Ebook พีทาโกรัส

สื่อการสอน
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส




สื่อการสอนคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2
โรงเรียนบ้านท่าพุทรา


นายเสรี ยอดฉัตร

ความเป็นมาและผลงานของ
พีธากอรัส



พีธากอรัส คือ นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก มีอายุอยู่ในราว 582 – 500 ก่อน
คริสตกาล
ผลงานที่สำคัญ : พีธากอรัสคิดค้นทฤษฎีพีทาโกรัส ที่เราใช้เรียนจนถึง
ปัจจุบัน

: พีธากอรัสสร้างสูตรคูณหรือตารางปีทาโกเรียน
: พีธากอรัสได้กล่าวว่า ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีขนาดสั้น
กว่าเส้นทแยงมุม และจุดนี้เป็นข้อพิสูจน์ให้เห็นว่าตัวเลขมีลักษณะเป็นตัวเลข
อตรรกยะ (irrational) คือ ตัวเลขที่หาขอบเขตสิ้นสุด ซึ่งไม่มีใครสามารถหา
จุดสิ้นสุดของค่าของจำนวนอตรรกยะนี้ได้
: พีธากอรัส เป็นนักวิทยาศาสตร์คนแรกที่ตั้งทฤษฎีเกี่ยวกับ
โลกกลม และหมุนรอบตัวเองรวมถึงดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และดาวเคราะห์
ก็หมุนรอบตัวเอง

การค้นคว้าของพีธากอรัส ทำให้เขารู้ความจริงว่า มนุษย์ไม่สามารถมองเห็น
แสงสว่างได้

ความเป็นมาและผลงานของ
พีธากอรัส



พีทาโกรัส นับเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่โลกจดจำอีกท่านหนึ่ง พีทาโกรัส
นับเป็นนักปราชญ์ชาวกรีกโบราณที่มีชีวิตอยู่ในช่วง 500 ปี ก่อนคริสต์ศักราช
เป็นชาวเมืองซามอสซึ่งอยู่ในประเทศกรีซในปัจจุบัน

ด้านการศึกษาของพีทาโกรัส ด้วยความฉลาดและใฝ่ความรู้ พีทาโกรัสได้
ออกเดินทางเพื่อศึกษาเล่าเรียนวิชาต่าง ๆ มากมายจากบุคคลสำคัญของโลก
ในสมัยนั้น และเป็นบุคคลที่ได้ชื่อว่าเป็นนักเดินทางไปยังสถานที่ต่าง ๆ มากมาย
เช่นกัน อาธิ อาระเบีย เปอร์เซีย อินเดีย และอียิปต์ และในช่วงชีวิตเริ่มต้นหนึ่ง
เขาถูกกษัตริย์คัมไบเซสที่สองแห่งเปอร์เซียจับกุมไปยังบาบิโลนในฐานะนักโทษ
แต่ที่แห่งนั้นก็ทําให้เขาได้เรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์และดนตรีของชาวบาบิโลเนียน

ภายหลังจากการเดินทางไปยังสถานที่ต่าง ๆ มากมายแล้ว พีทาโกรัสได้
กลับไปยังบ้านเกิดของตน แต่ก็ต้องมีเหตุให้ต้องย้ายถิ่นฐานไปยังเมืองโครโทน
อันเหตุจากเกาะซามอสได้ตกไปอยู่ภายใต้รัฐบาลทรราชของโพลีเครติส

ณ เมืองโครโทนที่เขาย้ายมานั้นเอง เขาได้ก่อตั้งสมาคมศาสนาอย่างลับ ๆ
และมีการปฏิรูปวัฒนธรรมของชาวโครโทนให้เป็นไปตามรูปแบบที่เขาต้องการ
โดยปฏิบัติตนตามจริยธรรมและมีการสร้างกลุ่มสาวกเป็นของตนเองที่ชื่อว่า
“พีทาโกเรียน” และเรียกตัวเองว่ามาเททาทิคอย (Mathematikoi) และที่แห่งนี้
เอง พีทาโกรัสก็ได้สร้างโรงเรียนขึ้น โดยผู้ที่จะเข้าศึกษาที่นี่ จะต้องสละ
ทรัพย์สินของตน และกินนอนอยู่ที่โรงเรียน โรงเรียนของพีทาโกรัสจะมีการ
เรียนการสอนที่เน้นวิชาทางด้านต่าง ๆ คือ ปรัชญา คณิตศาสตร์ และ
ดาราศาสตร์

ทำความรู้จัก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เรื่องนี้เป็นเรื่องที่เราจะประยุกต์สมการการหาความยาวด้านกับ ''สามเหลี่ยม
มุมฉาก'' เพราะฉะนั้นจำไว้เลยว่าถ้าเราเจอโจทย์ที่เกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก
เมื่อไร ให้นึกถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัสก่อนเป็นอย่างแรกๆเลย ในทางกลับกัน
เจอสามเหลี่ยมแต่ไม่ใช่มุมฉาก ก็ไม่ต้องมานึกถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทำความรู้จัก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

จากรูปด้านบนจะเห็นว่ามีสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ 1 อันประกอบไปด้วยด้าน 3 ด้านได้แก่
a, b, c ซึ่งโดยปกติแล้ว เรานิยมแทน c เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านที่ยาวสุดของ
สามเหลี่ยม) ด้าน a, b เนื่องจากมันติดกับมุมฉากเลย เราจึงเรียกสองด้านนี้ว่า ด้าน
ประกอบมุมฉาก พีทาโกรัสกล่าวว่า ''ผลรวมของ(ด้านประกอบมุมฉากกำลังสอง) = ด้าน
ตรงข้ามมุมฉากกำลังสอง'' สมการนี้จะได้ สูตรพีทาโกรัส คือ

ที่มาทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ที่มาของสมการพีทาโกรัสนั้นมาจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ พีทาโกรัส
หากเรามีสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้เราลองวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสของแต่ละด้าน
ดังรูป

ที่มาทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พีทาโกรัสบอกว่า พื้นที่สี่เหลี่ยมของด้านประกอบมุมฉากรวมกัน มีค่าเท่ากับ
พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านตรงข้ามมุมฉาก (พื้นที่สี่เหลี่ยมก็คือ ด้านกำลังสอง)
นั่นเอง

เลขชุดทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เลขชุดพีทาโกรัส คือ เลขที่ทำให้เราสามารถหาค่าพีทาโกรัสได้อย่างรวดเร็ว
ในกรณีที่ต้องการความเร็วในการทำโจทย์ ถ้าเราทราบด้านอย่างน้อย 2 ด้าน
เราก็จะสามารถหาด้านที่ 3 ได้ทันที โดยที่ค่าของด้าน a และ b สามารถสลับ
กันได้ แต่ด้าน c ไม่สามารถสลับกันได้
ตัวอย่างเช่น ถ้าเราทราบ a = 3 และ c = 5 เราจะตอบได้ทันทีว่า b = 4
แต่ในกรณีที่โจทย์ประยุกต์ขึ้นไปอีกขั้น คือ เราจะไม่สามารถเห็นตัวเลขชุดนี้ได้
ทันที ต้องอาศัยไหวพริบเล็กน้อย นั่นก็คือ เลขชุดพีทาโกรัส จะมาในรูปแบบ
ของตัวเลขที่เป็นจำนวนเท่าของตัวเลขชุดนั้น

บทกลับทฤษฎีบทพีทาโกรัส

c² = a² + b² สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
c² > a² + b² สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน
c² < a² + b² สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม

วิธีการคำนวณพีทาโกรัส

แบบทดสอบท้ายบท
เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส




1. ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเกี่ยวข้องกับรูปใดมากที่สุด

ก. รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ข. รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ค. รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน ง. รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

2. เสาธงสูง 12 เมตร ต้องการโยงเชือกจากยอดเสาธงลงมาผูกติดกับพื้นดิน

ห่างจากฐานเสาธง 5 เมตร ต้องใช้เชือกยาวกี่เมตร

ก. 13 เมตร ข. 17 เมตร

ค. 169 เมตร ง. 289 เมตร

3. รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 10 เซนติเมตร และยาว 24 เซนติเมตร จะมีเส้น

ทแยงมุมยาวเท่าไร

ก. 23 เซนติเมตร ข. 25 เซนติเมตร

ค. 26 เซนติเมตร ง. 27 เซนติเมตร

4. ความยาวของด้านประกอบมุมฉากมีค่าเท่าใด
ก. 8
ข. 13
ค. 15
ง. 18

5. ความยาวของด้านประกอบมุมฉากมีค่าเท่าใด
ก. 50
ข. 60
ค. 70
ง. 80

แบบทดสอบท้ายบท
เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส




6. จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ m มีค่าตรงกับข้อใด
ก. 5
ข. 6
ค. 9
ง. 11

7. จากรูป ความยาวมีหน่วยเป็นเซนติเมตร จงหาว่า เส้นรอบรูปสามเหลี่ยม
ABC ยาวกี่เซนติเมตร

ก. 80 เซนติเมตร
ข. 90 เซนติเมตร
ค. 100 เซนติเมตร
ง. 120 เซนติเมตร

8. ถ้า AB ยาว 8 เซนติเมตร CD ยาว 5 เซนติเมตร และ BC ยาว 4
เซนติเมตร แล้ว AD ยาวเท่าใด

ก. 5 เซนติเมตร
ข. 7 เซนติเมตร
ค. 9 เซนติเมตร
ง. 11 เซนติเมตร

แบบทดสอบท้ายบท
เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส




9. กำหนดให้จำนวนที่กำหนดในแต่ละข้อเป็นความยาวด้านทั้งสามของ
รูปสามเหลี่ยม ข้อใดไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก. 3, 4, 5
ข. 7, 24, 25
ค. 9, 13, 15
ง. 10, 24, 26

10. กำหนดจำนวนในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นความยาวด้านทั้งสามขงรูปสามเหลี่ยม
ข้อใดเป็นความยาวของด้านรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก. 20, 25, 35
ข. 7, 20, 24
ค. 8, 15, 19
ง. 18, 24, 30

เฉลยแบบทดสอบท้ายบท
เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส




1. ง
2. ก
3. ค
4. ก
5. ข
6. ค
7. ง
8. ก
9. ค
10. ง