ วา่ ไม่สมเหตสุ มผล
2. ผกั กาดเปน็ อาหาร

ผล ผักกาดเปน็ ผลไม้

จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ เราสามารถพจิ ารณาได้ วา่ เหตแุ ละผล มคี วามสอดคลอ้ งกนั หรอื ไมอ่ ยา่ งไร ซงึ่ เรากม็ หี ลกั การอา้ งเหตผุ ล

ในทางคณติ ศาสตรซ์ ึง่ มีด้วยกัน 6 แบบ คอื

1. สมาชิกทุกตัวของ A เปน็ สมาชกิ ของ B

2. ไมม่ ีสมาชิกตวั ใดของ A เปน็ สมาชกิ ของ B

3. สมาชิกบางตัวของ A เป็นสมาชกิ ของ B

4. มสี มาชกิ บางตัวของ A ไม่เปน็ สมาชกิ ของ B

5. สมาชิกของ A 1 ตวั ทเี่ ปน็ สมาชกิ ของ B

6. สมาชกิ ของ A 1 ตัว ไมเ่ ปน็ สมาชกิ ของ B

ซึง่ สามารถยกตวั อยา่ งได้ดงั น้ี ตัวอยา่ ง ปลาทุกตวั สามารถวา่ ยน�้ำได้
โดยท่ี A = ปลา B = สตั ว์ทีว่ า่ ยน�้ำได้
1. สมาชกิ ทกุ ตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
B

A

ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 41

2. ไม่มสี มาชิกตวั ใดของ A เปน็ สมาชิกของ B

B

A

ตัวอยา่ ง ไมม่ แี มวตวั ใดบินได้
โดยท่ี A = แมว B = สตั ว์ทบี่ นิ ได้

3. สมาชิกบางตัวของ A เป็นสมาชิกของ B ตัวอยา่ ง มีนกั เรยี นที่ชอบเรยี นคณิตศาสตร์บางคน
AB ชอบเรียนภาษาองั กฤษ
โดยท ี่ A = นกั เรียนที่ชอบเรยี นคณติ ศาสตร์
4. มีสมาชกิ บางตัวของ A ไมเ่ ป็นสมาชิกของ B B = นักเรยี นท่ีชอบเรยี นภาษาอังกฤษ
AB
ตัวอยา่ ง มีคนที่ชอบทานผัก บางคนไมช่ อบทานเนอื้ สัตว์
โดยท่ี A = คนท่ชี อบทานผัก
B = คนชอบทานเน้อื สัตว์

5. สมาชกิ ของ A 1 ตัว ทเ่ี ป็นสมาชกิ ของ B ตวั อยา่ ง กฤษดาเป็นเดก็ ชอบเล่นฟุตบอล
AB โดยท ่ี A = เด็ก
B = ชอบเลน่ ฟุตบอล
= กฤษดา

42 ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

6. สมาชิกของ A 1 ตวั ไมเ่ ป็นสมาชิกของ B สามารถเขยี นได้ 2 แบบ คือ

แบบที่ 1

AB

แบบที่ 2 B ตัวอย่าง กฤษดาเปน็ เดก็ ทไ่ี มก่ ลวั ผี
โดยท่ี A = เดก็
A B = คนกลัวผี
= กฤษดา

ติวเข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 43

บทท4ี่

เลขยกกำ� ลัง

ส�ำหรับเร่อื งเลขยกกำ� ลังนน้ั เปน็ เรอ่ื งที่อาศยั ความรอบคอบอย่างมาก เนอื่ งจากเป็นเรอื่ งทใี่ ชท้ ัง้ ทักษะเกยี่ วกบั การค�ำนวณ
และทักษะเก่ียวกบั ความเข้าใจ เวลาทำ� ข้อสอบเร่ืองนี้ ใหน้ ้องๆ ทำ� อย่างใจเยน็ ๆ พจิ ารณาถงึ เลขฐานและเลขช้กี ำ� ลังวา่ เป็นบวก ลบ
หรือเป็นเศษส่วน และจ�ำเง่อื นไขต่างๆ ใหไ้ ด้ เพียงเทา่ น้ี น้องๆ ก็จะสามารถท�ำขอ้ สอบในส่วนของเลขช้กี ำ� ลงั ได้

1. ความหมายของเลขยกกำ� ลงั

an = a x a x a x a x a x … x a (n ตัว)

เรียก an ว่าเลขยกก�ำลัง (power) ท่มี ี a เป็นฐาน และมี n เปน็ เลขชีก้ ำ� ลงั

2. สมบตั ขิ องเลขยกกำ� ลัง

2.1. x = “เลขยกกำ�ลงั ฐานเหมอื นกัน คูณกันเอาเลขชกี้ ำ�ลงั มาบวกกนั ”

2.2. = “เลขยกกำ�ลังฐานเหมอื นกนั หารกันเอาเลขชีก้ ำ�ลังมาลบกัน” เมือ่ a ≠ 0

2.3. = เมื่อ ≠ 

2.4. =

2.5. = เมอ่ื b ≠ 0

2.6. = เมอื่ a ≠ 0

2.7. = 1 เม่อื a ≠ 0 ( ไมม่ ีความหมายทางคณิตศาสตร)์

ขอ้ ควรระวัง

(a ± b)2 ≠ (a2 ± b2) ใหใ้ ช้ก�ำลงั สองสมบรู ณ์หรือ ผลต่างกำ� ลงั สอง

• =
• =
• =
• =
• =
• =

44 ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya

3. สญั ญากรวทิ ยาศาสตร์

คือ การเขียนตวั เลขทม่ี ีจ�ำนวนมาก หรอื นอ้ ย ให้อยูใ่ นรปู เลขยกก�ำลงั

; 0 ≤ < 10

เชน่ 299,800 = 2.998 x

 0.0000034 = 3.4 x

4. ความหมายของรากที่ n

ให้ n เปน็ จำ� นวนเตม็ ท่ีมากกว่า 1 เมื่อ a และ b เป็นจำ� นวนจริง b เปน็ รากท่ี n ของ a เมอื่

5. สมบัติของรากท่ี n

ก�ำหนดให้ a , b เป็นจำ� นวนจรงิ ทมี่ ีรากที่ n และ n เป็นจำ� นวนเต็มบวกทีม่ ากกวา่ 1

1. = เมื่อ เปน็ จำ�นวนจริง

a เมอื่ a ≥ 0
2. = a เมอื่ a < 0 และ n เปน็ จำ�นวนค่บี วก

เมอื่ a < 0 และ n เป็นจำ�นวนคบู่ วก

3. = ข้อควรระวงั !!!!

4. = เม่ือ b ≠ 0 รากลำ� ดบั คขู่ องจำ� นวนจรงิ ทเี่ ปน็ ลบ
5. = หาค่าไมไ่ ด้ เชน่ จะหาค่าไม่ได้

Ex1. จงทำ� ใหอ้ ยู่ในรูปอยา่ งงา่ ย

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ex2. จงทำ� ใหอ้ ยู่ในรปู อย่างง่าย

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya 45

Ex3. ถ้า a,b เป็นจำ�นวนจรงิ บวก จงทำ� ใหอ้ ยู่ในรปู อยา่ งง่าย

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ex4. จงทำ� ให้อยู่ในรูปอย่างงา่ ย

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เฉลยแบบฝึกหดั

Ex1. จงท�ำ ใหอ้ ยใู่ นรปู อย่างง่าย

ใหอ้ ยูใ่ นรปู อยา่ งง่าย

Ex2. จงท�ำ



Ex3. ถา้ a, b เปน็ จ�ำนวนจริงบวก จงท�ำ ให้อย่ใู นรปู อยา่ งงา่ ย

=

=

= 3 a4/2 b6/2

= 3a2b

Ex4. จงทำ� ให้อยใู่ นรูปอย่างงา่ ย

=

=

46 ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

บทที่5

ฟังกช์ นั

ในเร่อื งฟงั ก์ชันน้ี จะเป็นบททีเ่ น้นเร่อื งการวาดกราฟต่างๆ และการจัดรปู สมการเพื่อใชห้ าคา่ โดเมน และเรนจเ์ ปน็ หลัก หา้ ม
ลืมเด็ดขาดทอ่ งไว้เลย โดเมน คือ X และ เรนจ์ คือ Y และที่น้องๆ ส่วนใหญ่จะผดิ กนั คือ การเขยี นกราฟ ดใู ห้ดๆี ว่าเปน็ กราฟหงาย
หรือกราฟคว�่ำ
ค่อู ันดับ
กำ� หนดให้ (a, b) และ (c, d) เปน็ ค่อู ันดบั ใดๆ จะไดว้ ่า (a, b) = (c, d) ก็ตอ่ เมื่อ a = c และ b = d
โดยที่ a เรียกวา่ “สมาชกิ ตัวหน้า” และ b เรียกวา่ “สมาชิกตัวหลงั ”

ผลคูณคารท์ ีเชียน

ให้ A และ B แทนเซตใดๆ เขยี นผลคูณคาร์ทีเชียนของ A และ B ว่า A X B อ่านว่า “A Cross B” จะไดว้ า่ ผลคูณคารท์ เี ชียน
ของ A และ B (A X B) คอื เซตของคู่อนั ดับท่มี สี มาชกิ ตัวหนา้ มาจาก A และสมาชิกตวั หลงั มาจาก B

สมบตั ทิ ค่ี วรทราบ

1. ถ้า A มีสมาชกิ m ตวั และ B มสี มาชิก n ตัว แลว้ A X B มสี มาชิก mn ตัว n(AxB) = n(A) x n(B)
2. A X B ≠ B X A แต่จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ
• A = B • A = ∅ • B = ∅
3. A X ∅ = ∅ = ∅ X A
4. A× (B ∪C) = (A× B) ∪ (A× C) , (A∪ B) × C = (A× C) ∪ (B × C)
5. A× (B ∩C) = (A× B) ∩ (A× C) , (A∩ B) × C = (A× C) ∩ (B × C)
6. A× (B − C) = (A× B) − (A× C) , (A − B) × C = (A× C) − (B × C)
7. r แทน ความสมั พันธท์ ส่ี อดคล้องกบั เง่อื นไขท่ตี อ้ งการจากผลคูณคารท์ ีเชียน
ขอ้ ควรระวงั !!!! A∪ (B ×C) ≠ (A∪ B) × (A∪C)
A∩ (B × C) ≠ (A∩ B) × (A∩C)
A − (B × C) ≠ (A − B) × (A − C)



ติวเขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 47

แบบฝกึ หดั ท่ี 1 ก�ำหนดให้ A = {1, 2, 3}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 5, 7} และ D = {{2}, 7} จงหา

1. A X B = ………………………………………………………………………………………………………………………
2. B X C = ………………………………………………………………………………………………………………………
3. C X B = ………………………………………………………………………………………………………………………
4. D X D = ………………………………………………………………………………………………………………………
5. C ×(A∩ B) = …………………………………………………………………………………………………………………
6. (A∩ B)×(C ∪ D) = ……………………………………………………………………………………………………………
7. P(D)×(A∩ B) = ………………………………………………………………………………………………………………
8. (C − A)× P(B) = ………………………………………………………………………………………………………………
9. {(x, y) ∈ A× B x + y เปน็ เลขคู่ } = ……………………………………………………………………………………………
10. {(x, y) ∈ A× B x + y ≥ 7} = ……………………………………………………………………………………………………

ฟงั กช์ นั

คอื ความสัมพนั ธ์ท่ีสมาชิกตัวหนา้ จับคูก่ ับสมาชกิ ตวั หลังได้เพียงตวั เดียว หรอื จำ� งา่ ยๆ วา่ “โดเมนไม่ซ�้ำ”

โดเมน (Domain) คอื เซตของ x ท่ีทำ� ให้ y หาค่าได้
เรนจ์ (Range) คอื เซตของ Y ที่ทำ� ให้ x หาค่าได้

“ท่องงา่ ยๆ วา่ โดเมน คือ x และ เรนจ์ คอื Y”

การตรวจสอบฟังก์ชนั

1. ความสมั พันธ์แบบแจกแจงสมาชิก

โดยดวู า่ สมาชกิ ตัวหนา้ จบั คู่กับสมาชกิ ตวั หลงั มากกว่า 1 คหู่ รือไม่ ถ้าจบั ค่มู ากกว่า 1 คูจ่ ะไมเ่ ป็นฟังก์ชัน
เชน่ = { (1, 2), (2, 4), (6, 3), (7, 2), (9, 4) }
เป็นฟงั ก์ชันเพราะ ไม่มีสมาชิกตวั หนา้ ใดเลยทีจ่ ับคมู่ ากกว่า 1 คู่
= { (2, 2), (2, 4), (4, 1), (5, 8), (7, 1) }
ไมเ่ ป็นฟงั ก์ชันเพราะ มีสมาชกิ ตัวหน้าทจี่ บั คู่กันมากกวา่ 1 คู่ คอื สมาชกิ ตัวหนา้ 2 จับคู่กับ 2 และ 4

2. ความสมั พันธท์ ี่เป็นสมการ

เม่ือแทนคา่ x ในสมการ จะตอ้ งใหค้ ่า y ออกมาเพยี งค่าเดียว ถา้ ได้ y มากกวา่ 1 ค่าแสดงว่าไม่เปน็ ฟงั ก์ชนั
เชน่
เป็นฟังก์ชันเพราะเม่อื แทน x = 1 , 2 , 3 , … จะได้ y เพียง 1 คา่ เสมอ

ไม่เปน็ ฟังก์ชันเพราะเมือ่ แทนคา่ x = 1 จะได้ y มากกวา่ หนึ่งคา่ คอื 1 และ -1

48 ตวิ เข้ม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

3. กราฟของความสมั พันธ์

ท�ำได้โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าตัดมากกว่า 1 จุดแสดงว่าไม่เปน็ ฟังกช์ ่นั
กราฟ A กราฟ B

yy

xx

กราฟ A เป็นกราฟฟังก์ชัน เพราะเม่อื ลากเส้นขนานกบั แกน y แลว้ ไดจ้ ุดตัดเพียง 1 จุด
กราฟ B ไมเ่ ปน็ กราฟฟังกช์ นั เพราะเมือ่ ลากเส้นขนานกบั แกน y แล้วได้จุดตดั 2 จุด
4. การหาคา่ ของฟังกช์ ัน

หาได้จาก 3 วิธี ไดแ้ ก่
1) หาจากเซตทแี่ จกแจงสมาชกิ
2) อา่ นจากกราฟ และ
3) แทนค่าในสมการ โดยค่าท่หี าได้จากฟังกช์ ันจะเปน็ คา่ y

ตัวอยา่ งท่ี 1 ก�ำหนดให้ f = { (1, 2), (2, 4), (6, 3), (9, 6) } จงหาคา่ k เม่ือ f(k) = f(1) + f(2)
วิธที ำ� จากฟังก์ชนั ท่กี ำ� หนดจะได้ f(1) = 2 และ f(2) = 4 ดังนนั้ f(1) + f(2) = 6

จะไดว้ า่ f(9) = 6 ฉะนัน้ k = 9

ตวั อย่างท่ี 2 ก�ำหนดให้ f(x) = 2x+1 และ g(x) = -4 จงหาคา่ ของ f(3) – g(4)
วิธที �ำ จากโจทย์ พิจารณา f(3) แทน x = 3 ลงในสมการ f(x)

จะได้ f(3) = 2(3) +1 = 7
พจิ ารณา g(4) จะไดว้ ่า g(x) = -4 ทุกคา่ x ดังนัน้ g(4) = -4
ดังน้นั f(3) – g(4) = 7 – ( -4) = 11

5. ฟงั ก์ชนั เชิงเส้น

คอื ฟงั ก์ชันทีอ่ ยูใ่ นรปู y = f(x) = ax + b เมอ่ื a , b∈R และ a ≠ 0

ตวิ เขม้ O-NET Get 100 by TruePlookpanya 49