ครง้ัที่20
คณิตศาสตร(O-Net+PAT1+สามัญ)
อ.วเิศษกีส่ขุพันธ(พ่เีอ)WebyTheBrain
ผศ.สชุพีงามเจรญิ
อ.ไอศรุิยสดุประเสรฐิ
อ.ภาคภูมิอรามวารีกุล(พแ่ีท็ป)Alevel
รวมเปดโอกาสสูเยาวชนไทย
ทกั ทาย
โครงการ “Sahapat Admission ครั้งท่ี 20” (ทบทวนความรู้สู่มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์) จัดโดย
บริษัท สหพัฒนพิบูล จ�ำกัด (มหาชน) โดยผลิตภัณฑ์ มาม่า บิสชิน มองต์เฟลอ ริชเชส ร่วมมือกับ บริษัท
เนชน่ั บรอดแคสตง้ิ คอรป์ อเรชนั่ จำ� กดั (มหาชน) และ บรษิ ทั ดาตา้ โปร คอมพวิ เตอร์ ซสิ เตม็ ส์ จำ� กดั รว่ มสนบั สนนุ
โดย มหาวทิ ยาลยั หอการคา้ ไทย จัดข้ึนเพือ่ เตรยี มความพรอ้ มให้แกน่ ักเรียนทก่ี ำ� ลงั เตรยี มตัวเขา้ สู่มหาวทิ ยาลยั
ซง่ึ ปนี จ้ี ัดเป็นปที ่ี 20 นบั เป็น “2 ทศวรรษ แห่งการสรา้ งโอกาสทางศกึ ษาใหก้ บั เยาวชนไทย” สำ� หรบั การจัด
ทบทวนความรูใ้ นครง้ั นี้ มคี วามเขม้ ขน้ เปน็ อยา่ งมาก เพ่อื รบั มอื ระบบการคดั เลือกเข้าศึกษาในสถาบันการศกึ ษา
ระบบใหม่ “Thai University Central Admission System” (TCAS) ซึ่งมีหลักการที่สําคัญ คือ ให้นักเรียน
อยู่ในห้องเรียนจนจบหลักสูตร จะจัดการสอบเพ่ือการคัดเลือกได้หลังจากท่ีนักเรียนเรียนจบหลักสูตรแล้ว
ดงั นนั้ เพอื่ ใหน้ กั เรยี นมธั ยมปลายไดม้ คี วามพรอ้ มอยา่ งเตม็ ท่ี กอ่ นการสอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั การจดั ทบทวนความรู้
ในคร้งั นี้ จึงรวบรวมแนวขอ้ สอบจากทุกสนาม ทง้ั O-Net, GAT, PAT และสอบตรงวิชาสามัญ รวมทัง้ เทคนคิ พชิ ิต
TCAS61 ซงึ่ จดั ขึ้นระหวา่ งวนั ท่ี 2 - 7 ตุลาคม 2560 ท่มี หาวิทยาลยั หอการค้าไทย และสง่ สญั ญาณบรอดแบนด์
ไปยังโรงเรียนทุกภูมิภาคท่ัวประเทศ เพื่อการกระจายโอกาสทางการศึกษาที่เท่าเทียมโดยได้รับการสนับสนุน
การถา่ ยทอดสญั ญาณบรอดแบนด์ จากบริษัท ดาต้าโปร คอมพิวเตอร์ ซสิ เตม็ ส์ จ�ำกดั
คู่มอื ทบทวนความรฉู้ บับน้ี คณาจารยผ์ ้เู ช่ยี วชาญในแตล่ ะวชิ า ได้จัดเตรียมเนอื้ หาสาระส�ำคญั ๆ ไว้ใหน้ อ้ งๆ
เพื่อเข้าฟงั คำ� บรรยายในแตล่ ะวนั ตลอดระยะเวลาการตวิ โดยคณาจารยใ์ นแตล่ ะวชิ าจะอธบิ ายและขยายความ
ให้น้องๆ ได้เข้าใจถึงแก่นสาร และเติมเต็มส่ิงที่ขาดหายให้กับน้องๆ ได้มีความพร้อมในการพิชิตข้อสอบเข้า
มหาวิทยาลยั ในฝันดังท่ีปรารถนา
การท่ีจะก้าวไปสู่เส้นทางแห่งความส�ำเร็จได้น้ัน น้องๆ ต้องตั้งใจเก็บเกี่ยวความรู้ในช่วงเวลาอันสั้นนี้
ใหไ้ ดม้ ากทส่ี ดุ พๆี่ ขอเปน็ กำ� ลงั ใจใหน้ อ้ งๆ ทกุ คนสมหวงั ดงั ทต่ี ง้ั ใจและใฝฝ่ นั และขออวยพรใหโ้ ชคดใี นทกุ สนามสอบ
กองบรรณาธกิ าร
โครงการ Sahapat Admission
(ทบทวนความรู้สู่มหาวทิ ยาลัยกับสหพฒั น)์
สารบญั
คณิตศาสตร์ (O-NET+PAT1+สามญั ) : อ.วิเศษ กส่ี ขุ พันธ์ (พเี่ อ๋ We by The Brain) 4
ฟังก์ชน่ั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั่ ลอการิทึม 7
ความสมั พนั ธแ์ ละฟังก์ชนั่ 10
เวกเตอรส์ องมิติและสามมติ ิ 12
สถติ ิ
คณติ ศาสตร์ (O-NET+PAT1+สามัญ) : ผศ.สชุ พี งามเจรญิ (ม.หอการคา้ ไทย)
อ.ไอศรุ ยิ สดุ ประเสรฐิ (ม.หอการคา้ ไทย)
ฟังกช์ ่นั ตรโี กณมิต ิ 17
ลำ� ดบั อนุกรม 20
ระบบจ�ำนวนจริง 26
ความน่าจะเปน็ 30
คณิตศาสตร์ (O-NET+PAT1+สามญั ) : อ.ภาคภมู ิ อรา่ มวารกี ลุ (พแ่ี ทป็ เอเลเวล) OnDemand
เรขาคณติ วเิ คราะหแ์ ละภาคตัดกรวย 35
เมทริกซ์ 38
จำ� นวนเชิงซ้อน 43
แคลคูลัส 46
2 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ที่ 20
คณติ ศาสตร์ (O-NET+PAT1+สามญั ) อ.วิเศษ กี่สุขพนั ธ์ (พี่เอ๋ We by The Brain)
3 โครงการ Sahapat Admission คร้ังท่ี 20
ฟTงั emกpช์latันe คเอู่มือกทซบ์โทพวนเนควนามเชรู้สียู่มลหาแวิลทยะาฟลัยงั กกับสช์ หันพัลฒนอ์ คกร8ัางทรี; 2ทิ 0มึ
1. ผ1.ล บ4ว กข องค ำ� ตอ2บ.ท จ ง5ััด้ ห พมิมด ขพอ์เปง ็สนมเกล3ำ่ม. ร 6(loS giz ex ห– 2น ัง(xส –ื4 อ5.)เ ล =8็ก 0ก เวท ่าำ่ กAบั 4ข)้อใ5ด. ต 9อ่ ไปน ี ้ (สำมญั 60)
1 วันแจก 1 เล่ม (รวมวิชาและอาจารย์ใน 1 วัน)
Cordia New (Body CS) - FONT16
2. ก�ำหนดให้ a และ b เป็นจ�ำนวนจริงบวก
1ถ้.ำ l2o10ga2 b = 52 .แล1้ว10 logb2 a เ3ท.ำ่ กบั 51ข้อใดตอ่ ไป4น.ี ้ 1 (0สำมญั 59) 5. 20
ทบทวนความรู้สู่ มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร6ังที920
4 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ที่ 20
3. ถ้ำ x T แeลmะp lya tเeปค็นู่มจื�ำอนทวนบจทรวิงทน่ีสคอวดาคมลรู้้อสงู่ มกหบั าวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร8ังท;ี 20
3(8 – 2x) 4(x + y) = 384(9y) และ 5(3x – 2y – 3) = 1
1แ.ล้ว2คำ่ ของ xy เ2ท.ำ่ จก3ัดบั พขิม้อใพด์เตป็อ่ นไเปล3น่ม.ี ้ 3 ((S.P5iAzTe ห1 น มังี.คสื4.อ .6เ0ล5)็กกว่า A4) 5. 7.5
1 วันแจก 1 เล่ม (รวมวิชาและอาจารย์ใน 1 วัน)
Cordia New (Body CS) - FONT16
4. ถ้ำ A เป็นเซตค�ำตอบของอสมกำร
(x2 – 2x – 16)log2 (2 – 3) < log2 (2 + 3)
แล้ว A เป็ นสบั เซตของชว่ งในข้อใดตอ่ ไปนี ้ (PAT 1 มี.ค. 60)
1. (– ∞, – 3) ∪ (4, ∞) 2. (– ∞, – 4) ∪ (3, ∞)
3. (– 4, 3) 4. (– 3, 6)
5. (– 1, 9)
ทบทวนความรู้สู่ มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร6ังท9ี20
5 โครงการ Sahapat Admission ครัง้ ท่ี 20
5. ให้ A T เeปm็นpเซlaตtขeอคงู่มจื�ำอนทวนบจทรวิง น xค วทางั้ มหรมู้สดู่ ทม่ีสหอาดวคิทลย้อางลกัยบั กสับมสกหำรพัฒน์ คร8ังท;ี 20
ถ2้lำo g a41 (เ4ปx็ น +จ� ำ2น4ว)น +เ ตloม็ gใ2น เ(ซ8 ต– 4Ax –ท ่ีมx2ีค)ำ่ ม=ำ ก0ที่สดุ แล้วคำ่ ของ (a + 1)2 เทำ่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้
(PAT 1 ต.ค. 59) จัดพิมพ์เป็ นเล่ม (Size หนังสื อเล็กกว่า A4)
1. 1 21. ว 4ัน แจ ก 1 เล่ม3(.ร 9ว มวิช าแ ละอ4า.จ า1ร6ย ์ใ น 1 วัน5). 25
6. ค�ำตอบข้อใดไมเ่ ทำ่ กบั log x •z y1/n 3 (PAT 3 มี.ค. 59)
2. (log x + long y – log z)3
Cord13i..a N33n(e (n1 lw o lgo( gBx ox+d +lyo gC1n Sylo )–g lo-y g– F z On1) NlogT 1z6) 4. 3(log x1/n + log y1/n – log z1/n)
5. n3 log x + n3 log y – n3 log z
7
. ให้ A แทนเซตค�ำตอบของสมกำร
25 + 3(15) x = 5 x + 25(3 x + 1) เม่ือ x เป็ นจ�ำนวนจริง และให้ B = 3x + 5x x ∊ A
คำ่ มำกท่ีสดุ ในเซต B เทำ่ กบั เทำ่ ใด (PAT 1 มี.ค. 59)
8
. ผลบวกของค�ำตอบทงั ้ หมดของสมกำร (log 100x)2 + 2 log100x + 2 = 0
เทำ่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้ (สำมญั 60)
11 101 11
1. 1000 2. 1000 3. 100 4. 101 5. 110
ทบทวนความรู้สู่ มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร6ังท9ี20
6 โครงการ Sahapat Admission คร้ังท่ี 20
Template คู่มือคทวบทาวมนสควัมามพรู้สันู่มธหา์แวลิทยะาฟลัยงั กกับสช์ หนั พัฒน์ คร8ังท;ี 20
9. ให้ f = (x, y) ∊ Rจ ั×ด พRิม | พy ์เ ป=็ น เ2ล ่xม– –x( S1–i zxe2 ห น เัมงส่ือื อ Rเล ็แกทกนว่เาซAตข4อ)งจ�ำนวนจริง
โ1ด. เ ม(–น∞ขอ, ง– 2f ) ตรง1กวบั ันข้อแใจดกต1อ่ ไเปล่นมี ้ ((รPวAมTว 1ิช าตแ.คล.ะ 25อ.9 า )(จ–า∞รย, ์ใ–น 2)1 ∪วัน(1), ∞)
3. (– 2, 1) 4. (– ∞, – 1) ∪ (2, ∞)
5. (– 1, 2)
Cordia New (Body CS) - FONT16
10. ให้ R แทนเซตของจ�ำนวนจริง และ a เป็นจ�ำนวนจริงโดยที่ a ≠ 0
ให้ f : R R และ g : R R เป็นฟังก์ชนั ที่นิยำมโดย
f(x) = ax + 2 และ g(x) = x3 – 3x(x–1) ส�ำหรับทกุ จ�ำนวนจริง x
ถ้ำ (f–1 o g–1)(1) = 1 แล้ว (g o f)(a) เทำ่ กบั เทำ่ ใด (PAT 1 เม.ย. 57)
ทบทวนความรู้สู่ มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร6ังที920
7 โครงการ Sahapat Admission คร้ังท่ี 20
11. ก�ำหนTดeใหm้ Rpl aแtทeนคเู่ซมตือขทองบจท�ำนววนนคจวราิงมรู้สู่ มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร8ังท;ี 20
ให้ f : R – {5} R เป็นฟังก์ชนั
คโดำ่ ยขทอี่ งf ((xf) – =1 o 5f x x– 1– +) ( 5 1จ3 )ัด สตพำ�ริมหงกรพับบั ์เปจข็้�ำอนนใเดวลตน่มอ่จไ(รSปิง iนxzี e้ ≠(หP5AนTัง 1ส ื อ ตเล.ค็ก. ก59ว่)า A4)
1. f(0) 21. วf(ัน–1แ)จ ก 1 เล่ม3(.ร f(ว1ม) วิช าแ ละอ4า.จ fา(–ร2ย)์ใ น 1 วัน5) . f(2)
Cordia New (Body CS) - FONT16
12. ให้ f และ g เป็นฟังก์ชนั โดยท่ี
f(x) = 79 –– xx ,, xx >≤ 40 และ g(x) = x + 2 , x < 1
x – 4 , x ≥ 1
พิจำรณำข้อควำมตอ่ ไปนี ้
(ก) ถ้ำ x ≤ 0 แล้ว (gof)(x) = 9 – x – 4
(ข) ถ้ำ 4 < x ≤ 6 แล้ว (gof)(x) = 3 – x
(ค) ถ้ำ x > 6 แล้ว (gof)(x) = 9 – x
ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง (PAT 1 ต.ค. 58)
1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถกู แต ่ ข้อ (ค) ผิด
2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถกู แต ่ ข้อ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกู แต ่ ข้อ (ก) ผิด
4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกู ทงั้ สำมข้อ
5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทงั้ สำมข้อ
ทบทวนความรู้สู่ มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร6ังที920
8 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ที่ 20
13. ก�ำหนTดeใหm้ Rpl aแtทeนคเู่ซมตือขทองบจท�ำนววนนคจวราิงมรู้สู่ มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร8ังท;ี 20
fใ(หx้ ) f =: R | x – 1R | +แล | ะx +g 1: R| แล ะ R g เ(ปx็น) ฟ =ัง ก ์xช 2นั x + ม 1ีน ิย ำสม�ำโหดรยับทกุ จ�ำนวนจริง x
ถ้ำ a และ b เป็นจัด�ำนพวิมนพจ์เรปิง็บนวเลก่ ม โด(Sยiทzี่ e aห +น ัbง ส=ื อ 1เล็กกว่า A4)
1แ.ล ้ว1 .(4g of)(a) + (1foวgัน)(แbจ) ก เท1ำ่ เกลบั่มข้อ(รใวดมตอ่วิไชปาน2แี .ล้ ะ (1อP.8Aา จTา 1ร ย ม์ใี.นค.1 6 ว0ั)น)
3. 2.4 4. 2.8
5. 3.4
14. ก�ำหนดให้ f(x) = x3 + ax2 + bx + 3 และ g(x) = bx2 + 3x + a
Cordเถiม้aำื่อ N f (ae3w ) แ (ล=Bะ o 0 db y แ เลCปะ็Sน )จx�ำ –น- 2ว นF หจOำรNิรง T f1(x6) มีเศษเหลือเทำ่ กบั 5
แล้วคำ่ ของ (gof)(1) เทำ่ กบั เทำ่ ใด (PAT 1 มี.ค. 57)
15. ให้ f เป็นฟังก์ชนั ซงึ่ มีโดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของจ�ำนวนจริง
โดยที่ 2f(x) – f(x–1) = x + x–1 เม่ือ x ≠ 0
ถ้ำ f( 43 ) = ba เมื่อ a และ b เป็ นจ�ำนวนเตม็ บวก โดยท่ี ห.ร.ม. ของ a และ b เทำ่ กบั 1
แล้วคำ่ ของ a + b เทำ่ กบั เทำ่ ใด (PAT 1 ต.ค. 59)
1
6. ก�ำหนดให้ R เป็ นเซตของจ�ำนวนจริง
ให้ f : R R และ g : R R เป็นฟังก์ชนั โดยท่ี
f(x + 3) = x + 4 และ (f–1og)(x) = 3xf(x) – 3x – 4 สำ� หรับจ�ำนวนจริง x
ถ้ำ A เป็ นเรนจ์ของ gof และ B เป็ นเรนจ์ของ fog
แล้ว A – B เป็ นสบั เซตของชว่ งในข้อใดตอ่ ไปนี ้ (PAT 1 มี.ค. 59)
1. (0, 2) 2. (–2, 1)
3. (–3, 0) 4. (–4, –2)
5. (–6, –3)
ทบทวนความรู้สู่ มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร6ังที920
9 โครงการ Sahapat Admission คร้ังที่ 20
Template คู่มเือวทกบเทตวอนครว์สามอรู้สงู่มมหาติ วิทแิ ยลาละัยสกาับมสหมพติ ัฒิน์ คร8ังที; 20
17. กโด�ำยหทนี่ ดaใ •ห b้ a = แ 1ล5ะ ,b |จ aเัด|ป =็พน ิเ6มว พก แเ์เตลปอะ็ น ร(์ เ2ลa่ม +( Sbi)z •e (aห –น ัbงส) ื=อ เ3ล2็กกว่า A4)
1ค.ำ่ ข4อ ง |a – 2b| เ1ทวำ่ ันกบัแขจ้อกใด1ตเลอ่ ่ไมป(นรี ้ว (มPAวิTช า12แ ต.ล .ะ ค อ.7 5า69จ )า ร ย ์ใ น 1 วัน)
3. 9 4. 106
5. 136
Cordia New (Body CS) - FONT16
18. ถ้ำ a = 2i – j + k และ b × c = 3i + 2j – k แล้ว (a × c) • (a + b + c)
เทำ่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้ (สำมญั 60)
1. –3 2. –2
3. 2 4. 3
5. 2 21
ทบทวนความรู้สู่ มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร6ังที920
10 โครงการ Sahapat Admission คร้ังท่ี 20
19. ให้เวTกeเตmอpรl์ avte=คaู่มiือ+ ทbjบ+ทcวkนคเมวอื่ามaร,ู้สbู่ มแหละาวcิทเยปา็นลจัยำ� กนัวบนสจหรงิพัฒน์ คร8ังท;ี 20
และใหเ้ วกเตอร์ u = i – k และ w = 2i + j + 2k
ถ้ำเวกเตอร์ v มีทิศทำงเดยี วกบั เวกเตอร์ u × w และขนำดของเวกเตอร์ v
เท่ำกับ 6 2 หนว่ ยจัดแลพว้ิมคพำ่ ข์เปอ็ งนaเล–่มb(S+izceเหท่ำนกังบั สเืทอ่ำเลใด็ก(กPวA่าTA14ต).ค. 59)
1 วันแจก 1 เล่ม (รวมวิชาและอาจารย์ใน 1 วัน)
Cordia New (Body CS) - FONT16
2
0. ก�ำหนดให้ a, b และ c เป็ นเวกเตอร์ในสำมมิต ิ โดยท่ี a + b = tc
เมื่อ t เป็นจ�ำนวนจริงบวก ถ้ำ a = i + j + k, |b| = |a|2 , |c| = 2
และ a•b + b•c + c•a = 9 แล้วคำ่ ของ t เทำ่ กบั เทำ่ ใด (PAT 1 มี.ค. 59)
2
1. ก�ำหนดให้ A และ B เป็ นเวกเตอร์บนระนำบ โดยท่ี A = 16i + aj
และ B = 8i + bj เมื่อ a และ b เป็ นจ�ำนวนจริง ถ้ำ |A| = |B| และเวกเตอร์ B ท�ำมมุ 60o
กบั เวกเตอร์ A แล้วคำ่ ของ (a + b)2 เทำ่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้ (PAT 1 ต.ค. 58)
1. 8 2. 16
3. 64 4. 192
5. 320
ทบทวนความรู้สู่ มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร6ังท9ี20
11 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ที่ 20
22. ก�ำหนTดeใหm้ ap lแatลeะค bู่ม เือป็นทเบวกทเตวอนรค์ใดวาๆม ทร่ีไู้สมู่ มเ่ ปห็นาเววิกทเยตาอลรั์ศยกนู ับย์ สหพัฒน์ คร8ังที; 20
พิจำรณำข้อควำมตอ่ ไปนี ้
(ก) ถ้ำ a ขนำนกบั b แล้ว |a – b| = |a| – |b|
(ข) ถ้ำ |a + b|2จ ัด=พ |aิม|2พ +์เป |็bน|2เล ่แมล(้วS iaz e ตหงั้ ฉนำังกสกื อบั เ ลb็กกว่า A4)
(ค) ถ้ำเวกเตอร์ a + b ตงั้ ฉำกกบั เวกเตอร์ a – b แล้ว |a| = |b|
ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต1้องว ัน (PแAจTก 11 เตล.่คม. (5ร8ว)มวิชาและอาจารย์ใน 1 วัน)
1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถกู แต ่ ข้อ (ค) ผิด
2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถกู แต ่ ข้อ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกู แต ่ ข้อ (ก) ผิด
4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกู ทงั้ สำมข้อ
C ord5i.a Nข้อew (ก()B ขo้อd y(ขC)Sแ)ละ- ข้อF (OคN) ผTิด1ท6งั้ สำมข้อ
สถิติ
23. ถ้ำผลกำรเรียนวชิ ำคณิตศำสตร์ของ ด.ช.จ้อย เป็นดงั ตำรำงตอ่ ไปนี ้
คะแนนที่ได้ เกณฑ์กำรให้น�ำ้ หนกั
(จำกคะแนนเตม็ 100) ในกำรคดิ คะแนน
กำรบ้ำน 85 20%
สอบกลำงภำค 65 40%
สอบปลำยภำค 70 40%
แล้วจ�ำนวนเปอร์เซน็ ต์ของผลกำรเรียนวชิ ำคณิตศำสตร์ของ ด.ช.จ้อย
เทำ่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้ (สำมญั 60)
1. 68 2. 71
3. 74 4. 77
5. 80
ทบทวนความรู้สู่ มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร6ังท9ี20
12 โครงการ Sahapat Admission ครง้ั ที่ 20
24. คะแนTนeสmอบpขlaอteงนคกั ู่มเืรอียนทกบลทมุ่ วหนนคง่ึ มวีกามำรรแู้สจู่ มกหแจางวคิทวยำามลถัย่ี ดกงัับนสี ้ หพัฒน์ คร8ังที; 20
ชว่ งคะแนน จ�ำนวนนกั เรียน
จัดพ67ิม61พ––์เป77็57นเล่ม (Size หนังสื อ23เล็กกว่า A4)
1 วันแ7จ6ก–18เ0ล่ม (รวมวิชาและอาaจารย์ใน 1 วัน)
81 – 85 5
86 – 90 7
91 – 95 b
96 – 100 8
C ordเมiaื่อN ae แwละ(B bo เdปy็นCจ�ำSน) วน-เตFม็ OบNวกT16
ถ้ำเปอร์เซน็ ไทล์ท่ี 25 ของคะแนนสอบนีเ้ทำ่ กบั 80.5 คะแนน
และสว่ นเบ่ียงเบนควอไทล์ เทำ่ กบั 7.5 แล้วจ�ำนวนนกั เรียนท่ีสอบได้คะแนน
มำกกวำ่ 80 คะแนนเทำ่ กบั เทำ่ ใด (PAT 1 มี.ค. 60)
ทบทวนความรู้สู่ มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร6ังที920
13 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ท่ี 20
25. คะแนนTสemอบpวlชaิ tำeคคณู่มติ ือศำทสบตทร์ขวอนงนคกัวเารมียนรู้สหู่้อมงหหานวง่ึ ิทมกียำารลแัยจกกับแจสงหปพกตัฒ ิ นโด์ คยมร8ัคีงทำ่ เ;ี ฉ2ล0ยี่ เลขคณติ
และสว่ นเบี่ยงเบนมำตรฐำนเทำ่ กบั 60 และ 10 คะแนน ตำมล�ำดบั ถ้ำนกั เรียนท่ีสอบได้
คะแนนน้อยกวำ่ 70 คะแนน มี 84.13% แล้วนกั เรียนท่ีสอบได้ 50 คะแนน จะมี
ต�ำแหนง่ เปอร์เซน็ ไทจลัด์ทพ่ีเทิมำ่ พก์เบัป็ขน้อเใลด่มตอ่(Sไปizนeี ้ ห(สนำังมสญั ื อ 6เล0็ก) กว่า A4)
1. 15.87 1 วันแจก 1 เล่ม (รวมวิชา2แ.ล ะ2อ4า.1จ3ารย์ใน 1 วัน)
3. 34.13 4. 47.61
5. 50
Cordia New (Body CS) - FONT16
2
6. ถ้ำข้อมลู 10 จ�ำนวน คือ x1, x2, ..., x10 เม่ือ x1, x2, ..., x10 เป็ นจ�ำนวนจริง
โดยที่คำ่ เฉลีย่ เลขคณิตของข้อมลู x12, x22, x23, ..., x120 เทำ่ กบั 70
และ i 1∑=0 1 (xi – 3)2 = 310 แล้ว
คตำร่ งคกวบัำมข้อแใปดรตปอ่ รไวปนนขี อ้ (งPขA้อTม ล1ู ม3xี.ค1.– 5 19,) 3x2 – 1, ..., 3x10 – 1
1. 6 2. 18
3. 45 4. 54
5. 63
ทบทวนความรู้สู่ มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร6ังที920
14 โครงการ Sahapat Admission ครัง้ ท่ี 20
27. คะแนนTสemอบpวlaชิ tำeคคณู่มติ ือศำทสบตทร์ขวอนงนคกัวเารมียนรู้สหู่้อมงหหานวงึ่ ิทมกียำารลแัยจกกับแจสงหปพกตัฒ ิ นโด์ คยมร8ัสีงทมั ี;ป2ร0ะสทิ ธิ์ของ
กำรแปรผนั ของคะแนนสอบวชิ ำน ี ้เทำ่ กบั 25% และมนี กั เรียนร้อยละ 15.87 ทส่ี อบได้คะแนน
มำกกวำ่ 85 คะแนน ถ้ำนำย ก. เป็นนกั เรียนคนหนงึ่ ในห้องน ี ้สอบได้คะแนน 47.6 คะแนน
นาย ก. จะอยตู่ ำ� แหนจง่ัดเปพอิมรพ์เซ์เน็ป็ไนทลเล ์ ่ตมรง(Sกบiั zขe้อหใดนตังอ่ สไืปอนเล ี ้(็กPกAวT่ า1 Aต4.ค). 58)
เมอื่ กำ� หนดพนื ้ ทใ่ี 1ต้เวสั้นนโแคจ้งกปก1ตเ ิลระ่มห(วรำ่ วง ม0ว ถิชงึ า zแ ดลงัะนอี ้ าจารย์ใน 1 วัน) 1.3
Z 0.4 0.9 1.0 1.1 1.2
พนื ้ ท่ี 0.1554 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032
1. 34.46 2. 18.41
C ord35i..a N193.e6.w587(Body CS) - FONT16 4. 11.51
28. คะแนนสอบของนกั เรียน 160 คน มกี ำรแจกแจงปกต ิ โดยมคี ำ่ เฉลยี่ เลขคณติ เทำ่ กบั
60 คะแนน มนี กั เรียนเพยี ง 4 คนทส่ี อบได้คะแนนมำกกวำ่ 84.5 คะแนน
นกั เรียนทส่ี อบได้ 55 คะแนน จะอยตู่ ำ� แหนง่ เปอร์เซน็ ไทลเ์ ทำ่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้
เมอ่ื กำ� หนดพนื ้ ทใ่ี ต้เส้นโค้งปกต ิ ระหวำ่ ง 0 ถงึ Z ดงั ตำรำงตอ่ ไปน ี ้ (PAT 1 พ.ย. 57)
Z 0.3 0.4 0.5 1.0 1.1 1.96 2.0
พนื ้ ที่ 0.1179 0.1554 0.1915 0.3413 0.3643 0.4750 0.4773
1. 19.15 2. 15.54
3. 34.46 4. 30.85
ทบทวนความรู้สู่ มหาวิทยาลัยกับสหพัฒน์ คร6ังที920
15 โครงการ Sahapat Admission ครั้งที่ 20
29. กำ� หนดให้ ข้อมลู ชดุ ท ่ี 1 คอื x1, x2, x3, ..., x10 และ
ข้อมลู ชดุ ท ี่ 2 คอื y1, y2, y3, ..., y10
โดยที่ x1, x2, x3, ..., x10 เป็ นจ�ำนวนจริงบวก
และ yi = 2xi + 1 สำ� หรับ i = 1, 2, 3, ..., 10
พิจำรณำข้อควำมตอ่ ไปนี ้
(ก) สว่ นเบี่ยงเบนเฉล่ียของข้อมลู ชดุ ที่ 2 มีคำ่ มำกกวำ่ สว่ นเบ่ียงเบนเฉล่ีย
ของข้อมลู ชดุ ท่ี 1
(ข) สมั ประสทิ ธิ์ของกำรแปรผนั ของข้อมลู ชดุ ที่ 2 มีคำ่ น้อยกวำ่ สมั ประสทิ ธ์ิ
ของกำรแปรผนั ของข้อมลู ชุดที่ 1
(ค) ถ้ำแตล่ ะ xi มีคำ่ เพิ่มขนึ ้ 1 หนว่ ย แล้วสว่ นเบี่ยงเบนมำตรฐำนของ
ข้อมลู ชดุ ที่ 2 จะมีคำ่ เพิ่มขนึ ้
ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง (PAT 1 มี.ค. 60)
1. ข้อ (ก) และข้อ (ข) ถกู แต ่ ข้อ (ค) ผิด
2. ข้อ (ก) และข้อ (ค) ถกู แต ่ ข้อ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และข้อ (ค) ถกู แต ่ ข้อ (ก) ผิด
4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และข้อ (ค) ถกู ทงั้ สำมข้อ
5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และข้อ (ค) ผิดทงั้ สำมข้อ
30. กำ� หนดข้อมลู 2 ชดุ คอื ข้อมลู (x) และ ข้อมลู (y) ดงั นี ้
x x1 x2 x3 x4 x5
y y1 y2 y3 y4 y5
โดยท่ี 1 ≤ xi ≤ 25 ส�ำหรับ i = 1, 2, 3, 4, 5
i ∑=5 1 x2i = 175 , i ∑=5 1 xi yi = 1575 , i ∑=5 1 (xi + yi) = 275 , i ∑=5 1 (20xi – yi) = 250
และข้อมลู ทงั้ สองชดุ มีควำมสมั พนั ธ์เชิงฟังก์ชนั แบบเส้นตรง คือ y = mx + c
เม่ือ m, c เป็นจ�ำนวนจริง
ถ้ำ x = 4 แล้วคำ่ ประมำณของ y จะเทำ่ กบั เทำ่ ใด (PAT 1 ต.ค. 59)
16 โครงการ Sahapat Admission ครง้ั ท่ี 20
คณติ ศาสตร์ (O-NET+PAT1+สามัญ) ผศ.สุชีพ งามเจริญ (ม.หอการค้าไทย)
อ.ไอศุรยิ สดุ ประเสรฐิ (ม.หอการค้าไทย)
ฟง กช ันตรโี กณมิติ
เอกลักษณพ้ืนฐานของฟงกช นั ตรโี กณมติ ิกาํ หนดθเปนจาํ นวนจริงใด ๆ
θ⋅θ
θ⋅θ
θ⋅θ
θ θ θ≠
θ
θ
θ θ θ≠
θθ
θθ
θθ
ฟง กช ันตรโี กณมิติของผลบวกและผลตางของมมุ
− −
−
−
+
−
−
− +
ฟง กชนั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ สองเทา และสามเทา
−
−
−
−
−
−
−
−
17 โครงการ Sahapat Admission ครั้งที่ 20
ทบทวนความรูสมู หาวิทยาลยั กับสหพัฒน ครง้ั ที่
ฟง กช ันตรโี กณมิตขิ องมมุ คร่งึ หน่งึ
± −
± +
± −
+
ผลคูณของฟง กช นั ตรโี กณมิติ
−
−−
−
−−
ผลบวกหรอื ผลตางของฟง กชันตรีโกณมิติ
+ −
−
− +
+ −
− − + −
ฟงกชันตรโี กณมติ ผิ กผัน
−≤≤
−≤≤
∈
− π ≤≤ π
≤≤π
− π << π
− −
− π−
− −
π
ท1บ8ทวนโคครวงากมารรสู มูSหahาaวpิทaยtาAลยัdกmับisสsหioพnัฒคนร งั้คทร่ีั้ง2ท0่ี
π
π
+
−
−
− +
การแกสามเหลี่ยมสําหรบั สามเหลย่ี มใด ๆ
จะไดวา °−
ฉะนั้น
และได + °−
พน้ื ท่สี ามเหล่ียม
กฎของไซน
กฎของโคไซน −
−
−
โจทยฝ ก หดั
ถา−จงหา
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
จงหาคาต่าํ สดุ ของ +
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ทบทวนความรูสมู หาวิทยาลยั กบั สหพฒั น ครงั้ ที่
19 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ที่ 20
ถาθ−θ จงหาคาของθ
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
จงหาคาของ °°°
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
จงหาคา ของ
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
จงหาคาของ
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
จงหาคา ของ
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ลาํ ดบั และอนุกรม
ลาํ ดับคอื ฟง กช นั ท่ีมีโดเมนเปนสบั เซตของ…หรอื เซตของจํานวนเตม็ บวกเขียนแทนดวย
…
ทบท20วนคโวคารมงรกสู าูมรหSาaวhิทaยpาaลtยั Aกdับmสiหsพsiัฒonนคครรั้ง้งั ทที่ ี่
20
ลําดับเลขคณติ คอื ลาํ ดบั ทีม่ ผี ลตา งซง่ึ ไดจ ากการนาํ พจนท่ี ลบดว ยพจนที่ เปน
คาคงทีท่ เี่ ทา กันสําหรับทกุ จาํ นวนเต็มบวกเรียกผลตาง−วา ผลตางรวมเขยี นแทนดวย
ลําดับเลขคณิตเขยี นไดเ ปน …−…
พจนท ่ีของลาํ ดบั เลขคณติ คือ−
ถา พบโจทยท่ีจะตอ งหาพจนทว่ั ไปของลําดับเลขคณิตกอนโดยกาํ หนดตัวเลขในลาํ ดับเลขคณิตมาชุดหนึ่ง
ท่ีเปนพจนเรยี งตอกันใหส้ มมติพจนใ นลําดับเลขคณติ เพอื่ คํานวณ และโดยมีหลักการดังนี้
• ถา จํานวนพจนท ี่กาํ หนดให มีจาํ นวนคูพจนใหสมมติ …−−…
• ถา จํานวนพจนท กี่ าํ หนดมจี ํานวนคี่พจนใหส มมติ …−−…
ลําดับเรขาคณิต คอื ลําดับทีม่ อี ัตราสว นจากการนําพจนท ี่ หารดว ยพจนท่ี เปน
วาอตั ราสวนรวมเขยี นแทนดว ย
คา คงทีท่ ่เี ทากันสาํ หรับทกุ จํานวนเต็มบวกเรียกอตั ราสว น +
ลาํ ดับเรขาคณิตเขยี นไดเ ปน…−…
พจนท่ีของลาํ ดบั เลขคณติ คือ−
ทฤษฎบี ทของลมิ ติ ของลําดับ
กาํ หนดและเปน ลาํ ดบั ลูเ ขา ซึง่ และ
→∞ →∞
เปน คาคงทใ่ี ด ๆ
→∞
เปนคาคงทีใ่ ด ๆ
→∞
±±
→∞
→∞
ถา ≠ทุกจํานวนเต็มบวกและ≠แลว
→∞
ถา ≥ทุกจํานวนเต็มบวกและ>แลว
→∞
ถาเปน จาํ นวนเต็มบวกแลว
ไมม คี า
→∞ →∞
อนกุ รมจํากัดคือผลบวกของพจนทกุ พจนข องลําดบั จํากดั
นน่ั คือถา…เปนลําดับจํากดั ของจํานวนจริงแลวอนกุ รมจาํ กดั คืออนกุ รมในรปู
⋯
∑
=
ทบทวนความรูสูมหาวิทยาลยั กับสหพฒั น คร้งั ท่ี
21 โครงการ Sahapat Admission ครัง้ ที่ 20
อนกุ รมอนนั ต คือผลบวกของพจนท กุ พจนของลาํ ดบั อนันต
นน่ั คอื ถา ……เปนลําดับอนนั ตข องจาํ นวนจรงิ แลวอนกุ รมอนนั ตค อื อนกุ รมในรปู
∞ ⋯⋯
∑
=
สมบัตทิ ีส่ าํ คญั
ถาเปน คาคงท่ี แลว
∑
=
± ±
∑ ∑ ∑
= = =
∑ ∑
= =
⋯
⋯
⋯ ⋯
ผลบวกของอนกุ รมจํากัด
ให ⋯แทนผลบวกพจนแ รกของอนกุ รม
• ผลบวกพจนแรกของอนุกรมเลขคณติ หาไดจาก
−
• ผลบวกพจนแรกของอนุกรมเรขาคณิตหาไดจาก
−
− ≠
− ≠
−
ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต
กําหนดลาํ ดบั ของจํานวนจริง…ให
⋮
⋯
คือผลบวกยอย พจนแรกของอนุกรมและลําดับ … คือลําดับของผลบวกยอยของ
อนกุ รม
ทบทวนความรสู มู หาวิทยาลยั กับสหพฒั น ครั้งที่
22 โครงการ Sahapat Admission คร้ังที่ 20
การหาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต จะพิจารณาจากลมิ ิตลาํ ดบั ของผลบวกยอยของอนุกรมโดย
ถา ลําดับเปน ลําดบั ลูเขาและ แลวอนุกรมอนนั ตเปน อนกุ รมลเู ขา
→∞
และเรยี กวาผลบวกของอนกุ รมผลบวกของอนกุ รมอนันตบ างครงั้ แทนดวยสัญลักษณ ∞
ถาลําดับเปนลําดับลอู อกนนั่ คอื ไมมคี าแลว อนกุ รมอนันตเปนอนกุ รมลูอ อก
→∞
จากบทนยิ ามเก่ยี วกบั อนกุ รมลเู ขาและอนกุ รมลูออกจะไดวา
อนุกรมเลขคณิตเมอื่ เปน อนุกรมอนนั ต
ถาพจนท ั่วไปของลําดบั เลขคณติ อยใู นรปู −
จะไดว าอนกุ รมน้ีเปน อนุกรมลอู อกเสมอยกเวน
อนุกรมเรขาคณิตเมอ่ื เปนอนกุ รมอนนั ต
ถา พจนทว่ั ไปของอนุกรมเรขาคณติ อยใู นรูป−จะไดวา
• อนุกรมเรขาคณติ เปนอนกุ รมลอู อกเม่อื ≥
−
• อนกุ รมเรขาคณติ เปนอนกุ รมลูเขาเมอ่ื <และผลบวกของอนกุ รม
อนกุ รมพีเปนอนุกรมท่อี ยูในรูป ∞ ⋯เม่อื เปนจาํ นวนจริง
∑
=
• อนกุ รมพีเปนอนกุ รมลเู ขา เมือ่ >
• อนุกรมพีเปนอนกุ รมลูอ อกเม่ือ≤
สมบัตทิ สี่ าํ คญั เกี่ยวกบั อนุกรมลเู ขา
ถาอนุกรม ∞ เปนอนุกรมลเู ขา แลว
∑ →∞
=
แตถ า แลว ไมส ามารถสรปุ ไดว า ∞ เปน อนุกรมลูเ ขา
→∞ ∑
=
ถา ≠แลว ∞ เปนอนกุ รมลูออก
→∞ ∑
=
ถา ∞ และ ∞ เปน อนุกรมลเู ขา แลว ∞ เปน อนกุ รมลเู ขา
∑ ∑ ∑
= = =
ถา ∞ เปนอนุกรมลเู ขา แต ∞ เปนอนกุ รมลูอ อกแลว ∞ เปนอนุกรมลอู อก
∑ ∑ ∑
= = =
โจทยฝก หดั
ถา …เปนลําดับเลขคณติ ท่ี⋯
แลว⋯มีคาเทา ใด
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ทบทวนความรสู ูมหาวิทยาลยั กับสหพฒั น ครงั้ ท่ี
23 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ท่ี 20
จงหาจาํ นวนสมาชกิ ในเซต…ที่หารดว ยหรอื ลงตัว
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
จงหาผลบวก⋯
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
จงหาพจนท ่ี ของลาํ ดบั …
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
กําหนด…จํานวนพจนท ี่หารลงตัวมีก่ีพจน
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
กําหนด…จํานวนพจนท ่ี หารลงตวั มกี ี่พจน
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
จงหาผลบวก⋯
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
จงหาผลบวก⋯
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ทบทวนความรูส ูมหาวิทยาลยั กับสหพัฒน ครัง้ ที่
24 โครงการ Sahapat Admission ครัง้ ท่ี 20
จงหาผลบวก
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
จงหาผลบวก + + + ⋯ +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
จงหาผลบวกพจนแรกของอนุกรม⋯
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
จงหาผลบวก−−⋯−−
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ทบทวนความรูสูม หาวิทยาลยั กบั สหพฒั น คร้งั ที่
25 โครงการ Sahapat Admission ครงั้ ที่ 20
26 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ท่ี 20
ทฤษฎีบทตัวประกอบกาํ หนดพหุนาม−−⋯
จะไดว า พหนุ าม−เปนตัวประกอบหน่งึ ของพหนุ ามก็ตอ เม่ือ
สมบัติไตรวิภาคสาํ หรบั จาํ นวนจริงและ ใด ๆ ขอความตอไปนเ้ี ปน จรงิ เพียงขอเดยี วเทา นัน้
หรือ < หรือ >
วธิ กี ารหาคําตอบของอสมการทาํ ไดดงั นี้
ขนั้ ที่ ถา ดา นขวาของอสมการที่โจทยกําหนดยงั ไมเ ปนศนู ย ใหทาํ ดานขวาของอสมการใหเ ปนศูนย
ขัน้ ที่ แยกตวั ประกอบของพหนุ ามทางซา ยมือสมมติวาแยกไดเ ปน
−−⋯−−−โดยที่ <<…
< หาคา ทที่ ําใหแ ตละวงเลบ็ −−⋯−−−
จะได …−
ขนั้ ท่ี เขยี นคาทัง้ หมดลงบนเสนจํานวน
ข้ันที่
−
ขนั้ ที่ ใสเ คร่อื งหมายบวกและลบสลบั กนั ไปโดยเริ่มใสเครื่องหมายจากขวามือสุดกอน
+−+
− −
ถา อสมการในโจทย เปนเครื่องหมาย<ใหตอบในชว งทเ่ี ปนเครอ่ื งหมายลบ
ถาอสมการในโจทย เปนเครือ่ งหมาย>ใหตอบในชว งท่เี ปนเครอ่ื งหมายบวก
ขั้นท่ี และถาอสมการมี รวมอยดู วยคาํ ตอบของอสมการจะมเี ทา กบั รวมอยูดว ยเชนกนั
คา สัมบูรณของจาํ นวนจรงิ เขยี นแทนดว ยนิยามโดย
≥
− <
สมบัติท่สี าํ คญั ของคาสัมบรู ณกําหนดและเปนจํานวนจรงิ ใด ๆ
≥ −
ทบทวนความรสู มู หาวิทยาลยั กบั สหพัฒน ครง้ั ที่
27 โครงการ Sahapat Admission คร้ังที่ 20
≠
−− ≤
−≥−≥− ก็ตอ เม่ือ±
ถาเปน จํานวนจริงบวกแลว
<กต็ อเมอื่ −<<
≤ก็ตอ เมอ่ื −≤≤
ถาเปนจาํ นวนจริงบวกแลว
>กต็ อเม่ือ<−หรือ>
≥ก็ตอเมอื่ ≤−หรอื ≥
โจทยฝ กหดั
นยิ าม∗สําหรบั และเปน จํานวนจรงิ ใด ๆ
ถาและเปนจาํ นวนจริงแลวขอใดตอไปนี้ถกู ตอ ง
∗∗∗∗
∗∗∗
∗∗∗∗
∗∗∗
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ให−โดยเปน จาํ นวนจรงิ บวก
ถา −หารเหลอื เศษและ−หารเหลอื เศษ
จงหาคาของ
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ใหและเปน จาํ นวนจริง
ถาหารดวย−ลงตวั แลว −เทา กบั เทาใด
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ทบทวนความรสู มู หาวิทยาลยั กบั สหพฒั น ครงั้ ที่
28 โครงการ Sahapat Admission คร้ังท่ี 20
29 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ท่ี 20
ความนา จะเปน
กฎขอ กฎการคณู
ในการทาํ งานอยา งหนึ่งประกอบดว ยขั้นตอนโดยขนั้ ตอนท่ีมวี ธิ ีเลือกทาํ ได วธิ ี
ในแตละวิธีของขั้นตอนที่มีวธิ ีเลอื กทําขั้นตอนท่ี ได วธิ ี
ในแตล ะวิธีของขน้ั ตอนที่มวี ิธเี ลือกทําขั้นตอนท่ี ได วธิ ี
⋮
เชนนเ้ี รอ่ื ยไปจนถึงข้นั ตอนสดุ ทา ยคือขั้นตอนท่ีทาํ ได วิธี
ดังนนั้ จาํ นวนวธิ ที ํางานทง้ั หมดได ⋯วิธี
กฎขอกฎการบวก
ในการทํางานอยางหนึง่ ประกอบดว ยวิธีคือวิธีท่ีถงึ วิธีที่โดย
การทาํ งานวิธที ี่ทาํ ได วิธี
การทาํ งานวธิ ที ่ีทาํ ได วิธี
⋮
เชนนี้เร่อื ยไปจนถงึ ข้ันตอนสุดทา ยคอื การทาํ งานวธิ ที ่ีทําได วิธี
ถา ตอ งการเลอื กทาํ งานวิธใี ดวธิ หี นงึ่ เพียงหนงึ่ วธิ ีเทา นั้นจะไดจํานวนวธิ ีในการทํางานน้ี
เทากบั ⋯วธิ ี
บทนิยาม กําหนดเปนจาํ นวนเตม็ บวกแฟกทอเรยี ลเขียนแทนดว ยนยิ ามโดย
⋅−⋯⋅⋅
และ
กฎขอวธิ ีเรยี งสบั เปลย่ี นเชิงเสนตรง
จาํ นวนวธิ ีเรยี งสับเปลยี่ นเชิงเสน ตรงของสิ่งของสงิ่ ที่แตกตา งกันทั้งหมดเทากบั วธิ ี
กฎขอ วิธีเรียงสับเปลย่ี นเชิงเสน ของสิง่ ของที่ไมแตกตา งกนั ท้งั หมด
ถา มีสิ่งของสิง่ ในจาํ นวนนมี้ ี ส่ิงท่เี หมอื นกนั เปนกลุมท่หี น่ึง
มีสง่ิ ทเี่ หมือนกนั เปนกลุมทส่ี อง
⋮
มีส่ิงทเ่ี หมือนกันเปน กลมุ ท่ี โดยที่ ⋯
จํานวนวิธีเรียงสับเปลย่ี นสิ่งของสิ่งเทา กับ วิธี
⋯
ทบทวนความรสู ูมหาวิทยาลยั กบั สหพฒั น คร้งั ที่
30 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ท่ี 20
กฎขอ วิธีเรียงสบั เปลยี่ นเชงิ วงกลม
จํานวนวิธเี รยี งสับเปลยี่ นเชงิ วงกลมของสงิ่ ของส่งิ ทแ่ี ตกตา งกนั ท้ังหมดเทา กับ−วธิ ี
กฎขอ จาํ นวนวธิ ีจดั หมขู องสง่ิ ของที่แตกตางกันส่งิ โดยเลือกคราวละส่งิ เม่ือ≤≤
( ) ( )
เทากบั หรือวิธีโดย −
สมบัติทนี่ า สนใจกําหนดและเปน จํานวนเตม็ ท่ี≤≤
( ) ( )
( ) ( ) ก็ตอเมอื่ หรือ
( ) ( ) ++
+
กฎขอ วิธเี รยี งสับเปลี่ยนเชงิ เสน ของส่งิ ของท่ีแตกตา งกนั ทงั้ หมด
จาํ นวนวธิ เี รียงสับเปลยี่ นสิ่งของสง่ิ ที่แตกตา งกนั ทั้งหมดโดยจัดเรยี งคราวละส่งิ
เมอ่ื ≤≤เทากับวิธีโดย
−
โจทยฝก หดั
จงหาจาํ นวนวธิ ีในการสรา งเลขสามหลักจากเลขโดดและเมื่อ
ไมม เี งอ่ื นไขใด ๆ
เปน เลขคี่
เปน เลขคู
แตละหลักใชเลขไมซ ํา้ กัน
เปน เลขค่ีทแี่ ตละหลักใชเ ลขไมซ าํ้ กัน
เปนเลขคูท ่แี ตละหลกั ใชเ ลขไมซ ํา้ กนั
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ทบทวนความรูสมู หาวิทยาลยั กบั สหพัฒน คร้งั ท่ี
31 โครงการ Sahapat Admission ครั้งท่ี 20
มาลตี องการเดินทางจากเมืองไปยงั เมือง โดยตองเดินทางผา นไปยังเมอื งกอ น
จากเมืองไปยังเมือง มาลสี ามารถเลอื กเดนิ ทางโดยรถยนต รถไฟ หรือเครอื่ งบนิ ได แตจาก
เมืองไปยงั เมอื งสามารถเดนิ ทางโดยเรือรถยนต รถไฟ หรอื เครื่องบิน
จงหาจาํ นวนวธิ ใี นการเดนิ ทางจากเมอื งไปเมืองทจี่ ะตอ งเดนิ ทางโดยรถไฟเปนจาํ นวนครัง้
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
จงหาจํานวนวิธใี นการจดั ผูชายคนและผหู ญิงคนมายืนเรียงแถวหนา กระดานหนง่ึ แถวโดย
ไมม เี ง่ือนไขใด ๆ
ผูชายทง้ั สามคนยืนตดิ กัน
ผูช ายทัง้ สามคนยนื ติดกนั และผหู ญิงทัง้ สองคนยนื ติดกนั
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
จดั คนคนซ่งึ มสี มชายสมคิดและสมศรี รวมอยูด ว ยเขา นงั่ เรยี งกนั เปน แถวตรง โดยที่สมศรี
นงั่ กลางติดกับสมชายและสมคิดเสมอ จงหาจํานวนวิธกี ารจดั ที่น่งั ดังกลา ว
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ในการจดั หลอดไฟสตี าง ๆ เพ่ือประดบั ตามแนวเสนตรงจํานวนหลอดถา มหี ลอดไฟสแี ดงหลอด
สเี หลือง หลอดสีเขียวหลอดและสนี า้ํ เงนิ หลอดจงหาจํานวนวธิ ีการจัดเรียงหลอดไฟ
สดี ังกลาวโดยไมใหหลอดไฟสเี ขยี วและสีนาํ้ เงนิ ติดกัน
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
คณุ ลุง คุณปา ลกู ชาย และลูกสาว มาเยีย่ มครอบครัวเราซึง่ มี คนคอื คณุ พอ คุณแม ตวั ฉนั
และนอ งชาย ในการจัดทน่ี ัง่ รอบโตะอาหารกลมที่มี ทีน่ ่งั โดยใหค ณุ ลุงน่งั ตดิ กบั คณุ พอคณุ ปา
น่งั ติดกับคุณแม ลกู ชายของคณุ ลุงนงั่ ติดกบั นองชายของฉนั และลกู สาวของคณุ ลุงน่ังติดกับฉนั
จะมีจาํ นวนวธิ ีจัดไดเ ทากับเทา ใด
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ทบทวนความรูส ูมหาวิทยาลยั กบั สหพัฒน ครง้ั ที่
32 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ที่ 20
การเลอื กตง้ั สมาชิกสภาผูแทนราษฎรของจงั หวดั หนึ่งซ่งึ มีสมาชิกได คนมพี รรคการเมืองจํานวนทง้ั สนิ้
พรรคสงผูสมัครรับเลอื กต้งั พรรคละคนจํานวนวิธีท่ผี ไู ดร บั การเลือกตง้ั จะอยตู างพรรคกนั
ท้ังหมดเทา กบั เทาใด
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ความนา จะเปน
การทดลองสุม คือการทดลองหรอื การกระทาํ ใด ๆ ทีท่ ราบวาผลลพั ธเ ปนอะไรบางแตไ มส ามารถบอกไดแนนอน
ปรภิ ูมติ ัวอยาง หรือ แซมเปลสเปซ คือเซตของผลลพั ธท งั้ หมดทเ่ี ปน ไปไดจ ากการทดลองสุม
เรยี กสมาชิกแตล ะตวั ของปรภิ มู ิตวั อยา งวาจดุ ตวั อยา ง
เหตุการณคือสับเซตของปรภิ ูมติ วั อยาง
ใหแทนปริภมู ติ ัวอยา งของการทดลองสมุ ทแ่ี ตล ะจดุ ตัวอยางของการทดลองมโี อกาสเกดิ ขึ้นเทาๆกนั
และแทนเหตุการณ
ความนา จะเปนของเหตกุ ารณ เขยี นแทนดวยกาํ หนดโดย
เม่ือ เปนจาํ นวนสมาชกิ ในเหตกุ ารณ
และ เปน จํานวนสมาชกิ ในปริภูมติ ัวอยา ง
โจทยฝก หดั
ขา วสารบรรจถุ งุ แลว กองหนง่ึ ประกอบดว ย ขา วหอมมะลิ ถงุ ขา วเสาไห ถุงขา วขาวตาแหง
ถุงและขาวบสั มาตี ถุงสมุ หยิบขา วจากกองน้มี าถุง
จงหาความนาจะเปนที่จะไดข าวครบทกุ ชนดิ
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ในการจดั คนคนมีและรวมอยดู วยนัง่ รบั ประทานอาหารรอบโตะกลม
ความนาจะเปนที่และไมไ ดน่งั ตดิ กันเทากบั ขอ ใดตอไปนี้
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ทบทวนความรูส ูมหาวิทยาลยั กับสหพัฒน ครั้งที่
33 โครงการ Sahapat Admission ครัง้ ที่ 20
สมบัติของความนาจะเปนกาํ หนดและเปน เหตุการณใด ๆ
≤≤
∅และ
′−
−−∩
∪−∩
ถา และเปน เหตกุ ารณท ไี่ มเกิดรวมกัน แลว∪
∪∪−∩−∩−∩
∩∩
ถา และเปนเหตกุ ารณซ ง่ึ ′∩∩′∩
แลว∪′มีคา เทาใด
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
กําหนดให และเปน เหตุการณใ ด ๆ ในแซมเปล สเปซ
และกาํ หนดให แทนความนา จะเปนของเหตุการณ
ถา ∩และ∪−∩
แลวคาของ−เทา กบั เทาใด
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
ทบทวนความรสู มู หาวิทยาลยั กับสหพฒั น ครัง้ ท่ี
34 โครงการ Sahapat Admission ครั้งท่ี 20
คณิตศาสตร์ (O-NET+PAT1+สามัญ) อ.ภาคภูมิ อรา่ มวารกี ุล (พ่ีแทป็ เอเลเวล) OnDemand
เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตัดกรวย
1. ระยะหา่ งจากจุด – จุด จดุ - เสน้ เส้น - เสน้
จุด - จุด
2. วงกลม
นิยาม : เซตของจดุ ทกุ จุดทอ่ี ยหู่ า่ งจากจุดคงทจี่ ุดหน่งึ เปน็ ระยะคงท่ี
3. พาราโบลา
นิยาม : เซตของจุดบนระนาบที่มีระยะหา่ งจากจุดคงที่ เท่ากบั ระยะหา่ งจากเส้นตรงคงท่ี
4. วงรี
นยิ าม : เซตของจุดบนระนาบทม่ี ผี ลบวกของระยะทางจากจดุ ใดๆไปยังจุดคงท่สี องจุดเปน็ ระยะคงท่ี
5. ไฮเพอร์โบลา
นิยาม : เซตของจุดบนระนาบทมี่ ผี ลต่างของระยะทางจากจดุ ใดๆไปยังจุดคงท่ีสองจดุ เป็นระยะคงท่ี
35 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ที่ 20
เรขาคณติ วเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย
1. (เลขสามัญ 59) ให้ S เป็นวงกลมท่ีอยู่ในควอดรันต์ท่ี 1 ซ่ึงสัมผัสแกน X และ แกน Y และ
เส้นตรง L ซ่ึงมีสมการเป็น 3x - 4y + 24 = 0 ถ้า C เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม S และ P เป็นจุดที่
วงกลม S สมั ผัสเส้นตรง L แล้วสมการเส้นตรงท่ผี ่านจดุ C และ จุด P คือข้อใดต่อไปน้ี
1. 4x + 3y - 28 = 0
2. 4x + 3y - 32 = 0
3. 4x + 3y - 40 = 0
4. 3x + 4y - 28 = 0
5. 3x + 4y -32 = 0
2. (PAT1 ม.ี ค. 60) C เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม x2 + y2 - 2ky = 0 โดยท่ี k > 0
ให้ T เปน็ เส้นตรงทีผ่ ่านจุด A(-5, 4) และสัมผสั วงกลมท่ีจุด B โดยท่ีระยะทางระหวา่ ง A และ B เท่ากับ 1
ถา้ H เปน็ ไฮเพอรโ์ บลามจี ดุ ศูนย์กลางอยู่ทีจ่ ดุ C มแี กนสงั ยุคยาว 2k และขนานกบั แกน x และมเี สน้ ก�ำกบั
เสน้ หนึง่ ผ่านจุด A และจดุ C จงหาสมการไฮเพอร์โบลา H
1. x2 - 25y2 + 250y - 600 = 0
2. x2 - 25y2 - 250y + 624 = 0
3. x2 - 25y2 + 250y + 650 = 0
4. 25x2 - y2 + 10y + 50 = 0
5. 25x2 - y2 + 10y - 50 = 0
36 โครงการ Sahapat Admission ครัง้ ท่ี 20
โจทย์เพม่ิ เติม
1. เถ(ทP้าA่ารกะTบัย1ะเมทห.ีา่ า่คใง.ดร6ะ0ห)วใา่ หงเ้ สCน้ กตับรเงสLน้ ตผรา่ งนLจดุ เทAา่ (ก2บั , 04 5 8) , หBน(-ว่4ย, 8แ)ลใ้วหร้เะสย้นะตหร่างงMระหผว่า่านงจจดุ ดุ กB�ำแเนลดิะ C(-a, 0) เมือ่ a > 0
(0, 0) กับเส้นตรง M
1. 7 หนว่ ย 2. 8 หนว่ ย 3. 10.5 หน่วย
4. 13.5 หน่วย 5. 15 หนว่ ย
2. (เลขสามัญ 60) ก�ำหนดให้จุด (6, 4) อยู่บนวงกลม C ถ้าเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นของวงกลม C คือ
ส่วนของเส้นตรง 2x + y = 5 ผา่ น x + 3y = 10 แลว้ รศั มีของวงกลมยาวเท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้
1. 21 หนว่ ย 2. 24 หน่วย 3. 5 หนว่ ย
4. 26 หน่วย 5. 6 หนว่ ย
3. (PAT1 ม.ี ค. 60) P เป็นพาราโบลารูปหนง่ึ มีโฟกสั อยบู่ นเส้นตรง x + 2y = 4
และสมการของแกนสมมาตร คอื y = 3 ถา้ P มเี สน้ ไดเรกตรกิ ซเ์ ปน็ เสน้ ตรงเดยี วกบั
เสน้ ไดเรกตรกิ ซข์ องพาราโบลา y2 + 8y - 24x + 16 = 0 แลว้ พาราโบลา P ผา่ นจดุ ใด
1. (-7, 1) 2. (-4, 0) 3. (1, -1)
4. (2, -4) 5. (4, -5)
4. (PAT1 ม.ี ค. 59) กำ� หนดให้ P เปน็ พาราโบลารูปหนง่ึ มีสมการเป็น x2 + 4x + 3y - 5 = 0 และพาราโบลา P
ตดั แกน x ท่ีจุด A และจดุ B ถ้า E เปน็ วงรีทมี่ ีจุดยอดอยทู่ ีจ่ ุด A และจดุ B และผลบวกของระยะทางจาก
จดุ ยอดของพาราโบลา P ไปยังโฟกสั ท้ังสองของวงรี E เทา่ กับ 2 13 หนว่ ย แลว้ สมการวงรี E ตรงกบั ข้อใด
ต่อไปน้ี
1. x2 + 4x + 9y2 = 5 2. 3x2 + 12x + 5y2 = 15
3. 5x2 + 20x + 9y2 = 25 4. 6x2 + 24x + 25y2 = 30
5. 9x2 + 36x + 16y2 = 45
37 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ท่ี 20
เมทรกิ ซ์
1. การหา det
2. สมบัติ det
3. อนิ เวอรส์
38 โครงการ Sahapat Admission ครั้งท่ี 20
4. กฎเครเมอร์
5. การด�ำเนนิ การตามแถว
39 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ท่ี 20
เมทรกิ ซ์
1. (PAT1 มี.ค. 60) กำ� หนดให้ A, B เป็นเมทรกิ ซข์ นาด n × n โดยท่ี n เปน็ จำ� นวนเตม็ บวก พจิ ารณาข้อความ
ตอ่ ไปนี้
ก) det(AB - BA) = 0
ข) ถ้า det(A) ≠ 0และ det(B) = 0 แลว้ det(A + B) ≠ 0
ค) ถา้ det(A) ≠ 0, det(B) ≠ 0 และ A + B เป็นเมทริกซท์ ่สี ามารถอินเวอรส์ ได้แล้ว (A + B)-1= B-1+ A-1
ขอ้ ใดตอ่ ไปนีก้ ล่าวถูกต้อง
1. ขอ้ ก) และ ข) ถกู แต่ ค) ผิด 2. ข้อ ก) และ ค) ถกู แต่ ข) ผดิ
3. ข้อ ข) และ ค) ถกู แต่ ก) ผิด 4. ขอ้ ก), ข) และ ค) ถกู ทั้งสามขอ้
5. ขอ้ ก), ข) และ ค) ผิดทัง้ สามขอ้
2. (เลขสามัญ 60) กำ� หนดระบบสมการ AX = B เม่ือ A =
แล้ว det(A) มีคา่ เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้
1. -8 2. -4 3. -1
4. 4 5. 8
40 โครงการ Sahapat Admission ครง้ั ท่ี 20
โจทย์เพิม่ เติม
1. (PAT1 มี.ค. 59) ก�ำหนดให้ A = เมื่อ a และ b เป็นจำ� นวนจรงิ
ถ้า AA1 = 9I เมือ่ I เปน็ เมทริกซ์เอกลกั ษณท์ มี่ มี ติ ิ 3x3 แล้วคา่ ของ a2 - b2 เทา่ กับเทา่ ใด
2. (PAT1 ต.ค. 59) ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์มติ ิ 3x3 ก�ำหนดโดย A = และ
เมอ่ื a, b และ c เปน็ จำ� นวนจรงิ บวกทแี่ ตกตา่ งกนั คา่ ของ det B ตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้
1. det A 2. -det A 3. abc(det A)
4. abc(det A) 5. a2b2c2 (det A)
3. (PAT1 ต.ค. 58) กำ� หนดให ้ A = และ B = เมอ่ื a, b, c และ d เปน็ จำ� นวนจรงิ บวก
โดยที่ abcd = 9 และ ad ≠ bc ถ้า AB-1 = B-1A และ det(AtB) = -24 แล้วคา่ ของ a + b + c + d
เทา่ กบั เท่าใด
1. 5 2. 6 3. 7
4. 8 5. 9
41 โครงการ Sahapat Admission ครง้ั ท่ี 20
4. (เลขสามญั 59) กำ� หนดให้ A เป็นเมทรกิ ซ์มติ ิ ซึง่ [A : I] ~ [I : P]
โดยที่ I เปน็ เมทริกซเ์ อกลักษณม์ ติ ิ 3x3 และ P =
ถ้า แลว้ a มีคา่ เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. -17 2. -5 3. - 157
4. 75 5. 1 57
5. (เลขสามัญ 59) ถา้ S เป็นเซตของจ�ำนวนจริง a ซ่ึงทำ� ให้ระบบสมการ
ax + 2y - 2z = -1
x + y - z = 0
2x + y + 2z = 2
มีคำ� ตอบเพยี งคำ� ตอบเดียว แลว้ S คอื เซตในข้อใดต่อไปน้ี
1. (-∞, 1) (1, ∞) 2. (-∞, -1) (0, ∞)
3. (-∞, 2) (2, ∞) 4. (-∞, -2) (-2, ∞)
5. {-2, -1, 1, 2}
6. (PAT1 มี.ค. 60) ก�ำหนดให้ AX = B เป็นสมการเมทริกซ์
โดยท่ี A = , X = และ B =
เมือ่ a และ b เปน็ จำ� นวนจรงิ ถ้า det A = 15 และ y = 1 เปน็ ค�ำตอบของ
ระบบสมการน้แี ลว้ (a - b)2 มคี า่ เทา่ กับเทา่ ใด
42 โครงการ Sahapat Admission ครง้ั ที่ 20
จำ� นวนเชิงซอ้ น
43 โครงการ Sahapat Admission คร้งั ท่ี 20
จำ� นวนเชงิ ซอ้ น
1. (PAT1 มี.ค. 60) ก�ำหนดให้ z เป็นจ�ำนวนเชงิ ซอ้ นทส่ี อดคล้องกับสมการ
(1 + i)z + (3 - i)z = 6 + 2i เมอื่ i2 = -1
แลว้ z แทนสงั ยุค (conjugate) ของ z จงหาคา่ ของ |(z - z)(z + z)|
2. (เลขสามัญ 59) ก�ำหนดให้ z1, z2 และ z3เป็นรากที่ 3 ของจ�ำนวนเชงิ ซอ้ นจำ� นวนหน่งึ
ถา้ z1อย่ใู นควอดรันต์ที่ 1 โดยท่ี |z1| = 2 และ z3= z1แล้ว z2 + z3 เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้
1. 1 + 3 i
2. -1 - 3 i
3. -1 + 3 i
4. - 2 + 2 i
5. 2 - 2 i
44 โครงการ Sahapat Admission ครั้งที่ 20
โจทยเ์ พ่มิ เตมิ
45 โครงการ Sahapat Admission ครัง้ ท่ี 20
แคลคูลัส
46 โครงการ Sahapat Admission คร้ังที่ 20
; n≠-1
47 โครงการ Sahapat Admission ครงั้ ที่ 20
แคลคูลัส
48 โครงการ Sahapat Admission ครง้ั ท่ี 20
โจทยเ์ พ่ิมเติม
1. (PAT1 ม.ี ค.59) คา่ ของ เท่ากับเทา่ ใด
2. (PAT1 มี.ค.60) กำ� หนดให้ a เป็นจ�ำนวนจรงิ และ
ถ้า f เปน็ ฟังก์ชนั ตอ่ เนอื่ งบนเซตของจ�ำนวนจรงิ แล้ว f(a) + f(-a) เทา่ กับเท่าใด
3. (PAT1 ต.ค.58) กำ� หนดให้ R แทนเซตของจ�ำนวนจรงิ ให้ f : R R เปน็ ฟงั ก์ชัน
ท่สี ามารถหาอนพุ นั ธไ์ ด้ และสอดคล้องกับ
และ ส�ำหรับทกุ จำ� นวนจรงิ
x ถ้าเส้นตรง 6x – y = 4 ตดั กับกราฟ y = f(x) ที่ x = 2 แลว้ ค่าของ เท่ากับเทา่ ใด
4. (เลขสามญั 60) กำ� หนดให้ f(x) เปน็ ฟงั ก์ชนั พหนุ ามดีกรสี าม ซ่งึ มีค่าวกิ ฤตที่ x = 4 และ x = -4
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก)
ข)
ค)
ง) ค่าเฉลีย่ เลขคณติ ของ f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(2) เทา่ กับ f(0)
จ�ำนวนข้อความที่ถกู เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 0 (ไมม่ ขี ้อความใดถกู ) 2. 1 3. 2
4. 3 5. 4
49 โครงการ Sahapat Admission ครงั้ ที่ 20